Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Учреждение образования

Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка

Физико-математический факультет

Кафедра математики и методики преподавания математики

Специальность «Математика и информатика»

Курсовая работа

Тема:

Функции в природе и технике

Выполнила: Иванова В.О.

Студентка 3 курса группы 240217

Научный руководитель:

к. ф.-м. н., доцент Э.В. Шалик

Минск, 2020



Оглавление

• Введение
• Глава 1. Теоретические основы изучения функции
• 1.1 Различные подходы к определению функции
• 1.2 История формирования «функции» природой
• 1.3 Функции, их графики и методика изучения
• Глава 2. Практическое применение функциональных зависимостей
• 2.1 Функции в технике и физике
• 2.2 Функции в природе
• Заключение
• Список используемой литературы


Введение

Функция является одним из основных понятий математики. Люди использовали функциональные зависимости, сами того не осознавая, еще в древние времена. В большинстве наук используются математические функции, для описания каких-либо явлений, закономерностей и законов.

Функциональная линия одна из важнейших в школьной программе. Понятие функции изучается на уроках математики, на уроках биологии, химии, физики и информатики ученики пользуются этим понятием для описания конкретных процессов. Значимость изучения функциональных зависимостей требует от педагогов четкого понимания роли сформированности понятия функции у обучающихся.

Данная работа является актуальной, в связи с тем, что в ней функция рассматривается не как абстрактный математический объект, а как важнейший инструмент для описания процессов действительность.

Цель исследования - теоретически обосновать и подтвердить практическими примерами значимость изучения функциональных зависимостей.

Задачи исследования:

1. Раскрыть сущность понятий «функция», «виды функций», «графики функций».

2. Выявить использование функций в технических устройствах и описании природных явлений.

3. Определить задачи, позволяющие применять полученную информацию на уроках математики, с целью укрепления межпредметных связей.

Объект исследования - функции.

Предмет исследования - использование функций для описания явлений природы, механизма работы некоторых технических приборов.



Методы исследования:

1. Изучение научной литературы.

2. Анализ и синтез полученной информации.

3. Обобщение и систематизация данных.

Теоретическая значимость исследования состоит в анализе и систематизации применения функциональной зависимости в природе и технике.

Практическая значимость исследования состоит в том, что представленный теоретический и практический материал исследования может быть использован студентами педагогических учебных заведений, учителями для проведения уроков математики, способствующих формированию необходимых компетенций у обучающихся.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы. В первой главе рассматриваются такие проблемы, как возникновение понятия функции, связь природы и техники с функциональным анализом. Во второй главе на конкретных примерах иллюстрируются использование функций для описания явлений природы и технического устройства некоторых приборов.



Глава 1. Теоретические основы изучения функции

1.1 Различные подходы к определению функции

Что есть функция? Вопрос, которым задаются не только начинающие математики и физики, но и люди, совершенно не связанные с точными науками.

Согласно словарю Ожегова у понятия функции большое число трактовок.

Начнем с одной из старейших наук, а именно - философии. Функция в философии - это «явление, зависящее от другого и изменяющееся по мере изменения этого другого явления» [2].

В биологии функция определена во многих отношениях. К примеру, в физиологии, функция представляет собой деятельность или процесс, осуществляемый с помощью системы в организме.

Функция в обще употребляемом смысле - это обязанность, круг деятельности того или иного человека. Например, служебные функции, функции профкома [2].

Функции так же находят широкое применение в экономической теории и практике. Экономика использует широкий спектр функций: от простейших линейных, до функций, получаемых с помощью рекуррентных соотношений. Например, кривые спроса и предложения.

Так чем же является функция в математике?

Говорят, что на множестве X имеется функция (отображение, операция, оператор) f со значениями из множества Y, если каждому элементу x из множества X по правилу f поставлен в соответствие некоторый элемент y из множества Y. [5]

Очевидно, что каждая из наук использует хотя бы одно определение функции. Но есть сферы деятельности человека, которые никак не могут обойтись без функциональных зависимостей. Как представить себе изучение физиками колебаний, без изучения синусоиды? Или изучения распада и полураспада? А возможно ли вообще представить законы природы и техники, без функций?

В дальнейшем, под функциональной зависимостью будем понимать следующее:

«Функциональная зависимость одной величины (у) от другой (х) означает, что каждому значению х соответствует определенное значение у.

Величина х при этом называется независимой переменной, у - функцией этой переменной.» (Рисунок 1.1) [4].

Рисунок 1.1

1.2 История формирования «функции» природой

Ещё до того, как люди ввели само понятие «функция», они использовали его, не осознавая этого. Понимание того, что чем большую силу ты приложишь, чтобы метнуть копье, тем дальше оно полетит. Чем больше костер развести в пещере, тем теплее там будет. Чем большего мамонта поймать, тем дольше будешь сыт [3].

Затем, с развитием земледелия и скотоводства, людям пришлось замечать зависимости между поливом и количеством урожая, и оперировать понятиями «больше», «меньше».

На следующей ступени развития люди стали развивать ремесло и обмен того, чего у них «больше», на то, чего им не хватает. Таким образом появились более сложные зависимости. За глиняный горшок нужно отдать две корзины ягод, то есть за три таких горшка нужно отдать шесть корзин.

