Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

1. Геометричні задачі в математиці

1.1Роль задач у навчанні математики

1.2Значення геометричних задач

1.3Класифікація геометричних задач

2. Методика навчання учнів розв'язування задач на побудову в шкільному курсі геометрії

2.1Загальна характеристика задач на побудову

2.2Історія виникнення задач на побудову

2.3Місце задач на побудову в сучасному шкільному курсі геометрії

2.4Значення задач на побудову

2.5Деякі питання теорії геометричних побудов

2.6Методика навчання учнів розв'язування задач на побудову

2.6.1Етапи розв'язування задач на побудову

2.6.2Основні геометричні побудови

2.6.3Складніші задачі на побудову

3. Використання педагогічного програмного засобу GRAN-2D під час розв'язування задач на побудову в шкільному курсі планіметрії

Висновки

Список використаних джерел



Вступ

Тема «Геометричні побудови» - одна із найважливіших у шкільному курсі геометрії у зв'язку із її практичним застосуванням і розвивальним впливом на учнів. Це підтверджують слова академіка О. В. Александрова: «Найперше завдання геометрії полягає в тому, щоб дати точно обґрунтовані правила для побудови фігур із заданими властивостями».

Це можливо за умови правильної і ефективної методичної роботи вчителя із використанням як традиційних методів навчання учнів розв'язування задач на побудову, так і з допомогою комп'ютера у навчальному процесі.

Актуальність вибору цієї теми полягає в тому, що у зв'язку із стрімким розвитком обчислювальної техніки і програмних засобів, використанням їх у навчальному процесі з'являється можливість доповнити традиційні методи навчання учнів розв'язуванню задач на побудову новими інноваційними методами із використанням сучасних педагогічних програмних засобів, що дозволили б зробити процес навчання більш цікавим і ефективним.



1. Геометричні задачі в математиці

1.1 Роль задач у навчанні математики

У процесі навчання математики задачі мають велике і багатостороннє значення, виконують різноманітні функції. Навчальні математичні задачі є дуже ефективним і часто незамінним засобом засвоєння учнями понять і методів шкільного курсу математики. Велика роль задач у розвитку мислення і в математичному вихованні учнів, у формуванні в них умінь і навичок у фактичних застосуваннях математики. Розв'язування задач добре служить досягненню всіх тих цілей, які ставляться перед навчанням математики. Саме тому для розв'язування задач використовується половина навчального часу уроків математики (700-800 академічних годин протягом навчання у 5-11 класах). Доцільна методика навчання розв'язування математичних задач відіграє істотну роль у формуванні високого рівня математичних знань, умінь і навичок учнів.

Значення навчальних математичних задач:

1. Освітнє значення математичних задач. Розв'язуючи математичну задачу, людина пізнає багато нового: знайомиться з новою ситуацією, описаною в задачі, із застосуванням математичної теорії до її розв'язання, пізнає новий метод розв'язання або нові теоретичні підходи, необхідні для розв'язання завдання і т. д. Іншими словами, при вирішенні математичних задач людина набуває математичних знань, підвищує свій рівень і математичну майстерність розв'язування задач. При оволодінні методом розв'язання деякого класу задач у людини формується вміння вирішувати такі завдання, а при достатньому тренуванні - і навичка, що теж підвищує рівень математичної освіти.

2. Практичне значення математичних задач. Під час розв'язування математичних задач учень навчається застосовувати математичні знання до практичних потреб, готується до практичної діяльності в майбутньому, до розв'язання задач, висунутих практикою, повсякденним життям. Майже у всіх конструкторських розрахунках доводиться розв'язувати математичні задачі, виходячи із запитів практики. Дослідження і опис процесів і їхніх властивостей неможливі без залучення математичного апарату, тобто без розв'язання математичних задач. Математичні завдання вирішуються у фізиці, хімії, біології, опорі матеріалів, електро- і радіотехніці, особливо в їх теоретичних основах та ін.

Це означає, що при навчанні математики учням слід пропонувати завдання, пов'язані із суміжними дисциплінами (фізикою, хімією, географією та ін), а також завдання з технічним і практичним, життєвим змістом.

3. Значення математичних задач у розвитку мислення. Розв'язування математичних задач привчає виділяти основне і другорядне, дане і невідоме, знаходити спільне, зіставляти та протиставляти факти. Під час розв'язування математичних задач виховується правильне мислення, і перш за все учні привчаються до повноцінної аргументації. Розв'язання задачі повинно бути повністю аргументованим, тобто не допускаються незаконні узагальнення, необґрунтовані аналогії, ставиться вимога повноти диз'юнкції (розгляд усіх випадків даної в задачі ситуації), дотримуються повнота і витриманість класифікації. При рішенні математичних задач в учнів формується особливий стиль мислення: дотримання формально-логічної схеми міркувань, лаконічне вираження думок, чітка розчленованість ходу мислення, точність символіки.

4. Виховне значення математичних задач. Перш за все, задача виховує своєю фабулою, текстовим змістом. Тому фабула багатьох математичних задач істотно змінюється в різні періоди розвитку суспільства. Так, у завданнях, які вирішують сучасні школярі капіталістичних країн, сюжетний зміст багатьох математичних задач пов'язаний з питаннями отримання вигоди при купівлі та перепродажу товару, розрахунків виграшу-програшу в азартній грі і т. п.

Виховує не тільки фабула задач, виховує весь процес навчання їх розв'язання. Правильно поставлене завдання розв'язування математичних задач виховує у учнів наполегливість у подоланні труднощів, повагу до праці своїх товаришів.

1.2 Значення геометричних задач

Задачі є невід'ємною складовою частиною курсу геометрії в середній школі. Дійсно, позбавлений задач курс елементарної геометрії представляв би собою лише групу теорем розміщених більш-менш послідовно. Користі від вивчення такого курсу дуже мало.

По-перше, учням довелося б «зазубрювати» зміст цих теорем, оскільки школярі не бачили б ніякого застосування досліджуваного матеріалу. Був би порушений відомий дидактичний принцип свідомості навчання.

По-друге, такий курс не був би пов'язаний з іншими дисциплінами, які входять до програми середньої школи, в тому числі і з іншими математичними дисциплінами.

