Актуальные проблемы современной алгебры

Обобщением класса йордановых супералгебр являются классы некоммутативных йордановых супералгебр и структуризуемых супералгебр. В случае алгебр, класс структуризуемых алгебр пересекается, в частности, по классу йордановых алгебр с классом некоммутативных йордановых алгебр, введённым А.А. Албертом в 1948 г. Класс некоммутативных йордановых алгебр чрезвычайно обширен - кроме (коммутативных) йордановых алгебр он содержит также, например, все альтернативные и квазиассоциативные алгебры, эластичные квадратичные алгебры, а также антикоммутативные алгебры. Проблема классификации простых конечномерных некоммутативных йордановых алгебр была решена Р. Шейфером в случае характеристики 0 и степени >2, Р. Оемке для простых конечномерных эластичных алгебр со строго ассоциативными степенями в характеристике не 2,3 и степени >2, К. Мак-Криммоном для простых конечномерных некоммутативных йордановых алгебр степени >2 и K. Смитом для степени два. Строго первичные некоммутативные йордановы алгебры описаны В.Г. Скосырским. Б. Аллисон в 1978 г. определил класс неассоциативных алгебр, содержащий класс йордановых алгебр и допускающий конструкцию структурной алгебры и конструкцию Титса-Кёхера-Кантора (конструкция Аллисона). Алгебры из этого класса, называемые структуризуемыми, являются унитальными алгебрами с инволюцией. Этот класс включает альтернативные алгебры с инволюцией, йордановы алгебры (с тождественной инволюцией), тензорное произведение двух композиционных алгебр, 56-мерный модуль Фрейденталя для алгебры Ли E7 с естественным бинарным произведением, и алгебры, строящиеся из эрмитовых форм способом, который является некоторым обобщением обычной конструкции йордановых алгебр квадратичных форм. Однако, ещё в 1972 г. И. Кантор обобщил ТКК-конструкцию, распространив её на более широкий класс алгебр, которые он назвал консервативными. И. Кантор классифицировал конечномерные простые консервативные алгебры второго порядка над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Существует взаимно однозначное соответствие между классом консервативных алгебр второго порядка с левой единицей и классом структуризуемых алгебр. Алгебры Ли, получаемые из центральных простых структуризуемых алгебр при помощи конструкции Аллисона-Кантора, содержат все конечномерные центральные простые алгебры Ли над полем характеристики ноль, имеющие ненулевой ad-нильпотентный элемент. Центральные простые конечномерные структуризуемые алгебры над полем характеристики ноль были классифицированы Б. Аллисоном. Классификация простых конечномерных структуризуемых алгебр над полем ненулевой характеристики была получена О.Н. Смирновым. А.П. Пожидаевым и И.П. Шестаковым классифицированы простые конечномерные структуризуемые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, а также ими классифицированы простые конечномерные некоммутативные йордановы супералгебры над полем характеристики 0. При классификации используются методы работ приведенных выше, а также методы супералгебр.

