Актуальные проблемы современной алгебры

Размещено на http://www.allbest.ru/

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

"ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. С.Л. СОБОЛЕВА" (ИМ СО РАН)

УДК 512

№ госрегистрации 01201067695

Инв. № 02201151976

ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ

В рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы по Государственному контракту от 20 сентября 2010 г. № 14.740.11.0346

Шифр заявки "2010-1.1-111-128-010"

по теме: "Актуальные проблемы современной алгебры"

Наименование этапа: "Проведение исследований"

(промежуточный, этап № 3)

Руководитель НИР, д.ф.-м.н.

Е.П. Вдовин

Новосибирск - 2011

Список исполнителей

Руководитель темы д.ф.-м.н. Вдовин Е.П. (раздел 1.5)

Исполнители темы:

Советник РАН, д.ф.-м.н., академик РАН Ершов Ю.Л. (раздел 1.1)

зав. отделом алгебры ИМ СО РАН, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН Мазуров В.Д. (раздел 1.3)

г.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. Васильев А.В. (раздел 1.3)

г.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. Желябин В.Н. (раздел 1.1, раздел 1.4)

г.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. Романовский Н.С. (раздел 1.4)

в.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. Бардаков В.Г. (раздел 1.4)

в.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. Заварницин А.В. (раздел 1.4)

Зав. лаб. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. Колесников П.С. (раздел 1.1)

в.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. Ревин Д.О. (раздел 1.2, раздел 1.5)

с. н.с. ИМ СО РАН, к.ф.-м.н. Гречкосеева М.А. (раздел 1.2)

с. н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. Пожидаев А.П. (раздел 1.1)

с. н.с. ИМ СО РАН, к.ф. -м.н. Чуркин В.А. (раздел 1.4)

н.с. ИМ СО РАН, к.ф. -м.н. Бутурлакин А.А. (раздел 1.2) н.с.

ИМ СО РАН, к.ф.-м.н. Мамонтов А.С. (реферат, раздел 1.3)

н.с. ИМ СО РАН, к.ф. -м.н. Гончаров М.Е. (раздел 1.1, раздел 1.4)

н.с. ИМ СО РАН, к.ф. -м.н. Кайгородов И.Б. (подготовка, раздел 1.1)

н.с. ИМ СО РАН, к.ф. -м.н. Дудкин Ф.А. (раздел 1.3)

Преподаватель СУНЦ НГУ, к.ф. -м.н. Гальт А.А. (подготовка)

Студент НГУ Губарев В.Ю. (раздел 1.1)

Студент НГУ Воронин В.Ю. (раздел 1.1)

Студент НГУ Руденко А.С. (раздел 1.1)

Студент НГУ Захаров А.С. (раздел 1.1)

Студент НГУ Лыткин Д.В. (раздел 1.2)

Студент НГУ Курмазов Р.К. (раздел 1.3)

Нормоконтролер: Волков Ю.С.

Содержание

Реферат

Введение

1. Проведение исследований

1.1 Изучение биалгебр

1.2 Исследования в конечных лиевых группах

1.3 Исследования в конечных нелиевых группах

1.4 Исследования квантований алгебр

1.5 Адаптация полученных результатов в области современной алгебры к использованиям в дальнейших разработках

2. Показатели

Заключение

Список использованных источников

Приложение A. Список публикаций исполнителей

Приложение Б. Список сделанных исполнителями докладов

Реферат

Отчет, 67с., 2 прил.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: КОНЕЧНАЯ ГРУППА; ЙОРДОНОВА СУПЕРАЛГЕБРА; СТРУКТУРИЗУЕМАЯ СУПЕРАЛГЕБРА; КОНФОРМНАЯ АЛГЕБРА; КОАЛГЕБРА; ДИАЛГЕБРА; БИАЛГЕБРА; ЖЕСТКАЯ ГРУППА.

Объектами исследования являются фундаментальные проблемы в следующих направлениях современной алгебры: теория неассоциативных алгебр, теория конечных групп и алгебраическая геометрия.

Выполнение НИР в целом направлено на проведение фундаментальных исследований в области современной алгебры, с целью получения научных результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов.

Частными целями проведения работ являются:

Выявление более глубоких взаимосвязей между современными аспектами алгебры и изучение особенностей возникающих проблем. Привлечение студентов и аспирантов к научно-исследовательской работе, что позволит: воспитать у студентов математическую культуру, необходимые интуицию и эрудицию в вопросах приложения математики; развить системное мышление; познакомить с ролью теоретической и прикладной математики в современной жизни; выработать навыки математического исследования, интерпретации результатов исследования и оценки точности полученного решения; выработать навыки доведения решения до практически приемлемого результата - числа, графика, точного качественного вывода с применением для этого современных компьютерных технологий; выработать умение самостоятельно работать со специальной математической литературой, получать и осознанно применять полученные знания; сформировать стиль мышления, необходимый для успешного использования компьютерных и информационных технологий при исследовании прикладных задач.

В ходе выполнения 3 этапа получены следующие результаты:

Описаны простые ассоциативные Z-конформных алгебры, построены свободные ассоциативных Z-конформных алгебры;

Решен вопрос о существовании универсальной обёртывающей алгебры Рота-Бакстера произвольного веса л для любой дендриформных диалгебры и триалгебры;

Описаны все простые группы, графы простых чисел которых совпадают с графами простых чисел групп Фробениуса и удвоенных групп Фробениуса;

Показано, что структуры Рота-Бакстера веса 0 находятся во взаимно однозначном соответствии с тройками Рота-Бакстера;

Описаны холловы подгруппы в конечных простых группах;

Описаны д-дифференцирования простых алгебр Филиппова и алгебр Филиппова малых размерностей;

Доказан аналог теоремы Михаэлиса для альтернативных биалгебр;

Описана групповая структура абстрактного соизмерителя групп Баумслага-Солитера.

В результате исследований получены новые фундаментальные результаты мирового уровня, которые вошли в дипломные и курсовые работы исполнителей, доложены на различных научных форумах, опубликованы в статьях и внедряются в учебный процесс Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН и Новосибирского государственного университета.

Введение

Выполнение НИР направлено на проведение фундаментальных исследований в области современной алгебры, с целью получения научных результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов.

