Размещено на http://www.allbest.ru/

Компактифікація вимірів у многовиді Калабі-Яу: історія та перспективи розвитку

Анотація

Початок ХХІ століття ознаменувався черговою енергетичною кризою, котра заставила шукати вихід у царині високих енергій. В результаті аналізу фізики-теоретики дійшли висновку, що далеко не кожний вимір, який описується класичними принципами, є заначимо важливим. Революційні зміни винесли на поверхню потребу в кардинальному перегляді сталих правил фізики високих енергій. Рівень складності описання став пороговим фактором освоєння енергетичних рівнів. Актуальність дослідження спрощення в багатовимірних структурах зумовлюється розвитком обчислювальної техніки, можливістю реалізації дослідницьких розрахунків в паралельному режимі та потребою впорядкування теоретичного надбання і розробки єдиного підходу до моделювання процесів взаємодій на рівні часток матерії. Метою даного дослідження є узагальнення досягнень у описанні комплексних вимірів в багатовимірних просторах. В досліджені використані метод періодизації, історико порівняльний, історико системний методи. В результаті дослідження було систематизовано історичні межі еволюційного розвитку, проаналізовано передумови, що призвели до появи многоговиду Колабі-Яу та засобів до спрощення його сприйняття науковим загалом. Досліджено етапи розвитку формулювання гіпотез дослідження вимірів та математичної мови їх подачі. Розроблено блок-схему періодизації та отримані обґрунтування перспективних шляхів використання компактифікації вимірів многовиду Калабі-Яу при подальшій розбудові єдиної просторової моделі Всесвіту. Розглянуті причини появи кризових станів, формування межевих факторів розвитку, можлива поява альтернативних наукових течій за рахунок спрощення класичних ідей та очікування появи нових законів та фізичних постійних. Окрему увагу приділено порівняльному аналізу темпу розвитку математичного моделювання в теоретичній фізиці. Підтверджено циклічність розвитку теорії математичного моделювання та розраховано рамки відповідного історичного циклу в математичному обґрунтування взаємодій між частками на високоенергетичних рівнях матерії.

Ключові слова/Ключевые слова/Keywords

Простір, CY, брана, струни, , енергія, матерія, вакуум, частка, взаємодія, моделювання, спрощення, теорія поля.

Вступ

Виміри та способи вимірювання завжди грали особливу роль у розвиту суспільства. Практично вся сучасна історія людства є історією про виміри. Кожному цивілізаційному кроку у пізнанні Всесвіту передувало опанування певного виміру. Освоєння чергового простору довкілля вимагало розробки виняткового механізму для його пізнання. Паралельно виникла потреба в упорядкуванні освоєних вимірів. Після того як результати моделювання сягнули до десятка вимірів виникла нагальна потреба в спрощеному (компактному) вигляді подачі та єдиному підході до описання всесвіту.

Сучасна теоретична фізика постала перед необхідністю не стільки описати складові частини моделі світосприйняття оновленою мовою математичних виразів, скільки, на підставі емпіричних даних та припущень, поєднати вже освоєні розділи практичного надбання та можливі помилки. Найбільш затребуваними виявились задачі, в яких моделювання проходить за умов завбачення існування нового явища або взаємодії. За допомогою математичних виразів виникла потреба спростити описання процесів фізики високих енергій та квантових взаємодій, котрі можна скоріше спрогнозувати і попередити, аніж безпосередньо відчути чи виміряти. Складність в побудові математичних моделей квантових явищ спонукає дослідників приймати, відкидати або повертатись до раніш відкинутих гіпотез. Еволюція теоретичної фізики не можлива без використання бекграунду, який виник внаслідок передбачень чи використання минулого досвіду.

Через історію дослідження компактифікації в багатовимірних просторах стає можливим прогнозування розвитку нових напрямків не тільки теоретичної фізики, а й цілого ряду пов'язаних розділів науки. Ресурси на дослідження матеріалів теоретичної фізики напряму залежать попиту на її результати. Успішність результатів чи історичну межу доцільно проводити паралельно з визнаними межами в історії суспільства. З початком «холодної війни» в ХХ столітті з'явились ресурси та нагальна потреба ґрунтовного вивчення процесів на рівні мікровимірів, щоб отримати переваги в гонці новітніх озброєнь. Перші вдалі приклади на використання компактифікації вимірів в многовиді та використання Многовиду Калабі-Яу з'явилися саме в публікаціях 60-х років. Однак перші перемоги в розвитку математичних методів моделювання викликали кризу в теоретичній фізиці. Фундаментальна наука зіткнулась з проблемою того, що класичне описання фізичних часток не відповідає описанню взаємодій між ними. Потреба в поглибленому досліджені енергетичних взаємодій призвела до витрачання ресурсів на оновлення математичних виразів в описових моделях. Як наслідок, в результаті розвитку експериментальної фізики з'явилась можливість вирахувати певну кількість невідомих часток. Зокрема, так званих адронів. Особливість взаємодії адронів спонукала до розробки засад нової теорії. Еволюційно виник абсолютно новий спосіб описання стану часток матерії. Їх вирішено було назвати «струни», а теорію - Теорія струн. Компактифікація виразів зіграла важливу роль в поєднанні кількох дослідницьких напрямків та переосмисленні результатів експериментальних досліджень. В кінцевому підсумку взаємодія адронів виявилося відмінною від результатів рішення попередніх рівнянь. Згодом теорія набула певної революційної трансформації у так звану теорію суперструн а ще пізніше в теорію бран.

Окремо слід відзначити вклад українських вчених. Загальновизнана першість відкритті суперсиметрії, котра викликала революційні зміни в теорії струн, закріплена за опублікованими в 1971-72 роках працями харківських фізиків Д. Волокова та Ю Гольфанда. Здобуток українських дослідників визначив напрямок подальшого розвитку теоретичної загалом і був розвинутий в напрямку дослідження фізики високих енергій. Вирахувана ними суперсиметрія часток дозволила кардинально прискорити роботи на адронному коллайдері та започаткувала нові розділи в космології. Світове визнання першості Волкова закріплено міжнародним науковим співтовариством через присвоєння медалі та призначення його лауреатом Міжнародної премії імені Вальтера Тіррінга. Українська школа по теорії елементарних часток, заснована Волковим, продовжує глибинне дослідження ідей моделювання всесвіту на основі аналізу многовидів. Гіпотеза про суперсиметрію, використана в теорії суперструн, стала першою вдалою спробою поєднати за рахунок нових вимірів розділені енергетичними бар'єрами розділи квантової теорії поля та спеціальної теорії відносності.