Антидифференцирования, то есть такие линейные отображения T, что выполненно T(xy) = - T(x) y - xT(y), возникают и рассматриваются в работах Р.Б. Брауна, Н.С. Хопкинс и В.Т. Филиппова [30,31,32]. Так у Р.Б. Брауна и Н.С. Хопкинс антидифференцирования возникают при изучении некоторых некоммутативных йордановых алгебр, также Н.С. Хопкинс были получены примеры ненулевых антидифференцирований на простой трехмерной алгебре Ли sl2 и показано отсутствие ненулевых антидифференцирований на простых конечномерных алгебрах Ли с нулевым центром и размерности строго выше 3 при некоторых ограничениях на характеристику основного поля. Результаты Н.С. Хопкинс получили широкое обобщение в работах В.Т. Филиппова. Где он рассматривал понятие д-дифференцирования, то есть такого линейного отображения U, где для фиксированного элемента д из основного поля, верно U(xy) = д (U(x) y + xU(y)). Данное отображение является одновременно обобщением дифференцирования и антидифференцирования. В результате, В.Т. Филиппов дал описание д-дифференцирований первичных альтернативных, лиевых и мальцевских алгебр над ассоциативно-коммутативным кольцом с 1/6 [33,34,35,36]. А именно, им было доказано, что первичные альтернативные и мальцевские нелиевы алгебры не имеют нетривиальных д-дифференцирований; первичные алгебры Ли не имеют ненулевых д-дифференцирований при д отличном от -1, 0, 1/2,1; первичные алгебры Ли с невырожденной симметрической инвариантной билинейной формой не имеют нетривиальных д-дифференцирований; а также, были приведены примеры нетривиальных 1/2-дифференцирований для простой бесконечномерной алгебры Ли W1. В дальнейшем, исследования в области д-дифференцирований продолжил П. Зусманович [37]. Им были описаны д-дифференцирования и д-супердифференцирования первичных супералгебр Ли и в положительной характеристике им был дан положительный ответ на вопрос В.Т. Филиппова о существовании делителей нуля в кольце 1/2-дифференцирований первичной алгебры Ли. А именно, было показано, что первичная супералгебра Ли не имеет ненулевых д-дифференцирований и д-супердифференцирований при д отличном от -1,0,1/2,1, а пространство 1/2-дифференцирований (соответственно, 1/2-супердифференцирований) совершенной супералгебры Ли с нулевым центром, обладающей невырожденной суперсимметрической инвариантной билинейной формой, совпадает с центроидом (соответственно, суперцентроидом) супералгебры. В работе И.Б. Кайгородова, выполненной в рамках НИР, дается полное описание д-супердифференцирований простых конечномерных лиевых и йордановых супералгебр над алгебраически замкнутыми полями характеристики нуль. Доказано отсутствие нетривиальных д-супердифференцирований у данного класса супералгебр.

8. Оценка актуальности поставленных задач

Изучение неассоциативных алгебраических систем, возникающих в математической физике, некоммутативной алгебраической геометрии и квантовой алгебре.

Задачи, на решение которых направлен данный проект, относятся к теории йордановых алгебр, алгебр Мальцева, супералгебр, диалгебр, конформных алгебр и связанных с ними конструкций. Актуальность данной тематики вызвана тесными связями рассматриваемых алгебраических структур с другими областями математики и математической физики. Так, йордановы и конформные алгебры первоначально возникли как аксиоматические конструкции, формализующие понятия квантовой механики; аналогичные структуры возникают при рассмотрении алгебр дифференциальных операторов и, в более общей форме, комодульных алгебр, дифференциальных алгебр и формального вариационного исчисления в теории нелинейных эволюционных уравнений. Альтернативные алгебры и алгебры Мальцева являются инструментом некоммутативной дифференциальной геометрии, что мотивирует исследования в этой области.

Структурной и комбинаторной теории конформных алгебр и псевдоалгебр посвящены работы ряда авторов. Первоначально возникшие как инструмент исследования вертексных операторных алгебр в конформной теории поля, конформные алгебры, их структурная теория и теория представлений стали самостоятельной областью чисто алгебраического исследования. Среди важнейших результатов отметим классификацию простых и полупростых ассоциативных и лиевых псевдоалгебр конечного типа (Д'Андреа - Кац, 1998; Бакалов - Д'Андреа - Кац, 2001), описание простых ассоциативных конформных алгебр линейного роста (Ретах, 2001; Зельманов, 2003; Колесников, 2006). Так, П. Колесниковым разработана техника работы с алгебрами в псевдотензорной категории, оперирующая понятиями универсальной алгебры. Построен аналог конструкции Титса-Кантора-Кехера (ТКК) для йордановых псевдоалгебр конечного типа. Описаны простые и полупростые ассоциативные конформные алгебры с точным представлением конечного типа. Получены аналоги структурных теорем Веддерберна для ассоциативных конформных алгебр с точным представлением конечного типа. Эти результаты явились решением известных проблем, поставленных Е. Зельмановым и В. Кацем.

