Понятие натурального числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

&1. Проблема изучения нумерации чисел на уроках математики в начальных классах

&1.1 Понятие натурального числа

&2. Различные методические подходы изучения нумерации чисел на уроках математики в начальных классах

&2.2 Методика изучения нумерации чисел в концентре

&2.3 Развивающие приемы обучения на уроках математики

&3. Приёмы сравнения и классификации при изучении нумерации чисел на уроках математики в начальных классах

&4. Комплекс учебных заданий

Заключение

Библиография

нумерация математика обучение

Введение

Математика является королевой среди всех наук, благодаря своему уникальному свойству: формированию, развитию и совершенствованию логического мышления. Приемы и операции производимые в процессе счета и решения задач позволяют развивать все структурные компоненты логического мышления.

Приемы сравнения и классификации являются не только средствами наглядно-действенных манипуляций на уроках математики, но и средствами формирования и развития таких важных процессов как анализ и синтез, ведь выделение качеств и признаков (общих, главных и второстепенных), затем группирование их (в данном случае, в числовом ряду) - способствует активизации незримых логических операции.

Так, к логическим универсальным действиям относятся:

-- анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

-- синтез -- составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;

-- выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;

-- подведение под понятие, выведение следствий;

-- установление причинно-следственных связей;

-- построение логической цепи рассуждений;

-- доказательство;

-- выдвижение гипотез и их обоснование.[1],[2],[3]

Из вышесказанного следует, что уже в начальной школе дети должны овладеть элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения и др.). Поэтому одной из важнейших задач, стоящих перед учителем начальных классов, является развитие всех качеств и видов мышления.

Проблема исследования: Приемы сравнения и классификации при изучении нумерации чисел недостаточно регулярно применяются на уроках математики, в школах, где используют традиционные методы обучения, что влияет на глубину усвоения знаний детьми. Нам нужно выяснить какие условия использования приёмов сравнения и классификации способствует более успешному изучению математики в начальных классах. Ведь никакие другие педагогические приемы не активизируют мыслительные операции детей так, как это делают приемы сравнения и классификации, которые универсальны в своем применении и на уроках изучения нового материала, и на уроках повторения и обобщения, а так же закрепления.

Исходя из выдвинутой проблемы мы сформулировали тему курсовой работы: «Условия использования приёмов сравнения и классификации при изучении нумерации чисел на уроках математики в начальных классах».

Цель исследования - выявить условия использования приемов сравнения и классификации при изучении нумерации чисел на уроках математики

Объектом исследования является: изучение нумерации чисел на уроках математики в начальных классах.

Предмет исследования - условия использования приемов сравнения и классификации при изучении нумерации чисел на уроках математики начальных классов.

Задачи исследования.

1) Изучить и проанализировать научно-методическую литературу по данной теме.

2) Определить условия и особенности изучения приемов сравнения и классификации при изучении нумерации чисел в отечественной педагогике

3) Изучить и проанализировать условия использования различных методических приемов при изучении нумерации чисел на уроках математики в трудах отечественных педагогов

4)Проанализировать условия использования приемов сравнения и классификации при изучении темы «нумерация чисел»

5)Разработать примерные задания с использованием приемов сравнения и классификации для изучения темы «нумерация чисел» на уроках математики.

&1. Проблема изучения нумерации чисел на уроках математики

Проблемой развития мышления учащихся занимались многие зарубежные и отечественные ученые Л.С., П.Я. Гальперин [4], В.В. Давыдов [6], Д. Дьюи [8], А.Н. Леонтьев [23], В.К. Ягодовская, А.С. Пчелко Н.С. Рождественский [37], И.Л. Никольская [31], Ж. Пиаже [34], С.А. Рубинштейн [38] , А.А. Столяр [43], Д.Б. Эльконин [49], Т.С Веринг., Л.С. Выготский , И.Я. Лернер, Н.А. Менчинская, Д.Н. Середа, М.Н. Скаткин и др. [18]

Они теоретически и экспериментально доказали, что на сегодня школа еще не достаточно обеспечивает выпускникам необходимый уровень развития мыслительной деятельности.

Именно на уроках математики может происходить целенаправленное, систематическое формирование логических понятий и действий, т. к. именно в ней, в силу ее специфических особенностей, содержатся большие потенциальные возможности для развития логического мышления младших школьников. Никольская И.Л. [31, 32], Ивин А.А. [11]

На уроках математики, закладывается фундамент всех мыслительных операций, и одним из главных тем в курсе математики начального образования является «нумерация чисел», так как именно в процессе изучения данного материала закладывается «почва» для дальнейшего целенаправленного обучения и развития детей в данной науке.[3]

Так, в начальной школе дети должны овладеть элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения и др.). Как говориться в народной поговорке «клин клином выбивают», т.е., используя приемы сравнения и классификации при изучении фундаментальных тем, можно решать одну из важнейших задач уроков математики - развитие всех качеств и видов мышления, которые позволили бы в дальнейшем, детям строить умозаключения, делать выводы, обосновывая свои суждения - самостоятельно приобретать знания и решать возникающие проблемы. Это являлось бы достижением самой большой цели современного общества - воспитание объективно мыслящей личности. [9], [47]

Проблема формирования у младших школьников представления о нумерации чисел и действия с ними, как фундаментальной части курса математики, используя развивающие методы и приемы (приемы сравнения и классификации) является актуальным во все времена. Ведь математика, требует понимания и логического рассуждения, а потому отличается от гуманитарных предметов и требует включения аналитических способностей.

&1.1 Понятие натурального числа при изучении нумерации чисел

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).[7]

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь».[7], [40]

О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка - сорок ведер и т.д.

