Формирование умения выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы "Треугольник" исследовательским методом

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОУ «Кинделинская средняя общеобразовательная школа» Ташлинского района Оренбургской области

Исследовательская работа по математике:

«Формирование умения выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы «Треугольник» исследовательским методом»

Автор:

Карпушкина Галина Васильевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Кинделинская СОШ»

Ташлинского района Оренбургской области

2011год

Содержание

Введение

Глава 1. Доказательство в геометрии

1.1 Сущность доказательств в геометрии

1.2 Значение доказательств в геометрии

1.3 Основные виды теорем и их структура

1.4 Структура геометрического доказательства, его виды

Глава 2. Формирование умения выводить логические следствия из данных предпосылок на примере изучения темы «Треугольник» исследовательским методом

2.1 Организация исследовательской деятельности при обучении геометрии в основной и старшей школе

2.2 Учебный модуль темы «Треугольник» в средней школе

2.3 Основные цели формирования у учащихся логических исследований

2.4 Организация деятельности учащихся при выработке умений выводить логические следствий

2.5 Необходимые условия понимания и умения делать логические выводы

2.6 Диагностический модуль

Заключение

Библиография

Введение

Традиционно считалось, что геометрия - строго логическая наука, изучение которой в первую очередь (и главным образом) развивает логическое мышление. И.Ф. Шарыгин утверждал, что геометрическое мышление, формирующееся при изучении геометрии, имеет две составляющие - наглядно-образную и логическую. Учителю необходимо создавать «мотивационный фон» особенно при объяснении нового материала в частности при доказательстве математических фактов, сколь бы очевидными они не казались, ибо по словам Д. Пойа роль доказательств в школьном математическом образовании является наиболее существенной частью вклада математики в общую культуру человека. По словам Д. Гильберта, существует поразительная гармония между наглядностью, интуицией и логическим мышлением, заключающаяся в том, что общее и абстрактное, с одной стороны и непосредственно наглядное, с другой, объединяются в единый мир идей. Поэтому доказательства математических факторов должны быть, по возможности, логически строгими и опираться при этом на имеющиеся наглядно-интуитивные представления учащегося. Знакомясь с окружающими предметами и явлениями, человек обнаруживает, что между ними существуют закономерные связи и отношения. Изучая окружающую действительность, люди узнают, например, что плавание тел зависит от их удельного веса, что сгорание приводит к возникновению тепла. Такое отражение действительности называют мышлением. Мышление есть обобщенное отражение в мозге человека предметов и явлений в их закономерных связях и отношениях. Познание в процессе мышления объективных закономерностей позволяет человеку судить на основании непосредственно наблюдаемых свойств действительности о её существенных особенностях, которые не обнаруживаются в восприятии.

Таким образом, человек не только непосредственно воспринимает внешнюю сторону предметов и явлений, но и начинает обнаруживать закономерные, существенные связи, отношения между ними, т.е. мыслит.

Например, в геометрическом понятии «треугольник» отражаются общие свойства самых различных треугольников, обладающих различной величиной, различными соотношениями сторон, различными углами и т. д.

Различают три основные формы мышления: понятие, суждение и умозаключение.

Понятие - это форма мышления, в которой отражается общее и притом существенные свойства предметов и явлений. Каждый предмет, каждое явление имеют много различных свойств, признаков. Их можно разделить на две категории- существенные и несущественные. Например, каждый отдельный треугольник имеет три угла, определенные размеры - длину сторон и площадь, определенную величину углов. Но только первый признак делает фигуру треугольником, позволяет отличить ее от других фигур: прямоугольника, круга.

Суждение - это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов и их свойств. В суждениях отражаются связи и отношения между предметами и их свойствами и признаками.

Умозаключение - такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные предпосылки, выводит из них новое заключение. Типичный пример умозаключения - доказательство геометрических теорем. Человек пользуется в основном двумя видами умозаключений - индуктивными и дедуктивными.

Индукция - это способ рассуждения от частных суждений к общему суждению, установление общих законов и правил на основании изучения отдельных фактов и явлений.

Дедукция - это способ рассуждения от общего суждения к частному суждению, познание отдельных фактов и явлений на основании знания общих законов и правил.

В своей работе я хочу проследить как в процессе доказательства формируются умения выводить логические следствия из данных предпосылок на примере темы «Треугольник», каким образом это влияет на развитие логического мышления, так как развитие логического мышления является одним из важнейших элементов воспитания в школе. В геометрии наибольшее значение для развития логического мышления имеют задачи на доказательство (теоремы). Они способствуют развитию у учащихся определенности, последовательности, обоснованности мышления. На этих задачах учитель может научить учащихся таким методам познания, как анализ, синтез. Для того, чтобы ребенок начал мыслить, перед ним необходимо поставить новую задачу, в процессе решения которой он мог бы использовать приобретенные ранее знания. Мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляется в доказательствах, выводах, при решении задач.

На уроках учитель заставляет ребенка планомерно производить анализ каких-либо предпосылок, синтезировать отдельные элементы в единое целое, сравнивать их, делать на основании известных данных обоснованные выводы и умозаключения. Ничто так, как математика, не способствует развитию мышления, особенно логического, так как предметом ее изучения являются отвлеченные понятия и закономерности.

Из всего сказанного вытекает цель:

Теоретически обосновать и продемонстрировать эффективность применения исследовательского метода для формирования умения у учащихся выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы «треугольник».

Для реализации цели работы нами было организовано исследование, объектом которого является процесс формирования правильного мышления учащихся, а предметом - процесс формирования у учащихся умения выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы «Треугольник».

