Применение инверсии к решению геометрических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

БАКАЛАВРА

ПРИМЕНЕНИЕ ИНВЕРСИИ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

(с двумя профилями подготовки)

профили «Математика», «Информатика»

Дисциплина «Специальные вопросы геометрии»

Воронеж - 2018

Оглавление

• Введение
• Глава 1. Инверсия как преобразования плоскости
• 1.1 Определение инверсии. Построение инверсных точек
• 1.2 Свойства инверсии
• Глава 2. Применение инверсии при решении геометрических задач
• 2.1 Применение инверсии при решении задач на доказательство
• 2.1.1 Задача Архимеда
• 2.1.2 Задача Паппа
• 2.2 Решение задач на построение методом инверсии
• Заключение
• Список литературы

Введение

В данной курсовой работе рассматривается понятие математической инверсии и её применение к решению геометрических задач.

Как известно, в геометрии важную роль играют различные преобразования фигур. Так, в школьном курсе планиметрии рассматривают два вида преобразований плоскости: движения и преобразования подобия (гомотетия). Наиболее важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов, то есть прямые преобразуются в прямые, а окружности в окружности. Иначе говоря, в декартовой системе координат эти преобразования задаются линейными уравнениями. Безусловно, класс линейных преобразований плоскости гораздо шире и отнюдь не исчерпывается лишь движениями и гомотетиями. Однако иногда бывает полезно рассмотреть и нелинейные преобразования. Они подразумевают более сложное преобразование геометрических фигур, в соответствии с которым прямые уже могут переходить в кривые, а кривые в прямые. Правда в средней школе, на уроках геометрии, чаще всего встречается одна единственная кривая - окружность.

Основоположником данного математического метода был Людвиг Иммануэль Магнус, который в 1831 году опубликовал статью об инверсных преобразованиях.

В данной работе рассмотрим одно из преобразований плоскости, которое называется инверсией, методом обратных радиусов или методом обращения. При инверсии некоторые прямые могут переходить в окружности, а окружности в прямые.

Применение такого преобразования при решении задач на построение и доказательство позволяет решить ряд задач, которые трудно решить с помощью других методов.

Данный метод является одним из мощнейших среди методов решения задач на построение, которые могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника, ведь ни один вид задач не дает столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение.

Практическая польза этого преобразования заключается в том, что зачастую оно позволяет свести решение геометрической задачи с окружностей к решению соответствующей задачи с прямой, которая обычно имеет гораздо более простое решение.

Актуальность выбранной темы обусловлена практической пользой данного математического метода.

Данная курсовая работа разбита на две главы. В первой главе подробно изучается сущность метода инверсии, и рассматриваются основные её свойства. Во второй главе рассматривается применение инверсии к решению задач на построение и доказательство.

Целью курсовой работы является изучение некоторых свойств инверсии и рассмотрение применения её к решению геометрических задач.

Задачами курсовой работы являются:

1. Исследование метода инверсии;

2. Изложение основных свойств инверсии;

3. Рассмотрение всевозможных случаев построения образов прямых и окружностей при помощи инверсии.

Глава 1. Инверсия как преобразование плоскости

1.1 Определение инверсии. Построение инверсных точек

Как известно, такие преобразования плоскости, как центральная и осевая симметрия, поворот и гомотетия переводят прямую в прямую, а окружность в окружность. И очевидно, что ни симметрия, ни поворот, ни гомотетия не могут перевести окружность в прямую или, наоборот, прямую в окружность, поэтому относительно указанных преобразований прямая и окружность являются различными объектами.

Однако, существует замечательное преобразование, называемое инверсией, которое в свою очередь может переводить прямую, как в прямую, так и в окружность, а окружность - в окружность и прямую. Отсюда можно сделать вывод, что с точки зрения инверсии прямая и окружность являются одинаковыми объектами.

Введём определение инверсии на плоскости.

Определение: Зафиксируем на плоскости окружность с центром в точке и радиусом (рис.1). Тогда инверсией точки относительно этой окружности называется такая точка , которая лежит на луче , а на расстояние наложено следующее условие: . Точка , в свою очередь, называется инверсной или обратной точке относительно окружности. Окружность называется базисной окружностью инверсии, её центр - центром инверсии, а радиус - радиусом инверсии [7, с. 171].

