Криволинейный интеграл второго рода и его приложения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Существуют задачи в математическом анализе, геометрии, физике, для которых недостаточно обычного интеграла - интеграла по одномерному координатному отрезку, например, задачи, в которых требуется вычислить интеграл по дуге. В таких случаях «приходит на помощь» криволинейный интеграл. криволинейный интеграл многосвязный

Различают криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги) и второго рода (по координатам).

Предметом изучения данной курсовой работы является криволинейный интеграл второго рода, целью работы является изучение основных теоретических сведений и приложений криволинейного интеграла второго рода.

Для достижения поставленной цели определим следующие задачи исследования:

1) понятие криволинейного интеграла второго рода;

2) условие существования криволинейного интеграла второго рода;

3) свойства криволинейного интеграла второго рода;

4) условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования;

5) приложения криволинейного интеграла второго рода.

Практическая значимость данной работы довольно велика, т. к. приложения криволинейного интеграла второго рода широко используется на практике, например, для вычисления работы силы на криволинейном пути или нахождения площади плоской фигуры.

Для полного и всестороннего рассмотрения темы работы, а также в качестве источника для добывания фактического материала в работе будут использованы некоторые научные методы исследования, в частности метод изучения и анализа научной литературы таких авторов, как Фихтенгольц Г. М., Кудрявцев Л. Д., Никольский С. М., Каплан И. А., Аксенов А. П., Ильин В. А., Позняк Э. Г.



1. Теоретические сведения

1.1 Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть на плоскости дана непрерывная кривая AB. Пусть на AB задана функция f (x, y). Выберем на AB какое-нибудь направление (одно из двух возможных), например, от точки A к точке B. Проделаем следующие операции.

Разбиваем AB точками A₀ = A, A₁, A₂, …, A_n-1, A_n = B на n частичных дуг A_kA_{k + 1}, k = 0, 1, 2, … , n - 1. Точки A_k (x_k, y_k) следуют друг за другом вдоль AB в направлении от точки A к точке B. Пусть d_k -

диаметр дуги A_kA_{k + 1} (d_k = sup {с(M, N)}),

M ? A_kA_{k + 1},

N ? A_kA_{k + 1}

и пусть л = max{d_k}.

k=0, n - 1

На каждой дуге A_kA_{k + 1} берем произвольную точку ( и вычисляем в ней значение данной функции f (. Соединим концы каждой частичной дуги хордой и придадим этим хордам направления соответствующих дуг. Получим направленную ломаную. Звенья этой ломаной есть векторы , , … , . Спроектируем эти векторы на ось Ox. Получим числа Дx₀, Дx₁, … , Дx_n - ₁ (Дx_k = x_{k + 1}-x_k = пр_Ox = пр_Ox). Эти числа могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Каждое вычисленное значение функции f ( умножаем на проекцию соответствующего звена ломаной на ось Ox. Получим f (*Дx_k, k = 0, 1, 2, … , n - 1.

Складываем все такие произведения. Получаем сумму( - интегральная сумма).

Измельчаем дробление дуги AB на части A_kA_{k + 1} так, чтобы л > 0, и ищем

Если существует конечный I и этот предел не зависит ни от способа разбиения дуги AB на части A_kA_{k + 1}, ни от выбора точки ( на дуге A_kA_{k + 1}, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции f (x, y) по кривой AB (по x) и обозначается

Рис. 1.

Замечание 1.1. Если звенья направленной ломаной проектировать на ось Oy, то получим криволинейный интеграл второго рода от функции f (x, y) по дуге AB (по y):

Замечание 1.2. Если на кривой AB определены две функции P (x, y) , Q (x, y), и если существуют интегралы то их сумму называют криволинейным интегралом второго рода общего вида и полагают

Здесь также изменение направления интегрирования меняет знак интеграла.

1.2 Существование криволинейного интеграла второго рода

Теорема 1.1 [3, c. 22]. Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями

где , - функции, заданные и непрерывные на промежутке [a, b]. Кроме того, у функции на [a, b] существует непрерывная производная . Пусть , ) = A, , ) = B, причем A ? B, т. е. кривая AB - незамкнутая. Пусть точки (, ) следуют друг за другом на AB именно в том порядке, в каком соответствующие значения t следуют друг за другом на [a, b].

Пусть функция f (x, y), заданная на AB, непрерывна там. Тогда существует и выражается обыкновенным определенным интегралом по формуле

Доказательство. Составим интегральную сумму для I. Для этого надо разбить AB точками A_k (x_k, y_k) на частичные дуги A_kA_{k + 1}, k = 0, 1, 2, … , n1 (A₀ = A, A_n = B). Такое разбиение можно осуществить, если разбить промежуток [a, b] произвольным образом точками t₀ = a < t₁ < t₂ < … < t_n = b и положить A_k (, ), k = 0, 1, 2, … , n. Затем на каждой дуге A_kA_{k + 1} надо взять произвольную точку ( Это можно сделать так: на каждом частичном промежутке [t_k, t_{k + 1}] взять произвольную точку и положить (.Тогда получим

По формуле Лагранжа = , где [t_k, t_k+1]. Поэтому

Видим, что эта сумма похожа на интегральную сумму Римана для определенного интеграла I_*, но таковой не является, ибо, вообще говоря, .