Серед українських дослідників 80-х-90-х років минулого століття вирізняються роботи Владленової [17] та Данильченко [18-22], котрі внесли та продовжують вносити суттєвий вклад у загальносвітові дослідження многовидів та теоретичну фізику загалом. На початку нового тисячоліття при кожному українському університеті створено окрему групу, або працюють ентузіасти з вдосконалення аналізу багатовимірних просторів.

Мотивацією до запровадження науковцями додаткових вимірів є кризові явища при вирішенні фундаментальних рівнянь у фізиці високих енергій. Компактифікація вимірів у многовиді Калабі-Яу виявилась є найбільш вдалою моделлю, за допомогою якої створюється сучасне описання єдиної моделі Всесвіту.

Поняття єдиної моделі довкілля нерозривно пов'язане з поняттями комплексного багатовимірного простору та просторової геометрії. Ці сучасні наукові розділи були започатковані роботами відомих математиків минулого тисячоліття: Канта, Д'Аламбера, Келі, Грассмана, Шлефлі. Розроблені ними гіпотези та математичний апарат створив можливість зазирнути за межі видимого для зорового відчуття довкілля та розрахувати вплив невідомих вимірів. Через певну складність у формулюванні та подачі результатів подальше дослідження просторових моделей неможливе без сталого розвитку математичної мови в напрямку компактифікації. Більшість нових просторів комплесна і недоступна для безпосереднього виміру існуючими засобами, хіба що за рахунок математичного аналізу певної взаємодії в межах існуючих моделей.

Використання сучасної форми компактифікації вимірів у многовидах набуло розвитку в дослідженнях Гріна [2, 5], Янга [3], Горовіца, Стромінджера, Віттена [7, 10, 11], Яу [12, 13]Ї. Головний акцент було зроблено на позиціонуванні та розрахунку просторових станів. За результатами отримано рівняння стану гравітонів і фотонів з прив'язкою до певного часового простору. Відкриття спонукало до формування об'єднувальної теорії для електромагнітних та гравітаційних взаємодій. Радикальність сучасної теорії в напрямку аналізу багатовимірного простору не відкидає, а швидше доповнює передбачення попередників. За допомогою ряду гіпотез задано чіткий вектор розвитку моделювання всесвіту, напрямок якого залишається незмінним.

Основи теорії багатовимірів беруть своїм початком класичну фізику механічних моделей. Через десятки років після появи перших публікацій для спеціальної теорії відносності на початку ХХ століття була відведена спеціальна ніша в дослідженні високих швидкостей. Її наступниця - загальна теорія відносності, - опанувала науку про великі маси та макровиміри. Високі енергії та надмалі відстані поділили між собою квантова механіка та квантова теорія поля. В ХХІ столітті гіпотези не дублюють попередні надбання а винятково еволюційно розвиваються, звіряючись з математичним бекграундом, щоб не схибити на історичного шляху. Математична мова у вигляді формальних рішень для багатовимірів, за рахунок певних обмежень та компактного «згортання» додаткових просторів, повертає науковців до виразів, притаманних класичному механіцизму Ньютона, полям Фарадея, теоріям Максвелла. Зворотній зв'язок між розділами в фундаментальній науці складає основу наукового розвитку. Без ґрунтовного дослідження історичного надбання у вигляді здобутків та помилок неможливий подальший прогрес математичного моделювання.

Методи дослідження

многовид калабі яу

Сучасній теоретичній фізиці притаманні міждисциплінарність розробок, глобальний еволюціонізм, всебічне застосування в наукових дослідженнях математики та обчислювальної техніки, вибуховий розвиток експериментальної бази та її індустріалізація, широка міжнародна кооперація досліджень. Для отримання адекватних результатів в дослідженні історії та перспектив аналізу багатовимірних просторів доцільно використовувати наступні методологічні установки:

Хронологічний метод, за допомогою якого досліджується зв'язок передумов виникнення аналізу багатовимірних просторів з динамікою розвитку практичної фізики. Через те, що теоретична фізика є невід'ємною частиною загальної фізичної науки, при компактифікації вимірів у многовидах конче необхідно досліджувати за допомогою використання типових хронологічних методів щоб уникнути дублювання, або протиріч у визначені певних термінів або понять. В статті використано Хронологічний метод, запропонований та розвинутий в роботах Владленової[17]. За ним визначено чіткі періоди коли перед науковцями поставала проблема перегляду, або повної заміни своїх гіпотез під впливом нових експериментальних даних.

Використанні історико-порівняльного методу зумовлено появою робіт, у яких дослідження багатовимірних просторів спирається описові моделі часток і явищ взаємодії методами порівняльного аналізу. Історизм у дослідженні методом порівнянь використано при аналізі еволюції фундаментальних ідей багатовимірності з виокремленим узагальненням блоків-модулів теоретичної фізики. Схожий метод використав Яу[12], при написанні своєї роботи, присвяченої використанню компактифікації вимірів при досліджені теорії струн.

Метод історичної періодизації використовувався в досліджені з суттєвими обмеженнями через той факт, що періодизація історії теоретичної фізики не носить абсолютного характеру. Можливо існування декількох варіантів такої періодизації, в залежності від того, які відмінні риси періодизації визнати визначальними для певного періоду. В межах загальновизнаних концепцій дослідницьких програм уявлення про фізику корпускулярного чи хвильового характеру світлових явищ прийнято моделювати як на рівнях додаткових гіпотез механічної дослідницької програми, так і в моделях з використанням багатовимірів (просторів 3+). Спеціальна теорія відносності була започаткована після кризи розвитку фундаментальної теорії - електродинаміки рухомих тіл. Історична межа була утворена в результаті узагальнення та переосмислення класичної тривимірної моделі в абстрактно-геометричному чотиривимірному формалізмі Подолання періоду кризи в теорії многовидів пройшло через виокремлення спеціальної теорію відносності межами базисної теорії релятивістської дослідницької програми. Проведене узагальнення дало можливість «релятивізації» практично всіх розділів фізики. Тому при створені блок-схеми історичних періодів було підкреслено на вплив вказаних обмежень на використання методу історичної періодизацї. Особливо при побудові шкали періодів на блок-схемі дослідження.

