Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа на тему: Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Содержание

• Введение
• Основные понятия и определения
• 1. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений
• 1.1 Свойства линейного оператора
• 1.2 Линейные однородное дифференциальные уравнения второго порядка
• 1.3 Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера
• 1.3.1 Предварительные замечания
• 1.3.2 Случай различных корней характеристического уравнения
• 1.3.3 Случай кратных корней характеристического уравнения
• 1.4 Система линейно независимых решений (фундамент) и определитель Вронского
• 2. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка
• 2.1 Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка
• 2.2 Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для уравнения второго порядка
• 2.3 Метод неопределенных коэффициентов
• 3. Вынужденные колебания материальной точки
• 3.1 Применение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к исследованию простейших колебаний
• 3.2 Свободные колебания
• 3.3 Вынужденные колебания
• 3.4 Явление резонанса
• 4. Применение явления резонанса
• 4.1 Учет и использование резонанса
• 4.2 Явление резонанса ведущее к разрушению. Способы гашения нежелательных вынужденных колебаний
• 4.3 Дифференциальное уравнение цепной линии
• Заключение
• Список литературы
• Введение
• линейный уравнение интегрирование решение
• В математике дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное явление, записывается в виде дифференциальных уравнений.
• Задача интегрирования дифференциальных уравнений является классической и важнейшей задачей математического анализа.
• Предметом исследования моей дипломной работы являются вынужденные колебания материальной точки, которые задаются неоднородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Проинтегрировав это уравнение, получим закон движения материальной точки. Рассмотрен также частный случай уравнения вынужденный колебаний, т.е. когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний - явление резонанса. Так же мною было изучено применение явления резонанса в технике, строительстве, производстве и т.д. Рассмотрены случаи, когда явление резонанса приводило к разрушениям.
• Мы живем в мире колебаний. Маятник стенных часов, фундамент быстроходной турбины, кузов железнодорожного вагона, струна гитары и т.д.
• По современным воззрениям, все звуковые, тепловые, световые, электрические и магнитные явления, т.е. важнейшие физические процессы окружающего нас мира, сводятся к различным формам колебания материи.
• Речь, средство общения людей, музыка, способная вызвать у людей сложные эмоции, - физически определяются так же, как и другие звуковые явления, колебаниями струн, воздуха, пластин и других упругих тел.
• Колебания играют важную роль в таких ведущих областях техники, как электричество и радио. Выработка, передача и потребление электрической энергии, телефония, радиовещание, телевидение, радиолокация - все эти важные отрасли основаны на использовании электрических и электромагнитных колебаний.
• С колебаниями мы встречаемся и в живом организме. Биение сердца, сокращение желудка, деятельность кишечника имеют колебательный характер.
• Строители и механики имеют дело с колебаниями сооружений и машин. Кораблестроители - с качкой и вибрацией корабля и т. д.
• Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении собственной частоты и частоты вынуждающей силы называется резонансом.
• Резонанс возникает из-за того, что внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями тела, все время совершает положительную работу. За счет этой работы энергия колеблющегося тела увеличивается и амплитуда колебаний возрастает.
• Явление резонанса может играть как полезную, так и вредную роль.
• На применении резонанса основано действие язычкового частотометра. Заметив, какая пластина вошла в резонанс, мы определим частоту системы. Маленький ребенок может раскачать язык большого колокола, если будет действовать на веревку в такт со свободными колебаниями языка.
• С резонансом можно встретиться и тогда, когда это совсем нежелательно. Так, например, в 1750 году близ города Анжера во Франции через цепной мост длиной 102 м шел в ногу отряд солдат. Частота их шагов совпала с частотой свободных колебаний моста. Из-за этого размахи колебаний моста резко увеличились, и цепи оборвались. Мост обрушился в реку. В 1830 году по той же причине обрушился подвесной мост около Манчестера в Англии, когда по нему маршировал военный отряд. В 1906 году из-за резонанса разрушился и так называемый Египетский мост в Петербурге, по которому проходил кавалерийский эскадрон. Теперь для предотвращения подобных случаев войсковым частям приказывают “сбить ногу” и идти не строевым, а вольным шагом.
• Чтобы избежать резонанса при переезде поезда через мост, он проходит его либо на медленном ходу, либо на максимальной скорости (чтобы частота ударов колес о стыки рельсов не оказалась равной собственной частоте моста).
• При отборе материала для дипломной работы я старалась изложить основные идеи и методы, применяемые для изучения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения такого типа являются предметом внимательного изучения ученых, так как к ним приводится большое количество задач механики и других наук. Они особенно просты по своей природе и вместе с тем важны по своим приложениям. Они имеют значение в важном вопросе о малых колебаниях, так как было показано выше, что линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами описывают процесс колебаний, так как мы живем в «мире колебаний».
• Основные понятия и определения
• В настоящей дипломной работе применены следующие термины с соответствующими определениями.
• Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной. Основная задача теории дифференциальных уравнений - изучение функций, являющихся решением таких уравнений. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
• Дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции являются функциями двух и большего числа переменных.
• Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.
• Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения дифференциального уравнения - интегральной кривой.
• Дифференциальные уравнения первого порядка
• Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде
• . (1)
• Уравнение связывает независимую переменную x, искомую функцию y и ее производную . Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то его записываю в виде
• (2)
• и называют дифференциальным уравнение первого порядка, разрешенным относительно производной.
• Уравнение (2) устанавливает связь между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, дифференциальное уравнение дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Oxy. Таково геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка.
• Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешимое относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:
• (3)
• где и - известные функции. Уравнение (3) удобно тем, что переменные x и y в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи дифференциального уравнения можно перейти к другому.
• Чтобы решение дифференциального уравнения приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.
• Условие, что при функция y должна быть равна заданному числу , т.е. называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде
• или (4)
• Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
• 1. Функция является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированном значении c.
• 2. Каково бы ни было начальное условие (4), можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию.
• Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной .
• Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка (3), удовлетворяющего заданному начальному условию (4), называется задачей Коши.
• Теорема (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (2) функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D, содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (4).
• Дифференциальные уравнения высших порядков
• Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков. Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае запишется в виде
• (5)
• или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:
• . (6)
• Решением дифференциального уравнения (6) называется всякая функция вида , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
• Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида , где и - не зависящее от x произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:
• 1. является решением дифференциального уравнения для каждого фиксированного значения и .
• 2. Каковы бы ни были начальные условия
• , , (7)
• существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения (6) и удовлетворяет начальным условиям (7).
• Всякое решение уравнения (6), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных и , называются частным решением.
• Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям (7), называется задачей Коши.
• Теорема (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (6) функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y и , то для всякой точки существует единственное решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям (7).
• Аналогичные понятия и определения имеют место и для дифференциального уравнения порядка, которое в общем виде записывается как
• .
• Нам часто будут встречаться функции вещественного переменного t, называемого временем. Производная по t называется скоростью и обозначается чаще всего точкой наверху: . Вторая производная по t называется ускорением и обозначается: .

1. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений

1.1 Свойства линейного оператора

Линейное уравнение порядка имеет следующий общий вид:

. (1.1.1)

Если в рассматриваемом интервале изменения x функция тождественно равна нулю, то уравнение (1.1.1) принимает вид

(1.1.2)

и называется однородным. Если , уравнение (1.1.1) называется неоднородным.

Будем предполагать, что функции , - непрерывны на интервале . Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми при любом . В частности, единственным решением однородного уравнения (1.1.2) с нулевыми начальными условиями будет только очевидное нулевое решение y = 0.

Для упрощения дальнейшего изложения обозначим левую часть линейного уравнения (1.1.1) через :

(1.1.3)

Таким образом есть результат выполнения над функцией y операций, указанных в правой части формулы (1.1.3), а именно: вычисление производных от функции y вплоть до порядка n включительно, умножение на заданные функции , 1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символом L:

,

и будем называть его линейным дифференциальным оператором порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

.

Пример 1. Рассмотрим оператор

.

Вычислим , и . Имеем

Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

1) постоянный множитель можно выносить знак оператора

2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

.

В справедливости этих свойств легко убедиться непосредственной проверкой. В самом деле, имеем

Из этих основных свойств оператора L следует, что

,

т.е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

Используя оператор L, можно записать неоднородное и однородное линейные уравнения (1.1.1) и (1.1.2) соответственно в виде

 (1.1.4)

и

. (1.1.5)

Если функция является решением уравнения (1.1.4) или (1.1.5) в некотором интервале , то значение оператора L от этой функции равно или нулю при всех x из :

или

.

1.2 Линейные однородное дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

(1.2.1)

и установим некоторые свойства его решений.

Теорема 1. Если функции и являются частными решениями уравнения (1.2.1), то решением этого уравнения является также функция

, (1.2.2)

где и - произвольные постоянные.

Подставим функцию и ее производные в левую часть линейного однородного уравнения (1.2.1). Получаем:

так как функции и - решения уравнения (1.2.1) и, значит, выражения в скобках тождественно равны нулю.

Таким образом, функция (1.2.2) также является решением уравнения (1.2.1).

Из теоремы 1, как следствие, вытекает, что если и - решения уравнения (1.2.1), то решениями его будут также функции и .

Функция (1.2.2) содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения (1.2.1). Может ли она являться общим решением уравнения (1.2.1)? Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции и называются линейно независимыми на интервале , если равенство

, (1.2.3)

где , выполняется тогда и только тогда, когда .

Если хотя бы одно из чисел или отлично от нуля и выполняется равенство (1.2.3), то функции и называются линейно зависимыми на .