Составим сумму

Это уже настоящая интегральная сумма Римана для I_*. Интеграл I_* существует, и потому I_* при (}). Отметим, что л > 0, если л_* > 0.

Рассмотрим равенство

По условию ограниченная в [a, b], т. е. существует число M > 0 такое, что для всех t [a, b]. Поэтому

Функция как суперпозиция непрерывных функций равномерно непрерывная в [a, b]. Значит, всякому (сколь угодно малому) соответствует такое, что для любых двух точек из [a, b], для которых будет

Возьмем дробление промежутка [a, b] на части [t_k, t_{k + 1}] любым, но таким, чтобы было л_* <. У нас и [t_k, t_{k + 1}]. Следовательно, для любого k = 0, 1, 2, … , n1. А тогда для любого k = 0, 1, 2, …, n1 будем иметь

Отметим, что число сколь угодно мало вместе с Так как для достижения неравенства (3) потребовалось лишь, чтобы было , то заключаем, что

1.3 Свойства криволинейного интеграла второго рода

Рассмотрим основные свойства криволинейного интеграла второго рода общего вида.

Свойство 1.1. Постоянный множитель k можно выносить за знак криволинейного интеграла:

Свойство 1.2. Криволинейный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от каждого из слагаемых:

Свойства 1 и 2 означают линейность криволинейного интеграла: интеграл от линейной комбинации функций равен такой же линейной комбинации интегралов от каждой из этих функций.

Свойство 1.3. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при перемене направления линии, по которой производится интегрирование, т. е.

Это ясно, ибо проекции звеньев ломаной на ось Ox зависят от направления дуги A_kA_{k + 1} и меняют знак с изменением этого направления на обратное.

Свойство 1.4. Если кривая L = AB разбита на конечное число примыкающих одна к другой дуг L₁, L₂, …, L_k и вдоль каждой из них в отдельности криволинейный интеграл существует, то существует и интеграл вдоль всей кривой AB, причем он равен сумме интегралов по отдельным составляющим ее дугам:

Свойства 1 - 4 несложно доказать, используя определение криволинейного интеграла второго рода как предела интегральных сумм и известные свойства предела. Эти доказательства повторяют доказательства соответствующих свойств определенного интеграла.

Свойство 1.5. Если кривая L = AB является замкнутой, то значение криволинейного интеграла вдоль кривой L не зависит от выбора начальной (она же и конечная) точки на этой кривой.

Действительно, пусть A и C - произвольные не совпадающие точки на кривой L. Покажем, что если в качестве начальной точки замкнутой кривой в первом случае выбрать точку A, а во втором случае - точку C, то в результате получим одно и то же значение криволинейного интеграла. На двух дугах кривой L с концевыми точками A и C выберем произвольным образом точки M и N (см. рис.)

Рис. 2.

Эти точки удобны для маркировки дуг, на которые кривая L делится точками A и C. Из свойства аддитивности криволинейного интеграла получаем

Свойство 1.6. Если кривая AB представляет собой отрезок прямой, параллельной оси Oy, то

Если же AB - это отрезок прямой, параллельной оси Ox, то

Это свойство объясняется тем, что для таких интегралов соответствующие интегральные суммы равны нулю независимо от выбора разбиения кривой и выбора точек на элементарных дугах разбиения.



1.4 Формула Грина

Рассмотрим случай криволинейного интеграла второго рода вдоль простого замкнутого контура L в плоскости xOy. В этом случае контур L является границей некоторой плоской замкнутой области D. Оказывается, что криволинейный интеграл второго рода вдоль L может быть преобразован в двойной интеграл по замкнутой области D. Установим, как и при каких условиях выполняется такое преобразование.

Теорема 1.2 [1, c. 74]. Пусть замкнутая область D на плоскости xOy ограничена простым кусочно-гладким контуром L, а функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в D вместе со своими частными производными. Тогда имеет место следующая формула Грина для односвязной области:

Замечание. Формула Грина фактически распадается на две независимых формулы

Эти две формулы являются частными случаями общей формулы (4), первая - при , вторая - при . Доказав эти две формулы, мы получим общую формулу (4) их суммированием.

Доказательство двух формул строится по одной схеме. Поэтому, можно ограничиться доказательством одной из них, например первой.

Сначала рассмотрим простейший случай, когда замкнутая область D является правильной областью интегрирования относительно координатной оси Oy (т.е. областью, в которой всякая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу области не более чем в двух точках). Это значит, что она ограничена снизу и сверху кривыми y = y₁(x) и y = y₂(x), где функции y₁(x) и y₂(x) непрерывны на отрезке [a, b] и удовлетворяют неравенству y₁(x) ? y₂(x), , а слева и справа - вертикальными отрезками прямых x = a и x = b . В этом случае граница L замкнутой области D является кусочно-гладким простым контуром, а положительное направление обхода соответствует последовательности ABFEA точек этого контура. Отметим, что в частном случае каждый из вертикальных отрезков AE и BF может выродиться в точку.

