Актуальные проблемы современной алгебры

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Актуальные проблемы современной алгебры

Введение

супералгебра абелевый хиггсовский алгебра

Выполнение НИР направлено на проведение фундаментальных исследований в области современной алгебры, с целью получения научных результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов.

В состав разрабатываемой научной продукции входят математические модели задач; алгоритмы и методы решения поставленных задач; публикации результатов исследований в отечественных и зарубежных изданиях; диссертации; дипломные и курсовые работы; отчет о НИР, содержащий обоснование развиваемых направлений исследований, изложение методик проведения исследований, а также описание полученных результатов.

Результаты исследований носят фундаментальный характер и могут быть востребованы во многих сферах научной деятельности: в теории супералгебр, теории формаций, теории конечных групп, теории групп с условиями конечности и других областях. Полученные на данном этапе результаты по абелевым группам были применены для исследования современной стандартной модели гравитации в физике элементарных частиц.

Результаты исследований вошли в курсовые и дипломные работы исполнителей, были востребованы в процессе подготовки научных публикаций и при подготовке докладов на отечественных и международных конференциях.

Результаты НИР внедряются в образовательный процесс: при чтении математических курсов для студентов и аспирантов; при проведении курсов повышения квалификации молодых преподавателей НГУ и научных сотрудников ИМ СО РАН, а также, при проведении специальных семинаров по современным разделам математики в Новосибирском Государственном университете и Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Результаты подтверждены публикациями в высокорейтинговых реферируемых научных журналах, а также выступлениями на российских и международных конференциях по тематике НИР.

За отчетный период исполнителями получен ряд результатов мирового уровня. Получены новые фундаментальные результаты, найдены новые подходы, разработаны новые алгоритмы, найдены новые приложения, опубликованы и сданы в печать новые научные статьи, защищены выпускные работы бакалавров и магистерские работы, а также осуществляется внедрение результатов в учебный процесс.

1. Изучение супералгебр

Алгебры Новикова возникли в 1979 году в работе И.М. Гельфанда и И.Я. Дорфмана [1] как формализм, описывающий условие гамильтоновости операторов определенного вида, действующих на гладких конечномерных многообразиях со значениями в алгебрах Ли векторных полей. В работе А.А. Балинского и С.П. Новикова [2] алгебры Новикова были введены для изучения свойств локальных алгебр Ли, возникающих из скобок Пуассона гидродинамического типа. Простые конечномерные алгебры Новикова над полем нулевой характеристики были описаны Е.И. Зельмановым [3]. Как оказалось, всякая такая алгебра является полем. Примеры неассоциативных конечномерных простых алгебр Новикова над полем ненулевой характеристики и бесконечномерных простых алгебр Новикова над полем нулевой характеристики получены В.Т. Филипповым [4]. Классификации простых алгебр Новикова с идемпотентом посвящены работы М. Осборна [5-7]. Полная классификация простых конечномерных алгебр Новикова над алгебраически замкнутым полем характеристики p>0 дана К. Ксу [8-10].

Алгебры Новикова-Пуассона, введенные К. Ксу, являются алгебраической структурой с двумя умножениями. Относительно одного умножения ? это ассоциативная коммутативная алгебра, относительно другого ? это алгебра Новикова. Как оказалось, каждая алгебра Новикова-Пуассона с ассоциативной коммутативной единицей может быть получена из ассоциативной коммутативной дифференциальной алгебры. В частности, каждая простая конечномерная алгебра Новикова над алгебраически замкнутым полем характеристики p>0 является алгеброй Новикова-Пуассона с ассоциативной коммутативной единицей. В работе А.С. Тихова [11] установлено соответствие между алгебрами Новикова-Пуассона с ассоциативной коммутативной единицей и йордановыми супералгебрами. В.Н. Желябиным и А.С. Тиховым [12] были описаны алгебры Новикова-Пуассона, у которых алгебра Новикова не является простой алгеброй, а соответствующая ей ассоциативная коммутативная дифференциальная алгебра является дифференциально простой. В частности, доказано, что над полем характеристики не равной 2 алгебра Новикова проста тогда и только тогда, когда дифференциально проста ее ассоциативная коммутативная дифференциальная алгебра. Конструкцию алгебр Новикова-Пуассона можно обобщить, если отказаться от требования быть алгеброй Новикова относительно второго умножения. Такие алгебраические системы называются обобщенными алгебрами Новикова-Пуассона. Ранее было доказано, что если для произвольной алгебры Новикова-Пуассона в ее определении опустить требование быть алгеброй Новикова, то коммутатор относительно умножения в алгебре Новикова будет йордановой скобкой, т.е. соответствующий ей дубль Кантора будет йордановой супералгеброй. Кроме того, если йорданова супералгебра проста, то ассоциативная коммутативная алгебра унитальна, и значит, йорданова супералгебра будет супералгеброй векторного типа. В этом случае алгебра относительно второго умножения будет простой алгеброй Новикова. Обратно, если у алгебры Новикова-Пуассона алгебра Новикова проста, и квадрат ассоциативной коммутативной алгебры совпадает с ней самой, то ассоциативная коммутативная алгебра унитальна. При этом либо алгебра Новикова является полем, либо соответствующая ей йорданова супералгебра является простой супералгеброй векторного типа.

Интерес представляет специальность йордановой супералгебры, построенной по алгебре Новикова-Пуассона. Йорданова супералгебра называется специальной, если она вложима в некоторую супералгебру, полученную из ассоциативной супералгебры заменой ассоциативного умножения на суперсимметрическое. Для решения этой задачи была предложена конструкция кольца частных для обобщенной алгебры Новикова-Пуассона относительно некоторого мультипликативного множества для ассоциативной коммутативной алгебры. Если ассоциативная коммутативная часть алгебры Новикова-Пуассона содержит хотя бы один не делитель нуля, то мультипликативное множество может быть выбрано как множество всех степеней этого элемента. Тогда естественный гомоморфизм из алгебры Новикова-Пуассона в кольцо частных будет вложением. Доказано, что полученное кольцо частных есть алгебра Новикова-Пуассона, и что естественный гомоморфизм будет не только вложением ассоциативных алгебр, но и обобщенных алгебр Новикова-Пуассона. Таким образом, получили вложение обобщенной алгебры Новикова-Пуассона в алгебру Новикова-Пуассона векторного типа. Из работы К. МакКриммона [13] известно, что йорданова супералгебра векторного типа специальна. Поэтому, для исходной обобщенной алгебры с хотя бы одним не делителем нуля относительно ассоциативного коммутативного умножения дубль Кантора будет специальной йордановой алгеброй.

