Актуальные проблемы современной алгебры

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Актуальные проблемы современной алгебры

Введение

йордановый супералгебра геометрия

Выполнение НИР направлено на проведение фундаментальных исследований в области современной алгебры, с целью получения научных результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов.

В состав разрабатываемой научной продукции входят математические модели задач; алгоритмы и методы решения поставленных задач; публикации результатов исследований в отечественных и зарубежных изданиях; диссертации; отчет о НИР, содержащий обоснование развиваемых направлений исследований, изложение методик проведения исследований, а также описание полученных результатов.

Как уже отмечено выше, результаты исследований носят фундаментальный характер и могут быть востребованы во многих сферах научной деятельности. Например, при проведении современных исследований в области теории колец и теории групп, в частности в теории супералгебр, теории диалгебр, теории биалгебр, теории конечных групп, алгебраической геометрии и в других областях.

Результаты исследований вошли в докторские и кандидатские диссертации, а также курсовые и дипломные работы исполнителей.

Результаты НИР внедряются в образовательный процесс: при чтении математических курсов для студентов старших курсов; при проведении курсов повышения квалификации молодых преподавателей НГУ и проведении специальных семинаров по современным разделам математики в Новосибирском Государственном университете.

Результаты подтверждены публикациями в реферируемых журналах по математике, а также выступлениями на российских и международных конференциях по тематике НИР.

Хотя исследования 1 этапа являются заделом для всей НИР, исполнителями уже получен ряд результатов мирового уровня. Получены новые фундаментальные результаты, найдены новые подходы, разработаны новые алгоритмы, найдены новые приложения, опубликованы новые научные статьи, защищены диссертации и дипломные работы, и осуществляется внедрение результатов в учебный процесс.

1. Определение основных направлений исследований в области теории групп и теории колец

Спектром конечной группы называется множество порядков ее элементов. Группы с одинаковыми спектрами называются изоспектральными. Группа называется распознаваемой по спектру, если она однозначно задается своим спектром в классе всех конечных групп, другими словами, если все изоспектральные ей конечные группы изоморфны между собой. Группа называется почти распознаваемой по спектру, если существует только конечное число попарно неизоморфных изоспектральных ей конечных групп. Несколько лет назад была высказана гипотеза о том, что все простые классические группы достаточно большой размерности почти распознаваемы по спектру. Основная проблема, в рамках которой проводятся исследования по проекту, состоит в проверке этой гипотезы. На настоящий момент гипотеза подтверждена только для одной серии простых классических групп, а именно, для простых линейных групп над полями характеристики 2. Изучение конечных групп, изоспектральных простым, как правило, проводится по следующей схеме. Пусть L - конечная простая классическая группа размерности, большей 4. Как установлено в 2005 г. А.В. Васильевым и Е.П. Вдовиным [1], любая конечная группа, изоспектральная L, имеет единственный неабелев композицонный фактор S. На первом шаге необходимо показать, что в качестве S может выступать только конечное число простых групп Si. На втором шаге для каждого i нужно доказать, что при любом действии Si на элементарной абелевой группе в естественном полупрямом произведении возникает элемент, порядок которого не содержится в спектре группы L. Если оба шага выполнены, то группа L почти распознаваема по спектру. На отчетном этапе рассматривалась задача, возникающая на первом шаге. А.В. Васильевым (совместно с А.М. Старолетовым и М.А. Гречкосеевой) был получен следующий результат. Если L - простая линейная или унитарная группа размерности, большей 5, над полем характеристики p и G - конечная группа, изоспектральная L, то единственный неабелев композиционный фактор группы G либо изоморфен L, либо является группой лиева типа над полем характеристки, отличной от p. Доказательство ведется в терминах коклик графов простых чисел и опирается на связь между кокликами графа группы L и кокликами графа группы S, при этом широко используются классические методы теории конечных групп и теоретико-числовые теоремы о примитивных простых делителях. Отметим, что среди имеющихся на сегодняшний день результатов о распознаваемости по спектру классических групп утверждения, касающиеся всех групп достаточно большой размерности, крайне редки, поэтому полученный результат будет интересен широкому кругу специалистов. Вместе с результатом А.В. Васильева, М.А. Гречкосеевой и В.Д. Мазурова 2009 года о простых симплектичеких и ортогональных группах [2] полученный результат по сути сводит решение рассматриваемой задачи к изучению «случая другой характеристики», т.е. ситуации, когда L и S - группы лиева типа над полями разных характеристик. Именно эта ситуация будет исследована в дальнейшем.

Исследование теорем силовского типа в конечных группах давно оформилось в отдельное направление, по которому опубликованы тысячи работ, и которое привлекает внимание сотен исследователей во всём мире. Наиболее естественным и изучаемым обобщением силовских подгрупп является понятие холловой подгруппы. Результаты, полученные в рамках настоящего проекта с одной стороны завершают многолетние исследования различных специалистов всего мира, а с другой - открывают перспективы для исследования широкого круга проблем. Эти результаты носят прорывной характер, укрепляют ведущие позиции российских специалистов в данном направлении исследований. За отчетный период, Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным построена полная теория холловых классов E_р и C_р в конечных группах. Тем самым, все мыслимые вопросы о холловых подгруппах стали алгоритмическими.