Рис. 3.

Докажем, что в случае, когда замкнутая область является правильной относительно оси Oy, верно равенство

Согласно условиям теоремы, двойной интеграл в левой части этого равенства существует, причем форма области интегрирования позволяет свести его к повторному интегралу. Учитывая это, получаем

Используя правило вычисления криволинейного интеграла второго рода и свойство 1. 3 заключаем, что

Подставляя эти соотношения в (6), находим

Последнее равенство не будет нарушено, если в его правую часть дописать со знаком минус интегралы

равные нулю, так как они берутся вдоль отрезков прямых, параллельных координатной оси Oy. В итоге будем иметь что доказывает равенство (5).

Предположим, что замкнутая область D не является правильной относительно оси Oy, но может быть разделена кусочно гладкими кривыми на конечное число замкнутых областей, правильных относительно оси Oy. Записывая формулу (5) для каждой частичной области и суммируя полученные равенства, мы приходим к формуле (5) для всей области D. В самом деле, рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 4

Рис. 4.

Область интегрирования D разбита на три частичных области D₁, D₂ и D₃, ограниченные контурами L₁, L₂, L₃. В силу аддитивности двойного интеграла двойной интеграл по области D равен сумме трех двойных интегралов по частичным областям:

В сумме трех криволинейных интегралов по границам частичных областей интегралы по кривым , которыми замкнутая область D была разделена на частичные области, встретятся дважды, причем с противоположными направлениями. Поэтому эти интегралы взаимно уничтожаются, а сумма криволинейных интегралов по границам трех частичных областей оказывается равной криволинейному интегралу по границе замкнутой области D:

Сопоставляя последние два равенства, приходим к формуле (5) для замкнутой области D.

Доказательство формулы

аналогично и проводится в предположении, что замкнутая область D либо является правильной в направлении оси Ox, либо может быть разделена на конечное число таких областей.

В связи с доказанной теоремой остановимся на следующем важном понятии. Плоскую область D называют односвязной областью, когда она обладает следующим свойством: если простой замкнутый контур L целиком лежит в области D, то и область, ограниченная контуром L, целиком лежит в D. Плоскую область, не являющуюся односвязной, называют многосвязной областью. Примером многосвязной области является кольцо 1 ? x² + y² ? 2. Для многосвязной области характерно наличие отверстий (“дырок”). В общем случае многосвязная область может иметь очень сложную структуру. Ограничимся рассмотрением частного случая многосвязной области, когда граница этой области состоит из конечного числа попарно не пересекающихся контуров. В этом случае один контур L₀ является внешним, а остальные контуры L₁, L₂, …, L_n - внутренними (они ограничивают отверстия в области). Отметим, что положительным направлением обхода внешнего контура следует считать движение против часовой стрелки, а положительным направление обхода внутренних контуров - движение по часовой стрелке, поскольку при таком движении область D, ограниченная этими контурами, остается все время слева (рис. 5.).

Рис. 5.

В дальнейшем также будем говорить об односвязной (многосвязной) замкнутой области D, имея в виду, что D является замыкание односвязной (многосвязной) области.

Формулу Грина можно распространить на случай многосвязной замкнутой области D, ограниченной внешним кусочно гладким контуром L₀ и внутренними кусочно гладкими контурами L₁, L₂, …, L_n. Если функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в D вместе со своими частными производными, то верна формула Грина для многосвязной области:

где символ риволинейный интеграл по границе замкнутой области) обозначает сумму криволинейных интегралов по всем контурам, составляющим границу D, каждый из которых обходится в положительном направлении.

Чтобы доказать эту формулу, разрежем замкнутую область D вдоль кривых, соединяющих внутренние контуры L_n с внешним контуром L₀. После таких разрезов мы получим односвязную область D, ограниченную кусочно гладким контуром L^*, в который входят все разрезы. Для односвязной замкнутой области D верна формула Грина, т. е. причем в криволинейном интеграле контур L^* обходится так, что область D^* остается слева.

Рис. 6.

При интегрировании вдоль границы области D^* криволинейные интегралы по разрезам берутся дважды в противоположных направлениях и потому взаимно уничтожаются. Поэтому криволинейный интеграл по контуру L^*, проходимому в положительном направлении, равен сумме криволинейных интегралов по всем контурам L_i, (i = 0, 1, 2, …, n), также проходимым в положительном направлении, т. е. криволинейному интегралу вдоль границы исходной области D. Так как наличие разрезов (множеств меры нуль) не влияет на значение двойного интеграла, заключаем, что верна формула (7).