В состав разрабатываемой научной продукции входят математические модели задач; алгоритмы и методы решения поставленных задач; публикации результатов исследований в отечественных и зарубежных изданиях; диссертации; отчет о НИР, содержащий обоснование развиваемых направлений исследований, изложение методик проведения исследований, а также описание полученных результатов.

Как уже отмечено выше, результаты исследований носят фундаментальный характер и могут быть востребованы во многих сферах научной деятельности. Например, при проведении современных исследований в области теории колец и теории групп, в частности в теории супералгебр, теории диалгебр, теории биалгебр, теории конечных групп, алгебраической геометрии и в других областях.

Результаты исследований вошли в курсовые и дипломные работы исполнителей, были востребованы в процессе подготовки научных публикаций и при подготовке докладов на международных конференциях.

Результаты НИР внедряются в образовательный процесс: при чтении математических курсов для студентов старших курсов и аспирантов; при проведении курсов повышения квалификации молодых преподавателей НГУ и научных сотрудников ИМ СО РАН, а также, при проведении специальных семинаров по современным разделам математики в Новосибирском Государственном университете и Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Результаты подтверждены публикациями в высокорейтинговых реферируемых научных журналах по математике, а также выступлениями на российских и международных конференциях по тематике НИР.

Хотя исследования 3 этапа являются заделом для всей НИР, исполнителями уже получен ряд результатов мирового уровня. Получены новые фундаментальные результаты, найдены новые подходы, разработаны новые алгоритмы, найдены новые приложения, опубликованы новые научные статьи, защищены диссертации и дипломные работы, и осуществляется внедрение результатов в учебный процесс.

1. Проведение исследований

1.1 Изучение биалгебр

Дуальным понятием алгебры над полем является понятие коалгебры. Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на которых задана операция умножения, согласованная, в определенном смысле, с коумножением. Такие объекты называются биалгебрами. В ассоциативном случае, например, коумножение - это гомоморфизм соответствующих алгебр. Примерами ассоциативных биалгебр служат алгебры Хопфа. Возросший интерес к алгебрам Хопфа мотивирован квантовым методом обратной задачи, методом построения и изучения интегрируемых квантовых систем. Алгебры Хопфа тесно связаны с такими объектами как биалгебры Ли. Последние были введены Дринфельдом [1]в 1983 году для изучения решений классического уравнения Янга-Бакстера. Основополагающий вклад в развитие этой теории был внесен Л. Фаддевым и его школой. Здесь следует отметить работы А.А. Белавина, В.Г. Дринфельда [2], в которых были построены решения классических уравнений Янга-Бакстера для простых алгебр Ли, а также работы Гельфанда И.М., Чередника И. В, Дорфмана И.Я., Семенова-Тян-Шанского М.А. Среди биалгебр Ли особую роль играют треугольные и квазитреугольные биалгебры Ли. Именно эти биалгебры связаны с классическим и модифицированным уравнениями Янга-Бакстера. В работах Алексеевского Д. и Столина А. [3] были описаны полупростые алгебры Ли, на которых задана нетривиальная структура биалгебры Ли. Коалгебры Ли были введены Михаэлисом в [4].

В работах Желябина [5], [6] дано определение биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга-Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением. Одним из условий ассоциативных Д-биалгебр является то, что коумножение - это дифференцирование исходной алгебры в ее тензорный квадрат, рассмотренный как бимодуль над исходной алгеброй. Такие биалгебры были введены Джони и Рота в [7]. Их систематическое изучение было проведено Агуиро в [8]. В последней работе были изучены некоторые свойства решений ассоциативного аналога уравнения Янга-Бакстера и свойства сбалансированных биалгебр (другое название ассоциативных Д-биалгебр). Ассоциативные классические уравнения Янга-Бакстера с параметрами рассматривались в работе Полищука [9]. Желябиным В.Н. была установлена связь между йордановыми коалгебрами и коалгебрами Ли. Класс йордановых Д-биалгебр, связанный с йордановым аналогом уравнения Янга-Бакстера, был определен в [10], где было доказано, что всякая конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая полупроста как алгебра, принадлежит этому классу. В работе [11] изучались альтернативные Д-биалгебры и их связь с альтернативным уравнением Янга-Бакстера. В частности, были получены необходимые и достаточные условия в терминах коумножения для того, чтобы пара (A,?) была альтернативной Д-биалгеброй. Вместе с этим, в той же работе вводится класс биалгебр, связанных с уравнением Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах. Показано, что биалгебры этого класса являются альтернативными Д-биалгебрами. Также в работе были описаны структура альтернативной Д-биалгебры, заданные на матричной алгебре Кэли-Диксона. В работе [5] была установлена связь йордановых Д-биалгебр с биалгебрами Ли. В частности, было доказано, что если алгебра L(J), полученная по конструкции Кантора-Кехера-Титса (ККТ) из йордановой алгебры J, допускает структуру биалгебры Ли, то при некоторых естественных ограничениях алгебра J допускает структуру йордановой Д-биалгебры. Там же было доказано, что если (A(+), ?(+)) является присоединенной йордановой Д-биалгеброй для ассоциативной Д-биалгебры (A,?), то на алгебре L(A(+)) можно задать структуру биалгебры Ли, связанную, в некотором смысле, с биалгеброй (A(+),?(+)). В [12] доказывается аналог данного утверждения в случае, когда A - матричная алгебра Кэли - Диксона, а пара (A,?) - альтернативная Д-биалгебра. Вместе с этим в той же работе строится пример альтернативной Д-биалгебры (A,?), для которой структуру присоединенной йордановой Д-биалгебры (A(+),?(+)) нельзя продлить до структуры биалгебры Ли на алгебре L(A(+)).

Алгебры Мальцева были введены А.И. Мальцевым как касательные алгебры локальных аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита. Важным примером нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с нулевым следом алгебры Кэли-Диксона относительно операции коммутирования в качестве умножения. В [13] изучались некоторые свойства биалгебр Мальцева, в частности здесь были условия на коуножения при которых данная биалгебра является биалгеброй Мальцева. В работе рассматривался аналог классического уравнения Янга-Бакстера на алгебре Мальцева. В частности. было показано, что любое решение этого уравнения индуцирует на алгебре Мальцева структуру биалгебры Мальцева. Описываются структуры биалгебры Мальцева на простой семимерной нелиевой алгебре Мальцева над алгебраически замкнутым полем.

