2. Побудувати допоміжну фігуру й оберненим паралельним перенесенням (поворотом) виконати побудову шуканої фігури.

Застосування цього правила-орієнтира варто проілюструвати розв'язанням таких задач.

Задача 1. Побудувати трапецію за чотирма даними сторонами a, b, c, d.

Задача 2. Побудувати трикутник за двома сторонами a і c та медіаною m_b.

Методом подібності розв'язуються такі задачі на побудову, в яких серед даних є умови, які визначають нескінченну множину подібних фігур. Трудність для учнів полягає в тому, щоб розділити умову задачі на дві частини. Одна з них використовується для побудови допоміжної фігури, подібної шуканій, а друга, що визначає розміри фігури, дає можливість шляхом перетворення подібності допоміжної фігури побудувати шукану.

Умови, що визначають розміри фігури, можуть бути двох видів. Це - або довжина якого-небудь даного елемента фігури, або розміщення фігури стосовно інших даних фігур. Доцільно розглянути задачі, які передбачають умови кожного з цих двох видів.

Правило-орієнтир методу подібності можна сформулювати так:

1. Виділити в умові задачі дві частини і, відкинувши ту, що визначає розміри фігури, побудувати фігуру, подібну шуканій.

2. Ввести відкинуту умову і, застосовуючи перетворення подібності допоміжної фігури, побудувати шукану фігуру.

Вдалими задачами для введення цього правила-орієнтира є такі.

Задача 1. Побудувати трикутник за двома кутами і висотою, проведеною з вершини одного з них.

У цій задачі умови (два кути) визначають множину трикутників, подібних шуканому. Друга частина умови (висота) визначає розміри шуканого трикутника. Тому, відкинувши цю другу умову, за двома кутами будуємо трикутник, подібний шуканому. Потім, ввівши відкинуту умову (висоту), будуємо шуканий трикутник, вибравши вершину, з якої проведено висоту, за центр гомотетії.

Задача 2. У даний трикутник вписати квадрат.

У цій задачі розміри квадрата визначаються умовою розміщення його вершин на сторонах даного трикутника. Відкинувши цю умову, можна побудувати довільний квадрат, дві вершини якого лежать на одній стороні трикутника, а третя - на другій. Оскільки всі квадрати подібні, то, вибравши за центр гомотетії вершини даного трикутника, що утворюється перетином сторін, які містять вершини допоміжного квадрата, досить виконати перетворення гомотетії і дістати шуканий квадрат.

Рівень обов'язкових результатів навчання не передбачає розв'язування складніших задач на побудову. Разом з тим для учнів, які цікавляться математикою і мають здібності до розв'язування складніших задач, задачі на побудову треба систематично пропонувати як на уроках, так і для розв'язування в позаурочний час.

Алгебраїчний метод

Одним з важливих методів, що застосовуються в шкільному курсі геометрії, є алгебраїчний метод розв'язання задач на побудову. Алгебра дає дуже зручний і гарний спосіб вирішення геометричних питань аналітичним шляхом.

У 7 класі доцільно розповісти, що деякі відомості з алгебри були відомі ще в глибоку давнину, але питання алгебри не відділялися від питань арифметики і геометрії. Пізніше грецькі вчені, такі, як Піфагор, Евклід, які займалися переважно геометрією, отримали значні результати і в алгебрі. Але багато алгебраїчних тотожностей доводилися ними геометрично. На дошці в якості прикладу ілюструємо доведення тотожності:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Площа квадрата, побудованого на сумі відрізків а і b, дорівнює сумі площ двох квадратів зі сторонами а і b і площ двох прямокутників зі сторонами а і b.

Алгебраїчний метод розв'язання задач на побудову розглядається як подальше розширення застосування алгебри до геометрії. Як відомо, він полягає в наступному. Припустивши завдання розв'язаним:

1) встановлюємо, який, чи які відрізки (в окремих випадках кути або дуги) потрібно визначити, щоб вирішити завдання, і позначаємо довжини цих відрізків через х, y, z, ..., а довжини даних відрізків - через а , b, с, ..., тобто вводимо позначення;

2) з умови задачі, користуючись відомими геометричними співвідношеннями між шуканими і даними відрізками, складаємо рівняння або систему рівнянь; 3) розв'язуємо це рівняння або систему рівнянь;

4) досліджуємо отримані формули для невідомих відрізків за умовою завдання;

5) будуємо за допомогою інструментів шукані відрізки, виражені отриманими формулами через ці відрізки. Після того як невідомі побудовані, виконуємо побудови, які закінчили б розв'язання, проводимо доведення і дослідження.

Перші чотири етапи відомі учням, так як при розв'язанні геометричних задач на обчислення і алгебраїчних на складання рівнянь завжди виділялися такі ж етапи. Це говорить про те, що завдання на побудову, які вирішуються таким методом, можна розглядати як узагальнення задач обчислювального характеру, а з іншого боку, при застосуванні алгебраїчного методу будь-яке завдання на побудову замінюється спочатку завданням на обчислення, так що кожна задача на побудову, розв'язувана цим методом, є, по суті, і завданням на обчислення.

