Актуальные проблемы современной алгебры

Вопрос о том, какие группы обладают свойством R_?, сформулировали А. Фельштын и Р. Хилл около 20 лет назад. Для следующих групп было показано, что они обладают свойством R_?:

Неэлементарные гиперболические (по Громову) группы

Группы Баумслага-Солитера BS (m, n)=‹a, b | ba^mb^-1=aⁿ›, при (m, n)? (1, 1)

Группы Григорчука и группы Гупты-Сидки.

Некоторые свободные нильпотентные группы.

Исполнителем госконтракта Ф.А. Дудкиным установлено, что общая линейная группа GL_n(K) и специальная линейная группа SL_n(K) при n?3 обладают свойством R_?, если K - бесконечное целостное кольцо с тривиальной группой автоморфизмов, либо K - целостное кольцо нулевой характеристики, у которого группа автоморфизмов периодична.

Доказательство этих теорем основывается на знании строения группы автоморфизмов линейных групп над областями целостности при n?3, которое получил О'Мира в 1967 году.

Для каждого автоморфизма ц строится бесконечное семейство матриц, которые не могу быть скрученно сопряженными с помощью этого автоморфизма. Они и будут представителями бесконечного числа классов скрученной сопряженности для данного автоморфизма. Для этого используется необходимое условие ц-сопряженности матриц для каждого ц, полученное также в ходе работы. Для получения необходимого условия используются понятие следа матрицы и свойство того, что он не меняется при сопряжении. Также введено понятие антиследа матрицы 2Ч2, и для некоторых автоморфизмов ц необходимое условие ц-сопряженности матриц строится при помощи свойств антиследа.

Из этих теорем вытекает несколько интересных следствий. Например, о том, что общая и специальная линейные группы над кольцом целых чисел, над полями рациональных, вещественных и p-адических чисел, а так же над конечными сепарабельными расширениями поля рациональных чисел обладают свойством R_?.

А.И. Мальцев доказал, что свободная разрешимая группа ступени > 1 имеет алгоритмически неразрешимую элементарную теорию. О. Шапю установил, что свободная метабелева группа и левоитерированные сплетения абелевых групп без кручения имеют разрешимые универсальные теории. В частности, он заметил, что нециклическая свободная метабелева группа универсально эквивалентна сплетению двух нетривиальных абелевых групп без кручения. В последующих работах О. Шапю, В.Н. Ремесленникова и Р. Штера исследование универсальных теорий свободных метабелевых и близких к ним групп было продолжено: найдена аксиоматика, изучены свойства теорий.

В случае свободных разрешимых групп данной ступени разрешимости большей 2 группы разных рангов также универсально эквивалентны между собой. О. Шапю исследовал задачу о разрешимости их универсальной теории. Он установил, что с помощью Е-формул в свободной разрешимой группе ступени > 2 интерпретируется произвольное диофантово уравнение над полем рациональных чисел, однако, вопрос о разрешимости таких уравнений до сих пор является открытым. На данном этапе в этом направлении был получен следующий результат

Теорема. Универсальная теория или, что равносильно, Е-теория свободной разрешимой группы ступени > 3 алгоритмически неразрешима.

1.2 Анализ актуальности полученных результатов

В физике элементарных частиц для введения в современную стандартную модель гравитации используется, так называемый, хиггсовский механизм спонтанного нарушения симметрии электрослабого взаимодействия. Этот механизм описывается полем, задаваемым одним дублетом. В случае вакуума дублет можно рассматривать как пару комплексных чисел. Проверка этого механизма осуществляется в данный момент на Большом адронном коллаедре, и заключается в поисках, так называемого, бозона Хиггса. Однако хиггсовское поле может быть задано более, чем одним дублетом, и таким образом возникает N-дублетная модель. Основной задачей при построении N-дублетной модели в вакууме является изучение потенциала хиггсовского поля, который включает в себя как квадраты, так и четвёртые степени координат дублетов. Важным этапом при этом является построение группы симметрий потенциала, т.е. нахождение всех преобразований, сохраняющих потенциал инвариантным. Из-за наличия четвёртых степеней задача не сводится к изучению полуторалинейных квадратичных форм и потому её не удаётся решить методами линейной алгебры. Отметим, что в мире существует несколько десятков групп физиков-теоретиков, которые исследуют этот потенциал. Нами получена классификация всех возможных абелевых групп симметрий потенциалов, возникающих во всех возможных N-дублетных хиггсовых полях. В частности, мы доказали, что порядок конечной абелевой группы симметрий в N-дублетной модели не превосходит 2^N-1 и эта оценка является точной. Отметим, что потенциалы, имеющие аналогичную форму, встречаются и в других физических задачах, например, при изучении распределения и поведения тёмной материи, поэтому полученные результаты позволяют делать выводы о природе тёмной материи (и некоторые группы физиков уже используют их для этого).