Очевидно, что функции и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. для всех выполняется равенство , или .

Например, функции и линейно зависимы: ; функции и - линейно независимы: ; функции и являются линейно независимыми: равенство выполняется для всех лишь при (или ).

Средством изучения линейной зависимости системы функций является определитель Вронского или вронскиан.

Для двух дифференцируемых функций и вронскиан имеет вид

.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2. Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на , то определитель Вронского на этом интервале равен нулю.

Так как функции и линейно зависимы, то в равенстве (1.2.3) значение и отлично от нуля. Пусть , тогда ; поэтому для любого

.

Теорема 3. Если функции и - линейно независимые решения уравнения (1.2.1) на , то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Из теорем 2 и 3 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

Совокупность любых двух линейно независимых на интервале частных решений и линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация .

Теперь можно сказать, при каких условиях функция (1.2.2) будет общим решением уравнения (1.2.1).

Теорема 4. (структура общего решения). Если два частных решения и линейного однородного дифференциального уравнения (1.2.1) образуют на интервале фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция

, (1.2.4)

где и - произвольные постоянные.

Согласно теореме 1, функция (1.2.4) является решением уравнения (1.2.1). Остается доказать, что это решение общее, т.е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

, , (1.2.5)

где .

Подставив начальные условия (1.2.5) в решение (1.2.2), получим систему уравнений

где и .

Так как решения и образуют фундаментальную систему решений на и , то, согласно теореме 3, . Поэтому система уравнений имеет единственное решение:

, .

Решение является частным решением (единственным, в силу теоремы единственности) уравнения (1.2.1), удовлетворяющим начальным условиям (1.2.5).

Теорема доказана.

1.3 Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера

1.3.1 Предварительные замечания

Рассмотрим линейное уравнение n-ого порядка

(1.3.1)

где коэффициенты суть вещественные числа, а правая часть непрерывна в некотором интервале .

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

. (1.3.2)

Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (1.3.2) определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область общего решения.

Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях.

1.3.2 Случай различных корней характеристического уравнения

Частным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений являются линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

, (1.3.3)

где и - вещественные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (1.3.3) в виде

, (1.3.4)

где - подлежащее определению число (вещественное или комплексное). Согласно определению решения функции (1.3.4) будет решением уравнения (1.3.3), если выбрано так, что функция (1.3.4) обращает это уравнение в тождество

. (1.3.5)

Вычисляя , т.е. подставляя функцию (1.3.4) в левую часть уравнения (1.3.4), и принимаю во внимание, что

, (1.3.6)

будем иметь

,

так что

(1.3.7)

или

где

.

Из (1.3.7) следует, что интересующее нас тождество (1.3.5) будет выполнятся тогда и только тогда, когда , т.е. когда является корнем уравнения

. (1.3.8)

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни - характеристическими числами уравнения (1.3.3).

Заметим, что характеристическое уравнение (1.3.8) может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (1.3.3) заменой , и на , и 1, т.е. степень совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция .

Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (1.3.3) зависит от вида корней характеристического уравнения (1.3.8).

Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и вещественные. Обозначим их через и . Тогда, подставляя в формулу (1.3.4) вместо числа и , получим два частных решения уравнения (1.3.3)

, . (1.3.9)

Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (1.3.9) можно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

.

Следовательно, частные решения (1.3.9) образуют фундаментальную систему решений. А тогда общим решением уравнения (1.3.3) будет

.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

Характеристическим уравнением будет

Его корни , (вещественные и различные). Поэтому фундаментальная система решений имеет вид

, ,

а общим решением будет

.

Пример 2. Пусть дано уравнение

Имеем

, .

Общим решением будет

Предположим теперь, что корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты этого уравнения вещественные, то эти комплексные корни являются сопряженными, так что они имеют вид

.

Подставляя корень в формулу (1.3.4), получим комплексное решение

. (1.3.10)

Но

,

поэтому решение (1.3.10) можно записать так

. (1.3.11)

Отделяя в комплексном решении (1.3.11) вещественную и мнимую части, получим два вещественных частных решения

, . (1.3.12)

Эти решения независимы, так как

Аналогично убеждаемся, что сопряженному корню соответствуют вещественные частные решения

, . (1.3.13)

Решения (1.3.13), очевидно, линейно зависимы с решениями (1.3.12).

Таким образом, паре сопряженных комплексных корней соответствуют два вещественных линейно независимых частных решения (1.3.12).

Решения (1.3.12) образуют фундаментальную систему решений уравнения (1.3.3). Поэтому

или

будет общим решением уравнения (1.3.3).

Если корни и чисто мнимые, т.е. , , то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

, . (1.3.14)

Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (1.3.3), а

есть общее решение этого уравнения.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

(1.3.15)

Характеристическое уравнение

имеет сопряженные комплексные корни . Поэтому согласно формуле (1.3.12) фундаментальная система решений имеет вид

, .