Ранее исполнителем данного проекта А.П. Пожидаевым совместно с другими авторами были классифицированы центральные простые конечномерные некоммутативные йордановы супералгебры характеристики 0 и степени n>2. На данном этапе были рассмотрены оставшиеся случаи, а именно, случаи степеней 1 и 2.

Класс некоммутативных йордановых супералгебр чрезвычайно обширен: он включает в себя альтернативные супералгебры, йордановы супералгебры, квазиассоциативные супералгебры, квадратичные эластичные супералгебры и суперантикоммутативные супералгебры.

В случае простых некоммутативных йордановых алгебр характеристики 0 Р. Шейфер доказал, что они являются либо простыми коммутативными йордановыми алгебрами, либо простыми квазиассоциативными алгебрами, либо простыми эластичными алгебрами степени два. Р. Оемке перенес классификацию Р. Шейфера на случай эластичных алгебр со строго ассоциативными степенями характеристики не 2 и не 3, К. МакКриммон - на некоммутативные йордановы алгебры степени >2 и характеристики не 2, а K. Смит описал такие алгебры степени два; случай нодальных простых алгебр положительной характеристики в основном рассматривался Л. Кокорисом; случай бесконечномерных йордановых алгебр рассматривался в работах И.П. Шестакова и В.Г. Скосырского.

Случай конечномерных простых йордановых супералгебр над алгебраически замкнутыми полями характеристики ноль был рассмотрен В. Кацем и И. Кантором. Изучение йордановых супералгебр положительной характеристики было инициировано И. Капланским. М. Расин и Е. Зельманов классифицировали конечномерные простые йордановы супералгебры характеристики не 2 с полупростой четной частью; К. Мартинез и Е. Зельманов рассмотрели случай, когда четная часть не является полупростой, а Е. Зельманов рассмотрел оставшийся неунитальный случай.

А.П. Пожидаевым было получено описание простых некоммутативных йордановых супералгебр характеристики 0 и степени 2, а также некоммутативных йордановых супералгебр характеристики 0 и степени 1. Вопрос в данном случае сводится к описанию дифференцирований супералгебры Грассмана, относительно которых она является дифференциально простой.

Поскольку некоммутативные йордановы супералгебры находятся во взаимно однозначном соответствии с йордановыми супералгебрами, допускающими структуру скобки Пуассона, то следствием полученных результатов является описание скобок Пуассона на простых конечномерных йордановых супералгебрах характеристики 0. Для супералгебр степени не равной 1, были явно описаны скобки Пуассона, а для оставшихся супералгебр, исследованных нами ранее, это описание также получается из доказанного результата.

Для получения указанных результатов мы используем супераналог разложения Пирса, переход к грассмановой оболочке супералгебры, мутации супералгебр, и работу с тождествами супералгебр.

Дуальным понятием алгебры над полем является понятие коалгебры. Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на которых задана операция умножения, согласованная, в определенном смысле, с коумножением. Такие объекты называются биалгебрами. Примером биалгебры служат алгебры Хопфа в которых коумножение - это гомоморфизм соотвествующих алгебр. Нассоциативным аналогом алгебр Хопфа являются алгебры Хопфа-Муфанг которые связаны с лупами Муфанг также как алгебры Хопфа связаны с группами.

Другими примерами биалгебр являются биалгебры Ли, которые были введены Дринфельдом для изучения решений классического уравнения Янга-Бакстера. Биалгебры Ли - это одновременно алгебры Ли и коалгебры Ли, коумножение которых является 1-коциклом. Коалгебры Ли были введены Михаэлисом.

Алгебры Мальцева были введены А.И. Мальцевым как касательные алгебры локальных аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита. Важным примером нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с нулевым следом алгебры Кэли-Диксона относительно операции коммутирования в качестве умножения.

В 2004 И.П. Шестаков и Х. Перез-Искуедро доказали, что любая алгебра Мальцева является подалгеброй коммутаторной алгебры обобщенного альтернативного центра некоторой неассоциативной алгебры. Среди этих неассоциативных обертывающих алгебр Мальцева, как и в случае алгебр Ли, существует универсальная обертывающая алгебра. Во многом свойства этих универсальных алгебр близки к свойствам универсальных обертывающих алгебр Ли. В частности, универсальные обертывающие алгебр Мальцева являются коассоциативными кокоммутативными алгебрами Муфанг-Хопфа.

Между тем до сих пор известно не много примеров некокоммутативных H-биалгебр. В случае алгебр Хопфа, важные примеры некокоммутативных алгебр Хопфа возникают при квантовании универсальных обертывающих алгебр для биалгебр Ли. К сожалению, для биалгебр Мальцева невозможно квантовать универсальную обертывающую алгебру, построенную И.П. Шестаковым и Х. Перез-Искуедро в том смысле, в котором строится квантовая универсальная обертывающая для биалгебр Ли.