В процессе исследования нами обосновывалось следующая гипотеза: формирование у учащихся умения выводить логические следствия из данных предпосылок наиболее эффективно проводить при изучении темы «Треугольник» исследовательским методом.

Задачи:

- определить роль логического мышления в процессе обучения школьников;

- изучить литературу, раскрывающую основные виды теорем, их структуру;

-раскрыть сущность формирования умений вывода следствий из имеющихся предпосылок;

- проследить и раскрыть структуру геометрического доказательства;

-рассмотреть методы формирования умений учащихся проводить логические исследования при доказательстве теорем и следствий из имеющихся предпосылок;

Глава 1. Доказательство в геометрии

1.1 Сущность доказательств в геометрии

В геометрии термин «доказательство» понимают как доказательство логическое. Логическое доказательство есть мыслительный процесс обоснования данного суждения путем приведения ранее нам известных истинных суждений, из связи которых данное суждение вытекает как необходимое следствие.

Доказательство каждой геометрической теоремы преследует две цели:

Оправдание истинности теоремы

Выяснение места данной теоремы среди других предложений геометрии.

Итак, доказательство представляет собой систему умозаключений, при помощи которых истинность доказываемого предложения выводится из аксиом и ранее доказанных истин. А истинность дедуктивного вывода обусловлена тем, что в нем мы прилагаем некоторые общие законы к частным случаям, так как совершенно очевидно, что все то, что справедливо вообще и всегда, будет справедливо и для каждого отдельного случая.

1.2 Значение доказательств в геометрии

Доказательство геометрического предложения имеет своей целью установление его достоверности при помощи логического вывода из уже доказанных или известных истин. Существенной особенностью геометрического доказательства в значительной степени определяющей его необходимость, является то, что при помощи доказательства устанавливаются общие свойства фигур. Если доказательство проведено правильно и опиралось на правильные исходные положения, то это дает нам безусловную уверенность в истинности доказываемого положения. Именно поэтому мы убеждены, что любая геометрическая теорема, например теорема Пифагора, справедлива для треугольников любых размеров с длиной сторон и в несколько миллиметров и в миллионы километров.

Наконец, есть еще одна, чрезвычайно важная причина, обусловливающая необходимость доказательства. Дело в том, что геометрия представляет собой не случайный набор истин, описывающих свойства фигур, а научную систему, построенную по строгим законам. В этой системе каждая теорема органически связана с совокупностью ранее установленных предложений, и эта связь раскрывается при помощи доказательства.

Пример 1.

Известная теорема о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 180, доказывается на основании свойств параллельных прямых. Что указывает на непосредственную связь между теорией параллельных прямых и свойствами сумм внутренних углов многоугольников.

Точно так же на свойства параллельных прямых опирается вся теория подобия фигур.

Итак, подводя итоги всему изложенному о необходимости доказательства, мы можем сказать следующее:

а) в геометрии только небольшое число основных истин - аксиом - принимается без доказательства. Остальные же истины - теоремы - доказываются на основании этих аксиом путем построения ряда умозаключений.

б) в правильно построенном доказательстве опираться только на известные предпосылки или аксиомы.

в) доказательство необходимо также для обоснования сущности доказываемого предложения , т.е. применимости его ко всем частным случаям.

г) наконец, при помощи доказательств геометрические истины приводятся в стройную систему научных знаний, в которой раскрываются все внутренние связи между различными свойствами пространственных форм

1.3 Основные виды теорем и их структура

Утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называют теоремой. Когда в геометрии формируется свойство какой-нибудь фигуры, то тем самым формируется теорема. Итак, теорема - это высказывание о том, что из свойства А следует свойство В (А=>В).

Рассмотрим некоторые виды теорем. Пусть дана теорема А=>В. Образуем из нее высказывания вида В=>А, А=>В.

Теоремы А=>В и В=>А называются обратными друг другу, теоремы А=>В и -А=>-В - противоположными друг другу. Теорему -В=>-А называют обратной противоположной.

Пример 2.

Пусть дана теорема: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Обратная данной: «Если углы при основании треугольника равны ,то этот треугольник равнобедренный».

Противоположная теорема данной «Если треугольник не равнобедренный, то углы при основании не равны».

Обратная противоположной «Если в треугольнике углы при основании не равны, то этот треугольник не равнобедренный ».

В теореме различают условие и заключение. Во многих современных учебниках написано: «Условие теоремы - это то, что дано, а заключение - то, что требуется доказать». Также про заключение написано, что оно выражает факт, который в силу условия неизбежно имеет место. Ученый Адамар возвращался к этой мысли. Он считал необходимым подчеркнуть ее: «Чтобы провести это рассуждение надо, основываясь на условие теоремы и предполагая, что это условие выполнено, вывести из него факты, указанны в заключении».

В теореме о равенстве треугольников утверждается, что если треугольники имеют по три равные стороны, то они обязательно равны. Авторы учебников понимают, что условие теоремы является необходимой предпосылкой заключения. Но ученикам это остается неизвестным, многим в начале изучения геометрии, а некоторым и в дальнейшем.

Пример 3.[18]

Теорему «Равные треугольники» можно записать в другой форме «Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника , то эти треугольники равны». Для чего теорему записывают таким образом? Чтобы сразу было видно, что дано (на что нужно опираться при доказательстве), и что надо доказать.

Яснее становится постановка задачи и, следовательно, легче найти доказательство.