По-третє, такий курс зовсім не сприяв би розвитку просторових уявлень учнів.

По-четверте, такий курс не дав би школярам підготовки до вирішення навіть найпростіших практичних задач.

Тому весь шкільний курс геометрії повинен бути насичений різними вправами. Як би не змінювалася програма і кількість годин, що відводяться на вивчення геометрії, розв'язування задач залишається найважливішою частиною курсу.

Зрозуміло, мова йде не про довільний набір задач. Задачі є першою формою застосування знань, отриманих школярами в процесі вивчення геометрії. Тому запропоновані задачі повинні відповідати підготовці учнів, причому мова йде не тільки про відповідність програмі, підручнику, але і про облік знань конкретного класу, особливості виробничого навчання і т. д.

Проте задачі грають не тільки допоміжну роль - закріплювати знання вивченого теоретичного матеріалу, але і навчальну роль - у процесі вирішення задач школярі знайомляться з методами математичного міркування, розширюють кругозір.

При підготовці до теми уроку вчитель особливу увагу звертає на підбір вправ. Основним джерелом для підбору задач є основний задачник. Однак він не може бути єдиним джерелом. В одній книзі не можна помістити достатньої кількості вправ і для ведення індивідуальної роботи як з тими учнями, які тимчасово відстали у навчанні, так і з тими, хто випередив своїх товаришів, і для повторення матеріалу (в кінці теми, чверті, навчального року і для проведення контрольних робіт).

Тому вчителі використовують, крім основного задачника, інші збірники вправ, окремі статті з досвіду викладання, що містять підбір вправ до окремих тем курсу, а також самі складають геометричні задачі.

1.3 Класифікація геометричних задач

Як відомо, задачі в геометрії в залежності від умови і завдання ділять на чотири групи: завдання, на обчислення, доведення, дослідження і на побудову.

У задачах на обчислення потрібно знайти невідомі величини (відрізки, кути, площі, об'єми) або їх співвідношення через відомі параметри. Якщо параметри дані в загальному вигляді, то результат виходить буквений, якщо ж умова містить числові значення параметрів, відповідь зводиться до числа.

Іноді умова така, що потрібно спочатку розв'язати задачу в загальному вигляді, а потім підставити в отриманий вираз значення параметрів. Але інколи, незалежно від вимог умови, задачу доцільно розв'язати в загальному вигляді. Таким чином, розв'язування «буквено» і «в числах» не протиставляються одне одному, вони є лише двома формами подання невідомих величин через відомі.

У задачах на доведення необхідно встановити наявність певних співвідношень між елементами задачі: рівність чи нерівність відрізків, кутів, паралельність або перпендикулярність прямих, площин і т. д. Іноді завдання цього типу можуть бути оформлені і як завдання на обчислення; наприклад, довести, що деякий кут дорівнює 45°, що площа однієї фігури в стільки-то разів більше площі іншої фігури і т. п.

Менш поширені задачі на дослідження. У таких задачах результат заздалегідь не повідомляється. Потрібно з'ясувати чи лежить певна точка на даній прямій (на даній площині), чи перетинаються дані кола, чи паралельні дані прямі і т. п., визначити, який заданих відрізків більший, до якої з сторін трикутника знаходиться ближче дана точка. Встановити залежність між перерахованими в умові елементами фігури.

У задачах на побудову невідомі величини визначаються в результаті виконання ряду геометричних побудов (за допомогою допустимих геометричних інструментів або в обумовленій проекції). Як правило, мова йде про побудову геометричної фігури за деякими даними про неї. У стереометрії нерідко замість відрізків і кутів дається зображення (наприклад, піраміди), на якому потрібно виконати побудову (наприклад, знайти перетин), тобто елементи фігури задаються їх положенням (на проекційному кресленні).



2. Методика навчання учнів розв'язування задач на побудову в шкільному курсі геометрії

2.1 Загальна характеристика задач на побудову

У викладанні математики велике значення набувають питання, пов'язані з навчанням учнів геометричним побудовам (виконання найбільш поширених геометричних побудов та навчання розв'язання задач на побудову).

Розв'язуючи задачі на побудову, учні засвоюють перші теоретичні та практичні засади «графічної грамотності», знайомляться з найбільш уживаними прийомами їх вирішення, з інструментами, використовуваними в різних умовах роботи (при креслярсько-конструкторській практиці, при розмітці, при виконанні побудов на місцевості). У них розвиваються просторова уява, конструктивні здібності, кмітливість, винахідливість, тобто такі якості, які необхідні працівникам багатьох професій.

Доведення правильності розв'язання задачі та її дослідження сприяють кращому засвоєнню учнями теоретичного матеріалу, розвитку їх логічного мислення.

Навчання геометричних побудов в школі мало до останнього часу багато недоліків. Так, учні пізно знайомилися з геометричними побудовами (в 7 класі ними займалися лише наприкінці навчального року). Прийоми розв'язання задач на побудову часто не відповідали вимогам практики: як правило, вивчалися побудови, виконувані лише циркулем і лінійкою, а інші креслярські інструменти практично не використовувалися; мало приділялося уваги поширеним побудовам, хоча обґрунтування їх відповідало програмі з геометрії та доцільність застосування цих побудов на уроках математики, креслення та інших предметів не викликала сумніву; при розгляді геометричних побудов не приділялося належної уваги встановленню зв'язку між прийомами побудов (на папері, при розмітці, на місцевості) та використанням відповідних інструментів.

2.2 Історія виникнення задач на побудову

Вся історія геометрії та деяких інших розділів математики тісно пов'язана з розвитком теорії геометричних побудов. Найважливіші аксіоми геометрії, сформульовані основоположником наукової геометричної системи Евклідом близько 300 р. до н.е., ясно показують, яку роль зіграли геометричні побудови у формуванні геометрії.

v «Від будь-якої точки до будь-якої точки можна провести пряму»,

v «Обмежену пряму можна безперервно продовжувати по прямій»,

v «З будь-якого центру всяким розчином може бути описаний коло» ? ці постулати Евкліда явно вказують на основне положення конструктивних методів у геометрії древніх греків.