В работе М.Е. Гончарова рассматривается аналог классического уравнения Янга-Бакстера на алгебре Мальцева. В частности показано, что любое решение этого уравнения индуцирует на алгебре Мальцева структуру биалгебры Мальцева. Описываются структуры биалгебры Мальцева на простой семимерной нелиевой алгебре Мальцева над алгебраически замкнутом поле. Биалгебры Мальцева являются обобщением биалгебр Ли. Биалгебры Ли - это одновременно алгебры Ли и коалгебры Ли, коумножение которых является 1-коциклом. Биалгебры Ли были введены Дринфельдом для изучения решений классического уравнения Янга - Бакстера. Желябиным было дано определение биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга - Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением. Одним из условий ассоциативных Д-биалгебр является то, что коумножение - это дифференцирование исходной алгебры в ее тензорный квадрат, рассмотренный как бимодуль над исходной алгеброй. Такие биалгебры были введены в работе Joni, S.A. and Rota G.C. [3] и изучались в работе Aguiar M. [4]. В последней работе были изучены некоторые свойства решений ассоциативного аналога уравнения Янга-Бакстера и свойства сбалансированных биалгебр (другое название Д-биалгебр). Ассоциативные классические уравнения Янга-Бакстера с параметрами рассматривались в работе Полищюка (Clasic Yang-Baxter Equation and the A-constraint). Класс йордановых Д-биалгебр, связанный с йордановым аналогом уравнения Янга - Бакстера, был определен в работе Желябина [5], где было доказано, что всякая конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая полупроста как алгебра, принадлежит этому классу. С каждой лиевой, ассоциативной или йордановой биалгеброй можно связать так называемую тройку Манина. В работе Мудрова [6] тройки Манина для ассоциативных алгебр изучались как инструмент построения решений уравнения Янга-Бакстера. Альтернативные Д-биалгебры и их связь с альтернативным уравнением Янга-Бакстера изучались в работе Гончарова [7]. В частности, были описаны все структуры альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли-Диксона. В работе Желябина (Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли) была установлена связь йордановых Д-биалгебр с биалгебрами Ли. В частности было доказано, что если алгебра L(J), полученная по конструкции Кантора-Кехера-Титса (ККТ) из йордановой алгебры J, допускает структуру биалгебры Ли, то при некоторых естественных ограничениях алгебра J допускает структуру йордановой Д-биалгебры. Там же было доказано, что если (A(+), D(+)) - присоединенная йорданова Д-биалгебра для ассоциативной Д-биалгебры (A, D), то на алгебре L (A(+)) можно задать структуру биалгебры Ли, связную со структурой биалгебры (A(+), D(+)). Гончаровым доказывается аналог данного утверждения в случае, когда A~ - матричная алгебра Кэли-Диксона, а пара (A, D) - альтернативная Д-биалгебра. Вместе с этим строится пример альтернативной Д-биалгебры (A, D), для которой структуру присоединенной йордановой Д-биалгебры (A(+), D(+)) нельзя продлить до структуры биалгебры Ли на алгебре L (A(+)). В работе Белавин и Дринфельда [8] были построены функциональные решения классического уравнения Янга-Бакстера на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел. Используя идеи этой работы, Столиным были описаны все структуры биалгебр Ли, заданные на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел.

В рамках проекта рассматривались задачи построения суперструктурного вложения йордановой диалгебры в алгебру Лейбница (некоммутативного аналога классической конструкции Кантора-Кёхера-Титса) и существования точного представления конечного типа у ассоциативных конформных алгебр. Данные задачи лежат в русле исследования строения и представлений новых неассоциативных структур в теории колец. Теории конформных алгебр и диалгебр, возникшие в алгебре примерно одновременно в середине 90х годов, имеют различное происхождение и долгое время развивались независимо и параллельно. Конформные алгебры изучались в работах В. Каца и соавторов с 1996 г. как инструмент исследования алгебр вертексных операторов в математической физике. Именно, структура конформной алгебры кодирует сингулярную часть операторного разложения произведения полей в конформной теории поля. Диалгебры (введены Ж.-Л. Лодеем в 1993 г.) возникли в исследованиях когомологий алгебр Ли и Лейбница. Различные классы диалгебр возникали в работах ряда зарубежных авторов при изучении вопросов, связанных со структурой алгебр Лейбница - одного из наиболее важных некоммутативных обобщений алгебр Ли. В работе Velasquez-Felippe [9] было введено понятие, аналогичное понятию йордановой диалгебры и была поставлена проблема построения аналога конструкции Кантора-Кёхера-Титса для этих алгебр. Данный вопрос носит фундаментальный характер, поскольку все существующие йордановы структуры (алгебры, супералгебры, пары, тройки, биалгебры) допускают вложение в соответствующие лиевы конструкции. В работе П.С. Колесникова [10] была обнаружена тесная связь между диалгебрами и конформными алгебрами. Это обусловливает существенное расширение набора методов, используемых в обеих областях, и позволяет получить ряд новых результатов. В частности, нами показано, что любая диалгебра многообразия Var (над полем характеристики нуль) вкладывается в конформную алгебру петель над обычной алгеброй многообразия Var. Также в рамках проекта нами показано, что любая йорданова диалгебра вложима в алгебру Лейбница (диалгебру Ли). Построенное вложение функториально, сохраняет полупростоту и нильпотентность. Это полностью решает вопрос, поставленный в упомянутой работе Velasquez-Felippe [9]. Данный результат может быть применен для структурного исследования разрешимых и нильпотентных йордановых диалгебр и алгебр Лейбница. Задача существования точного представления у конформных алгебр является одной из наиболее важных в соответствующей области. Дело в том, что если конформная алгебра имеет точное представление конечного типа, то она является подалгеброй в алгебре конформных эндоморфизмов конечно-порожденного модуля над алгеброй многочленов. Структура этой конформной алгебры хорошо изучена в работах Ретаха (2000, 2006), Бакалова, Каца, Д'Андреа (2001), Колесникова (2006). Для ассоциативных конформных алгебр эта задача эквивалентна задаче присоединения единицы к конформной алгебре. Соответствующая проблема была сформулирована Зельмановым (2003) и оставалась долгое время нерешенной. Отметим, что для ассоциативных диалгебр вопрос о возможности присоединения единицы решается положительно (см. [11]). В рамках проекта обе задачи (существования точного представления конечного типа и возможности присоединения единицы) для ассоциативных конформных алгебр полностью решены. Доказано, что любая ассоциативная конформная алгебра конечного типа имеет точное конформное представление конечного типа и, следовательно, допускает присоединение единицы. Показано, что этот результат не может быть обобщен: приведены контрпримеры конформных алгебр линейного роста и локально конечных. Данный результат в сочетании в результатом М. Ройтмана позволяет заключить, что конечно-порожденная нильпотентная конформная алгебра Ли имеет точное конформное представление конечного типа. Доказательство данного факта для всех конформных алгебр Ли конечного типа представляет собой задачу для дальнейшего исследования, решение которой имеет фундаментальное значение не только для алгебры, но и для математической физики.