Из определения инверсии следуют следующие утверждения:

1. Для каждой точки плоскости, за исключением центра в точке , существует единственная точка, симметричная ей относительно данной окружности;

2. Из утверждения (1) следует, что для центра окружности симметричной точки не существует;



Рисунок 1

3. Если точка симметрична точке относительно окружности, то и точка будет симметрична точке относительно данной окружности;

4. Каждая точка, которая лежит на самой окружности, симметрична сама себе;

5. Если и - различные симметричные точки, то одна из них лежит внутри окружности, а другая, соответственно, снаружи [1, с. 94].

Далее можно рассмотреть отображение плоскости на себя, которое переводит любую точку, кроме центра окружности, в точку, симметричную ей относительно указанной окружности. Это преобразование носит название инверсии плоскости относительно окружности.

Если предположить, что центр окружности расположен в точке начала координат, то можно сделать вывод, что точка имеет тот же полярный угол, что и , а расстояние будет вычисляться по указанной выше формуле.

Следует обратить внимание на то, что при , так что если точка инверсна точке , то расстояния и являются взаимно обратными числами. С данным фактом связано то, что точку называют обратной точке , а рассматриваемое в данном случае преобразование называется преобразованием обратных радиусов, или же обращением [6, с. 137].

Рассмотрим три случая построения инверсных точек.

1 случай: Если точка лежит на базисной окружности, то точки совпадают, то есть .

2 случай: Пусть точка расположена вне базисной окружности, тогда выполним соответствующее построение:

1. Построим окружность с центром в точке и радиусом , а так же отметим соответствующую точку .

2. Проведём касательную к окружности из точки , которая касается данной окружности в точке ;

3. Возьмём на луче точку таким образом, что , тогда точка инверсна точке (Рис. 2).

Рисунок 2

Доказательство: Рассмотрим подобные треугольники и . Из подобия следует, что: или .

3 случай: Точка расположена внутри базисной окружности. Тогда построение выполним в следующем порядке:

1. Построим окружность с центром в точке и радиусом , а так же отметим соответствующую точку ;

2. Отметим на окружности точку таким образом, что ;

3. - касательная к окружности (Рис. 3).



Рисунок 3

1.2 Свойства инверсии

Перед тем, как перейти к рассмотрению свойств инверсии необходимо установить одну простую лемму, которая играет существенную роль при изучении свойств данного метода.

Лемма: Пусть и - пары различных точек, которые симметричны относительно окружности с центром в точке . Тогда (Рис. 4) [8, с. 211].

Рисунок 4

Доказательство: По определению симметричных точек: . Отсюда следует, что . Из представленной пропорциональности следует подобие треугольников и по двум сторонам и углу между ними. Из указанного подобия следует равенство углов: . Равенство представленных углов так же означает, что четырёхугольник является вписанным в окружность, то есть его вершины лежат на одной окружности.

Теперь перейдём непосредственно к свойствам инверсии. Для этого рассмотрим некоторые теоремы.

Теорема 1: Прямая, которая не проходит через центр инверсии, переходит в окружность, которая проходит через центр инверсии [9, с. 304].

Доказательство: Построим окружность и опустим из её центра перпендикуляр на прямую и рассмотрим точку , которая является симметричной для точки относительно окружности инверсии. Затем построим на плоскости окружность с диаметром и рассмотрим произвольную прямую, которая не совпадает с , проходит через центр и не является параллельной для прямой (Рис. 5). Пусть указанная прямая пересекает окружность в точке , а прямую - в точке . Угол при вершине является прямым, так как он опирается на диаметр окружности.

Рисунок 5

Из подобия треугольников и следует следующее равенство . Так как точки и являются симметричными по построению, то справедливо равенство: , отсюда следует, что точки и также являются симметричными относительно окружности инверсии. Таким образом, можно сделать вывод, что прямая и окружность переходят при инверсии друг в друга.

Первая теорема может быть сформулирована следующим образом: Окружность, которая проходит через центр инверсии переходит в прямую, которая не проходит через центр инверсии.

Теорема 2: Окружность, которая не проходит через центр инверсии, переходит в окружность, которая так же не проходит через центр инверсии [5, с. 57].

Доказательство: Необходимо рассмотреть окружность , которая не проходит через центр инверсии и инверсию относительно окружности . Затем проведем прямую через центры окружностей и . Указанная прямая пересекает окружность в точках и , которые являются диаметрально противоположными. Построим точки и , которые соответственно симметричны точкам и , относительно окружности (Рис. 6). Рассмотрим окружность , которая построена на диаметре . Далее необходимо доказать, что точки, которые симметричны точкам окружности , расположены на окружности и наоборот.

