Формы повторения могут быть разнообразными. Среди них самостоятельная работа с учебником на уроке и беседа с классом, лекция учителя и сообщения учащихся, устные упражнения и дополнительные вопросы к решению задач и т.д. Необходимо, чтобы формы такой работы соответствовали характеру и степени трудности материала. Порция материала, предназначенного для самостоятельного повторения дома, должна быть такой, чтобы не стоял вопрос о перегрузке, а предлагаемый материал должен быть доступен всем; основную же работу надо проводить на уроке.

Большую роль для эффективности повторения играет наглядность. При повторении самое главное нужно избегать превращения какого-нибудь метода в рутину, а для повышения интереса и активности учащихся при повторении необходимо применять различные приемы и методы работы, разнообразить повторяемый материал внесением элементов новизны. Только таким путем можно устранить то противоречие, которое возникает, с одной стороны, в связи с отсутствием желания у части учащихся повторять то, что ими усвоено однажды, а с другой - в связи с необходимостью повторять с целью углубления, обобщения и систематизации ранее изученного материала.

В школьной практике применяются различные методы повторения. Рассмотрим основные из этих методов.

Беседа перед объяснением нового материала

О повторении учитель заботится уже с самых первых минут изложения нового материала, перед его изложением. Во вступительной беседе учитель заставляет учащихся воспроизвести в памяти то из ранее пройденного, на что нужно будет опираться, чтобы ясно понять новый материал. Путем беседы, предшествующей объяснению нового материала, учитель подводит учащихся к изучаемой теме так, что у учащихся возникнет потребность в ее раскрытии, возбудится интерес к получению дальнейших знаний.

Повторение непосредственно после объяснения нового материала

После объяснения нового материала учитель сразу же организует фронтальное повторение (можно и с вызовом отдельных учеников), осуществляемое в определенной последовательности, основного содержания вновь изложенного, предлагая учащимся ряд вопросов и упражнений по теме урока. Характер вопросов и упражнений должен быть таким, чтобы при их помощи можно было судить о степени полноты и сознательности усвоения изложенного учителем.

Если обнаружено, что учащиеся недостаточно понимают материал, то следует дать повторное изложение, прибегая в этом случае к новым примерам и вариантам доказательств, более доступным формам изложения, и снова решать примеры на раскрытие содержания изложенной на данном уроке теории.

Повторение путем разнообразных упражнений и самостоятельных работ

Совершенно ясно, что нельзя добиться ясного понимания и прочного запоминания математической теории без постоянно проводимых упражнении и самостоятельных работ.

Анализ деятельности учащихся в процессе выполнения упражнений показывает, что упражнения не простая тренировка, не повторение одних и тех же действий, а творческая деятельность. Работа учащихся при выполнении упражнений состоит в применении старых или новых знаний. Всякое знание, выраженное в форме правила, закона или определения, является в известной мере обобщением, отвлечением от конкретных свойств и признаков объектов, явлений определенной категории. Оно указывает лишь общее, что в равной мере относится ко всем объектам данной категории. Применение правила или закона в упражнении требует от ученика воспроизведения их в сознании и использования в конкретных условиях, поэтому ученик должен осознать своеобразие каждого нового упражнения, установить общее с ранее рассмотренным материалом. Выполнение упражнений требует творческого применения учеником своих прежних и новых знаний.

Для обучения чрезвычайно важно, в какой мере учащиеся могут пользоваться ранее приобретенными навыками при решении видоизмененных примеров и задач, предлагаемых при повторении, как подобрать и провести упражнения при повторении, чтобы выработать у них такие навыки, которые они смогли бы применять. [11]

Опрос по повторению не является каким-то обособленным опросом, тем не менее, он имеет некоторые особенности, которые нельзя не учитывать. Этими особенностями является то, что в этом случае вовлекается больше материала, подчас взятого из различных разделов программы, и ученику приходится сравнивать, сопоставлять этот материал, указывать сходство и различие, осмысливать в другой логической связи новое и ранее пройденное, делать обобщения.