Но, следует помнить, что утверждения бывают истинные и ложные. Что нужно сделать, чтобы опровергнуть неверное суждение? Чтобы опровергнуть неверное утверждение, достаточно привести один противоречащий пример (контрпример) - пример, удовлетворяющий условию этого утверждения, но не удовлетворяющий его заключению. Рассмотрение контрпримеров помогает ученику понять необходимость каждого условия теоремы, облегчает запоминание. Построение контрпримеров позволяет отсекать неверные гипотезы при решении задач, помогает, когда уточняется формулировка теоремы и при поиске ее доказательства. Чтобы класс освоил построение контрпримеров, нужно на одном из уроков рассмотреть несколько контрпримеров и дать подобные задачи на дом. Затем, время от времени, после доказательства теоремы, опустив какое-то условие, предложить классу доказать, что полученное утверждение неверно.

Пример 4. [18]

Если две стороны и угол одно треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника такие треугольники равны. (верно ли это утверждение?) Ответ: Нет.

Контрпример: Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и отметим точку Д на продолжении стороны АС . Тогда треугольники ДВС и ДВА обладают указанным свойством, но не являются равными.

Услышав сообщение учителя «Сегодня мы докажем теорему», ученик сразу спрашивает: «А зачем?» Очень трудно осваивать теорему, если считаешь, что она не нужна. Учитель не должен забывать об этом. Не только о первой, но о каждой теореме нужно сказать несколько слов о том, как возникла эта проблема, зачем нужно ее решать. Учителю - то известно ее значение, связь с другим материалом.

1.4 Структура геометрического доказательства, его виды

Рассмотрим структуру геометрического доказательства. Логическое доказательство состоит из трех частей:

Тезис - доказываемое положение

Основания или аргументы - суждения, на которые опирается доказательство.

Демонстрация или способ доказательства - рассуждение, выводящее из истинности принятых оснований истинность доказываемого тезиса.

Короче их можно охарактеризовать так:

Тезис - что доказывается

Аргументы - чем доказывается

Демонстрация - как доказывается

Абсолютно необходимыми условиями возможности перехода к демонстрации являются:

Ясное и четкое понимание самого тезиса и всех предшествующих ему предложений, необходимых для доказательства.

Установление точного смысла тезисов, встречающихся в тезисе и аргументах.

Без предварительного выполнения этих условий переход к демонстрации невозможен.

Сам термин «доказательство» употребляется в математике в смысле «рассуждение», устанавливающее истинность того или иного суждения, связь мыслей, приводящая к определенному выводу относительно тезиса. Иначе говоря, доказательство есть демонстрация - выведение тезиса из аргумента.

Обычно в процессе доказательства в качестве аргументов используются:

а) данные, содержащиеся в условии теоремы;

б) ранее доказанные теоремы;

в) аксиомы;

г) определения.

Аргументы используются в посылках и притом так, чтобы из каждой пары посылок необходимо следовал вывод. Выводное суждение каждого умозаключения (силлогизма) является уже аргументом по отношению к последующим силлогизмам. Выводное суждение последнего силлогизма должно содержать доказываемый тезис.

Следовательно, доказательство представляет собой систему умозаключений, логическую цепь силлогизмов, которая начинается с данных или ранее известных положений и заканчивается доказываемым тезисом. Простейшие доказательства могут состоять из одного силлогизма. В этом случае выводное суждение, являющееся доказываемым тезисом, предшествует посылкам и доказательство сводится к подбору посылок из которых следовал бы тезис.

Пример5.

Доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов

Подбираем посылки:

развернутый угол составляет 180 градусов .

углы треугольника в сумме составляют развернутый угол.

Они и служат оправданием тезиса.

Выделяют следующие виды доказательств:

Прямое доказательство.

Прямым доказательством называется доказательство, в котором аргументы непосредственно доказывают тезис. Прямые доказательства могут быть синтетическими и аналитическими.

Косвенное доказательство.

Косвенным доказательством называется доказательство, в котором истинность тезиса обосновывается посредством опровержения истинности других положений.

Пусть требуется доказать, что «А» есть «В» (тезис).В случае прямого доказательства мы ищем основания , из которых вытекает данный тезис; в косвенном апагогичном доказательстве доказываем ложность суждения, противоречащего тезису, т.е. ложность суждения «А» не есть «В» (антитезис). Косвенное апагогическое доказательство называют «доказательством от косвенного» или от противного.

Пример 6.

При доказательстве теоремы «Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона»

Большая посылка : угол С > угла В

а) либо АВ= АС;

в) либо АВ < АС ;

г) либо АВ > АС.

Приводим к нелепости две первые возможности:

Силлогизмы примут вид:

Если : угол С > угла В то возможны три случая:

или АВ= АС; либо АВ < АС ; либо АВ > АС

Опираясь на ранее изученную теорию, получаем:

суждение АВ= АС - ложно

суждение АВ < АС - ложно

Следовательно, суждение АВ > АС - истинно.

Посылками в решении этой задачи служат предложения:

1)У равностороннего треугольника стороны равны.

2)У равнобедренного треугольника две стороны равны.

Это и доказывает наше утверждение.

Силлогизмом - называется дедуктивное умозаключение, в котором из двух данных суждений (посылок) выводится третье суждение (заключение).

Пример 7.

Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?

Решение: Треугольник АВС - равносторонний и поэтому ____=____=___.

Поскольку ,например, ____= _____, его можно считать равнобедренным с основанием ____. Если рассмотреть другие пары сторон, то его можно считать равнобедренным с основанием _______.

Посылками в решении этой задачи служат предложения:

1)У равностороннего треугольника стороны равны.

2)У равнобедренного треугольника две стороны равны.

Это и доказывает наше утверждение.

Правила:

Термин, не распределенный в посылках, не может быть распределен в заключении.

Из двух отрицательных посылок нельзя вывести никакого заключения.

Если одна из посылок есть отрицательное суждение, то и заключение может быть только отрицательным.

Из двух частных посылок не следует никакого заключения.

