Про скінченні підгрупи повної лінійної групи над областями цілісності

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.86

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ПРО СКІНЧЕННІ ПІДГРУПИ ПОВНОЇ ЛІНІЙНОЇ ГРУПИ НАД ОБЛАСТЯМИ ЦІЛІСНОСТІ

Юрченко Наталія Василівна

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри Ужгородського національного університету.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор ГУДИВОК Петро Михайлович, Ужгородський національний університет, завідувач кафедри алгебри.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор БОДНАРЧУК Юрій Вікторович, Національний університет "Києво-Могилянська академія", м. Київ, завідувач кафедри математики; доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, БОНДАРЕНКО Віталій Михайлович, Інститут математики НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник відділу алгебри.

Захист відбудеться ___________________ 2008 року о ____ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий ___________________________ 2007 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В. В. Плахотник

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Ще в 1960 р. Д. О. Супруненко1 ¹ Супруненко Д. А. Линейные р-группы // Докл. АН БССР. - 1960. - 4, № 6. - С. 233-235. описав всі з точністю до спряженості силовські р-підгрупи повної лінійної групи над алгебраїчно замкнутим полем. Згодом цей результат був узагальнений Р. Т. Вольвачевим.2 ² Вольвачев Р. Т. р-подгруппы Силова полной линейной группы // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1963. 27, № 5. - С. 1031-1054. Описання силовських р-підгруп повної лінійної групи над довільним полем, запропоноване Р. Т. Вольвачевим, для р = 2 виявилось неповним, про що вперше відмічено в роботі С. Ледхам-Гріна і В. Плескена.3 ³ Leedham-Green C. R., Plesken W. Some remarks of Sylow subgroups of general linear groups // Math. Z. 1986. - 191. - P. 529-535. Повне описання силовських 2-підгруп повних матричних груп над полем Т одержав В. С. Конюх.4 ⁴ Конюх В. С. О линейных р-подгруппах // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1987. - № 1. - С. 3-8. В. М. Петечук5 ⁵ Петечук В. М. Линейные р-группы над телами // Докл. АН Украины. Сер. мат. наук. - 1997. - № 11. - С. 21-24. запропонував свій підхід до описання силовських р-підгруп в повних матричних групах над довільним полем.

Якщо K - довільне комутативне кільце з одиницею, то задача про спряженість, а також задача про ізоморфізм силовських р-підгруп групи GL(n, K) далекі до повного розв'язання. Якщо K = Z - кільце цілих раціональних чисел, то задачу про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, Z) розв'язав П. М. Гудивок.6 ⁶ Гудивок П. М. О силовских р-подгруппах полной линейной группы над кольцом целых чисел // Алгебра и анализ. - 1990. - 2, № 6. - С. 121-128. Задача про ізоморфізм силовських р-підгруп в групі GL(n, Z) розв'язана П. М. Гудивком та В. П. Рудьком.7 ⁷ Gudivok P. M., Rudko V. P. On isomorphism of sylow subgroups of the general linear group over the ring of integers // Journal

of Mathematical Sciences. - 2000. - 102, № 3. - Р. 3998-4008.

Також розв'язується задача про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, K), де K - повне дискретно нормоване кільце характеристики нуль з полем лишків характеристики .8 ⁸ Гудивок П. М. О силовских подгруппах полной линейной группы над полными дискретно нормированными кольцами //

Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 7-8. - С. 918-924. -9 ⁹ Гудивок П. М., Кирилюк А. А. Силовские р-подгруппы полной линейной группы над дискретно нормированными кольцами // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1979. - № 5. - С. 326-329.

В. П. Платонов1¹⁰ Платонов В. П. Конечность минимальных неприводимых линейных групп // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1975. - № 5. - С. 96-97.0 показав, що всяка мінімальна незвідна підгрупа повної лінійної групи GL(n, S) (S - довільне поле) скінченна. Д. О. Супруненко1¹¹ Супруненко Д. А. Минимальные неприводимые разрешимые линейные группы простой степени // Труды Моск. матем. об-ва.- 1973. - 29. - С. 223-234.1 і В. П. Юферев1¹² Юферев В. П. Классификация минимальных неприводимых линейных групп простой степени // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1974. - № 2. - С. 5-10.2 описали з точністю до спряженості мінімальні незвідні розв'язні підгрупи групи GL(p, S) (p - просте число). Аналогічна задача розв'язана для груп GL(p2, Q) 1¹³ Гудивок П. М., Капитонова Ю. В., Рудько В. П. О конечных неприводимых подгруппах группы GL(n, Z) // Кибернетика. - 1986. - № 5. - С. 1-16.3 і GL(pq, Q), де q - просте число (р > q) і q не ділить р - 1.1¹⁴ Супруненко Д. А. Подпространства, порожденные строками циркулянтов, и минимальные неприводимые линейные группы // Матем. сб. - 1985. - 127. - С. 45-54.4 Т.І. Копилова досліджувала властивості мінімальних незвідних розв'язних підгруп групи GL(p2, S), де S - алгебраїчно замкнуте поле1¹⁵ Копылова Т. И. О минимальных неприводимых разрешимых линейных группах // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1978. - № 6. - С. 20-22.5 і описала мінімальні незвідні нільпотентні підгрупи групи GL(p2, S).1¹⁶ Копылова Т. И. Минимальные неприводимые нильпотентные линейные группы степени р^s // Изв АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1979. - № 5. - С. 30-34.6

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень кафедри алгебри Ужгородського національного університету (номер державної реєстрації 0198V007796).