Формулу Грина для многосвязной области можно записать, не используя понятия интеграла по границе области. Если считать, что все контуры L_i, (i = 0, 1, 2, …, n) обходятся против часовой стрелки, то

Одно из возможных применений формулы Грина - вычисление площади плоской фигуры, ограниченной кусочно гладким контуром. Площадь замкнутой области D равна двойному интегралу с областью интегрирования D и подынтегральной функцией, тождественно равной единице. Подобрав функции P(x, y) и Q(x, y) так, что с помощью Грина возможно вычисление площади через криволинейный интеграл. Подбирать функции P(x, y) и Q(x, y) можно различными способами, но, как правило, используют самые простые:

Для этих трех вариантов имеем

1.5 Механический смысл криволинейного интеграла второго рода

Решим следующую задачу.

Задача. Материальная точка перемещается по кривой AB из точки A в точку B под действием переменной по величине и направлению силы Требуется найти работу на криволинейном пути AB.

Решение. Разбиваем путь AB на столь малые части A_kA_{k + 1}, чтобы каждую такую часть можно было считать приближенно прямолинейной, а силу , в пределах этой части, считать приближенно постоянной по величине и направлению. Тогда работа силы на элементарном участке A_kA_{k + 1} приближенно будет равна: Но

Поэтому

Следовательно, работа силы на всем пути AB приближенно будет равна:

Предел этой суммы при будет давать точное значение работы силы на пути AB. А этим пределом является

Таким образом, всякий криволинейный интеграл второго рода

можно истолковать как работу, которую производит сила с проекциями P, Q, на оси Ox, Oy соответственно, по перемещению материальной точки по пути AB из точки A в точку B.

1. 6. Вычисление площади плоской фигуры при помощи криволинейного интеграла второго рода. Пусть Г - простой, замкнутый самонепересекающийся контур, ограничивающий область D.

1) Пусть область D такая, что прямыми, параллельными оси Oy, она может быть разложена на конечное число областей типа I. Рассмотрим криволинейный интеграл . Преобразуя этот интеграл по формуле Грина, получим

2) Пусть теперь область D такая, что прямыми, параллельными оси Ox, ее можно разложить на конечное число областей типа II. Рассмотрим криволинейный интеграл Преобразуя этот интеграл по формуле Грина, получим

3) Пусть, наконец, область D такая, что прямыми, параллельными оси Oy, она может быть разложена на конечное число областей типа I, а прямыми, параллельными оси Ox - на конечное число областей типа II. Тогда будут верны одновременно формулы (*) и (**). Сложив соответствующие части этих формул, получим

1.7 Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

Пусть в некоторой области D в плоскости Oxy заданы непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y). Рассмотрим криволинейный интеграл второго рода общего вида

где AB - произвольная кусочно гладкая кривая, целиком лежащая в D и соединяющая точки A и B этой области. Выясним условия, при которых значение такого интеграла зависит лишь от точек A и B и не меняется при изменении кривой, связывающей точки A и B (в таком случае обычно говорят, что интеграл не зависит от пути интегрирования).

Теорема 1.3 [2. c. 296]. Для того чтобы значение криволинейного интеграла (8) в области D не зависело от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы для любого кусочно гладкого контура L в D выполнялось равенство

Рис. 7.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что значение криволинейного интеграла (8) не зависит от пути интегрирования. Произвольный контур L, целиком лежащий в D, двумя любыми точками A и B разделим на две кривые AM₁B и AM₂B. Тогда, исходя из предположения, можно записать (аргументы у подынтегральных функций здесь и далее для краткости опущены)

Отсюда, учитывая свойства криволинейного интеграла второго рода, получаем

Достаточность. Пусть равенство (9) выполнено для любого контура L, целиком лежащего в области D. Выберем произвольные точки A и B и D и соединим их двумя различными кривыми и , целиком лежащими в D. Из этих кривых можно составить контур L (см. рис. 7). В силу предположения и свойства 1.4 криволинейного интеграла второго рода имеем

Так как при изменении направления обхода кривой криволинейный интеграл второго рода меняет знак, из последнего равенства следует, что

Поскольку точки A и B, а также две связывающие их кривые были выбраны произвольно, заключаем, что криволинейный интеграл в области D не зависит от пути интегрирования.

Теорема 1.4 [2, c. 299]. Если функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в области D, а криволинейный интеграл второго рода от этих функций в области D не зависит от пути, то функция F(x, y), определяемая равенством имеет в D непрерывные частные производные, причем

Доказательство. Пусть M(x; y) - произвольная точка области D. Выберем настолько малое, что окрестность точки M целиком попадает в область D. Для произвольного приращения ?x, удовлетворяющего неравенству , согласно формуле Ньютона - Лейбница, имеем

причем в качестве пути интегрирования в последнем интеграле можно взять горизонтальный отрезок, соединяющий точки M(x; y) и .

Рис. 8.

В этом случае dy ? 0, переменное y имеет постоянное значение, и мы получаем

где последний интеграл есть определенный интеграл по отрезку [x, x + x]. Итак, функция переменного представлена как определенный интеграл с переменным верхним пределом, причем подынтегральная функция является непрерывной в точке . Поэтому функция дифференцируема при и Но последнее равенство и означает, что в точке M(x; y) функция F(x, y) имеет частную производную по переменному x, равную P(x, y).

