Формирование умения выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы "Треугольник" исследовательским методом

13) Повторить план доказательства:

- провести прямую через одну из вершин параллельно противолежащей стороне;

- составить пары равных углов;

- представить развернутый угол в виде суммы углов;

- заменить слагаемые равными им углами треугольника.

14) Записать теорему и доказательство в тетрадь.

15) Что утверждает новая теорема? сумма углов треугольника равна 180°. Значит, в треугольнике может быть только один тупой угол, только один прямой угол.

16) Чему равен третий угол в треугольнике, если один из углов 30°, второй 100°? (50°)

17) Чему равен угол равностороннего треугольника? (60)

18) Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника? (90°)

19) Чему равен острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника? (45) Последние три утверждения - ответы на вопросы - вытекают (следуют) из теоремы, т. е. являются следствиями из теоремы.

Повторить следствия. Иллюстрируя чертежами (ученики делают схематические чертежи в тетрадях)

20) ДОМА п. 30 стр. 66; № 223, 225,228. Придумать задачу на применение новой теоремы.

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

Один из углов равнобедренного треугольника равен 960. Найдите два других угла треугольника.

В треугольнике СДЕ с углом, равным 320, проведена биссектриса СК, < СКД =720. Найдите <Д.

В равнобедренном треугольнике MNP с основанием МР и углом N, равным 640, проведена высота МН. Найдите < МРН.

Вариант 2.

Один из углов равнобедренного треугольника равен 1080. Найдите два других угла треугольника.

В треугольнике СДЕ проведена биссектриса СК, <Д=680,< Е =320. Найдите <СКД

В равнобедренном треугольнике СДЕ с основанием СЕ и углом Д, равным 1020, проведена высота СН. Найдите < ДСН.

Подготавливающие задачи и вопросы имеют большое значение. Рассмотрение некоторой задачи помогает учителю убедить класс в необходимости доказательства теоремы. Иногда решение задачи является частью доказательства. Бывает, что теорема является логическим следствием рассмотренной задачи. Может показаться, что использование подготавливающих задач отнимает много времени. Но одна из главных целей обучения математики - обучение решению задач, а подготавливающая задача - это новая задача и , как правило, нестандартная. Решение этих задач, кроме подготовки к освоению теоремы, еще и развивает мышление, учит поиску решения. Подготавливающие задачи не только облегчают понимание теории, но и позволяют достичь глубокого ее усвоения.

Целесообразно обратить внимание учеников на первые шаги доказательства (сделать чертеж, ввести обозначения, выделить и записать условие и заключение), подчеркнуть их значение. Если все ученики овладевают первыми шагами , то это существенно облегчит доказательство теорем. Многие ученики считают излишним записывать условие требование задачи и начертить чертеж . Нужно их убедить, что не используя условие, нельзя решить задачу или доказать теорему. Требование мы записываем, чтобы видеть цель. Когда не удается решить задачу или доказать теорему нередко причина состоит в том, что не использовано условие или упущена из вида цель.

Пример 12. [24]

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: АВС

Доказать:

AB2 + AC2 = AB2 + AC2 - 2AB · AC cos 90° = BC2.

Доказательство:

Без подробной записи доказательства и чертежа учащимся не разобраться в логике исследования данного утверждения. Очень важно приучать учеников слушать себя. Если сразу записать неточную фразу ученика на доске или в его тетради, то он сможет самостоятельно заметить оплошность. Некоторые ученики не делают этого. В результате не приобретают необходимого умения, что сказывается на развитии мышления.

Таким образом, необходимо, чтобы ученик вник в проблему и захотел ее решать. Тогда он будет уточнять постановку задачи, участвовать в поиске решения и получит удовлетворение от работы. При формировании умений делать логические выводы нужно организовать учебно-познавательную деятельность учащихся в такой последовательности:

осознание проблемы, т.е. осознание необходимости или пользы изучения нового познавательного вопроса.

наблюдение ряда частных случаев, проведение опыта, эксперимента.

выказывание догадок, выработка гипотезы.

осознание необходимости дедуктивного доказательства.

дедуктивное обоснование гипотезы, т.е. доказательство.

практические приложения полученного математического результата.

Изучение теоремы можно подразделить на три этапа:

- осознанное усвоение формулировки теоремы;

- обеспечение усвоения доказательства теоремы;

- закрепление теоремы.

В зависимости от характера теоремы , наличия учебного времени на уроке, от уровня развития учащихся, учитель может выбрать один из следующих способов ознакомления школьников с формулировкой теоремы.

1. Учитель подготавливает учащихся к самостоятельному «открытию» теоремы.