Понятие алгебры Лейбница, впервые появившееся в [28] и позже независимо в [29], дало начало серии исследований, посвящённых теории диалгебр. По определению (левая) алгебра Лейбница является векторным пространством с билинейной операцией [•, •], которая удовлетворяет тождеству Якоби в форме [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]], то есть оператор левого умножения [x, •] является дифференцированием. Это один из наиболее изученных некоммутативных аналогов алгебр Ли.

Разные классы диалгебр появлялись в литературе, поскольку они связаны с алгебрами Лейбница тем же образом, каким соответствующие классы обычных алгебр связаны с алгебрами Ли. Ассоциативные диалгебры были представлены в [30] как аналог ассоциативных обёртывающих алгебр для алгебр Лейбница, альтернативные диалгебры появились в [31] при изучении универсальных центральных расширений для алгебр Лейбница, йордановы диалгебры (сначала под названием квазийордановых алгебр) были предложены в [32], смотри также [33] и [34]. Все диалгебры этих классов являются линейными пространствами, снабжёнными двумя билинейными операциями и такими, что выполняются определённые, так называемые 0-тождества. Эти тождества общие для ассоциативных, альтернативных, йордановых диалгебр упомянутых выше, они также выполняются для алгебр Лейбница, если положить ab = [a, b], ab = - [b, a]. Другие определяющие тождества этих многообразий изначально появились из рассмотрений, вызванных связью с алгебрами Лейбница. Например, диалгебра ассоциативна, если выполняются три тождества, которые получаются из тождеств ассоциативных алгебр выбором центральной буквы. Тогда то же самое пространство относительно новой операции [a, b] = ab - ba является алгеброй Лейбница. Систематическое изучение этих связей между алгебрами Лейбница и ассоциативными диалгебрами может быть найдено в [35].

Идея более концептуального подхода к определению, что следует называть Var-диалгеброй для данного многообразия Var обычных алгебр, была предложена на примере Var =As (ассоциативные алгебры). Было показано, что операда, управляющая многообразием ассоциативных диалгебр в смысле [30], совпадает с адамаровым произведением AsЧPerm (здесь мы отождествляем обозначения для классов алгебр и их управляющих операд), где Perm - это операда ассоциативных алгебр, удовлетворяющих соотношению левой коммутативности (xy) z - (yx) z =0.

Если Var - это произвольное многообразие обычных алгебр с одной бинарной операцией, тогда алгоритм, предложенный в [34] и [36] позволяет получить определяющие тождества для класса (ди-) алгебр управляемых операдой VarЧPerm, исходя из определяющих тождеств Var. В [37] этот алгоритм был обобщён до случая произвольного многообразия алгебр любого типа (т.е. линейных пространств с семейством полилинейных операций произвольной арности). В настоящей работе показано, что этот обобщённый алгоритм также приводит к классу VarЧPerm-алгебр. Следовательно, Var-диалгебра (или diVar-алгебра) является просто VarЧPerm-алгеброй.

Этот факт позволяет рассматривать серию вопросов, посвященных элементарным свойствам и связям между разными классами диалгебр, с обобщённой точки зрения. В частности, морфизм операд щ: P > R всегда порождает функтор из категории R-алгебр в категорию P-алгебр.

Для каждой тройки (P, R, щ) имеет смысл общая проблема специальности: совпадает ли многообразие порождённое всеми P-алгебрами, полученными из R-алгебр, с многообразием всех P-алгебр? Если нет, то какие тождества разделяют эти классы (специальные тождества)? Точно такие же вопросы актуальны для диалгебр, так как соответствующие многообразия diR- и diP-алгебр связаны функтором, получающимся из морфизма операд щЧid.