Через те, що історичні засади більшості досягнень теоретичної фізики частково включають систематизацію попередніх знань, повноцінне використанні історико - систематичних методів дослідження також вимагає обмежень. Дослідженням багатовимірів засобами математичному формалізму характерні складнощі, викликані періодичністю/циклічністю визнання, ігнорування та повернення до раніше відкинутих гіпотез. Подібне обмеженням для історико-систематичних методів особливо важливо враховувати на прикладах часткових відмов, а згодом повторного використання надбання теорій Рімана, Ейнштейна та інших при переході від «маловимірної» до фізики багатомірів.

Сучасному періоду розвитку теоретичної фізики притаманна особливість, яка полягає у визнанні історичності принципової незавершеності будь-якої наукової концепції. Компактифікація вимірів у моноговиді Калабі-Яу претендує на роль основного і недостатньо опанованого механізму так званої «Моделі Всесвіту». Усвідомлення єдності та історичного взаємозв'язку всіх елементів, притаманних теоретичній фізиці при дослідження багатовимірів, призводить до корінної перебудови самої математичної мови описання і можливої появи нових методів дослідження.

Історія розвитку досліджень багатовимірних просторів

Багатовимірні простори прийнято визначати як моделі, розмірність яких рівна, або більша за три. Екстраполяція результатів такого моделювання створює передумови для більш спрощеного зображення та розуміння багатовимірного фізичного об'єкту (явища, процесу).

Українські фахівці теоретичної фізики, зокрема І.В. Владленова [17], еволюційний розвиток в досліджені многомірів розбивають на три умовні етапи:

• механічна модель всесвіту в декартовій системі координат тривимірного простору,

• електродинамічна модель всесвіту, яка використовувала чотиривимірний простір,

• квантово-польова модель всесвіту, яка використовує моделі вимірів 10+

Описуючи певний простір, математики-геометри користуються загальновизнаними топологічними термінами, або виразами[12,15,17]. Для класичної механіки типовим є простори розміром 3D+1 ( тривимірний простір + час) та 6 вимірний (6N) простір для описання стану системи з N -кількістю часток. Так званому простору Гілберта властива безліч вимірів. Простір Калабі-Яу (CY) являється прикладом многовидів з комплексними вимірами [2, 5, 10, 12].

При використанні історико-фактичних методів аналізу чітко просуджується наступний причинний зв'язок: еволюція дослідження навколишнього простору змусила науковців засумнівались в тому, що навколишнє середовище унікальним і єдино можливим результатом теорій так званого великого вибуху. Класичний принцип суперпозиції, притаманний ХІХ століттю, було піддано нищівній критиці внаслідок невідповідності до результатів низки експериментів. Картина простору-часу, локально змодельована в певному 4-вимірному просторі Мінковського, на підставі експериментальних даних руйнується при надзвичайно малих відстанях порядку планківської довжини хвилі л, числова похідна якої залежить від швидкості світла та гравітаційної константи. На відміну від евклідового простору з його строгими перпендикулярами між просторовими векторами, субатомний простір комплексних взаємодій на рівні часток в мало вимірній проекції більше нагадує пористу губку чи пом'ятий лист паперу. Лайам Макаллістер з Корнельського університету визначив[6] що зім'яття не хаотичне, а строго відповідне певним правилам котрі можна спростити при двовимірному зображенні моделі.

Рисунок. 1. Наочне (компактне) зображення двовимірного «поперечного перерізу» шестивимірного різноманіття CY (Ендрю Хенсон, Індіанський університет) [12]

Наразі формується ландшафт оновленої топології комплексних просторів, в якому всесвіт може знаходитись одночасно в декількох станах. Кожному стану притаманна певна кількість вимірів, котрі можливо описати математичними виразами, характерними для просторів CY. За допомогою многовиду CY формують модель з розрахунково розширеним простором, який включає дійсний просторовий час, а також додаткові розмірності, які можуть бути згорнуті до міні- розмірів. У процесі компактифікації, комплексні додаткові виміри, «стискаються» методами математичної обробки тих пір, поки не настає можливість нехтувати геометрією поверхонь площинок.

Наочне маловимірне спрощене зображення багатовимірних просторів змушує вдаватись до певних умовностей, подібних до застосованих на Рисунку 2..

Рисунок 2 Шестивимірні різноманіття Калабі -- Яу та проекція 10 вимірного простору (стокові зображення).

Ліва чистина рисунку 2 зайнята «3-вимірною» проекцією 6-вимірного многовиду Калабі-Яу. На правій частині зображення знаходиться решітка, що відтворює два з чотирьох вимірів фізичного простору-часу, котрі можна чуттєво сприймати. В кожному перетині такого простору знаходиться компактизований 6-вимірний простір Калабі. Таким чином загальне число вимірів в моделі дев'ять + вимір часу.

Причини появи та основні принципи компактифікації

Фізичні закони набагато точніше виражаються за допомогою рівнянь та математичних виразів, ніж записані у філософських термінах чи маловимірних малюнках. Компатифікація додаткових вимірів має на меті математичне згортання частини вимірів до чотири-розмірної просторової моделі (3D+час). Математичні теорії, котрі використовують методи компкктифікації, надають виняткову можливість описання складу часток матерії та їх взаємодії між собою з вимушеним урахуванням обмежень і втрати точності[13]. Доцільно привести аналогію методів компактифікації просторових моделей з теорією чисел. Серед безлічі чисел є такі, котрі неможливо записати в явному вигляді і які прийнято називати трансцендентними. Яскравим прикладом може стати значення р - 3,1415 …, або е - 2,718 … . Запис цих «постійних» навіть з мільярдами знаків після коми все одно не буде повним і на практиці доведеться використовувати спрощену (компактифіковану) форму з певними обмеженнями в кількості знаків.