Пример 13. [24]

Теорема: У равнобедренного треугольника углы при основании равны. (Тезис)

Логическое следствие об углах равнобедренного треугольника можно вывести из известных предпосылок предварительно решая задачу:

Дано: АВС - равнобедренный (Аргументы)

АВ- основание

Доказать: < А =< В

Доказательство: ( Демонстрация)

Проведем в АВС биссектрису CD угла АCB, рассмотрим АСD и ВСD

АС=СВ - следует (из определения равнобедренного треугольника)

< АСD =< ВСD - следует (из определения биссектрисы угла)

АD -общая сторона

АСD = ВСD - следует (из признака равенства треугольников)

< А =< В

2. Учитель организует работу, которая способствует сознательному восприятию и пониманию учащимися новой теоремы, формулировка, которой сообщается им в готовом виде, а доказательство необходимо восстановить по наводящим посылкам.

Пример 14. [24]

Рассмотрим ту же теорему: У равнобедренного треугольника углы при основании равны.

На доске пишется неполные записи условия теоремы и силлогизм.

Учащиеся должны заполнить пробелы.

Дано : АВС равнобедренный с основанием АС

Доказать , что < ____ = <____

Доказательство: Из условия следует ,что ______=_______

Равенство углов можно доказать, если построить ___________треугольники , у которых углы____ и _____ лежат против равных сторон. Такие треугольники получатся, если из вершины равнобедренного треугольника точки ______ провести____________ треугольника АВС. Действительно , ____ = ______ так как сторона ______- общая, _____ = _____ , < ____ = <____ . В равных треугольниках _______ и _______ против общей стороны ________ лежат равные углы ____ и ____. Эти углы равны. Теорема доказана.

3. Учитель формулирует теорему сам без предварительной подготовки учащихся, а затем направляет их усилия на ее усвоение. Перед изучением теоремы целесообразно на уроке создать проблемную ситуацию, которая бы мотивировала необходимость ее изучения. С этой целью можно использовать различные практические ситуации и мотивационные упражнения.

Пример15. [29]

Перед изучением признаков равенства треугольников учащиеся знакомятся с определением равных треугольников: «Два треугольника называются равными, если один из них можно наложить на другой так, что они совпадут». Приступая к изучению самих признаков равенства треугольников, следует показать учащимся ограниченность практического применения этого определения (не всегда можно наложить одну треугольную плиту на другую, ввиду их массивности).Отсюда вытекает поиск новых способов определения равных треугольников, на основе исследования, сравнения только некоторых его элементов. Для выявления сознательности усвоения учащимися учебного материала нужна педагогически -целесообразная постановка вопросов. Вопрос считается педагогически целесообразным, если ответ на него не копирует учебник, а будит активную, самостоятельную мысль ученика; такой вопрос должен выявить степень понимания материала. Зачастую безупречная формулировка, воспроизведенная учеником, еще не есть свидетельство полного благополучия. Чтобы узнать, сознательно ли школьники усвоили формулировку теоремы, можно предлагать им искаженные формулировки, а они должны будут найти ошибки.

Пример 16. [29]

После изучения третьего признака равенства треугольников можно задать вопрос учащимся: верно ли , что если периметры двух треугольников равны - равны и сами треугольники?

Учащиеся должны обратить внимание на равенство не соответственных сторон .а периметров , что не является следствием теоремы.

Утверждение неверное.

Контрпример: В треугольниках АВС и МКР периметры равны 26, при этом

АВ=7,ВС=10, АС=9 и МК=6, КР=12, МР=8.

Большое внимание следует уделить закреплению следствий.

Здесь учителю необходимо учитывать два обстоятельства

Необходимо сформулировать у всех учащихся навыки доказательства .

Учащиеся должны понять и запомнить ее доказательство

Рассмотрим некоторые приемы закрепления выведенного следствия:

Сразу после объяснения новой темы, одному или нескольким учащимся предлагается повторить ее , остальным - слушать. Обычно вызываются учащиеся по желанию, а следовательно, в основном хорошо усваивающие. Этот прием приносит гораздо большую пользу, когда изученное доказательство на этом же уроке повторяют по неполным данным хода исследования, с другими буквенными обозначениями на нем. Такое повторение уже не является столь однообразным, оно требует от учащихся более активной мыслительной деятельности. Следовательно, учащиеся лучше запоминают материал, их внимание более устойчивое.

Пример 17. [24]

Если у треугольников АВС и МКЕ

1) АВ = МК , АС = КЕ и угол А = углу К то АВС=МКЕ

Доказательство:

Равные фигуры__________совместить. Здесь можно совместить либо стороны________ и _______, либо углы_____ и ________. Например, совместим МК и _______ так, чтобы совпали вершины ___ и ___ равных углов. При этом совместятся лучи _____ и ______ (от совместившихся лучей КМ и ____ в данном направлении можно отложить только _______ угол, равный данному углу).