Если одна из посылок частная, то и заключение может быть только частным.

Следует отметить, что доказательство может проходить в нестандартной форме, например, путем возбуждения сомнений в справедливости теоремы. Только зная эти основные моменты, мы можем более детально понять сущность самого процесса доказательства.

Глава 2. Формирование умения выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы «Треугольник» исследовательским методом

2.1 Организация исследовательской деятельности при обучении геометрии в основной и старшей школе

Основным методом всех технологий развивающего обучения является исследовательская деятельность учащихся.

В научно-методической литературе методы исследования называют также метод открытий, эвристическим методом и методом решения проблем.

И сегодня очень актуально звучат слова В.П. Вахтерова о том, что образован не тот, кто много знает, а тот, кто хочет много знать, и умеет добывать эти знания. Он подчеркивал исключительную важность мыслительных умений школьников - умения анализировать, сравнивать, комбинировать, обобщать и делать выводы; важность умения пользоваться приемами научного исследования, хотя бы и в самой элементарной форме.

Исследовательская деятельность учащихся - это совокупность действий поискового характера, ведущая к открытию неизвестных для учащихся фактов, теоретических знаний и способов деятельности.

В качестве основного средства организации исследовательской работы выступает система исследовательских заданий.

Исследовательские задания - это предъявляемые учащимися задания, содержащие проблему; решение ее требует проведения теоретического анализа, с помощью которых учащиеся открывают ранее неизвестное для них знание.

Цель исследовательского метода - «вызвать» в уме ученика тот самый мыслительный процесс, который переживает изобретатель данного открытия или изобретения. Школьник должен почувствовать прелесть открытия.

Таким образом, исследовательский процесс - это не только логико- мыслительное, он и чувственно-эмоциональное освоение знаний.

Основные этапы учебного исследования

1 Мотивация исследовательской деятельности

2 Формулирование проблемы

3 Сбор, систематизация и анализ фактического материала

4 Выдвижение гипотез

5 Проверка гипотез

6 Доказательство или опровержение гипотез

1) Мотивация - очень важный этап процесса обучения, если мы хотим, чтобы оно было творческим. Целью мотивации, как этапа урока, является создание условий для возникновения у ученика вопроса или проблемы.

2) Этап формулирования проблемы - самый тонкий и «творческий» компонент мыслительного процесса. В идеале сформулировать проблему должен сам ученик в результате решения мотивирующей задачи. Однако в реальной школьной практике такое случается далеко не всегда: для очень многих школьников самостоятельное определение проблемы затруднено; предлагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными. А поэтому необходим контроль со стороны учителя.

3) Сбор фактического материала может осуществляться посредством проведения испытаний, всевозможных проб, измерения частей фигуры, каких-либо параметров и т.д. Пробы (испытания) не должны быть хаотичными, лишенными какой-либо логики. Необходимо задать их направление посредством пояснений, чертежей и т.п.

Систематизацию и анализ полученного материала удобно осуществлять с помощью таблиц, схем, графиков и т.п. - они позволяют визуально определить необходимые связи, свойства, соотношения, закономерности.

4) Выдвижение гипотез. Полезно прививать учащимся стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придает высказываниям точность и лаконичность. Не нужно ограничивать число предлагаемых учащимися гипотез.

5) Проверка гипотез позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предложений, а может внести изменения в их формулировки. Расхождение результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее справедливости.

6) На последнем этапе происходит доказательство истинности гипотез, получивших ранее подтверждение; ложность же их может быть определена с помощью контрпримеров. Поиск необходимых доказательств часто представляет большую трудность, поэтому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки.

Пример 8

В качестве иллюстрации учебного исследования можно привести фрагмент урока геометрии по теме «Теорема Пифагора». Мотивирующей (исходной) задачей может служить следующая задача: «Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?»

Анализируя математическую модель этой практической задачи, учащиеся формулируют проблему - нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.

Для решения этой проблемы можно организовать практическую работу исследовательского характера, предложив учащимся задание по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 12 и 5; 6 и 8; 8 и 15 см и измерить гипотенузу. Результаты заносятся в таблицу.

а 12 6 8

b 5 8 15

с 13 10 17

Затем учащимся предлагается выразить формулой зависимость между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках. Школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются.

После установления зависимости между сторонами прямоугольного треугольника эмпирический вывод требует теоретического обоснования, т.е. доказывается теорема Пифагора.

В качестве домашнего задания по этой теме можно предложить исследовательскую работу со следующей мотивирующей задачей:

«Кто же на самом деле открыл теорему Пифагор? Почему она долгое время называлась «теоремой невесты»? Существуют ли другие доказательства теоремы?»

Цель этой исследовательской работы - научить учеников использовать дополнительную литературу, применять Интернет в собственной образовательной деятельности.

Несколько примеров мотивирующих задач.

Пример 9 [24]

При изучении темы «Сумма внутренних углов треугольника» в качестве исходного задания можно предложить такую задачу: «Построить треугольник по трем заданным углам:

1) . А = 90о, . В = 60о, . С = 45о;

2) . А = 70о, . В = 30о, . С = 50о;

3) . А = 50о, . В = 60о, . С = 70о».

Учащиеся, вооружившись линейкой и транспортиром, начинают строить треугольники. В первом случае, построив углы А и В и отложив угол в 45о от луча АС (или ВС, кому как нравится), ребята увидят, что вместо треугольника получается четырехугольник. Во втором случае независимо от того, какие первые два угла школьники выбирают для построения, всегда получается треугольник, третий угол которого больше, либо меньше заданного. И только в третьем случае выстраивается треугольник по трем заданным углам.