Хорошо известна конструкция, сопоставляющая произвольной алгебре ее дуальную коалгебру. Для алгебр Хопфа известно, что дуальная коалгебра H° алгебры Хопфа H является алгеброй Хопфа [14]. В работе [4] для любой алгебры Ли была построена конструкция ее дуальной коалгебры. В [15] было доказано, что дуальная коалгебра исходной биалгебры Ли является биалгеброй Ли. Дуальные коалгебры для йордановых биалгебр изучались В.Н. Желябиным. В работе [16] аналог теоремы Михаэлиса был доказан для почти нётеровых йордановых алгебр. Вместе с этим в той же статье строится пример йордановой Д-биалгебры, дуальная коалгебра которой не является подалгеброй в дуальной алгебре. В данной работе доказывается аналог теоремы Михаэлиса для альтернативных и ассоциативных Д-биалгебр.

Определение. Пара (A,?), где A - линейное пространство над F, а ?: A> A?A - линейное отображение, называется коалгеброй. При этом отображение ? называется коумножением.

Для элемента a?A будем использовать обозначение

?(a)=?a(1)?a(2).

На пространстве A* всех линейных функционалов, заданных на пространстве A определим умножение, полагая

fg(a)=?f(a(1))g(a(2))

f,g?A*,a?A и

?(a)=?a(1)?a(2).

Полученная алгебра называется дуальной алгеброй коалгебры (A,?).

Дуальная алгебра A* коалгебры (A,?) задаёт бимодульное действие Ч на A, которое определяется следующим образом:

fЧa=?f(a(2))a(1) и a?f=?f(a(1))a(2),

f?A* и ?(a)=?a(1)?a(2).

В работе [17] дано следующее определение коалгебры, связанное с некоторым многообразием алгебр.

Определение. Пусть M - произвольное многообразие алгебр. Тогда пара (A,?) называется M-коалгеброй, если дуальная алгебра A* принадлежит многообразию M.

Пусть теперь A - произвольная алгебра, на которой задано коумножение ? и A* - дуальная алгебра коалгебры (A,?). Алгебра A задаёт бимодульное действие * на пространстве A*, определенное формулой

f*a(b)= f(ab) и b*f(a)=f(ab).

Рассмотрим пространство

D(A)=AЕA*

и зададим на нём умножение, полагая

(a+f)*(b+g)=(ab+fЧb+aЧg)+(fg+f*b+a*g).

Тогда D(A) является обычной алгеброй над полем F, а A и A* - подалгебры в D(A). Алгебру D(A) будем называть дублем Дринфельда.

В работе [5] дано следующее определение биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр.

Определение. Пусть M - произвольное многообразие F-алгебр и A - алгебра из M, на которой дополнительно задано коумножение ?. Тогда пару (A,?) будем называть M-биалгеброй по Дринфельду, если алгебра D(A) принадлежит многообразию M.

Алгебра A называется альтернативной, если для любых x,y?A в ней выполняются следующие тождества: (x,x,y)=0 и (y,x,x)=0, где (x,y,z)=(xy)z-x(yz) - ассоциатор элементов x,y,z. Пусть A - алгебра над полем F с умножением m: A?A>A, т.е.

m(a?b)=ab

для любых a,b?A. Тогда имеем сопряженное к m линейное отображение m*: A*>(A?A)*. Подпространство V из A* называется хорошим, если

m*(V)НV*?V*).

На пространстве V зададим коумножение ? V: V>V?V, полагая

?(v)=?v(1)?v(2), если

m*(v)=?v(1)?v(2).

Поскольку вложение пространства V*?V* в (V?V)* инъективно, то коумножение ? определено корректно. Пусть теперь A° - сумма всех хороших подпространств из A*. Тогда A° - наибольшее хорошее подпространство и поэтому A° - коалгебра с коумножением ?° (см. [4, 17]). Коалгебра (A°,?°) называется дуальной коалгеброй для алгебры A. Для любых a,b?A и любого f?A° имеет место

f(m(a?b))=?f(1)(a)f(2)(b),

?°(f)=?f(1)?f_(2).

Утверждение 1 ([17]). Пусть A - алгебра над полем F и S - подпространство из A*. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) Подпространство S - хорошее.

(ii) Подпространство S - A-подбимодуль A-бимодуля A* такой, что для любого f?S подпространства f*A и A*f являются конечномерными.

В рамках НИР доказаны следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть пара (A,?) - альтернативная Д-биалгебра над полем характеристики не равной 2, A* - дуальная алгебра коалгебры (A,?) и (A°,?°) - дуальная коалгебра алгебры A. Тогда A° - подалгебра алгебры A*, а пара (A°,?°) - альтернативная Д-биалгебра.

Теорема 2. Пусть пара (A,?) - ассоциативная Д-биалгебра, A* - дуальная алгебра коалгебры (A,?) и (A°,?°) - дуальная коалгебра алгебры A. Тогда A° - подалгебра алгебры A*, а пара (A°,?°) - альтернативная Д-биалгебра.

Отметим, что теоремы 1 и 2 являются аналогами ассоциативными и альтернативными аналогами известных результатов из [16].

Понятие конформной алгебры, предложенное в книге [18], является инструментом исследования алгебр вертексных операторов (вертексных алгебр). Последние возникли как формальный язык для описания алгебраических свойств операторного разложения произведений (operator product expansion, OPE) в двумерной конформной теории поля, начало которой положено в работе [19]. Строгое математическое изложение соответствующей теории было впервые предложено в [20] и впоследствии развито в работах различных авторов (см., например, [21, 22]). В настоящее время теория алгебр вертексных операторов является одной из наиболее активно развивающихся областей теории представлений и математической физики.

Понятие Г-конформной алгебры (точнее, Г-конформной алгебры Ли) впервые возникло в работе [23] для аксиоматического описания OPE киральных полей с простыми полюсами в конечном числе точек или, что тоже самое, как q-деформация классического OPE, используемого в определении конформных алгебр.

В работе [24] было введено общее понятие конформной алгебры над линейной алгебраической группой G, включающий в себя класс обычных алгебр над полем (при G={e}), конформные алгебры (при G @ <k,+>, где k Ї поле характеристики 0). Класс же рассматриваемых в данной работе Z-конформных алгебр соответствует случаю G=<k*,·>. С другой стороны, понятие конформной алгебры над G эквивалентно понятию псевдоалгебры [25] над H, где

H=k [G]

- алгебра Хопфа регулярных функций на G.