Совместятся вершины __ и ___( от начала совмещенных лучей точки _____ можно отложить только _____ отрезок, равный данному отрезку).

Треугольники АВС __ МКЕ , так как совместились все их____________

Теорема доказана.

Перед объяснением новой теоремы учитель предлагает прослушать доказательство и одновременно составить его план. Затем это задание проверяется. Прием очень эффективен, но …. только в тех классах, где предварительно проведена кропотливая работа по формированию умений составлять план.

Доказательство рассмотренного утверждения не повторяется на данном уроке. Класс сразу приступает к решению задач по новой теме. Она закрепляется на задачах, решение которых приводят учащихся законченным логическим следствиям.

Пример 18.

(Тезис)

После рассмотрения теоремы: Если два треугольника подобны и отношение их сторон равно k то отношение площадей этих треугольников равно квадрату числа k , целесообразно решить задачу: Площади подобных треугольников F и Q соответственно равны 15 и 60 кв. дм. Одна из сторон треугольника Q равна 1,6 м. Чему равна сходственная ей сторона треугольника F?

(Аргументы)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия.

(Демонстрация)

Обозначим буквой а ту сторону треугольника F, которую надо найти. Тогда 15:60=0,25 =k2, k = 0,5 а: 1,6м. =0,5 а =0,8 м.

А за 3-5 минут до звонка учитель подводит итог урока. Он предлагает не просто воспроизвести, пересказать изученное на уроке, а задает вопросы, которые заставляют учащихся выделить из нового материала главное, сопоставить с прежними заданиями, сравнить, анализировать, обобщить. И все это увязывается с только что решенными задачами по новой теме.

Пример19.

После урока по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» целесообразно провести закрепление при решении задачи:

Сравните углы треугольника АВС и выяснить, может ли быть угол А тупым, если АВ больше ВС больше АС.

При решении необходимо выделить из условия задачи главное, сопоставить с известными посылками , сравнить, анализировать, обобщить.

(известные посылки к задаче )

а) против большей стороны в треугольнике лежит больший угол;

б) сумма углов треугольника равна 180 градусов;

в) в треугольнике не может быть два тупых угла. (постановка проблемы). Сравнить углы треугольника АВС. (выдвижение гипотезы). Может ли быть угол А тупым, если АВ больше ВС больше АС. ( проверка гипотезы). Если угол А тупой, то в треугольнике АВС два тупых угла (доказательство или опровержение гипотезы).

Таким образом, при такой форме подведения итогов урока у учащихся формируется умение исследовать, делать аргументированные выводы из имеющихся предпосылок; новый материал запоминается эффективнее, так как он повторяется сразу после момента наиболее интенсивного забывания, а мыслительная деятельность учащихся разнообразна и активна.

2.5 Необходимые условия понимания и умения делать логические выводы

Обучение умению выводить логические следствия из имеющихся предпосылок - одна из главных задач учителя на уроках геометрии. Элементарные навыки поиска приобретаются при решении задач. При этом объяснение учителя не должно быть воспроизведением текста учебника, иначе для многих учащихся доказательство остается непонятным и тогда, весь процесс его усвоения сводится к заучиванию без понимания смысла. От чего же зависит возможность понимания доказательства?

Прежде всего, должно быть обеспечено яркое и отчетливое понимание доказываемого тезиса и владение аргументами. Это необходимые предпосылки доказательства. В самом же процессе доказательства возникают еще 2 проблемы:

понимание строения и правильности каждого умозаключения в отдельности;

понимание последовательности связи умозаключений.

Пример 20.

При отработке понятий медианы, высоты, биссектрисы треугольника необходимо уделять внимание не запоминанию формулировок, а их пониманию, вытекающих следствий из них и умозаключений с помощью таких упражнений: Если в условии сказано: « Проведена медиана ВК в треугольнике АВС» из этого следует………………… Если в условии сказано: « проведена высота ВК в треугольнике АВС» из этого следует………………… Если в условии сказано: « Проведена биссектриса ВК в треугольнике АВС» из этого следует…………………

При доказательстве теоремы о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника необходимо , чтобы учащиеся видели :

а) два равных треугольника - равенство соответствующих сторон;

б) определение медианы - значит, биссектриса является медианой;

в) два равных треугольника - равенство соответствующих углов;

г) определение высоты, свойство смежных углов - биссектриса является высотой.