В рамках исполнения данного госконтракта было доказано, что проблема специальности для диалгебр, возникающая из тройки (diP, diR, щЧid), всегда может быть решена по модулю аналогичной проблемы для обычных алгебр.

Хорошо известна теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта о вложении алгебры Ли в коммутаторную алгебру подходящей ассоциативной алгебры. Среди таких ассоциативных алгебр имеется класс алгебр, обладающий универсальным свойством относительно вложения исходной алгебры Ли в коммутаторную алгебру ассоциативной алгебры. Алгебры из этого класса называются универсальными обертывающими. Универсальные обертывающие алгебры встречались еще в работах Г. Вейля под названием инфинитезимальных групповых колец. В настоящее время теория универсальных обертывающих алгебр Ли хорошо изучена. Среди основных результатов этой теории можно отметить теорему К. Шевалле о строении центра универсальной обертывающей полупростой конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики, теорему Б. Константа, которая утверждает, что в этом случае универсальная обертывающая алгебра является свободным модулем над своим центром. Значительный вклад в изучение универсальных обертывающих внесли работы И.М. Гельфанда и Хариш-Чандры. Центр универсальной обертывающей простой трехмерной алгебры Ли sl_2 над полем простой характеристики изучался А.Н. Рудаковым и И.Р. Шафаревичем [38].

Алгебры Мальцева были введены А.И. Мальцевым как касательные алгебры локальных аналитических луп Муфанг [39]. Они являются обобщением алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита. Важным примером нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с нулевым следом алгебры Кэли-Диксона относительно операции коммутирования в качестве умножения. Более обще, для любой альтернативной алгебры коммутаторная алгебра является алгеброй Мальцева. В связи с этим фактом, универсальные обертывающие алгебр Мальцева вначале рассматривались лишь в классе альтернативных алгебр. При этом, их свойства значительно отличались от свойств универсальных обертывающих алгебр Ли: например, альтернативная универсальная обертывающая нелиевой алгебры Мальцева может быть конечномерной и содержать делители нуля. Кроме того, до сих пор неизвестно, является ли универсальный гомоморфизм алгебры Мальцева в ее универсальную альтернативную обертывающую инъективным. Х.М. Перез-Искердо и И.П. Шестаковым [40] были введены универсальные обертывающие алгебр Мальцева в более широком контексте. Ими показано, что над полем характеристики, не равной 2,3, всякая алгебра Мальцева является подалгеброй коммутаторной алгебры обобщенного альтернативного центра некоторой неассоциативной (не обязательно альтернативной) алгебры. Соответствующая универсальная обертывающая алгебра при этом обладает базисом Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Более того, эта алгебра не имеет делителей нуля, и ассоциированная с ней градуированная алгебра, как и в случае алгебр Ли, изоморфна симметрической алгебре векторного пространства исходной алгебры Мальцева. В.Н. Желябин и И.П. Шестаков описали центр универсальной обертывающей полупростой конечномерной алгебры Мальцева над полем нулевой характеристики [41]. В случае поля простой характеристики центр универсальной обертывающей простой нелиевой алгебры Мальцева был описан Х.М. Перез-Искердо и И.П. Шестаковым [42].

Известно, что простая нелиева алгебра Мальцева является суммой трех простых алгебр Ли размерности три. В связи с этим фактом возникает вопрос о строении централизатора трехмерной простой подалгебры Ли в универсальной обертывающей простой алгебры Мальцева.

Исполнителями госконтракта В.Н. Желябиным и Т.И. Шабалиным изучался данный вопрос. А именно, было показано, что над любым полем характеристики, не равной 2,3, искомый централизатор является расширением центра универсальной обертывающей простой алгебры Мальцева, элементом Казимира трехмерной простой подалгебры Ли. В случае поля характеристики ноль этот результат был ранее получен К.А. Шемонаевым [43]. Отметим, что предложенное доказательство покрывает и случай поля характеристики ноль.

В случае, когда основное поле имеет характеристику три, простая алгебра Мальцева, полученная из алгебры Кели-Диксона, является алгеброй Ли. Здесь строение централизатора в значительной степени отличается от предыдущего случая. Найдены три новых элемента централизатора. Кроме того, показано, что подалгебра, порожденная в центральном замыкании универсальной обертывающей этими тремя элементами, элементом Казимира, а также центром универсальной обертывающей, совпадает с централизатором трехмерной простой подалгебры Ли в центральном замыкании.