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.[7]

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков - мириада), равное 10 000, а запределом - «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 106, «легион» - 1012, «леодр» - 1024, «ворон» - 1048, «колода» - 1096, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» - до числа 10, возведенного в степень 8х1016 , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах - до бесконечности ?.[7], [40]

Натуральные числа имеют две основные функции:

характеристика количества предметов;

характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ?. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи. [7], [40]

Рассмотрим методику ознакомления с основными математическими понятиями, изучаемыми в данной теме.

Понятие натурального числа дается на эмпирическом уровне. Число обозначается в порядке установления взаимно однозначного соответствия между предметами данной совокупности и словами - числительными.

В начальной школе: 1). Число - это количественная характеристика класса эквивалентных множеств. 2). Число - это элемент упорядоченного множества, член натуральной последовательности. 3). При изучении действий число выступает как объект, над которым выполняется арифметическое действие.

У учащихся необходимо сформировать следующие знания и умения:

1. Выделить число из других понятий.

2. Правильно назвать число.

3. Знать способы образования числа (в результате счета; в результате измерения; в результате выполнения арифметических действий).

4. Знать способы обозначения чисел с помощью цифр (Цифра - это знак для обозначения числа).

5.Знать различные функции числа. (Количественная функция, функция порядка, измерительная функция.)[15], [16]

Правила образования названий и чтения чисел.

1.Названия чисел от 10 до 20 образуются с использованием названий, принятых для первых десяти чисел, но имеет свою особенность - при чтении сначала называется нижний разряд, затем остальные (один - на - дцать; две - на - дцать).

2. Остальные названия чисел образуются по принципу поразрядности; чтение чисел начинается с единиц высшего разряда.

В учебниках М1И и М2И выделяются не концентры, а темы: «Однозначные числа», …, «Пятизначные и шестизначные числа», что способствует пониманию детьми различий между числом и цифрой. На первом этапе у учащихся формируются представления о количественном и порядковом числе. Запись числа 10 вводится в теме «Двузначные числа», когда детям предлагается считать десятками и сообразить о целесообразности данного счёта. Затем предлагается считать десятками и единицами сразу, что наводит на осознание того, что двузначные числа состоят их десятков и единиц (в качестве модели десятка предлагается треугольник, на котором 10 кружков). [12], [13], [14]

Последующая работа связана с установлением соответствия между предметной моделью двузначного числа и его символической записи.

Для этой цели предлагаются задания: «Запиши цифрами числа, которые соответствуют каждому рисунку», «Увеличь число 30 на 2 десятка, 3 десятка.

Наблюдай! Какая цифра изменяется в числе 30?» [15]

Для формирования умения читать и записывать четырехзначные числа детям предлагаются задания:

1) на выявление признаков сходства и различия двузначных, трёхзначных и четырехзначных чисел;

2) на запись четырехзначных чисел определёнными цифрами;

3) на сравнение чисел; на классификацию; на выявления правила построения ряда чисел.[16]

Таким образом, ребенок постепенно постигает состав числа, правила его записи и произношения.

&2. Различные методические подходы изучения

В методике начального обучения традиционно изучение нумерации по концентрам. Этот подход отражен в учебниках математики, разработанных Моро М.И., Бантовой М.А., Бельтюковой Г.В. и др. Постепенное расширение числовой области создает хорошие условия для формирования знаний, умений, навыков по нумерации: постепенно обогащаются знания о числах и способах их обозначения; постепенно усложняются практические действия с числами (образование, название, запись, сравнение, преобразование и др.). [26], [27], [28]

Выделяются 3 основных этапа изучения нумерации: подготовительный, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний и умений.

На подготовительном этапе необходимо сформировать у учащихся психологическую установку на изучение нумерации, активизировать их предшествующий опыт и имеющиеся знания, вызвать интерес к новым числам. С этой целью предлагается заранее включать упражнения на повторение основных вопросов нумерации чисел предыдущего концентра: соотношение изученных счетных единиц, десятичный состав чисел, натуральная последовательность, правила записи и способы сравнения чисел; приемы сложения и вычитания, основанные на знании нумерации. Также разработаны упражнения в счете предметов или в назывании чисел натуральной последовательности с выходом в новый концентр, это помогает учащимся понять, что существуют числа и за пределами изученного концентра и что они чем-то похожи на уже знакомые детям числа.[26]

При ознакомлении с нумерацией упражнения помогают учащимся выделить существенные признаки формируемых понятий, овладеть способами изучаемых действий.

Проведен отбор вопросов и определен порядок изучения в каждом концентре:

сначала рассматривается образование счетной единицы, ведется счет предметов с помощью этой счетной единицы;

на основе счета вводятся новые разрядные числа, раскрывается их образование и названия;

на основе счета с помощью всех известных счетных единиц показывается образование и устное обозначение неразрядных чисел; их состав из разрядных;

включаются упражнения в счете предметов с использованием новых чисел; усваивается натуральная последовательность чисел;

на основе знания десятичного состава и поместного значения цифр раскрывается письменная нумерация чисел;

во всех концентрах наряду со счетом рассматривается измерение таких величин, как длина, масса, стоимость; единицы измерения этих величин и их соотношение изучаются в сопоставлении с соответствующими счетными единицами и помогают их усвоению, (например,1 дм=10 см; 1р.=100к.; 1кг=1000г и т. д.);

вводятся способы сравнения чисел:

на основе принципа образования натуральной последовательности;

установления взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств;

на знании разрядного состава чисел;

на знании классового состава;

в каждом концентре вводятся вычислительные приемы, основанные на знании нумерации:

а) на знании принципа образования натуральной последовательности вводятся случаи вида а + 1, где а - любое натуральное число;

б) на знании разрядного состава чисел (упражнения в сложении разрядных чисел и обратные упражнения в замене неразрядных чисел суммой разрядных, а также вычитание из неразрядных чисел отдельных, составляющих их разрядных чисел) например:

+ 70 + 3 = 473; 506 = 500 + 6; 842 - 40 = 800;

- 800 = 42; 842 - 2 = 840.

