Методические основы подготовки будущих учителей математики в условиях полиязычного образования

Размещено на http://www.allbest.ru/

«Методические основы подготовки будущих учителей математики в условиях полиязычного образования»



Введение

Развитие профессионально-языковой компетентности учителя математики в условиях полиязычного образования на данный момент занимает важное место в вопросе компетентностной подготовки будущих преподавателей математики.

Основными законодательными документами о языковой политике в стране являются: Закон «О языках в Республике Казахстан», Государственная программа функционирования и развития языков на 2011-2020 гг., культурная программа «Триединство языков». Руководствуясь этим основополагающими документами, Казахстан определяет программу для последовательного этапа реализации проекта «Триединство языков».

Основной задачей данных нормативных документов является подготовка преподавателей естественно-математического цикла в направлении развития англоязычной составляющей предмета, составление и разбор тематических заданий и примеров, повышение уровня владения техническим английским языком.

Преподавание математических дисциплин в условиях полиязычного образования - это дифференцируемый процесс, ориентированный не только на знание математики и ее составляющих, но и свободное владение языками в условиях полиязычного образования. Основополагающими факторами данного академического направления являются: знание технической терминологии, наличие достаточного словарного запаса, анализ и синтезирование заданий согласно международным стандартам обучения, максимально приближенных к реальному процессу обучения в стране, где данный язык является родным или имеет статус государственного. Данная программа обучения направлена на повышение компетентности преподавателей математики в условиях полиязычного образования, в частности на преподавание предмета согласно стандартам международных экзаменов SAT (Scholastic Assessment Test), ACT (American College Testing).

Особое внимание уделяется практическому материалу и его аспектам согласно международной системе оценки уровня технических знаний английского языка SAT, ACT, TOEFL и IELTS, необходимых на основании динамически изменяющейся тенденции и критериев международных высших учебных заведений к абитуриентам. Также данное учебное пособие составлено в соответствии с форматом заданий данных систем оценки, во многом отличных от стандартов Единого Национального Тестирования.

Проблемой развития профессионально-языковой компетентности учителя математики в условиях полиязычного образования занимались различные ученые-математики как отечественные, так и зарубежные.

Вопрос о проблеме билингвизма рассматривали такие ученые математики как: Степанян И.К., Дубинина Г.А. и Ганина Е.И. в статье для Международного научно-исследовательского журнала о «Билингвальном подходе к обучению математике иностранных студентов», где описывается опыт преподавания билингвальным группам студентов по предмету «Математика» на факультете иностранных слушателей Финансового Университета при Правительстве Российской Федерации. В данной статье рассматривались вопросы о вкладе каждого из языков-участников в процесс обучения математике на нескольких языках [1]. Также Похожая тематика освещена в исследовании отечественных ученых, Аубакировой Б., в соавторстве с Kinga Magdolna University и Balazs Benkei-Kovacs «Multilingual Education in Kazakhstan and Model of Multilingual Education in the European Context» [2], ученые-математики Казахского агротехнического университета имени Сакена Сейфуллина Аскарова А.Ж., Грипп Е.А., Елеусизова Г.Р. и Такабаев К.К. в статье для «Colloquium Journal» о «Преподавании математики в полиязычных группах. В данной статье рассматриваются и анализируются процентные содержания баллов полиязычных групп обучения по предмету «Математика», на основании которых авторы статьи делают вывод в пользу групп с полиязычным обучением [3].

Среди зарубежных ученых, подобную тему рассматривали R. Barwell, P. Clarkson, в статье «Researching mathematics education in multilingual contexts: Theory, Methodology and the teaching of mathematics» [4] и M. Hofmannovб, J. Novotnб «Working with theories from outside mathematics education» [5]. где рассматриваются вопросы математического обучения в разрезе полиязычной культуры и полиязычных установок в обучении. Евтыхова Н.М. в статье «Анализ состояния двуязычного математического образования в современной начальной школе», изучала вопрос влияния двуязычного ландшафта на процесс усвоения математических знаний [6]. P. Clarkson в статье «Multilingual Contexts for teaching Mathematics», рассматривал опыт и проблемы обучения в школах Новой Зеландии, Малайзии и Папуасской Новой Гвинеи [7]. Anjum Halai PhD Oxford University, рассматривала процесс преподавания в условиях полиязычия, в своем исследовании для докторской диссертации «Teaching and Learning Mathematics in multilingual classrooms» [8]. В этом исследовании она задалась различными вопросами, возникающими в полиязычной среде обучения, такими как: «Как преподаватель может организовать процесс обучения путем его перехода на новый качественный уровень?». Gorgorio, N. и Planas, N. в своей работе: «Teaching mathematics in multilingual сlassrooms» [9] рассматривали предмет преподавания математики в полиязычных классах, также Majid N. Al-Amri в статье Effects of Bilingualism on Personality, Cognitive and Educational Developments: A Historical Perspective представил проблему билингвизма, как явление имеющие положительные и отрицательные стороны [10].

Анализ вышеперечисленных работ позволяет заметить, что в основном, повсеместно, рассматривается вопрос билингвизма в образовательной среде и способы его органичного существования. Когда как вопросом полиязычного образования занимались гораздо реже, вследствие немногочисленности стран, в которых полиязычная среда присутствует.

В данной ситуации эффективным средством будет являться формирование необходимого методического материала на необходимом языке преподавания согласно утвержденному международному стандарту.