Мета дослідження:

* вивчення силовських підгруп повної лінійної групи над деякими областями цілісності;

* описання мінімальних незвідних р-підгруп, мінімальних незвідних нільпотентних підгруп, мінімальних незвідних розв'язних підгруп повних матричних груп над деякими полями.

Задачі дослідження:

* розв'язати задачу про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, K), де K - область головних ідеалів характеристики нуль, р - просте число, необоротне в K. Дослідити питання про ізоморфізм силовських р-підгруп групи GL(n, K). Описати з точністю до ізоморфізму незвідні силовські 2-підгрупи групи GL(2, Z) над деякими кільцями головних ідеалів Z;

* з'ясувати, при яких умовах існують з певними властивостями силовські р-підгрупи в групі GL(р, R), де R - кільце цілих величин скінченного розширення поля р-адичних чисел містить первісний корінь степеня рn з одиниці. Знайти деякі силовські р-підгрупи групи GL(р, R);

* дослідити існування попарно неізоморфних силовських р-підгруп в повній лінійній групі GL(р, R) (n > 1) над кільцем R всіх цілих алгебраїчних чисел;

* дати класифікацію неспряжених мінімальних незвідних р-підгруп груп GL(n, Q()) (р - просте число, p = 1, 1) і GL(р(р - 1), Q), а також мінімальних незвідних нільпотентних підгруп групи , де р1, ..., рs - різні непарні прості числа, р1 < p2 < … < ps (rj 1, );

* описати з точністю до ізоморфізму мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(р2, Q()) і GL(р2(р - 1), Q); знайти деякі класи мінімальних незвідних розв'язних підгруп групи GL(pq, Q), де p і q - прості числа, p > q і q ділить р - 1.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі отримано такі результати:

* Вивчаються з точністю до спряженості і ізоморфізму силовські р-підгрупи повної лінійної групи GL(n, K) над областю головних ідеалів K характеристики нуль. Вперше розв'язується задача про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, K) (n > 1), якщо р - необоротне в K.

* Описуються з точністю до ізоморфізму незвідні силовські 2-підгрупи групи GL(2, Z) над деякими кільцями головних ідеалів Z.

* Нехай кільце R цілих величин скінченного розширення поля р-адичних чисел містить первісний корінь степеня рn з одиниці. Вперше показується, що: 1) якщо р > 2 і n = 1, то в групі GL(р, R) міститься по крайній мірі (р - 2) незвідних силовських р-підгруп попарно різних порядків; 2) якщо р > 2 і n > 1, то в групі GL(р, R) існують абелеві силовські підгрупи типів (рn, p2), ... , (рn, рn); 3) якщо р = 2 і n > 2, то в групі GL(2n - 1, R) існує абелева силовська 2-підгрупа типу (2n, 2n).

* Вперше доводиться, що в повній лінійній групі GL(n, R) (n > 1) над кільцем R всіх цілих алгебраїчних чисел існує нескінченно багато попарно неізоморфних силовських р-підгруп.

* Вивчаються мінімальні незвідні розв'язні підгрупи груп GL(n, Q) і GL(n, Q()) ( р = 1, 1, р - просте число). Вперше описані мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(рr, Q()) (r 2) і GL(рs(p - 1), Q) (s 2).

* Знайдені деякі класи мінімальних незвідних розв'язних підгруп групи GL(pq, Q), де р і q (р > q) - прості числа і q ділить р - 1.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення. Вони також можуть бути використані при подальшому вивченні силовських р-підгруп повних лінійних груп над деякими кільцями.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, які ввійшли в дисертацію, одержані дисертантом самостійно. Частина результатів, які ввійшли в підрозділи 2.2 і 3.2, одержані разом з П. М. Гудивком та В. П. Рудьком.

Апробація результатів роботи. Результати, які викладені в дисертаційній роботі, доповідались і обговорювались на таких семінарах і конференціях:

* алгебраїчних семінарах кафедри алгебри Ужгородського національного університету (Ужгород, 2000-2006);

* Міжнародній алгебраїчній конференції в рамках Українського математичного конгресу, присвяченого пам'яті М. В. Остроградського (Ужгород, 2001);

* 55-й, 56-й, 57-й, 58-й, 59-й, 60-й, 61-й підсумкових конференціях професорсько-викладацького складу УжНУ (Ужгород, 2001-2007);

* Десятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2004);

* Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2006).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в працях [1-9], 6 з яких надруковано у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 39 найменувань. Повний обсяг роботи становить 129 сторінок, з них 124 сторінки загального змісту та 5 сторінок списку використаних джерел.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі ”Огляд літератури” наведені відомі результати про силовські підгрупи повної лінійної групи над полем.

