, (3.4.4)

где коэффициенты и находятся подстановкой (3.4.4) в (3.4.3). Получим

Поэтому

(3.4.5)

Общее решение уравнения (3.4.3) имеет вид

Заметим, что при последнее слагаемое стремиться к нулю, так что при достаточно больших t можно считать, что

т.е. собственными (затухающими) колебаниями можно пренебречь.

Амплитуда вынужденного колебания (3.4.5) выражается формулой

.

Если сопротивление h очень мало, то . В резонансном случае () , т.е. для достаточно малых значений k амплитуда становится весьма значительной даже при мало M. Аналогичный вывод, как нетрудно видеть, можно сделать вблизи резонанса .

Замечание. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, как показано выше, всегда интегрируются в элементарных функциях.

Приведем два примера.

Пример 1. Рассмотрим однородное линейное уравнение Эйлера второго порядка

(). (3.4.6)

Сделаем замену независимой переменной x на новую независимую переменную t по формуле

. (3.4.7)

Нам нужно выразить производные от искомой функции по x через производные от по t. Имеем

,

так что операторы и связаны соотношением

.

Используя это соотношение, находим :

или

.

Заменяя теперь в уравнении (3.4.6) x на , а и найденными значениями, получим

или

.

Это уравнение с постоянными коэффициентами. Интегрируя его и возвращаясь к независимой переменной x, найдем общее решение уравнения (3.4.6).

Нетрудно убедиться, что та же подстановка (3.4.7) приводит к уравнению с постоянными коэффициентами и однородное уравнение Эйлера n-ого порядка

Пример 2. Пусть дано уравнение Бесселя

(). (3.4.8)

Сделаем (однородную линейную) замену искомой функции y по формуле

где - новая неизвестная функция от x.

Вычисляя и и подставляя в уравнение (3.4.8), получим уравнение с постоянными коэффициентами .

Общим решением уравнения Бесселя (3.4.8) будет

.

4. Применение явления резонанса

4.1 Учет и использование резонанса

Жилые дома и промышленные корпуса, железные дороги и самолеты, морские суда и автомобили, космические корабли и ракеты, гидравлические турбины и двигатели внутреннего сгорания, мосты и тоннели являются колебательными системами, в которых при определенных условиях могут возникать вынужденные колебания. Иногда амплитуда вынужденных колебаний становится столь большой, что сооружение может разрушиться. Это заставляет учитывать возможность резонанса в сооружениях. В ряде случаев явление резонанса может быть использовано и для достижения положительного эффекта.

Явление резонанса находит широкое применение в технике. Так, для уплотнения сыпучего основания под фундаменты и дороги, а также для уплотнения бетона используют специальные вибраторы-уплотнители. Существует большое число конструкций вибраторов, но основная часть каждого из них - прочное основание, на котором установлен двигатель с неуравновешенным маховиком или системой неуравновешенных грузов. При работе двигателя насаженные на его ось грузы (или маховик) вызывают колебания всей установки. Для получения больших амплитуд собственную частоту колебаний уплотнителя делают равной частоте вибрации вала двигателя. Колебания виброуплотнителя передаются через площадку грунту или бетону.

Вибраторы, аналогичные описанному, применяются для вибрационного погружения свай, шпунов, труб и т.п. Для вибрационного погружения сваи мощный вибратор устанавливают на ее верхнем основании. При включении двигателя свая начинает вибрировать; грунт под сваей «разжижается», и под действием силы тяжести она погружается. Особенно широкое применение этот метод погружения свай и труб нашел на строительстве морских и озерных сооружений.

Явление резонанса используют для измерения частоты колебаний. Располагая набором резонаторов (колебательных систем с малым затуханием), частоты которых заранее известны, можно определить частоту происходящих колебаний. Частота эта равна частоте наиболее сильно колеблющегося резонатора.

Этот принцип используют, например, в язычковом частотомере, который представляет комплект упругих пластин, имеющих разную частоту свободных колебаний.

Каждая такая пластина, будучи закреплена одним концом в массивной обойме, является колебательной системой, собственная частота которой определяется массой и упругостью пластины.

При колебании пластины ее торцовая часть видна в виде размытой полоски. Измеряемая частота совпадает с частотой колебаний той из пластин, амплитуда колебаний которой наибольшая.

