Изучение и сравнение методов определения площади фигур

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследовательская работа

Изучение и сравнение методов определения площади фигур



Введение

геометрия площадь пик

Актуальность данной темы связана с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические задачи, которые решает наука, немыслимы без математического аппарата, в том числе и без ее раздела - геометрии. Задачу измерения площади фигуры, ограниченной некоторой замкнутой линией, приходится решать людям самых различных специальностей: математикам, геодезистам, конструкторам, картографам, физикам, проектировщикам и др. Основа для математической грамотности закладывается в школе, а геометрические задачи встречаются при решении олимпиадных заданий, а также в задания ОГЭ и ЕГЭ. В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с правильными многоугольниками. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, чтобы определить давление человека на поверхность пола или земли, необходимо определить площадь опоры (площадь подошвы ботинок, кроссовок, туфель) или, если возникает необходимость определить площадь территории по плану или географической карте, или геологам необходимо измерить площадь рудоносной линзы и определить возможный объем добываемой руды, а также при обмере площади квартиры кадастровыми инженерами при постановке ее на учет в налоговую службу. Работа посвящена изучению и сравнению различных методов приближенного измерения и вычисления площадей фигур сложной формы. Я решила показать разнообразие способов решения одной задачи. Её решение требует от учащихся волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников. И, возможно, поможет учащимся освоить решение таких задач, чтобы как можно меньше тратить времени на их выполнение на экзамене. Точность методов исследовалась на фигурах, площадь которых можно вычислить по формулам. А применение методов изучалось на примерах в научной и технической литературе для различных специальностей.

В своей работе я поставила цель: изучение и сравнение различных методов определения площади фигур.

Гипотеза исследования. Площадь фигуры можно определить без формул, если использовать определенные методы с точностью, достаточной для практических целей.

Для проверки гипотезы были поставлены следующие задачи:

1. Изучить литературу по теме исследования.

2. Сравнить эффективность различных способов практического измерения площадей, как для реальных физических объектов, так и для фигур, площади которых могут быть найдены по точным формулам.

3. Расширить возможности учащихся использовать различные способы решения задач по нахождению площадей фигур.

4. Показать практическое применение методов измерения площади фигур на практике.

5. Провести опрос и тестирование среди учащихся школы, проанализировать и обобщить результаты.

Методы исследований:

· Теоретический: анализ литературы

· Эмпирический: эксперимент

· Математический: построение таблиц, вычисления.

Объект исследования: площадь фигур различной формы.

Предмет исследования: способы измерения площади фигур.



1. Изучение методов определения площади фигур

1.1 Когда зародилась наука геометрия?

Геометрия, раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения и формы и их обобщения. Геометрия в переводе с греческого означает «измерение земли» или «землемерие». Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: «Не знающие геометрии не допускаются!»

С древнейших времен, сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась. Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки и рычаги и другие простые механизмы.

Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.

«Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом рассмотрения и наконец, делается достоянием разума». Эти замечательные слова приписывают греческому ученому Евдему Родосскому, жившему в IV в.до н.э.

Сотни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то она много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.

В одной легенде говорится, что однажды египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика Евклида, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащемся в 13 книгах.

Ученый гордо ответил: «В геометрии нет царской дороги».

1.2 Понятие об измерениях

Измерение - это сравнение с некоторым образцом (эталоном). Цель измерения - установить, какое количество этих образцов можно поместить в измеряемом объекте. Эта количественная характеристика и является результатом измерения, а эталон становится единицей измерения.

Чем более мелкие производные основного эталона используются в измерениях, тем выше точность измерения. На практике точность любых измерений ограничена возможностями измерительной аппаратуры. Количественной характеристикой точности является погрешность измерения. Обычно погрешность составляет половину цены деления шкалы измерительного прибора.

1.3 Измерение площадей

Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур - любая из них обладает площадью. Площади фигур - это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в см² или м². Площади плоских фигур правильной геометрической формы, например, прямоугольников, треугольников, кругов, обычно определяют с помощью косвенных измерений. Еще в начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника, квадрата и прямоугольного треугольника. Измерения проводились с помощью обычной линейки. Сначала измеряют линейные размеры фигуры (длину, высоту, ширину, радиус), а потом вычисляют площадь, пользуясь соответствующими формулами.