При ознакомлении с нумерацией необходимо опираться на предметные действия учащихся. Для этого предлагается использовать различные средства обучения: счетный материал, на котором легко иллюстрировать десятичную группировку предметов при счете (палочки, пучки палочек, квадраты, полоски квадратов, треугольники с 10-ю кружками); наглядные пособия, формирующие представления о натуральной последовательности чисел (линейки, рулетки, ленты с выделенными сантиметрами, дециметрами, метрами); наглядные пособия, помогающие осознать позиционный принцип записи чисел (нумерационные таблицы разрядов и классов, абаки).[16], [25]

После введения проводится целенаправленная работа на закрепление знаний и отработку умений. Тренировочные упражнения сочетаются с упражнениями творческого характера.

Даются задания на анализ типичных ошибок, на сравнение, классификацию, обобщение для характеристики любого числа. Схема (план) разбора чисел, начиная с однозначного, до многозначного будет постепенно расширяться, углубляться, обогащаться новым теоретическим материалом. На начальном этапе она может составляться на основе обобщения сформулированных ответов учащихся и включать следующие вопросы:

1. Чтение числа.

2. Место числа при счете.

3. Десятичный состав.

4. Запись числа с помощью цифр.[16], [17]

Таким образом, при изучении нумерации в концентре схема разбора будет включать большее количество заданий и в том числе задания на сравнение и классификацию.

&2.2 Методика изучения нумерации чисел в концентре

При характеристике содержания и системы построения начального курса математики говорилось, что работа, направленная на формирование у детей понятия о числе и арифметических действиях, ведется в течение всех трех лет начального обучения и составляет основу всего курса. Программа предусматривает постепенное расширение области рассматриваемых чисел. Концентризм в построении программы неразрывно связан с особенностями десятичной системы счисления и нумерации чисел.[15], [16]

В качестве первого такого концентра выделен "Десяток". При изучении этой темы дети знакомятся с первыми десятью числами натурального ряда и действиями сложения и вычитания в этих пределах.

Уже на этом весьма ограниченном числовом материале рассматриваются многие вопросы, с которыми в дальнейшем учащиеся будут встречаться при каждом новом расширении области чисел.

Так, именно на этом этапе обучения учащиеся должны осознать количественное и порядковое значение числа. Они должны научиться пользоваться усвоенным ими отрезком натурального ряда чисел для получения ответа на вопрос, сколько элементов входит в состав предложенного им множества, понять, что с помощью той же числовой последовательности можно расположить элементы этого множества в определенном порядке, перенумеровав их.[15],[16]

На примере первых десяти чисел натурального ряда дети знакомятся с принципами его построения. Они осознают и усваивают, что для получения числа, следующего за данным, достаточно прибавить единицу к данному числу и что поэтому числа в натуральном ряду возрастают (каждое число ряда больше всех чисел, встречающихся при счете раньше этого числа, и меньше любого числа, которое называется при счете после него). Эти знания они применяют для сравнения чисел. Они узнают далее что каждое число (кроме единицы) может быть представлено в виде суммы двух или нескольких слагаемых.

Так, переходя к рассмотрению чисел в пределах 100, дети впервые встречаются с тем фактом, что десять единиц образуют новую счетную единицу - десяток. Они узнают, что названия чисел, больших 10, образуются уже с использованием названий, принятых для первых десяти чисел (один-на-дцать, две-на-дцать, два-дцать один и т.д.), что запись чисел в пределах 100 производится с использованием тех же самых десяти цифр, но с помощью двух цифр, значение которых зависит от места, которое занимает цифра в записи. Здесь впервые дети встречаются с понятием разрядных слагаемых и учатся представлять число в виде суммы его разрядных слагаемых. В неразрывной связи с этим изучаются и соответствующие случаи сложения и вычитания (вида 20 + 7, 27 - 7, 27 - 20). [15],[16]

Рассмотрение этих вопросов связывается с введением новой единицы измерения - дециметра. Весьма полезным оказывается при этом провести аналогию между получением двузначных чисел с помощью счета десятков и единиц и измерением отрезка сначала с помощью откладывания дециметра, а затем для измерения оставшейся части отрезка, меньшей дециметра, - с помощью откладывания сантиметра. (Например, 2 десятка и 3 единицы составляют 23 единицы, а 2 дм и 3 см - 23 см)

Каждое дальнейшее расширение области чисел, как правило, всегда связывается с введением новых единиц измерения величин и установления соотношения между ними. Это создает условия, необходимые для того, чтобы подмеченная аналогия в получении чисел при счете и при измерении могла быть в дальнейшем использована при рассмотрении действий с именованными числами. Каждый раз рассматриваются новые случаи действий, основанные на знании десятичного состава чисел.

Выделение концентра "Тысяча" дает возможность не только закрепить все приобретенные ранее знания нумераций, но и познакомить детей с новой счетной единицей - сотней. При этом важно показать детям общий принцип образования новых счетных единиц: 10 единиц образуют новую единицу счета - десяток, а 10 десятков - новую счетную единицу - сотню. Уже здесь можно сказать детям, что и дальше, при образовании новых чисел, 10 единиц одного разряда (сотен) образуют единицу следующего разряда - тысячу.