Давньогрецькі математики вважали «істинно геометричними» побудови, виконані лише циркулем і лінійкою, не визнаючи «законним» використання інших засобів для вирішення конструктивних задач. При цьому, відповідно до постулатів Евкліда, вони розглядали лінійку як необмежену і односторонню, а циркулю приписувалася властивість креслити кола будь-яких розмірів. Завдання на побудову циркулем і лінійкою і сьогодні вважаються вельми цікавими і ось вже більше ста років це традиційний матеріал шкільного курсу геометрії.

2.3 Місце задач на побудову в сучасному шкільному курсі геометрії

Геометричні побудови - традиційно одна з провідних змістових ліній шкільного курсу геометрії. Це викликано тим, що виконувати їх доводиться учням при вивченні всього курсу геометрії і в майбутній практичній діяльності працівникам різних галузей (інженерам-конструкторам, геодезистам, архітекторам, кравцям, столярам, будівельникам тощо).

Найпростіші геометричні побудови учні виконують уже в початковій школі та в 5-6 класах: проводять прямі, описують кола, будують відрізки, рівні даним, та кути заданої градусної міри, використовуючи транспортир, проводять паралельні і перпендикулярні прямі із використанням лінійки і косинця, зображують кути, трикутники, квадрати, прямокутний паралелепіпед, циліндр, конус, призму, піраміду.

Розв'язування задач на побудову супроводжує вивчення всіх тем систематичного курсу геометрії 7-9-х класів, передбачених програмою. Але можна виділити теми, які найтісніше пов'язані із задачами на побудову.

У систематичному курсі геометрії спеціально виділяються задачі на побудову, які розв'язуються лише за допомогою циркуля і лінійки. Так, самостійна тема «Геометричні побудови» зазначена в програмі як остання тема курсу геометрії 7 класу. Вона тісно пов'язана з ознаками рівності трикутників і паралельності прямих, властивостями кола, оскільки побудова і доведення в багатьох задачах спираються на цей матеріал.

У навчальній програмі чітко вказаний зміст навчального матеріалу, що охоплює дану тему:

ь Задача на побудову та її розв'язування.

ь Основні задачі на побудову:

· побудова трикутника за трьома сторонами;

· побудова кута, що дорівнює даному;

· побудова бісектриси даного кута;

· поділ даного відрізка навпіл;

· побудова прямої, яка перпендикулярна до даної прямої.

ь Геометричне місце точок.

Після вивчення даної теми учень повинен:

· вміти будувати за допомогою циркуля і лінійки: трикутник за трьома сторонами; кут, що дорівнює даному; бісектрису кута; середину відрізка; пряму, яка перпендикулярна до даної прямої;

· обґрунтовувати правильність виконаних побудов для основних задач;

· застосовувати вивчені означення і властивості до розв'язування задач, у т.ч. на побудову.

Складніші задачі на побудову учні розв'язують в 9 класі під час вивчення окремої теми: «Геометричні перетворення», яка згідно програми охоплює такий навчальний матеріал:

· переміщення (рух) та його властивості;

· симетрія відносно точки і прямої, поворот, паралельне перенесення;

· перетворення подібності та його властивості.

Згідно з програмою, після вивчення цієї теми учень повинен вміти застосовувати вивчені означення й властивості до розв'язування задач, зокрема на побудову.

2.4 Значення задач на побудову

Однією з найцінніших сторін таких задач є те, що вони розвивають пошукові навички вирішення практичних проблем, долучають до посильних самостійних досліджень, сприяють виробленню конкретних геометричних уявлень, а також вдосконаленню умінь і навичок. А це в свою чергу посилює прикладну і політехнічну спрямованість навчання геометрії. Задачі на побудову не допускають формального до них підходу, вони є якісно новою ситуацією застосування вивчених теорем і, таким чином, дають можливість здійснювати проблемне повторення. Такі задачі успішно можуть бути пов'язані з новими темами шкільного курсу геометрії (перетвореннями, векторами).

Ці задачі мають значну дидактичну цінність, оскільки не тільки формують практичні навички виконання основних побудов, а й розвивають логічне мислення, формують евристичну діяльність.

Геометричні побудови можуть зіграти серйозну роль у математичній підготовці школяра. Жоден вид задач не дає, мабуть, стільки матеріалу для розвитку математичної ініціативи і логічних навичок учня, як геометричні задачі на побудову. Ці задачі зазвичай не допускають стандартного підходу до них і формального сприйняття їх учнями. Задачі на побудову зручні для закріплення теоретичних знань учнів з будь-якого розділу шкільного курсу геометрії. Вирішуючи геометричні задачі на побудову, учень набуває багато корисних креслярських навичок.

2.5 Деякі питання теорії геометричних побудов

Що таке геометричні побудови?

Геометричні побудови - це розв'язування деяких геометричних задач за допомогою різних інструментів. Розділ геометрії, в якому вивчають геометричні побудови, називають конструктивною геометрією.

У теорії геометричних побудов кожен інструмент виконує властиву тільки йому операцію. Опис цієї операції є його абстрактною характеристикою і дає можливість вказати на ті елементи креслення, які можуть бути побудовані при одноразовому використанні того чи іншого інструменту.

Зазвичай на практиці кілька «абстрактних» інструментів об'єднуються в один (наприклад, креслярський трикутник є комбінацією односторонньої лінійки, прямого і двох гострих кутів). Часто також один інструмент використовується для виконання двох (або декількох) абсолютно різних операцій (наприклад, лінійка використовується для побудови прямої, що проходить через дві задані точки і спільних дотичних до двох даних кіл). Це дає можливість значно скоротити число використовуваних інструментів.

Вкажемо характерні операції для найбільш поширених у шкільній практиці креслярських приладів і ті елементи креслення, які можуть бути отримані при одноразовому їх використанні.

v Циркуль. Характерна для циркуля операція - побудова кола даним (або довільним) радіусом з центром у даній (або довільній) точці.