У другому розділі ”Про силовські підгрупи повної лінійної групи над областю цілісності” досліджується питання про спряженість та ізоморфізм силовських підгруп повної лінійної групи над деякими областями цілісності. Розділ починається оглядом основних результатів про силовські р-підгрупи повної лінійної групи над кільцем цілих раціональних чисел (підрозділ 2.1 ”Попередні відомості”). В підрозділі 2.2 ”Про силовські р-підгрупи повної лінійної групи над областями головних ідеалів” основними результатами є розв'язання задачі про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, K), якщо р - необоротне в області K головних ідеалів характеристики нуль. Знайдені, залежні від р і K, достатні умови ізоморфізму силовських р-підгруп повної лінійної групи над кільцем K головних ідеалів характеристики нуль. Описуються з точністю до ізоморфізму незвідні силовські 2-підгрупи групи GL(2, Z) над деякими кільцями головних ідеалів Z.

Нехай K - область цілісності з одиницею, GL(n, K) - повна лінійна група над кільцем K, тобто група всіх оборотних матриць порядку n над кільцем K.

Нехай = (1 2 ... р) - цикл довжини р і Ср = - циклічна порядку р група підстановок степеня р. Нехай Н - підгрупа групи GL(t, K). Позначимо через

Wp(H) = H Cp

сплетіння групи Н і групи підстановок Cp. Група Wp(H) міститься в GL(pt, K) і є напівпрямим добутком нормальної підгрупи Нр і циклічної порядку р підгрупи, породженої матрицею р Еt, де р - матриця підстановки і Еt - одинична матриця порядку t.

Нехай р - просте число, Rp - така область головних ідеалів з полем відношень F характеристики нуль, що число р необоротне в Rp.

Лема 2.2. Нехай Н - неодинична незвідна силовська р-підгрупа групи GL(s, Rp). Тоді Wp(H) є незвідною силовською р-підгрупою групи GL(sр, Rp). Якщо ж Н є силовською р-підгрупою групи GL(s, F), то Wp(H) є силовською р-підгрупою групи GL(sр, F), за винятком випадку, коли виконуються наступні умови: р = 2, s = 1, H = 1, -1 і в полі F існує такий елемент , що 2 = 2.

Нехай далі - корінь степеня р з одиниці, 1; dр = (F() : F); Slр(T) - силовська р-підгрупа мультиплікативної групи Т* області цілісності Т; Рр = Slр(F()); K - кільце цілих над Rp величин поля F() (якщо р = 2, то K = K2); - матриця оператора множення на F() у фіксованому фундаментальному базисі поля F(), - матриця порядку dр над полем F; - матриця над F, отримана з матриці А = (ij) над F() заміною всіх матричних елементів ij F() на матриці ; - підгрупа в GL(dрn, F) (G - підгрупа в GL(n, F()).

Основні результати підрозділу сформульовані в наступних теоремах:

Теорема 1.2. Нехай р > 2, dр > 1 і |Pр| > p. Силовські р-підгрупи групи GL(n, Rp) ізоморфні тоді і тільки тоді, коли n < dр.

Теорема 2.2. Нехай р = 2, (F(i) : F) = 2, (i2 = -1) і |Sl2(F(i))| > 4. Силовські 2-підгрупи групи GL(n, R2) (n > 1) не ізоморфні.

Теорема 3.2. Нехай Rp ( p = 1, 1) та |Pр| > 2p. В групі GL(n, Rp) (n > 1) існують неізоморфні силовські р-підгрупи.

Теорема 4.2. Нехай р > 2 і Rp ( p = 1, 1). Силовські р-підгрупи групи GL(n, Rp) (n > 1) ізоморфні тоді і тільки тоді, коли |Pр| = p і n = 2.

Теорема 5.2. Нехай силовські р-підгрупи групи GL(n, Rp) ізоморфні. Тоді виконується одна з наступних умов:

1) n = 1 або n < dр, якщо dр > 1;

2) p > 2, |Pр| = p і n < 3dр;

3) р = 2, |P2| 4 і n 3.

Теорема 6.2. Нехай р > 3, |Pр| = p і 1 < dр < p - 1. Силовські р-підгрупи групи GL(n, Rp) ізоморфні тоді і тільки тоді, коли n < 2dр.

Теорема 7.2. Нехай р > 2. Силовські р-підгрупи групи GL(n, Rp) (n > 1) спряжені тоді і тільки тоді, коли dр > 1 і виконується одна з наступних умов:

1) n < dр;

2) n = dр, |Pр| = p і Rp[]

- кільце головних ідеалів.

Введемо деякі позначення. Припустимо, що 2 - простий елемент в R2 і K = R2[i] - кільце головних ідеалів. Кожний елемент в F(i) однозначно представимо у виді + i (, F). Нормою N(z) елемента z = + i (, F) назвемо

N(z) = 2 + 2 = z,

де = - i.