Таким образом подготавливается почва для ознакомления детей с принципом десятичной системы счисления, который выступит в еще более общей форме при рассмотрении темы "Многозначные числа". Здесь новым будет усвоение понятия класса, принципа устной и письменной нумерации чисел II и III классов.

Итак, выделение концентров в начальном курсе математики дает возможность неоднократно возвращаться к рассмотрению основных вопросов, связанных с особенностями десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации чисел, закрепляя знания детей. Это, как было только, что показано, создает условия и для формирования соответствующих обобщений. Благодаря концентрическому построению программы возникает также возможность рассредоточить трудности, в связи с чем в процессе обучения можно значительно увеличить долю самостоятельного участия детей в рассмотрении тех вопросов нумерации, которые при расширении области чисел могут быть ими усвоены на основе "переноса" приобретенных ранее знании.

Отметим здесь и другие принципиальные моменты, которые должны учитываться в работе над нумерацией, о какой бы области чисел ни шла речь.

Первое, на что следует обратить внимание учителя, - при изучении нумерации большое значение имеет богатейший речевой опыт, которым располагают многие дети уже ко времени поступления в школу и который быстро обогащается в школьные годы.[15]

Названия чисел, особенности образования соответствующих числительных дети воспринимают не только со слов учителя. Огромную роль играет при этом интуиция (чутье), основанная на владении родным языком. Дети легко самостоятельно (а иногда лишь при небольшом намеке со стороны учителя) подмечают принцип образования названий чисел и сами догадываются, как будут называться следующие числа, если только дать им для примера два-три аналогичных названия. Например: "двадцать один", "двадцать два"... (Трудности возникают только в таких случаях как "сорок", "пятьдесят", "девяносто", которые приходится специально оговаривать)[15]

Учитывая это обстоятельство, в процессе обучения нужно стремиться к тому, чтобы усвоение последовательности соответствующих числительных всегда несколько опережало ту область чисел, которая рассматривается в данный момент более основательно.

Так, приступая к изучению чисел первого десятка, дети должны уже к этому времени более или менее уверенно знать названия этих чисел, порядок их следования при счете. Изучая тему "Десяток", полезно уже заранее в устных упражнениях использовать счет предметов и в тех случаях, когда он выходит за пределы 10. Это не значит, что нужно требовать от всех детей прочного усвоения соответствующей последовательности чисел. Пусть ее усвоят не все, пусть некоторые еще будут иногда ошибаться, воспроизводя ее. Важно, чтобы она была им знакома к тому времени, когда они приступят к изучению темы "Нумерация чисел в пределах ста". Что это дает?

Во-первых, при этом легче усваивается устная нумерация на уроках, специально посвященных этим вопросам.

Во-вторых, знание названий чисел, к рассмотрению которых дети приступают (даже если и не все эти названия усвоены одинаково уверенно всеми учениками), позволяет учителю опереться на анализ самих этих названий (числительных) для раскрытия принципа образования чисел, их состава из разрядных слагаемых. Например, если ученик знает, что после двадцати идет число двадцать один, затем двадцать два и т.д., то достаточно обратить его внимание на то, что "-дцать" в названии числа двадцать означает "десять" ("десяток"), как десятичный состав любого из чисел в пределах 100 становится понятным по одному его названию: тридцать четыре - 3 десятка и 4 единицы и т.п. (исключение составят только числа от 40 до 49 и от 90 до 99).[15],[16]

Наконец, в-третьих, некоторое забегание вперед в усвоении счета предметов за пределом изучаемой области чисел помогает сформировать у детей правильное представление о том, что всегда можно назвать число, которое больше самого большого из известных уже к этому времени чисел. Дети перестают в этих условиях думать, что, например, на числе 10 (или 100, или 1000) счет обрывается.[16]

Такое забегание вперед создает, кроме того, условия для переноса изученных операций (в частности, операции счета предметов, приема присчитывания по 1 и др.) на несколько расширенную область чисел. Это очень важно в качестве психологической подготовки детей к работе с большими числами.[21]

Далее, как это было показано выше, концентризм в изучении нумерации создает такие условия, при которых в каждой новой теме дети вновь возвращаются к рассмотрению всех тех вопросов, которые рассматривались раньше.[16]

Это обязывает особенно внимательно следить за тем, чтобы не нарушить одно из основных педагогических требований - не объяснять как новое то, что уже известно, всячески стимулировать самостоятельное перенесение детьми приобретенных знаний на рассмотрение новых чисел. Поскольку одной из конечных целей изучения нумерации чисел является усвоение ряда общих принципов, лежащих в основе десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации, важно систематически и целеустремленно вести детей к соответствующим обобщениям. Для этого нужно каждый раз выделять и подчеркивать то общее, что обнаруживается при рассмотрении новых случаев и случаев, рассматривавшихся ранее. Новое надо рассматривать в сравнении с ранее изученным. На основе таких сравнений, проведения аналогий полезно побуждать детей к высказыванию некоторых доступных им предположений, догадок, подтверждая или опровергая их.

В упражнениях, направленных на усвоение последовательности чисел в натуральном ряду, специальное внимание приходится уделять гибкости в ее усвоении. Известно, что дети, даже хорошо усвоив эту последовательность, часто испытывают значительные затруднения при необходимости воспроизвести ее в обратном порядке. Немалые трудности возникают у них и при выполнении заданий, требующих умения назвать ряд последовательных чисел, начиная с любого заданного числа, назвать число, непосредственно следующее за данным или непосредственно ему предшествующее.[15], [16]

Отрабатывая усвоение ряда чисел, необходимо, поэтому включать соответствующие упражнения наряду с выделением наиболее трудных пунктов этого ряда, связанных с переходом к новой счетной единице (97, 98, 99..., 998, 999,. .) или с введением числительного, представляющего собой исключение из общего правила (например, "сорок").[15],[16]

В результате изучения нумерации чисел дети должны не только усвоить соответствующие общие положения, но и овладеть важнейшими умениями и навыками.