Таким чином, циркулем можуть бути побудовані (аксіоми циркуля):

а) коло даного радіуса з центром в даній точці (радіус може бути заданий двома точками);

б) дуга кола даного радіуса з центром в даній точці.

v Лінійка. Характерна операція для креслярської лінійки - проведення прямої через дві дані точки.

На практиці лінійкою користуються також для побудови дотичної до даного кола, що проходить через задану поза колом точку, і для побудови спільних зовнішніх і внутрішніх дотичних до двох кіл.

Теоретично ці операції такі ж суворі, як і проведення прямої через дві дані точки. Практична точність в більшості випадків цілком задовільна. Цей прийом часто використовується в креслярських роботах і при розмітці. Отже, за допомогою лінійки можуть бути побудовані (аксіоми лінійки):

а) пряма, що проходить через дві дані точки;

б) відрізок прямої, обмежений двома даними точками;

в) промінь, що проходить через дану точку і має початок в інший даній точці;

г) дотична до даного кола, що проходить через дану поза колом точку;

д) зовнішні та внутрішні дотичні до двох даних кіл.

Креслярський трикутник володіє всіма властивостями односторонньої лінійки. Отже, за допомогою креслярського трикутника можуть бути отримані ті ж елементи, що і за допомогою лінійки, а також пряма, що проходить через дану точку і утворює з даною прямою прямий кут, рівний одному з кутів креслярського трикутника.

v Транспортир. Характерною операцією для транспортира є побудова точки, що лежить на промені, який проходить через дану на прямій точку і утворює заданий кут з цією прямою.

Абстрактна характеристика кожного інструмента може бути використана для з'ясування питання про можливості розв'язання задач на побудову тими чи іншими інструментами.

Яка основна мета вивчення геометричних побудов у школі?

Основна мета вивчення геометричних побудов у школі - навчити учнів виконувати основні побудови за допомогою циркуля і лінійки та розв'язувати нескладні комбіновані задачі, що зводяться до виконання основних побудов.

Що означає розв'язати задачу на побудову?

Розв'язати задачу на побудову означає знайти спосіб побудови фігури, виконати цю побудову та довести, що побудована фігура задовольняє умові задачі.

Знайти спосіб побудови фігури означає звести її до скінченної кількості основних побудов , тобто вказати скінченну послідовність основних побудов, після виконання яких шукана фігура буде вже вважатися побудованою в силу аксіом конструктивної геометрії.

Які побудови вважають основними?

Основними побудовами вважають:

· побудови, перелічені в аксіомах інструментів, що вибрані для побудови;

· побудови, про можливість яких стверджується в аксіомах конструктивної геометрії, а саме:

1) можна побудувати точку, що заздалегідь належить побудованій фігурі;

2) можна побудувати точку, що заздалегідь не належить побудованій фігурі.

Якими є найпростіші задачі на побудову?

До основних найпростіших задач на побудову віднесено такі:

1) Побудова трикутника за трьома сторонами.

2) Побудова кута, що дорівнює даному.

3) Побудова бісектриси кута.

4) Поділ відрізка пополам.

5) Побудова прямої, перпендикулярної до даної.

Які чотири етапи розв'язування задачі на побудову?

Традиційно, розв'язування задачі на побудову містить чотири етапи: аналіз, побудову, доведення і дослідження, про які йтиметься далі.

2.6 Методика навчання учнів розв'язування задач на побудову

При розв'язуванні з учнями задач на побудову виникають великі методичні труднощі. Справа в тому, що при цьому зазвичай переслідують дві мети: розв'язати дану задачу і разом з тим навчити школярів розв'язувати задачі на побудову взагалі, тобто познайомити їх із загальними підходами до розв'язання задач, показати, як шляхом аналізу шуканої фігури, міркувань, припущень відшукується розв'язок задачі.

Це друге завдання значно складніше, ніж перше, і його реалізація вимагає від вчителя великої клопіткої і систематичної роботи, особливо в середній школі, так як розв'язування задач на побудову - абсолютно новий для учнів вид роботи. У багатьох випадках відшукання ходу розв'язання нового завдання є для учнів невеликим відкриттям і в той же час дослідженням.

Складність посилюється ще й тим, що часто знаходження розв'язку задачі являє собою вельми складний процес, що вимагає від учнів великої уваги. Для того щоб ця робота протікала успішно, необхідно, щоб учні зацікавилися розв'язанням задач, щоб вони зрозуміли, наскільки цікава ця робота. Тому завжди слід заохочувати прояв учнями винахідливості, ініціативи, самостійності у відшуканні розв'язку.

З перших уроків геометрії, заохочуючи учнів до розв'язання задач на побудову, треба забезпечувати їм деяку самостійність, а тоді, коли це необхідно, направити думку учнів на бажаний шлях. Іноді, можливо, навіть слід створити в учнів ілюзію самостійності з тим, щоб надати їм впевненість в роботі, зацікавити їх розв'язанням задач.

Міра самостійності в роботі, що виконується учнями, повинна визначатися вчителем виходячи з їхнього віку, підготовки, складності розв'язуваної задачі.

2.6.1 Етапи розв'язування задач на побудову

Аналіз. Аналіз - це важливий етап вирішення завдання, оскільки на цьому кроці учні складають план побудови, по суті, знаходять розв'язок задачі. Встановлюються такі залежності між даними і шуканими елементами, які дають можливість побудувати шукану фігуру.

При навчанні розв'язуванню задач на побудову доцільно підкреслювати аналогію з відшуканням розв'язку у завданнях із алгебри та геометрії при обчисленні і доведенні. Учень не повинен вважати, що для знаходження розв'язку задач на побудову потрібні абсолютно нові прийоми. Тому слід допомогти учням побачити аналогію в застосовуваних прийомах для відшукання розв'язку задач на побудову і задач з інших дисциплін.

Наприклад, при розв'язуванні задач з алгебри на складання і розв'язування рівнянь ми встановлюємо такі залежності між шуканими і даними величинами: спочатку уважно вивчається умова задачі, розглядається сенс тієї чи іншої даної величини. Для більш важких задач використовуємо ілюстрації у вигляді креслення або схеми. Припускаючи задачу розв'язаною, ми деяку величину позначаємо буквою х (або іншою буквою) і вважаємо її відомою. Встановлюємо залежності між цією величиною і величинами, даними в умові задачі, причому з різноманіття різних залежностей вибираємо ті, які дозволять вирішити задачу, в даному випадку скласти рівняння.