Очевидно, що

z K* N(z) , N(1) = N( i) = 1,

нормене відображення N : K* є гомоморфізмом груп.

Нехай

OK* = {z K* | N(z) = 1}.

Введемо відображення

: K* OK*, (z) = (z K*).

Очевидно, - гомоморфізм груп.

Теорема 8.2. Силовські 2-підгрупи групи GL(n, R2) (n > 1) спряжені в цій групі тоді і тільки тоді, коли n = 2, |P2| = 2 і виконуються наступні умови:

1) 2 - простий елемент в R2;

2) (R2 / 2R2)* = { + 2R2 | };

3) R2[i] - кільце головних ідеалів;

4) -1 не належить N(K*) (K = R2[i]);

5) OK* = i, (K*).

Розглянемо силовські 2-підгрупи групи GL(2, Z) над деякими кільцями головних ідеалів Z. Нехай просте число d має вигляд

d = 16s - 1,

де s > 1. Кільце Z має Z-базис 1, .

Група

діедра порядку 8 є силовською 2-підгрупою в групах GL(2, Z), GL(2, Q), єдиною, з точністю до спряженості, в останній з цих груп.

Лема 23.2. Циклічна порядку 4 група Н, що породжена матрицею

А = ,

буде силовською 2-підгрупою групи GL(2, Z).

Лема 24.2. В умовах леми 23.2 група Н є незвідною підгрупою в GL(2, Z).

Теорема 10.2. Нехай Z - кільце головних ідеалів. З точністю до ізоморфізму група GL(2, Z) має точно дві незвідні силовські 2-підгрупи - це групи D4 і Н.

Доведення теореми 10.2 випливає із лем 23.2-24.2. Відмітимо при цьому, що в умовах теореми 10.2 незвідність над кільцем Z тягне за собою незвідність над полем Q.

Прикладами кілець Z, що задовільняють умові теореми 10.2, є кільця з d = 31, 47, 127. Згідно теореми Дірихле про арифметичні прогресії, існує нескінченно багато простих чисел d виду (2).

В підрозділі 2.3 ”Про силовські р-підгрупи повної лінійної групи над кільцем цілих Р-адичних чисел” розглядається кільце R цілих величин скінченного розширення F поля р-адичних чисел, що містить первісний корінь n степеня рn із одиниці і t - простий елемент в R такий, що n - 1 = td, R*, R* - мультиплікативна група кільця R. Нехай силовська р-підгрупа Р групи R* має порядок рn, тобто Р = n.

Нехай р-підгрупа Gn(p) групи GL(p, F) є сплетіння Р Ср групи Р і циклічної порядку р групи Ср підстановок, породженої циклом (12...р). Група Gn(p) породжується діагональною матрицею і матрицею b підстановки (12...р):

Gn(p) = а = diag[n, 1, …, 1], b GL(p, R).

Група Gn(p) - незвідна підгрупа в групі GL(p, R) і її порядок рівний рnp + 1. Відмітимо, що при р > 2 або при р = 2 і n > 1 силовські р-підгрупи групи GL(p, F) спряжені в цій групі з підгрупою Gn(p). На початку розділу сформульовані, а далі доведені наступні теореми.

Теорема 11.2. Нехай р > 2 і n = 1. В групі GL(p, R) існують принаймні

(р - 2) незвідні силовські р-підгрупи попарно різних порядків.

Групове кільце L = RСр перетворимо в RGn(p)-модуль, в R-базисі

1, b, …, bp - 1

якого матриці операторів a і b співпадають з матрицями a і b відповідно (див. (3)). спряженість ізоморфізм силовський алгебраїчний

Нехай далі р > 2 і n = 1. Для доведення теореми 11.2 введемо позначення

G = G1(p), = 1, = - 1, с = b - 1,

Lj = 2, c, …, cj - 1, cj , …, cp - 1 (2 j p - 1)

- R-підмодуль в L, R-базис якого вказано в дужках.

Введемо в розгляд деякі підгрупи в групі G. Нехай

а0 = Е, aj = diag,

0 = ... = j - 1 = 0, j = , …, p - 1 = ,

Gj = a0, aj, b (j = 1, …, p - 1).

Ці підгрупи утворюють нормальний ряд

а0 = G0 G1 Gp - 1 = G,

порядки факторів якого рівні р.

Для кожного модуля Lj введемо в розгляд матрицю Tj переходу від R-базиса (4) в L до R-базиса (5) в Lj (j = 2, …, p - 1). Окрім цього, нехай Lp = L і Tp = E. Нехай далі

Vj - 1 = (j = 2, …, p).

Група Vj (j = 1, …, p - 1) буде підгрупою групи GL(p, R).

Твердження 2.2. Групи V2, …, Vp - 1 є силовські р-підгрупи групи GL(p, R).