В данной работе показывается эквивалентность подходов Каца и Колесникова к определению понятия Z-конформных алгебр. Вводятся основные понятия для Z-конформных алгебр, такие, как идеал, (полу)простота, конечномерность (или конечный тип), функция локальности. Показывается, что категория Z-конформных алгебр эквивалентна категории обычных алгебр с так называемым локальным автоморфизмом. Соответственно можно рассматривать Z-конформные алгебры произвольного многообразия Var.

Для произвольного многообразия Var Z-конформных алгебр было показано, что вопрос о поиске свободных объектов сводится к описанию некоторых свободных мономиальных алгебр многообразия Var. Для произвольной Z-конформной алгебры была установлена её локальная конечномерность над H.

В многообразиях ассоциативных, альтернативных и лиевых Z-конформных алгебр доказывается аналог классической леммы Донга для вертексных алгебр.

Приводится пример однопорождённой альтернативной Z-конформной алгебры, не являющейся ассоциативной, что доказывает, что аналог теоремы Артина для Z-конформных алгебр не выполнен.

Было показано, что любая лиева Z-конформная алгебра ранга 1 над H является абелевой. Тем самым аналог простой одномерной как модуль конформной алгебры Вирасоро в классе лиевых Z-конформных алгебр отсутствует.

Для ассоциативных Z-конформных алгебр был получен важный структурный результат: были описаны все простые объекты конечного типа, это в точности получаются алгебры петель от матричных алгебр. В классе ассоциативных Z-конформных алгебр были построены свободные объекты.

1.2 Исследования в конечных лиевых группах

Понятие группы, возникшее на стыке XVIII-XIX веков из работ Лагранжа, Руффини, Абеля и Галуа, явилось обобщением фундаментальных свойств симметрии, роль которой в науке общеизвестна. Это понятие оказалось чрезвычайно плодотворным благодаря с одной стороны формальной простоте, а с другой - универсальности. Последняя состоит в том, что с любым реальным или мыслимым объектом можно связать группу его "симметрий", т.е. некоторых обратимых преобразований, оставляющих данный объект инвариантным или, по крайней мере, сохраняющих какие-либо его свойства. Многие разделы математики и естествознания используют язык теории групп в качестве рабочего, а некоторые важные и сложные проблемы даже получили благодаря переходу на этот язык исчерпывающее решение (теория Галуа, теория Вессио-Пикара, классификация Федорова и т. д.). Одной из фундаментальных задач теории групп является изучение подгруппового строения данной группы. Важным является случай, когда группа конечна, т. е. содержит конечное число элементов. Это число, называемое порядком группы, является ее естественной арифметической характеристикой и определяет многие ее свойства. Область теории групп, изучающая группы конечного порядка, является старейшей и продолжает бурно развиваться. В этой области исторически, пожалуй, самым первым значимым результатом стала теорема Лагранжа, утверждающая, что порядок |G| конечной группы G делится на порядок любой подгруппы. Это несложное утверждение имеет исключительное значение и во многом определяет проблематику теории конечных групп. Теорема Лагранжа демонстрирует, насколько сильно порядок группы определяет ее подгрупповое строение. Например, оказывается, что группа простого порядка циклическая и не содержит никаких собственных нетривиальных подгрупп. Обращение теоремы Лагранжа неверно: в общем случае не для всякого делителя m числа |G| в группе G найдется подгруппа порядка m. Скажем, A₄, знакопеременная группа степени 4, имеющая порядок 12, не имеет подгрупп порядка 6. Тем более удивительной является следующая теорема, доказанная в 1872 году норвежским математиком Л. Силовом [26]:

Теорема. Пусть порядок конечной группы G равен p^am, где число p простое, а m не делится на p. Тогда справедливы следующие утверждения.

(1) Группа G содержит по крайней мере одну подгруппу порядка p^a (т. н. силовскую p-подгруппу).

(2) Любые две силовские p-подгруппы сопряжены.

(3) Всякая p-подгруппа группы G (т.е. подгруппа, у которой порядок является степенью числа p) содержится в некоторой силовской p-подгруппе.

Таким образом, оказывается, что для некоторых делителей порядка группы обращение теоремы Лагранжа, все же, имеет место. Более того, оказывается, что строение и свойства любой p-подгруппы во многом определяются строением и свойствами одной-единственной силовской p-подгруппы. Значение теоремы Силова трудно переоценить. По мнению специалистов [27-29] она является краеугольным камнем теории конечных групп. Уже в первом издании (Имеется ввиду издание 1897 года. В списке литературы приведена ссылка на второе издание 1911 года этой книги) классической книги У. Бернсайда [30] теореме Силова и ее многочисленным приложениям посвящена целая глава. Эта теорема неоднократно обобщалась различными авторами, в том числе и на бесконечные группы. В теории конечных групп получение теорем силовского типа сформировалось в большое самостоятельное направление, берущее свое начало в работах знаменитого английского математика Ф. Холла и нашего выдающегося соотечественника С.А. Чунихина [31-33]. Как ни странно, теорема Холла, первое из таких обобщений, появилась лишь 1928 году [32], т.е. спустя более, чем 50 лет после работы Л. Силова. Это была первая опубликованная работа по теории групп молодого Ф. Холла. До этого он занимался математической статистикой под руководством К. Пирсона. В 1927 году Ф. Холл, еще в студенческие годы увлекавшийся группами и изучавший их по книге У. Бернсайда [30], написал Бернсайду письмо с просьбой изложить наиболее важные открытые вопросы теории групп. Тот ответил, прислав список проблем, и вскоре после этого умер. Несмотря на то, что они никогда не встречались, Холл считал Бернсайда своим учителем и всю жизнь испытывал его влияние. Работа [32], видимо, была посвящена решению проблемы из списка Бернсайда (см. [33,34]). Идея Ф. Холла состояла в том, чтобы вместо силовских p-подгрупп рассматривать более общий объект - S_п-подгруппы или, как их впоследствии стали называть, холловы п-подгруппы. Напомним определение. Пусть п - некоторое множество простых чисел. Символом п' будем обозначать множество тех простых чисел, которые не принадлежат п. Для натурального числа n через п(n) обозначим множество его простых делителей, а для конечной группы G через п(G) - множество п(|G|). Натуральное число n, для которого п(n) содержится в п, называется п-числом, а группа G, для которой п(G) содержится в п, называется п-группой. Подгруппа H конечной группы G называется холловой п-подгруппой, если п(H) - подмножество в п и п(|G:H|) - подмножество в п'. Таким образом, если п состоит из одного простого числа p, то холлова п-подгруппа - это, в точности, силовская п-подгруппа. Холлова подгруппа - это холлова п-подгруппа для некоторого множества п. Ф. Холл [32] доказал следующую теорему.

