Сценарный Аск-анализ как метод разработки на основе эмпирических данных базисных функций и весовых коэффициентов для разложения в ряд функции состояния объекта или ситуации по теореме А.Н. Колмогорова

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сценарный Аск-анализ как метод разработки на основе эмпирических данных базисных функций и весовых коэффициентов для разложения в ряд функции состояния объекта или ситуации по теореме А.Н. Колмогорова

Луценко Евгений Вениаминович, д.э.н., к.т.н., профессор Кубанский Государственный Аграрный университет имени И.Т. Трубилина

Аннотация

По своей сути замечательная теорема А.Н. Колмогорова (1957) (точнее один ее частный случай), является теоретической основой всей математической теории разложения функций в ряды, т.е. так называемой теории рядов. В математике разработано много различных конкретных вариантов разложений функций в ряды. Однако, к сожалению, определение вида базисных функций и весовых коэффициентов для данной конкретной функции представляет собой математическую проблему, для которой пока не найдено общего математически строго решения.

При этом для частных случаев, т.е. конкретных видов базисных функций, таких решений найдено довольно много. В данной работе предлагается рассматривать математическую модель АСК-анализа как вариант общего и универсального практического решения проблемы разработки базисных функций и весовых коэффициентов для разложения в ряд по ним произвольной функции состояния идентифицируемого объекта. Прослеживается сопоставление смысла понятий АСК-анализа и теоремы А.Н. Колмогорова. Приводятся численные примеры технического, фундаментального и техно-фундаментального сценарного АСК-анализа. В этих численных примерах на основе анализа ретроспективных исходных данных выявляются фактически наблюдавшиеся прошлые и будущие сценарии развития событий. Путем их обобщения формируются образы будущих сценариев развития событий, которые рассматриваются как базисные функции классов. Будущие сценарии обуславливаются прошлыми сценариями развития событий (значениями факторов).

При прогнозировании текущая ситуация сравнивается с этими обобщенными образами и разлагается в ряд по ним (прямое преобразование, объектный анализ). Средневзвешенный прогноз формируется путем обратного преобразования образов классов с их весами, т.е. как их взвешенная суперпозиция. При этом в качестве базисных функций используются обобщенные образы прогнозируемых сценариев того что будет и того что не будет с их весами, в качестве которых используется достоверность прогноза

Ключевые слова: автоматизированный системно-когнитивный анализ, сценарный метод аск-анализа, система «эйдос», технический и фундаментальный анализ, фурье-анализ, временные ряды, фондовый рынок

Abstract

In its essence, the remarkable theorem of A.N. Kolmogorov (1957) (more precisely, one of its special cases) is the theoretical basis of the entire mathematical theory of function expansion into series, i.e. the so-called series theory. In mathematics, there are many different specific variants of function series decompositions. However, unfortunately, determining the type of basic functions and weight coefficients for this particular function is a mathematical problem for which no general mathematically rigorous solution has yet been found. In this case, for special cases, i.e. there are quite a lot of specific types of basic functions and such solutions have been found.

In this work, we propose to consider the mathematical model of ask analysis as a variant of a general and universal practical solution to the problem of developing basic functions and weight coefficients for the expansion of an arbitrary function of the state of the identified object in a series of them. The article traces comparison of the meaning of the concepts of the ASC-analysis and A.N. Kolmogorov's theorem. We have also given numerical examples of technical, fundamental, and techno-fundamental script ASC-analysis. In these numerical examples, based on the analysis of retrospective source data, actual observed past and future scenarios are identified. By generalizing them, we form images of future scenarios, which are considered as basic functions of classes.

Future scenarios are determined by past scenarios (values of factors). When forecasting, the current situation is compared with these generalized images and decomposed into a series based on them (direct transformation, object analysis). The weighted average forecast is formed by inverting the images of classes with their weights, i.e. as their weighted superposition. At the same time, generalized images of predicted scenarios of what will happen and what will not happen with their weights are used as basic functions, which use the reliability of the forecast

Keywords: automated system-cognitive analysis, script method of asc analysis, eidos system, technical and fundamental analysis, fourier analysis, time series, stock market