Общим решением будет

. (1.3.16)

Заметим, что из формулы общего решения (1.3.16) видно, что все ненулевые решения уравнения (1.3.15) обладают свойством:

.

Пример 4. Решить уравнение

(1.3.17)

Характеристическое уравнение

имеет чисто мнимые корни . Поэтому согласно формуле (1.3.14) фундаментальная система решений имеет вид

, ,

так что общим решением будет

. (1.3.18)

Из формулы общего решения (1.3.18) видно, что все решения уравнения (1.3.17) ограничены по x на интервале .

1.3.3 Случай кратных корней характеристического уравнения

Предположим теперь, что характеристическое уравнение (1.3.8) имеет равные корни . Нам надо найти два линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет

(1.3.19)

или

Убедимся непосредственной подстановкой в уравнение (1.3.3) в том, что

(1.3.20)

есть второе частное решение уравнения (1.3.3), линейно независимое с решением (1.3.19):

Поэтому

,

(так как ).

Общим решением уравнения (1.3.3) будет

.

Пример 5. Решить уравнение

(1.3.21)

Характеристическое уравнение

имеет равные корни . Поэтому функции

, .

Образуют фундаментальную систему решений, а общим решением будет

. (1.3.22)

Из формулы общего решения (1.3.22) видно, что все ненулевые решения уравнения (1.3.21) обладают свойством:

.

1.4 Система линейно независимых решений (фундамент) и определитель Вронского

Зная n частных решений y₁, y₂,…,y_n, можно построить семейство решений, зависящее от n произвольных постоянных:

(1.4.1)

Это решение, как показано ниже, будет общим решением, если частные решения y₁, y₂,…,y_n обладают одним дополнительным свойством, относящемся к характеру зависимости между ними.

Прежде чем сформулировать это свойство, введем понятие о линейной независимости функций.

Пусть даны функций от :

(1.4.2)

Составим их линейную комбинацию с постоянными коэффициентами:

.

Если эта линейная комбинация тождественно равна нулю в интервале :

только в очевидном случае, т.е. при нулевых значениях коэффициентов , то функции (1.4.2) называются линейно независимыми в интервале . В противном случае функции (1.4.2) называются линейно зависимыми в этом интервале. Две функции и линейно независимы в интервале , если

.

Пример 1.Функции

,

линейно независимы в любом интервале. В самом деле, соотношение

в котором хотя бы одно из чисел и отличны от нуля, может выполняться не более чем при одном значении x. Это следует также из того, что

Пример 2. Функции

,

линейно зависимы в любом интервале, ибо

так что , . В этом случае , т.е. есть однородная линейная функция от .

Теорема. Если функции (1.4.2) линейно зависимы в интервале , то одна из них является линейно комбинацией остальных.

Действительно, пусть

,

где, например, . Тогда

,

т.е. является линейной комбинацией функций .

Совокупности решений

(1.4.3)

однородного линейного уравнения , линейно независимых в интервале , называется фундаментальной системой решений этого уравнения в интервале . Ее записывают часто так:

, .

Пример 3. Рассмотрим уравнение

.

Это однородное линейное уравнение второго порядка имеет два частных решения и , которые образуют фундаментальную систему решений в интервале , так как они линейно независимы в этом интервале.

Дадим признак линейно независимости частных решений (1.4.3) однородного линейного уравнения -ого порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка включительно:

Этот определитель называется определителем Вронского решений .

Теорема. Для того, чтобы решения (1.4.3) были линейно независимыми в , т.е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения , необходимо и достаточно, чтобы не обращался в нуль ни в одной точке из .

Необходимость. Пусть решения (1.4.3) линейно независимы в . Предположим, вопреки утверждению теоремы, что , где .

Построим однородную линейную систему уравнений

(1.4.4)

с неизвестными . Определитель этой системы есть . Так как он равен нулю, то система (1.4.4) имеет ненулевое решение

,

(т.е. хоть одно из чисел не равно нулю).

Построим линейную комбинацию решений (1.4.3), взяв в качестве коэффициентов числа . Получим решение

. (1.4.5)

Это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям

при ,

как это видно из системы (1.4.4), если заменить в ней неизвестные их значениями, найденными из этой системы. Следовательно, в силу единственности задачи Коши, которая имеет место вследствие непрерывности коэффициентов уравнения , решение (1.4.5) должно быть нулевым, т. е.

(1.4.6)

Так как среди чисел хоть одно отлично от нуля, то тождество (1.4.6) означает, что вопреки предположению решения (1.4.4) линейно зависимы в .

Достаточность. Предположим, что не обращается в нуль в , но решения (1.4.3) линейно зависимы в , так что имеет место тождество

,

где, например, Тогда

(1.4.7)

откуда

(1.4.8)

Заменив теперь элементы последнего столбца определителя Вронского их значениями из формул (1.4.7) и (1.4.8). Получим определитель, у которого элементы одного (последнего) столбца являются линейными комбинациями элементов (всех) других столбцов. Такой определитель, как известно, равен нулю. Таким образом, вопреки предложению в .