Простые йордановы супералгебры изучались в работах Е. Зельманова, В. Каца, К. Мартинес, К. Маккримона, И. Кантора, М. Расина, И. Шестакова. В. Желябин и И. Шестаков описали унитальные простые специальные йордановы супералгебры с ассоциативной четной частью A, нечетная часть M которых является ассоциативным A-модулем. Как оказалось, если супералгебра не является супералгеброй невырожденной билинейной суперформы, то ее четная часть A - дифференциально простая алгебра относительно некоторого множества дифференцирований, а нечетная часть M - конечнопорожденный проективный A-модуль ранга 1. Кроме того, каждая такая йорданова супералгебра является подсупералгеброй в супералгебре векторного типа. При некоторых ограничениях на алгебру A нечетная часть M является однопорожденным A-модулем, и следовательно, исходная йорданова супералгебра будет изоморфна супералгебре векторного типа. Так, например, если A - локальная алгебра, то по известной теореме Капланского нечетная часть M является свободным, а следовательно, однопорожденным A-модулем. Если основное поле имеет характеристику p > 2, то A является локальной алгеброй, и поэтому нечетная часть M - однопорожденный A-модуль. Если A - кольцо полиномов от конечного числа переменных, то в силу известного результата Суслина нечетная часть M - свободный, а поэтому, однопорожденный A-модуль. Естественно, возник вопрос, будет ли исходная супералгебра изоморфна супералгебре векторного типа? Что эквивалентно вопросу: будет ли нечетная часть M однопорожденным A-модулем? В. Желябиным и И. Шестаковым построены примеры унитальных простых специальных йордановых супералгебр с ассоциативной четной частью, у которой нечетная часть M не является свободным модулем, т.е. однопорожденным модулем. В этих примерах основное поле является либо полем действительных чисел, либо любым полем характеристики 0, в котором неразрешимо уравнение t2+ 1 = 0. В настоящее время В.Н. Желябиным построен аналогичный пример йордановой супералгебры над произвольным, в частности, алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Также построен новый пример простой йордановой супералгебры, локализация которого является алгеброй Ченга-Каца.

Триангуляции поверхностей- классический объект алгебраической топологии. С помощью триангуляций можно вычислять род, эйлерову характеристику, гомологические группы, а также другие инварианты поверхностей. Несколько иную точку зрения на триангуляции предложили австралийские математики Кавенах и Ванлес. Изучая латинские квадраты, они сопоставили паре таких квадратов двухцветную триангуляцию сферы и определили группу белых треугольников GW и группу черных треугольников GB. Ими же был записан вопрос в Коуровскую тетрадь (см. вопрос 17.35) об изоморфизме этих групп. За отчетный период изучались группы двухцветных триангуляций различных поверхностей. Доказано, что существует двухцветная триангуляция сферы с тремя компонентами края, у которой число белых треугольников равно числу черных треугольников, но соответствующие им группы не изоморфны. Кроме того, доказано, что для любой группы вида Z2ЧK, где K - конечная абелева группа, существует двухцветная триангуляция сферы, для которой GW = GB = Z2ЧK.

Одной из классических проблем в теории алгебраических систем является описание групп автоморфизмов. Для многих алгебраических систем, таких как свободные группы, нильпотентные группы и т.д., мы имеем представления групп автоморфизмов в виде порождающих и соотношений. Более того, известно в каких случаях группы автоморфизмов являются линейными. Для групп автоморфизмов алгебр ситуация гораздо сложнее. До сих пор не известно описание порождающих и соотношений групп автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры, а также алгебры многочленов. За отчетный период изучались автоморфизмы свободных ассоциативных алгебр и алгебр многочленов.

2. Обзор литературы, относящейся к тематике проекта

Случайные матрицы - классическая область исследований на стыке линейной алгебры, теории вероятностей и анализа, интересная приложениями в физике и механике (см. обзоры [12,13]). Первоначальные исследования 1960х годов были посвящены симметрическим и эрмитовым матрицам, распределению их спектров. Однако в 1990е годы появился интерес к другим классам матриц. Одна из первых работ в этом направлении - [14]. В ней найдена доля матриц с вещественным спектром в пространстве вещественных матриц порядка n. Можно рассмотреть аналогичную проблему для линейных вещественных алгебр Ли. Кривоноговым А.С. была решена задача в алгебре Ли группы симплектических матриц и был найден метод вычисления этой доли P_2n при любом порядке матриц 2n. В частности, показано, что при верно

Данный результат согласуется с результатом, полученным А. Эдельманом [14] для матриц порядка 2. Для решения этой задачи был доказан аналог теоремы о разложении Шура для матриц с простым вещественным спектром в алгебре симплектических матриц и найдена параметризация множества матриц с вещественным спектром в данной алгебре.