Понятие (ассоциативной) диалгебры было введено Ж.-Л. Лодеем для исследования алгебр Лейбница. Категория ассоциативных диалгебр играет в теории алгебр Лейбница ту же роль, что категория ассоциативных алгебр для алгебр Ли. Аналогичная конструкция для йордановых алгебр была предложена П. Колесниковым (2008) и независимо Р. Гонсалесом и Р. Фелипе (2008), а также М. Бремнером (2009). Изучение алгебр типа Лодея (дендриформных алгебр, триалгебр и т.п.) активно проводится в работах многих исследователей. Теория диалгебр оказывается тесно связанной с теорией конформных алгебр. Исследования этой связи позволяют решать известные задачи о диалгебрах, а также формулировать новые задачи, выделяя специфические классы таких систем. В частности, П. Колесниковым был доказан аналог теоремы Адо для алгебр Лейбница.

Исследования строения йордановых и лиевых супералгебр проводились Е. Зельмановым, В.Г. Кацем, К. Мартинез, И. Кантором, М. Расином, И.П. Шестаковым, ими были описаны простые конечномерные йордановы и лиевы супералгебры над алгебраически замкнутыми полями характеристики нуль и полупростые конечномерные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутыми полями характеристики отличной от 2. Особый интерес представляют исследования в области простых йордановых супералгебр, в частности, они позволяют обнаружить простые конечномерные йордановы супералгебры над произвольным полем, отличные от известных супералгебр, входящих в классификацию Зельманова-Мартинез-Каца и др.

9. Оценка сложности поставленных задач

Методы изучения неассоциативных структур можно условно разделить на две группы - структурные и комбинаторные. Структурные методы предполагают последовательное системное изучение теории соответствующих алгебраических систем, классификацию простых объектов, доказательство теорем о разложении алгебр на простые компоненты и последующее использование этой классификации. Комбинаторные методы предполагают получение информации об алгебраической структуре путем манипуляций с формальными термами и анализа асимптотического поведения характеристик размерности (например, размерности Гельфанда - Кириллова). Успешное решение конкретных алгебраических задач требует, как правило, разработки и применения как структурных, так и комбинаторных методов. Так, в работах П. Колесникова были предложены, развиты и использованы новые подходы в теории конформных алгебр и диалгебр. Сущность этих подходов состоит в адаптации комбинаторной составляющей теории обычных алгебр к случаю новых объектов исследования. Адекватным языком для реализации этой идеи является теория операд. Для изучения дельта-дифференцирований йордановых супералгебр, будут применяться методы, разработанные в ранних работах И.Б. Кайгородова по классификации дельта-дифференцирований простых конечномерных йордановых и лиевых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, а также методы, благодаря которым были классифицированны полупростые конечномерные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутыми полями характеристики отличной от 2, предложеные в работах Е. Зельманова, К. Мартинез, В. Каца, И. Шестакова, М. Расина, и и методы исследований супералгебр йордановой скобки, предложенные в работах Д. Кинга и К. Маккриммона.

Исследования биалгебр Ли были инициированы В. Дринфельдом (1983) для изучения решений классического уравнения Янга - Бакстера. Это уравнение, первоначально возникшее как инструмент решения обратной задачи рассеяния в математической физике, оказывается связанным со многими физическими моделями и математическими структурами. В работах В. Желябина (1997, 1998) было дано определение общее биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга-Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением. Аналогичные структуры для ассоциативного случая были введены под названием сбалансированных биалгебр и изучались С. Джони и Г. Рота (1979), а также М. Агуйаром (2001). Свойства Д-биалгебр тесно связаны с решениями аналога уравнения Янга-Бакстера. Ассоциативные классические уравнения Янга-Бакстера с параметрами рассматривал А. Полищук (2002). Класс йордановых Д-биалгебр, связанный с йордановым аналогом уравнения Янга-Бакстера, был определен В. Желябиным (1999), и было доказано, что всякая конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая полупроста как алгебра, принадлежит этому классу. С каждой лиевой, ассоциативной или йордановой биалгеброй можно связать так называемую тройку Манина. А. Мудров (2004) исследовал тройки Манина для ассоциативных алгебр как инструмент построения решений уравнения Янга-Бакстера. В дальнейшем, участником проекта М.Е. Гончаровым введены уравнения Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах и доказывано, что биалгебры, индуцированные решениями этих уравнений являются альтернативными Д-биалгебрами. Описана структура альтернативной Д-биалгебры, заданная на матричной алгебре Кэли-Диксона.