П.О. Михеев доказал, что любая алгебра Мальцева вкладывается в некоторую алгебру алгебру Ли с тройственностью. Гришков и Заварницин доказали, что произвольная лупа Муфанг вкладывается в группу с тройственностью. Этот результат позволил Х. Перез-Изкуедро, С. Мадариага и Дж. Бенкарт доказать, что любая алгебра Муфанг-Хопфа вкладывается в алгебру Хопфа с тройственностью. Более того, они доказали, что универсальная обертывающая алгебра произвольной алгебры Ли с тройственностью является алгеброй Хопфа с тройственностью. Данный результат дает новую конструкцию универсальной обертывающей алгебры для алгебр Мальцева. Перенос результатов Михеева на случай биалгебры Мальцева в сумме с имеющимеся результатами позволят искать квантовую универсальную обертывающую алгебру для биалгебр Мальцева переходя в начале, от биалгебр Ли к биалгебрам Ли с тройственностью, затем к алгебрам Хопфа с тройственностью, затем строя квантовую универсальную обёртывающую алгебру с тройственностью полученной биалгебры Ли с тройственностью, и в конце строя алгебру Муфанг-Хопфа.

За отчетные период было доказано, что в коалгебре Мальцева с тройственностью на множестве симметрических относительно инволюции элементов можно задать структуру коалгебры Мальцева, связанную в некотором смысле со структурой исходной коалгебры Ли. При доказательстве использовались методы, разработанные Михеевым при работе с алгебрами Ли с тройственностью. В начале доказывается, что коалгебра Ли с тройственностью L является прямой суммой множества кососимметрических относительно инволюции элементов M и подходящего подпространства сH. Подпространство M не замкнуто относительно исходного коумножения, то есть не является подкоалгеброй в L, однако оказывается, что если рассмотреть проекцию исходного коумножения (ограниченного на M) на M?M параллельно сH, то пространство M с построенным таким образом коумножением будет коалгеброй Мальцева.

Данный результат частично переносит результаты Михеева и Перез-Искуедро на случай коалгебр Мальцева.

В связи с исследованиями в области двумерной конформной теории поля в 80-е годы у Белавина, Замолодчикова и Полякова возникли вертексные операторы. Изучение вертексных операторов привело Каца в середине 90-х годов к рассмотрению конформных алгебр, кодирующих сингулярную часть структуры вертексных алгебр. К настоящему времени теория ассоциативных и лиевых конформных алгебр оформилась в самостоятельное направление исследований, в котором получены многие глубокие структурные результаты. В частности, описаны простые и полупростые ассоциативные конформные алгебры конечного типа и линейного роста.

Колесниковым была обнаружена полезная и неожиданная связь между конформными алгебрами и диалгебрами - пространствами с двумя билинейными операциями, возникшими в работах Ж.-Л. Лодея и соавторов по алгебраической К-теории. Понятия диалгебр (ассоциативной и лиевой), как и их естественного обобщения, триалгебр, появились 1993 и 2001 годах, соответственно. Общий подход для определения диалгебр произвольного многообразия Var был получен ранее Колесниковым в 2008 году, а для триалгебр - Колесниковым и Губаревым в 2011 году.

Основным объектом исследования в данной работе являются Г-конформные алгебры, введённые Кацем и Голенищевой-Кутузовой как дискретные аналоги конформных алгебр. Именно, структура Г-конформной алгебры кодирует сингулярную часть разложения операторного произведения полей, имеющего набор особых точек - простых полюсов (в отличие от «обычных» конформных алгебр, отвечающих случаю одного полюса произвольной кратности). Для группы Г= <Z,+> целых чисел по сложению определяются Z-конформные алгебры. Ранее Колесниковым и Губаревым были введены такие основные понятия для Z-конформных алгебр, как идеал, простота, полупростота, конечный тип, функция локальности, и была доказана

Теорема 1. Простая ассоциативная Z-конформная алгебра конечного типа является алгеброй петель от некоторой простой ассоциативной конечномерной алгебры.

На данном этапе было получено обобщение данной теоремы для полупростых алгебр:

Теорема 2. Полупростая ассоциативная Z-конформная алгебра конечного типа разлагается в конечную прямую сумму простых ассоциативных Z-конформных алгебр конечного типа.

Ключевой идеей доказательства теоремы 2 является построение пирсовского разложения для ассоциативных Z-конформных алгебр. Из теорем 1 и 2 следует полное описание с точностью до изоморфизма ассоциативных Z-конформных алгебр конечного типа, не содержащих нильпотентных идеалов.

Для исследовавшихся ранее многообразий обобщённых триалгебр дано эквивалентное определение в терминах белого произведения операды gCommTrias и операды, соответствующей рассматриваемому многообразию Var. Этот результат был проверен для ассоциативных, коммутативных и лиевых триалгебр на программе manin, написанной Колесниковым. При помощи указанной программы решена проблема из [14], посвященная вычислению белого произведения Манина операд Lie и As: показано, что полученная операда эквивалентна свободной операде многообразия алгебр с двумя билинейными операциями.

При помощи вычислений в алгебре Хопфа получены следующие результаты:

Теорема 3. На произвольной Г-конформной алгебре многообразия Var можно задать структуру обобщённой триалгебры многообразия Var.

Теорема 4. В случае основного поля положительной характеристики триалгебру произвольного многообразия можно вложить в некоторую Г-конформную алгебру петель того же многообразия.

Отметим, что доказательство теоремы 4 носит конструктивный характер, обёртывающая Г-конформная алгебра петель построена явно.

Методика исследований включает структурную и комбинаторную теорию ассоциативных колец, теорию алгебр Хопфа и методы универсальной алгебры.

1.1 Исследования в конечных группах

Пусть G - конечная группа подстановок, действующая транзитивно на некотором (конечном) множестве X. Размером базы группы G называется такое конечное число k, что существуют k точек x₁,…, x_k, поточечный стабилизатор которых тривиален, т.е. из того, что элемент g из G стабилизирует каждую из точек x₁,…, x_k следует, что g=1. При этом сам этот набор точек называется базой группы G. Нахождения размера базы и самой базы - одна из важнейших задач современной теории конечных групп. Размер базы особенно важен для изучения сложности алгоритмов, в основе которых лежат вычисления в конечных группах, а также для исследования самих групп с помощью компьютерных вычислений. В настоящее время существуют тысячи работ, написанных сотнями авторов, в которых исследуется размер базы и связанные с ним инварианты группы. В частности, в серии работ различных авторов доказано, что для произвольной почти простой группы размер базы, действующей транзитивно и примитивно, либо не превышает 7, либо цоколь этой группы - знакопеременная или классическая группа, а стабилизатор точки - параболическая подгруппа. Несмотря на столь существенные продвижения в изучении размера базы для различных классов групп (в частности, для конечных почти простых групп), вопрос о размере базы для произвольной группы ещё очень далёк от своего решения. На данный момент не существует даже правдоподобных гипотез в этом направлении. Таким образом, исследования размера базы с одной стороны являются актуальным и бурно развивающимся направлением современной математики, а с другой стороны, все результаты, полученные в данном направлении, носят лишь частичный характер и справедливы для частных случаев.