Анализ научной и учебной литературы, а также практики преподавания математики в высшем учебном заведении, в общеобразовательной школе и учебном центре дополнительного образования выявил, что во всех сегментах образовательной деятельности в Республике Казахстан необходимым критерием для преподавателя математики является знание казахского, русского и английского языков на высоком академическом и техническом уровне.

Так как выпускники общеобразовательных и специализированных учебных заведений страны являются абитуриентами различных высших учебных заведений, как отечественных, так и университетов ближнего и дальнего зарубежья, им необходимо соответствовать стандартам знаний, утвержденным государством, в котором находится объект поступления. Этот фактор является одним из основных в вопросе полиязычного образования в Республике Казахстан.

На основании текущей тенденции соответствия уровня знаний текущим международным системам оценки, таким как: SAT, ACT, IELTS, TOEFL, процесс преподавания математики нуждается в пересмотре по нескольким пунктам, относящимся к преподаванию предмета в условиях полиязычного образования:

· Компетентностный подход в образовании;

· Инновационные методы обучения;

· Критическое мышление.

Для четкого понимания критериев оценки знаний учащихся и построения эффективной образовательной методики, в первую очередь следует рассмотреть концепцию понятия «Компетентностный подход» и ее основные факторы в образовательной среде.

Как передает информационный портал Института повышения квалификации преподавателей Костанайской области: «в Глоссарии терминов Европейского фонда образования (ЕФО, 1997) «компетенция» определяется как:

1. Способность делать что-либо хорошо или эффективно.

2. Соответствие требованиям, предъявляемым при устройстве на работу.

3. Способность выполнять особые трудовые функции [11].

В европейском проекте «Определение и отбор ключевых компетенций» (DeSeCo) признаками ключевых компетенций являются:

1. Ключевые компетенции представляют собой различные универсальные ментальные средства, инструменты (способы, методы, приемы) достижения человеком значимых для него целей (результатов).

2. Ключевыми компетенциями в той или иной степени должен овладеть каждый член общества.

3. Ключевые компетенции позволяют человеку достигать результатов в не определенных, проблемных ситуациях. Они позволяют самостоятельно и в сотрудничестве с другими решать проблемы, то есть справляться с ситуациями, для разрешения которых никогда нет полного комплекта наработанных средств.

4. Определение и отбор ключевых компетенций осуществляется основными потребителями образовательных результатов на основе социологических исследований и общественного обсуждения и зависит от того, какие способности и качества человека являются ценными в данное время в данном обществе.

5. В современном западном обществе нормативную основу для отбора ключевых компетенций составляют базовые принципы прав человека, демократические ценности и цели, связанные с устойчивым развитием.

6. Компетенции проявляются и приобретаются человеком в деятельности, имеющей для него ценность» [12].

Из этого следует, что учебное пособие должно отвечать всем необходимым критериям, развивая у будущих учителей математики навыки и компетенции для успешной реализации и получения ими высоких академических показателей. Также нужно чтобы были учтены современные инновационные педагогические подходы в образовательной среде, позволяющие преподавателю математики эффективно и доступно транслировать информацию для будущих специалистов.

В настоящее время вопрос полиязычного обучения является важным аспектом образовательной системы Республики Казахстан, который тесно взаимосвязан со всеми отраслями научно-академической сферы деятельности.

Следовательно, вопрос о внедрении качественной программы подготовки преподавателей математики на данный момент является актуальным и требует подробного рассмотрения.

Основными теоретическими вопросами направления в преподавании математики, согласно полиязычной структуре рабочего процесса, являются методика внедрения языковой грамотности в процесс преподавания технического предмета (Математики) через технологию обучения CLIL и использование навыков критического мышления при решении тематических заданий. Данная методика подразумевает в себе определенный уровень психологической и умственной подготовки, необходимых навыков и методов применения, способствующих эффективному внедрению в практику.

В первую очередь необходимо отметить, что методика CLIL требует от учащихся с разным уровнем восприятия окружающего мира использовать в процессе обучения разнообразные способы приема и передачи информации, что само по себе подразумевает в себе достаточно серьезную скоординированную работу мозгу по анализу и синтезу информации. Предмет математики в совокупности с иностранным языком представляет собой для учащихся новую грань возможностей, для реализации которых необходимо задействовать все ресурсы головного мозга.

Для более подробного рассмотрения необходимо охарактеризовать сами принципы и преимущества CLIL, которые доступно разъяснены ресурсом «Skyteach», некоторые из которых будут использованы в данном учебном пособии: «Принципы CLIL

CLIL - это в первую очередь обучение общим знаниям, а не многоязычию, поэтому последнее является только дополнительной функцией;

· обучение проходит, базируясь на основных 4 «С»: content, communication, cognition and culture. Все эти составляющие находятся в непрерывной связи между собой;

· требует построения безопасного психологического климата на занятии;

· подразумевает использование исключительно одного (иностранного) языка, одного и того же преподавателя и аудитории;

· для лучшего понимания материала преподаватель может подключать мимику, жесты, картинки, звук презентации и т.д.

Преимущества CLIL:

· позволяет учащимся более эффективно общаться друг с другом, используя иностранный язык;

· расширяет межкультурные знания учащихся;

· развивает навыки общения на иностранном языке в естественных условиях;

· развивает мышление и открывает творческий потенциал студентов;

· повышает мотивацию студентов и их уверенность в себе;

· тренирует все языковые навыки;

· улучшает языковую компетенцию и навыки естественной устной речи;

· развивает интерес к разным языкам, к использованию их в разных сферах жизни;

· не требует дополнительных часов обучения» [13].