Заключение

В ходе исполнения 1 этапа «Постановка задач» получены следующие результаты:

Доказано существование копроизведения в категории градуированных жестких групп, с помощью этой конструкции построена координатная группа аффинного пространства данной размерности и доказана неприводимость (в топологии Зарисского) всего пространства. Получен критерий существования р-холловых подгрупп в конечной группе. Получен критерий сопряженности всех р-холловых подгрупп в конечной группе. Решена проблема Ши Вужди из «Коуровской тетради»: доказано, что конечная и конечная простая группа, имеющие одинаковые спектры и порядки, изоморфны. Изучено композиционное строение конечных групп, изоспектральных простым линейным и унитарным группам. Описано строение максимальных коклик в графе простых чисел конечных простых групп. Доказано, что любая конечная простая группа распознаётся в классе всех конечных групп по её спектру и порядку. Доказана конечность периодической группы, порождённой парой почти квадратичных автоморфизмов абелевой группы. Получена формула числа подгрупп данного конечного индекса в группах Баумслага-Солитера с произвольными ненулевыми параметрами. Получено полное описание всех подгрупп конечного индекса групп Баумслага-Солитера с взаимно простыми параметрами. Завершено арифметическое описание спектров всех конечных простых классических групп. Показано, что не существует трех конечных простых групп с одинаковым спектром. Доказано, что простая группа L₁₆(2) однозначно определяется своим графом простых чисел среди всех конечных групп. Тем самым предъявлен первый пример распознаваемой по графу группы со связным графом простых чисел.

Построены новые примеры йордановых супералгебр над произвольным полем. Классифицированы простые конечномерные структуризуемые и некоммутативные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Описаны д-супердифференцирования простых конечномерных йордановых и лиевых супералгебр.

Выполненные на 1 этапе работы соответствуют требованиям технического задания, календарного плана и нормативной документации.

Приведены списки опубликованных работ, выступлений на научных форумах, а также другие показатели успешной работы в рамках данного проекта.

Полученные результаты имеют мировой уровень, а исполнители представляют передовой фронт науки в указанных областях.

По результатам НИР напрашивается вывод о целесообразности продолжения работ.

Список использованных источников

1. А.В. Васильев, Е.П. Вдовин, «Критерий смежности в графе простых чисел конечной простой группы», Алгебра и логика, 44:6 (2005), 682-725

2. А.В. Васильев, М.А. Гречкосеева, В.Д. Мазуров, О конечных группах, изоспектральных простым симплектическим и ортогональным группам, Сиб. матем. журн., 50:6 (2009), 1225-1247

3. S.A. Joni, G.-C. Rota, Coalgebras and bialgebras in combinatorics, Stud. Appl. Math., 61 (1979), no. 2, 93-139.

4. M. Aguiar, On the associative analog of Lie bialgebras, J. Algebra 244 (2001), no. 2, 492-532.

5. В.Н. Желябин, Об одном классе йордановых Д-биалгебр, Алгебра и анализ, 11:4 (1999), 64-94

6. Mudrov, A.I. Associative triples and the Yang-Baxter equation, Israel J. Math, 139 (2004), 11-28.

7. М.Е. Гончаров, «Классическое уравнение Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли-Диксона», Сиб. матем. журн., 48:5 (2007), 1008-1024

8. А.А. Белавин, В.Г. Дринфельд, «О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли», Функц. анализ и его прил., 16:3 (1982), 1-29

9. R. Velбsquez, R. Felipe, Quasi-Jordan algebras, Comm. Algebra, 36 (2008), no. 4, 1580-1602.

10. П.С. Колесников, «Многообразия диалгебр и конформные алгебры», Сиб. матем. журн., 49:2 (2008), 322-339

11. А.П. Пожидаев, «0-диалгебры с бар-единицей и неассоциативные алгебры Рота-Бакстера», Сиб. матем. журн., 50:6 (2009), 1356-1369

12. V.L. Girko, Random matrices, Handbook of Algebra, ed. M. Hasewinkel, Elsevier Sciences B.V. (1996), vol. 1, 27-48.

13. A. Edelman, N. Raj Rao, Random matrix theory, Acta Numerica (2005), 233-297.

14. A. Edelman, The probability that a random real Gaussian matrix has k real eigenvalues, related distributions, and the circular law, J. Multivariate Anal. (1997), vol. 60, 203-232.