По окончании уже можно выдвинуть предположение о сумме углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: «В каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов больше, в остроугольном или тупоугольном?» Практика показывает, что почти в каждом классе найдутся несколько человек, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по аналогии скажут, что сумма внутренних углов тупоугольного треугольника больше, чем остроугольного. Далее им предлагается на практике проверить свое утверждение.

Математика дает широкое поле для исследования. Изучая математику, учащиеся кратко повторяют путь человечества, который оно прошло, добывая математические знания.

Пример 10 [24]

Рассматриваем многогранники. Учащиеся могут самостоятельно прийти к соотношению между числом вершин, граней и ребер для любого выпуклого многогранника, которое выражается известной формулой Эйлера.

Для эксперимента учащимся предлагаются модели различных выпуклых многогранников, используя которые, они заполняют таблицу.

Вид многогранника В Г Р Примечание

Тетраэдр

Октаэдр

Икосаэдр

Додекаэдр

12-угольная пирамида

8-угольная призма

…

Не следует предлагать учащимся вычислять значения готового выражения

В + Г - Р.

Больше пользы будет в том случае, если они сами, выполняя действия над числовыми характеристиками, получат требуемое равенство. Лишь в случае значительных затруднений можно оказать им некоторую помощь.

Иногда за урок удается решить одну крупную проблему, или же урок может содержать несколько мелких проблемных заданий.

Кроме уроков-исследований существуют также мини-исследования. В них присутствуют лишь некоторые исследовательские элементы. Выполнение задания занимает несколько минут.

Вот примеры совсем небольших проблем-вопросов: «Почему треугольник назван «треугольником»? Можно ли дать ему другое название, также связанное с его свойствами?»

Кроме исследовательской работы на уроках возможна самостоятельная исследовательская работа учащихся. Виды самостоятельных исследовательских работ разнообразны.

Самостоятельная исследовательская работа учащихся предполагает наличие основных этапов, характерных для научного исследования.

Основные этапы научного исследования

1 Постановка проблемы

2 Знакомство с литературой по проблеме исследования

3 Сбор собственного материала

4 Анализ, обобщение

5 Выводы

Результат исследования неизвестен заранее.

Конечный результат обладает практической ценностью.

Учащиеся 5-7-х классов приобретают простейшие знания, умения и навыки, необходимые для выполнения исследовательской работы. Детей обучают основам самостоятельной деятельности, развивают нестандартное мышление.

Учащиеся 8 - 9-х классов выполняют исследовательские задания творческого характера. На этом этапе усложняются формы исследовательской работы, увеличивается их объем. Учащимся можно предложить следующие темы для рефератов и исследовательских работ:

Замечательные точки в треугольнике.

Различные способы доказательства теоремы Пифагора.

В 10 - 11 классах происходит углубление знаний по методике исследования и обработке результатов. Все это осуществляется в процессе длительной самостоятельной работы

2.2 Учебный модуль темы «Треугольник» в средней школе

Государственный стандарт образования по геометрии требует такой уровень подготовки учащихся при котором учащиеся должны : дать определение фигуры, сформулировать ее свойство или признак, указанный в теореме, и доказать эту теорему выстраивать логические предложения при решении задач уровня базовой и профильной подготовки

При этом учащиеся должны:

* дать определение фигуры, включающее в себя как вербальное определение, так и графическое - чертеж;

* правильно воспроизвести формулировку теоремы, проиллюстрировав ее выполнением чертежа по условию теоремы;

* привести доказательство теоремы, при этом доказательство считается выполненным верно, если учащийся правильно привел схему доказательства, обосновал все логические шаги, выполнил чертежи, которые правильно отражают, кроме условия, еще и ход доказательства отражающий ее содержание и смысл.

Кроме того, учащиеся должны показать умение геометрически грамотно выполнять чертежи: правильно отмечать равные элементы фигур, проводить медианы треугольников, высоты треугольников, проекции и т.д.

При этом ученик должен владеть методами доказательств, интегрировать знания из различных тем курса планиметрии и стереометрии, владеть исследовательскими навыками, а также уметь найти и применить нестандартные приемы рассуждений.

Здесь требуются:

умение применять известные факты в измененной ситуации;

знания о свойствах различных конфигураций;

умение проводить логические исследования;

владение способами и методами решения различных типов задач.

Именно такие требования в последние годы предъявляются математическим сообществом к умению решать геометрические задачи. Этот подход реализуется и при отборе задач в варианты ЕГЭ по математике

Изучение темы «Треугольник» в курсе планиметрии предполагает раскрытие следующих тем [27]:

Внутренние и внешние углы треугольника. Стороны треугольника, его медианы, биссектрисы, высоты.

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.

Равнобедренный треугольник. Свойства и признаки. Равносторонний треугольник.

Признаки равенства треугольников.

Неравенство треугольника. Перпендикуляр и наклонная.

Сумма углов треугольника. Сумма углов выпуклого многоугольника.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника.

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°.

Теорема синусов и теорема косинусов. Решение треугольников.

Замечательные точки треугольника - точки пересечения: серединных перпендикуляров (центр окружности, описанной около треугольника), биссектрис (центр окружности, вписанной в треугольник), медиан, высот.

Тема «Треугольник « применяется при изучение свойств геометрических тел в стереометрии, что способствуют развитию пространственных представлений учащихся, освоение способов вычисления практически важных геометрических величин и дальнейшее развитие логического мышления учащихся в старших классах при изучении таких тем, как:

Параллелепипед и пирамида

Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

Свойства параллельных сечений в пирамиде

Боковая поверхность призмы и пирамиды

Упражнения.