Теорема. Пусть конечная группа G разрешима. Тогда для любого множества п простых чисел справедливы следующие утверждения.

(1) Группа G содержит по крайней мере одну холлову п-подгруппу.

(2) Любые две холловы п-подгруппы сопряжены.

(3) Всякая п-подгруппа группы G содержится в некоторой холловой п-подгруппе.

Легко видеть, что эта теорема представляет собой полный аналог теоремы Силова для п-подгрупп разрешимых конечных групп. Она и найденные с ее помощью сведения о конечных разрешимых группах на многие годы предопределили развитие теории разрешимых групп (см. [35]). Вместе с тем, для неразрешимых групп теорема Холла, вообще говоря, неверна. Так для многих п существуют примеры групп, не обладающих холловыми п-подгруппами. Скажем, группа A₅ не содержит холловых {3,5}-подгрупп. Есть примеры групп с несопряжёнными холловыми п-подгруппами, а также групп, в которых имеются п-подгруппы, не лежащие в холловых п-подгруппах. Так, группа GL(3,2) содержит ровно два класса сопряженных холловых {2,3}-подгрупп. В группе A₅ все холловы {2,3}-подгруппы сопряжены и изоморфны A₄, но есть также подгруппа подгруппа порядка 6, изоморфная S₃, а в A₄ нет подгрупп порядка 6. Более того, в 30-е годы Ф. Холл [33] и независимо С.А. Чунихин [31], используя теорему У. Бернсайда о разрешимости групп порядка p^aq^b для простых чисел p и q, доказали, что если конечная группа G содержит холлову p'-подгруппу для любого простого числа p, то группа G разрешима. Любопытно, что исследование возможных аналогов теоремы Силова для п-подгрупп в неразрешимых группах первоначально воспринималось скептически. Л.А. Шеметков [36] пишет: "В то далекое время многим казалось, что изучение холловых подгрупп в неразрешимых конечных группах не имеет перспективы. В этом как-будто бы убеждал и тот факт, что конечная группа оказывается разрешимой, если она обладает холловыми подгруппами любого возможного порядка... Но С.А. Чунихин думал иначе. Его основная идея состояла в том, что надо искать связь между подгрупповой структурой конечной группы и подгрупповой структурой ее главных и композиционных факторов. Работая в нелегкие сороковые-пятидесятые годы XX века в сибирском городе Томске, он выполнил серию работ, посвященных п-свойствам и, в частности, силовскими свойствам конечных групп." Поясним идею С.А. Чунихина. Предположим, что множество п фиксировано. Тогда, как видно из рассмотренных выше примеров, ни существование, ни сопряженность холловых п-подгрупп, вообще говоря, не означают, что группа разрешима. Более того, даже полный аналог теоремы Силова для п-подгрупп не влечет разрешимость группы, поскольку он выполнен, скажем, для любой п- или п'-группы. Поэтому весьма нетривиальной представляется следующая проблема, восходящая к С.А. Чунихину (в дальнейшем мы уточним ее формулировку).

Проблема 1*. Пусть заданы множество простых чисел п и конечная группа G. Имеет ли место аналог теоремы Силова для п-подгрупп группы G?

Легко показать, что если H - холлова п-подгруппа конечной группы G, то пересечение подгрупп H и A и факторгруппа HA/A будут п-холловыми подгруппами групп A и G/A соответственно для любой нормальной подгруппы A группы G. Следовательно, если конечная группа обладает холловой п-подгруппой, то такими подгруппами обладают и все факторы любого ее (суб)нормального ряда. Можно предположить существование обратной связи, которая позволит по п-свойствам факторов некоторого субнормального ряда получать для конечной группы аналоги теоремы Силова. Это предположение оказывается исключительно плодотворным. С его помощью С.А. Чунихин открыл многие аналоги теоремы Силова для п-подгрупп. Он рассматривал для этого группы, у которых такие аналоги справедливы для секций некоторого субнормального ряда, и мы будем называть в дальнейшем такой способ получения аналогов теоремы Силова методом Чунихина.

Двигаясь в этом направлении, он доказал, в частности, один из самых элегантных и полезных результатов о холловых подгруппах - теорему о замкнутости относительно расширений класса конечных групп, в которых холловы п-подгруппы существуют и сопряжены. С.А. Чунихину принадлежит также, в числе многих других результатов о холловых подгруппах [28,31], обобщение теоремы Холла на случаи т.н. п-разрешимых и п-отделимых групп, именно им впервые введенных в рассмотрение. Отметим, что понятие п-разрешимой группы оказалось чрезвычайно плодотворным. Во многом благодаря знакомству Холла с работами С.А. Чунихина стало возможным появление классической статьи Ф. Холла и Г.~Хигмэна [37], в которой посредством изучения p-разрешимых групп ослабленная проблема Бернсайда сводилась к случаю групп примарной экспоненты. и которая сыграла важную роль в решении этой знаменитой проблемы [38-40]. Введенные С.А. Чунихиным понятия и полученные им результаты неоднократно обобщались и на некоторые классы бесконечных группы (отметим в связи с этим работы П.А. Гольберга [41] и М.И. Каргаполова [42]). В 50-е годы результаты и идеи Чунихина получили распространение и признание как у нас в стране, так и во всем мире, что привело к невиданному росту интереса к данной тематике (см., например, [29, 35, 36, 41-89]). Изучением проблемы 1* в том или ином аспекте занимались, помимо Ф. Холла и С.А. Чунихина, такие ученые, как Л.С. Казарин [45,46], В.Д. Мазуров [47,90], Л.А. Шеметков [35,36,55-60], Р. Бэр [65], Ф. Гросс [67-71,74], Б. Хартли [80,29], Н. Ито [82], Дж. Томпсон [85], Х. Виландт [86-88], Г. Цаппа [89] и многие другие. Эта проблематика вызывает живой интерес и сегодня. Упомянем в этой связи доклад китайского математика Го Вэньбиня на недавней конференции в Красноярске [78]. К сожалению, мы не имеем возможности здесь должным образом осветить все полученные результаты и отсылаем заинтересованного читателя к обзорам А.И. Кострикина, С.А. Чунихина и Л.А. Шеметкова [91,54,35]. Подробное изложение некоторых результатов и сведения исторического характера можно найти в монографиях С.А. Чунихина, Л.А. Шеметкова и М. Судзуки [28,61,83]. Более современные обзоры имеются у Б. Хартли [29] и в монографии К. Дёрка и Т. Хоукса. Ограничимся лишь освещением некоторых результатов.