Повторение посредством домашних заданий

Учебная работа учащегося не ограничивается только классной работой; она продолжается и дома, при этом домашние задания занимают большое место при закреплении теории и выработке соответствующих навыков. В этом, казалось бы, столь ясном вопросе в отношении использования учителем домашних заданий существует две крайности.

1) На уроке недостаточно ведется работа по закреплению вновь изученного материала, и этот материал оставляется на дом для самостоятельного закрепления.

2) Вся закрепительная работа проводится на уроке, и ничего не оставляется на дом для самостоятельной работы ученика.

текстовая задача математика учащийся

Обе эти крайности одинаково неприемлемы для школы. Здесь нужно педагогически целесообразное сочетание того и другого вида работы, как неотъемлемых частей всей учебной деятельности учащегося.

При отборе материала для домашнего задания учитель учитывает необходимость включения того материала, который необходим для глубокого и сознательного усвоения нового материала. В домашнее задание включается также материал с целью предупреждения забывания. Как правило, в домашние задания должно быть включено: теоретический материал, различного рода упражнения, составление схем и таблиц, изготовление наглядных пособий, вычерчивание графиков и т.п.

Домашние задания должны быть разнообразны по содержанию материала и методам выполнения этого задания.

В зависимости от целей проведения домашних заданий, их можно подразделить на следующие виды:

1) домашние задания с целью закрепления теоретического материала, объясненного в классе, и упражнения к ним для закрепления навыка;

2) домашние задания с целью повторения (следовательно, углубления и дополнения);

3) домашние задание с целью устранения пробелов, обнаруженных у отдельных учащихся или у всего класса;

4) домашние задания, имеющие целью обобщение материала определенной темы или раздела с последующей его систематизацией;

5) домашние задания, связанные с тем или иным видом повторения, в частности с тематическим и заключительным повторением в конце четверти, в конце года для повторения материала в целом. [11]

В зависимости от характера материала и способов выполнения домашнего задания, проверку домашнего задания можно провести в классе устно, письменно или просмотром тетрадей дома.

Что касается методики составления и проведения домашних заданий, связанных с ликвидацией обнаруженных недостатков в знаниях, или углубления знаний учащихся по определенному кругу вопросов. Для этого можно использовать систему индивидуальных заданий в виде серии специальных карточек на различные разделы курса. Эти карточки должны охватывать полностью все вопросы какой-нибудь темы или раздела программы, их составляют в нескольких сериях, при этом материал следующей серии являлся логическим продолжением предыдущей.

Такая форма работы с учащимися имеет те преимущества, что, во-первых, в этих карточках, специально составленных на отдельные разделы темы, учитель быстро находит необходимый материал, который нужно предложить ученику, и, во-вторых, эти же карточки с большим успехом могут быть использованы в классе при опросе, при кратковременных контрольных работах и т.д.

Для того чтобы при таком повторении углублялись не только навыки, но и теоретические знания, к ним указывались соответствующие параграфы из учебника; в классе коллективно рассматривались наиболее важные из этих вопросов и упражнений, делались соответствующие обобщения, углубления, подводились итоги повторенного.

Место контрольных работ в системе повторения

Контрольные работы по математике являются составной частью учебного плана; они представляют одну из форм самостоятельной работы ученика.

Контрольные работы содействуют включению учащихся в текущую, повседневную самостоятельную работу по углублению своих знаний и навыков; они мобилизуют и организуют учащихся на систематическое углубленное изучение материала.

Контрольные работы должны служить средством и методом, побуждая учащихся к систематическому повторению учебного материала.

Для школы и учителей контрольная работа является средством контроля самостоятельной учебной работы учащихся, позволяющим проверить усвоение учащимися материала курса.

Тематика и содержание контрольных работ при повторении зависит от целей и намерений учителя; однако они всегда должны выбираться в пределах той части курса, которая была повторена к моменту контрольной работы.

Охватить содержание всего курса не является задачей контрольной работы, она должна содержать самую существенную часть материала того раздела, который ученик обязан изучить к моменту контрольной работы.