Поэтому в учебниках математики для начальных классов намечена система упражнений, необходимых для сознательного усвоения детьми всех основных вопросов, связанных с изучением нумерации. Для формирования прочных навыков в данном случае необходимо такие упражнения давать специально почти на каждом уроке, составляя упражнения по образцу данных в учебнике и включая их небольшими порциями на уроках, следующих за изучением данной темы (по 2-3 упражнения).[15],[16]

Изучение нумерации, как известно, является основой работы над арифметическими действиями. Здесь применяются все знания, умения и навыки, которые дети получают, знакомясь с десятичной системой счисления и нумерацией.

Поэтому в ходе изучения действий происходит естественное закрепление и совершенствование приобретенных знаний.

&2.3 Развивающие методы обучения при изучении «нумерации чисел»

В настоящее время в некоторых экспериментальных курсах сделаны попытки преодолеть недостатки традиционного обучения. Наиболее полно вопросы обозначения чисел представлены в программах и учебниках, разработанных на основе концепции развивающего обучения В. В. Давыдова.[6] Однако рассмотрение их полностью подчинено идее построения теории числа на основе понятия величины. Необходимость строить и изучение систем записи на основе этой теории мешает авторам показать проблему обозначения чисел всесторонне. Представленный в этих программах и учебниках подход в силу той же необходимости не может быть применен вне системы изучения чисел на основе понятия величины. Кроме того, и в этой системе не раскрывается и не ставится названная выше проблема, приведшая к созданию позиционных систем счисления и, в частности десятичной (хотя многое и сделано в этом направлении).[6], [47], [48]

Изложим суть подхода, который, как показывает многолетняя опытная проверка, вполне доступен каждому учителю. Основу его составляют осознание детьми общей проблемы обозначения знаний и проблемы обозначения чисел; осознание гуманитарных, общекультурных аспектов знания о числе и способах его обозначения.

Числовые представления возникают у детей задолго до их поступления в школу. Слова-обозначения чисел приходят в жизнь ребенка из жизни взрослых и приобретают абстрактный смысл по мере накопления конкретных смыслов (два яблока, два пальца, две руки, две тысячи рублей, два шага, два метра, две куклы, две машины, два литра; один, два, три, и т. п.). Уровень, характер, содержание, степень осознанности этих представлений у разных детей различны и зависят как от обстоятельств их жизни, так и от индивидуальных особенностей. Представления об обозначении чисел в речи первоначально неразрывно связаны с числовыми представлениями, неотделимы от них.[6],[47]

При изучении чисел сразу же должна вставать проблема их обозначения. Первоначально эта проблема возникает при обобщении и уточнении числовых представлений первоклассников. Средством такого обобщения и уточнения может быть конструирование способов количественного сравнения предметов и групп предметов по различным качествам -- признакам, свойствам, а также конструирование способов обозначения результатов этого сравнения в речи и на письме.

Количественное сравнение предметов и групп предметов может проводиться на двух уровнях:

- установление отношений «больше», «меньше» или «столько же»;

- установление кратного отношения «сколько раз» без использования мерки-посредника и с ее применением.

Количественное сравнение проводится после установления общего качества - признака, по которому возможно количественное сравнение. Например, книгу и тетрадь можно количественно сравнивать по длине каких-либо сторон, по массе, по объему, по числу страниц, по стоимости, по площади каких-либо поверхностей, по площади общей суммарной поверхности каждого предмета. Несколько кружков и несколько квадратов количественно можно сравнивать по длине составленных из них рядов, по ограничиваемой ими площади поверхности, по количеству отдельных предметов в группах (по количеству «штук» кружков и квадратов), по массе, по объему.[47]

Уже при установлении отношений «больше», «меньше» или «столько же» («равно») полезно поставить перед детьми проблему обозначения результатов сравнения: «Мы вчера с вами сравнивали (по количеству «штук»), чего в этой коробке больше: квадратов или треугольников. Но я не помню результат. Плохо, что мы вчера никак не записали, никак не обозначили его. Придется заново сравнивать. Как бы вы предложили обозначить, записать, что квадратов меньше, чем треугольников?» Полезно сравнить различные способы выражения результатов сравнения -- в слове, в предметных действиях, в графических знаках. При выполнении заданий на сравнение необходимо обращать внимание детей на то, что сказал, сообщил, показал, изобразил ученик, чтобы мы узнали результаты сравниваемых им предметов (групп предметов); как он сказал, показал, изобразил -- с помощью каких слов, жестов, движений, действий с предметами, рисунков, письменных (графических) знаков; насколько точно, понятно удалось ему сообщить то, что он хотел; все ли одинаково его поняли.

Действенным средством осознания различий между содержанием знания и способом его выражения, осознания роли способа выражения в овладении этим знанием является отыскание детьми различных способов выражения одного и того же знания, различных способов его обозначения в речи, в предметных действиях, на письме. Покажем, как это средство может быть использовано при формировании понятия числа.[37],[44]

Например, учащимся предлагаем сравнить две группы предметов, пересчитать которые они еще не в состоянии. С помощью составления пар дети устанавливают, что в обеих группах предметов поровну (по количеству отдельных предметов, «штук»). Учитель предлагает обозначить количество отдельных предметов в одной из групп каким-либо словом, рисунком, графическим знаком (произвольным), какой-либо буквой. Принимается несколько предложений ребят. Слова, рисунки, знаки, буквы выносятся на доску (пять-шесть предложенных детьми вариантов). Затем учитель спрашивает:

- Они знают, что этих предметов столько же, сколько этих (показывает вначале первую, обозначенную группу, затем вторую). Количество этих предметов мы обозначили так ... (показывает первый набор обозначений, предложенный детьми). Как же обозначить количество этих предметов (показывает другую группу предметов)?