Усманова, З.Ф. в статье «Реализация технологии CLIL в условиях полилингвального обучения» в соавторстве с Т. В. Заяц и Г. Ж. Мукажановой изучали технологии CLIL и подробно описали основные тезисы. «Использование данной технологии в полилингвальных группах, является наиболее целесообразным. Прежде всего, нужно рассмотреть саму модель урока с использованием данной технологии, то есть его компоненты. Каждый урок состоит и четырех «С», таким образом он включает в себя следующее: ? content (содержание) -- это развитие знаний, умений и навыков в определенной предметной области; ? communication (общение) -- использование иностранного языка при обучении, при этом изучая то, как пользоваться языком; ? cognition (познание) -- это развитие познавательных и мыслительных способностей, которые формируют общее представление; ? culture (культура) -- представление себя как части культуры, а также осознание существования альтернативных культур (а также межпредметные связи, воспитание гражданства и так далее). Когда студентов знакомят с уроком CLIL используются все четыре аспекта изучения языка: письмо, аудирование, чтение и говорение, для того чтобы изучить информацию и обсудить ее. Более того, урок CLIL подразумевает со стороны студента анализ и оценку полученной информации, с использованием критического мышления. Это позволяет обучающимся понять и усвоить информацию лучше. Также многие CLIL уроки устроены так, чтобы погрузить студентов в различные культуры, развивая также и межкультурные навыки [11].

Наверно, самое важное в уроках CLIL это то, что они связывают язык с реальностью. Таким образом студенты усваивают лексику, грамматику естественно, просто задавая вопросы как в реальной жизни и находя на них ответы, все так как и на уроках на своем родном языке. Хотелось бы отметить, что CLIL уроки успешно работают как в полилингвальных группах, так и в специальных языковых. CLIL уроки можно строить по-разному в зависимости от содержания обучения.

Но можно выделить несколько этапов, которые помогут в планировании урока CLIL:

· Выбрать тему по интересу (для языковых специальностей), для других предметов это будет обусловлено программой.

· Выбрать лексику, на которую преподаватели хотели бы обратить внимание студентов. Примерно от 6 до 10 слов на начальном этапе, впоследствии можно увеличить до 20, в зависимости от уровня студентов.

· Выбрать определенные грамматические структуры.

· Использовать текст. Вообще в любом уроке CLIL несмотря на то, что задействованы все аспекты изучения языка, особое внимание уделяется чтению и аудированию, т.к. они предполагают использование готовых текстов по определенной тематике (книжных, журнальных статей, статей из интернета и т.д.), в которых и представлена вся информация. Именно эти тексты определяют выбор лексики и грамматических структур.

Следующий важный шаг в разработке уроков CLIL это графический органайзер. «Графические» (синоним визуальные) органайзеры представляют собой инструментарий письменной коммуникации, использующий графическую нотацию для репрезентации знаний, концепций, идей, а также взаимосвязей и отношений между ними. Как дидактическое средство, выполняющее иллюстративную, коммуникативную и когнитивную функции, графические органайзеры применяются не только в качестве носителя информации, но и для поддержки деятельности обучающихся при планировании образовательных проектов, решении проблем, принятии решений, проведении исследований.

Существуют разные виды графических органайзеров. Они, во-первых, подразделяются на последовательные органайзеры (шкалы времени, блоковые диаграммы), графические сравнения и сопоставления (диаграммы с логическими взаимосвязями), иерархические органайзеры (пирамидальные диаграммы, диаграммы деревья и так далее), концептуальные органайзеры (концепт карты). То есть цель со стороны учителя визуализировать всю полученную информацию, чтобы студенты смогли проанализировать ее, опираться на данную визуализацию при повторении материала, при подготовке домашнего задания и так далее. Шестой шаг -- использовать информацию креативно. Это может быть связано непосредственно с домашним заданием, или выполнению на уроке в зависимости от времени. Здесь имеются в виду различные письменные и устные задания. Проекты, кейсы, эссе -- то есть все, что позволит студентам персонализировать информацию, что естественно, с точки зрения психологии, позволит усвоить информацию еще лучше» [14].

Стоит отметить, что и у данной методики есть своя качественная градация -- это разделение на Soft и Hard-CLIL, которое было корректно охарактеризовано в статье М.Н. Скачковой «Особенности реализации предметно-языкового интегрированного подхода в процессе обучения иностранному языку».

«Также в зарубежной научно-методической литературе часто встречаются такие понятия как «hard» и «soft» CLIL. При реализации «мягкой» (soft) версии CLIL учебный процесс ориентируется на иностранный язык, его изучение становится одной из основных задач. Данная модель предполагает, что преподаватели языковых предметов преподносят материал через какой-либо научный или профессиональный контекст. Внедрение же «твердой» (hard) версии CLIL ставит перед учителем двойную цель: обучение содержанию самого предмета и обучение академическому языку. Обе концепции достаточно успешно применяются в образовательных учреждениях сегодня, но для того, чтобы соответствовать требованиям предметно-языкового интегрированного подхода, преподавателю иностранного языка, либо же преподавателю того или иного предмета необходимо внести изменения в свои методологические принципы работы» [14].

