Геометрические приложения интеграла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Геометрические приложения определенного интеграла

1. Площадь плоской фигуры

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла (§1) площадь фигуры, заключенной между графиком функции , осью и двумя прямыми и , численно равна определенному интегралу . Причем, если (рис. а), то

В случае, если (рис. б),то в формуле (1) имеет место знак «-».

В общем случае абсолютная величина выражает искомую площадь, т.е.

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями и соответственно, непрерывными на отрезке (рис. в), то площадь криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками функций и (при ):

Формула (3) справедлива при любом расположении кривых и (рис. г, д), при условии, что :

Если график функции на интервале несколько раз пересекает ось (рис. е), то необходимо вычислить площади фигур, расположенных выше и ниже оси и сложить их.

Аналогично можно рассмотреть шесть случаев вычисления площади криволинейной трапеции, прилежащей к оси .

Например:

и т.д.

Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение: 1) Построим линии и обозначим криволинейную трапецию:

- парабола, смещенная по оси на единицу вверх. Найдем координаты вершины:

;

- прямая .

2) Найдем точки пересечения линий (левую и правую границу криволинейной трапеции):

3) Вычислим площадь: , где

; ; ;

2. Объем тела вращения

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Найдем объем тела, образованного при вращении вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями: ; ; ; .

Пусть известна площадь любого сечения этого тела (вращения) плоскостями, перпендикулярными оси . Разобьем тело на слои, перпендикулярные и проходящие через точки .

геометрический вычисление интеграл

Заменим каждый слой прямым цилиндром с высотой и площадью основания . Тогда объем каждого элементарного цилиндра будет равен .

Объем каждого элементарного слоя будет приближенно равен объему соответствующего цилиндра, но отбрасываемая величина бесконечно малая более высокого порядка малости. Тогда объем всего тела будет равен сумме объемов всех слоев: и тем точнее будет вычислен объем, чем больше число точек разбиения «», т.е. чем больше «n». Переходя к пределу, получим точное равенство: , а предел такой суммы и является определенным интегралом, т.е.

.

Зная, что - площадь основания цилиндра и равна , а радиус , имеем . Тогда формула (1) примет вид:

- вокруг оси .

Аналогично можно вращать трапецию вокруг оси , если функция задана как . Тогда:

- вокруг оси .

Замечание. Если на отрезке криволинейная трапеция опирается не на ось , а ограничена двумя функциями и , причем ,то имеем:

.

Пример 1:

Вычислить объем тела, образованного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: и . Определить, какова масса продукта, заполняющего этот объем, если весит

Решение.

1). Построим линии:

- - парабола

; ;

2). Найдем объем тела вращения:

3). .

3. Несобственный интеграл

Понятие несобственного интеграла.

При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что:

1. Подынтегральная функция ограничена, т.е. отрезок интегрирования был конечным.

2. Подынтегральная функция была непрерывна и определена на отрезке .

Такой определенный интеграл называется собственным.

Определение 1. Если одно или оба из этих условий нарушается, то интеграл называется несобственным.

Пример:

1) - нарушено 1-е условие;

2) - нарушено 2-е условие.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть функция определена в интервале и интегрируется в любом конечном отрезке этого интервала, при условии, что .

Определение 1. Если при для существует конечный предел, то такой интеграл называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом.

Определение 2. Если существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае интеграл называется расходящимся и ему не приписывают никакого числового значения.

Аналогично можно рассмотреть интеграл:

- несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом.

,

где с - фиксированное число (лучше принимать с=0)

С геометрической точки зрения несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования представляет собой площадь криволинейной трапеции (если интеграл сходится).

Пример:

- предел конечный, интеграл сходится.

Несобственные интегралы от разрывных функций.

Пусть функция непрерывна при , т.е. . Значит, - точка разрыва.

При этом предполагается, что на любом отрезке функция непрерывна и интегрируема.

Определение 1. Как бы ни было мало число , если существует конечный предел (2), то его называют несобственным интегралом от разрывной функции. Если предел конечный, то интеграл будет сходящимся, если бесконечный, то интеграл расходящийся.

Аналогично рассматриваются интегралы при условии, что ,

- точка разрыва, тогда

Можно рассматривать интегралы от функции при условии, что - точка разрыва, если . Тогда:

Пример:

Интеграл расходится.

Покажем, что было бы, если этот интеграл взять как обычный определенный интеграл.

-!!!

Этот результат неверный, так как функция .

Признаки сходимости несобственных интегралов.

Во многих случаях бывает достаточно только установить сходимость или расходимость данного несобственного интеграла.

Теорема 1 (признак сравнения несобственных интегралов).

Если функции и непрерывны на интервале и удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость . И наоборот, если расходится , то расходится и . (без доказательства)

Пример: Исследовать интеграл на сходимость , если - сходится.

Так как функции и непрерывны на и , то по теореме - сходится.

Аналогично можно рассмотреть этот признак для несобственных интегралов от разрывных функций.

Если функции и непрерывны на интервале и для всех точек в некоторой окрестности особой точки выполняются условия , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Теорема 2 (критерий Коши) Огюст Луи Коши (1789- 1857)- французский математик. Петер Густав Лежен Дирихле (1805- 1859) - немецкий математик. Нильс Хенрик Абель (1802- 1829) - норвежский математик.. Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы для любого можно было найти такое число , что для любых и , больших, чем А, выполняется неравенство:

,

где

(без доказательства)

Определение 1. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится .

Определение 2. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится.

Теорема 3 (признак Дирихле - Абеля).

Пусть функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную на промежутке , а функция имеет непрерывную производную на этом промежутке, не возрастает и стремится к нулю при . Тогда, несобственный интеграл сходится (без доказательства).

Пример: Исследовать интеграл на сходимость:

, при

Пусть ; .

Легко убедиться, что все условия теоремы выполнимы, т.е. данный интеграл сходится.

При данный интеграл сходится абсолютно. Действительно, , значит, сходится. А по признаку сравнения сходится абсолютно и данный интеграл.

Размещено на Allbest.ru