С появлением поселений и цивилизаций зависимости становились все более сложными. Для построения одной египетской пирамиды, нужно было высчитать необходимое количество камня, а также человеческий ресурс, и время, которое будет затрачено. Всем этим занимались писцы. Из поколения в поколение передавались способы решения задач, и чем быстрее писцы с этим справлялись, тем большим уважением пользовались [3].

Но не только Древний Египет развивался в математике. В Вавилоне, «первом мегаполисе», для упрощения своих вычислений, стали создавать таблицы обратных чисел, квадратов чисел, а также таблицы сложения и умножения, что позволяло им рассчитывать длину гипотенузы, зная длинны катетов. Что по сути является нахождением значения функции, зная значения аргумента.

Наука Древней Греции отличалась от Египта и Вавилона. Здесь впервые появились учёные, которые изучали математику как науку. Они решали задачи на построения и смотрели за изменениями количеств решения задачи, в зависимости от изменений входящих данных. Но так и не создали общего понятия функции [3].

Вопросами практической математики в Греции в большей степени занимались астрономы. Уже в то время астрономами были заложены основы сферической тригонометрии. Чтобы решать тригонометрические задачи, пришлось составить таблицы зависимости между длинной хорды и величиной, стягиваемой ею дуги. В общем случае, это уже были таблицы функции y = sin x [3].

Следующая важнейшая ступень к понятию функции - это графики. В 14 веке началось исследование общих зависимостей, вся средневековая наука была словесной, опирающейся на высказывания древних философов и цитаты из религиозных книг. Николай Оресм (французский учёный того времени) первым стал изображать различные интенсивности отрезками различной длинны. Располагая данные отрезки перпендикулярно некоторой прямой и соединяя их другие концы, он получал линию, которую называл «линией интенсивности» или «линией верхнего края». Тем самым, он стал первым математиком, который построил графики функций. Ещё одним важным его достижением была попытка классификации полученных графиков на три группы: равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (скорость изменения интенсивности постоянна), неравномерные (все, не вошедшие в две другие группы). В работах данного ученого так же были совершены попытки дать определение мгновенной скорости и ускорения [3].

Идеи Орсема обгоняли тот уровень науки, в котором он находился, но для дальнейшего развития необходимо было выражать зависимости не только графически, но и буквенно. Так в 16 веке начала зарождаться буквенная алгебра [3].

Каким же образом и зачем возникло понятие переменной величины? Данное понятие было введено в математику французским философом и ученым Рене Декартом. Декарт решил убрать пропасть, которая еще со времен древнегреческой математики лежала между геометрией и арифметикой, тем самым объединив две науки в одну. Фридрих Энгельс писал:

«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем» [7].

Термин «функция» (имея тогда очень узкий смысл, речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекциях на оси координат) впервые использовал Лейбниц в 1692 году. Тогда как, Иоганн Бернулли в своем письме к Лейбницу употребил этот термин в более близком смысле к тому, как функция определяется в современной математике, а именно «Функцией переменной величины называется количество, образованное, каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных» [3, 5].

В дальнейшем Эйлер так же дал свое определение для функции «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых» (1751 год), а затем и Лакруа (1806 год), - в очень приближенном к современному виду [3].

Однако, общее определение функции в современной форме, но лишь для числовых функций, было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год). [13].

«Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у» [3].

В конце 20-го века понятие функции выходило за рамки только числовых систем. В начале оно распространилось на векторные функции, затем Фреге ввёл логические функции (1879), а вскоре после появления теории множеств и Дедекинд (1887), и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение [6].

1.3 Функции, их графики и методика изучения

Современные тенденции к усилению функциональной линии в школьной математике требует от учителя понимания исключительной роли функциональной зависимости, выделяющей её из основных математических понятий [9].

1) «Ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в которой воплощены и подвижность, и динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин…

2) это понятие, как ни одно другое, воплощает в себе динамические черты современного математического мышления; именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственно препарированной неподвижности; в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве друг от друга…

3) понятие функциональной зависимости - есть основное понятие высшей математики и поэтому качество подготовки оканчивающих среднюю школу и усвоению курса математики в высшей школе в значительной степени измеряется тем, насколько твёрдо, полно и культурно они свыклись с этим важнейшим понятием.

Представление функциональной зависимости может войти в сознание учащихся как орудие математического мышления только при том условии, что к этому представлению они будут систематически приучаться на протяжении всего курса математики. Это не значит, что общее определение функции следует давать в младших классах, или, что термин «функция» должен навязываться в каждом удобном случае. Никаких абстрактных определений и никаких специальных терминов в младшей и средней школе. Непринуждённо, но в то же время настойчиво и планомерно должно вестись формирование навыков функционального мышления. Об этом учитель должен думать на каждом уроке - в любой теме арифметики, алгебры и геометрии найдётся материал, направляющий учащихся на ту сторону изучаемого вопроса, которую они позднее обозначают как функциональную связь между величинами.

1. Влияние изменений компонент арифметических операций на результат операций (как изменяется одна величина с изменением другой);

2. Буквенные формулы (от скольких и каких величин зависит величина, определяемая данной формулой);

3. Сколько и какие элементы в треугольнике надо знать, чтобы однозначно определить все остальные;

4. Чтобы определить площадь квадрата, достаточно знать длину одного отрезка (сторону или диагональ и т.д.), то же для площади круга. Но чтобы определить площадь прямоугольника или треугольника, нужно знать два или три отрезка.