В конце 20-го столетия были открыты квазикристаллы - новое состояние вещества и возникла задача их описания и классификации. Ранее, на рубеже 19-го и 20-го веков, задача принципиального описания кристаллических решеток была успешно решена Федоровым и Шенфлисом по типу изоморфизма кристаллографических групп (всех симметрий таких решеток). С.П. Новиков предложил использовать для классификации квазикристаллов тип изоморфизма так называемых квазикристаллографических групп. Задача интересна с точки зрения физики и химии для евклидовой плоскости и трехмерного евклидова пространства. Обзор результатов в этой активно развивающейся области исследований можно найти в работе [15], а также в книге [16]. Эта тематика активно развивается и за рубежом, (см. [17,18]). Отметим, что один из путей решения задачи классификации квазикристаллографических групп приводит к задачам кристаллографии в псевдоевклидовых пространствах. Р.М. Гарипов в работе [19] заметил, что его алгебраический метод классификации кристаллографических групп в евклидовых пространствах годится и в пространствах Минковского, поскольку аналог ослабленной теоремы Бибербаха об однозначной определимости решетки трансляций абстрактными свойствами кристаллографической группы справедлив в пространствах Минковского. В.А. Чуркиным доказано, что ослабленная теорема Бибербаха верна и в псевдоевклидовых пространствах индекса (т.е. максимальной размерности изотропных подпространств) не более 2. Там же построена серия кристаллографических групп движений псевдоевклидовых пространств индекса больше 2, каждая из которых содержит по крайней мере две различные псевдоевклидовы решетки - возможные решетки трансляций при реализации группы в качестве кристаллографической группы движений псевдоевклидова пространства. Такие группы обладают нестандартными автоморфизмами, не оставляющими решетку трансляций на месте. Возникает естественный вопрос - сколько псевдоевклидовых решеток может содержать данная кристаллографическая группа, сколько может быть нестандартных автоморфизмов? В результате, В.А. Чуркиным была сформуирована Гипотеза. В каждой кристаллографической группе движений псевдоевклидова пространства может быть только конечное число псевдоевклидовых решеток.

Это означало бы, что существует только конечное число нестандартных изоморфизмов, по модулю которых ослабленная теорема Бибербаха была бы верна. В конце 2009 года исследована «самая малая» группа с двумя решетками и на ее основе построена группа с большим конечным числом решеток. Точнее, доказано, что существует кристаллографическая группа W движений псевдоевклидова пространства R^3,3, содержащая ровно две псевдоевклидовых решетки. Дополнительным условием минимальности группа W задается однозначно с точностью до изоморфизма, а ее решетки автоморфно сопряжены, Декартова степень Wⁿ содержит ровно 2ⁿ псевдоевклидовых решеток типа (3n, 3n) и любые две из них автоморфно сопряжены.

Начато изучение конечных групп периода 12. Исследования основываются на известной теореме Холла-Хигмена, которая ограничивает 2-длину и 3-длину разрешимой группы в терминах периода группы. Теорема Холла-Хигмена по сути позволяет выделить в самой группе некоторые «этажи», начатые исследования посвящены уже более детальному изучению самих этих «этажей». Рассмотрен случай, когда группа G является расширением нормальной 2-подгруппы H при помощи элемента z порядка 3, и группа G действует на векторном пространстве V над полем из трех элементов так, что любой элемент порядка 3 действует квадратично. Известно, что в этом случае H является произведением централизатора z и подгруппы [H, z]. Элемент z действует тривиально на своем централизаторе, и потому из самого действия автоморфизма z не получится прояснить строение централизатора, однако удалось прояснить строение группы [H, z]. Доказано, что группа [H, z] нильпотента ступени не больше 2. Также описаны подгруппы, порожденные инволюцией и элементом порядка 3, а также двумя элементами порядка 3. Данный результаты являются важным шагом на пути описания конечных групп периода 12. Начат обзор литературы, посвященный действию конечных групп на векторных пространствах, в ситуациях, которые близки к рассматриваемой. Исследуются подгруппы, порожденные несколькими элементами малых порядков в группах периода 12.

В своем препринте Д. Скотт определил категорию EQU эквилогических пространств, обладающую рядом замечательных свойств. Объектами EQU являются пары (X, ~X), где X - топологическое (T0) пространство, а ~X - (произвольное) отношение эквивалентности на X. Если (X, ~X) и (Y, ~Y) - эквилогические пространства (т.е. объекты EQU), то эквивариантным отображением из (X, ~X) в (Y, ~Y) называется всякое непрерывное отображение f: X > Y, сохраняющее эквивалентности (~X) и ~Y. Морфизмами в категории EQU из (X, ~X) в (Y, ~Y) являются классы эквивалентности эквивариантных отображений из (X, ~X) в (Y, ~Y) с естественно определенной композицией (по представителям). Категория EQU содержит категорию TOP топологических пространств в качестве полной подкатегории, если отождествить топологическое пространство X с эквилогическим пространством (X, idX). Основным категорным свойством категории EQU является ее декартова замкнутость. В работе Скотта 1998 г. доказано, что категория bc-областей является полной поддекартово замкнутой подкатегорией категории EQU и поставлен вопрос (вопрос 2), не будет ли категория бифинитных областей так же полной поддекартово замкнутой подкатегорией категории EQU? В настоящей работе Ю.Л. Ершова дается положительный ответ на этот вопрос. Для этого исследуется вопрос, когда объект из EQU (PEQU) изоморфен топологическому объекту.

3. Построение математических моделей

Алгебраическая геометрия над группами - новая область в алгебре, с использованием которой Мясников, Харлампович и Села решили известные проблемы Тарского о свободных группах. Н.С. Романовским и А.Г. Мясниковым был найден широкий класс разрешимых групп - жесткие группы, в котором удачно работают методы алгебраической геометрии над группами. С использованием методов коммутативной алгебры Н.С. Романовский доказал нетеровость по уравнениям жестких групп и нашел подход к изучению алгебраических множеств над такими группами. Удалось описать координатные группы неприводимых алгебраических множеств над делимыми распавшимися жесткими группами. Разработанные методы и техника могут быть применены также к решению алгоритмических проблем над жесткими группами. Доказано существование копроизведения в категории градуированных жестких групп, с помощью этой конструкции построена координатная группа аффинного пространства данной размерности и доказана неприводимость (в топологии Зарисского) всего пространства.