В курсе физики 9 класса мы познакомились с правилом определения пути по графику v(t): Путь тела - это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости. Если v₀ =0, то

Если v₀ ?0, то



А также узнали, что механическая работа в физике также может быть определена графически.

Геометрическое толкование механической работы в физике заключается в нахождении площади фигуры, ограниченной графиком.

В геометрии площади фигур неправильной формы определяются лишь способом их вычисления. Если фигура имеет неправильную геометрическую форму, то ее площадь можно определить, начертив контур этой фигуры на бумаге в клеточку.

1.4 Единицы площади

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которой называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника. Площадь многоугольника - это величина внутренней части многоугольника. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогичного измерения отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принят квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см². Аналогично определяется квадратный метр (м²), квадратный миллиметр (мм²) и т.д.

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладывается в данном многоугольнике.



2. Методы измерения площади фигур

2.1 Метод взвешивания

Метод взвешивания путем измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого S₀ точно известна, вырезать его и определить на весах его массу m₀. На бумагу такой же толщины и плотности перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу m. Затем, пользуясь правилом пропорции , вычислить искомую площадь фигуры. Тогда S = S₀ .

Этот метод тем точнее, чем точнее лабораторные весы, а в современных условиях это могут быть только электронные весы.

Применение метода нахождения площади методом взвешивания применяется в швейно-трикотажном производстве, когда необходимо произвести расчеты расхода площади трикотажного полотна на одно изделие. Способ определения площади лекал взвешиванием, наиболее простой, требует построения чертежа лекала на бумаге, достаточно однородной по плотности и проверенной по весу 1 м². Фигуру, площадь которой определяют, вырезают аккуратно по контуру чертежа, взвешивают на лабораторных весах и по весу подсчитывают площадь по формуле

где S - площадь лекала, см²; q - вес лекала, г;

Q - вес 1 м² бумаги, г.

2.2 Метод подсчета клеток или метод палетки

Метод палетки основан на разбиении плоскости на конгруэнтные квадраты. Если фигура имеет неправильную геометрическую форму, то ее площадь можно определить, начертив контур этой фигуры на бумаге в клеточку или с помощью палетки - листом из прозрачного материала, на который нанесена сетка линий, образующих при пересечении квадраты эталонного размера - конгруэнтные квадраты. В этом случае площадь фигуры вычисляют по формуле

S = S₀

где n - количество целых клеток; k - количество нецелых клеток, S₀ - площадь одной клетки (рис. 1). Палетка представляет собой лист из прозрачного материала, на который нанесена сетка линий, образующих при пересечении квадраты эталонного размера. Изготовив палетку, таким методом можно определить площадь подошвы обуви для расчета давления человека на опору или площадь страны на географической карте.

В швейно-трикотажном производстве для облегчения расчета площадей простых геометрических фигур пользуются вспомогательной сеткой, представляющей собой лист бумаги с миллиметровой сеткой (рис. 2). На ней тушью наносят линии, образующие клетки со стороной 3 см.



Применение данного метода измерения площади производится геологами и геодезистами, когда необходимо измерить площадь рудоносной линзы и определить возможный объем добываемой руды. Определение площади линзы полезных ископаемых производится несколько раз при разной ориентировке палетки относительно контура. Окончательное значение площади вычисляется как среднее арифметическое.

На рисунке показано измерение площади рудоносной линзы на разрезе с помощью палетки

а - палетка короткой стороной ориентирована горизонтально;

б - под углом 45⁰ к горизонту

Применение метода нахождения площади с помощью палетки применяется инженерами - строителями в расчетах определения давления опор зданий на грунт или машиностроителями при расчетах давления гусеничных тракторов и большегрузных машин на плодородный слой почвы, а также при строительстве взлетно-посадочных полос самолетов и определении давления шасси самолетов на покрытие полосы. В курсе физики мы, таким образом, определяли давление, которое оказывает человек на поверхность земли или пола в зависимости от площади опоры обуви.