Содержание контрольных работ должно быть таким, чтобы оно исключало возможность дачи готового ответа из учебников учеником на поставленные вопросы. Перед выполнением контрольной работы ученик должен не только собрать материал из учебников, но и провести серьезную обработку повторенного материала: сравнение и сопоставление явлений и фактов, их анализ, обобщение и углубление материала всей темы и т.д.

Если контрольная работа проводится по очередной теме программы, то в этом случае в нее должен входить и ранее пройденный и уже к этому моменту повторенный учебный материал. Такое включение в текст контрольных работ вопросов из ранее пройденного материала, если они вошли в систему, заставляет учащихся повторить материал, пройденный ранее, несколько шире.

Что касается соотношения текущего и ранее пройденного материала в контрольной работе, то целесообразно, чтобы 30 - 40% было из старого, повторительного материала. Продолжительность контрольной работы может быть различной - от 20 мин. до 2 часов. Но, как правило, в школьной практике мы встречаем контрольные работы, рассчитанные на один час. Такая продолжительность вполне нормальна; она вызывает повышенную активность и приучает учащихся рационально использовать время.

Число вариантов контрольных работ должно обеспечить самостоятельность ее выполнения учащимися. Опыт показывает, что число вариантов не должно быть менее четырех.

Контрольная работа может иметь как теоретический, так и практический характер; она может содержать как вопросы из теории, так и упражнения.

Во всех случаях контрольная работа должна показать:

a) как ученик усвоил материал курса, и в какой степени овладел практическими навыками;

b) насколько учащийся овладел методом самостоятельной работы над темой;

c) степень сознательности выполнения контрольной работы, в какой мере учащийся умеет делать обобщение по теме и грамотно излагать ее в письменной форме;

d) глубину и полноту ответов на поставленные вопросы, исследовательские навыки, овладение математической терминологией, внешнее оформление работ.

Методически правильно организованные контрольные работы приучают ученика систематически и тщательно выполнять задания по текущему повторению, и тем самым контроль становится более эффективным.

Таким образом, контрольные работы, включающие в себя ранее пройденный материал, способствуют организации систематического повторения ранее пройденного учебного материала.

Важное значение имеет проверка контрольных работ. От правильной постановки и своевременной проверки контрольных работ в значительной степени зависит качество и успешность самостоятельного повторения учебного материала учащимися.

Проверяя работу учащегося, преподаватель должен отметить каждую ошибку и недочет. Анализ результатов работы является весьма важным этапом в системе контрольных работ. Он дает возможность учащимся видеть свои успехи, а также те недостатки, которые еще нужно устранить.

При разборе результатов контрольных работ необходимо отметить наиболее удачные работы; но подробнее нужно остановиться на тех характерных недостатках, которые нашли место в контрольных работах. Здесь нужно дать анализ и классификацию ошибок, отмеченных в тексте контрольных работ. При этом в первую очередь, отмечаются недостатки, касающиеся теоретической стороны вопроса, и делаются соответствующие указания, или повторяются в классе те разделы, на которые больше всего приходится ошибок. В этой части указываются также те вопросы, которые недостаточно усвоены и неполно изложены в контрольной работе.

Если выявленные в тексте ошибки и недостатки настолько серьезны, что могут помешать дальнейшему изучению курса, необходимо такую работу провести еще раз после тщательного повторения учебного материала, охваченного контрольной работой.

Таким образом, вся обстановка перед контрольной работой должна быть такой, чтобы ученик волей неволей вынужден был повторять.

§3. Виды повторения

Текущее повторение в процессе изучения нового материала - весьма важный момент в системе повторения. Оно помогает устанавливать органическую связь между новым материалом и ранее пройденным.

Текущее повторение может осуществляться в связи с изучением нового материала.

В этом случае повторяется материал, естественно увязывающийся с новым материалом. Повторение здесь входит составной и неотъемлемой частью во вновь изучаемый материал.

Во втором случае вне связи с новым материалом, когда повторяемый материал не находит естественной увязки с новым и его приходится повторять на специальных уроках.