В свое время, у В.А. Шарафутдинова в векторной томографии [20,21] возникла проблема поиска базиса и размерности подпространства в пространстве , где - k-я внешняя степень пространства , - его m-я симметрическая степень, где . Известно, что квадратичные соотношения Плюккера позволяют представить многообразие Грассмана как алгебраическое многообразие в проективном пространстве . В недавней работе [22] было построено новое множество квадратичных соотношений, задающих это представление и имеющих ранг 6. Данная проблематика успешно изучалась В.Ю. Губаревым. Им положительно решается вопрос о размерности и базисе подпространства в пространстве , частично совпадая с результатами [23]. На основе этих результатов приводится множество линейных и квадратичных соотношений рангов 3 и 4, задающее многообразие Грассмана в пространстве .

В 1962 году Г. Баумслаг и Д. Солитер нашли серию нехопфовых групп с одним соотношением простого вида в классе групп BS (p, q)= < a, t | t^-1 a^p t=a^q >. Здесь p и q - пара ненулевых целых чисел (параметры). На протяжении почти 50 лет эти группы активно исследовались. Мескин доказал, что группа BS (p, q) финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда p| q или q| p. Коллинз описал группу автоморфизмов BS (p, q) при взаимно простых p и q. Коллинз и Левин заметили, что группа BS (p, q), где |p| и |q| не равны единице и одно из чисел p и q делит другое, имеет бесконечно порожденную группу автоморфизмов. Доказано, что группа BS (p, q) при |p| не равном |q| не может быть подгруппой фундаментальной группы связного ориентируемого 3-многообразия. Никакая группа Баумслага-Солитера не может быть подгруппой гиперболической группы. Группа BS (p, q) обладает автоматной структурой тогда и только тогда, когда |p|=|q|. Таким образом группы Баумслага-Солитера в настоящее время исполняют роль тестовых групп. Многие вопросы об этих группах до сих пор не решены. Несомненно, специалисты по теории групп будут в дальнейшем обращаться к группам Баумслага-Солитера. Поэтому целесообразно иметь наиболее полное описание их свойств для облегчения исследований. В частности важным и классическим вопросом в теории групп является описание подгрупп данной группы. В 2005 году Гелман нашел формулу числа подгрупп конечного индекса для групп Баумслага-Солитера с взаимно простыми параметрами. В 2008 году Баттон получил аналогичную формулу для числа нормальных подгрупп конечного индекса. В рамках выполнения проекта Ф.А. Дудкиным, совместно с В.А. Чуркиным, удалось получить обобщение результатов Гелмана для произвольных параметров. Кроме того, используя формулу Гелмана, было получено полное описание всех подгрупп конечного индекса групп Баумслага-Солитера с взаимно простыми параметрами. Было сделано следующее: найдены два порождающих элемента для всякой подгруппы конечного индекса; найдено простое копредставление для всех подгрупп конечного индекса; решена проблема изоморфизма для подгрупп конечного индекса; найдена формула числа классов сопряженных подгрупп данного конечного индекса. Таким образом, за подотчетный период Дудкиным Ф.А. и Чуркиным В.А. опубликованы достоверные результаты международного уровня, обобщающие и усиливающие известные ранее теоремы о подгруппах групп Баумслага-Солитера.

В рамках выполнения проекта, коллективом исследователей были защищены 1 докторская и 3 кандидатских диссертаций (см. Приложение А); опубликовано 30, принято к печати 7, сдано в печать 6 статей. (см. Приложение Б); cделано 3 доклада на отечественных и 44 доклада на международных научных форумах. (см. Приложение В); приняты в штат ООНИ НИЧ и ИДМИ Новосибирского государственного университета:

студенты:

Воронин Василий Юрьевич,

Губарев Всеволод Юрьевич

аспиранты:

Гончаров Максим Евгеньевич

4. Изучение возможных вариантов исследований построенных моделей

Спектром конечной группы называется множество порядков ее элементов. Группы называются изоспектральными, если имеют одинаковые спектры. Группа G называется распознаваемой по спектру, если все изоспектральные ей конечные группы изоморфны между собой, т.е. изоморфны G. Наибольший интерес проблема распознаваемости по спектру представляет для неабелевых простых групп и групп, близким к ним. Простая неабелева группа L называется квазираспознаваемой по спектру, если любая изоспектральная ей конечная группа содержит единственный неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен L. Очевидно, что распознаваемая простая группа будет квазираспознаваемой.

Пусть L - простая группа лиева типа над полем характеристики p. В настоящий момент существуют методы, позволяющие показать, что любая конечная изоспектральная L группа, как правило, имеет единственный неабелев композиционный фактор S. Таким образом, для полного решения проблемы квазираспознаваемости необходимы методы, позволяющие установить, что этот фактор не является ни спорадической, ни знакопеременной группой, ни группой лиева типа над полем характеристики, отличной от p, а также в случае, когда фактор является группой лиева типа над полем характеристики p, установить, что он изоморфен L. До настоящего времени такие методы были известны только для групп малого лиева ранга и групп с несвязным графом простых чисел.

В работе Васильева, Мазурова и Гречкосеевой 2009 года в качестве L рассматривались простые симплектические и ортогональные группы, и были разработаны методы, позволяющие установить, что единственный неабелев композиционный фактор S не является ни спорадической, ни знакопеременной группой. В 2010 году эти методы получили свое развитие и были применены к линейным и унитарным группам. В результате получены следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть L - простая линейная или унитарная группа размерности больше 3, отличная от групп PSL (4, 2) и PSU (4,2). Тогда среди неабелевых композиционных факторов конечных групп, изоспектральных L, нет знакопеременных групп.