2.3 Измерение площади планиметром

Для измерения площадей применяют специальный прибор - планиметр. Полярный планиметр (рис. 4) представляет собой два рычага, соединенных шарниром. Определение площади производится обводкой контура фигуры вручную штифтом (рис. 5), связанным со счетно-решающим механизмом (рис. 6).

Простейший планиметр-топорик можно изготовить кустарным способом. Он состоит из металлического стержня, согнутого в виде широкой буквы П (рис. 7). Один конец инструмента расплющивается в виде топорика, а другой, ведущий конец заострялся в иглу.



Чтобы определить площадь, ограниченную каким-либо контуром, намечают на глаз центр тяжести этого контура - точку О и соединяют ее прямой ОА с контуром. Планиметр ставят в вертикальное положение острием в точку О (рис. 8а) и слегка нажимают на топорик, чтобы получить след на бумаге (1). Затем делают обвод иглой, сначала по прямой ОА до контура, далее полный оборот по контуру до точки А и, наконец, снова возвращаются в исходную точку О. После этого легким нажимом фиксируют на бумаге новое положение топорика (2). Площадь, ограниченная контуром, равняется произведению длины планиметра m на расстояние между начальным и конечным положением топорика n - площадь фигуры S=m•n.

Для уточнения результата и исключения ошибки от несовпадения точки О с центром тяжести фигуры надо сделать новый обвод после поворота инструмента на 180°, как показано пунктиром, и в противоположном направлении. За окончательный результат принимают среднее положение из двух полученных значений. Погрешность в определении площади участков при помощи планиметра зависит от квалификации измеряющего и при умелом пользовании составляет около 1-2%. В домашних условиях планиметр-топорик можно заменить перочинным ножом с двумя лезвиями (рис. 8б). Точность определения площади с помощью ножа будет несколько ниже, но зато нож всегда может оказаться у вас под руками.

2.4 Метод расчета по формуле Пика

Формула Пика (или теорема Пика) - формула, согласно которой площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:

В+ Г/2 ? 1,

где В-количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника. Формула открыта австрийским математиком Георгом Александром Пиком в 1899 году.

Формула Пика используется не только для вычисления площадей многоугольников, но и для решения многих задач олимпиадного уровня. Пример использования формулы Пика при решении задач:

1) Шахматный король обошел доску 8 Ч 8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)

Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2 ? 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64 полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким образом, хотя таких «траекторий» короля достаточно много, но все они ограничивают многоугольники равных площадей.

2.5 Метод «перекраивания» или разбиение многоугольника на части

Под плоским многоугольником понимают многоугольник вместе с ограниченной им частью плоскости. Заметим, что при измерении площади многоугольников опираются на основные свойства площадей:

Если один многоугольник равен другому их площади равны.

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то площадь многоугольника равна сумме площадей этих многоугольников.

Для нахождения площади многоугольника его «перекраивают» в более простые фигуры и затем, применив свойства площадей, находят площадь фигуры.



Итак, чтобы найти площадь многоугольника способом перекраивания необходимо: разделить многоугольник на более простые фигуры, такие как квадрат, прямоугольник, прямоугольный треугольник. Найти площади этих фигур, на которые разделен многоугольник. Сложить полученные площади. S_ф= S₁+S₂+S₃+…

Данный метод, может быть, применим школьниками при определении площади многоугольников.

2.6 Метод достраивания

При нахождении площади неправильной фигуры, некоторые фигуры проще достроить до прямоугольника или квадрата, используя для достраивания фигуры прямоугольного треугольника, квадрата или прямоугольника.

Ответ: S= 33см²

Данный метод, может быть, применим школьниками при определении площади неправильной геометрической фигуры. Расчетный способ достраивания и определения площади лекал в швейном производстве состоит в том, что чертеж площади лекала разбивают на части, представляющие собой простые геометрические фигуры, например, прямоугольники, треугольники, трапеции, части круга, части эллипса и др., площади которых легко подсчитать по их размерам.

рис. 9

Площадь лекал майки (рис. 9) может быть представлена как алгебраическая сумма площадей следующих геометрических фигур:

2.7 Метод вычисления по формулам планиметрии

Самый известный метод среди школьников - расчет площади по формуле.

Площадь квадрата:



Формула площади квадрата по длине стороны

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a²

где a - длина стороны квадрата; S - площадь квадрата.