Не было еще случая, чтобы дети не догадались, что для обозначения одинакового количества целесообразно использовать одинаковые обозначения.

- Почему по этим обозначениям можно сразу же догадаться, что предметов поровну?

Затем они демонстрируют еще одну группу предметов, подобранную им так, что предметов в этой группе столько же, сколько их в каждой из ранее рассмотренных.

Нам известно, что из этих предметов столько же, сколько и этих (показывает на одну из ранее рассмотренных групп). Кто не верит, может проверить, составив пары. Обозначьте их количество словом, рисунком, знаком так, чтобы сразу было ясно, что их столько же, сколько и этих предметов (показывает на одну из ранее рассмотренных групп).[47]

Объясните, почему вы обозначили так? (Если количество этих предметов обозначено так то и количество этих предметов, поскольку их столько же, обозначу тем же словом, знаком, рисунком, буквой.)

- А теперь сосчитайте (посчитаем вместе) количество отдельных предметов в каждой группе. ... Как принято в математике обозначать это количество? (Словами -- числительными, знаком -- соответствующей цифрой или цифрами, рисунком, например точечным).

- Значит, придуманные нами слова, знаки -- это «заменители» названий, обозначений чисел. И мы могли бы ими пользоваться точно так же, как соответствующим названием и обозначением числа. (Например: вместо слова «семь» и цифры «7» мы могли бы говорить «блям» и писать «я».) И все было бы хорошо. Правда, нас не поняли бы те, кто не был на сегодняшнем нашем уроке.

Рассмотрение разных способов обозначения результатов количественного сравнения (в том числе и приводящего к появлению числа), их сопоставление, обсуждение достоинств и недостатков, обнаружение этих достоинств и недостатков при попытках использовать придуманные детьми обозначения чисел создают ту атмосферу осознания единства и различий смысла и знака, означаемого и означающего, которая в дальнейшем позволяет обсуждать и другие проблемы познания, проблемы хранения и передачи знания одним человеком другому, одним поколением другому.[36]

&3. Прием сравнения и классификации на уроках математики при изучении «нумерации чисел»

Особую роль в организации продуктивной деятельности младших школьников в процессе обучения математике играют развивающие методы обучения. К таким методам можно отнести: приём анализа и синтеза, приём обобщения, приём сравнения, приём классификации.[ 6]

Приём сравнения основан на следующих этапах:

- выделение признаков или свойства одного объекта;

- установление сходства и различия между признаками двух объектов;

- выявление сходства между признаками трёх, четырёх и более объектов.[44]

В качестве объектов по формированию у детей логического приёма сравнения можно использовать предметы или рисунки с изображением предметов, хорошо им знакомых, в которых они могут выделить те или иные признаки, опираясь на имеющиеся у них представлении. Далее проделать подобные операции с цифровым рядом. Например, в пределах 10: сравнивать «соседей числа» слева и справа, а в последующем можно сравнивать и по разрядам и классам, классифицируя по сходным и общим признакам, группировать в таблицу разрядов и классов, что будет наглядным и образным действием одновременно.[36]

Для организации деятельности учащихся можно также использовать приём аналогии.

Понятие “аналогичный” в переводе с греческого языка означает “сходный”, “соответственный”, понятие “аналогия” - сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий. В процессе использования на уроках приёма аналогии учащиеся производят умозаключения по аналогии.

Умозаключение по аналогии помогает учащимся усвоить переход к письменному сложению и вычитанию многозначных чисел, сравнивая его со сложением трёхзначных.[44]

Для правильного умозаключения по аналогии необходимо выделить существенные признаки объектов, в противном случае вывод может оказаться неверным.

Важнейшими операциями, помогающими облегчить учащимся изучение нумерации многозначных чисел, являются синтез и анализ.

Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков, свойств. Синтез - это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое.[36]

В мыслительной деятельности человека анализ и синтез дополняют друг друга, так как анализ осуществляется через синтез, а синтез - через анализ. Выполняя задания на сравнение и классификацию, учащиеся постоянно пользуются этими приёмами, тем самым развивая не только навыки работы с конкретными математическими заданиями, но и развивают и совершенствуют процессы сравнения и классификации в структуре логического мышления.[36]

Большое значение в усвоении структуры многозначного числа имеют упражнения на сравнительный анализ чисел, записанных одинаковыми цифрами. Например: в чём сходство и различие следующих чисел?

а) 362521 и 521362, б) 181014, 181140, 181104.

Отвечая на этот вопрос, ученики используют такое понятие, как “класс” и “разряд”. Например, объясняя различие чисел 362521 и 521362, они отмечают: “В первом случае класс единиц записан цифрами 5,2, и 1, во втором, этими же цифрами записан класс тысяч. Это означает, в первом числе 5 сотен 2 десятка 1 единица”.

При сравнении чисел 181014, 181140, 181104, необходимо отметить, что класс единиц и класс тысяч во всех трёх числах содержит одинаковые цифры. Все три числа содержат сто восемьдесят одну тысячу. Так как цифры класса единиц меняют своё место в каждом числе, то соответственно меняются названия записанных чисел.[36]

Ещё одним примером упражнения на сравнительный анализ служит следующее задание:

Сравни числа: 8005 и 80005; 9004 и 9040; 64130 и 46130 и т. д.