Из этого следует, что методика Hard-CLIL соответствует необходимым для использования в полиязычной среде принципами, отвечающими потребностям концепции данного учебного пособия, и может быть успешно реализована для преподавания математики.

Вопрос интегрирования полиязычия в школьные предметы рассматривали и по сей день рассматривают многие зарубежные и отечественные ученые. Следует отметить два основных направления в развитии профессионально-языковой компетентности учителя математики в условиях полиязычного образования. Это сам предмет математики и фактор иностранного языка в преподавании предмета.

Для более детального рассмотрения следует изучить вопрос влияния предмета математики на человека и иностранного языка по отдельности, а затем в совокупности.

Следующим важным фактором данной образовательной методики является критическое мышление, которое является основным фактором при решении математических задач, в частности в полиязычной среде обучения.



1. Методические основы для развития профессионально-языковой компетентности учителя математики в условиях полиязычного образования

Методической основой для увеличения прогресса профессионального уровня преподавания учителя математики является решение и разбор задач профессионального характера, направленных на развитие знаний академического английского языка обучения в предмете математики.

Следующим важным фактором является внедрение навыков критического мышления в процесс преподавания математики на английском языке. Что подразумевает в себя подробный разбор заданий, выделение фактически значимого контента на иностранном языке, несущего наибольшую смысловую нагрузку.

Далее следует рассматривать актуальность задания в сравнении с заданиями международных систем оценки знаний учащихся.

Для того чтобы эффективно работать с заданиями на английском языке можно разделить сам процесс решения на несколько ключевых этапов:

· Теоретические знания темы;

· Анализ условия задания;

· Поиск подходящего решения;

· Оформление решения.

Рассмотрим пример задания:

How many solutions it has?

Для начала нужно обратиться к теоретическим знаниям по теме решений квадратных уравнений:

A quadratic equation in standard form,



Where a, b and c are constants and a ? 0, we can use the quadratic formula,

,

to find the solutions of the equation.

The discriminant of a quadratic equation is , the quantity under the square root sigh in the quadratic formula.

Discriminant =

If the discriminant is greater than 0, the quadratic equation has 2 real solutions.

If the discriminant is equal to 0, the quadratic equation has 1 real solution.

If the discriminant is less than 0, the quadratic equation has 0 real solutions. (Instead of real solutions, the quadratic equation has 2 imaginary solutions).

Далее следует перейти к непосредственному решению данного примера:

From the equation we see:

a = 3, b = - 4 and c = -5.

Plugging these values into the discriminant, we get:

This is positive number, so the quadratic equation has two solutions.

Как видно из решения данной задачи, основной сложностью при решении задач по математике на английском языке является необходимым критический минимум знаний академического английского языка и выделение ключевых факторов в задании на основании критического анализа условия задачи.

Далее обратимся к некоторым из приемов и технологий развития критического мышления, с помощью которых возможно быстрое и качественное обучение академическому английскому языку в предмете «Математика».

1. Прием «Keywords» / «Ключевые слова».

Для начала следует рассмотреть состав английских слов, относящихся к специфике предмета математики:

Quadratic	[ kw??'drжt?k ]	квадратичный
Equation	[ ??kwe??n ]	уравнение
Square	[ Skwer ]	квадратный
Quantity	[ ?kw??nt?t? ]	количество/величина
Instead	[ ?n?sted ]	вместо
Imaginary	[ ?'mжd??ner? ]	воображаемый/мнимый
Plugging (to plug)	[ ?pl???? ]	вставлять

Далее следует идентифицировать либо глагол и наречие, либо вопрос, который характеризует логический смысл задания, так как в английском языке вопросительная форма предложения формируется путем постановки глагола в начале предложения, либо вспомогательными вопросительными частями речи, например:

1) How many solutions it has?

2) Solve the following quadratic equation by graphing

В первом случае необходимо найти все решения уравнения, тогда как во втором, необходимо решить уравнение графическим способом. Эти же слова являются ключевыми при работе с учащимися, а конкретней: при процессе постановки вопроса учащемуся, при лекционном занятии, а также при объяснении решения.

2. Прием «What do I know»/«Что я знаю».

1. Quadratic equation.

2. «What do I know about this topic or I suppose that I know?» / «Что я знаю по теме занятия или мне кажется, что я знаю?» (3 minutes)

3. Обсуждение с партнером или с группой своих знаний.

What I know	What I suppose that I know
Method of finding the roots.	Parabola
Discriminant	Solution, when x = 0
Solution, when x > 0	Solution, when x < 0

3. Прием «Insert» / «Инсерт».

Таблица «Quadratic equation»

«V»	«+»	«--»	«?»
поставьте «V» (да) на полях, если то, что вы читаете, соответствует тому, что вы знаете, или думали, что знаете	поставьте «+» (плюс) на полях, если то, что вы читаете, является для вас новым	поставьте «--» (минус), на полях, если то, что вы читаете, противоречит тому, что вы уже знали, или думали, что знаете	поставьте «?» на полях, если то, что вы читаете, непонятно, или же вы хотели бы получить более подробные сведения по данному вопросу

Milepost	Insert	Notes
Quadratic equation	V	I know what quadratic equation is and I know how to find the roots of quadratic equation.
Disciminant	V	I can find the discriminant of quadratic equation.
Solutions if x > 0	+	When x > 0 than we got 2 roots.
Solutions if x = 0	?	Need to explain.
Solutions if x < 0	?	Need to explain.
Graphical solution	--	I don't understand.
Parabola	--	I don't understand.