Повну аналогію можна провести відносно функцій, котрі є рішеннями нелінійних рівнянь, використаних при моделюванні простору Калабі. Знайдене рішення описання положення певної точки в багатовимірному просторі неможливо описати у вигляді точної формули, оскільки в більшості випадків такої формули не існує. Через низку обмежень певним компромісом стає апроксимація опису (компктифікація) до більш звичних рішень та формул.

Формула многовиду Каллабі-Яу (або формула CY) є результатом використання теорії комплексних многовидів та виражає характеристичні числа комплексного багатовиду в термінах його топологічних інваріантів. Формально для комплексного багатовиду М вимірності n з парним 2m - вимірним комологічним кільцем Н*(М,С) формула CY у виглядає наступним чином:

 (1)

де:

L(M) - мультиплікативний генератор кільця когомологій H?(M,C).

c1(M) - перший класс Черна многовиду M.

Td(M) - загальний топологічний клас многовиду M.

e(TM) - клас Ейлера многовиду M.

Ця формула має надзвичайно важливе значення в теорії комплексних многовидів[26], через те, що дозволяє вираховувати топологічні інваріанти многовидів через їх характеристичні числа. Така процедура спрощує дослідження і надає можливість класифікації певних класів багатовимірних структур[27]. Чим більше вимірів для описання топології простору треба зробити - тим складніше модель для розуміння загалу без використання компактифікації [17, 19].

Для вимірів мікро всесвіту характерними є хвильові процеси, основані на імовірницьких принципах іншої математичної мови - квантової механіки. Компактифікація вимірів у многовиді CY виникла як спроба поєднання протиріч моделей в єдину глобальну просторову модель[12]. Важливо підкреслити, що теорія «великого об'єднання» не обмежується фізико-математичними науками. Многовиди CY знаходять використання на міждисциплінарному рівні. Сама теорія компактифікації багатовимірних просторі виступає як загальнокультурна світоглядна спадщина, попри той факт, що вона попередньо явно не усвідомлена в такому сенсі. Однак вказана теорія неявно функціонує як по всьому соціальному досвіді людини і суспільства так і в наукових пошуках.

Періодизація розвитку досліджень багатовимірних просторів

За стартову точку відліку на шляху до зображення багатовимірних просторів прийнято вважати роботи французького філософа, математика, письменника та суспільного діяча XVII століття Рене Декарта, Він перший зрозумів, що поширена практика геометричних побудов просторових фігур набагато зручніше описується мовою координат. З точки зору історичної періодизації ключовим фактором визнання першості стало поєднання, за рахунок n-вимірної просторової системи координат, до того окремих наук - геометрії та алгебри. Запропонований Декартом простір перестав «відображатись» винятково звичними для зорового відчуття геометричними фігурами: лінією, площиною, кубом, сферою. Нова математична мова надавала можливість проводити певні просторові розрахунки, не переймаючись тим, як ці простори зобразити на чуттєвому чи візуальному рівні. Кілька століть знадобилося теоретикам, щоб досконало опанувати революційні для середньовіччя ідеї Декарта і використовувати їх у вимірах які не можливо «помацати».

Наступним етапом розвитку дослідження просторових вимірів вважаються роботи німецького математика Георга Рімана. У першій половині ХІХ століття, працюючи над геометрією викривлених (неевклідових) просторів, він встановив, що й такі простори не обмежені щодо кількості вимірів. З історичної точки зору Ріман започаткував нові підходи до роботи з багатовимірними просторами. Поєднання в рамках певної єдиної теорії математичних рівнянь що описують властивості світла, електрики, та магнетизму, із гравітацію за рахунок єдиних математичних прийнято відносити[13] до 1850 року.

Наразі використовування історико-систематичного методу при досліджені розвитку теорії електромагнетизму пов'язане з певними застереженнями. Як межевий фактор слід визнати уведення фізиками-теоретиками до електромагнітної просторової моделі поняття «фізичне поле», котре в розумінні поняття матерії було відсутнє в теоріях до ХІХ століття. Як свого часу Декарт в математиці, Максвелл розмежував розвиток класичної фізики («початок кінця маловимірної фізики») та електродинаміки. З точки зору історичної періодизації: теорія Максвелла передувала появі електронної теорії Лоренца та спеціальної теорії відносності Ейнштейна як способів описання багатовимірного простору.

Фізика ріманівського періоду (ХІХ століття) була ще далеко від математичних структур високих порядків. Десятки років еволюції експериментальної науки знадобилось, щоб Ейнштейн використав їх в оновлених теоріях описання матерії та гравітації, започаткувавши новий етап опису багатовимірних просторів [6, 10, 27, 28 ]. Як показує історичний аналіз: спроба була не стільки вдала - скільки не своєчасна.

В континумі «простір-час» багатовимір Ейнштейна певним чином задається набором чисел. Для більш короткого запису математичних виразів (рівнянь), або компактифікації вимірів гравітаційного поля, прийнято поміщати набір з 10 чисел у матрицю. Матриця набуває розміру 4Ч4 (деякі числа в матриці приймають нульове значення). Така квадратна таблиця більш відома як метричний тензор. Сам тензор у багатовимірних просторах виконує роль «лінійки» або пристрою для вимірювання. Його поява характеризує чергову історичну межу, або етап розвитку в дослідженні многовидів на шляху до компактифікованого аналізу багатовимірного простору.

Розвиток в ХХ столітті тензорних інструментів вимірювання співпадає з початком чергової кризи розвитку теоретичної фізики. Головною проблемою століття була порівняно недостатня розвиненість математичного апарату та недосконале володіння фізиками специфічними розрахунками в нових вимірах. В 1944 році у статті «Зауваження про теорію пізнання Бертрана Рассела» [12] Ейнштией бідкався тим, що його сучасники-фізики, вимучені частіше за попередників займатися загальними та філософськими проблемами. Вказані проблеми виступають обмеженнями при використанні історико систематичного методу дослідження розвитку компактифікації та математичних перетворень.