Теорема 2. Пусть L - простая линейная или унитарная группа размерности больше 3, отличная от группы PSU (5,2). Тогда среди неабелевых композиционных факторов конечных групп, изоспектральных L, нет спорадических групп и нет группы Титса.

Теорема 3. Пусть L - простая линейная или унитарная группа размерности больше 3 над полем характеристики p, отличная от группы PSU (4,2). Тогда среди неабелевых композиционных факторов конечных групп, изоспектральных L, нет групп лиева типа над полем характеристики p, отличных от L.

Доказательство теорем основано на сравнении спектров группы L и S, проведенном в следующих направлениях: сравнение максимальных коклик графов простых чисел (с использованием результатов Васильева и Вдовина о смежности в графах простых чисел простых групп), сравнение максимальных степеней данного простого числа (с использованием результатов Бутурлакина о строении спектров простых классических групп), сравнение примитивных делителей (с использованием теоремы Жигмонди).

Полученные теоремы сводят вопрос о квазираспознаваемости простых линейных и унитарных групп по спектру к вопросу о том, может ли конечная группа, изоспектральная простой или унитарной группе над полем характеристики p, содержать неабелев композиционный фактор, изоморфный группе лиева типа над полем характеристики, отличной от p, и являются существенным продвижением к полному решению проблемы квази-распознаваемости классических групп.

Спектр группы является важной и одной из наиболее просто вычислимых характерстик группы. Информация о спектре необходима при решении многих задач теории конечных групп, например, при решении вопроса о распознаваемости группы по спектру. Напомним, что конечная группа G называется распознаваемой по спектру, если любая конечная группа с таким же спектром, что и G, изоморфна G. Задача распознаваемости представляет интерес в первую очередь для конечных простых групп. Согласно классификационной теореме все конечные простые группы делятся на три класса: знакопеременный группы, группы лиева типа и 26 спорадических групп. Хотя многие простые группы являются классическими объектами и много изучались, исчерпывающего описания спектров всех конечных простых групп до сих пор нет. Спектры знакопеременных и спорадических групп известны. Таким образом, необходимо получить описание спектров простых групп лиева типа. В 2010 году Бутурлакиным А.А. было получено описание спектров всех конечных простых симплектических и ортогональных групп, что завершило описание спектров конечных простых классических групп лиева типа. Для более точного изложения полученны результатов нам необходимо дать некоторые оределения. Пусть G - конечная группа лиева типа над полем характеристики p. Множество Щ(G) может быть представлено как объединение трех подмножеств: множества Щ(G) порядков всех унипотентных элементов, т.е. элементов, чей порядок является степенью числа p, множества Щp'(G) порядков всех полупростых элементов, т.е. элементов, чей порядок взаимно прост с p, и множества Щm(G) всех остальных «смешанных» порядков. Таким образом, задача описания спектра конечной группы лиева типа распадается на три подзадачи. Максимальный порядок унипотентных элементов в любой конечной группе лиева типа найден в работе Д. Тестерман 1995 года. Хорошо известно, что любой полупростой элемент группы лиева типа содержится в некотором ее максимальном торе. В работе Бутурлакина и Гречкосеевой [24] года было получено описание циклического строения максимальных торов во всех простых классических группах, и тем самым были описаны полупростые части спектров этих групп. Таким образом, оставалось описать смешанные части спектров симплектических и ортогональных групп. По результатам работ Мазурова, Ши и Танга 1997 года был записан в «Коуровскую тетрадь» вопрос 16.25:

Существуют ли три попарно неизоморфные конечные неабелевы простые группы с одним и тем же спектром? С помощью полученных результатов о спектрах конечных простых классических Бутурлакиным был получен отрицательный ответ на этот вопрос.

В области распознаваемости конечных групп арифметическими параметрами важным направлением является исследование того, насколько однозначно данная группа определяется своим графом простых чисел. Напомним, что графом простых чисел конечной группы G называется граф, множеством вершин которого является совокупность простых делителей порядка |G|, в котором две различные вершины p, q соединены ребром, тогда и только тогда, когда G содержит элемент порядка pq. Часто строение графа простых чисел несёт много информации об исходной группе. Например, конечные группы с несвязным графом имеют очень ограниченное строение, как показывает известная теорема Грюнберга-Кегеля. Группу G, однозначно определяемую в классе конечных групп своим графом простых чисел будем называть распознаваемой по графу. Оказывается, доказательство распознаваемости группы G по графу может потребовать применения тонких свойств модулярных представлений группы G, таких как наличие нетривиальных неподвижных точек элементов больших простых порядков в соответствующих модулях. К настоящему времени известно несколько индивидуальных примеров конечных групп, распознаваемых по графу [25]. Вопрос о распознаваемости многих простых до сих пор открыт. Заварнициным А.В. получен следующий результат: Теорема. Если G - конечная группа, граф простых чисел которой совпадает с графом простой группы L₁₆(2) и факторгруппа G/O₂(G) изоморфна группе L₁₆(2), то O₂(G)=1. Отсюда вытекает существование первого примера распознаваемой по графу простой группы со связным графом простых чисел, следовательно, группа L₁₆(2) распознаваема по графу. Отметим, что попытка дать полное доказательство того, что группа L₁₆(2) распознаваема по графу была предпринята в статье [26]. Однако в доказательстве леммы 3.4 (с. 56, стр. 20) этой работы имеется существенный пробел, заключающийся в применении леммы 2.5 для того, чтобы показать существование в группе G элемента порядка (2¹⁵-1) p. Но лемма 2.5 не может быть использована в случае p=2. Предложенное Заварнициным А.В. доказательство распознаваемости группы L₁₆(2) может быть в обобщённом виде использовано в дальнейших исследованиях арифметических свойств конечных простых групп.