Теорема 12.2. Нехай p > 2 і n > 1. В групі GL(p, R) існують силовські р-підгрупи, які є абелевими групами типів (рn, p2), …, (рn, pn) відповідно.

Нехай p > 2 і n > 1, 2 k n, = k - первісний корінь степеня рk із одиниці, = n, = 1,

Hk = E, Bk

(E - одинична матриця). Тоді Hk - абелева типу (рn, pk) підгрупа групи GL(p, R).

Твердження 4.2. Групи Hk (k = 2, …, n) є силовські р-підгрупи групи GL(p, R).

Теорема 12.2 є наслідком твердження 4.2.

Теорема 13.2. Нехай p = 2 і n > 2. В групі GL(2n - 1, R) існує силовська 2-підгрупа, що є абелевою групою типу (2n, 2n).

Нехай р = 2, n > 1, = n, dn - діагональна матриця порядку 2n - 1, діагональними елементами якої є всі первісні корені степеня 2n із одиниці (d1 = -1, d2 = diag[i, -i], (i2 = -1) і т. д.).

Нехай b = diag[, dn - 1, …, d2, d1] + Jt(0) (Jt(0) - жорданова клітка порядку t з нулем по діагоналі) - елемент порядку 2n в групі GL(2n - 1, R).

Твердження 5.2. При n > 2 абелева типу (2n, 2n) група Н = а = Е, b (E - одинична матриця) буде силовською 2-підгрупою групи GL(2n - 1, R).

В підрозділі 2.4 ”Силовські р-підгрупи повної лінійної групи над кільцем всіх цілих алгебраїчних чисел” R - кільце всіх цілих алгебраїчних чисел. Доводиться наступна теорема:

Теорема 15.2. В групі GL(n, R) (n > 1) існує нескінченно багато попарно неізоморфних силовських р-підгруп.

Доведення опирається на ряд допоміжних результатів.

Нехай Т - поле всіх алгебраїчних чисел, С - поле комплексних чисел, n - первісний корінь степеня pn із одиниці, Рр = n | n = 1, 2, … - силовська р-підгрупа мультиплікативних груп R*, T*, С* кільця R та полів Т і С відповідно. Нехай Gp = Pp Cp - сплетіння групи Рр GL(1, R) і циклічної порядку р групи Ср підстановок степеня р, породженої циклом = (1 2 ... р). Введемо в розгляд деякі підгрупи групи Gp. Нехай

An = E, dj = diag[1, …, 1, n, 1, …, 1] | Pp; j = 1, …, p - 1,

де Е - одиниця групи GL(р, R), в dj корінь n знаходиться на j-му місці діагоналі.

Нехай Нn = An, b, де b - матриця підстановки .

Нехай n = n - 1, n = 1, 2, … і L - RGp-модуль з R-базисом {e1, …, ep} буде таким, що для кожного лінійного оператора g Gp його матриця у вказаному базисі співпадає з матрицею g. Нехай

Mn = u1 = ne1, u2 = e2 - e1, …, up = ep - ep - 1

- вільний над кільцем R підмодуль в L з вказаним R-базисом u1, …, up.

Нехай Тn - матриця переходу від R-базису е1, …, еp в R-модулі L до R-базису u1, …, up в R-підмодулі Mn цього модуля:

Tn = .

Нехай Vn = HnTn (n = 2, 3, …).

Теорема 17.2. Групи Vn (n = 2, 3, …) утворюють нескінченну серію попарно неізоморфних незвідних силовських р-підгруп в групі GL(p, R).

Лема 42.2. Нехай Н - така незвідна силовська р-підгрупа в групі GL(m, R), яка містить всі скалярні матриці Е ( Рр). Тоді сплетіння G = H Ср групи Н з циклічною порядку р групою підстановок Ср буде незвідною силовською р-підгрупою групи GL(mр, R).

Теорема 18.2. Нехай

W0(Vn) = Vn, Wj(Vn) = Wj - 1(Vn) Cp (j > 1).

Тоді групи Wj(Vn) (n = 2, 3, …) утворюють нескінченну серію попарно неізоморфних незвідних силовських р-підгруп в групі GL(pj +1, R) (j 0).

Теорема 18.2 є наслідком леми 42.2 і теореми 17.2.

Теорема 19.2. Нехай m = m0 + m1p + + msps - р-ічний розклад натурального числа m p. Тоді групи

Gm(Vn) = (n = 2, 3, …)

утворюють нескінченну серію попарно неізоморфних силовських р-підгруп в групі GL(m, R).

Нехай далі р > 2. Введемо в розгляд деякі матриці і деякі матричні групи. Нехай Js(0) - верхньотрикутна клітка Жордана порядку s з нулями по діагоналі

bs = diag[s - 1, …, , 1] + Js(0) (1 s p),

bst = A = (1, 0, …, 0),

Bs = bs, Es | Pp,

Bst = bst, Es + 1 | Pp

(Er - одинична матриця порядку r). Очевидно, Bs - абелева типу (р, р) р-підгрупа в групі GL(s, R), Bst - абелева типу (р, рn) р-підгрупа в групі GL(s + 1, R).