5. Для определения рационального числа достаточно задать конечную группу цифр, а для иррационального - бесконечное множество;

6. Если в конечной десятичной дроби изменить первую цифру после запятой, то величина дроби измениться заметным образом, а если изменить, например, седьмую, то почти не изменится;

7. При увеличении числа сторон правильного многоугольника внутренний угол его растёт (сначала быстро, потом всё медленнее), а внешний угол убывает.

8. Корень уравнения ax = b, где a ?0, b?0 уменьшается, когда a увеличивается, и увеличивается, когда a уменьшается (то и другое безгранично).

9. Выражение n! очень быстро растёт при возрастании n; 3 n растёт быстрее, чем 2 n, n 2 растёт ещё быстрее.

Эти и многие другие примеры служат пропедевтикой к достаточно осознанному, действенному, а не формальному восприятию нового понятия и связанных с ним представлений и навыков» [12].

В настоящее время, когда существует большое количество школьных пособий, вопрос о наилучшем определении понятия функции по - прежнему стоит остро. У разных авторов под функцией понимают: переменную величину; зависимость, правило, закон, отношение, соответствие, множество пар. В действующих учебниках функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменой y. Данное определение не совершенно, т.к. переменную рассматривают как букву, вместо которой можно подставлять число, словно функция - это зависимость между самими буквами, сам же термин “зависимость” и примеры, которые иллюстрируют в учебнике понятие функции, создают у учащихся впечатление, будто с изменением значений x обязаны меняться и значения y. Хотя, позже в том же классе появляется функция, представленная формулой y = b, в которой вообще нет переменной x. В иных учебных пособиях функцией на множестве Х называется соответствие (правило, закон), по которому для любого х ? Х сопоставляется вполне определённое (единственное) y ? Y. Таким образом, множество Х, по определению задано, но далее рассматриваются задания: найти область определения, т.е. множество Х. Таким образом, следовало бы ввести пояснение, что если множество Х - не задано, то имеется самое широкое множество, на котором данное соответствие имеет смысл, а под E(y) понимается множество всех соответствующих f(x) ?x ? D(f) [9].

Общий план изучения рациональных функций:

1. Рассматривается какая-нибудь задача, решение которой сводится к применению свойств неизвестной учащимся функции. Например, из курса физики известно, что s = s0 +vt. Рассматривается ещё ряд задач, решение которых сводится к подобным функциям.

2. Устанавливается область определения функции, даётся название новой функции.

3. Составляется таблица значений новой функции.

4. На основании аккуратных построений учащиеся высказывают предположения о свойствах этой функции (график, убывание, возрастание, нули функции, область положительных значений, область отрицательных значений, наибольшее, наименьшее значение функции и т. д.)

5. Часть из выявленных свойств обосновывается (на соответствующем уровне строгости), часть остаётся без доказательств, отмечается, что будут доказаны после расширения теоретической базы.

6. Ставятся вопросы к полученному графику (для первоначального усвоения свойств этой функции)

7. Решаются уравнения и неравенства на применение свойств этой функции.

8. Решаются комбинированные уравнения и неравенства (новая функция включается в общий процесс формирования функционального метода, используются её общие и специфические свойства).

Методика изучения линейной функции

Начать следует с задачи, которая приведет к необходимости рассмотрения линейной функции.

Из курса физики известно, что l(t) = l₀ +0,002t формула линейного расширение твердых тел. Известно, что если тело движется прямолинейно и равномерно, то S(t) = S₀ +vt. Скорость движения тела при равноускоренном движении v(t) = v₀ + at. Т. о., многие процессы описываются одинаковыми по форме записи зависимостями между переменными: y = kx+b.

Далее в ходе эвристической беседы устанавливается, что данное выражение действительно является функциональной зависимостью, так как каждому значению переменной х ставится в соответствие единственное значение у [8, 9].

На примере конкретной задачи разбирается способ построения графика, с помощью таблицы, делается вывод о том, что все точки, заданные парами чисел (х,у) лежат на одной прямой, значит графиком линейной функции является прямая, и для её построения достаточно двух различных точек (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.2

В 7-ом классе не проводится доказательство того, что графиком линейной функции служит прямая, однако в 9-ом классе, когда уже определённые свойства мышления сформированы и расширена теоретическая база, можно доказать, что график - есть прямая.

Свойства линейной функции (обсуждаются при повторении в 9- ом классе)

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел D (f): R.

2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел E (f): R. Выразим из уравнения y = kx + b переменную х:

3) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

4) Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев).

a) b ? 0, k = 0, следовательно, y = b - четная;

b) b = 0, k ? 0, следовательно, y = kx - нечетная;

c) b ? 0, k ? 0, следовательно, y = kx + b - функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно, y = 0 - как четная, так и нечетная функция.

5) Функция непериодическая.

6) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Оу - в точке (0;b).

7) Нули функции:

а) k ? 0, x = ;

б) b ? 0, k = 0, то нулей нет

в) k = 0, b = 0, 0 нулей бесконечно много.

8) а) Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k<0.

б) Если k = 0, то E(f) = {b}.

9) При k>0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке .

При k<0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке .

10) Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 - тупой, если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

Квадратичная функция

В некоторых учебных пособиях свойства корней квадратных уравнений, квадратные неравенства, свойства квадратичных функций изучаются в разных разделах курса алгебры. В 8 классе изучаются свойства корней квадратного уравнения, а в 9 - квадратичные функции и квадратные неравенства. Однако, если сначала ознакомить учащихся со свойствами квадратичной функции, то они найдут применение и при решении уравнений и квадратных неравенств.