Повторение пройденного материала вне связи с новым материалом необходимо весьма тщательно продумать. Удачный подбор материала, установление его последовательности, важность нового подхода к прошлому материалу, введение элементов новизны в повторяемый материал, продуманная организация работы - все это необходимо учитывать при подготовке к рассматриваемому виду повторения.

При текущем повторении вопросы и упражнения могут быть предложены учащимся из различных разделов программы.

Текущее повторение осуществляется в процессе разбора упражнений, включается в домашнее задание. Оно может быть проведено как в начале, или в конце урока, так и во время опроса учащихся.

Текущее повторение дополняется сопутствующим повторением, которое нельзя строго планировать на большой период. Сопутствующее повторение не вносится в календарные планы, для него не выделяется специальное время, но оно является органической частью каждого урока. Сопутствующее повторение зависит от материала, привлекаемого для изучения очередного вопроса, от возможности установить связи между новым и старым, от состояния знаний учащихся в данный момент. Успех сопутствующего повторения в значительной степени обусловливается опытом и находчивостью учителя. Сопутствующее повторение ведётся не только при изучении нового теоретического материала, но и при решении задач: ознакомившись с условием задачи, надо вспомнить точный смысл тех терминов, какие встречаются в её тексте. По цели и по времени проведения текущее и сопутствующее повторения ближе друг к другу, нежели обобщающее и заключительное повторения, которые направлены не столько к закреплению математических фактов, сколько к их систематизации.

3.3 Тематическое повторение

В процессе работы над математическим материалом особенно большое значение приобретает повторение каждой законченной темы или целого раздела курса.

При тематическом повторении систематизируются знания учащихся по теме на завершающем этапе ее изучения или после некоторого перерыва.

Для тематического повторения выделяются специальные уроки, на которых концентрируется и сообщается материал одной какой-нибудь темы или раздела программы.

В процессе работы над темой вопросы, предлагаемые учащимся по каждому разделу, следует вновь пересмотреть: оставить наиболее существенные и отбросить более мелкие. Обобщающий характер вопросов при тематическом повторении отражается и на их количестве. Учителю приходится основной материал темы охватить в меньшем числе вопросов. Последнее обстоятельство требует от учителя тщательной подготовки к такому повторению.

Повторение на уроке проводится путем беседы с широким вовлечением учащихся в эту беседу. После этого учащиеся получают задание повторить определенную тему и предупреждаются, что будет проведена контрольная.

При тематическом повторении полезно составлять итоговые схемы. Таблица или схема экономно и наглядно показывает общее для понятий, входящих в данную тему, их взаимосвязь в логической последовательности, отношение вида к роду и т.д.

Процесс составления таблиц в одних случаях, подбор и запись примеров после анализа готовой таблицы в других случаях являются одновременно и формами письменных упражнений при обобщающем и систематизирующем повторении. [10]

Последовательное изучение различных особых случаев при повторении весьма полезно закончить их классификацией, что поможет учащимся яснее различить отдельные случаи и сгруппировать их по определенному признаку. [25]

3.4 Итоговое повторение

Повторение, проводимое на завершающем этапе изучения основных вопросов курса математики и осуществляемое в логической связи с изучением учебного материала по данному разделу или курсу в целом, мы будем называть итоговым повторением.

Цели тематического повторения и итогового повторения аналогичны, материал повторения (отбор существенного) весьма близок, а приемы повторения в ряде случаев совпадают.

Итоговое повторение в конце учебного года проводится также по темам, однако здесь из темы берется наиболее существенное, материал темы более суживается. Если при тематическом повторении сравнение проводится в рамках этой темы, то при заключительном повторении сравнение математических явлений проводится на более широком материале, и путем такого сравнения учащимся показывается связь между разделами курса.

Такое повторение способствует большему осознанию пройденного, указывает на связь различных разделов курса и одновременно дает возможность обозреть большой материал, создавая представление о системе математики.

Итоговое повторение должно помочь учащимся обобщить известные им знания, обозреть полученные знания в определенной идейно направленной системе, выявить внутренние логические связи между соответствующими отделами предмета, прочно закрепить пройденное.