Рисунок 6

Возьмём на окружности некоторую произвольную точку и построим точку , которая будет симметрична точке относительно окружности . Применим к двум четвёркам точек - к ; и к ; основную лемму, тогда получим, что первая четвёрка даёт равенство углов и , а вторая - и . Треугольник будет являться прямоугольным, так как - диаметр, тогда исходя из свойства суммы углов треугольника получим, что , следовательно, . Из последнего равенства следует, что - прямой, а это значит, что точка расположена на окружности с диаметром , что и требовалось доказать.

инверсия преобразование плоскость доказательство

Глава 2. Применение инверсии при решении геометрических задач

2.1 Применение инверсии при решении задач на доказательство

Инверсия является очень интересным методом в геометрии, она служит удобным и очень практичным инструментом при решении задач, основным элементом которых является окружность. Многие из этих задач могут быть решены иными методами, но благодаря инверсии доказательство утверждений становится быстрее и лаконичнее.

2.1.1 Задача Архимеда

Пусть некоторая точка лежит на отрезке . Относительно указанного отрезка построили две полуокружности с диаметрами , и . Так же опустили перпендикуляр к отрезку , который делит арбелос на две части (под арбелосом понимается плоская геометрическая фигура, которая образована большим полукругом, из которого вырезаны два меньших, диаметры которых лежат на диаметре большого и разбивают его на две части) (Рис. 7). Необходимо доказать, что радиусы окружностей, которые вписаны в получившиеся части арбелоса, равны между собой [2, с. 93].

Рисунок 7

Решение: Для начала введём следующие обозначения: , . Далее необходимо рассмотреть инверсию относительно окружности , которая в качестве своего центра имеет точку , а радиус её равен .

При данной инверсии окружность с диаметром переходит в прямую , которая в свою очередь проходит через точку . Тогда вписанная окружность с радиусом , которая касается окружностей и переходит в окружность, которая касается их образов, то есть двух параллельных прямых. Радиус новой окружности будет равен радиусу окружности с диаметром , то есть он будет равен (Рис. 8).

Рисунок 8

Далее необходимо рассмотреть гомотетию с центром в точке , относительно которой окружность с радиусом переходит в окружность радиуса , а точка , в свою очередь, переходит в точку .

Тогда будет справедливо следующее равенство: откуда . Исходя из симметричности полученной формулы, относительно и следует справедливость утверждения.

2.1.2 Задача Паппа

Пусть даны некоторые окружности и с диаметрами , , , соответственно, которые образуют арбелос. В свою очередь, - окружность, которая вписана в арбелос, окружность касается окружностей , и , окружность касается окружностей , и и так далее, а окружность касается окружностей , и (Рис. 9) [2, с. 99]. Тогда пусть является радиусом окружности , а - расстояние от центра окружности до прямой . Необходимо доказать, что верны следующие соотношения: , , , …, .

То есть необходимо доказать, что расстояние от центра - ой окружности (где - порядковый номер окружности) до диаметра арбелоса в раз больше её радиуса.

Рисунок 9

Решение: Для начала необходимо совершить инверсию относительно какой-нибудь окружности с центром в точке . Указанная окружность проходит через точку (Рис. 10).

При данной инверсии окружности и перейдут в параллельные прямые, а вот окружности , , … перейдут в окружности , , , ... которые заключены между параллельными прямыми.



Рисунок 10

Центры окружностей и расположены на одной прямой, которая в качестве своего начала имеет точку . Для окружности утверждение задачи выполняется очевидным образом. А окружность переходит в окружность при гомотетии с центром в точке , откуда и следует утверждение задачи.

2.2 Решение задач на построение методом инверсии

Сущность данного метода заключается в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются фигуры, которые инверсны им или их частям. Иногда данного рассмотрения оказывается достаточно для того, чтобы установить связь между искомыми и данными, которые необходимы для решения задачи. Так, в большинстве случаев решение задачи может быть сведено к построению фигуры, инверсной искомой, в предположении, что уже построена фигура, инверсная данной. Таким образом, последняя задача, при удачном выборе базисной окружности, может иметь более простое решение.