4. Прием «Know/Want/Need».

Данный прием следует рассматривать как альтернативный метод рефлексии с учащимися вместо приема «Insert», для более подробного анализа академических потребностей учащихся, а также как опрос по проблемным моментам для выявления более продуктивной формы обучения или способа изложения материала.

Know	Want	Need
Quadratic equation	Solutions if x > 0	Graphical solution
Disciminant	Solutions if x = 0	Parabola
	Solutions if x < 0

Так как уровень критического мышления у всех учащихся различен, преподавателю следует рассматривать задания по его развитию и использовать их в качестве одной из составляющих идеи урока. Так как навык анализа является ключевым в математике, следует рассматривать задания, развивающие научный подход к решению, анализу, синтезу, предложению гипотезу и их опровержению.

Подобные задания являются схожими с задачами на логическое мышление на олимпиадах по математике. Они требуют от учащегося подвергнуть условие задачи тщательному анализу и прийти к единственно верному ответу. Например, «геометрические софизмы построены на ошибках, связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними.



Задача 1. Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.

Пусть в окружности приведен диаметр АВ. Через точку В проведем любую хорду ВЕ, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АС. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим ? АВD и ?ЕDС. В этих треугольниках: ВD = DЕ (по построению), А = Е (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, ВDА= ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, ?ВDА= ?ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому, АВ=ЕС.

По теореме о признаке равенства треугольника - если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. А в нашем случае, А не прилежит к стороне ВD.

Ошибка: Ошибка заключается в неправильном применении теоремы о равенстве треугольников (равны 2 угла, не прилежащие к одной стороне)» [15].

Задача 2. На острове, население которого составляют только рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут, находится НИИ. Каждый из его сотрудников однажды сделал два заявления:а) В институте нет и десяти человек, которые работают больше меня.б) По крайней мере сто человек в институте получают зарплату большую, чем моя.

Известно, что нагрузка у всех работников разная, как и зарплата. Сколько человек работает в НИИ?

Такие задания часто рассматриваются и в предмете критического мышления, а в совокупности с фактором полиязычного обучения требуют от учащегося постоянного роста уровня английского языка в техническом направлении.

Например,

Exercise 1. There are given two statements:

1. That all translators know English on the excellent level.

2. Some writers are translators.

Which of conclusions are right?

а) Some writers know English on the excellent level.

Да

Нет

б) All writers know English on the excellent level.

Да

Нет

Justification of the answer ______________________________________

____________________________________________________________

Keywords

Statements	[ ste?tm?nts ]	Утверждения
Conclusions	[ k?n?klu???n ]	Выводы
Justification	[ ??st?f??ke??n ]	Обоснование
Some	[ s?m ]	Некоторые
All	[ ??l ]	Все



Exercise 2. «A manufacturer wishes to make an open-topped box out of the piece of cardboard shown below by folding up its sides. What is the volume of this box in cubic centimetres?» [16].

A 1600 B 2400 C 8000 D 10125 E 12500

Exercise 3. «The government blames schools and teachers for boys underperforming. However, science tells a different story. Evolutionary biology shows that females have evolved to have better verbal and emotional skills than males because of the need in prehistoric times for women to take the lead in bringing up children. By contrast, the need for males in prehistoric times to hunt in packs for food has made males more prone to violence and also skilled at calculating and planning. Neurologists have added to this insight by showing that the male hormone testosterone has an adverse impact on language skills. So clearly differences in educational performance between boys and girls cannot be explained in terms of failing teachers. Which one of the following is the best statement of the flaw in the above argument?

A It assumes that scientific explanations apply to the average male or female, ignoring exceptions.

B It assumes that biological differences come in degrees and are not absolute.

C It assumes that skills in calculating and planning have a role in educational performance.

D It assumes that the differences in performance between the sexes are due solely to biological differences.

E It assumes that teachers are not trying to improve the performance of failing boys».

Также стоит обратить внимание на то, что выделение «ключевых слов» является важным навыком и основой при решении задач на критическое мышление, в дополнении к этому являясь чаще всего являясь необходимыми к дополнительному изучению на английском языке.

В данном случае весь методический и практический материал необходимо составлять по технологии Hard-CLIL, для того чтобы обучающийся был полностью погружен в углубленное изучение английского языка и математики, но, тем не менее, преподавателю необходимо устно работать с аудиторией по методике Soft-CLIL, для того чтобы объяснять непонятные моменты.

Для выявления методических требований к программе развития профессионально-языковой компетентности учителя математики в условиях полиязычного образования, необходимо опираться на предыдущие тезисы, которые, в совокупности, помогут определить необходимые критерии и факторы.

Программа курса «Развитие профессионально-языковой компетентности учителя математики в условиях полиязычного образования» должна отвечать требованиям международных экзаменационных стандартов систем оценки качества знаний обучающихся техническим предметам на иностранном языке.

По официальным данным «College board», большая часть методического материала SAT направлена на задания с множественным выбором, но часть из них ориентирована на нахождение конкретного ответа на поставленный вопрос. Также материал разделен на условно «Calculator» и «No Calculator» и некоторые из них являются однотипными.

«Quick Facts

· Most math questions will be multiple choice, but some--called grid-ins--ask you to come up with the answer rather than select the answer.

· The Math Test is divided into two portions: Math Test-Calculator and Math Test-No Calculator.