Аналогичным образом, используя приращение по переменному y, можно показать, что в точке M функция F(x, y) имеет также и частную производную по переменному y, равную Q(x, y).

Теорема 1.5 [2, c. 300]. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой односвязной области D в плоскости xOy. Тогда следующие четыре условия эквивалентны:

выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy является в области D полным дифференциалом некоторой функции F(x, y);

всюду в области D верно равенство

для любого кусочно гладкого контура L, целиком лежащего в области D, верно равенство

криволинейный интеграл второго рода от функций P(x, y) и Q(x, y) в области D не зависит от пути интегрирования.

Доказательство. Сначала покажем, что из первого условия теоремы следует второе. Пусть

Тогда имеем

Следовательно,

В силу непрерывности частных производных правые части последних равенств равны между собой, так как непрерывные смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому равны и левые части этих равенств, т. е. выполнено второе условие теоремы.

Покажем теперь, что из второго условия теоремы следует третье. Пусть L - произвольный кусочно гладкий контур, целиком лежащий в области D. Согласно формуле Грина для односвязной области, так как в силу второго условия теоремы подынтегральная функция в двойном интеграле тождественно равна нулю. Итак, доказано, что выполнено третье условие теоремы.

Третье и четвертое условия эквивалентны в силу теоремы 1.1. Пусть выполнено четвертое условие. Согласно теореме 1.2, функции F(x, y), определяемая равенством (10), имеет непрерывные частные производные, равные P(x, y) и Q(x, y). Но тогда эта функция дифференцируема, а ее дифференциал имеет вид

Это доказывает выполнение первого условия теоремы.

1.8 Криволинейный интеграл второго рода в многосвязной области

Пусть функции P(x, y), Q(x, y) являются непрерывными вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой плоской многосвязной области D и в этой области выполняется равенство

Рис. 9.

Что в этом случае можно сказать об интеграле

где L - контур, целиком лежащий в области D?

Если контур L не охватывает ни одного отверстия (например, контур L₁ на рис. 9), то его можно поместить в односвязную область и применить теорему 1.1. В результате получим, что интеграл (11) равен нулю. Если же контур охватывает хотя бы одно отверстие (например, контур L₂ на рис. 9), то интеграл (11) может быть ненулевым. Однако можно утверждать следующее: все такие интегралы, взятые в положительном направлении по всевозможным контурам, охватывающим данное отверстие один раз, равны между собой. Действительно, пусть L₂ и L₃ - контуры, охватывающие одно и то же отверстие один раз. Если эти контуры не пересекаются, то они составляют границу двусвязной области. Применив формулу Грина для многосвязной области, получим

Если же контуры L₂ и L₃ пересекаются, то можно выбрать еще один контур L^*, охватывающий то же отверстие, но не пересекающийся ни с L₂, ни с L₃ (Рис. 10). Тогда, как показано, интеграл по контуру L^*, с одной стороны, равен интегралу по контуру L₂, а с другой - интегралу по контуру L₃. Значит, и в этом случае интегралы по контурам L₂ и L₃ совпадают.

Рис. 10.

Общее значение всех криволинейных интегралов по любому простому контуру, обходящему только один раз данное отверстие в положительном направлении, называют циклической постоянной данного отверстия. Для разных отверстий значения циклической постоянной в общем случае различны.

Пусть L - любой замкнутый контур, обходящий в положительном направлении только одно данное отверстие два раза (рис. 11). Тогда в силу свойства аддитивности криволинейного интеграла имеем

где циклическая постоянная данного отверстия. Если контур L обходит один раз в положительном направлении два отверстия (рис. 12), то

где циклические постоянные этих отверстий.

Рис. 11. Рис. 12.

Рассмотрим четырехсвязную область с тремя отверстиями, имеющими циклические постоянные (рис. 13). Пусть контур L обходит в положительном направлении два раза первое отверстие, один раз второе и три раза третье. Тогда получим

Рис. 13.

В общем случае n-связной области при обходе в положительном направлении каждого из n отверстий значение интеграла (11) увеличивается на соответствующую циклическую постоянную, а при обходе в отрицательном направлении - уменьшается на ту же циклическую постоянную. Таким образом,

Поскольку в многосвязной области значение криволинейного интеграла вдоль контура может быть ненулевым, то, согласно теореме 1.1, интеграл в этой области зависит от пути. Рассмотрим две кривые AC₁B и AC₂B, соединяющие точки A и B. Из этих двух кривых можно составить контур L = AC₁BC₂A. Если контур L обходит в положительном направлении отверстие, имеющее циклическую постоянную (рис. 14.), то криволинейный интеграл вдоль этого контура равен . С учетом свойств криволинейного интеграла заключаем, что

Рис. 14.

Интегралы вдоль кривых AC₁B и AC₂B будут равны, если составленный из этих кривых контур не охватывает ни одно из отверстий.