В процессе отыскания доказательства не следует задавать учащимся много вопросов, тем более по пройденному материалу ,так как это отвлекает учащихся и мешает им сосредоточится на главном. Если класс достаточно подготовлен и отыскание доказательства уже вошло в систему, то число вопросов, задаваемых классу, может быть уменьшено, - нужно оставить только те вопросы, которые непосредственно связаны с открытием нового; такие, где учащимся нужно подумать, сообразить, а не просто вспомнить, отыскание доказательства еще и потому, что теперь возникает возможность привлечь учащихся к активному участию в изложении найденного доказательства. Самому приему отыскания доказательства можно и нужно придавать различные формы в зависимости от трудности доказательства, возраста и подготовки учащихся. К отысканию доказательства во всех случаях должны привлекаться учащиеся. Активность учащихся должна проявляться в открытии нового : в умении сделать выводы; в попытках продолжить ход рассуждений. Рассуждение, рассказ и вопросы учителя должны возбудить активное мышление учащихся, подготовить их к самостоятельному выводу, возбудить потребность высказывать этот вывод или привести свои предположения о том, как следовало бы поступить дальше.

Пример 21.

Доказательство теоремы о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника простое, поэтому можно предложить учащимся самостоятельно провести исследование и доказать, что она является и медианой и биссектрисой.

Выделить посылки:

а) признаки равенства треугольников;

б) определение медианы;

в) определение биссектрисы:

г) определение высоты:

д) свойство смежных углов.

Доказательство провести по готовому чертежу:



Упражнения в оформлении доказательств помогают лучшему усвоению и более прочному запоминанию самих доказательств, вводит учащихся в круг требований, предъявляемых к доказательству, и вырабатывают умение изложить его самостоятельно; они способствуют развитию речи и мысли; воспитывают умение придать им точную и законченную форму, помогают направить их в русло полной работы.

Пример 22.

По готовому чертежу учащиеся делают записи самостоятельно:

Дано:АВС -равнобедренный

АС - основание АВС

АD - биссектриса АВС

Доказать: АD - медиана, высота.

Доказательство: Большое влияние на результат исследований оказывает форма изложения рассуждений. Чтобы сделать эту форму более доступной и легче усвояемой необходимо следующее:

Ввести в изложение краткие разъяснения метода основной идеи плана доказательства и целесообразности дополнительных построений

Выделять в нем узловые моменты.

Пример 23.

Урок по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»



Подготовка к уроку:

Задача: В равнобедренном треугольнике (АВ=АС) величина угла В равна 55 градусов. Найти величину угла А.

В случае затруднения при решении этой задачи последовательно использовать следующие вопросы - подсказки. Совсем не обязательно предлагать полный перечень подсказок. Его следует прервать сразу, как только ученик «увидит» решение.

а) перечисли все стороны треугольника;

б) назови равные стороны;

в) к какому виду принадлежит треугольник;

г) какие свойства равнобедренно треугольника могли бы помочь решить задачу;

д) какую сторону можно назвать основанием;

е) если треугольник равнобедренный , то что можно сказать про его углы при основании; и т.д.

Итак, успех в доказательстве логических следствий определяется не применением какого-нибудь метода или приема, а системой преподавания в целом. И весь комплекс необходимых условий понимания и умения делать логические выводы заключаются в следующем:

Ученик должен иметь ясное представление о сущности доказательства, его строении, его видах и требованиях, к нему предъявляемых.

Необходимо вести планомерную и систематическую работу по воспитанию у учащихся потребности в доказательстве.

Существенно важно, чтобы учитель и учащиеся понимали цели доказательства логических следствий.

Учитель должен раскрыть перед учеником всевозможные варианты исследований и умения делать аргументированные выводы из имеющихся предпосылок.

Для решения этой задачи учитель должен:

А) Неустанно заботиться о развитии логического мышления и речи учащихся;

Б) Добиваться предельно ясного понимания формулировки основных посылок, теорем и следствий.

В) Уделять самое серьезное внимание процессу доказательств и логических исследований.

Изучив литературу по данному вопросу, считаю, что выводы следствий играют важную роль при формировании логического мышления школьников. Необходимо ставить перед детьми основные цели исследований и доказательств, вести подготовительную работу, четко формулировать условие и заключение утверждений (теорем, следствий, задач). Показать детям, что процесс доказательства заключается в цепочке умозаключений, не зависимо оттого, каким методом оно ведется.

2.6 Диагностический модуль

Для обучения большое значение имеет установление уровня обученности школьников - уровня определенных стандартов необходимых знаний. Для того чтобы была непрерывная система образования, нужно проверять и оценивать знания и умения своих учеников по всем пройденным темам и разделам. Опрашивать их по изученному материалу, проводить письменные проверочные работы, диктанты, тестирования, а также и зачетные уроки. Далее оценивать результаты проверки в баллах или оценочных суждениях. Учителю контроль знаний позволяет определить уровень усвоения учебного материала по математике и в случае необходимости провести их коррекцию. Ученику - привести в систему усвоенной за определенное время учебный материал, обобщить его, выделить главное, акцентировать на нем внимание, скорректировать в случае необходимости отдельные знания и в оценке и отметке увидеть результаты своей деятельности. Диагностировать, контролировать, проверять и оценивать знания и умения учащихся по математике нужно последовательно, согласно порядку изучения математического материала. Умелое владение учителем различными формами контроля знаний способствует повышению заинтересованности учащихся в изучении предмета, обеспечивает активность учащихся на занятиях. При этом контроль не должен быть односторонним - проверять следует как сами знания, так и умения их применять. Лучших результатов достигаются те учителя, которые ориентируются в первую очередь на проверку уровня развития учащихся, а не на проверку их памяти.