Теорема доказана. Заметим, что при доказательстве необходимости существенно использовано предложение о непрерывности коэффициентов уравнения в интервале .

Значение определителя Вронского решений однородного линейного уравнения тесно связано с самим уравнение, а именно: имеет место следующая формула Остроградского - Лиувилля:

. (1.4.9)

Из формулы (1.4.9) видно, что определитель Вронского решений уравнения обладает двумя замечательными свойствами:

1. Если обращается в нуль в одной точке из интервала , то он равен нулю во всех точках этого интервала.

2. Если не равен нулю хотя бы в одной точке из интервала , то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

Таким образом, для того чтобы решений (1.4.3) составляли фундаментальную систему решений уравнения в интервале , достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в какой-либо одной точке .

В частности решения уравнения (1.4.3) с начальными условиями , …, ; …; , , …, образуют фундаментальную систему решений. Такая фундаментальная система называется нормированной в точке .

Пример 4. Рассмотрим уравнение

Оно имеет решения и . Составим определитель Вронского. Имеем

, .

Следовательно, решения и образуют фундаментальную систему решений в .

2. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

2.1 Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка

(2.1.1)

где , , - заданные, непрерывные на функции. Уравнение

, (2.1.2)

левая часть которого совпадает с левой частью линейного неоднородного дифференциального уравнения (2.1.1), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 1. (структура общего решения). Общим решением y уравнения (2.1.1) является сумма его произвольного частного решения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения (2.1.2), т.е.

. (2.1.3)

Убедимся, что функция (2.1.3) - решение уравнения (2.1.1). Так как есть решение уравнения (2.1.1), а Y - решение уравнения (2.1.2), то

и .

В таком случае имеем:

+.

Это означает, что функция является решением уравнения (2.1.1). Покажем теперь, что функция

(2.1.4)

является общим решением уравнения (2.1.1). Для этого надо доказать, что из решения (2.1.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

, . (2.1.5)

Продифференцировав функцию (2.1.4) и подставив начальные условия (2.1.5) в функцию (2.1.4) и ее производную, получим систему уравнений:

где , , с неизвестными и . Определителем этой системы является определитель Вронского для функции и в точке . Функции и линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т.е. . Следовательно система имеет единственное решение: и .

Решение является частным решением уравнения (2.1.1), удовлетворяющим заданным начальным условиям (2.1.5).

Теорема доказана.

Теорема 2. (о наложении решений) Если правая часть уравнения (2.1.1) представляет собой сумму двух функций: , а и - частные решения уравнений и соответственно, то функция является решением данного уравнения.

Действительно,

+.

Пример. Рассмотрим уравнение

.

Для уравнений

и

легко находятся частные решения. Для первого из них частным решением будет , для второго - . Поэтому есть частное решение уравнения, а его общим решением будет

.

2.2 Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для уравнения второго порядка

Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

, (2.2.1)

где коэффициенты , и правая часть есть функции от x, непрерывные в некотором интервале .

Рассмотрим наряду с уравнением (2.2.1) соответствующее ему однородное уравнение

(2.2.2)

Пусть , - фундаментальная система решений уравнения (2.2.2), так что

, (2.2.3)

и

. (2.2.4)

Тогда, как известно, общее решение уравнения (2.2.2) имеет вид

,

где и - произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (2.2.1) в виде

, (2.2.5)

где и - некоторые функции от x, подлежащие определению.

Подставляя (2.2.5) в уравнение (2.2.1), получим одно условие, которому должны удовлетворять две неизвестные функции и . Это условие будет иметь вид

. (2.2.6)

Оно содержит производные второго порядка от искомых функций и , так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (2.2.1) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями - и . Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (2.2.6) не войдут производные второго порядка от этих функций.

Дифференцируя обе части равенства (2.2.5), имеем

.

Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от и , положим

.

Это и есть то дополнительное условие на искомые функции и , о котором говорилось выше. При этом условии выражение для примет вид

. (2.2.7)

Вычисляя теперь , получим

. (2.2.8)

Подставим выражения для , и из формул (2.2.5), (2.2.7) и (2.2.8) в уравнение (2.2.1). Для этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на , и 1, сложим почленно и приравняем сумму правой части уравнения (2.2.1). Получим

.

Здесь в силу (2.2.3) первые два слагаемых равны нулю, поэтому

.

Это и есть новый вид условия (2.2.6). Теперь оно уже не содержит производных второго порядка от и .

Таким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений

Эта система в силу (2.2.4) однозначно разрешим относительно и . Решая ее, получим

, ,

где и суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как , , и непрерывны в интервале , то в силу (2.2.4) функции и будут непрерывны в интервале . Поэтому

, ,

где и - произвольные постоянные.