Недостаток инверсного метода решения задач связан с громоздкостью, которая в свою очередь вытекает из необходимости большого числа построений.

Задача 1: Через две данные точки и провести окружность, которая будет ортогональна данной окружность [2, с. 65].

Решение: Если предположим, что в качестве базисной окружности выступает сама окружность , то при инверсии искомая окружность преобразуется в себя, а точки и перейдут в соответствующие точки и на этой окружности. Искомая окружность вполне определяется, если известны три точки на ней.

Построение:

1. Построим точку , которая инверсна точке относительно окружности .

2. Построим искомую окружность , которая проходит через точки , и (Рис. 11).

Рисунок 11

Если точка лежит на окружности , то тогда она совпадает с точкой и указанный путь решения становится непригодным. В данном случае необходимо провести аналогичное построение относительно точки .

Если же и точка лежит на окружности , то построение необходимо выполнить следующим образом: через точки и нужно провести касательные к окружности и отметить точку их пересечения через точку . Тогда точка и будет являться центром искомой окружности .

Если же точки , и располагаются на одной прямой и при этом и не инверсны, то задача не имеет решения, а если и инверсны относительно окружности , то задача имеет бесконечное множество решений и любая окружность, которая проходит через точки и будет ортогональна окружности .

Задача 2: Построить окружность, касательную к данной окружности и проходящую через две данные точки и вне данной окружности [2, с. 83].

Решение: Пусть - искомая окружность. Необходимо выполнить такие преобразование, в результате которых окружность преобразуется в прямую.

Примем точку за центр инверсии, а отрезок за радиус инверсии. Тогда окружность преобразуется в некоторую окружность , точка преобразуется в саму себя, а искомая окружность - в прямую . Прямая должна пройти через точку и она должна касаться окружности , так как окружность ,в свою очередь, касается окружности (Рис. 12).

Таким образом, данная задача сводится к построению касательной из точки к построенной окружности .

Рисунок 12

Построение:

1. Построим окружность , центр которой расположен в точке и с радиусом ;

2. Построим окружность , которая инверсна окружности , относительно окружности ;

3. Построим прямую , которая проходит через точку и касается окружности ;

4. Построим окружность , инверсную прямой относительно окружности , где является искомой окружностью (Рис.13).

Рисунок 13

Доказательство: Прямая касается окружности , отсюда следует, что соответствующая ей окружность касается окружности . Прямая проходит через точку , откуда следует, что окружность так же проходит через эту точку.

Из четырёх указанных шагов построения шаги 1 и 2 всегда однозначно выполнимы. Рассмотрим 3 пункт построения.

Проведение к окружности через точку касательной зависит от расположения указанной точки относительно данной окружности. Отсюда можно указать три варианта расположения:

1. Точка лежит на окружности;

2. Точка лежит внутри окружности;

3. Точка расположена вне окружности.

Первый вариант невозможен, так как если бы , то отсюда следовало бы, что , что в свою очередь противоречит условию задачи.

Рассмотрим второй случай. Докажем, что данный вариант так же невозможен для этого воспользуемся доказательством «от противного». Допустим, что точка лежит внутри окружности . Так как точка , по условию задачи, располагается вне окружности , то также находится вне . Поэтому луч пересечет окружность в двух точках, одна из которых будет находится внутри окружности , а другая вне её. Обозначим внутреннюю точку пересечения через , а внешнюю через . При инверсии точки , и преобразуется в точки , и причем так, что расположена внутри окружности , вне окружности , а на указанной окружности, так что лежит между точками и . Окружность , которая проходит через точки и , перейдёт в окружность , проходящую через и . Таким образом, так как точка принадлежит хорде окружности , то точка расположена внутри окружности , что противоречит условию. Отсюда следует, что возможен лишь третий вариант расположения точки , согласно которому данная точка расположена вне окружности , поэтому из точки всегда можно провести две касательные к окружности .

Рассмотрим 4 пункт построения. Прямая при инверсии преобразуется в окружность только в том случае, когда эта прямая не проходит через центр инверсии. Если прямая проходит через точку , то прямая является касательной к окружности . Так как при инверсии прямая преобразуется в себя, а окружность в окружность , то, следовательно, если прямая проходит через точку , то окружность касается прямой (Рис. 14). В последнем случае прямая переходит в прямую. Таким образом, мы получаем, что при данном способе построения имеется единственное решение, если прямая касается окружности , и два решения в остальных случаях.