Из описания централизатора простой трехмерной подгебры Ли, получены результаты В.Н. Желябина и И.П. Шестакова, а также Х.М. Перез-Искердо и И.П. Шестакова о строении центра универсальной обертывающей простой нелиевой алгебры Мальцева.

В случае поля характеристики 3 найдены три новых элемента централизатора. Показано, что центральное замыкание централизатора порождается как алгебра, найденными элементами.

Алгебры Пуассона, как векторное пространство с двумя умножениями, связанными тождеством Лейбница, где векторное пространство с одним умножением является ассоциативно-коммутативной алгеброй, а с другим умножением - алгеброй Ли, широко известны не только в классической теории колец, но и математической физике и алгебраической геометрии. Так, алгебры Пуассона были использованы при доказательстве классического результата о дикости автоморфизма Нагаты (И. Шестаков и У. Умирбаев). Естественным обобщением алгебр Пуассона являются алгебры общей скобки Пуассона, впервые предложенные И. Шестаковым в 1998 г. Интерес к алгебрам общей скобки Пуассона обуславливается тем, что в данном классе алгебр, помимо алгебр Пуассона содержатся также другие интересные и важные объекты, так он содержит Пуассон-Мальцевские алгебры, Пуассон-бинарнолиевы алгебры, а также, ассоциированные алгебры с универсальной обертывающей алгебры Мальцева, алгебры Бола и, более общо, алгебры Сабинина. В тоже время, структура свободных алгебр общей скобки Пуассона имеет схожее строение со свободными ассоциативно-коммутативными алгебрами, свободными алгебрами Пуассона, но и имеет отличия. В свое время, свободные алгебры общей скобки Пуассона использовались М. Аренасом и Л. Аренас-Кормоной для построения универсальной Пуассоновой обертывающей для бинарнолиевых алгебр. Широкое изучение свободных Пуассоновых алгебр и полей было инициировано Л. Макар-Лимановым и У. Умирбаевым. Ими был доказан аналог знаменитой теоремы Бергмана о централизаторе в свободной алгебре Пуассона. В дальнейшем, они описали локально-нильпотентные дифференцирования и автоморфизмы свободной алгебры Пуассона от двух порождающих. А именно, были получены аналоги известных результатов Р. Рентшлера и Х. Джунга о том, что все автоморфизмы такой алгебры являются ручными. Также, Л. Макар-Лиманов и У. Умирбаев доказали теорему «о свободе» для свободных алгебр Пуассона. В результате, Л. Макар-Лимановым, И. Шестаковым и У. Умирбаевым была изучена связь между полиномиальной зависимостью и пуассоновой зависимостью двух элементов в свободных Пуассоновых алгебрах и полях. Участником проекта И. Кайгородовым совместно с И. Шестаковым были получены аналоги теорем Макар-Лиманова-Умирбаева для алгебр общей скобки Пуассона. А именно, было показано, что локально-нильпотентные дифференцирования свободной алгебры общей скобки Пуассона от двух порождающих являются триангулируемыми, автоморфизмы свободной алгебры общей скобки Пуассона от двух порождающих являются ручными. Построены универсальные мультипликативные обертывающие для свободных алгебр и полей общей скобки Пуассона. А также, была установлена зависимость между полиномиальной и пуассоновой зависимостью двух элементов в свободных алгебрах и полях общей скобки Пуассона и левозависимостью их образов в универсальной мультипликативной обертывающей алгебре.

В рамках исследования, применялись уже известные результаты Л. Макар-Лиманова и У. Умирбаева для свободных алгебр Пуассона, но также, классическая теория свободных антикоммутативных и свободных лиевых алгебр, разработанная А. Ширшовым, Е. Виттом, Дж. Левиным. Полученные результаты обобщают хорошо известные результаты мирового уровня Л. Макар-Лиманова и У. Умирбаева.

В настоящее время известно лишь немного универсальных конструкций для построения новых луп Муфанг. Одним из примеров подобных конструкций является так называемое удвоение Чейна, с помощью которого по данной некоммутативной группе можно получить неассоциативную лупу Муфанг вдвое большего порядка. Любые новые способы построения луп Муфанг, а в особенности их бесконечных серий, являются важными и актуальными, поскольку позволяют пролить свет на строение луп Муфанг, глубже понять их свойства, подтверждать или опровергать различные гипотезы.