Важным этапом в формировании данного направления исследований стали работы выдающегося немецкого математика Х. Виландта [86] и Ф. Холла [81]. Виландт, по сравнению с С.А. Чунихиным, подошел к изучению проблемы 1* с несколько иных позиций, ничего не предполагая о факторах группы, а наложив ограничение на строение холловой п-подгруппы. Известно, что p-группа всегда нильпотентна. Но нильпотентность всех п-подгрупп данной группы еще не гарантирует справедливость для них аналога теоремы Силова. Это показывает пример группы A₅, в которой нет холловых {3,5}-подгрупп, хотя все {3,5}-подгруппы нильпотентны. Результат Х. Виландта состоит в том, что из существования нильпотентной холловой п-подгруппы вытекает сопряженность всех холловых п-подгрупп и вложимость произвольной п-подгруппы в холлову. Ф. Холл опубликовал в 1956 году ставшую классической статью [81]. Эта работа стала последней работой Холла, посвященной конечным группам. Вместе с вышедшей месяцем ранее статьей Ф. Холла и Г. Хигмэна [37] она оказала глубокое влияние на выдающиеся успехи теории конечных групп в 60-х годах и, в частности, на научное творчество Дж. Томпсона (см. подробности в [33]). В ней, помимо обзора результатов С.А. Чунихина и Х. Виландта, Холл получил ряд новых важных теорем (о некоторых из них мы скажем чуть ниже), а также ввел удобные обозначения E_п, C_п и D_п, которые стали общепринятыми и которыми мы будем пользоваться. алгебра лиевая квантование теория

Будем говорить, что группа G обладает свойством E_п, если в G имеется холлова п-подгруппа. Если при этом любые две холловы п-подгруппы сопряжены, то будем говорить, что группа G обладает свойством C_п. Если, к тому же, любая п-подгруппа группы G содержится в некоторой холловой п-подгруппе, то будем говорить, что G обладает свойством D_п. Группу со свойством E_п, C_п и D_п будем называть также E_п, C_п и D_п- группой. Таким образом, наличие свойства D_п означает справедливость полного аналога теоремы Силова для п-подгрупп, а свойства E_п и C_п обобщают на п-подгруппы пункты (1) и (2) заключения этой теоремы. Сама теорема Силова в этих обозначениях звучит так. Для любого простого числа p всякая конечная группа обладает свойством D_п. Первые результаты Холла и Чунихина можно объединить в следующее утверждение.

Утверждение. Для любой конечной группы G эквивалентны утверждения:

(1) группа G разрешима;

(2) группа G обладает свойством D_п для любого множества простых чисел п;

(3) группа G обладает свойством E_p' для любого простого числа p.

Упомянутая выше теорема Чунихина формулируется так (отметим, что в такой формулировке теорема Чунихина использует теорему Фейта-Томпсона о разрешимости конечных групп нечетного порядка). Расширение C_п-группы с помощью C_п-группы является C_п-группой. Особое значение имеет изучение D_п-групп, поскольку в таких группах строение произвольной п-подгруппы определяется строением одной-единственной холловой п-подгруппы. И проблему 1* в дальнейшем мы будем рассматривать в следующей интерпретации.

Проблема 1. Пусть заданы множество простых чисел п и конечная группа G. Обладает ли группа G свойством D_п?

Комбинируя результат Виландта и метод Чунихина, в качестве основного результата упомянутой работы [81] Ф. Холл доказал теорему, которую можно сформулировать в следующем виде (теорема Холла D5)

Расширение D_п-группы A, обладающей нильпотентной холловой п-подгруппой, с помощью D_п-группы B, обладающей разрешимой холловой п-подгруппой, является п-группой.

Сразу же возник вопрос, нельзя ли в этой теореме отказаться от ограничений на строение холловых подгрупп, дав, тем самым, методу Чунихина построения новых D_п-групп из уже известных общее теоретическое обоснование. Возникла, таким образом,

Проблема 2. Всегда ли расширение D_п-группы A с помощью D_п-группы B будет D_п-группой?

Хотя эта проблема восходит к теореме D5 Холла [81] и является прямым обобщением последней, ее можно рассматривать также и как аналог теоремы Чунихина для D_п-групп.

Впервые проблема 2 была озвучена Х. Виландтом в часовом обзорном докладе на XIII Международном математическом конгрессе в Эдинбурге в 1958 году [44]. На протяжении пятидесяти лет она привлекала внимание многих ученых. Она отмечена в обзорах [54,35], монографиях Л.А. Шеметкова [проблема 22, 61] и М. Судзуки [83] и записана Л.А. Шеметковым в Коуровскую тетрадь (вопрос 3.62 из [92]). Сам Л.А. Шеметков внес в изучение этого вопроса фундаментальный вклад. Он решил [58] проблему 2 в случае, когда силовские p-подгруппы группы A являются циклическими для всех p из п и получил [55-57,59,60] ряд других важных результатов, которые нашли свое отражение в его известной монографии [61]. Более позднее обсуждение результатов, связанных с этой проблемой, имеется в [36]. Не будет преувеличением сказать, что Л.А. Шеметков "выжал" из проблемы 2 все, что можно было сделать без использования классификации конечных простых групп (см. лемму 18.3 и теор. 18.14 из [61]). В 1971 году Б. Хартли [80] показал, что условие разрешимости холловой п-подгруппы группы B в теореме Холла D5 можно опустить, если предполагать, что для всех композиционных факторов группы A выполнена гипотеза Шрайера о разрешимости группы внешних автоморфизмов. Как отмечает сам Хартли [29], ранее этот результат без доказательства был отмечен Х. Виландтом, а впоследствии Хартли его переоткрыл. Таким образом, задолго до объявления о классификации, Виландт и Хартли применяли к изучению проблемы 2 теорию простых групп. Впервые результаты классификации конечных простых групп для исследования этого вопроса использовал в 1981 году Л.С. Казарин [45], существенно усилив результаты Л.А. Шеметкова о т.н. п-классах Виландта. В.Д. Мазуров и Д.О. Ревин показали [90], что проблема 2 имеет положительное решение, если силовские 2-подгруппы всех композиционных факторов группы A абелевы. Среди недавних результатов о проблеме 2 отметим работы В.Н. Тютянова [51,52]. Несмотря на интенсивное изучение и большой накопленный опыт, проблему 2 долгое время удавалось решить только в частных случаях. В 1997 году с появлением статьи В.Д. Мазурова и Д.О. Ревина [90], вошедшей в кандидатскую диссертацию последнего, появилась надежда полностью ответить на этот вопрос с помощью классификации конечных простых групп. В [90] проблема 2 была сведена к случаю, когда A - простая группа, а B - группа ее внешних автоморфизмов. Уже в процессе написания статьи [90] при использовании индуктивных рассуждений стало ясно, что проблема 2 тесно связана с другим вопросом.