Проблемой необходимости проверки знаний, умений и навыков учащихся по математике занимаются многие педагоги и научные работники в области дидактики: Ю.Я. Яковлев, В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин, А.В.Соколова, В.В.Пикан и другие [2]. Публикации, посвященные вопросу использования различных форм контроля можно найти в газетах «Математика» и в журнале «Математика в школе». Главное в проверке знаний не столько то, чтобы проверить объем и качество усвоения материала, сколько в том, чтобы быть в курсе того, как развивается мышление ученика. Как протекает этот мыслительный процесс - легко или трудно, прямым или окольным путем человек идет к цели; формально или осмысленно применяет соответствующие теоремы, аксиомы, следствия; использует исследовательский метод рассуждений, умеет делать логические выводы из имеющихся посылок. Все это при чисто практическом способе проверки знаний большей частью остается скрытым от контроля учителя.

Устная проверочная работа.

Наиболее хорошим методом проверки знания фактического материала и качества мышления школьника является устный опрос. При проведении устного опроса учитель стремится проверить, насколько учащиеся овладели учебным материалом, и, кроме того, вовлечь, по возможности всех учащихся в активную работу. Все это можно выяснить, слушая ответ ученика .

Важное значение имеет устный опрос для развития математической речи учащихся: ведь это чуть ли не единственный вид речевой практики ученика на уроке. Для решения этой задачи большое значение имеет характер заданий и вопросов учителя. Следует чаще предлагать вопросы, требующие объяснения: объясни, как ты решил эту задачу, какие теоремы, следствия применил для обоснования вывода. Полезно включать задания на сравнение: сравни эти треугольники и т. д. При устном опросе дети высказывают свою мысль. Нужно учить высказываться, грамотно оформлять свою мысль. При рецензии ответа используется схема:

-все ли существенное освещено в рассуждениях;

-сумел ли ученик добавить что-либо к учебнику;

-насколько последовательно изложил доказательство;

-аргументированы ли умозаключения;

-правильно ли сделан вывод;

-оценить речь учащегося.

Ученики к ответу должны готовиться по схеме (по плану):

-главная мысль;

-аргументы для ее развития;

-вывод.

Устный опрос позволяет обстоятельно выяснить знания учащиеся, однако он требует много времени, что ограничивает возможность проверить большое количество учащихся. Кроме того, в устном опросе вопросы учителя и ответы учащихся нигде не фиксируются. Это мешает учителя возможности сравнивать ответы разных учащихся на один и тот же вопрос, ответы оного и того же ученика, данные в разное время учебного года. Но, несмотря на эти недостатки, устный опрос - исключительно ценный элемент урока, если его структура проработана в деталях. Проводя любой вид опроса учитель обязан создать такую психологическую обстановку опроса, при которой отвечающий ученик чувствовал бы себя совершенно спокойно, непринужденно, бодро, чтобы его ничто не нервировало, не подавляло, не мешало. Только при этом условии возможно объективное, полное и глубокое выявление истинных знаний учащегося и, справедливая оценка, которую он должен получить.

Фронтальный опрос - это, в сущности проверочная беседа учителя с классом. Учитель задает классу вопросы, отдельные учащиеся коротко отвечают на них. Обычно прибегают к проверочной беседе тогда, когда не предполагается специально оценить знания учащихся, но необходимо восстановить в их памяти те или иные явления, закономерности, определения. Нередко учителя и эту форму проверки знаний используют для учета успеваемости, так называемый балл составляется из совокупности всей работы ученика на уроке, в том числе и из ответа на проверочной беседе. Это определенным образом повышает ответственность учащихся, дисциплинирует их. Проставление оценок за активное участие в проверочной беседе возможно при условии, что ответы учащегося дают достаточное основание для определенного вывода. Подготавливая проверочную беседу с классом, надо совершенно отчетливо представлять себе, с какой конкретной целью она предпринимается. В главном назначении проверочной беседы является подведение прочного фундамента под усвоение материала, который предстоит изучать учащимся. Поэтому ее обычно и проводят перед изучением нового материала.

Письменная контрольная работа.

Кроме устного ответа, широко применяется методом проверки знаний учащихся, метод письменных работ, письменная проверка.