Также усвоению нумерации многозначных чисел способствуют упражнения на перевод единиц одних величин в другие, так как основанием этого перевода (за исключением мер времени) является число 10. Например: 84241 =... кг ...г (1 кг = 1000 г, поэтому определение количества килограммов связано с ответом на вопрос: “Сколько тысяч в числе?” Закрывая цифры, стоящие в разряде единиц, десятков, сотен, имеем: в числе 84 тысячи или 84241 = 84 кг 241 г).[33], [36]

Умение называть количество единиц, десятков, сотен, тысяч в числе требует как усвоения разрядного состава числа, так и осознания того, что каждая разрядная единица в числе (за исключением первого разряда единиц) содержит десять единиц низшего разряда, т.е. 1 дес. = 10 ед., 1 сотня = 10 дес. = = 100 ед.; 1 тысяча = 10 сот. = 100 дес. = 1000 ед.[33], [36]

Классификация имеет свое особое значение при изучении многозначных чисел, так как осуществляется группирование чисел по классам, разрядам, что в свою очередь способствует закреплению в длительной памяти полученной информации.

Задания на классификацию могут быть как по соотнесению чисел к тем или иным классам и разрядам, так и на группирование по результатам суммы (разности) чисел, но опять таки, с учетом признаков класса и разряда. Например. Реши примеры и выпиши сумму (разность) чисел, которые относятся к … разряду и … классу чисел.

Эффективному усвоению учащимися «нумерации чисел» и действия с ними способствует формирование логического мышления, а при использовании приемов сравнения и классификации включаются аналитические операции и операции синтеза, которые являются главными структурными компонентами логических операций.

Таким образом, нами были разработаны примерные задания с использованием приемов сравнения и классификации, которые можно использовать на уроках математики при изучении «нумерации чисел» независимо от типа урока.

На уроках изучения нового материала.

Сложение, вычитание:

сравнение с предыдущими и последующими «соседями» чисел

сравнение с предыдущими и последующими разрядами

сравнение с предыдущими и последующими классами

действия на прибавление (вычитание) с получением числа следующего (предыдущего) класса чисел того же разряда

действия на прибавление (вычитание) с получением числа следующего (предыдущего) класса чисел следующего (предыдущего) разряда

действия на прибавление (вычитание) с получением числа следующего (предыдущего) класса чисел того же разряда

действия на прибавление (вычитание) с получением числа того же класса чисел другого разряда

действия на умножение и деление по аналогии (см.выше)

Разбор по составу чисел:

Решить примеры и выписать числа с одинаковыми основаниями

Решить примеры и выписать числа относящиеся к конкретно заданному разряду и классу чисел

Найти и описать отличия и сходства в заданных числах

На уроках закрепления, повторения или обобщения можно использовать аналогичные задания, но уже с усложнениями.

Составь число относящееся к конкретному разряду, классу (числовой диктант)

Составь таблицу из следующих чисел в соответствии с таблицей классов и разрядов

Допиши цифры, чтобы получить число конкретно заданного класса, разряда

Некоторые задания описаны во фрагментах уроков для 2 класса (см. в Комплексе учебных заданий). [33]

&4. Комплекс учебных заданий

Фрагмент урока № 1

Цель: формирование начальных приемов логического мышления, таких как анализ и синтез у учеников 2 класса.

Оборудование:

Карточки с числами, таблица (для выполнения задания №3)

Ход

У: ребята мы знаем, что любое число можно представить из двух меньших, используя всевозможные варианты. Предлагаю Вам придумать и записать как можно больше выражений с ответом 25. (задание выполняются в тетради).

У: а сейчас давайте вместе проверим, что у нас получилось. Назовите выражения, которые у вас получились (выслушиваются ответы каждого ребенка).

У: молодцы, все выражения перечислили!

У: А сейчас обратили внимание на доску. Какое число написано на доске? Расскажи все, что ты знаешь о числе 18.

Ответы учеников: (Это двухзначное число; оно записано цифрами 1,8; в нем 18 единиц; 1 десяток, 8 единиц; его можно записать в виде суммы разрядных слагаемых так: 10+8; оно на 1 единицу больше числа 17 и на 1 единицу меньше числа 19; его можно представить в виде суммы двух слагаемых, трех, четырех и т. д).

У: значит число 18 можно представить в виде числа, суммы чисел составляющих это число, т.е вы перечисли всевозможные варианты числа 18. и все это число 18!

Продолжаем урок.

У: У каждого на парте есть карточки, посмотрите внимательно на них. Задание заключается в том, чтобы разгадать правило, по которому составлена таблица, и заполни пропущенные клетки:

У: У меня на доске записаны цифры в дав ряда. Посмотрите внимательно на цифры в каждом ряду

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19

У: Разбей числа каждого ряда на две группы так, чтобы в каждой были числа, похожие между собой. По какому признаку разбиты числа на группы.

У: какие ответы у вас получились. Назовите их.

Продолжаем урок

У: А сейчас предлагаю другое задание. Будьте внимательны. Я называю числа 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

По какому правилу записан ряд чисел? Как вы считаете?[33]

Фрагмент урока № 2

Цель: формирование начальных приемов логического мышления, таких как анализ и синтез у учеников 2 класса.

Ход

У:Запиши в тетради все нечетные числа от 1 до 19. Приступаем к заданию. Какие ответы у вас получились?

У:Верно вы все верно назвали нечетные числа от 1 до 19.