Явление электрического резонанса играет полезную роль при настройке радиоприемника на нужную радиостанцию изменяя величины индуктивности и ёмкости, можно добиться того, что собственная частота колебательного контура совпадёт с частотой электромагнитных волн, излучаемых какой-либо радиостанцией. В результате этого в контуре возникнут резонансные колебания данной частоты, амплитуды же колебаний, создаваемых другими станциями, будут малы. Это приводит к настройке радиоприёмника на нужную станцию.

Явление резонанса давно было известно физикам в области акустики. Оно состоит в следующем. Представьте себе натянутую струну. Она способна, если по ней ударить или провести по ней смычком, звучать в некотором определенном тоне, при этом она приходит в колебания со вполне определенной частотой. Каждому тону соответствует своя частота. Скажем, что наша струна способна совершать 435 колебаний в секунду. Это соответствовало бы тону "ля". Предположим, что струна находится в покое. Возьмем теперь вблизи другую струну, которая тоже способна совершать 435 колебаний в секунду, и заставим эту струну звучать. Тогда окажется, что под влиянием колебаний нашей второй струны приходит в колебания - и сильные колебания - и первая. Это явление называется резонансом. Но если вторая струна имеет отличное от первой число колебаний, то первая струна молчит и на колебания второй струны не отвечает.

Объяснение явления резонанса несложно. Та струна, которую мы заставляем непосредственно колебаться, передает первой струне через воздух маленькие толчки, следующие друг за другом в темпе ее колебаний, т. е. каждую 1/435 сек один толчок. Каждый толчок сам по себе крайне незначителен. Первый толчок действительно приведет струну в ничтожно слабое колебание, но если темп этих колебаний и приходящих толчков один и тот же, то второй толчок придется как раз вовремя и усилит действие первого. Третий усилит колебания еще больше, и т. д. Произойдет накопление действия отдельных толчков, и в результате получается сильное звучание. Между тем если отдельные толчки следуют друг за другом невпопад, то действие одного будет уничтожаться действием следующего и заметного эффекта не будет.

Явление резонанса, изученное впервые в акустике, ею абсолютно не ограничивается. Звонарь на колокольне, раскачивающий тяжелый колокол, пользуется, хотя и бессознательно, тем же явлением. Он не в состоянии преодолеть тяжесть колокола одним усилием и поэтому он поступает так. Он дает веревке слабый толчок: колокол отклоняется, но очень незначительно, а затем возвращается обратно; как раз в момент возвращения звонарь дает следующий толчок и такими ритмичными, следующими в tempo колебаний колокола толчками он его раскачивает до тех пор, пока язык не ударит по колоколу. Вот почему, между прочим, звонить в тяжелый колокол, особенно снизу, при помощи веревки, т. е. в условиях, когда следить за колебанием нельзя, требует немалого навыка.

4.2 Явление резонанса, ведущее к разрушению. Способы гашения нежелательных вынужденных колебаний

Электрические двигатели, паровые и газовые турбины, двигатели внутреннего сгорания даже из-за небольшой несбалансированности вращающихся масс являются источником колебаний, передающихся основаниям, на которых они установлены. Если двигатель жестко укреплен на фундаменте, колебания почти полностью передаются грунту и через грунт зданию, в котором машина установлена.

Если колебательная система обладает малым трением, то лишь небольшая часть подводимой к ней энергии превращается во внутреннюю энергию системы. В этих условиях (при совпадении частоты вынуждающих колебаний с частотой свободных колебаний) амплитуда вынужденных колебаний может достичь больших значений и вызвать разрушение здания.

Во второй половине прошлого столетия стали обращать на себя внимание инженеров случаи непонятных обрушений мостов, особенно цепных мостов, которые в то время как раз строились в сравнительно большом количестве. Непонятных - потому, что мосты рушились под весьма небольшой тяжестью, которую они по расчету должны были свободно выдерживать и фактически раньше выдерживали. Повторные проверки не обнаруживали ошибочности расчетов, а катастрофы были налицо. Инженеры беспомощно стояли перед совершившимися несчастиями и не имели средств предотвратить их в будущем.

И только в последнем десятилетии прошлого века решение вопроса было найдено. Вот что оказалось. Цепной мост представляет собой не жесткую систему, а систему, которая может, подобно струне, совершать колебания, с той разницей, что струна колеблется быстро, совершая несколько сот колебаний в секунду, в то время как мост, если его заставить колебаться, совершает за секунду, скажем, одно или даже меньше колебаний. И вот при известных условиях нагрузки наступало так называемое явление резонанса, несшее гибель мосту.