В других учебниках построение графика и изучение свойств квадратичной функции рассматривается в последовательности:

y = x²;

y = ax²;

y = (х - m)²;

y = (х - m)² + c.

Построение графиков выполняется по точкам для частных случаев.

Свойства изучаются по графику, частично доказываются, формулируется алгоритм построения параболы, далее изучается тема: решение неравенств второй степени.

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

,

где a, b, с - числа. Графиком квадратичной функции является парабола.

Рисунок 1.3

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y = x²

1.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.



2. Множеством значений функции является промежуток

3. Значение функции y = 0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4. Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5. Функция непериодическая.

6. Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) - начало координат.

7. Значение аргумента x = 0 является нулем функции.

8. На промежутке функция убывающая, а на промежутке - возрастающая.

9. Функция принимает положительные значения на множестве, т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Геометрические преобразование графиков функций - одна из содержательных тем школьной математики: она интегрирует различные разделы школьной математики, развивает и углубляет представление о функции, служит пропедевтикой изучения сложных функций, вырабатывает графическую культуру, вызывает интерес к предмету в силу наглядности материала и результативности выполняемых упражнений.

Функциональная линия играет огромную роль в формировании мета предметных компетенций учащихся.

Примеры использования функций в различных школьных предметах:

Физика:

- формулы, описывающие равномерное прямолинейное движение;

s = v t,

х = х0 + нх t

P = mg - вес тела;

p = сgh - давление в жидкости;

U = IR - закон Ома для участка цепи

R = R₀(1+бT) - зависимость сопротивления металлов от температуры;

v = 331+0,6t - скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры

l = l₀(1+at) - линейное расширение твердых тел;

v = v₀ + at - скорость равноускоренного движения.

Биология:

l = l₀+0,4t - рост волос на голове у человека, где l - длина в мм, l0 - первоначальная длина волос в мм, t - количество дней

а = 0,983р+50,6 - зависимость численности сине-зелёных водорослей от концентрации общего фосфора в воде, где а - численность сине-зелёных водорослей, р - концентрация общего фосфора

t = зависимость продолжительности сна t (ч) от возраста человека T (лет) до 18 лет.

География:

S = k s, где S - расстояние на местности, s - расстояние на карте, k - масштаб на карте (На карте города с масштабом 1:80000, что означает, что расстояние на местности в 80000 раз больше, чем расстояние на карте. Получаем линейную зависимость: S = 80000 s [9].

Краткие выводы: изучение и анализ научной литературы позволяет сделать вывод, что понятие функции является основополагающим при изучении различных процессов и явлений и под функцией обычно понимаю некую зависимость одной величины от другой.



Глава 2. Практическое применение функциональных зависимостей

2.1 Функции в технике и физике

Для описания функций, чаще всего, пользуются формулами. В школе изучают случаи, когда эти формулы достаточно простые. К примеру, зависимость площади круга от его радиуса выражается формулой

S = рr².

Силы тока от сопротивления (Закон Ома):

I =

Таким образом, появляется вопрос: встречаются ли на практике, и как часто, зависимости, которые выражаются с помощью сложных функций, например многочленов высших степеней, логарифмической, показательной и тригонометрических функций? Рассмотрим некоторые случаи использование функций в физике и технике [3].

Жесткость балки

Балками в технике называют изгибаемый элемент конструкции, длина которого значительно больше его остальных размеров. Балки широко применяют в конструкциях зданий, сооружений, машин, станков и пр. Изготавливаются балки из металла, железобетона, дерева, полимерных материалов.

Они должны выдержать вес перекрытий и предметов, находящихся в данном сооружении. Под такой тяжестью балки изгибаются. Если они изогнутся слишком сильно, перекрытие может рухнуть. В связи с этим ещё до постройки сооружения необходимо рассчитать какую нагрузку выдержат балки. Такими расчетами занимается особая наука - сопротивление материалов.

Прогиб определенной балки очень сильно зависит от многих факторов. Под одной и той же нагрузкой стальная балка изогнется меньше, чем деревянная, короткая - меньше, чем длинная, толстая - меньше, чем тонкая. Зависимость прогиба балки от материала, из которого она сделана, связана с особой величиной, называемой модулем Юнга.

Модуль Юнга - физическая величина, характеризующая способность материала сопротивляться растяжению, сжатию при упругой деформации. Обозначается большой буквой Е.

Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга.

В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле - как функционал деформируемой среды и процесса.

В Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на квадратный метр или в паскалях. Является одним из модулей упругости.

Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

где:

F - нормальная составляющая силы,

S - площадь поверхности, по которой распределено действие силы,

- длина деформируемого стержня,

- модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина ).

Если из вещества с модулем Юнга Е кг/см² сделать стержень длиной 1м и сечением 1 см² и подвесить к этому стержню гирю в 1 кг, то он вытянется на 1/E м. Например, для стали модуль Юнга равен 2 150 000 кг/см², а для дуба - 105 000 кг/см², то есть в 20 раз меньше.

Чем больше значение модуля Юнга, тем меньше прогиб балки. Поэтому стальные балки прогибаются намного меньше, чем деревянные.