Подставляя найденные значения функций и в формулу (2.2.5), получим

. (2.2.9)

Полагая здесь , получим частное решение

так что формулу (2.2.9) можно записать в виде

,

откуда в силу теоремы о том, что решение неоднородного линейного уравнения равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, следует, что формула (2.2.9) дает общее решение уравнения (2.2.1). Все решения, входящие в формулу (2.2.9), заведомо определены в интервале .

Пример. Рассмотрим уравнение

. (2.2.10)

Здесь первая часть непрерывна в каждом из интервалов

,

где - любое целое число. Соответствующее однородное уравнение

имеет фундаментальную систему решений

, ,

так что общим решением этого уравнения будет .

Будем искать решение уравнения (2.2.10) в виде

. (2.2.11)

Для нахождения и имеем систему



Решая ее, найдем

Подставляя найденные значения и в формулу (2.2.11), получим общее решение уравнения (2.2.10) в виде

2.3 Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (2.3.1)

где и - вещественные числа; - непрерывная функция.

Как известно, общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Частное решение уравнения (2.3.1) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Однако если в правой части уравнения (2.3.1) - многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция или , либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.

Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем: по виду правой части уравнения (2.3.1) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенным коэффициентами, затем подставляют ее уравнение (2.3.1) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (2.3.1):

I. Правая часть имеет вид

, (2.3.2)

где - многочлен степени n.

Тогда частное решение

,

где - многочлен той же степени, что и , а r - число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

.

Так как правая часть уравнения - многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (), то частное решение ищем в виде

где А и В - неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя , и в данное уравнение, найдем

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства: A = 1, -2А + В = 1, находим: А = 1, В = 3. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид

а его общее решение

II. Правая часть имеет вид

, (2.3.3)

где - многочлен степени n. Тогда частное решение следует искать в виде

, (2.3.4)

где - многочлен той же степени, что и , а r - число корней характеристического уравнения равных . Если , то , т.е. имеет место первый случай.

1) Пусть не является корнем характеристического уравнения

,

т.е. . Следовательно,

, , , .

После подстановки функции и ее производных в уравнение (2.3.3), сокращения ее на , получим

. (2.3.5)

Слева - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа - многочлен степени n, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему (n+1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов .

2) Пусть является однократным (простым) корнем характеристического уравнения , т.е. .

В этом случае искать решение в форме нельзя, т.к. , и уравнение (2.3.5) принимает вид

.

В левой части - многочлен степени (n-1), в правой части - многочлен степени n. Чтобы получить тождество многочленов в решении , нужно иметь многочлен степени (n+1). Поэтому частное решение следует искать в виде

(в равенстве (2.3.4) положить r = 1).

3) Пусть является двукратным корнем характеристического уравнения , т.е. . В этом случае и , а поэтому уравнение (2.3.5) принимает вид

.

Слева стоит многочлен степени (n-2). Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени n, частное решение следует искать в виде

(в равенстве (2.3.4) положить r = 2).

Пример 2. Найти общее решение уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет корни , . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид В правой части этого уравнения - произведение многочлена первой степени на показательную функцию при . Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень , то r = 1. В данном случае - многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства: , , находим: , . Поставляя найденные значения А и В в выражение для , получаем частное решение данного уравнения ; общее решение имеет вид

.

III. Правая часть имеет вид

,

где и - известные числа. Тогда частное решение надо искать в виде

,

где А и В - неизвестные коэффициенты, а r - число корней характеристического уравнения, равных .

Пример 3. Найти общее решение уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет корни , . Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения . В правой части равенства - тригонометрическая функция , т.е. , . Так как - корень характеристического уравнения, то r = 1 и частное решение надо искать в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

,

откуда , . Таким образом, частное решение ; общее решение уравнения

.

IV. Правая часть имеет вид

,

где и - многочлены степени n и m соответственно, и - действительные числа. Уравнение (2.3.1) запишется в виде

.

Тогда частное решение следует искать в виде

,

где r - число, равное кратности как корня характеристического уравнения , и - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l - наивысшая степень многочленов и , т.е. .

Пример 4. Найти общее решение уравнения

.

Здесь характеристическое уравнение имеет корни , . Общее решение однородного уравнения таково: . В правой части уравнения - произведение многочлена нулевой степени, показательной и тригонометрической функций, так что , . Число не является корнем характеристического уравнения, поэтому r = 0, и частное решение ищем в виде

.

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

.

Приравнивая коэффициенты при и , находим

, ,

откуда , . Таким образом, частное решение , а общее решение уравнения

.