Известно много случаев, когда источником опасных колебаний механических сооружений были люди, идущие в ногу. Например, в 1831 году в Манчестере по мосту через реку Ирвель проходили строем, шагая в ногу, 60 солдат. Частота ударов солдатских ног совпала с частотой свободных колебаний моста, и мост разрушился. Аналогичный случай произошел в 1905 году в Петербурге, когда был разрушен цепной мост через реку Фонтанку в результате прохождения по нему эскадрона гвардейской кавалерии. Частота ударов ног хорошо обученных лошадей совпала с частотой свободных колебаний моста. Цепи, на которых висел мост, разорвались, мост обрушился.

Теперь ясно, как явление резонанса может оказаться губительным для моста. Представьте себе, и это действительно бывало при некоторых катастрофах, что по мосту проходит военный отряд, идущий в ногу. Отдельные толчки, производимые при этом, не оказывают сколько-нибудь заметного действия. Но если случайно период этих ритмических толчков совпадает с периодом колебаний моста - а это, особенно в цепных мостах, может случаться очень легко, - то наступает явление резонанса. Действия отдельных толчков накапливаются, мост раскачивается все сильнее, материал не выдерживает, и мост рушится. Вот почему, между прочим, теперь при проходе отряда через такой мост солдатам дается команда идти не в ногу. Это, конечно, одна из причин, а подобных причин наступления резонанса может быть множество, и оградить себя от таких ритмических нагрузок трудно. Поэтому в настоящее время - а это и есть главный практический результат, к которому привела теория, - почти совершенно отказались от нежестких систем, имеющих собственные колебания.

Современные конструкции имеют гораздо большую жесткость, чем прежние цепные мосты, и этим возможность колебаний, а значит и возможность наступления губительного резонанса, устраняется.

Теперь также стало ясным, почему случаи, подобные описанному, казались непонятными и загадочными. Конструкторы рассчитывали прочность своих мостов исключительно статически, т. е. они принимали во внимание только постоянную нагрузку, и с этой точки зрения их расчеты были совершенно правильны. Они не учитывали и даже не напали на мысль о необходимости учета ритмически изменяющейся нагрузки, с одной стороны, и колебаний моста - с другой. Их кругозор был ограничен и не охватывал явлений во всем их разнообразии. Но нашлись люди с широкой теоретической подготовкой, для которых звучание струны и колебания моста являлись лишь частными случаями, охватываемыми одним общим законом, и вопрос был решен.

Интересно, что аналогичное явление повторилось в совершенно другой области. Вы знаете, что для передачи электрической энергии пользуются иногда кабелем, состоящим по существу из двух металлических проводников, несущих ток, и изолированных друг от друга каким-нибудь изолирующим веществом, например гуттаперчей. Слой гуттаперчи между проводами должен быть больше или меньше, смотря по тому электрическому напряжению, иначе говоря, смотря по числу вольт, при котором передача энергии идет. Понятно при этом, что из соображений экономии и из-за тяжести кабеля слой гуттаперчи делают не больше (конечно, с известным запасом), чем это нужно для данного случая. Проверка делается в заводской лаборатории. Для этого соединяют один провод с положительным, другой - с отрицательным полюсом батареи и смотрят, выдерживает ли кабель нужное напряжение. И вот наблюдались случаи, что при работе с переменным током кабель, полностью выдержавший испытание в лаборатории, в работе пробивался.

Вопрос разъяснился и здесь тоже лишь тогда, когда к нему подошли с физико-теоретической стороны. Оказалось, что здесь, как и в случае моста, губительным фактором было явление резонанса. Дело в том, что кабель, смотря по длине, имеет различные периоды собственных электрических колебаний. Он представляет собой электрическую аналогию струны. С другой стороны, отличительной чертой переменного тока является его ритмическая пульсация.

И вот, если длина кабеля оказывалась такова, что период пульсации тока совпадал с периодом колебаний кабеля, наступало явление резонанса, происходило нарастание колебаний электрического напряжения, которое благодаря этому достигало гораздо большей величины, чем то, которое давали динамо-машины и на которое был рассчитан кабель, и изоляция пробивалась.

С резонансом можно встретиться не только на суше, но и в море и даже в воздухе. Так, например, при некоторых частотах вращения гребного вала в резонанс входили целые корабли. А на заре развития авиации некоторые авиационные двигатели вызывали столь сильные резонансные колебания частей самолета, что он разваливался в воздухе.