Исследование зависимости прогиба балки от материала, из которого она сделана, - это скорее дело физики, чем математики. Математиков больше интересует зависимость прогиба от длины балки и от размеров и формы ее сечения. А то, что форма сечения влияет на прогиб, легко видеть из простого опыта. Обычную линейку просто согнуть, если она лежит ее плашмя, и трудно, если поставить на ребро.

Такой простой опыт ещё показывает и то, что прогиб зависит не от площади сечения (ведь площадь сечения линейки одна и та же, лежит она плашмя или поставлена на ребро). Оказывается, дело не в площади сечения, а в его моменте инерции. Момент инерции считают так: сечение балки мысленно разрезают на очень тонкие горизонтальные слои и площадь каждого слоя умножают на квадрат расстояния этого слоя от среднего слоя. Сумма этих произведений и дает момент инерции сечения данной балки. Подсчеты показывают, что момент инерции для круглого сечения радиуса R равен

,

а для квадратного сечения со стороной а равен

.

Произведение модуля Юнга на момент инерции сечения балки называют жесткостью балки. Чем больше жесткость, тем труднее изогнуть балку. Можно увеличить жесткость балки, не меняя площади ее сечения. Для этого надо сосредоточить основную массу балки на большом расстоянии от среднего слоя, например, придать сечению форму, изображенную на рисунке (Рисунок 2.1).

Рисунок 2.1

Прогиб балки

Прогиб балки зависит не только от ее жесткости, но и от длины балки, распределения нагрузки на неё, от того, каким образом и сколькими концами балка закреплена в стену, и другие факторы. Для того, чтобы найти наибольший прогиб данной балки, необходимо узнать форму, которую она принимает после изгиба.

Возьмем балку длины l, заделаем оба ее конца в стены и положим на нее равномерно распределенную нагрузку Q. Тогда прогиб у в точке, находящейся на расстоянии х от левого конца балки, выражается формулой:

Отношение называют интенсивностью нагрузки. Чем больше интенсивность нагрузки, тем сильнее изгибается балка.

Ясно, что самый большой прогиб балки будет в середине, т. е. при х = l/2. Он равен y_max = . Значит, если взять две балки из одного и того же материала, с одинаковой формой сечения, но разной длины, и подвергнуть их равномерно распределенной нагрузке, имеющей одну и ту же интенсивность, то длинная балка прогнется сильнее, чем короткая. При этом увеличение длинны балки вдвое, приведет к увеличению прогиба в 16 раз.

Балки, на которые опираются балконы, заделываются в стену лишь одним концом, второй же конец оставляют свободным. Такие балки называются консольными. Форма равномерно нагруженной консольной балки выражается уравнением:

В этом случае наибольший прогиб будет на свободном конце балки, при х = l. Он равен y_max = т. е. в 48 раз больше, чем для такой же балки, оба конца которой заделаны.[3]

Сосредоточенная нагрузка

Форма изогнутой балки зависит и от того, как распределена по ней нагрузка. Возьмем балку, оба конца которой свободно лежат на опорах, а нагрузку Q соберем в одну точку -- середину балки. Тогда форма изогнутой балки будет задаваться не одним, а двумя уравнениями. Для левой половины балки прогиб равен;

у_лев. =

а для правой:

у_пр. =

Наибольший прогиб будет на конце балки.

Число е. Натуральные логарифмы

Перейдем теперь к случаям, когда зависимость выражается показательной функцией. При записи законов физики, связанных с показательной функцией, удобно пользоваться особым числом, которое называется числом е. Это число можно определить следующим образом. Начертим графики функций (Рисунок 2.2) y = a^х при раз­ных значениях основания а. Чем больше это основание, тем круче поднимаются вверх графики [3].

Рисунок 2.2

функция технический процесс природный явление

Эти графики в точке А (0; 1) под разными углами пересекают ось Оу. Например, угол между осью Оу и кривой y = 2^х ра­вен приблизительно 55°15', а для кривой y = 3^х этот угол равен примерно 42°20'. Поэтому найдется такое число е, лежащее между 2 и 3, что кривая у = е^х пересечет ось Оу под углом 45°.

Более точные подсчеты показывают, что число е равно 2,71828... Логарифмы по основа­нию е называются натуральными. Они обозначаются lnx. Если мы знаем десятичный логарифм числа, то его натуральный логарифм можно найти по формуле lnx = lgx/M, где М = 0,43429... - так называемый модуль перехода.

Так где же используют логарифмы физики?

Например, давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону

,

где p₀ - давление на уровне моря,

p - давление на высоте h

H - константа, зависящая от температуры.

Один человек может удержать корабль

Когда корабль подходит к берегу, с него бросают на пристань канат. Здесь канат обматывают несколько раз вокруг столба и таким образом удерживают им корабль. Как же удается одному человеку удержать корабль? Оказывается, ему помогает сила трения. Если обмотать канат один раз вокруг столба, то из-за трения каната о столб можно уравнове­сить силой F₀ силу F, большую, чем F₀, в а раз. Отношение F/F₀ = а зависит от материала, из которого сделаны канат и столб. Например, если канат пеньковый, а столб железный, то a = 3,5. Иными словами, силой в 100 кН можно уравновесить (используя «помощь» силы трения) силу в 350 кН. Каждый новый оборот ка­ната вокруг столба увеличивает отношение сил еще в а раз. Таким образом, если обернуть канат два раза, то отношение удерживаемой и удерживающей сил будет равно а², а если три раза, то F/F₀ = a³. В общем случае, если число оборотов равно х (х может быть не целым числом), то F/F₀ = аx. Если обмотать пеньковый канат вокруг железного столба два раза, то силой в 100 кН можно уравновесить силу примерно в 1,2 Н, а при трехкратном обматывании - силу в 4,2 Н.