Решая указанную задачу каким-либо другим способом, мы не получим новых решений. На самом деле, если бы задача имела более одного решения в случае, когда касается , или более двух решений в любом другом случае, то после инверсии относительно окружности оказалось бы, что через точку проходило бы не менее трёх касательных к окружности , что невозможно.

Рисунок 14

Необходимо заметить, что данную задачу можно решить иначе, принимая за центр инверсии точку на окружности . При этом сама задача сводится к построению окружности, которая касается данной прямой и проходит через две данные точки.

При помощи метода инверсии может быть решена в общем случае известная задача Аполлония о касании окружностей. Данная задача впервые была решена известным греческих геометром Аполлонием Пергским в сочинении, которое до нас не дошло, но о котором упоминают древние математики. Способ, с помощью которого Аполлоний решил эту задачу, неизвестен.

Многие задачи школьного курса представляют собой частные или предельные задачи Аполлония. Частные возникают при специальном расположении данных окружностей, а предельные когда все или некоторые из указанных окружностей вырождаются в точки или прямые.

Задача Аполлония: Построить окружность, которая касается трёх других данных окружностей.

Прежде чем решить задачу Аполлония в общем случае при помощи инверсии, необходимо рассмотреть некоторые её частные и предельные случаи.

Задача 1: Построить окружность, которая проходит через три указанные точки. Решение данной задачи является общеизвестным.

Задача 2: Построить окружность, которая касается трёх указанных прямых. Решение этой задачи является так же общеизвестным. Данная задача может иметь до четырёх решений.

Задача 3: Построить окружность, которая проходит через указанную точку и касается двух параллельных прямых.

Задача 4: Построить окружность, которая проходит через данную точку и касается двух пересекающихся прямых.

Задача 5: Построить окружность, которая проходит через указанные точки и касается данной прямой. Данная задача может быть решена при помощи применения метода инверсии, если за центр инверсии принять одну из данных точек, а расстояние до указанной прямой принять за радиус инверсии.

Задача 6: Построить окружность, которая касается указанной окружности и проходит через две данные точки. Решение данной задачи приводится ранее.

Задача 7: Построить окружность, которая касается трёх данных окружностей, которые проходят через одну общую точку . Если принять общую для всех окружностей точку за центр инверсии, то эти окружности преобразуются в три прямые. Таким образом, данная задача сводится к задаче на построение окружности, которая касается трёх прямых. Искомая окружность в данной задаче - образ этой окружности в данной инверсии [11, с. 198].

Теперь перейдём непосредственно к решению задачи Аполлония в общем случае. Решение данной задачи будет основано на предварительном решении двух вспомогательных задач.

Первая вспомогательная задача: Построить окружность, которая касается двух параллельных прямых и данной окружности. Указанная задача обычно решается при помощи метода геометрических мест [10, с. 124].

Решение: Пусть и указанные прямые, а - данная окружность.

Из произвольной точки прямой опустим перпендикуляр на прямую . Обозначим середину отрезка через точку и проведем через неё прямую , которая является параллельной для прямой . Построим окружность , с центром в точке и радиусом . Затем отметим точку пересечения окружности с прямой , которая и будет являться центром искомой окружности (Рис. 15) .

Рисунок 15

Вторая вспомогательная задача: Построить окружность, которая касается трёх данных окружностей, при условии, что две из них взаимно касаются. Данная задача решается методом инверсии [10, с. 176].

Решение: Пусть , и - данные окружности. Окружности и касаются в точке . Примем указанную точку за центр инверсии, а в качестве радиуса инверсии возьмём произвольный отрезок ( его необходимо выбрать так, чтобы базисная окружность пересекала окружности и ).

При инверсии окружности и преобразуются в параллельные прямые и , а окружность в некоторую окружность (или прямую) .

Построим окружность , которая касается прямых и и линии (Рис. 16). Для этого воспользуемся первой вспомогательной задачей. При инверсии данной окружности она преобразуется в окружность или прямую , которая будет касаться трёх указанных окружностей , и . Решение задачи Апполония в общем случае сводится ко второй вспомогательной задаче.

Рисунок 16

Рассмотрим случай, когда каждая из трёх указанных окружностей расположена вне двух других. В остальных же случаях решение задачи будет аналогичным.