Исследование так называемых циклических над абелевыми луп Муфанг (то есть луп, являющихся восходящим расширением абелевой группы с помощью циклической группы) представляет интерес в связи со следующей проблемой, поставленной М. Киньоном:

Проблема. Пусть M - лупа Муфанг с нормальной абелевой подгруппой (т.е. ассоциативной подлупой) N нечётного порядка такой, что M/N - циклическая группа порядка, большего 3. Является ли M группой? Если порядки N и M/N взаимно просты, то является ли M группой?

Примеры циклических над абелевыми луп Муфанг нечётного порядка 3q³ для простого q, сравнимого с 1 по модулю 3, появились в работе [44], где рассматривалась проблема существования неассоциативных луп Муфанг порядка pq³ для простых p, q.

Недавно открытая связь между группами с тройственностью и лупами Муфанг стала фундаментом для построения новых подходов к исследованию луп Муфанг, поскольку позволила применять мощные методы хорошо развитой теории групп для решения луповых проблем. Так, с помощью групп с тройственностью М. Либек завершил классификацию конечных простых неассоциативных луп Муфанг, А. Гришков и А. Заварницин доказали аналоги теорем Лагранжа и Силова для конечных луп Муфанг, а С. Гагола - аналог теоремы Ф. Холла.

На данном этапе мы конструируем новую серию групп с тройственностью, и затем выводим явную формулу умножения для соответствующих луп Муфанг. В частности, мы получаем серию циклических над абелевыми луп Муфанг. Более конкретно, пусть R - произвольное ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей и R₀ - циклическая группа обратимых элементов кольца R. Мы показываем, что множество четвёрок (r, x, y, z), где r из R₀ и x, y, z из R относительно умножения

(r₁, x₁, y₁, z₁) (r₂, x₂, y₂, z₂) =(r₁r₂, x₁ + r₁x₂, y₁ + r₁y₂, r₂z₁ + z₂ + (1 ? 2r₁^?1r₂) x₁y₂ ? x₂y₁)

является циклической над абелевой лупой Муфанг вида R₀. (R+R+R) в случае, когда либо R₀ имеет порядок 3, либо R имеет характеристику 2.

Минимальные конечные лупы такого типа, очевидно, возникают когда R₀ имеет простой порядок p и R - минимальное конечное поле, содержащее элемент мультипликативного порядка p. Например, так получаются циклические над абелевыми собственные лупы Муфанг порядков 3.2⁶, 7.2⁹, 3.5⁶, 3.7³, и т.д.

Несмотря на то, что построенные нами новые лупы Муфанг не дают контрпримера к вышеупомянутой гипотезе, есть основания считать, что они, по сути, являются единственным типом луп Муфанг, для которых порядки M и M/N взаимно просты. Из результата о единственности луп порядка 3q³ для простого q?1 (mod 3) в [44] следует, что они являются частными случаями полученной нами серии.

Отметим, что мы построили лупы Муфанг как подкласс более широкого класса луп M_a,b, где a, b из R, не все из которых являются циклическими над абелевыми, но все имеют общую структуру R₀. (R+R).R для данной подгруппы R₀ мультипликативной группы кольца R. Мы также показываем, что некоторые члены этого более широкого класса вложимы в лупу обратимых элементов алгебры Кэли O(R).

Полученные результаты находятся на высоком научно-техническом уровне и превосходят лучшие мировые достижения в данной области.

2. Показатели

За время выполнения НИР за отчетный период поступили в магистратуру ММФ НГУ 3 студента - исполнителя НИР:

Курмазов Роман Константинович;

Хохлова Ирина Александровна;

Насыбулов Тимур Ринатович.

Количество сделанных научных докладов за отчетный период:

Сделано 2 доклада на отечественных и 7 докладов на международных научных форумах и конференциях.

Заключение

В ходе исполнения 4 этапа «Проведение исследований» получены следующие результаты:

Изучено строение абелевых групп симметрий хиггсовского потенциала в вакууме для N-дублетной хиггсовской модели.

Классифицированы центральные простые конечномерные некоммутативные йордановы супералгебры характеристики 0.

Построена конструкция кольца частных для обобщенной алгебры Новикова-Пуассона.

Доказано, что класс C_рF образует формацию и получены критерии частичной насыщенности этой формации.