То обстоятельство, что амплитуда вынужденных колебаний может достичь опасных для конструкций значений, заставило искать способы гашения вынужденных колебаний.

Один способ гашения вынужденных колебаний состоит в измерении частоты свободных колебаний системы, так чтобы она не совпала с частотой вынуждающих колебаний и не была ей кратна. Например, при изготовлении паровой турбины для теплоэлектростанции учитывают, что турбина будет работать при частоте 3000 мин^-1. Следовательно, колебания, вызываемые вращением ротора, будут иметь частоту Чтобы избежать резонансных колебаний, вся система «генератор - турбина - фундамент» должна иметь частоту свободных колебаний, отличную от 50 и не кратную 50.

Проиллюстрируем этот способ борьбы с опасными последствиями на опыте. Соберем установку, показанную на рисунке 4.1. При включении вибратора пружинный маятник начинает колебаться с все возрастающей амплитудой, что свидетельствует о том, что частота вынужденных колебаний близка к частоте свободных колебаний.

Рис. 4.1

Остановив маятник, заменим его груз другим грузом большей массы (этим мы изменим собственную частоту колебаний маятника). Вновь включив вибратор, увидим, что амплитуда колебаний маятника стала значительно меньше. Теперь колебания не имеют резонансного характера.

Другой способ борьбы заключается в увеличении трения системы (рис. 4.2): чем больше трение, тем меньше амплитуда резонансных колебаний.

Рис. 4.2

4.3 Дифференциальное уравнение цепной линии

I. На рисунке 4.3 изображена схема канатного висячего моста. Два каната I и II натянуты через А и В и закреплены в А₁ и В₁. К ним прикреплены на равных расстояниях поддерживающие цепи, на нижнем конце которых находится полотно моста. Вес полотна и находящийся на нем полезной нагрузки моста (экипажи, люди и т.п.) передается через поддерживающие цепи проволочному канату и вместе с тем опорам АВ и закреплениям .

Для данного пролета s и ширины моста b вес проездного пути , а также полезная нагрузка v принимаются за известные. Например, для тяжелых городских уличных мостов и мостовой на них можно принять для проездного пути и для нагрузки движения. Оба рода нагрузки принимаются равномерно распределенными по пролету s. Если положить число висячих цепей по одной стороне моста равным N, то через каждую из них на любой из проволочных канатов передается нагрузка . Теперь возникает задача вычислить силы действующие в проволочном канате, в опорах и вообще во всем сооружении.

Рис. 4.3

Для подготовки решения исследуем некоторое число заданных параллельных сил на плоскости (рис.4.4):

и попытаемся найти между ними такое расположение каната, при котором эти силы будут находиться в равновесии.

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Отложим силы по величине (1 мм = 100 кг) и по направлению на прямой, параллельной направлению сил (рис.4.5), вследствие чего на ней получаются точки 0, 1, …, 7.

Из произвольного выбранного полюса О, проводим прямые линии в точки 0 - 7, благодаря чему получается диаграмма усилий 0-7-0.

К прямым от 0-0 до 0-7 проводят 8 параллелей (рис.4.4) так, чтобы две последующих пересекались на одной из линий, по которым расположены силы . Таким образом получается веревочный многоугольник 0-1-2-3-4-5-6-7.

Рассмотрим теперь стороны веревочного многоугольника, как состоящие из действительных кусков каната, из которых первый (0) и последний (7) прикреплены к двум неподвижным точкам А и В (рис.4.4).

В узловых точках вообразим приложенными параллельные силы , например в виде привешенных грузов. Тогда, как известно, система сил натяжения, т.е. канатов, находящихся в равновесии с силами .

Натяжения отдельных частей троса могут быть определены из-за диаграммы усилий; они равны прямым линям 0-0 и 0-7, если будут в том же масштабе, как и силы . Получается:

Напряжение 0,0 = 4500 кг 0,4 = 3200 кг

0,1 = 3800 кг 0,5 = 3400 кг

0,2 = 3450 кг 0,6 = 3900 кг

0,3 = 3200 кг 0,7 = 4450 кг

Для точки многоугольника 5 нарисован параллелограмм сил . Напряжение троса = 04 и = 05 (рис.4.6 и 4.7).