Этому курсу присущ систематизирующий и обобщающий характер изложений, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в основной школе. Высокий уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость систематического изложения соединяется с привлечением наглядности на всех этапах учебного процесса и постоянным обращением к опыту учащихся. Умение изображать важнейшие геометрические тела, вычислять их объёмы и площади поверхностей имеют большую практическую значимость. Для эффективной реализации курса необходимо использовать разнообразные формы, методы и приёмы обучения, делая особый упор на развитие самостоятельности, познавательного интереса и творческой активности учащихся. Для этой цели проводят уроки:

лекции;

уроки консультации;

самостоятельные работы;

зачеты;

итоговые контрольные работы.

Для тех учащихся, которые хотят продолжить образование, связанное с геометрией, практикум решения задач исследовательским методом будет способствовать успешной сдаче единого государственного экзамена по математике, вступительного экзамена в ВУЗ и успешного обучения в ВУЗ-е

Решение стереометрических задач на свойства геометрических тел, нахождение площадей поверхностей и объемов этих тел, позволяют получить углубленные знания по геометрии и дают ориентацию на инженерные профессии, связанные с математикой.

Пример:

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите плоский угол при вершине.

Исследование при решении этой задачи можно провести без чертежа:

Первый способ:

Пусть боковое ребро равно a. Оно наклонено к основанию под углом 45°, поэтому проекция этого ребра равна половине диагонали основания, то есть Вторая половина диагонали образует с ней прямой угол и дает прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенуза которого равна a, следовательно, боковая грань - равносторонний треугольник с углом при вершине 60°

Второй способ:

Теорема. Если некоторая прямая образует с прямой на плоскости угол a, с проекцией на эту плоскость b,

а проекция с прямой на плоскости угол g, то

cos a = cos b cos g.

Применительно к данной задаче это выглядит так.

Обозначим через a угол между боковым ребром и ребром основания, между боковым ребром и проекцией - через b (b = 45°), между проекцией и ребром основания - через g (g = 45°). Тогда по теореме трех косинусов имеем следовательно, a = 60°.

Так как боковая грань - равнобедренный треугольник, то в данном случае он и равносторонний. Плоский угол при вершине равен 60°.

Иначе задачу можно сформулировать так: плоский угол при вершине равен 60°. Найдите угол наклона бокового ребра к основанию.

Задача 2.



В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности в n раз больше площади основания. Определите угол наклона бокового ребра к основанию.

Решение. Обозначим угол KCO через - b, линейный угол двугранного угла CD - угол KMO - через a.

Учащиеся знают, что если некая фигура образует с плоскостью угол a, а проекция этой фигуры на плоскость имеет площадь Sо, то площадь фигуры Следствием из этой теоремы является зависимость между площадями основания правильной пирамиды и боковой поверхности. В рассматриваемом случае имеем

Так как площадь боковой поверхности в n раз больше площади основания, то имеем



откуда

Решение задачи сводится к определению угла b, если известен угол a.

Углы a и b принадлежат двум прямоугольным треугольникам, «связанным» общим катетом KO. Вторые катеты OC и OM легко вычисляются один через другой (гипотенуза и катет прямоугольного равнобедренного треугольника). Поэтому используем функцию тангенс. Имеем

Используем следующую «изюминку»: умножим эту дробь на дробь имеем Перепишем иначе это выражение: имеем где

Задача свелась к определению tg a, если известен его косинус. Как же это сделать?

Учащиеся знают формулу



Но ученик может «случайно» забыть формулу или ошибиться в преобразованиях. Я же в свое время заставлял учеников ни в коем случае не решать по формулам, а находить значение любой тригонометрической функции через известную формулу только устно.

Представим в уме прямоугольный треугольник. Обозначим один из острых углов через a, гипотенузу - через n, прилежащий к углу a катет положим равным 1. Второй катет по теореме Пифагора равен тогда

Задача решена. Имеем

Без использования этих двух «изюминок» решение задачи было бы сложнее. Для самоконтроля можно решить следующую задачу.

В правильной шести- или n-угольной пирамиде высота образует с боковым ребром угол a. Определите, какой угол образует высота с боковой гранью.

2.3 Основные цели формирования у учащихся логических исследований

Главными, основными целями формирования умений выводить логические следствия следует считать:

познание пространственных форм материального мира и отношений между ними при помощи дедукции.

развитие логического мышления и речи учащихся

В подчиненном отношении к этим основным целям находятся:

задача убеждения

задача обоснования

приобретение навыка в самостоятельном построении доказательств.

Взаимная связь и обусловленность основных целей состоит в том, что познание при помощи дедукции воспитывает и развивает логическое мышление, мы создаем и расширяем возможности использования дедукции как метода познания действительности. Рассматривая доказательство как цепь, как систему умозаключений его можно считать и логическим упражнением. Именно в доказательстве осуществляется наиболее непосредственное, наиболее полное и последовательное применение и использование законов и форм логического мышления. Нигде так ярко, отчетливо и последовательно не применяется и не осуществляется требование обоснованности мышления, как в доказательстве. Само содержание доказательств осуществляет соприкосновение с законами и формами логического мышления. Эта специфическая особенность доказательств, служит достаточным основанием, чтобы выдвинуть и подчеркнуть задачу воспитания логического мышления и развития речи как особую, как специальную цель изучения доказательств в школе.

Трудно представить себе преподавателя математики, который не знал бы, что изучение доказательств должно способствовать развитию и укреплению навыков и приемов логического мышления. Но такое знание оказывается чисто формальным и совершенно бесполезным для дела знанием, если учитель на каждом шагу и во всех случаях не учит учащихся правильно рассуждать, не прививает им навыки логического мышления, не следит за речью учащихся, не вырабатывает у них умения точно и правильно выражать свои мысли.