Як відомо, за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати тільки такі відрізки, довжини яких виражаються через довжини даних відрізків за допомогою скінченого числа п'яти операцій: додавання, віднімання, множення, ділення і добування квадратного кореня. У школі розглядають побудови відрізків, заданих такими формулами:

Доцільність розгляду цього методу в середній школі визначається тим, що учні ознайомляться з ще одним видом задач, для вирішення яких застосовується алгебра. Алгебраїчний метод вирішення окремих, навіть складних задач на побудову більш доступний учням, бо досить отримати відповідну формулу для визначення шуканої величини, щоб стали ясними всі розв'язки задачі.

Алгебраїчний метод дозволяє легко встановити умови можливості розв'язання задачі, а також наявність певного числа розв'язків при тих чи інших значеннях даних.

Проте в середній школі не слід надмірно захоплюватися цим методом за рахунок інших важливих розділів. Потрібно розв'язувати доступні та цікаві для учнів завдання.

3. Використання педагогічного програмного засобу GRAN-2D під час розв'язування задач на побудову в шкільному курсі планіметрії

Для розв'язування задач на побудову досить ефективним є використання педагогічного програмного засобу (ППЗ) GRAN-2D.

Наявність інструментів для побудови відрізків, прямих і кіл, для чого традиційно використовувались лінійка і циркуль, забезпечує можливості виконання різноманітних геометричних побудов. Це значно полегшує роботу учням, дає змогу виконувати креслення виразніше, точніше та акуратніше. А час, зекономлений при виконанні побудов за рахунок використання комп'ютерних аналогів необхідного інструментарію, учні можуть використати для дослідження побудованих конфігурацій геометричних фігур, для розвитку геометричної інтуїції, конструкторських здібностей.

З потрібною точністю можна перевірити отримані результати обчислень та побудов, відповідність гіпотез, умови існування розв'язків та раціональність шляхів їх пошуку. Саме тому дана програма є потужним інструментом проведення комп'ютерних експериментів з математичними моделями, що є основою дослідницького підходу у навчанні планіметрії в школі.

Також за рахунок використання комп'ютерних засобів можна значно збільшити кількість розглядуваних на уроках геометрії задач та підвищити рівень їх складності.

Розглянемо на прикладі розв'язування задач на побудову різними методами можливості використання ППЗ GRAN-2D на уроках планіметрії.

Задачі на побудову методом геометричних місць пропонуються учням вже в 7 класі. Розглянемо даний метод на прикладі розв'язування наступної задачі.

Задача. Побудувати трикутник за двома сторонами і радіусом описаного кола.

На рис. 1 показано копію вікна побудови з умовою задачі, заданими відрізками, відкритими підказками та додатковим малюнком, які можна приховати, «натиснувши» відповідну кнопку.

Рис. 1

Проведемо аналіз даної задачі.

Нехай точка А - вершина трикутника АВС, навколо якого описане коло радіуса R. Необхідно знайти розташування інших вершин трикутника - точок В і С. Точка В, по-перше, лежить на даному колі радіуса R, а по-друге віддалена від точки А на відстань с. Тобто вона лежить на перетині даного кола і кола з центром в точці А і радіусом с. Точка С також лежить на даному колі та віддалена від А на відстань b. Отже, вона лежить на перетині даного кола і кола з центром в точці А і радіусом b.

Під час побудови легко встановити, що шуканих трикутників два.

Застосування методу осьової симетрії для розв'язування задач на побудову можна проілюструвати за допомогою такої задачі.

Задача. Через вершину А трикутника АВС і точку D основи ВС проведено пряму. Знайти на цій прямій точку М, з якої відрізки ВD і СD видно під рівними кутами.

Для розв'язування задачі слід використати правило-орієнтир. По-перше, необхідно припустити, що задача розв'язана, тоді обрати певну симетрію стосовно або даної прямої, або прямої, яку легко побудувати та замінити один із даних елементів симетричним щодо обраної осі симетрії. У запропонованій задачі пряма АD буде розглядатись як вісь симетрії, а точка С - об'єкт симетрії (рис. 2).

Рис. 2

Отже, учням можна дати підказку: побудувати точку С₁ симетрично до С відносно прямої АD, використовуючи послугу Симетрія відносно точки (прямої) .

Маючи на екрані точки В і С₁, неважко здогадатися провести пряму через ці точки, яка перетне пряму АD в точці М. Далі пропонуємо учням перевірити, чи є точка М шукана? Для цього спочатку можна провести дослідження, вимірявши градусну міру кутів АМВ і АМС з допомогою інструмента Обчислення кута за трьома точками , а потім аналітично довести рівність цих кутів (очевидно, пряма АМ є бісектрисою кута ВМВ₁ чи СМС₁).