Ідеї Ейнштейна знайшли своє продовження в гіпотезі, висунутій в 1953 Еудженіо Калабі[17]. Вона стала еволюційним продовженням та набула форму теореми, котра по-новому поєднала топологію комплексних просторів з їх кривизною. Відмітимо темпи історичної трансформації: якщо з часів впровадження багатовимірів в координатах Декарта до появи комплексних полів Рімана на еволюційний крок пішли століття, то на освоєння математичної мови багатовимірного простору пішло кілька десятиліть. Гіпотеза Калабі стала однією з головних гіпотез у космології і стверджує, що опанований людством Всесвіт є лише одним з багатьох мінімумів потенціального енергетичного стану єдиного всесвітнього поля. Остаточно описана у 1980 році гіпотеза запропонувала можливість багатократного виникнення Всесвіту із зміною з кожним разом фізичних констант і набору утворюючих часток.

Революційність гіпотези Калабі полягає в тому, що вона використана для описання специфічних до виродження комплексних просторів. При аналізі історико-функціональними методами гіпотеза відіграє об'єднавчу роль у взаємозв'язку матеріального наповнення вимірів певної геометрії із загальною теорією відносності Ейнштейна. Зв'язок уможливлює існування гравітації у вільному від матерії вакуумі всесвіту. Винахід теоретиків стався напередодні виходу людства до космосу. Таким чином черговим історичним етапом розвитку дослідження багатовимірних просторів доцільно вважати саме початок 60-х років ХХ століття, коли Калабі узагальнив форму описання комплексного многовиду.

Многовиди Калабі дали поштовх до розвитку новітніх напрямків астрономії, інформатиці, енергетиці, дослідженню макро- та мікро- вимірів. За допомогою рішень, запропонованих Калабі, вдалось вирішити проблему розробки методів для аналізу багатовимірності в генетиці та прогнозуванні появи нових хімічних елементів. Прогресивними інструментами вимірювання (багатовимірними лінійками) стали набори функцій, котрі дозволили визначити довжину певної траєкторії у відповідному просторі. Будь-який топологічний простір став розрахунково здатний приймати нескінченну кількість різних форм. Як наслідок подібний простір здатний володіти нескінченною кількістю різноманітних метрик для вимірювання.

При використанні методики історико-фактичного аналізу нерідко стикаються з фактами того, що історичним етапам передують очевидні передбачення. Стосовно еволюції компактифікації вимірів CY такими попередниками стали статті математика Теодора Калуци та фізика Фелікса Клейна, через які набуло поширення припущення про спрощення, або вимушену недосконалість засобів посторового вимірювання. Публікаціями[15] передбачалось, що на відміну від традиційних вимірів, котрі сягають великих чи навіть нескінченних відстаней, можуть існувати додаткові виміри, які настільки малі і скручені, що їх визначення наразі є ускладненим, а описання потребує спрощення (компактифікації) до традиційного рівня світосприйняття.

Для чіткого виокремлення еволюційної віхи, виокремим той факт, що в 1920 році Калуци вперше[13] виявив можливість модифікувати рівняння Ейнштейна та застосувати їх до опису многовидів з одним додатковим просторовим виміром. Серед модифікованих рівнянь Калуци виявив такі рівняння, котрі раніше вже були застосовані Ейнштейном для опису гравітації чотиривимірному просторі (3D + часовий вимір). Оскільки нове математичне формулювання включало додатковий просторовий вимір, Калуци вирахував додаткове рівняння та розпізнав в отриманих результатах нового 5-ти вимірного простору рівняння електромагнітного поля, виявлені фізиком Максвеллом майже за 50 років до того.

Однак за еволюційним бекграундом Калуци революційних кроків в аналізі багатовимірного простору не відбулось. Подальші дослідження показали, що програма Калуци-Клейна стикається з суттєвими перешкодами. Головною проблемою оновленого теоретичного описання 4+ вимірного простору стала неможливість вбудувати в струнку математичну структуру детальні властивості «класичних» функцій описання часток матерії. В першу чергу це стосувалось електрону. На протязі кількох десятиліть, в публікаціях пропонувалися та відкидалися різні способи вирішити цю проблему. Потрачені зусилля не виправдались, оскільки жодного підходу, вільного від цих недоліків, так і не було знайдено. Таким чином до середини 1940-х років можливість об'єднання квантової теорії поля та спеціальної теорії відносності через уведення додаткових 4+ та 5+ вимірів практично зійшла нанівець, започаткувавши чергову кризу.

Подолання кризи відбулось за рахунок появи революційного фактору, який визначив новий виток розвитку дослідження многовидів. Ним визнано відмову від сталої парадигми, за якою у геометрії простору межі певну позицію та лише вимірювану довжину, але не мають форми чи товщини. Цим постулатом свідомо нехтували задля спрощення класичних маловимірних моделей. При появи в розпорядженні дослідників тензорних форм вимірювання поверхні фігури вже неможливо задати просто одну лінією або виокремити грань. Додатковий вимір у певному сенсі «прикріплений» до кожної точки при позиціюванні в «класичному» чотиривимірному просторі (див. Рисунок 2). Віднайдений вимір - це теоретично скручений до крихітного кола переріз. У науковій мові він дістав назву «компактний» (або компактифікований). Однак цей винахід суттєво ускладнив математичний вираз в описанні довжини, або відстані на поверхні у багатовимірному просторі.

Новий етап припав на повоєнні роки ХХ століття, коли виникла потреба та з'явились ресурси на поглиблені досліджені фізики високих енергій. Посилення теоретичного аварату було необхідно для розробки новітньої зброї у майбутніх конфліктах. Поява під час «Холодної війни» теорії струн не стільки відродила програму Калуци-Клейна, скільки окреслила в 70-х роках нові напрямки розвиту описання багатовимірних енергетичних просторів[14, 15].

Термін «многовиди Калабі-Яу» започатковано від імен математиків Ефтіхарі Калабі і Шіньїчі Яу, які вперше запропонували цей клас комплексних многовидів в 1970-х роках[17]. Многовиди CY являються різновидом комплексних многовидів розмірності шість. Певні особливості та обмеження виразів роблять їх корисними для результативного дослідження теорії взаємодії на рівні часток матерії. Особлива цінність компактифікації многовидів CY у для теоретичної фізики полягає в можливості згортання частини комплексних вимірів до спрощення багатомірних просторів у многовид специфічної топології [27].