· Some parts of the test include several questions about a single scenario» [17]. Также следует заметить, что «The SAT Math Test» можно условно разделить на три основных направления: «Heart of Algebra», «Problem solving and Data Analysis» и «Passport to Advanced Math». «The Math Test will focus in depth on the three areas of math that play the biggest role in a wide range of college majors and careers:

· «Heart of Algebra», which focuses on the mastery of linear equations and systems.

· «Problem Solving and Data Analysis», which is about being quantitatively literate.

· «Passport to Advanced Math», which features questions that require the manipulation of complex equations» [18].

Подобная методика ориентирована на выявление таких критериев как:

· Способность выполнять процессы гибко, точно, эффективно и стратегически правильно.

· Быстро решать поставленные задачи, определяя и используя наиболее эффективные подходы к их решению, путем проверки, поиска наикратчайшего пути или реорганизации предоставленной информации.

По аналогии с «SAT», программа развития профессионально-языковой компетентности учителей математики в условиях полиязычного образования должна отвечать всем необходимым стандартам и требованиям, а также быть ориентированной на аудиторию, не являющуюся носителями иностранного языка.

Исходя из текущих уровней знания английского языка, пользователей можно условно разделить на несколько уровней:

«По шкале CEFR:

A -- Элементарное владение (Basic User):

A1 -- Уровень выживания (Survival Level -- Beginner и Elementary)

A2 -- Предпороговый уровень (Waystage -- Pre-Intermediate)

B -- Самостоятельное владение (Independent User):

B1 -- Пороговый уровень (Threshold -- Intermediate)

B2 -- Пороговый продвинутый уровень (Vantage -- Upper-Intermediate)

C -- Свободное владение (Proficient User):

C1 -- Уровень профессионального владения (Effective Operational Proficiency -- Advanced)

C2 -- Уровень владения в совершенстве (Mastery -- Proficiency)» [25]. Стоит отметить, что данная программа рассчитана на аудиторию, владеющую английским языком на уровне B1 и выше, позволяя улучшить не только свои знания в вербальном техническом направлении языка, но и в решении задач профессионального характера на иностранном языке.

Ниже представлены темы, которые будут представлены в данном учебном пособии, включающие в себя краткий теоретический экскурс и набор необходимых заданий для усвоения материала.

Mathematics

1. The Number Line

2. Trichotomy Law

3. Absolute Value

4. Addition, Subtraction, Multiplication, Division

5. Integers

6. Exponent and Roots

7. Laws of Exponents

8. Squares and Square Roots

9. Logarithms

10. Change of Base Formula

11. Law of Logarithms

12. Distributive Law

13. Fraction, Decimals and Percents

14. Operations with Fractions

15. Operations with Mixed Numbers

16. Complex Fractions

17. Percents

18. Percent Increase and Decrease

19. Ratios and Proportions

20. Proportions

Algebra

1. Polynomials

2. Algebraic Fractions

3. Equations and Inequalities

4. Absolute Value, Radical, Fractional Equations and Inequalities

5. Quadratic Equations

6. Quadratic Formula

7. Exponential Equations

8. System of Linear Equations

9. The Addition Method

10. The Substitution Method

11. The Graphing Method

12. Solving Linear-Quadratic Systems

13. Word Problems

14. Rate Problems

15. Age Problems

16. Percent Problems

Plane Geometry

1. Lines and angles

2. Angles

3. Perpendicular and Parallel Lines

4. Triangles

5. Sides and Angles of a Triangle

6. Right Triangles

7. Pythagorean theorems and corollaries

8. Special right triangles

9. Perimeter and Area

10. Triangle inequality

11. Similar triangles

12. Quadrilaterals and Other Polygons

13. The angles of a Polygon

14. Special Quadrilaterals

15. Perimeter and Area of Quadrilaterals

16. Areas

17. Circles

18. Circumference and Area

19. Tangents to a Circle

THE NUMBER LINE

The word numbers always mean real number, a number that can be represented by a point on the number line.

A positive number is a number that lies to the right of 0 on the number line. A negative number lies to the left of 0 on the number line.

TRICHOTOMY LAW

For any real number a, exactly one of the following statements is true.

· a is negative

· a = 0

· a is positive

ABSOLUTE VALUE

The absolute value of a number a, denoted |a|, is the distance between a and 0 on the number line. Since 4 is 4 units to the right of 0 on the number line and -4 is 4 units to the left of 0, both have an absolute value of 4:

· |4| = 4

· |-4| = 4

Since 4 and -4 are the only numbers that are 4 from 0, if |x| = 4, then x = 4 or x = - 4. If |x| < 4, then x is less than 4 units from, which means - 4 < x < 4. If |x| > 4, then x is more than 4 units from 0, which means either that x < - 4 or x > 4.

Addition, Subtraction, Multiplication, Division

For any real numbers a and b:

· If either a or b is 0, then ab = 0;

· If ab = 0, then a = 0 or b = 0;

· If a and b are both negative, ab and are positive;

· If a and b are both negative, ab and are positive;

· If either a or b is positive and the other is negative ab and are negative;

· If both a and b are positive, a + b is positive;

· If both a and b are negative, a + b is negative;

· If either a or b is positive and the other is negative, a + b has the same sign as the number whose absolute value is greater;

· To evaluate a - b, write is as a + (-b) and use the above rules for addition.