2. Решение задач

Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем их преобразования в определенные интегралы.

2.1 Вычисление криволинейных интегралов второго рода путем параметризации путей интегрирования

Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), где x(t), y(t), - непрерывно дифференцируемые функции от t, изменяющегося в пределах от Предположим, что точке A соответствует значение параметра M(x(t), y(t)) по кривой AB в направлении к AB. Тогда, если функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны на кривой AB, то криволинейные интегралы определяемые как пределы соответствующих интегральных сумм, существуют и, следовательно, не зависят от способа построения этих сумм. Воспользовавшись этим, построим интегральные суммы специальным образом.

Разобьем отрезок с концами оси Ot с точками t₀ = , t₁, t₂, …, t_n = в направлении от к на n частей. Обозначим через M_i(x_i, y_i) точку кривой AB, соответствующую значению параметра t_i.

Точки M₀, M₁, …, M_n разобьют кривую AB в направлении от A к B на n дуг. По теореме Лагранжа

где , а значение параметра t, лежащее между и

Пусть N_i = точка кривой AB, соответствующая значению параметра t = , . Эта точка лежит на дуге M_i-1M_i. Составим интегральную сумму для интеграла , используя полученное разбиение кривой AB на части M_i-1M_i (i = 1, 2, …, n) и выбранные точки N_i на этих частях. По построению имеем:

Первая часть равенства представляет собой интегральную сумму для определенного интеграла от непрерывной функции по переменному t, изменяющемуся от t = до t = . При стремлении к нулю шага разбиения рассматриваемого промежутка оси Ot, в силу непрерывности функций , будет стремиться к нулю шаг разбиения кривой AB. Переходя к пределу в равенстве (12), получим формулу, выражающую криволинейный интеграл, по переменной x через определенный интеграл:

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла по нерешенным x и y по кривой AB надо составить параметрические уравнения пути интегрирования, выразить формально под знаком интеграла переменные x и y , а также дифференциалы dx и dy через параметр, и затем вычислить от полученного выражения определенный интеграл в пределах изменения параметра от значения, соответствующего началу пути интегрирования, до значения, соответствующего концу.

Пример 1 (см. приложение A). Вычислить криволинейный интеграл взятый по окружности радиуса R с центром в начале координат, которая обходится против часовой стрелки.

Решение. Параметризация окружности дается формулами

Пример 2 (см. приложение B). Вычислить криволинейный интеграл

от точки A(1, 2) до точки B(2, 4) по прямой AB.

Решение. Составим уравнение прямой AB:

Согласно формуле (16) и, т. к., dy = 2dx,

Пример 3 (см. приложение C). Даны точки O(0, 0, 0) и B(, 4, 5). Вычислить криволинейный интеграл

по прямой OB.

Решение. Составим уравнения прямой OB

Параметризуя эти уравнения, получим

Далее, вычисляя данный интеграл по (15), получим



2.2 Вычисление криволинейных интегралов второго рода от полного дифференциала

В односвязной плоской области D криволинейный интеграл второго рода

не зависит от пути интегрирования, если подынтегральное выражение является дифференциалом некоторой функции F(x, y). Если функции P(x, y) и Q(x, y) имеют в D непрерывные частные производные, то, согласно теореме 1.5, для независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Основная идея в вычислении интегралов, не зависящих от пути, состоит в выборе наиболее простого пути интегрирования. Как правило, в этом случае в качестве пути интегрирования выбирают ломаную AKB, состоящую из двух отрезков прямых, параллельных координатным осям (рис. 15).

Рис.15

Если такой путь интегрирования целиком попадает в область D, то в соответствии со свойством 1.5 криволинейного интеграла второго рода можно написать поскольку при интегрировании по отрезку AK имеем x = до , а при интегрировании по отрезку KB - y = до . Таким образом, получаем формулу которую удобно использовать для вычисления криволинейного интеграла второго рода от полного дифференциала в плоской односвязной области D.

Криволинейный интеграл, не зависящий от пути интегрирования, можно вычислять и с помощью формулы Ньютона - Лейбница для криволинейного интеграла. Это удобно в случае, когда легко найти функцию F(x, y), дифференциалом которой является подынтегральное выражение. Стоит отметить, что на практике часто решают обратную задачу: с помощью криволинейного интеграла определяют функцию F(x, y).

Пример 1 (см. приложение D). Вычислить криволинейный интеграл второго рода

Решение. В этом случае легко сразу указать функцию F(x, y) = xy, для которой подынтегральное выражение является полным дифференциалом,

Используя формулу Ньютона - Лейбница, получаем

Пример 2 (см. приложение E). Вычислить криволинейный интеграл второго рода

Решение. В данном случае P(x, y) = и Q(x, y) =. Нетрудно убедиться, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции F(x, y). Выберем путь интегрирования, проходящий сначала вдоль прямой x = , а затем вдоль кривой y = 0. Используя формулу (17), находим

2.3 Применение условий независимости криволинейного интеграла второго рода от путей интегрирования

Пример 1 (см. приложение F). Выяснить, будет ли криволинейный интеграл зависеть от формы интегрирования.