Проблема 3. Всегда ли нормальная подгруппа D_п-группы будет D_п-группой.

Тогда же выяснилось, что проблема 3 отмечена в работе Ф. Гросса 1986 года [68], и В.Д. Мазуров записал ее в Коуровскую тетрадь как вопрос Ф. Гросса (вопрос 13.33 из [92]). Несложно показать, что факторгруппа D_п-группы всегда является D_п-группой. Поэтому проблемы 2 и 3 являются в определенном смысле двойственными. Сравнительно меньший интерес, который математики проявляли по отношению к проблеме 3, объясняется тем, что, в силу причин исторического характера, их внимание было сконцентрировано на получении достаточных условий для выполнения свойства D_п. В то же время, если ставить вопрос о нахождении необходимых и достаточных условий, то эта проблема является столь же важной и естественной, как и проблема 2. Положительное решение обеих проблем немедленно влечет, что конечная группа обладает свойством D_п тогда и только тогда каждый ее композиционный фактор обладает этим свойством. Итак, если предположить (как мы увидим, небезосновательно), что проблемы 2 и 3 имеют положительное решение, то проблема 1 равносильна следующей.

Проблема 4. Пусть задано множество простых чисел п. Какие конечные простые группы обладают свойством D_п?

В кандидатской диссертации Д.О. Ревина изучение проблемы 3, также как и проблемы 2, было сведено к проверке некоторых условий в группах автоморфизмов простых неабелевых групп (см. также [93]). Тем не менее, проверка этих условий оказалась непростой задачей. В той же кандидатской диссертации ее удалось осуществить только для спорадических, знакопеременных групп и тех групп лиева типа, у которых характеристика принадлежит множеству п [93], а самый сложный случай - случай групп лиева типа над полем характеристики, не принадлежащей п, остался неразобранным. Трудность такой проверки связана с тем, что она требует знания всех холловых подгрупп данной простой группы.

Линейное действие конечных простых и близких к ним групп на неприводимых модулях является важным и популярным предметом исследований, как в теории представлений, так и её приложениях. Например, к поиску нетривиальных неподвижных точек элементов и подгрупп простых и близких к простым групп в их линейных представлениях сводятся многие проблемы теории распознаваемости групп по порядкам элементов или графу простых чисел. Напомним, что графом простых чисел (иногда также называемым графом Грюнберга-Кегеля) конечной группы G называется граф, множество вершин которого совпадает с множеством простых делителей порядка группы G, в котором два различных простых числа p и q соединены ребром в том и только в том случае, когда G содержит элемент порядка pq. В дальнейшем будем обозначать граф простых чисел группы G через Г(G). Конечная группа G называется распознаваемой по графу, если для любой конечной группы H равенство графов (с отмеченными вершинами)

Г(H)= Г(G)

влечёт изоморфизм H?G. Несложно показать (см., например, [106]), что если конечная группа обладает нетривиальной нормальной абелевой подгруппой, то она не может быть распознаваема по графу. Поэтому вопрос о распознаваемости по графу интересен для (неабалевых) простых и близких к ним групп. Известно, что распознаваемыми по графу являются следующие простые группы: спорадические группы J₁, M₂₂, M₂₃, M₂₄, Co₂, J₄, исключительная группа G₂(7), а также бесконечная серия ²G₂(q), где q > 3 (доказательства этих фактов содержатся в работах [107] и [108].

Очевидно, что распознаваемая по графу группа G должна, в частности, удовлетворять следующему неравенству

Г(G)? Г(H),

где H - собственное накрытие G, т.е. такая группа, собственным эпиморфным образом которой является G. Благодаря следующему результату распознаваемость группы G по графу среди своих накрытий можно свести к рассмотрению действий G на неприводимых модулях. Доказана.

Теорема. Если H - собственное накрытие конечной группы G такое, что

Г(G) = Г(H),

то существует конечномерное векторное пространство W над полем положительной характеристики, на котором G действует абсолютно неприводимо и такое, что имеет место равенство графов простых чисел

Г(G)=Г(WG).

Особый интерес вызывает случай, когда G - простая линейная или унитарная проективная специальная группа, а W - некоторый эквихарактеристический FG-модуль (напомним, что модуль для группы лиева типа, определённой над полем характеристики p, называется эквихарактеристическим, если характеристика основного поля также равна p). В этом случае задача сводится к рассмотрению действия (и, в частности, доказательству существования нетривиальных неподвижных точек) на пространстве W полупростых элементов группы G, порядок которых достаточно большой. Здесь под "большим" порядком мы понимаем такой порядок элемента из G, при умножении на p которого получается число, не являющееся порядком никакого элемента из G. Основным доказанным результатом является следующая Теорема. Пусть p - простое число и G - простая проективная специальная линейная или унитарная группа размерности n, определённая над полем из p элементов и действующая абсолютно неприводимо на векторном пространстве W над полем характеристики p. Тогда имеет место неравенство графов простых чисел Г(G)?Г(WG) в каждом из следующих случаев либо n, либо p нечётно (кроме случаев, когда G изоморфна одной из групп PSL₇(2), PSL₃(3), PSU₃(3)), p=2 и n=4,6,10,16 (кроме случаев, когда G изоморфна PSL₆(2) или PSU₄(2)).