3. Вынужденные колебания материальной точки

3.1 Применение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к исследованию простейших колебаний

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки массы m по оси x. Пусть движение происходит под действием трех сил:

1) силы, притягивающей точку к началу координат и имеющей проекцию на ось x, равную -ax (a>0);

2) силы сопротивления среды, которую будем считать пропорциональной первой степени скорости:

;

3) возмущающей силы, направленной силы по оси x и равной в момент времени t.

Тогда, применяя второй закон Ньютона, получим дифференциальное уравнение движения

. (3.1.1)

Разделив обе части уравнения (3.1.1) на m, перепишем его в виде

, (3.1.2)

где

, , .

Уравнение (3.1.2) есть неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Проинтегрировав его, найдем закон движения рассматриваемой точки.

Так как наибольший интерес имеют случаи, когда движения, определяемые равнением (3.1.2), представляют собой колебания точки около положения x = 0, то уравнение (3.1.2) называют уравнением колебаний. При этом если возмущающая сила отсутствует, так что , то уравнение (3.1.2) принимает вид

(3.1.3)

и называется уравнением свободных колебаний. Дифференциальное уравнение (3.1.2), в котором , называется уравнением вынужденных колебаний.

К интегрированию линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами приходим при изучении не только механических колебаний, но и многих других колебательных явлений: например, с такими уравнениями мы встречаемся в теории электрических цепей.

Уравнение (3.1.2) всегда интегрируется хотя бы в квадратурах, ибо соответствующее однородное уравнение (3.1.3), будучи однородным линейным уравнением с постоянными коэффициентами, всегда интегрируется в элементарных функциях, а тогда, применяя метод Лагранжа, можно найти общее решение уравнения (3.1.2) при любой непрерывной функции , т.е. для любой силы , лишь бы она была непрерывной функцией от времени t.

3.2 Свободные колебания

Рассмотрим дифференциальное уравнение (3.1.3); изучим свойства решений (движений), определяемых этим уравнением. В частности, выясним, как влияют параметры h и k на характер движений. Предположим сначала, что , т.е. колебания происходят в среде без сопротивления. В этом случае уравнение (3.1.3) принимает вид

. (3.2.1)

Его характеристическим уравнением будет

,

откуда , так что

, ,

и общее решение имеет вид

. (3.2.2)

Формула (3.2.2) дает все решения (движения), определяемы уравнением (3.2.1).

Введем вместо и новые произвольные постоянные А и , положив

, .

Получим движение

. (3.2.3)

Такое движение называется гармоническим колебанием. Как видно из формулы (3.2.3), оно является периодическим движением с периодом и частотой k. Число A называется амплитудой, а - начальной фазой колебания (3.2.3).

(Фазой гармонического колебания называется аргумент синуса, т.е. . Значение фазы при t = 0 называется начальной фазой.)

Из формулы (3.2.3) видно, что все движения, определяемые уравнением (3.2.1), ограничены при :

График движения (3.2.3) (рис. 3.1)

получают в результате элементарных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.1 преобразований графика функции .

Всякими начальными условиями

, и при

в силу теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения n-ого порядка соответствует одно вполне определенное движение; оно содержится в формуле (3.2.3) при соответствующих значениях амплитуды A и начальной фазы , определяемых подстановкой начальных данных 0, и в систему

,

.

Получаем

откуда

,

.

В частности, если точка начинает движение из положения без начальной скорости (), то

, ,

и движение имеет вид

или

(рис. 3.2).

Если точка начинает движение из положения с начальной скоростью , то

, ,

и соответствующим движением будет (рис. 3.3):

Рис. 3.2 Рис. 3.3

Наконец, если оба начальных значения и равны нулю, то , и движение (3.2.3) примет вид

,

т.е. выродится в состояние покоя. Это есть единственное движение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям

, при . (3.2.4)

Скорость этого движения, очевидно, равна нулю при всех t.

Состояние покоя , определяемое уравнением (3.2.1) и начальными условиями (3.2.4), обладает тем свойством, что все движения, у которых начальные значения и не равны одновременно нулю, но достаточно малы, будут при всех сколь угодно мало отклоняется от состояния покоя и иметь сколь угодно малую скорость. Действительно, эти движения имеют вид (общее решение в форме Коши)

.

Их скорость определяется формулой

.

Так как синус и косинус по абсолютной величине не превосходят числа 1, то

,

,

откуда и следует, что x и будут сколь угодно малы при всех , если и достаточно малы.

Предположим теперь, что в уравнении (3.1.3) , т.е. колебание происходит в среде с сопротивлением.

Выясним, как влияет наличие h на характер колебаний, определяемых уравнением (3.1.3), как изменяется это влияние с изменением величины h (если k постоянно), т.е. какой характер имеет колебание при малых и больших сопротивлениях среды. Для этого найдем общее решение уравнения (3.1.3).

Характеристическое уравнение

имеет корни

.

Здесь возможны три случая.