Згідно публікацій[24], проаналізованих за історико-періодичною методикою, опанування фізиками-теоретиками складних математичних виразів для опису полів простежується як в провідних лабораторіях США, так і в СРСР вже на кінець 60-х років ХХ століття. В математичному середовищі набувають поширення матеріали з широким використанням просторів Калабі для написання стандартної моделі. Виникає потреба описання супергравітаці, котра включає в себе суперсиметрію в загальній теорії відносності. Наукову першість у використанні суперсиметрії визнають[19] за українськими/радянськими в математиками Волоковим та Гольфандом. Математичні вирази в описані симетрії створили передумови до чергового еволюційного кроку в досліджені багатовимірного простору через з уведення нового поняття - струн.

В 1974 році Шварц та Джоел ШIерк розробляють поняття гравітон, та дають поштовх першій теорії струн. Вони пропонують єдину структуру для використання в квантовій механіці та теорії відностності. В 1976 році Стівен Хокінг остаточно констатує порушення правил квантової механіки при зароджені та розпаді чорних дір. В 1982 Шварц та Грін розробляють теорію суперструн типу ІІ та доводять, що 10-вимірний простір можна компактно описати, використовуючи специфічну калібровочну функцію Е8хЕ8. Майже одночасно с першими публікаціями Еміля Мартінека, Гроса, Раяна Ролі, Джефа Харві та інших творців теорії струн в 1985 році Канделас, Стромінджер, Горовіц [10] знаходять способи компактифікації додаткових шести комплексних вимірів за допомогою просторів CY.

Задля історичної справедливості першість Канделаса і Стромінджера визнана на підставі того, що вони починали з класичної теорії поля та компактифікували дестивимірну модель до певного 6-вимірного різноманіття. Згодом фізики спробували з'ясувати, який із набору шестивимірних просторів дає правильний тип суперсиметрії оновленої теорії. На початку 90-х це спостереження отримало пряме узагальнення на випадок багатовимірних різноманітностей CY. Згодом були сформульовані[2] деякі чисельні наслідки виявленої відповідності, які дозволили математично строго сформулювати ідею дзеркальної симетрії.

Історична значимість розробок Стромінджера полягає саме у використовувані в роботі гетеротичної E8 Ч E8 теорії струн. Ця теорія є певною комбінацією класичної напівспінової бозонної струни і суперструни. Ближче до 00-х років, пропонувалися бекграунди взаємодій на рівні часток, засновані на геометрії 6-вимірних різноманіть CY. Такі простори допускали в розрахунках на низькоенергетичних межах наявність певної супергравітації типу константи зв'язку чотиривимірної теорії. Явище дістало назву назву 4D компактифікації на різноманітність CY. Завдячуючи теоремам про неперонормованість в суперсиметричних системах, необхідні константи стало можливим обчислювати з попередньо заданою точністю разом із квантовими поправками.

4D компактифікація на різноманіття CY дозволяє звести теорію струн у просторі-часі до тих, які відповідають нашому звичному для зорового (чуттєвого) сприйняття Всесвіту. Однак, цей процес є складним математичним завданням. Тому визначення конкретної форми різноманіття CY для реального світу наразі залишається активною областю досліджень у фізиці та математиці

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3 Систематизація розвитку розділів теоретичної фізики в розвитку описання моделі всесвіту.

Узагальнуючи хронологію підкреслимо темпи, притаманні розвитку періодів еволюції використання компактифікованих описань комплексних просторів:

* На опанування математичного апарату багатовимірного простору фізикам теоретикам знадобилось кілька століть, починаючи з середини XVII-го.

* Перші многовиди набули широкого описання в середині 60-х років ХХ століття. Через пару десятиліть стало достеменно відомо про порівняно невелику кількість просторів CY.

* У 80-х рока фізикам-теоретикам можна було проаналізувати кожен з многовидів CY і співвіднести розрахунки з дослідженнями практичної фізики. Через вибухову популярність та достатнє фінансування всього через кілька років кількість прорахованих просторів CY сягнула тисяч.

* В 90-х цей факт став суттєвим обмеженням для повноцінного дослідження кожного нового розрахункового многовиду CY.

* В 2003 році було доведено, що супергравітацію можна порушувати, використовуючи компактифікацію потоків для рішення додаткових вимірів. Уводиться понятта «ландшафт», для описання широкого простору рішень, отриманих внаслідок компактифікації потоку для пояснення уведення поняття космологічнї постійної.

* Наразі теоретики продовжують шукати математичну підказку, за допомогою якої з'явиться можливість виділити з усіх можливих просторів CY певне поєднання, яке стане завершальним кроком чергового історичного етапу розвитку дослідження описання багатовимірних просторів.

«Струнний» етап розвитку дослідження многовидів зобов'язаний появі метриці, існування якої однозначно довів Яу. Метрика Яу допомогла описати нові виміри, з дотепер повністю не невідомими властивостями, відомих наразі як простори CY. Ці простори задовольняють рівнянням Ейнштейна навіть у разі відсутності в них фізичної матерії. Таким чином історико-систематичний метод визначає кінець ХХ початок ХХІ століття етапом, визначеним винаходом Яу, котрий не просто надав можливість рішення, а відкрив найчисленніший із відомих клас рішень рівнянь Ейнштейна.

Результати та обговорення

В ХХІ столітті багатовимірні простори CY залишаються найважливішим конструктивним елементом математичної фізики і єдиної моделі всесвіту, започаткованій на теорії струн. Комактифікованиа форма подачі многовидів пройшла чіткий та тернистий еволюційний шлях.

Суттєві успіхи, досягнуті під час першої струнної революції, затьмарилися через значну кількість розрахункових недоліків. Зокрема, в досліджені структурних груп Стромінджера не вдалося однозначно отримати квантові числа, характерні для процесу редукування структурної групи E6 до стандартної групи моделі так, щоб частки в уявленнях цієї групи мали реалістичні квантові числа. Більш істотною проблемою стала так звана проблема стабілізації модулів яка пов'язана з проблемою порушення суперсиметрії. Теоретично, при компактифікації на многовид CY, вираховується значна кількість безмасових полів (модулів). Паралельно вираховується непорушена суперсиметрія. Процес набуття маси у цих полів визначається як стабілізація модулів. Він має описуватись у термінах струнної конструкції, але таке описання не є однозначним.