В рамках работы над настоящим проектом разработана техника, которая позволяет сводить изучение размера базы произвольной группы к исследованию размера базы её композиционных факторов. В частности, если стабилизатор точки разрешим и имеет тривиальное пересечение с разрешимым радикалом всей группы, то доказано, что оценка для размера базы всей группы может быть получена в терминах размеров баз неабелевых композиционных факторов этой группы. Более точно, получен следующий результат.

Теорема. Пусть G - конечная группа, действующая транзитивно на множестве X. Предположим, что стабилизатор точки S разрешим и либо не пересекается с разрешимым радикалом группы G, либо содержит этот радикал. Рассмотрим некоторый композиционный ряд

1=G₀<G₁<…<G_n=G,

являющийся уплотнением некоторого главного ряда группы G. Предположим, что для любого неабелева композиционного фактора G_i/G_i-1 группы G и для любой разрешимой подгруппы T группы Aut_G(G_i/G_i-1) размер базы этой группы G-индуцированных автоморфизмов, действующей на смежных классах Aut_G(G_i/G_i-1) по T правыми умножениями, не превосходит некоторого k. Тогда размер базы группы G не превосходит максимального из чисел 6 и k.

Тем самым исследование размеров базы в группах с разрешимым стабилизатором точки сводится к аналогичному вопросу для групп индуцированных автоморфизмов их композиционных факторов. Напомним, что для произвольной секции A/B группы G нормализатором N (G, A/B) этой секции называется пересечение подгрупп N (G, A) и N (G, B), а образ этого нормализатора в группе Aut (A/B) обозначается через Aut_G(A/B) и называется группой индуцированных автоморфизмов секции A/B.

Основным техническим инструментом при доказательстве этой теоремы является следующая конструкция. Если обобщённая подгруппа Фиттинга группы G является произведением нескольких копий изоморфных неабелевых простых групп T и сама группа G действует сопряжениями транзитивно на этих группах, то можно построить каноническое вложение G в подстановочное сплетение Aut_G(T) г S_n. При этом многие свойства относительно данного вложения можно контролировать. В частности, удаётся оценить размер базы группы G в терминах размера базы Aut_G(T). Отметим, что разработанная техника не имеет аналогов в мире и вызвала активный интерес у ведущих специалистов, работающих в этой области.

Пусть р ? некоторое множество простых чисел. Для произвольного натурального числа n через р(n) обозначим множество простых делителей числа n. В 1928 году Ф. Холл, обобщая понятие силовской подгруппы, предложит определение S_р-подгруппы, которые позже стали называть р-холловыми подгруппами. Подгруппа H группы G называется р-холловой, если её порядок делится на простые числа только из р (такие группы ещё называются р-группами), а её индекс |G:H| не делится на простые числа из р. Исследования холловых подгрупп составляют заметную часть исследований по теории конечных групп. В частности, начиная с 1992 года в известном классификаторе Американского математического общества исследованиям холловых подгрупп присвоен специальный код. Вторым классическим вопросом в теории групп является исследование нормальных подгрупп и их обобщений. Одним из таких обобщений является понятие пронормальной подгруппы. Напомним, что подгруппа H группы G называется пронормальной, если для любого элемента g из G подгруппы H и H^g сопряжены в подгруппе, ими порождённой. Данным понятиям порождено множество работ исследователей по теории групп, а их приложения находят место в самых различных отраслях теории групп.

Мы будем использовать термин «группа» в значении «конечная группа», если не оговорено противное. Через р, как и ранее, обозначается некоторое фиксированное множество простых чисел, а через p ? некоторое простое число. Символом р' обозначается множество всех простых чисел, не лежащих в р, символом р(n) ? множество всех простых делителей натурального числа n, а символом р(G) ? множество р (|G|) для группы G.

Напомним, что группа G называется р-группой, если р(G) ? р.

Подгруппа H группы G называется р-холловой подгруппой, если р(H) ? р и р (|G:H|) ? р'.

Будем говорить, что группа G обладает свойством E_р, если в G имеется хотя бы одна р-холлова подгруппа. Если в группе G со свойством E_р любые две р-холловы подгруппы сопряжены, то будем говорить, что G обладает свойством C_р. Если любая р-подгруппа группы G, обладающей свойством C_р, содержится в некоторой р-холловой подгруппе, то будем говорить, что G обладает свойством D_р. Группу со свойством E_р (C_р, D_р) будем называть также E_р-группой (соответственно C_р-группой, D_р-группой). Символы E_р, C_р и D_р будут использоваться также для обозначения классов всех E_р-, C_р- и D_р-групп соответственно. Если X ? некоторый класс групп, то через E_рX обозначается класс всех групп, обладающих по крайней мере одной р-холловой подгруппой, принадлежащей X, а через C_рX и D_рX ? классы C_р?(E_рX) и D_р?(E_рX) соответственно.

Напомним, что класс F групп называется формацией, если он замкнут относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений (другими словами, если для любой группы G и ее нормальных подгрупп M и N из G ЄF следует G/M Є F, а из G/M Є F и G/N Є F следует G/(M?N) ЄF.