Пусть , и - данные окружности. Пусть прямая пересекает окружность в точках и , а окружность в точках и . Из четырёх отрезков , , и необходимо выбрать кратчайший. Предположим, что самым коротким отрезком является , обозначим через точку его середину. Увеличим все радиусы данных окружностей на отрезок , то есть построим окружности , и . Из перечисленных окружностей первая и вторая касаются в точке . Теперь мы можем построить окружность , которая будет касаться окружностей , и (Рис. 17). Обозначим центр окружности через , а радиус через . Затем, если для неё построить концентрическую окружность , то последняя будет касаться трёх данных окружностей.

Количество всех возможных решений задачи Апполония зависит от взаимного расположения данных окружностей. Рассмотрим несколько случаев расположения окружностей.

Рисунок 17

1 случай: Окружность расположена внутри окружности , а окружность вне окружности . В этом случае задача не имеет решения.

2 случай: Окружности и касаются, а окружность пересекает их в точке их касания. В этом случае задача имеет два решения ( и ) (Рис. 18) [10, с. 109].

Рисунок 18

3 случай: Каждая окружность расположена вне двух других, а касательная к каждым двум из данных окружностей не имеет общей точки с третьей окружностью (Рис.19). Тогда в этом случае задача имеет восемь решений.



Рисунок 19

4 случай: Все три окружности попарно касаются в одной точке, тогда можно провести бесконечно много окружностей, которые касаются каждой из данных (Рис. 20).

Рисунок 20

Заключение

Сами по себе геометрические построения могут сыграть большую роль в математической подготовке школьника. Задачи на построения различных геометрических объектов, которые решаются при помощи метода инверсии чаще всего не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Подобные задачи удобны для закрепления теоретических знаний по какому-либо разделу курса геометрии.

В настоящее время геометрические построения не связаны непосредственно с наиболее актуальными проблемами математики, но зато в процессе изучения усваиваются понятия и приобретаются некоторые навыки, которые имеют значение и за пределами изучаемого вопроса. Так, одним из наиболее распространённых понятий является понятие алгоритма. Изучение геометрических построений является хорошим средством подготовки к усвоению этого понятия. Это связано с тем, что целью решения каждой геометрической задачи как раз и является получение некоторого алгоритма, а разрешимость геометрической задачи на построение понимается как алгоритмическая разрешимость. Так же полезным является рассмотрение задач, которые связаны с доказательством невозможности выполнения какого-либо построения данными средствами, так как вопросы разрешимости той или иной задачи при тех или иных допущениях встречаются в различных разделах математики .

Геометрические построения играют также особую роль в составе доказательства существования геометрической фигуры, которая обладает указанными свойствами. Указанные построения составляют теоретическую основу практической графики.

В данной курсовой работе было рассмотрено понятие инверсии в качестве метода, с помощью которого возможно решить некоторые задачи на построение, основные свойства и теоремы, на которые опирается данный метод. Так же в данной работе были рассмотрены некоторые геометрические задачи на доказательство и построение, в их числе известная задача Аполлония, решение которой и является основой метода инверсии.

В процессе изучения материала по теме курсовой работы были сделаны следующие выводы:

1. Инверсия не является взаимно однозначным преобразованием плоскости;

2. Инверсия не является движением;

3. Существует несколько способов нахождения образа точки при инверсии;

4. Образ линии зависит её положения относительно окружности инверсии и её центра.

Список литературы

1. Адлер А. Теория геометрических построений. М.: Учпедгиз, 1940. 232 с.

2. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение. М.: Учпедгиз, 1957. 176 с.

3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1966. 368 с.

4. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. М.: Просвещение, 1973. 256 с.

5. Бушманова Г.В., Норден А.П. Введение в конформную геометрию. Казань.: Казанский федеральный университет, 1964. 93 с.

6. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Геометрические преобразования. М.: ПГУ, 1961. 210 с.

7. Певзнер С.Л. Инверсия и ее приложения. Хабаровск.: Государственный Педагогический Институт, 1988. 236 с.

8. Погорелов А.В. Геометрия. М.: Наука, 1984. 325 с.

9. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. М.: МЦНМО, 2004. 312 с.

10. Розенфельд Б.А. Аполлоний Пергский. М.: МЦНМО, 2004. 163 с.

11. Яглом И.М. Геометрические преобразования. М.: Гостехиздат, 1956. 241 с.

Размещено на Allbest.ru

...