5. Изучение диалгебр

Диалгеброй называется векторное пространство с двумя операциями левого и правого умножения. Ассоциативные диалгебры были введены Лодеем в 1993 году, с их помощью строится универсальная обёртывающая для алгебр Лейбница. Далее в литературе появлялись различные типы диалгебр, и, наконец, Колесников в 2008 году из общеалгебраических соображений, основанных на теории операд, показал как для определённого многообразия алгебр построить соответствующее многообразие диалгебр. В частности, были указаны 3 тождества, определяющие многообразие йордановых диалгебр. Независимо Веласкес и Фелиппе из других соображений определили понятие квазийордановой алгебры как некоммутативного аналога йордановой алгебры, кроме того они приведели 2 тождества, которым удовлетворяют квазийордановы алгебры. Далее Бремнер указал недостающее тождество, которому удовлетворяли все приведённые в статье Веласкеса и Фелиппе примеры квазийордановых алгебр. Вместе с недостающим тождеством получилось 3 тождества, алгебры удовлетворяющие этим 3 тождествам были названы полуспециальными квазийордановыми алгебрами. После этого понятия полуспециальной квазийордановой алгебры и йордановой диалгебры стали эквивалентны. В работе Бремнера и Перези по аналогии с обычными алгебрами введено понятие специальной йордановой диалгебры и специального тождества (s-тождества) как тождества, которое выполнено во всех специальных йордановых диалгебрах, но не выполняется во всех йордановых диалгебрах. Одним из основых результатов работы Бремнера и Перези является доказательство отсутствия s-тождеств степени ? 7 и пример s-тождества степени 8, этот результат получен методами компьютерной алгебры. Также Бремнер и Перези поставили проблему обобщить классические результаты, известные для специальных йордановых алгебр, на случай диалгебр. В данной работе решены все задачи, поставленные Бремнером и Перези. В дальнейшем возможно обобщение других классических результатов на случай диалгебр. Методами исследования является сведение задач для диалгебр к задачам для обычных алгебр, также существенно используются конформные алгебры. Исходя из представленных соображений по изучению диалгебр, Ворониным В.Ю. Был получен результат Бремнера и Перези как следствие из доказанной теоремы о соответствии s-тождеств диалгебр и обычных алгебр, при доказательстве не использовались методы компьютерной алгебры. Кроме того, им доказаны следующие аналоги классических теорем: 1. теоремы Кона о характеризации элементов свободной специальной йордановой диалгебры от ?2 порождающих как симметрических элементов свободной ассоциативной диалгебры; 2. критерия Кона о специальности фактор-алгебры йордановой диалгебры, из которого следует, что специальные йордановы диалгебры не образуют многообразие; 3. теоремы Ширшова о том, что свободная йорданова диалгебра от двух порождающих специальна; 4. теоремы Макдональда о специальных тождествах от трёх переменных.

6. Изучение конформных алгебр

Конформные алгебры - это алгебраические системы, возникающие при аксиоматизации свойств коэффициентов сингулярной части операторного разложения произведения (OPE) киральных полей в конформной теории поля. По отношению к вертексным алгебрам конформные алгебры играют ту же роль, что алгебры Ли по отношению к их ассоциативным обертывающим алгебрам. Исследование структуры и свойств конформных алгебр представляет собой интересную алгебраическую задачу, имеющую важное значение как в плане применения результатов в математической физике, так и в плане лучшего понимания строения бесконечномерных обычных алгебр, обладающих дополнительным свойством локальности. Один из важных вопросов в этой области - вопрос о существовании точных конформных представлений у конформных алгебр. Наличие точного представления конечного типа позволяет вкладывать конформную алгебру в алгебру матричных дифференциальных операторов, структура которой хорошо известна. Конформные алгебры, их представления и когомологии изучались в ряде работ преимущественно зарубежных авторов (V.G. Kac, A.D'Andrea, S.-J. Cheng, B. Bakalov, A. Voronov, M. Roitman, A. Retakh и др.). Аналогами конечномерных объектов для конформных алгебр являются алгебры конечного типа - конечно-порожденные модули над H=k[D]. Как хорошо известно, если обычная (ассоциативная или лиева) алгебра A имеет точное конечномерное представление, то A сама является конечномерной. Для конформных алгебр это не так - существуют конформные алгебры бесконечного типа, имеющие точное конформное представление конечного типа. Поэтому целесообразно рассматривать другой класс «малых» конформных алгебр - имеющих точное представление конечного типа. Структурная теория таких алгебр для ассоциативного случая построена в работах П. Колесникова, для случая алгебр Ли частичное продвижение получено в работах V. Kac, A. DeSole, E. Zelmanov, но в общем виде задача остается нерешенной. Более того, оставалось неизвестным, включает ли класс ассоциативных (лиевых) конформных алгебр с точным представлением конечного типа класс соответствующих конформных алгебр конечного типа. Для ассоциативного случая этот вопрос тесно связан с вопросом о возможности присоединения единицы к конформной алгебры, который был поставлен в 2006 (A. Retakh). Последний вопрос интересен сам по себе, поскольку конформные алгебры с единицей имеют хорошо описанную структуру дифференциальных конформных алгебр. В нашем исследовании нами решены обе данных проблемы. Показано, что ассоциативная конформная алгебра конечного типа без кручения имеет точное конформное представление конечного типа. В частности, такая алгебра может быть вложена в ассоциативную конформную алгебру с единицей. Однако для произвольной ассоциативной конформной алгебры без кручения последнее неверно: нами построены примеры ассоциативных конформных алгебр (линейного роста и локально конечных), не вложимых в алгебры с единицей. Для конформных алгебр Ли одним из важнейших нерешенных вопросов является следующий: верен ли аналог классической теоремы Адо для конформных алгебр без кручения? Легко видеть, что полупростые алгебры конечного типа обладают точным представлением конечного типа. С другой стороны, любая конформная алгебра Ли конечного типа (по аналогии с обычными алгебрами) имеет наибольший разрешимый идеал (радикал), фактор по которому полупрост. Возникает естественный вопрос: верен ли аналог теоремы Адо для разрешимых конформных алгебр? Колесниковым П.С. показано, что ответ на этот вопрос положителен: разрешимая конформная алгебра Ли конечного типа без кручения имеет точное конформное представление конечного типа. Также показано, что если конформная алгебра Ли конечного типа удовлетворяет конформному аналогу теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта, то для нее верен аналог теоремы Адо. Однако нами показано, что не все конформные алгебры Ли конечного типа обладают свойством Пуанкаре-Биркгофа-Витта.