Формация F называется:

1) p-насыщенной (p? простое число), если из G/N Є F, N? O_p(Ц(G)) всегда следует G Є F (здесь и далее O_p(G) ? наибольшая нормальная р-подгруппа группы G для фиксированного множества р простых чисел, а Ц(G)$ ? подгруппа Фраттини группы G, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп);

2) насыщенной, если F является p-насыщенной для любого простого p;

3) p-разрешимо насыщенной, если из G/N Є F, N? O_p(Ц(G_p-у)), где G_p-у ? p-разрешимый радикал группы G, всегда следует G Є F;

4) разрешимо насыщенной, если из G/N Є F, N? Ц(G_у), где G_у ? разрешимый радикал группы G, всегда следует G Є F.

В 2011 году с использованием классификации конечных простых групп доказано, что класс E_р является формацией (отметим, что доказательство этого утверждения в работе В.А. Ведерникова 1996 года содержит пробел). В серии работ Вдовина и Ревина с использованием классификации конечных простых групп доказано, что группа обладает свойством D_р тогда и только тогда, когда каждый ее композиционный фактор обладает этим свойством. Отсюда следует, что класс D_р ? формация. Ввиду нильпотентности подгруппы Фраттини обе формации E_р и D_р являются насыщенными.

Блессенолем в 1974 году было доказано, что если F - насыщенная формация, то класс всех разрешимых C_рF - групп также является насыщенной формацией. В 1978 году Л.А. Шеметковым в его известной монографии «Формации конечных групп» была сформулирована следующая гипотеза.

Гипотеза. Пусть р ? некоторое множество простых чисел, F ? насыщенная формация. Тогда C_рF ? насыщенная формация.

Позднее в 1996 году для произвольной насыщенной формации F такой, что C_рF ? формация, Л.А. Шеметковым и А.Ф. Васильевым был получен критерий насыщенности C_рF. Как следствие, было установлено, что формация C_рN, где N ? формация всех нильпотентных групп, вообще говоря, не является насыщенной, и, таким образом, опровергнута гипотеза Л.А. Шеметкова в ее оригинальной постановке. Тем не менее, оставался до конца неисследованным вопрос, в каких случаях гипотеза верна. Этот вопрос сводится к следующему: будет ли формацией класс C_рF для произвольной формации F, и, в частности, для случая, когда F ? класс всех групп. Кроме того, представляют интерес условия, при которых класс C_рF будет разрешимо насыщенной, p-насыщенной или p-разрешимо насыщенной формацией.

В рамках работы над настоящим проектом в статье Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин, Л.А. Шеметков, «Формации конечных C_р-групп» Алгебра и анализ, 24:1 (2012), доказано, что для любой формации F класс C_рF является формацией (см. теорему 1 ниже). Это утверждение опирается на результаты работы Е.П. Вдовина и Д.О. Ревина 2010 года, в которой с использованием классификации простых групп получен критерий того, что группа обладает свойством C_р в терминах нормального строения этой группы и установлено, что свойство C_р наследуется некоторыми подгруппами индекса, не делящегося на числа из р, а также факторгруппами. Выяснено также, в каких случаях формация C_рF оказывается p-насыщенной или p-разрешимо насыщенной.

Сформулируем основные результаты работы Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин, Л.А. Шеметков, «Формации конечных C_р-групп».

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

1) класс C_р ? формация;

2) для любой формации F класс C_рF является формацией.

Следствие 1.1. В любой конечной группе существует C_р - корадикал, т.е. наименьшая нормальная подгруппа, фактор по которой является C_р-группой.

Теорема 2. Если F ? p-разрешимо насыщенная формация, то C_рF ? также p-разрешимо насыщенная формация.

Следствие 2.1. Пусть F ? p-разрешимо насыщенная формация, содержащая все p-группы. Предположим, что группа G имеет нормальную подгруппу A и нормальную p-подгруппу B такие, что B?A и A/B Є C_рF.

Если B содержится в подгруппе Фраттини p-разрешимого радикала группы G, то A Є C_рF.

Следствие 2.2. Если F ? разрешимо насыщенная формация, то C_рF ? также разрешимо насыщенная формация.

Следствие 2.3. Пусть C_рF ? разрешимо насыщенная формация. Предположим, что группа G имеет нормальные подгруппы A и B такие, что B?A и A/B Є C_рF. Если B содержится в подгруппе Фраттини разрешимого радикала группы G, то AЄ C_рF.

В оставшихся двух утверждениях, приведенных ниже, мы используем следующие обозначения и понятия. Через O_{p',p}(G) обозначается p-нильпотентный радикал группы G (наибольшая среди нормальных подгрупп, обладающих нормальной p'-холлловой подгруппой). Если X ? класс групп, то через form(X) обозначается наименьшая формация, содержащая X (пересечение всех формаций, содержащих X). Группа называется монолитической, если она обладает единственной минимальной нормальной подгруппой. Класс всех p-групп обозначается через N_p. Если X ? формация, то N_pX ? класс всех расширений p-групп с помощью X - групп.

Теорема 3. Пусть F ? p-насыщенная формация, p Є р. Тогда формация C_рF будет p-насыщенной в том и только в том случае, когда р-холлова подгруппа любой монолитической C_рF?группы с неабелевым цоколем порядка, делящегося на p, принадлежит формации N_pform (G/ O_{p',p}(G) | GЄF).

Следствие 3.1. Пусть F ? насыщенная формация. Тогда формация C_рF насыщена в том и только в том случае, когда р-холлова подгруппа любой монолитической C_рF?группы H с неабелевым цоколем N принадлежит формации N_pform (G/ O_{p',p}(G) | GЄF) для любого p Є р(N)?р.

В соответствии с определением Ф. Холла, подгруппа H группы G называется пронормальной, если для любого элемента g ЄG подгруппы H и H^g сопряжены в подгруппе < H, H^g >.

Классическими примерами пронормальных подгрупп являются:

нормальные подгруппы;

максимальные подгруппы;

силовские подгруппы конечных групп;

картеровы (т.е. нильпотентные самонормализуемые) подгруппы конечных разрешимых групп;

холловы подгруппы (т.е. подгруппы, у которых порядок и индекс взаимно просты) конечных разрешимых групп.