Лема 45.2. Нехай 1 s p. Група Bs є максимальна абелева р-підгрупа групи GL(s, R).

Теорема 20.2. Нехай 1 s p - 1. Абелеві групи Bst (t = 2, 3, …) утворюють нескінченну серію попарно неізоморфних силовських р-підгруп групи GL(s + 1, R).

З теорем 19.2-20.2, як наслідок, випливає теорема 15.2.

У третьому розділі ”Про мінімальні незвідні підгрупи повної лінійної групи над полем” вивчаються мінімальні незвідні розв'язні підгрупи груп GL(n, Q) і GL(n, Q()) (p = 1, 1, p - просте число) при деяких n. Описуються мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(pr, Q()) (r 2) і GL(рs(p - 1), Q) (s 2).

В підрозділі 3.1 ”Про мінімальні незвідні р-підгрупи повної лінійної групи над полем” дається класифікація неспряжених мінімальних незвідних р-підгруп груп GL(р, Q()) і GL(р(р - 1), Q), а також мінімальних незвідних нільпотентних підгруп групи де ri 1, p1, …, pt - різні непарні прості числа, p1 < p2 < < pt. Описані з точністю до ізоморфізму мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(р2, Q()) і GL(рs(p - 1), Q). Зокрема доведені наступні теореми.

Теорема 3.3. Нехай (s 1, ri 1, p1, …, pt - різні непарні прості числа, p1 < p2 < < pt). В групі GL(n, Q) існує мінімальна незвідна р-підгрупа Н (р 2) тоді і тільки тоді, коли n = (pr) (r 2, - функція Ейлера). Якщо r = 1, то в GL(p - 1, Q) міститься з точністю до спряженості єдина мінімальна незвідна підгрупа Н порядку р. При n = (p2) (р 2) в GL(n, Q) з точністю до спряженості містяться дві мінімальні незвідні р-підгрупи: циклічна група порядку р2 і неабелева група Н порядку р3 з ехрН = р.

Лема 5.3. Нехай парне натуральне число n (n > 2) не ділиться на 4 і в групі GL(n, Q) існує скінченна незвідна нільпотентна підгрупа G. Тоді G буде р-групою (р > 2) або прямим добутком р-групи на групу порядку 2 і, при цьому, n = (p - 1)pr (r 0).

Нехай в умові теореми 3.3 s = 1 (тобто n - парне число, що не ділиться на 4). Тоді ця теорема разом з лемою 5.3. дає описання з точністю до спряженості всіх мінімальних незвідних нільпотентних підгруп групи GL(n, Q). Такими підгрупами можуть бути лише р-групи порядку рr (r 3).

Теорема 4.3. Нехай G = G1 Gk, де Gj - незвідна pj-підгрупа в групі GL(nj, Q) (n = n1 nk, nj > 1, pj - непарне просте число, , pj pi при j i). Група G буде мінімальною незвідною нільпотентною підгрупою групи GL(n, Q) тоді і тільки тоді, коли група Gj буде мінімальною незвідною підгрупою в групі GL(nj, Q) (j = 1, …, k).

Теорема 5.3. Нехай Нj(Gj) - скінченна незвідна підгрупа групи GL(nj, Q) (nj > 1), П(Нj) = = П(Gj) (П(Нj) - множина всіх простих чисел, що ділять порядок |Нj| групи Нj; j = 1, 2), (|Н1|, |Н2|) = 1 і (|G1|, |G2|) = 1. Підгрупи Н = Н1 Н2 і G = G1 G2 групи GL(n, Q) (n1 = n1n2) спряжені тоді і тільки тоді, коли спряжені підгрупи Нj і Gj в групі GL(nj, Q) (j = 1, 2).

Теореми 4.3-5.3 зводять описання з точністю до спряженості мінімальних незвідних нільпотентних підгруп непарного порядку в GL(n, Q) до відповідного описання мінімальних незвідних матричних р-груп над полем Q.

Далі, використовуючи теорію індукованих зображень, доводяться дві теореми (теорема 6.3 та теорема 7.3). Сформулюємо наслідки з цих теорем, позначивши F = Q() (p= 1, 1, p - просте число).

Наслідок 6.3. Нехай Н - скінченна група порядку n. В групі GL(n, F) існує мінімальна незвідна підгрупа, яка ізоморфна розширенню елементарної абелевої р-групи з допомогою групи Н.

Наслідок 7.3. Нехай Н - група порядку рk. В групі GL((р - 1)рk, Q) існує мінімальна незвідна р-підгрупа, яка ізоморфна розширенню елементарної абелевої р-групи з допомогою групи Н.

Наслідок 8.3. Нехай Н - група порядку n. В групі GL(n, Q) існує мінімальна незвідна підгрупа, яка ізоморфна розширенню елементарної абелевої 2-групи з допомогою групи Н.

Далі розглядається питання про незвідні р-підгрупи групи GL(n, F) та мінімальні незвідні р-підгрупи групи GL(р2, F).