Рис. 4.6 Рис. 4.7

Все напряжения троса обладают тем свойством, что при разложении на вертикальное и горизонтальное направления последнее в точности равно горизонтальной составляющей H, которая в предыдущем случае составляет 3150 кг. Величину H называют горизонтальным натяжением веревочного многоугольника.

Этот факт получается прямо из рис. 4.5 разложением напряжения троса 0-0 до 0-7 на вертикальную и горизонтальную составляющую Н.

Величина АВ называется пролетом веревочного многоугольника. Веревочный многоугольник вполне определен, ели даны: система сил, опоры А и В и горизонтальное натяжение.

Чем больше принята при заданной системе сила горизонтального натяжения, тем более плоским становится веревочный многоугольник и тем больше становятся натяжениях отдельных частях троса. Горизонтальное натяжение определяется расстоянием полюса О до линии сил 0-7 (рис.4.8).

При этом выбор полюса произволен и влияет на положение опорных пунктов. Поэтому выбор полюса следует делать так, чтобы положение опорных пунктов, которым он соответствует, совпало с данным. Например, если хотят, чтобы опорные точки А и В имели расположение, указанное на рис.5, тогда нужно только вертикальные растяжения углов по прямой АВ, взятые на рис.4.9. После этого получится фигура равновесия каната.

II. Возвратимся теперь к висячему мосту (рис.4.3). Вся его длина пусть равна 40 м, ширина 20 м, N = 20 подвесных канатов. Таким образом на каждый из них приходится нагрузка .

Рис. 4.8

Эти 20 нагрузок Р отложим на диаграмме усилий друг за другом - это отрезки между точками 0,1,2,…,20. После выбора полюса, для горизонтального натяжения Н, о котором мы будем говорить потом, получится веревочный многоугольник 0123…20. Последний тотчас дает форму каната висячего моста, если полюс О поместить симметрично - на перпендикуляре линии 0123…20 рис. 4.9. На этом рисунке видно, что в данном случае, в иду большого числа рассматриваемых сил Р, многоугольник похож на кривую. Это сходство еще более возрастает при увеличении числа вертикальных канатов моста.

Рис. 4.9

III. Таким образом можно прейти в пределе к равномерному распределению нагрузки на опорный канат моста. При этом можно оставить случай постоянной по величине нагрузки и считать, что имеется какая-то неравномерная нагрузка , зависящая от x - расстояния от опоры А. на рис. 4.10 график это нагрузки представлен кривой DE. В этом случае тоже можно нарисовать многоугольник сил, причем вся нагрузка Q выразиться интегралом

.

Ее откладывают по вертикали ON. Напряжение в какой-нибудь точке Р висячей цепи получают, если провести в Р касательную и через полюс параллель с ней до пересечения с вертикалью ON. Расстояние полюса от вертикали ON равно натяжению в наинизшей точке висячего каната. Во всех точках каната горизонтальная составляющая натяжения остается постоянной.

Чтобы найти форму висячего каната вычислительным путем, введем систему координат xy с началом в точке А. Направление положительных y возьмем вниз, абсциссы будем считать направо.

Рассмотрим бесконечно малый элемент кривой, на которой расположится канат. Вообразим этот элемент вырезанным из каната. Чтобы равновесие его сохранялось, к нему должны быть приложены слева и справа силы натяжения каната S и S₁. Кроме них на элемент действует еще вертикальная сила нагрузки . Разложим силы S и S₁ на горизонтальные и вертикальные составляющие.

По условию равновесия горизонтальные составляющие слева и справа равны:

H = H₁.

Это совпадет с известным раньше обстоятельством - горизонтальная составляющая величина постоянная.



Рис. 4.10

Условие для вертикальных составляющих дает:

. (4.3.1)

Так как можно написать, что , то получим:

. (4.3.2)

Принимая во внимание, что напряжение направлено по касательной, имеем:

, (4.3.3)

отсюда

. (4.3.4)

Величина Н постоянная. Поэтому дифференцирование дает:

. (4.3.5)

Подставляет это в (4.3.2) и сокращая , находим:

. (4.3.6)

Это и есть дифференциальное уравнение цепной линии, по которой располагается канат, на каждый элемент которого действует нагрузка q.

Оно второго порядка, так как в нем имеется вторая производная неизвестной функции .