Содержание

• 1. Объект, предмет, проблема, цель, метод и задачи исследования
• 2. Теоретическое решение проблемы исследования
• 2.1 Суть математической модели классического АСК-анализа
• 2.1.1 Способ формализации предметной области в АСК-анализе, классификационные и описательные шкалы и градации и обучающая выборка
• 2.1.2 Синтез системно-когнитивных моделей как разработка обобщенных базисных функций классов путем многопараметрической типизации функций состояний конкретных объектов или ситуаций моделирования
• 2.1.3 Прогнозирование и системная идентификация как разложение функции ситуации (объекта) в ряд по функциям классов (объектный анализ)
• 2.1.4 Математические определения основных понятий АСК-анализа, связанных с теоремой А.Н. Колмогорова
• 2.1.5 Математическая формулировка теоремы А.Н. Колмогорова для классического АСК-анализа
• 2.1.6 Объекты математической модели АСК-анализа как алгебраические структуры в рамках высшей алгебры
• 2.1.7 Значимость значения фактора, степень детерминированности класса и ценность модели
• 2.1.8 Абсолютная и относительная сходимость прогнозного ряда. Ортонормирование системы функций классов: в какой степени оно действительно необходимо?
• 2.2 Суть математической модели сценарного АСК-анализа
• 2.2.1 Идея и концепция сценарного АСК-анализа
• 2.2.2 Математическая формулировка теоремы А.Н. Колмогорова для сценарного АСК-анализа
• 2.2.3 Постановка задачи прогнозирования сценариев будущих событий (классов) на основе сценариев прошлых событий (значений факторов)
• 2.2.4 Алгоритм выявления сценариев изменения значений факторов и сценариев поведения объекта моделирования
• 2.2.5 Разработка частных положительных и отрицательных прогнозов и оценка их достоверности как разложение функции ситуации в ряд по функциям классов
• 2.2.6 Формирование средневзвешенных положительных (что будет) и отрицательных (чего не будет) прогнозов как преобразование, обратное разложению функции ситуации в ряд по функциям классов
• 2.2.7 Технический и фундаментальный подходы и их синтез в сценарном АСК-анализе

1. Объект, предмет, проблема, цель, метод и задачи исследования

Объектом исследования в данной работе является фундаментальная теорема А.Н.Колмогорова (1957) [1]:

«Теорема. При любом целом существуют такие определенные на единичном отрезке непрерывные действительные функции , что каждая определенная на n-мерном единичном кубе En непрерывная действительная функция представима в виде:

, (1)

где функции действительны и непрерывны.» [1].

Эта замечательная фундаментальная теорема означает, что для реализации функций многих переменных достаточно операций взвешенного суммирования (суперпозиции) функций одной переменной.

Последствия этого очень важны и многочисленны и относятся не только к математике, где теорема А.Н.Колмогорова связана, например, с решением 13-й проблемы Гильберта, но и ко многим другим направлениям науки, например, к интеллектуальным технологиям [2].

Но в данной работе для нас важнее, что теорема А.Н.Колмогорова [1], по мнению автора, фактически является теоретическим фундаментом всей математической теории разложения функций в ряды, т.е. так называемой теории рядов [3].

Чтобы убедиться в этом предлагается рассмотреть частный случай теоремы А.Н.Колмогорова, который получается из (1) путем замены функции на частный случай этой функции, когда она равна собственному аргументу, умноженному на некоторую константу g_q (2).

(2)

Отметим, что подобный подход не раз применялся для исследования различных вариантов теоремы А.Н. Колмогорова для конкретных видов функций [4-6] и в нем ничего необычного.

С учетом (2) выражение (1) примет вид:

(3)

Кроме того, в выражении (3) как принято в теории рядов верхний предел суммирования в первой сумме заменен на бесконечность.

Выражение (3) является частным случаем выражения (1), которое строго математически доказано, поэтому выражение (3) тоже можно считать строго математически доказанным.

В терминологии теории рядов константу g_q в выражении (3) естественно интерпретировать как весовые коэффициенты ряда, а функции - как базисные функции, по которым производится разложение в ряд функции .

Однако, определение вида базисных функций и весовых коэффициентов g_q для данной конкретной функции представляет собой математическую проблему, для которой пока не найдено общего математически строго решения. При этом для частных случаев, т.е. конкретных видов базисных функций и весовых коэффициентов, таких решений найдено довольно много.

Предметом исследования является математическая модель автоматизированного системно-когнитивного анализа (АСК-анализа), которая рассматривается как один из возможных вариантов общего и универсального практического решения проблемы разработки базисных функций и весовых коэффициентов для разложения в ряд по ним произвольной функции. В этом контексте функция интерпретируется как конкретный образ состояния идентифицируемого объекта или ситуации, функции - как обобщенные образы классов, а функция g_q - как меры сходства конкретного образа объекта или ситуации с обобщенным образом q-го класса.

Предлагаемый путь решения проблемы. На взгляд автора источником или причиной существования поставленной проблемы является то, что в математической теории рядов считается, что для разложения функций в ряд должна использоваться полная ортогональная система базисных функций.

Справка: «Полная система функций в некотором линейном пространстве функций L -- система функций {(x)} такая, что в L не существует ненулевой функции, ортогональной всем функциям семейства (см. Ортогональные функции) в смысле определенного в L скалярного произведения. Если в L существует полная ортонормированная система функций, то любую функцию из L можно разложить в ряд по функциям этой системы.»