Спроба вирішення кризового питання було зроблена Віттеном, Полом Таунсендом та ще кількома дослідниками в процесі «другої струнної революції» через додавання до одновимірних струн просторових різноманіть з великою кількістю вимірів. Під час другої струнної революції були запостульовані додаткові просторові виміри які компактифікувались у над-малі масштаби. Цей еволюційний крок на межі тисячоліть призвів до появи нових понять: двовимірні об'єкти або мембрани (2-брани), тривимірні -- 3-брани, і по-аналогії структурні об'єкти з розмірністю p набули назви - p-бран. В результаті теорія маловимірних струн в многовидах еволюціонувала до теорії багатовимірних бран. Брани визначили для себе довільні розмірності -- від 1 до 9. Одновимірні струни залишили за собою право саме за рахунок вібрації однозначно виявляти себе як елементарні частки. А брани (як простори взаємодії) обмежують свободу струнних рухів, за винятком закільцьованих струн. Джозеф Полчинськи [8] запропонував поєднання струнних теорій через певні дуальності та назвав їх S-дуальностями. В сучасних гетеротичних теоріях так і не вдалося безпосередньо стабілізувати всі модулі. Як наслідок були відкриті дуальності між різними теоріями струн і введені концепти М-теорії (матричної теорії використовує многовиди СY розмірністю 4) та F-теорії (розширення теорії струн, яке використовує многовиди СY розмірністю 3). Процес другої струнної революції[4] не набув наразі певного логічного завершення. В 1997 році Хуан Малдасен описує еквівалентність між теорією струн та квантовою теорією поля, яка отримує назву дуальності AdS/CFT. Описана дуальність надала можливість чіткого описання голографічного принципу. Теорія струн, згадана в публікаціях 2005 року в контексті кварк-глюконової плазми при роботі прискорювачів та запуску Великого адронного колайдера. Через використання принципів дуальності аналіз експериментальних даних моделями, започаткованими розширеннями теорії струн, замкнув історичний цикл та повернув теорію до описання адронів.

Основним критичним застереженням для розрахунків просторових моделей з використанням компактифікації вимірів є відсутність повної та однозначної інформації про фізику процесу взаємодій всередині простору СY. Обчислення констант зв'язку у вказаних теоріях вимагає знання геометрії компактності. Ця геометрія умовно розбивається на два класи - геометрія келерових структур (А-модель) та геометрія комплексних структур (Б-модель). Незважаючи на те, що для різноманіття СY однозначно не розрахована специфічна річчі-пласка метрика, яка є частиною суперсиметричного бекграунду в теорії струн, необхідні константи зв'язку виявляється можливим обчислити через когомологічні дані. Подібні розрахунки вимагають підвищеної математичної кваліфікації, що обмежує доступність та розуміння простору Каллабі загалом дослідників.

Обговорення компактифікації на многовидах СY в історичному сенсі не обмежується еволюцією дослідження їх геометричних властивостей, топології та структури. Сучасні математичні моделі подібних компплексних многовидів вимагають складних методів і аналізу в теоретичній фізиці та алгебраїчній геометрії при певній відсутності експериментальних даних. З історичної точки зору найголовніша особливість просторів СY полягає у віднайдені способу спрощення подачі описання. Іншими словами головною преференцією є компактність просторових моделей., фізична значимість яких продовжує бути предметом гарячих дискусій.

Використовуючи історичну періодизацію важко на найбільш вдалому застосування простору СY через те, що питання про точний розмір та кількість вимірів подібного різноманіття залишається відкритим. Однак однозначно можна бути певним про появу альтернативних способів спрощеного моделювання. Саскінд, як один з першовідкривачів застосування компактифікація на комплексних многовидах, увів поняття «ландшафту» для опису існуючої множини просторових рішень.

Кожен раз, коли виникає потреба в більш точному описанні відомої частки матерії, результативний аналіз має наслідки за межами експериментальної бази. Експериментальні результати в порівнянні з прийнятим теоріями поля не тільки підтверджують, а іноді спростовують загальновідомі принципи. Так відбулось у випадку, коли Ліза Рандел та Раман Сундрам запропонусвали[16] в 1998 році сценарії довкілля на бранах в якості альтернативи компактифікації.

Використання обмежень та спрощень (компактифікація подачі) в теорії суперструн для 10-вимірного простору виявилося лише апроксимацією більш повної структури 11 вимірного простору, з певним обмеженням на використання часу взаємодій. Цей висновок Віттена[28] призвів до глибокого переосмислення розробленої в ХХ столітті теорії та призвів до поглибленого дослідження розрахунків в ХХІ столітті. Якщо при описанні додаткові виміри дійсно компактифіковані, - вони мають існувати як різноманіття СY, навіть якщо вони недоступні для безпосереднього сприйняття органами почуттів людини. Одначе шанси «промацати» вищі виміри все ж таки є. Надію на чуттєве сприйняття розрахункових «невидимих» вимірів надало вирахування гравітонів. Гравітони -- це окремий вид закільцьованих струн, основною властивістю яких є незалежність від бранних меж. Вони є частиної теоретичної моделі, відомої як квантова гравітація. Такі струни можуть залишати звичну для макровсесвіту 3-брану і переходити в інші виміри. Таким чином «побачити» невидимі світи настає можливість через призму гравітації. В тому разі, коли переносники гравітації виявляться здатними на переходи між вимірами, тоді відповідна сила тяжіння повинна зменшуватися зі збільшенням відстані Однак подібна аберація (збільшення) відбуватиметься не за законами Ньютона (закон зворотних квадратів), а швидше. Той факт, наразі дослідники цього не помічали, або ігнорували в своїх описах, може свідчити про компактифікацію додаткових вимірів. Більшість дослідників вважають, що масштаб таких вимірів значно менший за можливості існуючих пристроїв для вимірювання.