Назва етапу «аналіз» не означає, що для відшукання розв'язку застосовується тільки аналітичний метод, подібно до того як і при доведенні, яке іноді називають синтезом, не завжди застосовується синтетичний метод міркування. При розборі задачі, при знаходженні шляхів її розв'язання аналіз і синтез знаходяться у постійній взаємодії, доповнюють і перевіряють один одного.

Аналіз задачі пов'язаний з вихідним кресленням, тому його необхідно виконувати акуратно, а фігура повинна мати найбільш загальну форму. Якщо мова йде про трикутник, то потрібно брати різносторонній трикутник; про трапецію, то не рівнобічну трапецію; якщо про чотирикутник взагалі, то і креслимо чотирикутник, який не був би ні паралелограмом, ні трапецією. Якщо, наприклад, вирішуючи задачу на побудову трикутника, виберемо для аналізу рівносторонній трикутник, то учні замість потрібних залежностей між даними і шуканими елементами можуть використовувати і інші зв'язки, які виникнуть у них під враженням рівностороннього трикутника.

Креслення необхідно виконувати акуратно креслярськими інструментами, і лише після набуття навичок у кресленні відрізків без лінійки можна виконувати його від руки. Навички виконання креслень чи малюнків від руки особливо необхідні для учнів, які в майбутньому будуть мати справу з технікою, де вони повинні вміти робити ескізи деталей. З цим вони не зможуть впоратися, не маючи найпростіших навичок технічного малювання і креслення.

Креслення повинно строго відповідати умові задачі. У ряді випадків доцільно при аналізі побудови креслення починати не з даних, а з шуканих елементів фігури. Якщо, наприклад, шукане коло за умовою дотикається до деякої прямої і деякого кола в даній на ньому точці, то й на кресленні для аналізу ми повинні бачити їх дотик. Отже, спочатку треба побудувати шукане коло і добудувати довільні пряму і коло, що дотикаються до нього.

Таким чином, для відшукання розв'язку задач на побудову на перших порах необхідно використовувати навички, набуті учнями під час розв'язування арифметичних задач, а потім вже і навички, набуті при розв'язування основних задач на побудову та інших математичних задач. Використовуємо також теоретичний матеріал, у тому числі і спеціальні методи геометричних побудов.

Побудова. Другий етап розв'язування задач на побудову складається з двох частин:

1) перерахування у порядку всіх елементарних побудов, які потрібно виконати, згідно з аналізом, для вирішення задачі,

2) безпосереднє виконання цих побудов на кресленні за допомогою креслярських інструментів.

Дійсно, розв'язати задачу за допомогою тих чи інших інструментів - означає вказати кінцеву сукупність елементарних, допустимих для даних інструментів, побудов, виконання яких у певній послідовності дозволяє дати відповідь на питання задачі.

Перелік елементарних побудов на етапі «Побудова» не завжди є повторенням аналізу. При аналізі ми знаходимо лише план розв'язання (як і при розв'язанні арифметичних задач), а потім вже здійснюємо його, записуючи в формі питань з виконаними відповідними діями; недостатньо лише встановити, як ми будемо вирішувати задачу, а потрібно привести і саме розв'язання.

Під час розв'язання конструктивних задач, намітивши план побудови, потрібно ще вказати, як вона виконується, так як нерідко одну й ту ж побудову, вказану в аналізі, можна здійснити різними способами.

Розв'язання однієї і тієї ж задачі декількома способами посилює інтерес учнів до задач на побудову і свідоме ставлення до розв'язання таких задач. Якщо розв'язувати задачу на побудову весь час за наперед зазначеним планом, то цим самим сковувати винахідливість і ініціативу учнів у знаходженні різних і оригінальних способів розв'язання і їм важко навчитися самостійно вирішувати конструктивні задачі.

Учні застосовують у першу чергу знання досліджуваного матеріалу і навички, отримані при вирішенні попередніх задач. Якщо розв'язувалися задачі, що вимагають застосування певного методу, то і для запропонованої задачі вони винайдуть той же знайомий їм шлях розв'язання, навіть якщо він є нераціональним. Вказівка вчителя на існування більш простого способу не дає належного ефекту, оскільки запропоноване вчителем розв'язання здається учням штучним, якого вони самі не змогли б знайти.

Різними способами добре розв'язувати задачі в кінці навчального року, при повторенні курсу геометрії, коли учні вже мають достатні навички у вирішенні задач на побудову. Задачу, яка допускає різні способи розв'язання, краще задавати додому, щоб учні не тільки розв'язали її, але і знайшли найбільш просте розв'язання.

Сам учитель повинен вибирати той спосіб розв'язання, який є найкращим і з теоретичної, і з методичної точок зору. Не можна керуватися тільки простотою побудови. Слід враховувати не тільки труднощі виконання побудови, але і труднощі аналізу, доведення і дослідження.

З наведених прикладів видно, що розв'язання не завжди зводиться до елементарних побудов, а найчастіше до так званих основних побудов або основних задач на побудову. Подібно до того, як при доведенні теорем використовуються результати раніше вивчених теорем, а не тільки аксіом, так і під час розв'язання задач на побудову при аналізі та описі побудови використовуються раніше розв'язані задачі. Задачі, розв'язання яких в подальшому часто використовується, зазвичай відносять до основних задач на побудову. Список основних задач на побудову визначається підручником, але треба пам'ятати, що задача на побудову може або не може бути віднесена до основних і залежно від ступеня підготовки учнів.

У середній школі недоцільно при розв'язанні кожної задачі вимагати від учнів в письмовій або усній формі докладного опису побудов. Такий опис, особливо в 7 класі, вимагає великої витрати часу. Інтерес учнів до розв'язання задач на побудову знижується, бо головною складністю стає виклад розв'язання, яке зводиться іноді до цілих «творів».