Нехай Н - мінімальна незвідна р-підгрупа в GL(n, F) і G = Wp(H) = H Cp

(Cp - циклічна група порядку р) - підгрупа в GL(nр, F). Тоді G - мінімальна незвідна р-підгрупа групи GL(nр, F).

Введемо наступні позначення для деяких елементів групи GL(р, F):

a0 = diag[, …, ] = E,

a1 = diag[1, , …, p - 1],

b - матриця циклу = (1 2 ... р) (або супровідна матриця многочлена хр - 1),

аj (j = 2, …, p - 1) - такі діагональні матриці, що b-1ajb = ajaj - 1,

= diag[, 1, …, 1] b - супровідна матриця многочлена хр - .

Нехай G - мінімальна незвідна р-підгрупа групи GL(р2, F). Нехай Н - нормальна індекса р підгрупа в групі G і G = Н, с (ср Н). За теоремою Кліфорда Н - звідна. Можливі два випадки: Н - однорідно звідна і Н - неоднорідно звідна.

1) Нехай G - мінімальна незвідна р-підгрупа групи GL(р2, F) і група G містить однорідно звідну нормальну підгрупу Н індекса р. Тоді з точністю до спряженості число таких груп G рівно 2р - 1 і дається описання цих груп.

2) Нехай Н - неоднорідно звідна, тоді мінімальна незвідна р-підгрупа групи GL(р2, F) є напівпрямим добутком елементарної абелевої групи порядку рр + 1 та циклічної групи порядку р2.

В дисертаційній роботі дається описання з точністю до ізоморфізму всіх мінімальних незвідних р-підгруп групи GL(р2, F). Нехай - супровідна матриця полінома Фр(х) поділу круга на р частин і Q() - ізоморфне полю F, поле матриць порядку р - 1. Замінивши елементи поля F на елементи поля Q(), ми одержимо описання мінімальних незвідних р-підгруп групи GL((р3), Q) ( - функція Ейлера).

В підрозділі 3.2 ”Про мінімальні незвідні розв'язні підгрупи повної лінійної групи над полем” знайдені деякі класи мінімальних незвідних розв'язних підгруп групи GL(pq, Q), де р і q (p > q) - прості числа і q ділить р - 1. У випадку, коли q не ділить р - 1, мінімальні незвідні розв'язні підгрупи групи GL(pq, Q) описані Д. О. Супруненко. Позначимо:

Z2 - поле з двох елементів;

- найбільше натуральне число таке, що q ділить р - 1;

m - показник, якому належить 2 за модулем р;

- найбільше невід'ємне ціле таке, що q ділить m;

- первісний корінь степеня q із одиниці за модулем р, вибраний так, що ;

T = a, b - група з твірними а та b і визначальними співвідношеннями:

ap = = 1, bab-1 = av;

Tj = a, bj = T (j = 0, 1, …, );

T + 1 = a1, …, aq, c (= … = ap = = 1, cajc-1 = aj + 1, caqc-1 = )

(будемо вважати, що група T міститься в групі T + 1; для цього покладемо a = a1 і b = cq).

Як випливає із результатів Т. І. Копилової, групи T1, ..., T + 1 ізоморфні мінімальним транзитивним розв'язним групам підстановок степеня pq. В даному підрозділі основним є наступний результат.

Нехай q ділить р - 1. Для кожної групи Tj (1 j + 1, - найбільше натуральне число таке, що q ділить р - 1) існують такий Z2Tj-модуль Vj і такий лінійний функціонал j: Vj Z2, що індекс стабілізатора Nj цього функціонала в групі Tj дорівнює pq. Нехай (Vj Tj) - напівпрямий добуток адитивної групи простору Vj та групи Tj і - зображення, яке індукується лінійним характером : Vj Nj 1; -1. Тоді група буде мінімальною незвідною розв'язною підгрупою групи GL(pq, Q).

Більш точніше результати про порядки мінімальних незвідних розв'язних підгруп приведено в таблиці.

N	, j
1	> 0; j = 1, …, , якщо j = 1, то р (d = - 1)	2mqjp
2 2a) 2b)	> 0; j = 1, р = (d = - 1) і q > 2 q = 2	22mqp 23mp
3	> 0, j = + t (t = 1, …, - )	2mrrp, де r = qj
4	j = + 1	2mkq + 1p, де k = q -