Полагая

, (4.3.7)

можем сразу интегрировать уравнение

. (4.3.8)

После интегрирования получаем:

. (4.3.9)

Интегрируя еще раз, находим:

(4.3.10)

или проще:

(4.3.11)

Здесь С₁ и С₂ - две произвольные постоянные, получающиеся при интегрировании. Всякая определенная пара их значений дает частный интеграл. Таким образом существует, как и следует ожидать, бесчисленное множество цепных линий. Из этого множества надо выбрать нужную, которая выполняет прочные условия, подразумевающиеся в задаче. Таким условием может явиться требование, чтобы кривая проходила через две данные точки.

Вопрос об этих условий мы разберем для простейшего случая, когда нагрузка равномерно распределена по длине пролета l. Тогда , и общий интеграл уравнения (4.3.11) получает формулу:

. (4.3.12)

так как y - квадратичная функция от x, то форма кривой - парабола. Дополнительных условий два: 1) кривая должна проходить через точку x = 0, y = 0, т.е. через левую опору, и 2) правая опора должна быть ниже, чем левая на a единиц, т.е. кривая должная проходить через точку x = l, y = a. Из первого условия находим:

, (4.3.13)

а из второго получится:

; (4.3.14)

отсюда

. (4.3.15)

Подставляя значения С₁ и С₂ в (4.3.12), находим тот частный интеграл, который нужен для данной задачи:

. (4.3.16)

Здесь участвует еще величина горизонтальной составляющей натяжения, т.е. H. Ее величина не изменится, если изменить а. Полагая в (4.3.16) а = 0, получим:

. (4.3.17)

Провес каната f при этом получается из (4.3.17) при .

. (4.3.18)

Отсюда при данном f можно найти Н.

Заключение

Вынужденные колебания и резонанс широко используются в технике, особенно в акустике, электротехнике, радиотехнике и других областях. Явление резонанса используется в тех случаях, когда из большого набора колебаний разной частоты хотят выделить колебания вполне определенной частоты. Резонанс используется и при измерении очень слабых периодически повторяющихся величин.

Однако в ряде случаев резонанс - нежелательное явление, так как может привести к большим деформациям и разрушению конструкций. Резонанс приходится учитывать при конструировании машин и различных сооружений.

Вращающиеся части машин, валы двигателей самолетов и кораблей невозможно абсолютно точно уравновесить. В результате они испытывают переменную нагрузку, совершая вынужденные колебания и вызывая вынужденные колебания всей системы (например, самолета). Различные части системы или система в целом могут прийти в резонанс с вынуждающей силой, что может привести к их разрушению или повреждению. Поэтому инженеры должны так конструировать ту или иную установку, чтобы не возникало резких резонансных явлений ни во всей установке, ни в ее отдельных частях.

Список литературы

1) Александров Н.В. и Яшкин А.Я. Курс общей физики. Механика. М.: “Просвещение”, 1978 г.

2) Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения (перевод с английского) под ред. Эфрос А.М.. ОНТИ. Харьков, 1939 г. 719 с.

3) Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000 г., 400 с.

4) Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1972 г., 149 с.

5) Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991 г., 303 с.

6) Гершензон Е.М., Малов Н.Н. Курс общей физики: Механика. М., “Просвещение”, 1987 г.

7) Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы 1950 г., 436 с.

8) Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука 1965 г., 616 стр. с илл.

9) Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1972 г., 510 с.

10) Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений (перев. с английского Левитана Б.М.). М.: Изд. иностранной литературы, 1958 г., 475 с.

11) Курант Р. Курс интегрального и дифференциального исчисления. М., 1970 г., 672 стр. с илл.

12) Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: Изд. иностр. лит., 1960 г., 388 с.

13) Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов и физ.-мат. спец. СПб.: Спец. Литература, 1996.

14) Матвеев Н.М. Сборник задачи упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учебное пособие, 7-е изд., доп. Спб.: Издательство «Лань», 2002. 432 с. (Учебники для вузов. Специальная литература).

15) Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Изд. «Наука», 1973 г., 640 с. с илл.

16) Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, гос. изд. физ.-мат. литературы, М., 1961 г.

17) Преподавание физики в высшей школе. Сборник научных трудов. №1.М., изд. МПГТУ. 1994 г.

18) Хайкин С.Э. Физические основы механики. М.,физматгиз,1963.

19) Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для немат. спец. вузов / Под ред. Акад. А.Н. Тихонова. М.: Высш. шк., 1985. 471 с., илл.

Размещено на Allbest.ru

...