Оскільки модель геометричної побудови в ППЗ GRAN-2D є динамічною, то учням доцільно поставити завдання на дослідження. Спробуйте змінити положення точки D на основі ВС. Чи можна знайти точку М, побудувавши точку В₁ симетрично до В відносно АD? Який із способів і в якому випадку буде більш зручним? Коли задача матиме безліч розв'язків?

До малюнка бажано створити кілька кнопок, за допомогою яких приховувати і послідовно відкривати підказки. Завдяки цьому імітується евристичний діалог школяра з учителем. За кнопкою можна приховувати навідні або додаткові запитання для учня. Це також допомагає школяреві вдосконалювати навички самоконтролю.

Застосування методу паралельного перенесення проілюструємо за допомогою такої задачі.

Задача. Побудувати трапецію за її сторонами.

На етапі аналізу будуємо допоміжний малюнок - довільну трапецію АВСD (рис. 3). Одну із бічних сторін трапеції паралельно переносимо в напрямку однієї з основ і проводимо її через вершину меншої основи. У результаті отримуємо допоміжну фігуру - трикутник з двома сторонами, що рівні бічним сторонам трапеції і третьою стороною, яка дорівнює різниці основ трапеції. Цей трикутник можна побудувати за даними задачі. Виконуючи обернене паралельне перенесення, одержимо шукану трапецію.

Розглянемо послідовність побудови. Будуємо пряму IJ. Використовуючи послугу Коло за радіусом, на прямій IJ відкладаємо відрізок IL=b та від точки L відкладаємо відрізок ML=a. Далі будуємо точку О як точку перетину кіл з центром в точці I та радіусом с та з центром в точці М і радіусом d. Через точку О проводимо пряму паралельно до IL, користуючись послугою Паралельна пряма. Також через точку L проводимо пряму паралельно ОМ. Знаходимо Q - точка перетину цих прямих. IOQL - шукана трапеція. шкільний геометричний задача педагогічний

Рис. 3

Таким чином, застосування ППЗ GRAN-2D у процесі розв'язування задач на побудову дає змогу реалізувати дослідницький підхід, навчити учнів самостійного знаходження шляху розв'язування, формувати пізнавальний інтерес і творчі якості.

Висновки

Отже, у даній курсовій роботі розглянуті основні питання методики навчання учнів розв'язування задач на побудову у шкільному курсі геометрії, а також розв'язування вище зазначених задач за допомогою педагогічного програмного засобу GRAN-2D .

Задачі цікаві як з точки зору використання готових теоретичних знань на практиці, так і з точки зору розвитку геометричного мислення, уяви, математичної ініціативи і логічних навичок, формування евристичної діяльності учнів.

Ці задачі зазвичай не допускають стандартного підходу до їх розвязання і формального сприйняття їх учнями. Задачі на побудову зручні для закріплення теоретичних знань учнів з будь-якого розділу шкільного курсу геометрії.

Список використаних джерел

1. Александров, А.Д. Геометрія: Навчальний посібник для студ. вузів, які навчаються за спец. «Математика»/А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. - М.: Наука, 1990. - 672 с.

2. Аргунов, Б.І. Геометричні побудови на площині. Посібник. /Б.І. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: УЧПЕД ГІЗ, 1955. - 268 с.

3. Антонов, Н.С. Сучасні проблеми методики викладання математики: Збірник статей. Навчальний посібник для студентів мат. і фіз.-мат. спец. пед. ін-тів/Н.С. Антонов, В.А. Гусєв. - М.: Просвіта, 1985. - 304 с.

4. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навч. посібник. - К.: Вища школа, 1989. - 367с.

5. Бугаєць Н. О. Використання педагогічного програмного засобу GRAN-2D під час розв'язування задач на побудову в шкільному курсі планіметрії //http://www.ii.npu.edu.ua/files/Zbirnik_KOSN/14/14.pdf

6. Кушнір, І.А. Про один спосіб вирішення завдань на побудову. // Математика в школі. - 1984 - № 2 - с. 22-25.

7. Погорєлов, А.В. Геометрія в 7-9 класах: (Метод. рекомендації щодо викладання курсу геометрії за підручником А.В. Погорєлова): Посібник для вчителя. - М.: Просвіта, 1990 - 334 с., І ч.

8. Погорєлов, А.В. Геометрія: Підручник для 7-9 класів середньої школи. - 4-е вид. - М.: Просвіта, 1993 - 383 с.

9. Погорєлов, А.В. Елементарна геометрія/А.В. Погорєлов. - 3-є вид., Доп. - М.: «Наука», 1977 - 279 с., І ч.

10. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підруч. для студентів матем. спеціальностей пед. вузів. - К.: Зодіак-ЕКО, 2000. - 512с.

11. Четверухін, Н.Ф. Методи геометричних побудов, 1952.

12. Шерпало, Н.В. Графічна система для геометричних побудов. // Математика в школі. - 1988 - № 5 - с. 44-48.

Размещено на Allbest.ru