Якщо аналіз задачі виконаний досить докладно, то і при усному поясненні до розв'язання, і в письмовій роботі досить, якщо учень вказує, наприклад: «Будуємо прямокутний трикутник за гіпотенузою і катетом», - і вірно виконує цю побудову. Учитель завжди в змозі перевірити, чи правильно виконав учень побудову, якщо навіть опис і відсутній. Нерідко, розібравши з учнями умову задачі і намітивши план побудови, пропонуємо учням виконати цю побудову в зошитах, не вимагаючи жодних пояснень у письмовій формі.

Важлива і мета, для досягнення якої розглядається та чи інша задача на побудову. Якщо на даному уроці, наприклад, головна мета розв'язування задач - навчання відшукання розв'язків, то ми прагнемо навчити учнів аналізувати умову задачі, вміти бачити на кресленні потрібні фігури і наявні зв'язки між фігурами і їх елементами. У такому випадку немає чого ускладнювати роботу вимогою докладного опису побудови. Вся увага учнів має бути зосереджена на головному і не потрібно розпорошувати її на другорядні питання, які не мають прямого відношення до поставленої мети.

Якщо на перших порах розв'язання задач на побудову ми завжди вимагаємо безпосереднього виконання побудови інструментами, то нерідко, коли переконані, що всі учні класу зуміють виконати креслення за допомогою інструментів, дозволяємо учням вказувати лише план побудови, виконуючи креслення від руки, а іноді просто обмежуємося лише складанням плану побудови, тобто аналізом, або з проведенням ще дослідження.

Доведення. Після того як фігура побудована, необхідно встановити, чи задовольняє вона умовам задачі, тобто показати, що фігура, отримана з даних елементів певною побудовою, задовольняє всім умовам задачі. Значить, доведення істотно залежить від способу побудови. Одну і ту ж задачу можна вирішувати різними способами, залежно від наміченого при аналізі плану побудови, а тому доведення в кожному випадку буде іншим.

При розв'язанні найпростіших задач, коли всі умови задачі знаходять безпосереднє відображення в плані побудови, немає необхідності доводити, що фігура, отримана з даних елементів такою побудовою, є шуканою. Наприклад: «Побудувати трикутник за двома сторонами і кутом між ними». Тут доведення зводиться до простої перевірки, чи такі взяли сторони, як дані, і чи буде побудований кут дорівнювати даному. У подібних задачах доведення є зайвим, бо правильність розв'язання забезпечується відповідністю побудови аналізу і даним умови задачі.

Так як доведення залежить від обраного розв'язання, то, не ознайомившись з аналізом і побудовою, не можна сказати, правильно чи неправильно проведено доведення.

Доведення не просто залежить від аналізу та побудови, між ними існує взаємозв'язок і взаємозумовленість. Побудова проводиться за планом, складеним при аналізі. Таких планів можна вказати кілька. Побудова і доведення є своєрідним критерієм правильності та раціональності складеного плану. Якщо план нездійсненний наявними інструментами або ж побудова виявляється нераціональною, ми змушені шукати новий план розв'язання. Аналогічним чином і доведення, і дослідження впливають на аналіз, зумовлюючи нерідко вибір плану розв'язання.

Хоча доведення при розв'язанні задач на побудову проводиться аналогічно доведенню теорем, з використанням аксіом, теорем і властивостей геометричних фігур, між ними є і деяка відмінність. При доведенні теорем в більшості випадків без труднощів виділяють умову і висновок. При розв'язанні задач на побудову вже важче знайти дані, на підставі яких можна довести, що побудована фігура є шуканою. Тому при розв'язанні конструктивних задач в класі доцільно іноді спеціально виділяти, що дано і що потрібно довести. Наприклад, при розв'язанні задач: «Побудувати ромб за двома його діагоналями» пропонуємо учневі записати, що дано (діагоналі взаємно перпендикулярні і, перетинаючись, діляться навпіл) і що потрібно довести (сторони рівні). Однак при розв'язанні задач вдома і в контрольних роботах ми не вимагаємо оформлення доведення з виділенням окремо умови і висновку.

Дослідження. Кожна задача на побудову включає в себе вимогу побудувати геометричну фігуру, яка задовольняє певним умовам, які в більшості своїй задаються розмірами або розміщенням деяких геометричних образів. Умови задач формулюються в найзагальнішому вигляді, а тому вихідні дані є як би параметрами, які приймають всілякі допустимі значення.

Допустимі значення визначаються найбільш природним чином. У задачі: «Побудувати трикутник за двома сторонами а і b і кутом б між ними» допустимими значеннями для а і b будуть всілякі відрізки, які можна характеризувати додатними числами, їх довжинами, а кут б може приймати всілякі значення від 0 В° до 180 В°.

У задачі: «Побудувати коло, що дотикається до даної прямої в даній на ній точці» пряма може займати будь-яке положення на площині; колом також може бути будь-яке коло на площині, але так як коло характеризується положенням центру та величиною радіуса, то можна сказати, що центром даного кола може бути будь-яка точка площини, а радіусом - будь-який відрізок, довжина якого 0 < R <?. Точка також може займати довільне положення, але вже не на площині, а на даному колі, так як вона обов'язково повинна належати йому.

Іноді неможливість побудови шуканої фігури очевидна, якщо хоч один з даних елементів не належить області допустимих значень. Наприклад: «Побудувати трикутник за двома сторонами а і b і кутом між ними 240°». Така задача розв'язку не має, так як будь-який кут трикутника завжди менший 180 В°.

Але якщо всі дані належать відповідній області існування, то в більшості випадків різноманіття можливих положень, характер зміни даних призводить, як і в алгебрі при розв'язанні задач з параметричними даними, до постановки питань: При яких даних задача не має розв'язку? Як змінюється відповідь при певному характері зміни даних? Які повинні бути значення вихідних даних, щоб одержати бажану відповідь? і т. п.

При аналізі, а значить і при побудові, завжди виходимо з припущення, що шукана фігура існує, не враховуючи всього різноманіття даних, їх розмірів та взаємних співвідношень. Розв'язання задачі на побудову вважається закінченим, якщо вказані необхідні і достатні умови, при яких знайдений розв'язок є відповіддю на запитання. Значить, ми повинні встановити, чи при всякому виборі даних задача має розв'язок і якщо має, то скільки. Наприклад: «Побудувати коло, що проходить через три дані різні точки». Якщо дані точки не лежать на одній прямій, то задача має розв'язок і до того ж тільки один, якщо ж точки лежать на одній прямій, то задача розв'язку не має.