Пронормальность подгрупп в последних трёх примерах следует из сопряжённости силовских, картеровых и холловых подгрупп в соответствующих классах конечных групп. Е.П. Вдовину ранее удалось доказать сопряжённость картеровых подгрупп в произвольных конечных группах. Как следствие, картеровы подгруппы конечных групп пронормальны.

В отличие от картеровых подгрупп, холловы подгруппы в произвольной конечной группе могут оказаться несопряжёнными. Таким образом, важно исследовать вопрос, для каких классов конечных групп выполнена гипотеза о пронормальности холловых подгрупп. В работе Е.П. Вдовина и Д.О. Ревина «Пронормальность холловых подгрупп в конечных простых группах» выполненной в рамках данного проекта получен следующий результат.

Теорема. Холловы подгруппы конечных простых групп пронормальны.

Эта теорема даёт положительный ответ на вопрос 17.45 (а) из «Коуровской тетради» [15] и была анонсирована авторами в их обзорной работе 2011 года в «Успехах математических наук». В дальнейшем предполагается использовать этот результат для исследования наследуемости холлова свойства C_р надгруппами р-холловых подгрупп для произвольного множества р простых чисел.

Доказательство данного результата естественно разбивается на два случая. Первый случай ? когда холлова подгруппа H конечной простой группы G имеет нечетный порядок (эквивалентно, четный индекс). Разбор этого случая сводится к применению теоремы Ф. Холла 1956 года о сопряженности холловых подгрупп, имеющих силовскую башню одного типа, и теоремы Ф. Гросса 1987 года о том, что в конечных простых группах холловы подгруппы нечетного порядка обладают силовскими башнями. Во втором случае, когда холлова подгруппа H имеет четный порядок (эквивалентно, нечетный индекс), техника доказательства принципиально другая. Используются тот факт, что H содержит силовскую 2-подгруппу S группы G, и лемма, согласно которой для доказательства пронормальности подгруппы H достаточно установить сопряженность подгрупп H и H^g в < H, H^g > только для тех g, которые нормализуют подгруппу S. После этого применяется описание нормализаторов силовских 2-подгрупп в конечных простых группах, полученное А.С. Кондратьевым. Возможно, данная техника применима в более общей ситуации. Например, можно исследовать следующую гипотезу:

Гипотеза. В конечных простых группах подгруппы нечетного индекса пронормальны.

Ввиду теоремы Кондратьева, данная гипотеза справедлива для всех конечных простых групп, в которых силовская 2-подгруппа совпадает со своим нормализатором (например, согласно теореме А.С. Кондратьева, в знакопеременных группах степени большей 5, ортогональных группах, а также в большинстве спорадических и исключительных групп).

В 1979 г. на знаменитой конференции по конечным группам в г. Санта-Круз Х. Виланд поставил следующий вопрос.

Проблема. В каких известных простых группах верна «сильная р-теорема Силова»: для любых двух р-подгрупп A и B существует t Є < A, B > такой, что < A, B^t > является р-группой?

В «Коуровскую тетрадь» [15] под номером 17.43 (а) записан вопрос, эквивалентный проблеме Виланда.

Вопрос 17.43 (а). В каких конечных простых D_р-группах любая подгруппа является D_р-группой?

Легко показать, что в конечной группе G выполнена сильная р-теорема Силова в том и только в том случае, когда любая подгруппа группы G является D_р-группой (в частности, проблема Виланда и проблема 17.43a из «Коуровской тетради» [15] эквивалентны).

Обозначим через W_р класс всех конечных групп, в которых любая подгруппа является D_р-группой. В силу вышесказанного, множество простых групп из класса W_р является полным решением проблемы Виланда. С другой стороны, полное решение проблемы Виланда дает нам описание всего класса W_р, поскольку верна.

Теорема. Пусть р ? некоторое множество простых чисел и G ? конечная группа. Тогда G Є W_р если и только если каждый композиционный фактор группы G принадлежит W_р.

Известно, что знакопеременные D_р-группы лежат в классе W_р. В рамках данного проекта получено полное решение проблемы Виланда и вопроса 17.43 (а) для спорадических групп. А именно, доказана следующая

Теорема. Пусть р ? некоторое множество простых чисел, G ? спорадическая группа. Тогда группа G принадлежит классу W_р, если и только если выполнено одно из условий:

· |р?\р(G)|?1;

· р(G)? р;

· пара (G, р?р(G)) представлена в таблице ниже.



G	р?р(G)	|G|р		G	р?р (G)	|G|р
M11	{5, 11}	5•11		O'N	{5, 11} {5, 31}	5•11 5•31
M12	{5, 11}	5•11
M22	{5, 11}	5•11		Ru	{7, 29}	7•29
M23	{5, 11} {11, 23}	5•11 11•23		Ly	{11, 67}	11•67
				Co1	{11, 23}	11•23
M24	{5, 11} {11, 23}	5•11 11•23		Co2	{11, 23}	11•23
				Co3	{11, 23}	11•23
J1	{3, 7} {3, 19} {5, 11}	3•7 3•19 5•11		Fi23	{11, 23}	11•23
				Fi24	{11, 23}	11•23
				B	{11, 23} {23, 47}	11•23 23•47
J4	{5, 11} {5, 31} {7, 29} {7, 43}	5•113 5•31 7•29 7•43
				M	{23, 47} {29, 59}	23•47 29•59

Основная идея решения данной проблемы состоит в следующем. Так как любая подгруппа содержится в некоторой максимальной, достаточно доказать, что любая максимальная подгруппа M группы G лежит в классе W_р, в частности, является D_р-группой. Ввиду теоремы 1, для доказательства факта M Є W_р достаточно показать, что неабелевы композиционные факторы группы M лежат в классе W_р. Были рассмотрены таблицы максимальных подгрупп, а также использована статья А.В. Заварницина «Finite simple groups with narrow prime spectrum», в которой перечислены все неабелевы простые группы S такие, что все простые делители |S| не превосходят 1000.