15. Л.Т.К. Тханг, С.А. Пиунихин, В.А. Садов, Геометрия квазикристаллов, Успехи математических наук (1993), Т. 48, №1, 41-102.

16. В.А. Артамонов, Ю.Л. Словохотов, Группы и их применения в физике, химии, кристаллографии, М.: Academa (2005).

17. C. Janot, Quasicrystals. A Primer, Clarendon Press, Oxford (1994).

18. R.V. Moody, Model sets: a servey, From Quasicrystals to More Complex Systems (Le Houches, 1998), Springer-Verlag, Berlin, 145-166.

19. Р.М. Гарипов, Группы орнаментов на плоскости Миньковского, Алгебра и логика (2003), Т. 42, №6, 655-682.

20. В.А. Шарафутдинов, Интегральная геометрия тензорных полей, ВО ``Наука'' Новосибирск (1993).

21. V. Sharafutdinov, Slice-by-slice reconstruction algorithm for vector tomoghraphy with incomplete data, Inverse Problems 23 (2007), 2603-2627

22. A. Kasman, K. Pedings, A. Reiszl, T. Shiota, Universality of Rank 6 Plucker relations and Grassmann cone preserving maps, Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008), 77-87

23. W.V.D. Hodge, Some enumeritave results in the theory of forms, Proc. Cambridge Philos. Soc. 39 (1943), 22-30

24. А.А. Бутурлакин, М.А. Гречкосеева, «Циклическое строение максимальных торов в конечных классических группах», Алгебра и логика, 46:2 (2007), 129-156.

25. M. Hagie, The prime graph of a sporadic simple group, Comm. Alg. (2003), 31, 9, 4405-4424.

26. B. Khosravi, B. Khosravi, B. Khosravi, A characterization of the finite simple group L16 (2) by its prime graph. Manuscr. Math. (2008), 126, 1. 49-58.

27. V.G. Kac, Lie superalgebras, Advances in Math, 26 (1977), 1, 8-96.

28. M. Racine, E. Zelmanov, Simple Jordan superalgebras, Nonassociative Algebra and its Applications, Ed. By E. Gonzalez. Kluwer Academic Publishers, (1994), 344-349.

29. C. Martinez, E. Zelmanov, Simple finite-dimensional Jordan superalgebras of prime characteristic, J. of Algebra, 236 (2001), 2, 575-629.

30. N.C. Hopkins, Generalizes Derivations of Nonassociative Algebras, Nova J. Math. Game Theory Algebra, 5 (1996), 3, 215-224.

31. В.Т. Филиппов, Об алгебрах Ли, удовлетворяющих тождеству 5-ой степени, Алгебра и логика, 34 (1995), 6, 681-705.

32. R.B. Brown, N.C. Hopkins, Noncommutative matrix Jordan algebras, Cayley-Dicson algebras, and Schafer's theorem, Comm. Algebra, 23 (1995), 1, 373-397.

33. В.Т. Филиппов, О д-дифференцированиях алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 39 (1998), 6, 1409-1422.

34. В.Т. Филиппов, О д-дифференцированиях первичных алгебр Ли, Доклады РАН, 364 (1999), 4, 453-454.

35. В.Т. Филиппов, О д-дифференцированиях первичных алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 40 (1999), 1, 201-213.

36. В.Т. Филиппов, О д-дифференцированиях первичных альтернативных и мальцевских алгебр, Алгебра и Логика, 39 (2000), 5, 618-625.

37. P. Zusmanovich, On д-derivations of Lie algebras and superalgebras, arXiv:0907.2034v2.

Размещено на Allbest.ru