Доказана пронормальность холловых подгрупп в конечных простых группах.

Получены аналоги классических теорем Макар-Лиманова-Умирбаева для алгебр и полей общей Пуассоновой скобки.

Доказана алгоритмическая неразрешимость универсальной теории свободной разрешимой группы ступени выше 3.

Используя группы с тройственностью, построена серия неассоциативных луп Муфанг.

Получено описание конечных групп, в которых все максимальные подгруппы холловы, и доказано, что в таких группах все максимальные подгруппы имеют дополнения.

Найдены явные формулы для нахождения максимальных порядков элементов простых симплектических и ортогональных групп над полем характеристики 2.

Доказана локальная конечность групп периода 12, в которых порядок произведения любых двух инволюций не делится на 6.

Выполненные на 4 этапе работы соответствуют требованиям технического задания, календарного плана и нормативной документации.

Приведены списки опубликованных и сданных в печать научных работ, выступлений на российских и международных форумах, а также другие показатели успешной работы в рамках данного проекта.

Полученные результаты имеют мировой уровень, а исполнители представляют передовой фронт науки в указанных областях.

По результатам НИР напрашивается вывод о целесообразности продолжения работ.

Список использованных источников

[1] Гельфанд И.М., Дорфманд И.Я., Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры // Функциональный анализ и приложения, 13 (1979), 248-262.

[2] Балинский А.А., Новиков С.П., Скобки Пуассона гидродинамического типа // фробениусовы алгебры и алгебры Ли, ДАН СССР, 283 (1985), no. 5, 1036-1039.

[3] Зельманов Е.И. Об одном классе локальных трансляционно инвариантных алгебр Ли // ДАН СССР, 292 (1987), no. 6, 1294-1297.

[4] Филиппов В.Т. Об одном классе простых неассоциативных алгебр // Математические заметки, 45 (1989), вып. 1, 101-105.

[5] Osborn J.M., Modules for Novikov algebras // in Proceedings of the II International Congres on Algebra, Barnaul, 1991.

[6] Osborn J.M., Novikov algebras // Nova J. Algebra Geom., 1 (1992), 1-14.

[7] Osborn J.M., Simple Novikov algebras with an idempotent // Comm. Algebra 20 (9) (1992), 2729-2753.

[8] Xu X., On Simple Novikov Algebras and Their Irreducible ModulesU // J. of Algebra 185 (1996), 905-934.

[9] Xu X., Novikov-Poisson algebras // J. of Algebra 190, (1997), 253-279.

[10] Xu X., Classification of simple Novikov algebra and their irreducible modules of characteristic 0 // J. of Algebra 246 (2001) 673-707.

[11] Тихов А.С., Алгебры Новикова-Пуассона и йордановы супералгебры,

«Проблемы теоретической и прикладной математики», Труды 37-ой Региональной молодежной конференции 30 января - 3 февраля 2006 г. с. 76-79.

[12] Желябин В.Н., Тихов А.С. Алгебры Новикова-Пуассона и ассоциативные коммутативные дифференциальные алгебры // Алгебра и логика 47, 2 (2008), 186-202.

[13] D. King, K. McCrimmon, The Kantor doubling process revisited // Comm., in Algebra, 23, №1 (1995), 357?372.

[14] Loday J.-L., Some problems in operad theory, Operads and universal algebra, Proceedings of the International Conference, Tianjin, China, 5-9 July 2010.

[15] Коуровская тетрадь. Нерешённые проблемы в теории групп. Редакторы В.Д. Мазуров и Е.И. Хухро. 17-е издание, Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2010.

[16] С.И. Адян, Проблема Бернсайда и тождества в группах, Москва, Наука, 1975

[17] И.Г. Лысeнок, Бесконечные бернсайдовы группы четного периода, Изв. РАН. Сер. матем., 60:3 (1996), 3-224

[18] F. Levi, B.L. van der Waerden, Uber eine besondere Klasse von Gruppen, Abh. Math. Semin. Hamb. Univ., 9:2 (1932), 154-158

[19] F.W. Levi, Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraic conditions, J. Indian Math. Soc. New Ser., 6 (1942), 87-97

[20] И.Н. Санов, Решение проблемы Бернсайда для показателя 4, Учен. зап. Ленингр. гос. ун-та. Сер. матем., 10 (1940), 166-170

[21] Д.В. Лыткина, Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4, Сиб. матем. ж., 48:2 (2007), 353-358

[22] М. Hall, Jr., Solution of the Burnside problem for exponent six, 111. J. Math. 2, №3 (1958), 764-786

[23] G.N. Arzhantseva, On Quasiconvex Subgroups of Word Hyperbolic Groups, Geometriae Dedicata 2001, 87, 191 - 208.