7. Исследования в градуированных алгебрах

Как известно, основным вопросом в теории колец является описание простых алгебр. Йордановы алгебры играют важную роль в современной алгебре. Эти алгебры возникли в работе Вигнера-Йордана-фон-Ноймана как формализм описания аксиом квантовой механики. Вигнер-Йордан-фон-Нойман описали конечномерные формально-вещественные йордановы алгебры. Они показали, что каждая такая алгебра есть прямая сумма простых алгебр. А каждая простая алгебра является алгеброй симметрических элементов (матриц) ассоциативной алгебры (алгебры матриц) с инволюцией, либо алгеброй невырожденной симметрической билинейной формы, либо алгеброй Альберта. Проблема описания бесконечномерных простых йордановых алгебр была сформулирована фон-Нойманом и являлась одной из самых трудных задач в теории йордановых алгебр. Исследованием этой проблемы занимались многие математики, например, Джекобсон, Мантердейл, Жевлаков, Маккримон. Однако, описать простые йордановы алгебры удавалось только при дополнительных условиях. Даже было непонятно, как выглядят йордановы алгебры с делением. Эта проблема была сформулирована К.А. Жевлаковым и решена Е. Зельмановым во второй половине 70-х годов. Затем Е. Зельманов описал произвольные простые йордановы алгебры. Как оказалось, все они являются перечисленными выше алгебрами. Методы, разработанные Е. Зельмановым, позволили ему решить ряд известных и трудных проблем, например, ослабленную проблему Бернсайда для групп, описать простые градуированные алгебры Ли и некоторые классы простых йордановых супералгебр. Йордановы супералгебры изучались в работах И. Капланского. Супералгебры оказались исключительно полезными в теории многообразий алгебр. Так, А.Р. Кемер с помощью супералгебр развил теорию многообразий ассоциативных алгебр, позволившую ему, в конце концов, решить знаменитую проблему Шпехта о конечной базируемости тождеств любой ассоциативной алгебры над полем нулевой характеристики. Другими впечатляющими примерами применения супералгебр явились результаты Е. Зельманова о нильпотентности энгелевых алгебр Ли и о разрешимости йордановых ниль-алгебр ограниченного индекса. Этими же методами, с использованием классификации первичных альтернативных супералгебр, Е. Зельманов и И. Шестаков доказали нильпотентность радикала свободной альтернативной алгебры. В 1977 г. В. Кац [27] описал простые конечномерные лиевы супералгебры над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, и в том же году он описал йордановы супералгебры при тех же ограничениях, используя функтор Кантора-Кехера-Титса, связывающий категории йордановых и лиевых супералгебр. Классификация В. Каца была дополнена И. Кантором, который определил супералгебру грассмановых скобок. Е. Зельманов и М. Расин [28] описали конечномерные простые йордановы супералгебры над полем произвольной характеристики, отличной от 2 при дополнительном ограничении - полупростоты четной части. Классификация Е. Зельманова и М. Расина была уточнена И. Шестаковым. Позже Е. Зельманов и К. Мартинес [29] описали конечномерные простые унитальные йордановы супералгебры, четная часть которых имеет ненулевой нильпотентный идеал. Как оказалось, всякая такая супералгебра, не изоморфная супералгебре Чанга-Каца, может быть получена процессом удвоения Кантора из ассоциативной суперкоммутативной супералгебры. В 2001 году Е. Зельманов, В. Кац, К. Мартинес описали простые Z-градуированные унитальные йордановы супералгебры, у которых размерности однородных компонент ограничены в совокупности. Неунитальные конечномерные простые йордановы супералгебры над полем произвольной характеристики, отличной от 2, были также описаны Е. Зельмановым. В 2007 г. Н. Кантарини и В. Кац привели список известных простых унитальных йордановых бесконечномерных супералгебр над алгебраически замкнутым полем, ими также был сформулирован вопрос о существовании новых простых йордановых супералгебр. Используя методы И.П. Шестакова, разработанные им при описании простых (-1,1) - супералгебр характеристики отлчной от 2,3 и методы В.Н. Желябина, разработанные им при описании простых йордановых супералгебр с ассоциативной четной частью, а также применяя методы коммутативной алгебры и теории конечнопорожденных проективных модулей над ассоциативно-коммутативным кольцом, В.Н. Желябиным были построены примеры новых простых йордановых супералгебр. Таким образом, в той постановке, в которой была сформулирована задача, она решена полностью. Результаты оформлены в виде статьи и прошли апробацию на научных математических сайтах www.arxiv.org и Jordan Theory Preprint Archives. Решена проблема, поставленная в авторитетном научном издании известными математиками.

При описании простых йордановых супералгебр с ассоциативной четной частью доказано, что нечетная часть является конечнопорожденным проективным A-модулем ранга 1. В известных примерах таких супералгебр нечетная часть является двухпорожденным модулем. Возникает проблема существования простой йордановой супералгебры с ассоциативной четной частью, у которой нечетная часть порождается n элементами для любого натурального n, но не порождается меньшим числом элементов. Также представляет интерес описание ассоциативной универсальной обертывающей простой специальной йордановой супералгебры с ассоциативной четной частью. Отметим, что ассоциативная универсальная обертывающая простой йордановой супералгебры векторного типа была описана Е. Зельмановым и К. Мартинес.