Формула площади прямоугольника:

1) Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон (a, b).

a - длина 1-ой стороны прямоугольника

b - длина 2-ой стороны прямоугольника S - площадь прямоугольника.

Формула площади круга:



1) Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число (пи).

2) Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.

S - площадь круга

= 31415

r - радиус круга

Формула площади параллелограмма:

1) Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты (a, h).

S - площадь параллелограмма

a - длина основания

h - длина высоты

Формула площади трапеции:

1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (a, b, h).



S - площадь трапеции; a - длина 1-ого основания; b - длина 2-ого основания

h - длина высоты трапеции.

Формулы площади ромба:

1) Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h).

2) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

;

S - площадь ромба; a - длина основания ромба; h - длина высоты ромба

d₁ - длина 1-ой диагонали; d₂ - длина 2-ой диагонали.

3. Применение методов расчета площади фигур на практике

Проанализировав прочитанную мной литературу, я выявила 7 способов нахождения площадей геометрических фигур. Рассмотрим все способы решения на одной задаче.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Ч 1 см (см. рис. 10). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение 1 - метод взвешивания.

На электронных весах определила массу единичного квадрата m₀, площадь которого S₀=1см². Для этого положила фигуру единичного квадрата на электронные весы и зафиксировала массу m₀. Опыт был проведен три раза и определена средняя масса единичного квадрата m_0с.

m₀₁ = 0,03г; m₀₂ = 0,02г; m₀₃ = 0,03г >;

.

Затем определила массу фигуры m_фигуры=0,31г (опыт был проведен три раза).

Нашла площадь фигуры по формуле



S = S.

Расчет S = 1 см² .

Ответ: S = 11, 9 см² ? 12 см²

Решение 2 - метод палетки.

Так как наша фигура начерчена на бумаге в клетку, то подсчитав число целых клеток n= 40 и число неполных клеток k= 16, попавших в контур фигуры, и зная площадь одной клетки S₀ =0,25 см², рассчитаем площадь фигуры по формуле

S = S₀

Расчет: S = •0,25см² = 12см².

Ответ: S =12см².

Решение 3 - метод измерения планиметром.

В качестве планиметра я взяла перочинный нож с двумя лезвиями. Нашла экспериментально, и отметила центр тяжести данной фигуры О (Приложение 4). Установила одно из лезвий в точку О и отметила точку 1 у окончания второго лезвия. Провела линию до контура фигуры из точки О, и проведя по ней, обвела контур фигуры и вернулась обратно в точку О. При этом второе лезвие сместилось и я отметила точку 2. Измерила расстояние между лезвиями m =10,4 см и расстояние между точками 1 и 2 n =1,4 см. (Приложение 5).

Нашла площадь фигуры по формуле S=m•n. Расчет S = 10,4 см•1, 4 см = 14,56см^2. Относительная погрешность измерений ? = • 100% = 17%

Ответ: S=14,56см². Погрешность измерений составила 17%, что вполне допустимо для эксперимента в домашних условиях.



Решение 4 - метод расчета по формуле Пика.

Посчитаем количество целочисленных точек внутри многоугольника = 7, и количество целочисленных точек на границе многоугольника = 12. Подставим в формулу значения в формулу.

S=7+ -1=12.

Ответ: 12 см²

Решение 5 - метод «перекраивания» или разбиения фигуры на части

Проводим дополнительную линию AC, которая «разрезает» нашу трапецию на два прямоугольных треугольника. Первый с катетами AC = 4 и BC = 2, его площадь S1 = 4Ч2/2 = 4. Второй с катетами AC = 4 и AD= 4, его площадь S2 = 4Ч4/2 = 8. (Длины сторон мы также определили прямым подсчётом клеточек.)

Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ACB и DAC.

S = S1 + S2 = 4 + 8 = 12.

Ответ: 12 см^2.

Решение 6 - метод достраивания до прямоугольника.

Проводим горизонтальные линии через вершины В и D, продолжаем вертикальные линии AD и ВС до пересечения с горизонтальными. Точки пересечения обозначим символами E и F. Получили прямоугольник DEBF со сторонами DE = 6 и DF = 4, его площадь 6Ч4 = 24. Чтобы получить искомую площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади (зелёных) треугольников AEB и DFC.