Первый случай. , т.е. . Оба корня характеристического уравнения вещественные и отрицательные. Общее решение уравнения (3.1.3) имеет вид

. (3.2.5)

Движения, соответствующие решениям (3.2.5), являются апериодическими. Выясним, как ведут себя движения (3.2.5) по отношению к состоянию покоя при .

Нетрудно убедиться, что если и достаточно малы, то x и будут сколь угодно малы при всех . Кроме того, все ненулевые решения (3.2.5) обладают свойством:

, и при . (3.2.6)

Второй случай. , т.е. . Здесь

Общим решением уравнения (3.1.3) будет

. (3.2.7)

Движения, соответствующие решениям (3.2.7), также являются апериодическими. Для любых и соответствующие им x и будут бесконечно малыми при . Другими словами, все ненулевые решения (3.2.7) обладают свойством (3.2.6).

Третий случай. , т.е. . В этом случае характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни с отрицательной действительной частью

.

Поэтому общее решение имеет вид

или

. (3.2.8)

Движение, соответствующее решению (3.2.8), называется затухающими гармоническим колебанием с периодом и частотой , амплитудой и начальной фазой . В отличие от гармонического колебания (3.2.3) здесь амплитуда уже непостоянна. Заметим, что она ограничена, так как

,

и стремится к нулю при . Число А называет начальной амплитудой, а h - коэффициентом затухания. Множитель характеризует быстроту затухания.

Начальная амплитуда A и начальная фаза определяется из начальных условий. При этом, так как из формулы (3.2.8) следует, что

,

то графики ненулевых решений (1) (колебаний, отличных от состояния покоя) заключены между графиками показательных функций (2) и (3) (рис. 3.4):

и .

Рис. 3.4

Можно показать, что если и достаточно малы, то соответствующие им x и будут сколь угодно малы при .

Все ненулевые решения (3.2.8) обладают свойством (3.2.6).

Таким образом, наличие сопротивления среды видоизменяет характер колебаний;

причем пока сопротивление h сравнительно невелико (), движения остаются периодическими, затухая при ; при большом сопротивлении среды движения становятся апериодическими.

Все решения уравнения (3.1.3) при обладают свойством (3.2.6).

3.3 Вынужденные колебания

Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (3.1.2)

.

Согласно теореме о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения все движения, определяемые уравнением (3.1.2), складываются из совокупности всех движений, определяемых соответствующим однородным уравнением и называемых собственными колебаниями точки, и какого-нибудь однородного движения, определяемого неоднородным уравнением (3.1.2).

Как было отмечено, все колебания, определяемые уравнением (3.1.2), всегда можно найти методом вариации произвольных постоянных.

Если правая часть уравнения (3.1.2) имеет специальный вид, позволяющий найти частное решение методом неопределенных коэффициентов, то метод Лагранжа применять не следует.

Рассмотрим случай, когда возмущающая сила периодическая и имеет синусоидальный характер, причем колебания происходят в среде без сопротивления ().

Итак, пусть дано уравнение

. (3.3.1)

Здесь собственные колебания, определяемые уравнением (3.2.1)

,

являются гармоническими колебаниями (3.2.3):

.

Остается найти частное решение уравнения (3.3.1). Вид частного решения зависит от того, будет ли число корнем характеристического уравнения (3.2.1), так как это характеристическое уравнение имеет корни , то дело сводится к совпадению частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний (резонанс) или к несовпадению этих частот (нерезонансный случай).

Рассмотрим сначала нерезонансный случай (). Тогда частное решение уравнения (3.3.1) следует искать в виде

, (3.3.2)

где и - коэффициенты, подлежащие определению.

Имеем

Поэтому

(3.3.3)

Общим решением уравнения (3.3.1) будет

.

Вынужденные колебания, определяемые этим общим решением, являются наложениями гармонических колебаний.

3.4 Явление резонанса

Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний

. (3.4.1)

Это уравнение есть частный случай уравнения (3.3.1), когда , т.е. частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний (резонанс). В этом случае, определяя вид частного решения по правилу, казанному в §2.3, и составляя число , получаем, что является простым корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения (3.2.1). Поэтому частное решение в отличие от нерезонансного случая, рассмотренного выше, приобретает множитель t, т.е. имеет вид

Поэтому

(3.4.2)

Частное решение (3.4.2) представляет собой вынужденное колебание, оно имеет на неограниченную амплитуду. График этого колебания заключен между прямыми (1) и (2) (рис. 3.5):

и

Общим решением уравнения (3.4.1) будет

Вынужденные колебания, определяемые эти общим решением, являются наложением колебания неограниченной амплитудой (3.4.2) и гармонических колебаний (3.2.3).

Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний (3.1.2) в среде с малым сопротивлением

Рис. 3.5

() в предположении, что возмущающая сила

имеет синусоидальный характер

. (3.4.3)

Собственные колебания имеют вид (3.2.8). Частное решение уравнения (3.4.3) следует искать в виде

...