Решение. Здесь функция P(x, y) = , а функция Q(x, y) = .

Интеграл не будет зависеть от формы пути интегрирования, если будет выполнено условие

Чтобы проверить его выполнение, найдем частные производные от функции P(x, y) по независимой переменной y, а от функции Q(x, y) по независимой переменной x.

Условие выполнено - предложенный криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования.

Пример 2 (см. приложение G). Проверить, что указанный интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

Решение. Здесь P = y, Q = x. Так как

этот интеграл не зависит от пути интегрирования. Далее

Следовательно,

2.4 Практическое применение формулы Грина

Пример 1 (см. приложение H). Вычислить

применяя формулу Грина, если L - контур треугольника с вершинами A(1, 1), B(2, 2), C(1, 3), пробегаемый против хода часовой стрелки.

Решение. В данном интеграле P = , Q = . Следовательно,

Уравнение прямой AB: y = x, уравнение BC: y = 4 - x. Вычисляем двойной интеграл по данной области

Пример 2 (см. приложение I). С помощью формулы Грина вычислить интеграл взятый по окружности проходимый против часовой стрелки.

Решение. По формуле Грина имеем

Пример 3 (см. приложение J). Найти площадь S, ограниченную астроидой

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения площади плоской фигуры и формулой (15):



2.5 Интегрирование дифференциальных уравнений, левая часть которых есть полный дифференциал. Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть удовлетворяет условию

Общий интеграл такого уравнения может быть найден по одной из следующих двух формул:

где нижние пределы a и b могут быть выбраны произвольно.

В формуле (*) во втором интеграле Q(x, y) преобразовывается: в нее вместо переменной x подставляется a - нижний предел первого интеграла и она становится равной Q(a, y). Пользуясь произвольностью числа a, его следует выбрать так, чтобы функция Q(a, y) стала наиболее простой.

Это указание относится и к формуле (**).

Пример 1 (см. приложение K). Найти общий интеграл уравнения

Решение. Прежде всего следует убедиться в том, что левая часть уравнения является полным дифференциалом. Здесь

Находим

Левая часть уравнения есть полный дифференциал. Для отыскания общего решения уравнения применим формулу (*). Возникает вопрос о выборе нижнего предела a в первом интеграле этой формулы. Положим a = 1. Тогда, заменив в Q(x, y) x на 1, получим

и формула (*) дает

При вычислении первого интеграла переменная y должна рассматриваться как величина постоянная.

Выполнив интегрирование, получим:

Преобразования в левой части приводят к выражению

Относя ( к произвольной постоянной, получаем окончательно:

Если бы вместо a = 1 мы взяли бы любое другое число, не равное нулю, то в левую часть равенства (A) входила бы другая постоянная величина, а не ( и ее мы опять-таки ввели бы в состав произвольной постоянной.

2. 6 Механический смысл криволинейного интеграла второго рода при решении задач

Пример 1 (см. приложение L). Найти работу, совершаемую полем при перемещении тела от начала координат O(0,0) до точки A(1,1) по траектории L, где L - отрезок прямой y = x.

Решение. Вычислим работу при перемещении вдоль прямой y = x:

Пример 2 (см. приложение M). Тело массой m брошено под углом к горизонту б с начальной скоростью. Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Решение. Запишем закон движения тела в параметрической форме.

При соударении с землей y = 0, так что время полета тела равно

Силу притяжения запишем в виде . Тогда работа за время перемещения тела равна

Полученный результат объясняется тем, что гравитационное поле Земли является потенциальным, поскольку выполняется равенство

Найдем потенциал этого поля. В общем виде он записывается как

Полагая находим

Таким образом, потенциал гравитационного поля равен

Отсюда видно, что при перемещении тела из начальной точки O(0, 0) до конечной точки A(L, 0) работа равна



Заключение

На основании проведенной работы можно сделать следующие выводы.

Проблема изучения криволинейного интеграла второго рода является весьма актуальной. Опираясь на поставленные задачи, в работе удалось раскрыть основные аспекты теории и приложений криволинейного интеграла второго рода.

Изначально были сформулированы основные теоретические сведения, включающие определение криволинейного интеграла второго рода, его свойства и условие существования. На основе рассмотренных теоретических сведений были рассмотрены приложения и теоремы (условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования). Для получения полной картины были рассмотрены основные задачи и приложения криволинейного интеграла второго рода. В конце курсовой работы приводятся примеры решений задач в системе компьютерной математики Mathematica 6.

Необходимо понимать, что изучение криволинейного интеграла второго рода имеет высочайшее значение не только в математическом анализе, но и других сферах науки, таких, как физика, геометрия, экономика. Ведь часто на практике возникают задачи, в которых использование свойств и приложений криволинейного интеграла второго рода значительно упрощает процесс нахождения результата.