Key words

represent	[?repr??zent]	представлять
trichotomy	[tra??k?t?mi ]	деление на три части
value	['vжlju? ]	значение
denoted	[d??n??t?d]	обозначается
addition	[ ??d??n ]	дополнение
subtraction	[s?b'trжk?n ]	вычитание
multiplication	[m?lt?pl??ke??n ]	умножение
division	[d??v???n] ]	деление
evaluate	[ ?'vжlj?e?t ]	оценивать
statements	[ ste?tm?nt ]	высказывание

Integers

The numbers in the set {…, -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4,…} are called integers.

Consecutive integers are two or more integers written in sequence in which each integer is 1 more than preceding one.

For example:

· 3,4

· 15, 16, 17, 18,

· -3, -2, -1, 0, 1, 2

· n, n + 1, n + 2, n + 3, …

The sum, difference, and product of two integers is always an integer. The quotient of two integers may or may not be an integer. The quotient 86ч10 can be expressed as , 8, 8.6. You can also say that the quotient is 8 and the remainder is 6.

If m and n are integers, the following four terms are synonymous:

m is a divisor of nm is a factor of n

n is divisible by mn is a multiple of m

They all mean that when n is divided by m, there is no remainder (or, more precisely, the remainder is 0). For example:

4 is a divisor of 124 is a factor of 12

12 is a divisible of 412 is a multiple of 4

If m and n are positive integers and if r is the remainder when n is divided by m, then n is r more than a multiple of m. That is, n = mq + r where q is an integer and 0 ? r ? m.

The factors of 12: -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 12

The multiples of 12: …, - 48, -36, -24, -12, 0, 12, 24, 36, 48, …

Every integer has a finite set of factors (or divisors) and an infinite set of multiples.

Example: To find the factorization of 180 as a product of any two factors; then write any of those factors that are not prime as a product of two factors. Continue this process until all the factors. Continue this process until all the factors listed are prime.

180 = 18 10 = (92) (52) = 33252

This factorization is usually written with the primes in increasing order:

180 =

The least common multiple (LCM) of two or more integers is the smallest positive integer that is a multiple of each of them.

In addition, every integer than 1 that is not a prime can be written as a product of primes.

The product of the GCF (greatest common factor) and LCM (least common multiple) of any two positive integers is equal to the product if the two integers.

For any integers m and n:

· If either m or n is even, then mn is even.

· If both m and n are odd, then mn is odd.

· If m and n are both even or both odd, then m+n and m-n are even.

· If either m or n is even and the other is odd, then m+n and m-n are odd.



Key words

consecutive	k?n?sekj?t?v	последовательный
sequence	si?kw?ns	последовательность
quotient	?kw???nt	коэффициент
integer	?nt???	целое число
expressed	?k?sprest	выраженный
remainder	r??me?nd?	остаток
divisor	d??va?z?	делитель
factor	fжkt?	множитель
divisible	d??v?z?bl	делимое
multiple	m?lt?pl	произведение
finite	a?na?t	конечный
infinite	?nf?n?t	бесконечный
primes	pra?m	простые числа
GCF		НОД
LCM		НОК
factorization	fжkt?ra?'ze??n	декомпозиция на множители
even	i?v?n	четное
odd	?d	нечетное

Exponents and roots

In the expression , which is read “b to the nth”, or “b raised to the nth power”, b is called the base and n is called the exponent.

For any number b and positive integer n:

· If b ? 0, then

·

· If n > 1, then where b is a factor n times

·

For example,

·

·

·

·

·

LAWS OF EXPONENTS

For any numbers b and c and integers m and n:

SQUARES AND SQUARE ROOTS

Although can be read “a to the second,” it is usually read “a squared.” You will see 2 as an exponent in many formulas. For example:

· A= (the area of a square)

· A=р (the area of a circle)

· (the Pythagorean theorem)

· ' =(x--y)Ч(x+ y) (factoring the difference of two squares)

Numbers that are the squares of integers are called perfect squares. You should recognize at least the squares of the integers from 0 through 15.

Of course if you need to evaluate, you can use your calculator. However, it is often helpful to recognize these perfect squares. That way, if you see 169, you will immediately think “that is .”

Two numbers, 5 and --5, satisfy the equation = 25. The positive one, 5, is called the square root of 25 and is denoted by the symbol . Clearly, each perfect square has a square root: 0 = 0, (25 =5, 100 = 10, and 169 = 13. However, it is an important fact that every positive number has a square root.

For any positive number a, there is a positive number 6 that satisfies the equation = a.

That number, b, is called the square root of a and is written a. So,

· for any positive number a, a·a= (= a

· for any positive numbers a and b:

· .

For example, .

The expression is often read “a cubed”. Numbers that are the cubes of integers are called perfect cubes. You should memorize the perfect cubes in the following table.

	0	1	2	3	4	5	6	10
	0	1	8	27	64	125	216	1000

The only other powers you should recognize immediately are the powers of 2 up to .

	0	1	2	3	4	5
	1	2	4	8	16	32

In the same way that we write b = to indicate that :

We write to indicate that and call b the cube root of a.

We write to indicate that and call b the fourth root of a.

For any integer n ? 2, we write to indicate that and call b the nth root of a.

For example:

· because

·

· because

For any real number a and integer n ? 2:

· If n is odd, then is the unique real number x that satisfies the equation .

· If n is even and a is a positive, then is the unique positive number x that satisfies the equation .