[24] M. Gromov, Hyperbolic groups, Essays in group theory (S.M. Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, Springer-Verlag, 1987. 75-263.

[25] К.С. Свиридов, Дополнение конечной подгруппы гиперболической группы свободным множителем, Алгебра и логика, 49, №4 (2010), 520-554.

[26] M.R. Bridson, A. Haefliger, Metric Spaces of Non-Positive Curvature, Grundlehren 319, Springer-Verlag, 1999.

[27] П.С. Новиков, С.И. Адян, О бесконечных периодических группах. I, Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:1 (1968), 212-244; П.С. Новиков, С.И. Адян, О бесконечных периодических группах. II, Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:2 (1968), 251-524; П.С. Новиков, С.И. Адян, О бесконечных периодических группах. III, Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:3 (1968), 709-731.

[28] A. Bloch, On a generalization of the concept of Lie algebra (Russian), Dokl. Akad. Nauk SSSR 165 (1965) 471-473.

[29] J.-L. Loday, Une version non commutative des algebres de Lie: les algebres de Leibniz, Enseignement Mathematique (2) 39 (1993) no.3-4, 269-293.

[30] J.-L. Loday, T. Pirashvili, Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co) homology, Math. Ann. 296 (1993) 139-158.

[31] D. Liu, Steinberg-Leibniz algebras and superalgebras, J. Algebra 283 (2005) no. 2, 199-221.

[32] R. Velasquez, R. Felipe, Quasi-Jordan algebras, Comm. Algebra, 36 (2008) N.4, 1580-1602.

[33] M.R. Bremner, On the definition of quasi-Jordan algebra, Comm. Algebra, 38 (2010) N.12, 4695-4704. ArXiv:1008.2009.

[34] П.С. Колесников, Многообразия диалгебр и конформные алгебры, Сиб. мат. журн. 49, 2 (2008) 322-339. ArXiv:math/0611501.

[35] J.-L. Loday, Dialgebras and related operads, Springer-Verl., Berlin, 2001, pp.1-61. (Lectures Notes in Math., vol. 1763). ArXiv:math.QA/0102053

[36] A.P. Pozhidaev, 0-Dialgebras with bar-unity, ternary Leibniz algebras

and Rota-Baxter algebras, In: A. Giambruno, et al., ed., Groups, Rings and Group Rings, Contemporary Mathematics 499 (2009) 245-256.

[37] M.R. Bremner, R. Felipe, J. Sanchez-Ortega, Jordan triple disystems, Computers and Mathematics with Applications, 63 (2012) 1039-1055. ArXiv:1105.5475

[38] А.Н. Рудаков, И.Р. Шафаревич, Неприводимые представления простой трехмерной алгебры над полем конечной характеристики // Мат. заметки, 2, 5 (1967), 439-454.

[39] А.И. Мальцев, Аналитические лупы // Матем. сб., 36 (78), 3 (1955), 569-576.

[40] J.M. P'erez-Izquierdo, I.P. Shestakov, An envelope for Malсev algebras // J. Algebra, 272, 1 (2004), 379-393.

[41] В.Н. Желябин, И.П. Шестаков, Теоремы Шевалле и Константа для алгебр Мальцева // Алгебра и Логика, 46, 5 (2007), 560-584.

[42] J.M. P'erez-Izquierdo, I.P. Shestakov, On the center of the universal enveloping algebra of the central simple non-Lie Maltsev algebra in characteristic p // Proceedings of Jordan Structures in Algebra and Analysis Meeting, Editorial Circulo Rojo, Almeria, 2010, 227-242.

[43] К.А. Шемонаев, Централизаторы трехмерных простых подалгебр Ли в универсальной обертывающей семимерной простой алгебры Мальцева // Тезисы докладов, Мальцевские чтения, 2009, 140.

[44] A. Rajah, Moufang loops of odd order pq³, J. Algebra, 235, N1 (2001), 66-93.

Размещено на Allbest.ru