Письменные работы имеют огромное значение и большой успех, так как:

- гораздо объективнее, чем в устном ответе выявляются состояния знаний каждого ученика;

- позволяет проверить знания темы сразу у всех учащихся;

- дают возможность увеличить число проверок знаний каждого ученика;

- четко показывают учителю характер отдельных недочетов в знаниях учащихся;

- требуют от учащихся большой точности и самостоятельности в выражении своих знаний;

- усиливают в учащихся чувство ответственности за результат работы .

Письменные проверочные работы полезно проводить без специальной подготовки к ним учащихся. Это позволяет объективно проверить прочность усвоения знаний учащимися и предохраняя учащихся от возможной перегрузки домашними учебными заданиями дни, предшествующие письменным проверочным работам, перегрузки, которая происходит от того, что учителя перед этими работами заставляют учащихся специально повторять к ним соответствующий материал. Проведение письменных проверочных работ без специальной подготовки уменьшает волнение учащихся, что очень существенно для объективности проверки.

Таким образом, письменная проверка является одним из важных методов контроля и оценки знаний, умений и навыков учащихся. Для оперативного контроля знаний и умений по математике учеников средней школы в последние годы в России широко используются тесты. Главное достоинство тестовой проверки в скорости, но работа по созданию тестов их эффективности достаточно сложная и долгая.

Анализ научной литературы позволяет выделить два основных вида тестов: психологические (тесты интеллекта) и педагогические (тесты достижений или тесты успешности). Подробнее рассмотрим тесты достижений. Тесты достижений использовались на различных этапах процесса обучения математике: усвоение новых знаний, формирование умений исследовать, обобщение, и систематизация знаний и др. Выступая как инструмент оценивания, тесты достижений, тем не менее, имеют значительные отличия от контрольных работ.

Во-первых, тесты - объективный и более качественный способ оценивания и, во-вторых, показатели тестов ориентированы на измерение степени и определение уровня усвоения ключевых понятий, тем, разделов учебной программы, умений и навыков учащихся. Контрольные работы ориентированы лишь на констатацию наличия у учащихся определенной совокупности формально усвоенных знаний .

Хорошо известно, что одним из методов проверки состояния обученности учащихся являются итоговые письменные контрольные работы различных видов. При разработке содержания контрольной работы необходимо правильно определить ее цели с точным учетом времени проведения. При этом очень важно учитывать момент процесса обучения, в который проводится контрольная работа. Помня, что процесс овладения умениями, навыками - длительный. Из этого следует, что подход к определению целей проведения работы должен быть продуманным и осторожным. Каждая итоговая контрольная работа проводится по окончании изучения темы. К концу изучения темы, с одной стороны, остаются недоработанными еще какие-то вопросы, а с другой стороны, в ходе работы над этой темой продолжалось закрепление, отработка и совершенствование навыков, приобретавшихся еще при изучении предыдущих тем.

В итоговых проверках выявляются такие качества знаний учащегося, как прочность осознанность, оперативность, которая предполагает способность ученика применить одно и то же умение в ходе решения задач различного содержания. Итоговый контроль нацеливает учащегося на долгосрочное усвоение важнейшего материала, а учителю дает возможность проверить прочность овладения опорными умениями и навыками умением делать логические исследования. При определении цели проведения контрольной работы необходимо учитывать реальный момент процесса обучения и избегать постановки непостижимых целей. Цель проверки состоит не в том, чтобы «поймать» ученика на чем-то, а в том, чтобы убедиться, что дети действительно усвоили основные вопросы темы и умеют оперировать ими при выводе логических следствий.

Приступая к составлению контрольной работы по теме, учителю целесообразно вернутся к началу изучения темы, восстановив в памяти с помощью учебника, методических рекомендаций, своих конспектов уроков все, чему он учил, что и на каком уровне должны были усвоить дети, составить примеры на каждый из изученных приемов, не упуская ни одного из них. Наряду с определением цели отбором содержания контрольной работы немаловажен и выбор соответствующих форм организации контроля.

Не следует перегружать работу большим количеством заданий и нельзя гнаться за быстротой их выполнения. Это может отрицательно сказаться на результатах. Следует помнить, что цель проведения проверки в этом случае - не скорость выполнения вычислений и не максимальный объем однотипичных задач, а знания и умения его применять оперировать изученными теоремами, аксиомами, свойствами и т.д. Каждая из форм проверки имеет как свои плюсы, так и свои минусы. Если включить оба вида проверки знаний, умений и навыков в урок, то проверка будет более глубокой и полной. Это можно совместить в уроке-зачете.

Зачет.

Для систематического контроля за достижением обязательных результатов обучения в ходе учебного процесса целесообразно выбрать такую форму проверки, как зачет.