О смысловой связи теоремы А.Н. Колмогорова и АСК-анализа.

Прежде всего необходимо отметить, что теорема А.Н.Колмогорова является фундаментальной математической теоремой, безупречно строго доказанной математически для действительных и непрерывных функций. Эта теорема имеет очень высокий статус в математике и играет большую роль в перспективных исследованиях, «поскольку она, как путеводная звезда, указывает путь» (профессор А.Н. Орлов).

Математическая модель АСК-анализа (Е.В. Луценко, 1979) является дискретной (численной) моделью. Говоря строго математически она ниоткуда строго не выведена, но имеет эвристический правдоподобный характер [8]. В тоже время обоснованию и описанию применений этой модели посвящено много работ автора с соавторами [9-38].

Но, по мнению автора, между математической моделью АСК-анализа и теоремой А.Н. Колмогорова (по крайней мере с ее частным случаем (3)) существует определенная смысловая связь, хотя и недоказанная строго математически. И данная работа посвящена не доказательству этой смысловой взаимосвязи, а ее использованию для развития сценарного АСК-анализа и решения с его применением новых задач, интересных для науки и для практики.

По этому поводу профессор А.И. Орлов в частной переписке по поводу данной работы пишет: «Реальные расчеты в АСК-анализе проводятся по формулам, которые на сегодня не выведены из теоремы А.Н. Колмогорова, поскольку соответствующие предельные теоремы пока не получены (и получить их, возможно, трудно). Связь между этими результатами идейная, но не математическая. Тем не менее полезно отметить эту связь. Я думаю, что Ваши подходы и алгоритмы переходят в подходы А.Н. Колмогорова при соответствующем предельном переходе (при переходе от дискретности к непрерывности при уменьшении разностей между ближайшими значениями переменных). Математически строгих формулировок и тем более доказательств этого на сегодня нет, и получить их, видимо, весьма сложно. Таким образом выявились новые математические проблемы - есть чем заняться будущим поколениям исследователей». Сказано исчерпывающе.

Система обобщенных образов классов в АСК-анализе в общем случае не является полной ортогональной системой функций. Тем ни менее предлагается использовать эту систему функций для разложения в ряд функции, описывающей состояние объекта или ситуации. Это обеспечивает практическое решение поставленной проблемы, а также решение на этой основе ряда задач, представляющих большой научный и практический интерес.

В частности, предлагается интерпретировать операцию разложения функции, описывающей состояние объекта или ситуации в ряд по функциям обобщенных образов классов как решение задачи идентификации или прогнозирования. При прогнозировании текущая ситуация сравнивается с этими обобщенными образами и разлагается в ряд по ним (прямое преобразование, объектный анализ). Средневзвешенный прогноз формируется путем обратного преобразования образов классов с их весами, т.е. как их взвешенная суперпозиция. При этом в качестве базисных функций используются обобщенные образы прогнозируемых сценариев того что будет и того что не будет с их весами, в качестве которых используется достоверность прогноза.

Кроме того, созданную модель можно использовать для решения и других задач, таких как принятие решений (обратная задача прогнозирования) и исследование моделируемой предметной области путем исследования ее модели.

АСК-анализ предоставляет математический метод формирования системы базисных функций обобщенных образов классов и весовых коэффициентов для разложения в ряд функции состояния объекта или ситуации на основе непосредственно эмпирических данных.

Более того, АСК-анализ имеет свой программный инструментарий, в качестве которого в настоящее время выступает интеллектуальная система «Эйдос» (открытое программное обеспечение), которая реализует этот математический метод.

Целью данной работы является решение поставленной проблемы путем обобщения теории рядов с применением теории информации и разработки реализующего этот подход программного инструментария.

Рассмотрим теоретическое решение поставленной проблемы на уровне математической модели, а затем подробный численный пример практического решения проблемы с применением специально разработанного для этой цели программного инструментария.

В качестве примеров применения предлагаемых подходов рассматриваются технический, фундаментальный и техно-фундаментальный сценарный АСК-анализ. В этих примерах на основе анализа ретроспективных исходных данных выявляются фактически наблюдавшиеся прошлые и будущие сценарии развития событий. Путем их обобщения формируются образы будущих сценариев развития событий, которые рассматриваются как базисные функции классов. Будущие сценарии обуславливаются прошлыми сценариями развития событий (значениями факторов).