Список использованной литературы

1. Аксёнов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла). - СПб.: Нестор, 2000.

2. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - 2-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. - изд. 4-е, - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1966.

4. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ: Учебник. - 3-е изд., перераб. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005.

5. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. 2. Учебник. - 3-е изд., переработ. и доп. - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1983.

6. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 1. Учеб.: Для вузов. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005

7. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Том 3. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие/ Под ред. Л. Д. Кудрявцева. - 2-е изд., перераб. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003.

8. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Часть 2. Дифференциальное исчисление функций одной и многих независимых переменных. - изд. 5-е. - М.: Издательство при Харьковском государственном университете, 1973.



Приложение A

Пример 1 (пункт 2. 1)

Параметризуем переменные x и y через t:

x = R*Cos[t]

R Cos[t]

y = R*Sin[t]

R Sin[t]

Получим пределы интегрирования a1 и b1:

a1 = 0

0

b1 = 2*

2

Вычислим интеграл:

Integrate[(R*Cos[t])^2 - R*Sin[t]*(-R*Sin[t]),

{t,a1,b1}]

2 R²

Ответ: 2 R².



Приложение B

Пример 2. (пункт 2. 1)

Зададим точки:

A ={1,2}

{1,2}

B ={2,4}

{2,4}

Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Det[{{x,y,1},{1,2,1},{2,4,1}}] == 0

-2 x + y == 0

Перепишем уравнение в явном виде:

y = 2*x

2 x

Найдем вy:

вy = 2 вx;

Запишем P(x,y) и Q(x,y):

P[x_,y_] = x*y - 1

-1 + x y

Q[x_,y_] = x^2*y

x² y

Вычислим интеграл по формуле (16):

Integrate[2*x^2 - 1 + 4*x^3,{x,1,2}]

56/3

Ответ: 56/3.



Приложение C

Пример 3 (пункт 2. 1)

Запишем координаты точек O и A:

x1 = 0; y1 = 0; z1 = 0;

x2 = -2; y2 = 4; z2 = 5;

Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки:

(x - x1)/(x2 - x1)==(y - y1)/(y2 - y1)==(z - z1)/(z2 - z1)

-x/2 == y/4 == z/5

Параметризуем x, y и z:

x = -2*t;

y = 4*t;

z = 5*t;

Найдем производные x', y', z':

x' = x

-2

y' = y

4

z' = z

5

По формуле (15) найдем значение интеграла:

Integrate[x*y^2*x' + y*z^2*y' - z*x^2*z',{t,0,1}]

91

Ответ: 91.



Приложение D

Пример 1 (пункт 2. 2)

Подберем функцию:

f[x_,y_] = x*y

x y

Проверим, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом этой функции:

_x f[x,y]

y

_y f[x,y]

x

Получили подинтегральное выражение, которое является полным дифференциалом для функции (x y), тогда по формуле Ньютона-Лейбница:

3*3 - 1*1

8

Ответ: 8.



Приложение E

Пример 2 (пункт 2. 2)

Запишем P(x, y) и Q(x, y):

P[x_,y_] = 5*x^4 + 4*x*y^3

5 x⁴ + 4 x y³

Q[x_,y_] = 6*x^2*y^2 - 5 y^4

6 x² y² - 5 x⁴

Выберем путь интегрирования, проходящий сначала вдоль прямой x = -2, а затем вдоль кривой y = 0

Q[-2,y]

24 y² - 5 y⁴

P[x,0]

5 x⁴

Используя формулу (17), получим:

I1 = Integrate[Q[-2,y],{y,-1,0}]

7

I2 = Integrate[P[x,0,{x,-2,3}]

275

I1+I2

282

Ответ: 282.



Приложение F

Пример 1 (пункт 2. 3)

Запишем P(x, y) и Q(x, y):

P[x_,y_] = 6*x*y + 4*y^2 + 5*y

5 y + 6 x y + 4 y²

Q[x_,y_] = 3*x^2 + 8*x*y + 5*x

5 x + 3 x² + 8 x y

Проверяем условия равенства и :

_y P[x,y]

5 + 6 x + 8 y

_x Q[x,y]

5 + 6 x + 8 y

_y P[x,y] == _x Q[x,y]

True

Данный криволинейный интеграл не зависит от формы интегрирования.

Ответ: не зависит.



Приложение G

Пример 2 (пункт 2. 3)

Проверяем условия равенства и :

P[x_,y_] = y

y

Q[x_,y_] = x

x

_y P[x,y]

1

_x Q[x,y]

1

_y P[x,y] == _x Q[x,y]

True

Вычислим функцию, для которой подынтегральное выражение является полным дифференциалом:

[x_,y_] = Integrate[P[x,0],{x,0,x}] +

Integrate[Q[x,y],{y,0,y}]

x y

Следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница:

2*3 -(-1*2)

8

Ответ: 8.



Приложение H

Пример 1 (пункт 2. 4)

Запишем P(x, y) и Q(x, y):

P[x_,y_] = 2*(x^2 + y^2);

...