У:А теперь обратите внимание на доску, вам необходимо зачеркнуть в первом ряду такие числа, чтобы каждое следующее было на 4 больше предыдущего.

У: какие ответы у вас получились. Верно молодцы, все правильно выполнили задание

У: а сейчас выполнил такое задание: запишите из второго ряда пары чисел, сумма которых равна 10?

Разбей числа первого ряда на две группы, чтобы в каждой были числа, похожие между собой. Запиши их в 2 группы.

У: какие ответы у вас получились? Что общего между числами каждой группы. По какому основанию вы разделили числа на группы?

У: а сейчас давайте выполнить следующее задание: даны числа: 1,4,12.. Найди лишнее число и зачеркни его. Приступаем к выполнению задания

У: какие ответы у вас получились? Верно выполнили, все молодцы.

Подводятся итоги работы. Отмечаются наиболее активные ученики в работе, а также поддерживается интерес к выполнению заданию тех детей, которые при выполнении заданий были малоактивны.[33]

Фрагмент урока № 3

Цель: формирование начального приема логического мышления, такого как сравнение у учеников 2 класса.

У: предлагаю задание выполнить в паре. На доске написаны выражения.

Назови общие признаки выражений:а) выражения 29+2 (числа 29,2 и знак «+»); б) выражения 6-1 (числа 6, 1 и знак «-»);

У: А сейчас поиграем в игру. Я начну называть ряд чисел, а вы (на кого покажу, продолжаете)

Продолжи ряды чисел: 2, 4, 6, 8, ...; 1, 5, 9, 13, ...

У: на доске написаны примеры. Какой из примеров является лишним? Подчеркни?

13-5=8 18-2=16 11+5=16 12-6=6 12-7=5

У: я буду называть числа. Ваша задача заключается в том, чтобы определить, в чем сходство и различие чисел:

12 и 15; 2 и 12; 13 и 12; 1 и 11; 2 и 12; 1 и 11; 11 и 12

У? у вас на карточках написаны задач. Прочитайте их внимательно. В чем сходство и различие текстов задач:

Наташа прочитала 12 книг, Денис - 24. На сколько больше книг прочитал Денис, чем Наташа?

Наташа прочитала 12 книг, Денис - 24. Во сколько раз больше книг прочитал Денис, чем Наташа?

Фрагмент урока № 4

Цель: формирование начального приема логического мышления, такого как сравнение у учеников 2 класса.

У: Часто мы на уроке математики сравниваем примеры, но как правило предварительно решаем их. Я вам предлагаю выполнить задание, в котором необходимо сравнить выражения, не вычисляя, и вставь знаки «<», «>», «=»

8+11....9+11 21+5...3+22

17+6...7+17 30+1...32+9

У: какие знаки вы поставили при выполнении задания. Выслушиваются ответы учеников, которые, затрудняются в решении примеров

У: А сейчас выполним другое задание: На доске я записала числа 10 и 16. Вам необходимо записать сходства и отличия чисел. Приступаем к выполнению задания.

У: А сейчас проверим, какие общие сходства и отличия чисел. Назовите их.

У: Мы с вамиотметили общие сходства и отличия чисел. А сейчас мы сравним выражения, которые я записала на доске. 13+2, 13+7, 13+5.

У: какие сходства вы отметили, чем отличаются данные выражения.

У: Молодцы, все верно отметили сходства и отличия выражений.

У: а сейчас обратите внимание на карточки, где записаны числа:12,42,52,82,92,22. Вам необходимо записать сходства чисел. Какие сходства чисел вы отметили?

У: молодцы основанием для сходств является то, что то всех названных числах в единицах мы можем наблюдать число 2. В этом и заключается сходства записанных чисел.[33]

Фрагмент урока № 5

Цель: формирование начального приема логического мышления, такого как классификация у учеников 2 класса.

Оборудование: таблицы с числами

У: у каждого на карточках написаны числа. Разбейте данные числа на две группы, чтобы в каждой оказались похожие числа: 20,24,26,17,19,20,13,15,16,17 (самостоятельно выбирает основание для классификации).

У: на доске написаны выражения. Разбейте данные выражения на группы по какому-то признаку: 6+4, 4-1, 5+4, 6-4, 7+4, 8 - 4.

У: Поиграем в игру, на доске написаны числа. Распредели числа на группы. По какому признаку можно их распределить?

10,20,30,40,50,....

11,14,17,19,12,14,16

У: На карточке написаны числа. Числа распределены на группы. Верно ли их распределили? Почему ты так считаешь, объясни.

11,13,15,17,19

12,14,16,18,20

У: на доске написаны выражения. Выражения распределены на группы. Верно ли их распределили? Почему ты так считаешь, объясни.

1 группа: 8-4 9-5 10-6 13-5 17-3

2 группа: 8+4 9+5 10+6 13+5 17+3 [33]

Фрагмент урока № 6

Цель: формирование начального приема логического мышления, такого как классификация у учеников 2 класса.

Оборудование: таблицы с числами

У: Я сейчас вам продиктую числа, которые необходимо разбить разные числа на 2 группы (классификация осуществляется по заданному основанию)

33,25,37,23,39,31,26.

У: что является основанием для классификации - число 3 и 2.

У: Молодцы верно отметили.

У: Я на доске записала числа, вам необходимо разбить разные числа на 2 группы:33,84,75,22,13,11,44,53

У: Разделив числа на 2 группы, на какой признак вы опирались?

Дети: выслушиваются ответы детей

У: мы сейчас с вами выполнили задание, основанием для классификация каждый выбрал свой признак, кто-то выбрав первое число, другие разделили числа на четные и нечетные, но у всех вас выполнено правильно задание, поскольку я не назвала признак или основание

...