Радиоактивный распад вещества

Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени t₀ называется периодом полураспада вещества. Если пройдет еще t₀ лет, то из оставшейся половины распадется еще половина вещества и останется только четверть первоначального количества. Вообще через t лет масса вещества будет равна:

,



где m₀ - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Например, у урана-238 период полураспада равен 4,5 млрд. лет. Значит, за все время существования Земли не распалось еще и половины первоначального запаса урана. А вот у радия период полураспада равен всего 1590 годам. Если бы миллион лет назад вся Земля состояла из радия, то сейчас на ней не осталось бы и одного атома радия. Существует же он лишь потому, что при распаде урана все время появляются новые атомы радия.

Остывание чайника

Вы, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающего воздуха. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Чем больше чайник, тем значение k меньше и тем медленнее он остывает.

Допустим, температура чайника равнялась Т, а температура воздуха Т₀, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой:

,

где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количе­ства воды, которое в нем находится. Медленнее всего остывает шарообразный чайник. Так как для заданного объема шар имеет наименьшую площадь поверхности, то и площадь, на которой происходит теплопередача.

Почему парашютист падает равномерно

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти опреде­ленной величины.

Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F = -kv, то через t секунд скорость падения будет равна:

(m - масса парашютиста). По прошествии некоторого времени станет очень малым числом и скорость падения будет почти в точности равна , т.е. падение станет равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от плотности воздуха, размеров парашюта, площади падающего и т.д.

Написанная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т. д. Из нее видно, что чем меньше отношение mg/k, тем медленнее падает тело. Этим и объясняется, почему пушинка падает медленнее камня: у нее маленькая масса, а площадь поверхности довольно большая, и воздух оказывает значительное сопротивление ее падению [3].

Как измеряют высоту при помощи барометра

Чем выше поднимаются в гору альпинисты, тем меньше становится давление воздуха. Этим можно воспользоваться для того, чтобы с помощью барометра определять высоту подъема. Как показывают расчеты, при постоянной температуре воздуха разность высот двух точек выражается такой формулой:

Здесь р₁ и р₂ - давление воздуха на высотах h₁ и h₂, р₀ - давление воздуха на уровне моря, w₀ - плотность воздуха при температуре 0°С и давлении р₀, Т - абсолютная температура воздуха.

Эта формула верна для не слишком больших высот.

Исследования, проведенные в Советском Союзе по программе Международного геофизического года при помощи ракет, показали, что на больших высотах имеют место другие законы изменения давления с высотой.

Вообще любая физическая формула имеет ограниченную область применения - она верна при одних условиях и перестает быть верной при других. Дело в том, что при выводе любой физической формулы делаются некоторые допущения, верные лишь приблизительно. Когда же эти допущения перестают быть верными, формула теряет силу.

Сколько топлива должна взять ракета

Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении количества топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Это количество М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v₀, с кото­рой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.

Если пренебречь сопротивлением воздуха и притяжением Земли, то количество топлива определится формулой:

(формула К. Э. Циолковского)

Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8 км/сек, надо при скорости истечения газов 2 км/сек взять примерно 80 т топлива.

Если бы удалось увеличить скорость истечения газов до 4 км/сек, то понадобилось бы всего 10 т топлива. В общем, чем с большей скоростью v₀ вытекают газы из ракеты, тем меньше понадобится топлива.

Гармонические колебания

Было рассмотрено несколько примеров из физики и техники, в которых так или иначе встречается показательная функция. Теперь перейдем к рассмотрению примеров, связанных с тригонометрическими функциями.

Начнем с гармонических колебаний. Возьмем, например, гирю, подвешенную на пружине, и толкнем ее вниз. Гиря начнет колебаться вниз и вверх. Как показывают расчеты, отклонение гири от положения равновесия выражается фор­мулой

Здесь v₀ - скорость, с которой мы толкнули гирю,

,

где m - масса гири и k - жесткость пружины (сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см).

Разряд конденсатора

Не только многие механические колебания происходят по синусоидальному закону. И в электрических цепях возникают синусоидальные колебания. I = I₀sin(wt+a). Частота w колебаний тока равна 1/vLC, где С - емкость конденсатора, a L - самоиндукция цепи. Этот закон очень похож на закон колебаний гири, только вместо жесткости пружины надо взять величину, обратную емкости конденсатора, а вместо массы гири - самоиндукцию катушки [3].

Как соединить две трубы

Приведенные примеры могут создать впечатление, что синусоиды встречаются только в связи с колебаниями. Однако это не так. Например, синусоиды используются при соединении двух цилиндрических труб под углом друг к другу. Чтобы соединить две трубы таким образом, надо срезать их наискосок. Если развернуть срезанную наискосок трубу, то она окажется ограниченной сверху синусоидой. В этом можно убедиться, обернув свечку бумагой, срезав ее наискосок и развернув бумагу. Поэтому, чтобы получить ровный срез трубы, можно сначала обрезать металлический лист сверху по синусоиде и свернуть его в трубу [3].