У середній школі зазвичай обмежуються лише двома моментами:

1) з'ясовують число розв'язків в залежності від даних і

2) змінюють або спрощують розв'язок для окремих випадків.

Щоправда, для деяких задач в дослідженні дається ще й відповідь па питання: за яких умов шукана фігура задовольняє тим чи іншим додатковим умовам. Наприклад: «Навколо даного трикутника описати коло. З'ясувати, коли центр цього кола знаходиться всередині трикутника, поза трикутником або належить одній з його сторін ». Відповідь на останнє питання також дається при дослідженні.

Дослідження є складовою частиною розв'язку. Розв'язок задачі на побудову можна вважати закінченим, якщо дізналися, скільки шуканих фігур отримали за певних даних, і, зокрема, зазначено, коли не отримаємо шуканий геометричний образ. Але дослідження в задачах на побудову, як і дослідження при розв'язанні інших задач з математики, має і загальноосвітні значення.

У процесі дослідження учні тренуються в практичному застосуванні діалектичного методу мислення. Вони бачать, що зміна даних задачі викликає зміну шуканої фігури. Ми маємо справу не із закостенілими, а з мінливими геометричними образами, зміна одних величин обумовлена зміною інших.

Для правильного проведення дослідження потрібно мати добре розвинене логічне мислення. Значить, з іншого боку, дослідження задач на побудову є гарним матеріалом для розвитку логічного мислення учнів.

Зауважимо, що і при розв'язанні задач на доведення або обчислення учням нерідко потрібно для побудови правильного креслення також проводити дослідження. Часто необхідно попередньо з'ясувати, який вид даного трикутника (гострокутний або тупокутний), які сторони прийняти рівними даними відрізкам. Наприклад, при розв'язанні завдання: «Визначити периметр рівнобедреного трикутника із сторонами в 7 см і 3 см » спочатку потрібно встановити, що основою є відрізок довжиною 3 см, а не 7 см.

Незважаючи на необхідність та доцільність дослідження при розв'язанні задач на побудову, йому і в школі, і в методичній літературі приділяється недостатньо уваги. Велика увага приділяється зазвичай аналізу. Аналіз - основний етап при розв'язанні задач на побудову: не знайшовши розв'язання, не можна провести ні побудови, ні доведення, ні дослідження. Але виконання дослідження є не менш складним етапом. Найбільша кількість помилок допускається саме при дослідженні.

2.6.2 Основні геометричні побудови

У 7 класі основна увага звертається на навчання учнів виконанню найпростіших геометричних побудов і їх систематичного використання при формуванні і закріпленні найважливіших понять: перпендикулярність і паралельність прямих, найголовніші лінії в трикутнику, коло та його властивості і т. д.

До кінця 7 класу учні повинні отримати вже досить міцні навички у вирішенні ряду конструктивних задач, включених в програму 7 класу, цінних з практичної точки зору і необхідних для подальшого вивчення матеріалу.

Перш ніж розпочати вивчення основних побудов, доцільно нагадати учням, що вони вже виконували різні побудови (у тому числі деякі з основних) циркулем, лінійкою, косинцем, транспортиром, зокрема, будували трикутники за даними елементами.

Насамперед необхідно з'ясувати і пам'ятати, які геометричні побудови можна виконувати за допомогою кожного з інструментів (циркуля, лінійки).

Така підготовча робота важлива на початку навчання розв'язування задач тому, що в учнів 7 класів ще дуже слабкі зв'язки між різними фактами, досліджуваними в геометрії.

При вивченні основних побудов доцільно скористатися алгоритмічним підходом, а саме домогтися від кожного учня засвоєння алгоритму основної побудови.

Наприклад, при побудові бісектриси кута алгоритм може мати такий вигляд:

1) описати з вершини кута як із центра коло довільного радіуса;

2) з точок перетину побудованого кола зі сторонами кута описати два кола тим самим радіусом і позначити точку їх перетину, відмінну від вершини кута;

3) через вершину кута і точку перетину кіл провести промінь, який і є бісектрисою кута.

Учні повинні не тільки знати алгоритм кожної основної побудови, а й уміти застосовувати його при розв'язуванні задач на побудову. Наприклад, алгоритм побудови кута, рівного даному, доцільно зразу ж застосовувати для побудови циркулем і лінійкою трикутника за двома сторонами і кутом між ними та за стороною і двома кутами.

Для того, щоб запам'ятати основні геометричні побудови, доцільно запропонувати учням опорні схеми до кожної з них:

Основні геометричні побудови	Опорні схеми
Побудова трикутника за трьома сторонами
Побудова кута, що дорівнює даному
Побудова бісектриси кута
Поділ відрізка пополам
Побудова прямої, перпендикулярної до даної

Крім того, на перших порах не можна допускати нагромадження труднощів. Необхідно роботу учнів зробити насиченою, але посильною.

Іноді корисно від вирішення практичного завдання перейти до задачі на побудову. Тут деяке сюжетне завдання (а отже, більш зрозуміле) буде зведене до математичного. У ряді випадків різні за змістом практичні задачі зводяться до однієї і тієї ж математичної.

У деяких випадках до однієї і тієї ж задачі корисно звертатися кілька разів з тим, щоб показати учням різні способи її вирішення.

Уміння фактично виконувати зазначені вище основні побудови є абсолютно необхідною умовою для подальшого успішного навчання розв'язання конструктивних задач, так як тільки за цієї умови учні, вирішуючи завдання, зможуть приділити увагу змісту і методам їх розв'язання, а не тільки техніці виконання самої побудови.

Правильно виконане креслення має велике значення для відшукання плану розв'язання задач на обчислення і доведення, і навпаки, неправильно виконане креслення часто не дозволяє побачити потрібні співвідношення. Більш того, неправильне креслення часто спрямовує думку учнів на неправильний шлях.