Возможность сознательного усвоения и понимания доказательств зависит от того насколько учитель осознает необходимость постановки такой цели и насколько последовательно, планомерно он стремится к ее осуществлению.

2.4 Организация деятельности учащихся при выработке умений выводить логические следствий

Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего его мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков. Эффективность исследовательской деятельности зависит и от меры увлеченности ученика этой деятельностью, и от умения ее выполнять. Представляется необычайно полезным прививать школьникам вкус к исследованию, вооружать их методами научно - исследовательской деятельности.

Необходимо при этом, чтобы ученики:

а) владели определениями, терминами и обозначениями, используемыми в формулировке и доказательстве теоремы;

б) приняли посильное участие в составлении ее формулировки;

в) освоили формулировку, выделили условие и заключение;

г) освоили первые шаги (умели сделать чертеж как можно более близким к условию, внести в него все, что дано в условии, ввести необходимые обозначения, записать условие и заключение, используя выделенные обозначения.

Существенную роль в усилении прикладной и практической направленности курса геометрии и одновременно в развитии способностей учащихся к самостоятельным исследованиям играют задания, выполнение которых представляет собой относительно завершенный исследовательский цикл: наблюдение - гипотеза - проверка гипотезы.

Выполняя исследования, ученики развивают также и навыки использования инструментов. Очень важно так организовать учебную работу детей, чтобы они ненавязчиво усваивали бы процедуру исследования, последовательно проходя все его основные этапы: - мотивация исследовательской деятельности:

- постановка проблемы;

- сбор фактического материала;

- систематизация и анализ полученного материала;

- выдвижение гипотез;

- проверка гипотез;

- доказательство или опровержение гипотез.

И здесь задача учителя найти простые и удобные средства для практической реализации каждого из названных этапов. Изложение в учебнике по необходимости краткое. Объявляется теорема, следом идет доказательство. Но урок - это не пересказ учебника. Перед учителем возникают вопросы: как подвести учеников к теореме, новому понятию, привлечь их внимание? Не заинтересуешь - не будут слушать и ничего не усвоят. Сообщить готовое быстрее, чем открывать его вместе с учениками. Но от «прослушанного» как известно, через две недели в памяти остается не более 20%. Не обернется ли такая «экономия» перегрузками, когда придется десять раз повторять? Самостоятельное открытие теорем вызывает интерес у учеников. Материал усваивается глубже, укрепляется желание к познанию нового, развивается мышление. Чтобы ученики могли принять участие в выдвижении гипотезы, в открытии некоторого свойства, учитель должен предложить специальные подготавливающие вопросы и задачи. Возможно, первая попытка ученика сформулировать теорему окажется не очень удачной. С помощью примеров и контрпримеров учитель помогает уточнить формулировку, доказать необходимость каждого условия теоремы. Вызывают интерес вопросы учителя, заданные с целью заронить сомнение в справедливости теоремы. Подготавливающие задачи и вопросы имеют большое значение. Рассмотрение некоторой задачи помогает учителю убедить класс в необходимости доказательства теоремы. Иногда решение задачи является частью доказательства. Бывает, что теорема является логическим следствием рассмотренной задачи. Может показаться, что использование подготавливающих задач отнимает много времени. Но одна из главных целей обучения математики - обучение решению задач, а подготавливающая задача - это новая задача и , как правило, нестандартная. Решение этих задач, кроме подготовки к освоению теоремы, еще и развивает мышление, учит поиску решения. Подготавливающие задачи не только облегчают понимание теории, но и позволяют достичь глубокого ее усвоения.

Целесообразно обратить внимание учеников на первые шаги доказательства (сделать чертеж, ввести обозначения, выделить и записать условие и заключение), подчеркнуть их значение. Если все ученики овладевают первыми шагами, то это существенно облегчит доказательство теорем.

Многие ученики считают излишним записывать условие и требование задачи. Сообщить готовое быстрее, чем открывать его вместе с учениками. Но от «прослушанного» как известно, через две недели в памяти остается не более 20%. Не обернется ли такая «экономия» перегрузками, когда придется десять раз повторять? Самостоятельное открытие теорем вызывает интерес у учеников. Материал усваивается глубже, укрепляется желание к познанию нового, развивается мышление. Чтобы ученики могли принять участие в выдвижении гипотезы, в открытии некоторого свойства, учитель предлагает специальные подготавливающие вопросы и задачи. Возможно, первая попытка ученика сформулировать теорему окажется не очень удачной. С помощью примеров и контрпримеров учитель помогает уточнить формулировку, доказать необходимость каждого условия теоремы. Вызывают интерес вопросы учителя, заданные с целью заронить сомнение в справедливости теоремы.

Подготавливающие задачи и вопросы имеют большое значение. Рассмотрение некоторой задачи помогает учителю убедить класс в необходимости доказательства теоремы. Иногда решение задачи является частью доказательства. Бывает, что теорема является логическим следствием рассмотренной задачи. Может показаться, что использование подготавливающих задач отнимает много времени. Но одна из главных целей обучения математики - обучение решению задач, а подготавливающая задача - это новая задача и , как правило, нестандартная. Решение этих задач, кроме подготовки к освоению теоремы, еще и развивает мышление, учит поиску решения. Подготавливающие задачи не только облегчают понимание теории, но и позволяют достичь глубокого ее усвоения. Целесообразно обратить внимание учеников на первые шаги доказательства (сделать чертеж, ввести обозначения, выделить и записать условие и заключение), подчеркнуть их значение. Если все ученики овладевают первыми шагами , то это существенно облегчит доказательство теорем. Многие ученики считают излишним записывать условие и требование задачи. Нужно их убедить, что, не используя условие, нельзя решить задачу или доказать теорему. Требование мы записываем, чтобы видеть цель. Когда не удается решить задачу или доказать теорему нередко причина состоит в том, что не использовано условие или упущена из вида цель.