Изгиб колонны

Синусоида встречается при рассмотрении изгиба колонны под действием вертикальной нагрузки. Если нагрузка слишком мала, колонна не изгибается совсем. Но если нагрузка достигнет некоторого значения, называемого критическим, то колонна начнет изгибаться, причем ее ось примет форму синусоиды. В этом можно убедиться на опыте, сгибая вместо ко­лонны металлическую линейку. Критическая сила равна:

,

где l - высота колонны, а числа Е и I зависят от материала колонны и размеров ее сечения. Из формулы видно, что чем длиннее колонна, тем меньшая сила нужна, чтобы ее согнуть. Это также можно проверить, изгибая линейку.

Биения

Довольно сложная картина возникает, когда складываются колебания различной частоты. При этом уже получаются несинусоидальные колебания. Если частоты w₁ и w₂ складываемых колебаний близки друг к другу, то получающееся колебание имеет вид как бы синусоидального колебания с частотой (w₁+w₂)/2, амплитуда которого медленно меняется с частотой ¦(w₁-w₂)/2¦. Это явление называют биениями. Может случиться, что мы не воспринимаем слагаемых колебаний из-за того, что их частота слишком велика, но можем воспринять медленное изменение амплитуды суммы колебаний. Например, если электрическая лампочка присоединена к динамо-машине, дающей переменный ток с периодом Т = 1/50 сек., то изменения в яркости лампочки будут незаметными. Если же присоединить эту лампочку к двум динамо-машинам, периоды которых мало отличаются друг от друга, то возникнут биения и лампочка начнет мигать.

Возникают биения и на двухвинтовом корабле, если винты имеют близкие, но различные периоды вращения. Приходится учитывать биения и композиторам. Колебания с периодически меняющейся амплитудой применяют в радиотехнике. Радиостанции посылают в пространство электромагнитные колебания с очень большой частотой (от 150 тыс. до 15 млн. колебаний в секунду). Амплитуда же этих колебаний меняется примерно со звуковой частотой (несколько сотен или тысяч колебаний в секунду). Такого изменения амплитуды можно добиться, вызвав биения. Этот прием называют частотной модуляцией.

Приливы и отливы

Очень интересный пример биений дают океанские приливы и отливы. Из-за притяжения Луны и Солнца уровень воды в океане все время меняется. Примерно каждые 12 час. уровень воды достигает наивысшего значения, а через 6 час. после этого - наинизшего. Однако из-за вращения Луны вокруг Земли период колебаний уровня воды, вызываемых притяжением Солнца, не совпадает с периодом колебаний уровня воды, вызываемых притяжением Луны. Первый период равен 12 час., а второй - 12 час. 25 мин. В результате сложений этих колебаний, имеющих близкие периоды, получаются биения. Самая большая высота приливов превосходит примерно в 2 раза самую малую [3].

Спектральный анализ

Любое самое сложное периодическое колебание можно изобразить как сумму синусоидальных колебаний (т. е. таких, что их графики имеют форму синусоиды). Частоты этих синусоидальных колебаний называют спектром сложного колебания, а само разложение - спектральным анализом колебания.

Это название не случайно. Разложение луча света в спектроскопе связано с разложением сложного электромагнитного колебания на простые синусоидальные составляющие.

Спектральный анализ применяют также к звукам и другим колебаниям. С помощью спектрального анализа удается установить особенности тембра голоса певца и т.д.

В технике пользуются спектральным анализом колебаний для того, чтобы правильно рассчитывать различные конструкции. Например, может случиться, что частота одной из синусоидальных составляющих колебаний самолета, вызванных работой моторов, совпадет с собственной частотой колебаний какой-нибудь детали самолета. Тогда из-за резонанса при работе моторов возникнут сильные колебания этой детали, что может привести к аварии [3].

Почему не работал трансатлантический кабель

Когда проложили телеграфный кабель через Атлантический океан, то оказалось, что по нему нельзя передавать телеграммы. Вместо точек и тире на другом конце кабеля принимались совершенно непонятные сигналы. Исследованием работы кабеля занялся известный английский физик и математик Кельвин. Для этого он сначала разложил сигналы на синусоидальные составляющие и изучил, как передаются по кабелю эти составляющие. Оказалось, что колебания различной частоты передаются по-разному. Одни из них идут быстрее, другие медленнее, одни сильно ослабевают, а другие меньше. Поэтому, когда эти составляющие приходят на другой конец кабеля, то их сумма становится совсем непохожей на передававшиеся сигналы. Кельвин нашел, от чего зависит изменение скорости и силы синусоидальных колебаний, и указал, как сделать кабель, чтобы колебания любой частоты шли по нему с одинаковой скоростью и одинаково ослабевали. Когда по его указаниям переделали кабель, сигналы стали передаваться без искажений и трансатлантическая связь наладилась [3].

Радиоприемник и камертон

Иногда вместо разложения колебания на синусоидальные составляющие стараются выделить из всего колебания одну составляющую определенной частоты. Именно это делают, когда настраивают радиоприемник на определенную частоту; из сложного электромагнитного колебания, вызванного работой всех радиостанций, ловят колебание, вызванное работой нужной станции. Точно так же камертон отзывается только на ту ноту, на которую он настроен [11].

2.2 Функции в природе

Природа и математика, казалось бы, совершенно несовместимы. Для описания природных явлений существуют естественные науки. Действительно ли это так? Каким образом функции связаны с природой и природными явлениями?