Отметим, что для исключённых случаев заключение теоремы не верно. В самом деле, можно показать, что справедлива следующая Теорема.

Пусть

G=PSL_n(p),

где числа n и p-1 взаимно просты, либо

G=PSU_n(p),

где n и p+1 взаимно просты. Тогда для естественного FG-модуля V (где F - поле из p элементов) справедливы следующие равенства.

1. Г(VG)=Г(G), при G=PSL₇(2), PSU₃(3), PSU₄(2),

2. Г((Л²V)G)=Г(G), при G=PSL₆(2),

3. Г((Л³V)G)=Г(G), при G=PSL₈(2), PSU⁸(2).

В формулировке теоремы через ЛⁱV мы обозначили i-ю внешнюю степень модуля V.

Также отметим, что если G изоморфна группе PSL₄(q), где q не простое, то существует пример эквихарактеристического абсолютно неприводимого модуля V над G такого, что у групп VG и G одинаковый набор порядков элементов (такой модуль построен в [109]), а значит, эти группы также имеют совпадающие графы простых чисел. Общая ситуация эквихарактеристических модулей над полем непростого порядка и чётной размерности является пока не исследованной областью, в которой, однако, могут быть применены идеи и методы, разработанные выше. Доказательство предыдущей теоремы является концептуальным обобщением рассуждений, использованных автором для доказательства результата, установленного в [110], который утверждает, что если G - конечная группа, граф простых чисел которой совпадает с таким же графом простой группы L₁₆(2), то G изоморфна L₁₆(2).

Спектром щ(G) конечной группы G называется множество порядков ее элементов. Группы называются спектральными, если у них одинаковые спектры. Конечная группа G называется распознаваемой по спектру, если любая конечная группа H такая, что

щ(H)=щ(G),

является изоморфной группе G. Выбор спектра в качестве набора параметров характеризации обусловлен тем, что, с одной стороны, многие конечные простые группы распознаются по спектру (см. обзор результатов в [47]), а с другой стороны, при абстрактном представлении конечной группы как black-box group (см. [111]), наиболее популярном сейчас среди специалистов по вычислениям в теории конечных групп, спектр - самый естественный и достижимый из числовых параметров группы. Если обозначить через h(G) число попарно неизоморфных конечных групп с тем же спектром, что и группа G, то распознаваемость группы G эквивалентна равенству h(G)=1. Считается, что для конечной группы G решена проблема распознаваемости по спектру, если известно точное значение h(G). Также говорят, что группа G почти распознаваема по спектру, если h(G) конечно.

Исследования проблемы распознаваемости по спектру с все возрастающей интенсивностью ведутся специалистами по теории групп, как отечественными, так и зарубежными, с середины 80-х годов прошлого века, и в первую очередь внимание исследователей направлено на конечные простые группы. Это обусловлено тем, что для конечной группы с нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой можно построить бесконечно много попарно неизоморфных конечных групп с таким же спектром, т.е. для такой группы G число h(G) равно бесконечности [112]. Согласно классификации конечных простых групп, каждая конечная простая неабелева группа принадлежит ко одному из следующих трех семейств: знакопеременные группы подстановок, спорадические группы и группы лиева типа, причем последние делятся на классические и исключительные. К настоящему моменту проблема распознаваемости решена для всех спорадических групп, для знакопеременных групп степеней p, p+1 и p+2, где p - простое число, для групп Ри и Сузуки, групп E_8(q), для целого ряда классических групп малых размерностей: PSL(2, q), PSL(3, q), PSU(3, q), PSp(4,q), а также для всех простых линейных групп PSL(n, q), где q четно (см. [47, 113, 114]). Полученные результаты, с одной стороны, показали, что не все неабелевы простые группы распознаваемы по спектру. С другой стороны, они позволили выдвинуть гипотезу о том, что все знакопеременные группы достаточно большой степени и все классические группы достаточно большой размерности являются почти распознаваемыми по спектру.

Исследования в рамках проекта направлены на подтверждение той части гипотезы, которая касается простых классических групп. Пусть L - конечная простая классическая группа, т.е. одна из линейных групп PSL(n,q), унитарных групп PSU(n,q), симплектических групп PSp(2n,q) и ортогональных групп Щ(2n+1,q), PЩ(2n,q,+), PЩ(2n,q,-). Предположим, что G - конечная группа, изоспектральная группе L. Зафиксируем обозначения L и G. Изучение строения группы G естественно начать с ее композиционного ряда, а более точно, с ее неабелевых композиционных факторов.

Одним из наиболее часто используемых на этом этапе результатов является теорема Грюнберга-Кегеля о группах с несвязным графом простых чисел (см. [115]). Граф простых чисел конечной группы H, обычно обозначаемый как GK(H), - это помеченный граф, множеством вершин которого являются простые делители порядка группы H и два простых числа соединены ребром тогда и только тогда, когда они различны и их произведение лежит в спектре группы H. Теорема Грюнберга-Кегеля утверждает, что конечная группа H с несвязным графом простых чисел либо разрешима и ее граф имеет ровно две компоненты, либо имеет ровно один неабелев композиционный фактор S и число компонент связности графа GK(S) не меньше числа компонент связности графа GK(H). Таким образом, если L имеет несвязный граф простых чисел, то G тоже имеет несвязный граф простых чисел и, значит, G имеет не более одного неабелева композиционного фактора. Более того, если при этом L отлична от групп PSL(3,3), PSU(3,3) и PSp(4,3), то G имеет в точности один неабелев композиционный фактор S [116].

К сожалению, несвязный граф простых чисел простой классической группы - это скорее исключение, чем правило. Так, например, среди групп PSL(n,q) несвязным графом могут обладать только группы, для которых одно из чисел n и n-1 является простым. Для того, чтобы получить аналог теоремы Грюнберга-Кегеля для групп со связным графом простых чисел, Васильевым было введено понятия неплотности и 2-неплотности графа простых чисел. Неплотностью t(H) графа простых чисел группы H называется наибольший размер независимого множества вершин. Аналогично, 2-неплотность t(2,H) - это наибольший размер независимого множества вершин, содержащего вершину 2. Теорема Васильева [117]утверждает, что конечная группа H такая, что t(H)>2 и t(2,H)>1, имеет ровно один неабелев композиционный фактор S, причем

...