Пример 11 [29]

Рассмотрим урок по теме “ Теорема о сумме углов треугольника”

с использованием элементов исследования.

Тема: “ Теорема о сумме углов треугольника ”

Цели урока:

сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника;

формировать умение анализировать, обобщать, использовать элементы исследования; развивать внимание, мышление, математическую речь.

Оборудование: доска, линейка, плакат, карточки - треугольников.

Ход урока

(мотивация) На предыдущих уроках мы с вами изучали признаки и свойства параллельности прямых. И сегодня на уроке, полученные по этой теме знания, помогут сделать открытие. Фигура, с которой мы будем работать, вам уже знакома. А сегодня мы найдем сумму всех ее углов.

(сбор фактического материала)

1) Сформулируйте определение треугольника.

(Треугольник - это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.)

2) Назовите элементы треугольника. (Вершины, стороны, углы.)

3) Какие треугольники различают? (По сторонам: разносторонние, равносторонние, равнобедренные; карточки - треугольники)

4) Треугольники различают и по углам. Давайте с вами составим рассказ по теме « Угол».

Для помощи используем план, записанный на доске.

1. Угол - это фигура, …

Если …, то угол называют …

Внутренний угол треугольника - это …

Ответы:

1. Угол - это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а точку - вершиной.

2. Если величина угла 900, то угол называют прямым.

Если - 1800, то развернутым. Если больше 00. но меньше 900, то называют острым. Если больше 900, но меньше 1800, называют тупым. Т.о. углы бывают тупые, острые, прямые и развернутые.

3. Внутренний угол треугольника - угол, образованный его сторонами, вершина треугольника является вершиной его угла.

Значит, в треугольнике углы могут быть различными: тупыми, острыми и прямыми.

5) Начертите угол: (1 ученик делает на доске)

1 - ряд - тупой; 2 - ряд - прямой; 3 - ряд острый.

Дополните рисунок до треугольника. Что для этого нужно сделать?

(Взять по точке на сторонах угла и соединить их отрезками.)

6) Полученные треугольники можно назвать: тупоугольными, прямоугольными и остроугольными. (карточки - треугольники)

Обратите внимание, что у остроугольного треугольника все углы острые.

7) Бывают ли треугольники с двумя прямыми углами? С двумя тупыми углами? С прямым и тупым углом? Как это обосновать? Сделать рисунок. К доске выходит ученик и выполняет следующие рисунки:

Далее идет коллективное обсуждение.

(исследование)

Лучи ВА и СО, КТ и ОН. КЕ и PL пересекаются, значит, треугольник не получится. Сумма односторонних углов в I случае больше, чем 1800 , во II случае также больше, чем 1800 , а в III случае -- равна 180°. В III случае прямые параллельны, а в первых двух случаях прямые расходятся. Делают вывод, что треугольник не может иметь два тупых или два прямых угла. А также в треугольнике не может быть одновременно один тупой и один прямой углы.

(постановка проблемы)

8) Мы выполнили некоторую практическую работу, сделали обоснование того факта, что треугольник не всегда существует. Его существование зависит от величин углов. Как можно узнать, чему равна сумма углов треугольника? Практически -- измерение, теоретически -- рассуждением

9) На дом вам было дано задание: построить треугольники, измерить их углы и найти сумму углов каждого треугольника. Чему равна сумма углов каждого треугольника? (180°, 179°, 182°, 185°, 178°...)

Что заметили? Все суммы близки к 180°. Значит, сумма углов треугольника равна 1800.

(выдвижение гипотезы)

10) Итак, ребята, у вас появилась гипотеза, сумма углов треугольника равна 180 . Однако, у многих из вас получились результаты, близкие к 180°, но не 180°, Почему? Измеряя, мы получаем приближенные значения. Сумма углов треугольника была практическим путем установлена, вероятно, еще в Древнем Египте, Прокл утверждал, что доказательство этого факта было известно еще в V в. до н. э. Однако у нас с вами есть гипотеза: сумма углов треугольника равна 180 , которую можно проверить еще одной практической работой: где еще сегодня называли это число? Величина развернутого угла.

(систематизация и анализ полученного материала)

На столах лежат треугольники. Путем перегибания соберем углы треугольника в одну точку.

Что у нас получилось? Что сумма углов треугольника равна 1800.

11) Более точно это можно доказать, используя теорему о сумме внутренних углов треугольника - одну из самых важных теорем геометрии. Записать название темы.

( проверка гипотезы)

Сформулируйте теорему: Сумма углов треугольника равна 1800

Попробуем доказать теорему, “собрав” все углы треугольника в одну вершину (на доске выполняется чертеж).

“Собрать углы” - значит, “ взять углы”, равные данным.

Когда < 4=<3 (< 5=<1)? (При параллельности прямой а и стороны ВС)

Известно:

<5 + <2 + <4 =180°. (развернутый угол)

<1 + <2+ <3 = 180°.

(доказательство или опровержение гипотез)

12) Доказать теорему , делая кратную запись:

ДАНО: АВС,<1, <2, <3 - внутренние.

ДОКАЗАТЬ: <1 + <2 + <3 = 180°.

Доказательство:

1) Проведем прямую а // ВС, А а.

2) <5 = <1 (внутренние накрест лежащие при а // ВС и секущей АВ)

<4 = <3 ((внутренние накрест лежащие при а // ВС и секущей АС)

3) <5 + <2 + <4 = 180°. (развернутый угол)

4) <1 + <2 + <3 = 180°. Ч. Т. Д.

...