Теоретико-групповое описание р-холловых подгрупп в конечных простых группах известно и получено в сотнях различных работ десятками авторов, среди которых такие специалисты, как Ф. Холл, Дж. Томпсон, Ф. Гросс, В.Д. Мазуров, Е.П. Вдовин, Д.О, Ревин и др. Однако, во-первых, во многих случаях это описание требует дополнительных рассуждений для нахождения р-холловых подгрупп в конкретной группе, а во-вторых, не является единообразным.

Используя известное теоретико-групповое описание р-холловых подгрупп в группах PSL_n(q) мы приводим описание холловых подгрупп в терминах естественных арифметических характеристик группы PSL_n(q) (то есть в терминах n и q), а также полностью исследуем вопрос о вложимости р-холловой подгруппы группы PSL_n(q) в р-холлову подгруппу группы F, где PSL_n(q) ? F ? Aut(PSL_n(q)).

В рамках исполнения данного госконтракта получено требуемое описание для групп PSL_n(q).

В качестве следствия, в случае, когда характеристика поля лежит в множестве р, получено, что р-холлова подгруппа либо лежит в подгруппе Бореля группы PSL_n(q), либо может быть получена как стабилизатор некоторых подпространств. В первом случае полученные результаты (критерии и вид р-холловой подгруппы) приведены в следующей таблице:

Условия на множество р	Представитель класса сопряжённости
р?р(L)? р (q-1)? {p}, р?р (n!)?{p}.	P - полупрямое произведение UTn(q) и Z, где Z=?(q-1)рЧ…Ч?(q-1)р.

При этом установлено, что все подгруппы такого типа сопряжены.

Основным массивом конечных простых групп являются конечные группы лиева типа. Пусть G ? конечная группа лиева типа над конечным полем, характеристику которого мы будем обозначать через ch(G). Предположим, что G задана как подгруппа в GL (n, q), порожденная некоторым множеством матриц X. Однои? из задач вычислительной? теории групп является нахождение ch(G) по X за полиномиальное время.

В работе Кантора и Сереша (2009) был разработан алгоритм Монте-Карло для нахождения характеристики простой группы лиева типа над полем нечетной характеристики, основанный на следующем утверждении: если G и H ? простые группы лиева типа над полями нечетных характеристик такие, что в множествах порядков элементов групп G и H совпадают три самых больших числа, то ch(G) = ch(H). Также в данной работе была высказана гипотеза о том, что условие нечетности характеристик может быть опущено. В рамках выполнения госконтракта была исследована данная гипотеза.

Разработанные Кантором и Серешем методы оказались применимы к простым линейным, унитарным и исключительным группам над полями характеристики 2. Ограничение на характеристику в работе Кантора и Сереша обусловлено сложностями, возникающими при подсчете максимальных порядков элементов симплектических и ортогональных групп над полями характеристики 2. Как показывают примеры, зависимость этих чисел от размерности группы и порядка поля определения может быть довольно сложной. С помощью большого объёма компьютерных вычислений исполнителю проекта Д.В. Лыткину удалось получить предположительный вид двух наибольших порядков элементов в симплектических группах над полями характеристики 2. Затем полученные формулы были обоснованы с использованием стандартных теоретико-числовых методов. Наконец, на основе этих формул было доказано, что симплектические группы над полями четных составных порядков можно отличить от простых групп лиева типа над полями нечетных порядков по двум наибольшим порядкам элементов. А именно, была доказана следующая

Теорема. Пусть G=Sp (2n, q), где q=2^k >2 и H - простая группа лиева типа такая, что m₁(G)=m₁(H) и m₂(G)=m₂(H), где m₁(G) и m₂(G) обозначают два наибольших порядка элементов группы G. Тогда ch(H)=2.

Напомним, что группой периода n называется группа с тождественным соотношением xⁿ=1. В этом смысле группы периодов 2, 3, 4 и 6 являются группами периода 12. Еще Бернсайд задавался вопросами о том, что делает группу конечной, и предложил обратить внимание на период группы. Тем самым появилась известная проблема Бернсайда: является ли группа данного периода n локально конечной. Группа называется локально конечной, если любое конечное множество элементов этой группы порождает конечную подгруппу. Из результатов П.С. Новикова, С.И. Адяна и И.Г. Лысенка [16, 17] следует, что для любого n>8000 существует не локально конечная группа периода n. С другой стороны, установлена локальная конечность некоторых групп малого периода. Так, группы периода 2, очевидно, являются локально конечными. Из результатов Леви, ван дер Вардена и Санова [18-20] следует локальная конечность групп периода 3 и 4. Д.В. Лыткина [21] позднее описала строение групп, порядок каждого элемента которой не превосходит числа 4. М. Холл [22] доказал локальную конечность групп периода 6, 2-длина и 3-длина таких групп равна 1, и в частности, они разрешимы длины не больше 4. Вопросы о локальной конечности групп периодов 5 и 12 являются открытыми и вызывающими. В рамках данного проекта исследуются группы периода 12. Показано, что если G ? группа периода 12, в которой порядок произведения любых двух инволюций не делится на 6, то группа G локально конечна. Этот результат обобщает теорему Санова, согласно которой группа периода 12 без элементов порядка 6 локально конечна.

При исследовании групп периода 12, в которых порядок произведения любых двух инволюций не делится на 6 важно изучить нормальную подгруппу, порожденную всеми инволюциями из группы. На первом этапе изучаются подгруппы, порожденные небольшим числом (3-4) инволюций, и удовлетворяющие условию выше. При изучении таких подгрупп важную роль играют вычисления и исследования с использованием пакета программ компьютерной алгебры GAP, в частности, алгоритм перечисления смежных классов позволяет доказать конечность изучаемых подгрупп. Среди изучаемых подгрупп, порождаемых тремя инволюциями, можно выделить подгруппу, обозначим ее через R, которая является расширением экстраспециальной 3-группы порядка 27 посредством инволюции. Показывается, что если в G нет подгрупп, изоморфных R, то порядок любого элемента из G не превосходит числа 4. Используя методы теории конечных групп, удается описать конечные группы, которые порождаются инволюциями, удовлетворяют условию теоремы и содержат подгруппу, изоморфную R. Используя это описание, разбирается оставшийся случай. Таким образом, в исследованиях наряду с компьютерными вычислениями используются методы теории конечных групп, рассуждения по индукции, а также классические методы (теорема Шмидта).