Зачет - это специальный этап контроля, целью которого является проверка достижения учащимися уровня обязательной подготовки .

С помощью зачетов проверяется овладение различными порциями учебного материала. В соответствии с этим, их можно разделить на тематические и текущие .

Тематические зачеты проводят в конце изучения темы и направлены на проверку усвоения ее материала в целом. Учитель заранее определяет задания для тематического зачетного урока, которые включает теоретический и практический материал, продумывает этапы урока и их количество, занимательный материал.

Текущие зачеты проводятся систематически в ходе изучения по небольшим, законченным темам. От тематических они отличаются тем, что охватывают меньший по объему материал; поэтому, как правило, на их проведение не требуется проводить целый урок.

Структура урока-зачета, прежде всего должна соответствовать логике процесса обобщения и систематизации знаний, в котором предполагается следующая последовательность действий: от восприятия, осмысления и обобщения отдельных фактов к формированию у учащихся понятий, к усвоению и умению использовать их в логических исследованиях. Этой последовательности должны соответствовать основные звенья урока данного типа.

При этом можно предложить следующую систему оценки знаний:

Отметка «5» ставится, если ученик ответил на теоретические вопросы и решил вторую задачу или обе задачи .

Отметка «4» ставится, если ученик ответил на оба теоретических вопроса и решил первую задачу или ответил только на один теоретический вопрос, но решил вторую или обе задачи .

Отметка «3» ставится, если ученик ответил на первый теоретический вопрос и решил первую задачу или ответил на два теоретических вопроса.

Во всех остальных случаях ставится отметка «2».

Обобщающий комбинированный урок по проверке знаний

Нередко учитель использует в проверке знаний для учета успеваемости, так называемый балл, который составляется из совокупности всей работы ученика на уроке, в том числе и из ответа на проверочной беседе и при решении комбинированных задач. Это определенным образом повышает ответственность учащихся, дисциплинирует их. Проставление оценок за активное участие на таком уроке возможно при условии, что ответы учащегося последовательные, логические и дают достаточное основание для определенного вывода.

Пример 26. [36]

Математическая регата. (проверка знаний)

по теме «Признаки равенства треугольников».

1 (тур). Проверка знаний теории..

Указать верный ответ.

Задача 1. Используя данные рисунки, найдите угол А, если < В = 800.

А. 60°;

В. 800;

С. другой ответ.

Каждому экипажу даются тесты с заданиями 1 тура. (За верный ответ - 1 бал).

По количеству набранных баллов 2 экипажа выходят во второй «заплыв» - тур, а проигравший экипаж отправляется в «утешительный» заплыв.

2 (тур). Решение задач.

Каждому экипажу даются задачи с выбором правильного ответа - задачи II тура. За каждый правильный ответ - 1 бал.

Задача 2. Найти смежные углы, если

известно, что один из них на 40° больше

другого?

А. 70° и 110°;

В. 40° и 140°;

С. 70° и 210°.

Задания «дополнительного заплыва».

Задача 3. На рисунке ОВ = ОС, АО = ОD, < ВАО = 700. Чему равен угол СDК?

А. 110°; В. 70°; С. Не знаю.

Задача 4. Один из углов равнобедренного треугольника равен 80°. Найти остальные углы.

А. Задача имеет 1 решение: 80°; 50°; 50°.

В. Задача имеет 2 решения: 80°; 50°; 50° и 80°; 80°; 20°.

С. Для решения задачи не хватает данных.

Устные задачи:

1 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 3 см, другая - 8 см. Чему может быть равна третья сторона?

2. Как можно назвать равнобедренный треугольник, у которого основание равно боковой стороне?

3.Всякий ли равносторонний треугольник является равнобедренным?

4. Периметр равностороннего треугольника равен 6 см. Чему равна длина каждой его стороне?

Количество дополнительных задач зависит от времени урока, можно ограничиться одной задачей (т.е. до победы одного из экипажей).

«Центр управления» регатой подводит итоги, а в это время экипажи получают «задание» (домашнее задание).

геометрия доказательства логический

Заключение

Геометрия в целом, как и ее основные составляющие- фигуры, логика и практическая применимость - позволяют учителю гармонично развивать образное и логическое мышление ребенка любого возраста, прививать ему навыки практической деятельности.

Логическое мышление- это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь ее извлечь. Очень часто учащимся при изучении геометрии приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, правила, доказывать теоремы. А это значит, что для успешного обучения геометрии надо настойчиво учить детей правильно рассуждать. Решение всякой геометрической задачи - это цепь рассуждений.