S_АЕВ = AE·EB/2 = 2·4/2 = 4 и S_DFC = DF·FC/2 = 4·4/2 = 8

Следовательно, площадь трапеции равна S = 24 ? 4 ? 8 = 12.

Ответ: 12 см²

Решение 7 - метод расчета по формуле планиметрии.



ABCD - трапеция, т.е. четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. На рисунке параллельны стороны ВС и AD, они проходят по вертикальным линиям сетки, значит они являются основаниями трапеции. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту (обозначим её - h). Длину оснований определяем простым подсчётом клеточек на рисунке. ВС = 2, AD = 4. Как определить h? Вспомним, что высота трапеции это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания. Обычно, для определения этого расстояния, нужно из какой-либо вершины трапеции опустить перпендикуляр на противолежащую параллельную прямую, но здесь у нас такие перпендикуляры уже есть - это горизонтальные линии сетки. Возьмем, например, линию, на которой находятся точки А и С, на ней укладывается ровно 4 клеточки. Следовательно, h = 4. Подставляем значения в формулу: S = h·(BC + AD)/2. Расчет S = 4·(2 + 4)/2 = 12. Ответ: 12 см²



Результаты и выводы исследования

В ходе проведенного мною исследования, проведя расчеты, всеми доступными методами я сделала следующие выводы:

1. Тема нахождения площадей геометрических фигур красной нитью проходит через весь курс школьной математики и физики, является важной, так как ей уделяется достаточное количество времени на уроках математики, геометрии и физики.

2. Задачи на нахождение площадей многоугольников будут и в дальнейшем встречаться на уроках геометрии и физики в старших классах.

3. Существует достаточное количество способов нахождения площадей различных геометрических фигур на клетчатой бумаге.

4. Самым распространенным является 7 метод - расчет по формулам планиметрии, так как именно этому методу в школьной программе уделяется больше всего времени.

5. Другие, изученные мною методы, являются менее популярными, но не менее результативными.

6. Методы 1-3 пригодны для применения при расчетах площади фигур неправильной формы на практике в производстве, строительстве, в машиностроении и легкой промышленности, кадастровыми службами. Специалисты картографы, геодезисты, инженеры-строители, физики, конструкторы, закройщики, кадастровые инженеры должны обладать этими навыками и методами.

7. Методы 4-6 известны далеко не каждому, но именно эти методы является самым оптимальным по затратам времени при решении такого рода задач в вариантах ОГЭ.

8. В 9а, 9б и 8в классах было проведено тестирование на вычисление площади фигур. Все задания (10 задач по готовым чертежам) были взяты из открытого банка заданий с интернет-ресурса сайта ФИПИ. Результаты исследования показаны в таблице.

Класс	Количество участников	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
9а	24	0	2	2	4	5	2	4	0	1	2	2
9б	24	1	1	1	0	4	1	2	1	4	3	6
8в	13	0	1	2	0	2	0	1	3	1	2	1
Всего	61	1	4	5	4	11	3	7	4	6	7	9

9. Не все учащиеся знакомы с представленными методами. Я решила подготовить для них буклет-памятку с кратким описанием методов определения площади фигур (Приложение 6).

Подводя итоги своей работы, я бы посоветовала учащимся, при решении подобных заданий использовать 4-7 способы нахождения площади. Так как эти методы не являются экспериментальными, не требует сложных вычислений и не занимают большого количества времени. А также не забывать о методе нахождения площади фигур, ограниченной графиком для определения пути и работы в задачах по физике.

Надеюсь, моя работа поможет учащимся при решении задач на нахождение площадей геометрических фигур на клетчатой бумаге и выпускникам, при подготовке и сдаче ОГЭ и ЕГЭ.



Литература

геометрия площадь пик

1. Атанасян Л.С., В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия. 7-9 классы учебник - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 383 с.

2. Болтянский В. О понятиях площади и объема // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» 1977. - №5

3. Новиков И. Метод площадей // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» - 1971. - №12.

4. Садовский Л., Садовский А., Как измеряют площадь // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». - 1973. - №10.

Размещено на Allbest.ru

...