For any positive number b and positive integers n and m with n ? 2:

·

·

For example:

Logarithms

Recall the statement is usually read as “2 to the 4^th power equals 16”. Another way to read this stresses the role of the exponent 4: “4 is the exponent to which the base 2 must be raised to equal 16”. Mathematicians have a special word for this exponent - logarithm. The statement is equivalent to the statement , which is read, “the base 2 logarithm of 16 is 4”.

If b is a positive number not equal to 1 and x > 0,

if and only if

For example:

Change of base formula



Laws of logarithms

For any positive base b and any positive numbers x,y and n:

(In particular, and )

For example,

if

=

= 3

=

Distributive law

For any real numbers a, b, c, and d where d :

a(b + c)=ab + aca(b - c) = ab - ac

Key words

recognize	rek?gna?z	распознать
immediately	??mi?d??tl?	немедленно
indicate	?nd?ke?t	указывать
statement	ste?tm?nt	утверждение
satisfies	sжt?sfa?	удовлетворяет
stresses	stresses	подчеркивает
In particular	?n p??t?kj?l?	в частности

Fractions, Decimals and Percents

Numbers such as in which one integer is written over a second integer called fractions.

The center line is called the fraction bar. The integer above the fraction bar is called numerator, and the integer below the fraction bar is called the denominator.

When a number is actually written as we can call it a fraction.

For example, of 4, 0.7, 0.222, …20%, and , only is a fraction.

Numbers that cannot be expressed as fractions are called irrational numbers. Any nonterminating, nonrepeating decimal is an irrational number.

A fraction is in lowest terms if no single positive integer greater than 1 is a factor of both the numerator and denominator. For example, is in lowest terms since no integer greater than 1 is a factor of both 8 and 15; but is not in lowest terms since 2 is a factor of both 8 and 18.

Every fraction can be reduced to lowest terms by dividing the numerator and the denominator by their greatest common factor (GCF). If the GCF is 1, the fraction is already in lowest terms.

Every fraction can be expressed as a decimal (or a whole nimber) by dividing the numerator by the denominator.

· If a fraction is written in lowest terms and if the only prime factors of the denominator are 2 or 5, the decimal terminates.

· If a fraction is written in lowest terms and if the denominator has any prime factor other than 2 or 5, the decimal repeats.

Example 1.

Since 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, and 40 have no prime factors other than 2 and 5, the decimal equivalents of each of the following fractions terminate:

Example 2.

Since 6, 7, 9, 12 and 22 all have prime factors other than 2 and 5 (6, 9 and 12 are multiples of 3; 7 is a multiple of 7, and 22 is a multiple of 11), the decimal equivalents of each of the following fractions repeat:

….

….

….

….

To complete and , cross multiply.

If ad =bc, then

If ad > bc, then

If ad < bc, then

Operations with Fractions

To multiply two fractions, multiply their numerators and multiply their denominators.

=

To multiply a fraction by any other number, write that number as a fraction whose denominator is 1:

Before multiplying fractions, reduce. You may reduce by dividing any numerator and any denominator by a common factor.

When a problem requires you to find a fraction of a number, multiply. Since a percent is just a fraction whose denominator is 100, you also multiply to find a percent of a number.

Example.

If of the 840 students at Monroe High School are freshmen and if 30% of the freshmen play musical instruments, how many freshmen play musical instruments?

There are freshmen. Of these, 30% play an instrument:

30% of 240=

The reciprocal of any nonzero number, x, is the number . The reciprocal of the fraction is the fraction .

To divide any number by a fraction, multiply that number by the reciprocal of the fraction.

20ч

To add or subtract fractions with the same denominator, add or subtract the numerators and keep the denominator.

and

To add or subtract fractions with different denominators, first rewrite the fractions as equivalent fractions with the same denominators.

If is the fraction of the whole that satisfies some property, then is the fraction of the whole that does not satisfy it.

Example.

In a jar, of the marbles are red, are white, and are blue. What fraction of the marbles are neither red, white nor blue?

Solution.

The red, white and blue marbles constitute

of the total

So, of the marbles are neither red, white, nor blue.

Key words.

fraction	frжk?n	дробь
bar	b??	строка
denominator	d??n?m?ne?t?	знаменатель
numerator	nju?m?re?t?	числитель
expressed	?k?sprest	выраженный
nonterminating	n?nt??.m?.ne?tin	непрекращающийся
nonrepeating	n?nr??pi?tin	неповторяющийся
decimal	des.?.m?l	десятичная
lowest terms	l???st t??mz	низшая степень
reduced	r??dju?st	сниженный
dividing	d??va?d??	разделенный
prime	pra?m	главный/основной
cross	kr?s	накрест
freshman	fre?m?n	первокурсник
reciprocal	r??s?pr?k?l	взаимно
subtract	s?b'trжkt	вычитать
property	pr?p?t?	cвойство
marbles	m??bls	шарики
neither/ nor	na?р?	ни тот



Operations with mixed numbers

A mixed numbers is a number such as 3 that consists of an integer followed by a fraction. It is an abbreviation for the sum of the integer and the fraction; so 3.

Complex fractions

A complex fraction is a fraction, such as or , that has a fraction in its numerator, denominator, or both.

A complex fraction can be satisfied in two ways: (i) multiply every term in the numerator and denominator by the least common multiple of all the denominators that appear in the fraction or (ii) simplify the numerator and the denominator and then div...