У 8 і 9 класі перед учителем стоять більш широкі задачі по вивченню та використанню геометричних побудов, в тому числі розв'язанню задач на побудову. Триває навчання виконанню деяких нових побудов і проводиться систематичне закріплення придбаних в 7 класі умінь; як і раніше, геометричні побудови використовуються при формуванні і закріпленні геометричних понять, а також для доведення існування деяких геометричних фігур.

2.6.3 Складніші задачі на побудову

Навчання учнів розв'язування складніших задач на побудову має бути спрямоване передусім на оволодіння методами розв'язування таких задач, на розвиток продуктивного мислення учнів.

У шкільному курсі основними методами розв'язування задач на побудову є: метод геометричних місць, методи геометричних перетворень, алгебраїчний метод.

Метод геометричних місць

У 7 класі в умовах роботи за підручником передбачене ознайомлення учнів з поняттям «геометричне місце точок» і відповідним методом розв'язування задач на побудову.

Введення означення геометричного місця точок (фігура, що складається з усіх точок площини, що мають певну властивість) потребує пояснення ролі в цьому означенні слова «всіх».

Воно означає, що:

1) всі точки такої фігури мають згадану властивість;

2) якщо певна точка площини має згадану властивість, то ця точка належить даній фігурі.

При ознайомленні учнів з методом геометричних місць доцільно використати алгоритмічний підхід, а саме на прикладах розв'язування декількох задач виділити навчальний алгоритм методу.

Щоб розв'язати задачу методом геометричних місць, треба:

1) з'ясувати, до знаходження якої точки (точок) зводиться розв'язання задачі і які дві вимоги ця точка має задовольняти;

2) відкинути одну з вимог задачі і побудувати геометричне місце точок, що задовольняють другу вимогу;

3) відкинути другу вимогу і побудувати геометричне місце точок, що задовольняють першу вимогу;

4) позначити шукану точку як перетин побудованих геометричних місць.

Закріпити цей алгоритм доцільно, розв'язуючи ряд нескладних задач.

При розв'язуванні складніших задач потрібно проводити аналіз, щоб навчити учнів загальної схеми міркувань у процесі пошуку побудови. Як приклад, розглянемо розв'язання такої задачі.

Задача. Побудувати трикутник за стороною, медіаною, проведеною до цієї сторони, і радіусом описаного кола.

Аналіз (усно). Нехай ?ABC - шуканий. У ньому AC - задана сторона, BD - задана медіана, OA - радіус описаного кола. Положення вершин A і C визначається заданням сторони AC. Задача зводиться до відшукання положення вершини B.

Точка B має задовольняти дві вимоги: 1) бути віддаленою на відстань R від центра описаного кола - точки O, положення якої залишається поки що невідомим. Друга точка, положення якої треба знайти, тобто точка B, має належати до кола центра O і радіуса R; 2) бути віддаленою від середини D сторони AC на відстань, що дорівнює довжині медіани, тобто точка B має належати до кола центра D і радіуса, що дорівнює довжині медіани.

Точка O має задовольняти дві вимоги: 1) бути рівновіддаленою від відомих точок A і C, тобто лежати на серединному перпендикулярі до відрізка AC; 2) бути віддаленою на відстань R від точки A або точки C, тобто лежати на колі радіуса R з центром або в точці A, або в точці C. З аналізу випливає побудова.

Побудова. Виберемо відрізки довжиною b, m_b і R. Побудуємо відрізок завдовжки b і позначимо його кінці точками A і C. Побудуємо серединний перпендикуляр відрізка AC і проведемо коло з центра A радіусом R. Перетин кола з побудованим серединним перпендикуляром визначить положення точки O. Вершину B на перетині двох кіл: кола, проведеного з центра O радіусом R, і кола, проведеного радіусом, що дорівнює довжині m_b з центра D перетину серединного перпендикуляра з відрізком AC. Трикутник ABC - шуканий.

Доведення правильності виконаної побудови не викликає в учнів труднощів. Щодо дослідження, то воно на цьому етапі навчання досить складне, тому виконувати його в повному обсязі недоцільно, хоча поставити перед учнями питання про умови, при яких можна побудувати трикутник, цілком допустимо.

Методи геометричних перетворень

Під час розв'язування задач на побудову в наступних класах треба звернути увагу учнів на інші можливі методи. Зокрема, при вивченні геометричних перетворень варто дати учням правило-орієнтир використання окремих видів перетворень до розв'язування задач на побудову.

Для методу осьової симетрії це правило може бути таким:

1. Припустити, що задача розв'язана. Обрати певну симетрію стосовно або даної прямої, або прямої, яку легко побудувати. Замінити один з даних елементів симетричним щодо обраної осі симетрії.

2. Розв'язати задачу стосовно побудованого симетричного елемента і решти даних. Цим самим задача зведеться або до відомої, або до простішої задачі.

3. Від допоміжної задачі перейти до заданої шляхом оберненого перетворення симетрії.

Це правило можна або проілюструвати розв'язанням певної задачі, або узагальнити попередньо виконане розв'язання цієї задачі і сформулювати наведене вище правило-орієнтир.

Задача. Дано пряму MN і точки A і B по різні боки від неї. Через точки A і B провести дві прямі так, щоб кут між ними ділився прямою MN навпіл.

Розв'язання. Аналіз. Припустимо, що задача розв'язана і шукані прямі побудовані (рис). Рівність кутів AXM і BXM свідчить про те, що як вісь симетрії доцільно взяти бісектрису XM кута AXB. Тоді задача зводиться до знаходження точки X. Для цього будуємо точку A', симетричну A стосовно даної прямої MN, і через точки A' і B проводимо пряму до перетину з прямою MN в точці X. Потім через точки X і A проводимо пряму AX. Прямі AX і BX шукані, що неважко довести.

Правила орієнтири методів паралельного перенесення і повороту схожі:

1. Припустити, що задача розв'язана. Один з даних елементів перенести паралельно собі в певному напрямку на задану відстань (або повернути навколо даної точки на певний кут). Результатом такого перетворення буде допоміжна фігура, яку можна побудувати за даними задачі.

...