Конические сечения

Конические сечения были известные ещё математикам древней Греции. Наиболее полное сочинение по этим кривым «конические сечения» Аполлония Пергского (200 г. До н.э.) Он первый описал фокусы эллипса и гиперболы. Папп Александрийский первым описал и вывел общее уравнение для конического сечения параболы и вывел общее уравнение для конического сечения, как геометрического места точек, для которых отношение расстояний до точки фокуса и директрисы постоянно.

Коническое сечение - пересечение плоскости с поверхностью конуса. Существует 3 главных типа сечений: эллипс, парабола, гипербола, кроме того, существуют вырожденные сечения: прямая, точка, пара прямых.

Зрение и конические сечения

Конические сечения описывают функционирование органов зрения человека. Область зрения представляет собой конус, в котором находится двояковыпуклая линза - хрусталик глаза. Любая оптическая иллюзия, перспектива или проекция так или иначе представляют собой коническое сечение. Разберем, где же в природе используются конические сечения.

Эллипс

В античную эпоху ученые астрономы считали, что Земля располагается в центре Вселенной и все небесные тела вращаются вокруг неё, эта теория носила название геоцентрической. Её развенчал польский астроном Николай Коперник в 1534 году, создавший гелиоцентрическую модель мира, доказывавшую, что Солнце не может вращаться вокруг Земли, как бы это не хотелось Птолемею, Аристотелю и их последователям.

Земля вращается вокруг Солнца по эллиптической траектории, называемой орбитой, её длина около 940 миллионов км и это расстояние планета проходит за 365 суток 6 часов 9 минут и 9 секунд. По прошествии четырех лет эти шесть часов накопляются в сутки, они добавляются к году как еще один день (29 февраля), такой год високосный. Да и мама планета Земля имеет форму эллипса (Рисунок 2.3) [8].

Рисунок 2.3

Парабола в природных явлениях

Общая физическая картина радуги была уже четко описана Марком Антонием де Доминисом (1611). На основании опытных наблюдений он пришел к заключению, что радуга получается в результате отражения от внутренней поверхности капли дождя и двукратного преломления - при входе в каплю и при выходе из нее. Рене Декарт дал более полное объяснение радуги в своем труде “Метеоры” в главе “О радуге” (1635) [3]. Декарт пишет: “Во-первых, когда я принял во внимание, что радуга может появляться не только на небе, но также и в воздухе вблизи нас каждый раз, когда в нем находятся капли воды, освещенные солнцем, как это иногда можно видеть в фонтанах, мне легко было заключить, что она зависит от того, каким образом лучи света действуют на эти капли, а от них достигают нашего глаза; далее, зная, что эти капли шарообразны, и видя, что и при больших и при малых каплях радуга появляется всегда одинаковым образом, я поставил себе целью создать очень большую каплю, чтобы иметь возможность лучше ее рассмотреть. Для этого я наполнил водой большой стеклянный сосуд, вполне круглый и вполне прозрачный и пришел к следующему выводу…” Ниже представлен рисунок из данной работы (Рисунок 2.4) [10].

Рисунок 2.4

Рис. 2.5

Этот вывод повторяет и уточняет результат, полученный Доминисом. В частности, Декарт обнаружил, что вторая (внешняя) радуга (Рисунок 2.5) возникает в результате двух преломлений и двух отражений [10].

Струя воды, вытекающая под напором из трубки, принимает форму параболы, так как каждая частица воды движется по параболе, подобно шарику, брошенному под углом к горизонту (Рисунок 2.6) [1].

Рисунок 2.6

Спираль и моллюски

Спираль - это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, эта точка называется полюсом спирали. Полюсом логарифмической спирали является начало координат. Спираль носит такое название, так как ее уравнение содержит логарифмы. Такая спираль имеет бесконечное множество витков и не проходит через свой полюс.

Рис. 2.7

Логарифмическую спираль (Рисунок 2.7) называют равноудаленной спиралью, так как в любой её точке угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение.

Где же в природе используется логарифмическая спираль? Раковины улиток и моллюсков (Рисунок 2.8, Рисунок 2.9), морские коньки, папоротники, океанские волны (Рисунок 2.10), чешуйки сосновой шишки, паутина (Рисунок 2.11), которую плетут некоторые виды пауков, семена подсолнуха (Рисунок 2.12) и пр. представляют собой не что иное, как математическую кривую - логарифмическую спираль.

Рисунок 2.8

Рисунок 2.9

Рисунок 2.10

Рисунок 2.11

Рисунок 2.12

Рис. 2.13

Тому, кому этих примеров окажется недостаточно, можно посоветовать обратить свое внимание на более «высокие» сферы: галактики открытого космоса (в том числе галактика, включающая в себя Солнечную систему) (Рисунок 2.13), облака, образующие циклоны (2.14), хвосты комет, ураганы, следы от врезавшихся в землю метеоритов и пр. - все это явления в природе логарифмической спирали, которую также называют равноугольной, изогональной, чудесной, спиралью роста, спиралью Декарта (по имени философа, открывшего ее в XYII веке) и спиралью Бернулли (по имени ученого, посвятившего свою жизнь ее изучению). Кроме того, можно просто-напросто согнуть указательный палец, который примет форму золотой спирали - спирали, витки которой находятся по отношению друг к другу в пропорции золотого сечения.

Рисунок 2.14

...