математический базисный функция разложение

2. Теоретическое решение проблемы исследования

2.1 Суть математической модели классического АСК-анализа

2.1.1 Способ формализации предметной области в АСК-анализе, классификационные и описательные шкалы и градации и обучающая выборка

Формализация предметной области - это такое ее описание, которое пригодно для обработки на компьютере. Этот процесс состоит в том, что создаются классификационные и описательные шкалы и градации, а затем с их помощью кодируются исходные данные и таким образом формируется обучающая (тренировочная) выборка. По сути формализация предметной области повышает степень формализации ее описания путем нормализации исходных данных, до уровня, достаточного для обработки на компьютере.

В АСК-анализе и системе «Эйдос» для формализации предметной области используются различные автоматизированные программные интерфейсы (API), которых довольно много. Это различные интерфейсы с текстовыми, табличными и графическими данными. В результате формируются классификационные и описательные шкалы и градации, которые могут быть различных типов [11]: числовыми и текстовыми, причем текстовые могут быть номинальными и порядковыми.

В АСК-анализе используется 3 способа интерпретации смысла классификационных и описательных шкал и градаций:

- 1-й статическая интерпретация, когда градации классификационных шкал, т.е. классы, соответствуют обобщенным категориям объектов, а градации описательных шкал рассматриваются как признаки объектов, т.е. наличие или степень выраженности у них определенных физических, социальных и других свойств;

- 2-динамическая интерпретация, когда градации классификационных шкал, т.е. классы, соответствуют будущим состояниям объекта моделирования в которые он переходит под действием различных факторов, а градации описательных шкал рассматриваются как значения факторов, влияющих на поведение объекта моделирования;

- 3-универсальная интерпретация, когда не уточняется статическая или динамическая интерпретация используется, а используются термины: «Классификационная шкала», «Градация классификационной шкалы (класс)» «Описательная шкала», «Градация описательной шкалы» .

В нашем случае больше подходит динамическая интерпретация, поэтому и будем пользоваться преимущественно соответствующей терминологией, иногда для уточнения смысла используя термины из других интерпретаций.

Рассмотрим принцип формирования описательных шкал и градаций (факторы и их значения). Каждому фактору (описательной шкале) соответствует свой диапазон изменения значений аргумента. Каждому значению аргумента соответствует градация шкалы. У разных шкал может быть различное количество градаций.

Если шкала числовая, то ее градации представляют собой числовые диапазоны. У каждого числового диапазона есть границы (наименьшее и наибольшее значения) и среднее значение.

Если шкала текстовая, то ее градациями являются уникальные текстовые значения, соответствующие этой шкале.

Если текстовая шкала порядковая, то при сортировке по алфавиту ее градации располагаются в правильном смысловом порядке от минимального значения до максимального, например:

1/5-минимальное значение;

2/5 малое значение;

3/5-среднее значение;

4/5-большое значение;

5/5-максимальное значение.

Если такого осмысленного прядка градаций текстовой шкалы при их сортировке по алфавиту не получается, то значит это текстовая шкала номинального типа.

Совершенно аналогично строятся и классификационные шкалы, и градации. Поэтому это нет особого смысла подробно описывать. Но если градация описательной шкалы является значением фактора, то градация классификационной шкалы представляет собой класс. Обычно классы соответствуют либо обобщенным категориям объектов, либо результатам действия факторов, т.е. описывают результирующие состояния системы, в которые она переходит под действием факторов.

Если исходные данные представлены в табличном виде, то каждой шкале обычно соответствует колонка или строка этой таблицы (чаще колонка).

Отметим, что каждый фактор (описательную шкалу) можно рассматривать как ось в некотором многомерном пространстве. Понятно, что в общем случае это пространство неортонормированное, т.е. факторы зависят друг от друга. Остается также открытым вопрос о метрике и топологии этого пространства, т.е. о том, имеет ли оно кривизну, какую меру расстояния на нем корректно использовать, к какому классу топологических структур относится топология этого пространства. Все эти вопросы требуют дополнительных исследований. Автор на всякий случай использует в системно-когнитивных моделях информационную меру расстояния между двумя векторами (межсекторное расстояние), корректное для неортонормированных пространств.

2.1.2 Синтез системно-когнитивных моделей как разработка обобщенных базисных функций классов путем многопараметрической типизации функций состояний конкретных объектов или ситуаций моделирования

Математическая модель АСК-анализа и системы «Эйдос» основана на системной нечеткой интервальной математике [9, 10, 11] и обеспечивает сопоставимую обработку больших объемов фрагментированных и зашумленных взаимозависимых данных, представленных в различных типах шкал (номинальных, порядковых и числовых) и различных единицах измерения [11].

Суть математической модели АСК-анализа состоит в следующем. Непосредственно на основе эмпирических данных, после их формализации, как описано в предыдущем разделе, рассчитывается матрица абсолютных частот (матрица сопряженности) (таблица 1).

Таблица 1- Матрица абсолютных частот (статистическая модель ABS)