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі вивчаються силовські р-підгрупи повної лінійної групи над областями головних ідеалів характеристики нуль, а також над полями Q і Q() (p= 1, 1). Розв'язана задача про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, R) (n >1), якщо р - необоротне в області R головних ідеалів характеристики нуль. Одержано також ряд, залежних від р і R, достатніх умов ізоморфізму силовських р-підгруп групи GL(n, R). У випадку, коли кільце R цілих величин скінченного розширення поля р-адичних чисел містить первісний корінь степеня рn з одиниці, показується, що: 1) якщо р > 2 і n = 1, то в групі GL(p, R) міститься по крайній мірі (р - 2) незвідних силовських р-підгруп попарно різних порядків; 2) якщо р > 2, то в групі GL(р, R) існують абелеві силовські підгрупи типів (pn, p2), …, (pn, pn); 3) якщо р = 2 і n > 2, то в групі GL(2n - 1, R) існує абелева силовська 2-підгрупа типу (2n, 2n). Доводиться, що в групі GL(n, R) (n >1) над кільцем R всіх цілих алгебраїчних чисел існує нескінченно багато попарно неізоморфних силовських р-підгруп. Описуються з точністю до ізоморфізму незвідні силовські 2-підгрупи групи GL(2, Z) над деякими кільцями головних ідеалів Z. Також вивчаються мінімальні незвідні розв'язні підгрупи груп GL(n, Q) і GL(n, F), де F = Q() (p = 1, 1). Дається класифікація неспряжених мінімальних незвідних р-підгруп груп GL(р, F) і GL(р(р - 1), Q), а також мінімальних незвідних нільпотентних підгруп непарного порядку групи де р1, ..., рs - різні непарні прості числа, р1 < p2 < … < ps (rj 1, j = 0,1, …, s - 1). Описуються з точністю до ізоморфізму мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(р2, F) і GL(р2(р - 1), Q). Знаходяться деякі класи мінімальних незвідних розв'язних підгруп групи GL(pq, Q), де p і q - різні прості числа і q ділить р - 1.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гудивок П. М., Рудько В. П., Юрченко Н. В. О силовских р-подгруппах полной линейной группы над областями главных идеалов // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. - 2001. - С. 31-46.

2. Гудивок П. М., Рудько В. П., Юрченко Н. В. Про мінімальні незвідні підгрупи повної лінійної групи над полем // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. - 2003. - С. 28-42.

3. Юрченко Н. В. Про силовські 2-підгрупи групи GL(2, Z) // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. - 2004. - С. 110-112.

4. Рудько В. П., Юрченко Н. В. Про силовські підгрупи повної лінійної групи над кільцем // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. - 2005. - С. 111-120.

5. Рудько В. П., Юрченко Н. В. Про силовські 2-підгрупи повної лінійної групи над полем характеристики нуль // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. - 2006. - С. 128-136.

6. Юрченко Н. В. Про силовські р-підгрупи повної лінійної групи над кільцем всіх цілих алгебраїчних чисел // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. - 2006. - С. 136-143.

7. Юрченко Н. В. Про ізоморфізм силовських р-підгруп повних лінійних груп над деякими кільцями // Міжнар. алгебр. конф. Тези доп. - Ужгород, 2001. - С. 56.

8. Юрченко Н. В. Про мінімальні незвідні р-підгрупи повної лінійної групи над деякими полями // Матеріали Х міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. - К., 2004. - С. 558.

9. Юрченко Н. В. Про силовські підгрупи повної лінійної групи над кільцем // Матеріали ХІ міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. - К., 2006. - С. 664.

АНОТАЦІЇ

Юрченко Н. В. Про скінченні підгрупи повної лінійної групи над областями цілісності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

У роботі розв'язана задача про спряженість силовських р-підгруп повної лінійної групи над областю R головних ідеалів характеристики нуль, в якій просте число р - необоротне. Знайдені, залежні від р і R, достатні умови ізоморфізму силовських р-підгруп повної лінійної групи над кільцем R головних ідеалів характеристики нуль. Знайдені умови існування певного класу силовських р-підгруп в групі GL(р, R) у випадку, коли R - кільце цілих величин скінченного розширення поля р-адичних чисел містить первісний корінь степеня рn з одиниці. Доводиться існування нескінченно багато попарно неізоморфних силовських р-підгруп в GL(n, R) (n > 1) над кільцем R всіх цілих алгебраїчних чисел.

Описані мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(pr, Q()) (r 2) (p = 1, 1, p - просте число) і GL(рs(p - 1), Q) (s 2). Знайдені деякі класи мінімальних незвідних розв'язних підгруп групи GL(pq, Q), де p і q - прості числа (p > q), q ділить р - 1.

Ключові слова: повна лінійна група, силовські р-підгрупи, мінімальні незвідні р-підгрупи, мінімальні нільпотентні підгрупи, мінімальні розв'язні підгрупи.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

В диссертационной работе изучаются силовские р-подгруппы полной линейной группы над областями главных идеалов характеристики ноль, а также над полями Q и Q() (p= 1, 1). Решена задача о сопряженности силовских р-подгрупп группы GL(n, R) (n >1), если р - необратимо в области R главных идеалов c полем частных F характеристики ноль. Пусть - корень степени р из единицы, 1; dр = (F() : F); Рр - силовская р-подгруппа мультипликативной группы F()* поля F(). Показано, что при р > 2 силовские р-подгруппы группы GL(n, R) (n > 1) сопряжены тогда и только тогда, когда dр > 1 и выполняется одно из условий: 1) n < dр; 2) n = dр, |Pр| = p і R[] - кольцо главных идеалов.

...