Висновки

Історія розвитку теоретичної фізики показує прискорення темпів еволюції з підвищенням частоти революційних відкриттів на межах певних кризових явища, співпадаючих з кризами суспільного розвитку. Кожне нове відкриття не є спонтанним і випадковим, а являється наслідком скрупульозної роботи наукового загалу на потребу соціуму. Розгляд перспективних напрямків розвитку та обґрунтування залучення ресурсів для подальших досліджень в теоретичній фізиці неможливе без ретроспективного історико-методичного аналізу.

Прийнято вважати що історія багатовимірного простору розпочалась з дослідження у вісімнадцятому столітті топологічних тривимірних моделей навколишнього середовища, згодом у дев'ятнадцятому столітті до нього додалася гравітація та електромагнетизм, які змусили задуматись про 4+ вимірну модель просторів. З появою квантової теорії поля та спеціальної теорії відносності науковці увійшли в епоху багатовимірності.

Багатовимірні простори та використання компактифікаціх вимірів у многовидах виникли яка потреба в спрощеному описанні комплексних моделей всесвіту. Запровадження додаткових вимірів в сучасній теоретичній фізиці мотивується проблемами ієрархії у фізиці високих енергій. Проблематика дослідження макро та мікро вимірів вперше була описана в роботах науковців другої половини ХХ століття. Криза полягає в наявності «енергетичної прірви» між масштабом електрослабкої взаємодії (порядку 1 ТеВ) і планківським масштабом квантової гравітації (порядку 1019 ГеВ). А.О. Барвінський зазначає, що ця проблема в космологічному контексті набуває гострого характеру. ЇЇ наявність відображає розрив у 120 порядків величини між масштабом величини спостережуваної космологічної постійної і квантово-гравітаційним масштабом[16]. Через цю прірву намагається перекинута місток об'єднавча теорія струн. Згідно цієї теорії в будь-якій точці чотиривимірного простору-часу присутній прихований компактифікований шестивимірний простір Калабі-Яу.

З появою простороів Калабі та розрахунком можливості компактифікованого описання математичними виразами коплексних вимірів виникла нова таорія та були кардинально переглянуті деякі класичні засади теоретичної фізики. Зокрема змінились підходи до визначення часток матерії, що створило засади до появи Теорії струн. З історичної точки зору Теорія струн настільки насичена, велика і математично важка, що не зважаючи на три десятиліття, які пішли на опанування результатів, наразі важко вказати на чітку межу, за якою результат буде визнано достатньо прорахований. Після першої ейфорії початку ХХІ століття в середовищі теоретиків з'явилось відчуття, що вчені здолали лише не суттєву частину дослідницького шляху. Світ розрахованої тільки теоретично квантової гравітації в сотні мільярдів разів менший за все, що дослідники можуть експериментально виміряти і вимагатиме не стільки еволюційних, скільки появи революційних змін. Переглянутими можуть бути фізичні закони, виникнуть нові константи, доведеться відмовитись від певних теорій, що раніше претендували на статус «класичних». Тому подальший, шлях буде довгим, навіть за найскромнішими оцінками.

Дослідження багатовимірних просторів увібрало в себе як найкращі досягнення, так і розчарування попередніх поколінь. Особливо яскраво ця теза підтверджується при використанні історико - фактичних методів аналізу. Складність математичного викладення багатовимірного простору та його інтерпретації змушує дослідників вдаватись до певних спрощень, або компактифікації. Вирахувано існування певного ряду математичних способів того, як додаткові виміри можуть згортатися задля спрощення в компактний маленький простір. Однак наразі не відомо, який саме з цих способів призводить до найзручнішого описання багатовимірності.

В хронологічному сенсі кожному набору вимірів передувала розробка інструментарію вимірювань. Чітко прослідковується паралель між розвитком лінійних способів, матричного способу, появою тензорів, як засобів вимірювання простору та відповідною кількістю (вимірністю) просторових моговидів у описовій моделі Всесвіту.

Попередниками геометра Яу та фізика-теоретика Калабі було зроблено певну кількість спроб до спрощеної подачі теорії багатовимірного простору. Але спроби, через недосконалість математичних виразів, визнано не досить невдалими. Результативність оцінюється на прикладі використання теоретичного надбання в роботі над аналізом результатів практичних досліджень.

Потреба в дослідженні многовидів заростала паралельно з освоєнням нових енергетичних рівнів. З опануванням певних рівнів високої енергії в середині ХХ століття виникла теорія струн, яка взяла на себе місію зняття певних обмежень теорій-попередниць при моделюванні всесвіту. Основним інструментом поєднання якраз стала компактифікація вимірів у многовидах. В еволюційному сенсі теорія пережила власну «внутрішню революцію», в результаті якої перед загалом постала оновлена теорія. Ближче до 90-х років ХХ століття пропонувалися бекграунди взаємодій на рівні часток, котрі виражались у вигляді струн. Засновані на геометрії 6-вимірних різноманіть Калабі-Яу відповідного розміру, теорії допускали в низькоенергетичних межах наявність супергравітації. Це означало перспективну можливість експериментів освоєння нових вимірів, появу нових часток матерії та вимірювання впливу комплексних мікро=вимірів на реальний макровсесвіт.

Геометрично складне завдання компактифікації за допомогою різноманіття Калабі -- Яу надало дієві рішення для робочої теорії моделювання Всесвіту. Компактифікація вимірювань за допомогою різноманіття Калабі-Яу допомагає уникнути певних ускладнень матричної теорії та чітко проводить межу між історичними етапами розвитку теоретичної фізики рамками другої половини ХХ століття та початком ХХІ ст..

Як одне із кандидатів в єдину об'єднуючу різні підрозділи фізики теорію, припущення про те що Всесвіт складається з десяти вимірів наразі залишається єдино доведеним. Поява незначних теоретичних розгалужень спричинена кризою в поєднанавчому процесі Стандартної моделі фізики часток із Загальною теорією відносності (теорією гравітації) ). По суті компактифікація вимірів у многовиді Калабі-Яу, це крайня історично відома і вдала спроба пояснити та описати за допомогою теорії струн, як взаємодіють усі відомі сили Всесвіту та як можуть бути влаштовані інші можливі всесвіти. За перші десятиліття ХХІ століття спроба не досягла кінцевого результату і еволюціонує паралельно з еволюцією математики та суспільства.