Однако, в настоящее время в современных школах учителя все меньше внимания уделяют развитию логического мышления учащихся. Процесс обучения нередко сводится к механическому заучиванию материала. Для учителя главное, как хорошо ученик знает теорию, но это еще, не значит сможет ли он применить ее на практике. Поэтому большая роль в развитии логического мышления учащихся принадлежит учителю, от того, как он преподносит учебный материал, требует ли от учеников логических рассуждений. Известно, что доказательство теорем и решение задач на доказательство являются одними из основных путей развития логического мышления учащихся. Поэтому при обучении учащихся доказательству следует требовать от них четких логических посылок, предоставлять больше самостоятельности при решении задач на доказательство.

Таким образом, чтобы создать опору для успешного обучения, необходимо обратить внимание на пути развития логического мышления средствами обучения доказательствам на уроках геометрии. Процесс обучения доказательству неразрывно связан с логическим мышлением, и учителю важно об этом помнить.

Библиография

1. Барыкин К.С. Сборник геометрических задач на доказательство. М., 1954-151с.

2. Березина Л.Ю. Геометрия в 7-9 классах. М., 1990-334с.

3. Болтянский В.Г. Как устроена теорема? //Математика в школе 1973-№1.

4. Брадис В.М. Ошибки в математических рассуждениях. М., 1959-176с.

5. Вопросы развития логического мышления в процессе школьного обучения //Тамбовская правда, 1959-66с.

6. Геометрия: теория и ее использование для решения задач /Яковлев Г.Н. М., 1973-184с.

7. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. М., 1981-95с.

8. Далингер В.А. Обучение учащихся доказательству теорем. Омск, 1990.

9. Дубнов Я.С. Ошибки в геометрических доказательствах. М., 1969-69с.

10. Журавлев Г.Е. Системные проблемы развития математической психологии. М., 1983-204с.

11. Зыкова В.И. Формирование практических умений на уроках геометрии. М.,1963-200с.

12. Медяник А.И. Учителю о школьном курсе геометрии. М., 1984-95с.

13. Мищенко Т.М. , Райляну А.И. Из опыта работы учителей Молдовы. // Математика в школе 1991-№1.

14. Мостовой А.И. Различные способы доказательств в курсе геометрии восьмилетней школы. М., 1965-102с.

15. Преподавание алгебры и геометрии в школе / сост. О.А.Боковнев М., 1982-123с.

16. Преподавание геометрии в 6-8 классах / В.А.Гусев. М., 1979-287с.

17. Подходова Н.С. К проблеме личностно-ориентированного обучения геометрии. // Математика в школе. 2000-№10

18. Притуло Ф.Ф. Методика изложения геометрических доказательств. М., 1958-108с.

19. Развитие логико-вероятностные мышления в школе. // Математика в школе 1994-№18.

20. Волович М.Б. «Ключ к пониманию геометрии» Издательство «Аквариум» 2006г.

21. Сборник статей по вопросам преподавания геометрии в средней школе. / Стратилатова П.В. М., 1958-191с.

22. Итоговые тесты по геометрии (9 класс) Федеральный Центр тестирования , 2005г.

23. Терешин Н.К. Еще раз о доказательстве//Математика, 2002-№35.

24. Тимощук М.Е. Построение доказательств по геометрии. Омск, 1999-51

25. Финкельштейн В. Н. Первые теоремы//Математика, 2002-№35

26. Перед встречей с доказательством//Математика ,2007-№9 с.41

27. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. М., 1959-392с.

28. Признаки равенства треугольников по учебнику Л.С.Атоносяна // Математика, 2007-№10 с.12.

29. Геометрия 9кл «Тематические тесты» Федеральный Центр тестирования, 2008г.

30. Русских Г.А. Развитие учебно-исследовательской деятельности

31. учащихся// Дополнительное образование.2001. № 7-8.

32. Савенков А.И. Одаренный ребенок в массовой школе/ Библиотека журнала «Директор школы» - М.: Сентябрь, 2001

33. Счастная Т.П. Рекомендации по написанию научно исследовательских работ// Исследовательская работа школьников. 2003. № 4.

34. И.В. Усачева, И.И. Ильясов. Формирование учебной исследовательской деятельности. - М., 1986.

35. Репетитор по геометрии. 10, 11 класс. - М.: ООО «Акелла», 2008.

36. Репетитор по геометрии. - М.: ООО «Акелла», 2008.

37. Геометрия. 7-9 класс. - М.: ООО «Новая школа», 2007.

38. Геометрия. 10-11 класс. - М.: ООО «Новая школа», 2007.

39. Репетитор по геометрии. 10, 11 класс. - М.: ООО «Акелла», 2008.

40. Репетитор по геометрии. - М.: ООО «Акелла», 2008.

41. Геометрия. 7-9 класс. - М.: ООО «Новая школа», 2007.

42. Геометрия. 10-11 класс. - М.: ООО «Новая школа», 2007.

Размещено на Allbest.ru

...