В работе [23] Г.Н. Аржанцева доказала следующую теорему, сформулированную первоначально Громовым в [24]. Для каждой квазивыпуклой подгруппы бесконечного индекса H гиперболической группы без кручения G существует элемент бесконечного порядка g Є G, такой что подгруппа, порожденная g и H, квазивыпукла и является свободным произведением <g> * H. Очевидно, что без дополнительных ограничений на подгруппу H эта теорема не верна для гиперболических групп с кручением. В качестве контрпримера можно привести прямое произведение F и H, где F - свободная группа конечного ранга r?1 и H - нетривиальная конечная группа. Такая группа будет гиперболической, так как F - гиперболическая и Р - конечная.

Возникает вопрос, при каких дополнительных ограничениях на подгруппу H эта теорема верна для гиперболических групп с кручением. Важный частный случай этого вопроса, когда H является конечной подгруппой, был рассмотрен К.С. Свиридовым [25].

Пусть G - группа, h - элемент группы G. Обозначим через F(h) множество таких элементов g из группы G, что никакая ненулевая степень g не централизует h в группе G.

Будем говорить, что подгруппа H дополняется свободным множителем ранга n в группе G, если в группе G существует свободная подгруппа F_n ранга n такая, что подгруппа группы G, порожденная F_n и H изоморфна свободному произведению F_n и H. Основным результатом работы К.С. Свиридова [25] является

Теорема. Пусть G - гиперболическая группа, не являющаяся почти циклической, и H ? её конечная подгруппа. Подгруппа H дополняется свободным множителем ранга 2 в группе G тогда и только тогда, когда для каждого неединичного элемента h подгруппы H существует элемент бесконечного порядка g(h) группы G, принадлежащий F(h).

В этой же работе доказано, что для данной гиперболической группы G и ее конечной подгруппы H условия теоремы проверяются алгоритмически.

Следующий естественный шаг - отказаться от конечности подгруппы H. Заметим, что всякая квазивыпуклая подгруппа гиперболической группы сама является гиперболической (см., например, [26]). В рамках выполнения данного проекта доказана следующая

Теорема. Пусть G - гиперболическая группа, не являющаяся почти циклической, H - её квазивыпуклая подгруппа бесконечного индекса и d' - константа гиперболичности подгруппы H. Подгруппа H дополняется свободным множителем ранга 2 в группе G тогда и только тогда, когда для каждого неединичного элемента конечного порядка h подгруппы H длины не более 2d'+1 существует элемент бесконечного порядка g(h) группы G, принадлежащий F(h).

Каждый элемент гиперболической группы G действует левым умножением на границе группы G. В силу следствия 2.14 [25], необходимое и достаточное условие теоремы можно представить следующим образом:

каждый неединичный элемент конечного порядка h подгруппы H длины не более 2d'+1 нетривиально действует на границе группы G.

Замечание 1. Существует алгоритм для проверки условий приведенной теоремы.

Замечание 2. Пусть G и H как в теореме и m, n - натуральные числа. Подгруппа H дополняется свободным множителем ранга n в группе G тогда и только тогда, когда подгруппа H дополняется свободным множителем ранга m в группе G.

Замечание 3. Пусть G и H как в теореме. Если H удовлетворяет критерию теоремы, то подгруппа F₂*H группы G, построенная в доказательстве теоремы, квазивыпукла.

В теореме предполагается, что группа G - не почти циклическая, а подгруппа H ? бесконечного индекса в группе G и квазивыпуклая. Если мы хотим, чтобы подгруппа H дополнялась свободным множителем ранга 2 в группе G, то первые два условия необходимы. Попытки отказаться от квазивыпуклости подгруппы H наталкиваются на следующий контрпример.

Для G=F₂ существует такое натуральное число n (см. [27]), что группа G/Gⁿ=B (2, n) - бесконечна. Так как в G нет элементов конечного порядка, то условия теоремы выполнены, однако Gⁿ невозможно дополнить свободной группой ранга 2. Заключение теоремы неверно, потому что такая подгруппа не квазивыпукла и даже не конечно порождена.

Сначала мы доказываем, что для произвольного h из H достаточно большой длины или бесконечного порядка можно найти элемент g=g(h), который порождает циклическую группу, которая выделяется свободным множителем с элементом h. Это верно для произвольной неэлементарной гиперболической группы.

Пользуясь условиями теоремы доказываем, что такие g=g(h) находятся и для элементов h из H конечного порядка и малой длины. Это уже верно только для тех гиперболических групп, которые подпадают под условия теоремы.

Самая трудоемкая часть теперь заключается в том, чтобы по найденным элементам g построить один общий элемент g, такой, что подгруппа, порожденная g и H изоморфна свободному произведению групп <g> и H.

Алгоритмичность проверки условий тероемы следует из аналогичного факта в работе Свиридова.

Если G - конечная группа, то классическая теорема Бернсайда утверждает, что число классов сопряженных элементов группы G равно числу классов эквивалентности ее неприводимых унитарных представлений. В настоящее время активно изучается аналог этой теоремы для скрученной сопряженности, утверждающий, что число классов скрученной сопряженности для автоморфизма ц совпадает с числом неподвижных точек отображения, индуцированного этим автоморфизмом на множество всех унитарных представлений группы G (в случае конечности одного из этих чисел). В связи с этой проблемой возникает задача об описании групп, у которых число классов скрученной сопряженности бесконечно для всякого автоморфизма. Про такие группы говорят, что они обладают свойством R_?.

...