Таким образом, итоговое повторение учебного материала преследует цели:

1. Обозрения основных понятий, ведущих идей курса соответствующего учебного предмета; напоминания в возможно крупных чертах пройденного пути, эволюции понятий, их развития, их теоретических и практических приложений.

2. Углубления и по возможности расширения знаний учащихся по основным вопросам курса в процессе повторения.

3. Некоторой перестройки и иного подхода к ранее изученному материалу, присоединения к изученному материалу предшествующих лет обучения новых знаний допускаемых программой, с целью его углубления. [25]

Уроки по итоговому повторению, как и любой другой урок, должны быть весьма тщательно продуманы как с точки зрения содержания, так и организации их. При этом они могут быть проведены по плану, не совпадающему с планом первоначального изучения. На уроках итогового повторения должны широко использоваться сопоставления, сравнения и аналогии; постановка самих вопросов по своему характеру должна заставлять несколько по-иному осмысливать прежний материал.

Рассматривая вопросы организации повторения, нельзя увлекаться внесением новизны. Элементы новизны, вносимые при заключительном повторении, не должны наслаивать на основной материал новые, еще не осознанные факты, в равной мере это замечание относится к чрезмерному разнообразию уроков повторения; повторение нельзя отрывать от тех методов, которыми учитель пользовался на обычных уроках. [25]

Примером такого вида повторения может служить заключительное повторение решения текстовых задач на движение. Это повторение преследует цель систематизировать и обобщить ранее изученные способы решения текстовых задач на движение.

3.5 Итоговое повторение при подготовке учащихся к ГИА

Чтобы обеспечить прочность знаний и навыков, приобретаемых учащимися в процессе изучения математики успешность написания школьниками ГИА, учителю очень важно правильно организовать повторение. Цели и время повторения тесно связаны и взаимообусловлены и в свою очередь определяют методы и приемы повторения.

Поэтому задачи повторения и методика его проведения могут быть выражены в трех следующих вопросах, по существу исчерпывающих смысл повторения: Что повторять? Как повторять? Когда повторять?

Первый из этих вопросов касается выбора материала для повторения, второй имеет в виду систему и методы повторения, а третий вопрос тесно связан с организацией педагогического процесса.

При планировании повторения необходимо отобрать материал, установить последовательность и время повторения, распределить отобранный материал по урокам, установить формы и методы для осуществления повторения, разумеется, надо учитывать и свойства памяти.

Основные требования к организации повторения должны исходить из целей повторения, специфики математики как учебного предмета, ее методов.

Первое требование к организации повторения, исходящее из его целей, это определение времени: Когда повторять? Самый общий ответ на поставленный вопрос таков: повторение следует проводить в течение всего учебного года. [25]

План повторения и выбор тем для повторения учитель должен составлять в каждом отдельном случае на основании общих теоретических соображений с учетом того, как усвоен учащимися материал соответствующих разделов.

Второе требование к организации повторения должно отвечать на вопрос: Что повторять? Исходя из высказываний классиков педагогики, положительного опыта дореволюционной и советской школ, можно выдвинуть следующие положения при отборе учебного материала по различным видам повторения:

1. Не следует повторять все, ранее пройденное. Нужно выбрать для повторения наиболее важные вопросы и понятия, вокруг которых группируется учебный материал.

2. Выделять для повторения такие темы и вопросы, которые по трудности своей недостаточно прочно усваиваются.

3. Выделять для повторения надо то, что необходимо обобщить, углубить и систематизировать.

4. Не следует повторять все в одинаковой степени. Повторять основательно надо главное и трудное. При отборе материала для повторения необходимо учитывать степень его связи с вновь изучаемым материалом. [25]

Третье требование к организации повторения математики должно отвечать на вопрос, как повторять, т.е. осветить те методы и приемы, которыми должно осуществляться повторение. Методы и приемы повторения должны находиться в тесной связи с видами повторения.

При повторении необходимо применять различные приемы и методы, сделать повторение интересным, путем внесения, как в повторяемый материал, так и в методы изучения некоторых элементов новизны.

Для успешности повторения необходимо соблюдать следующие условия:

1. Повторять надо в течение всего учебного года, т.е. чтобы повторение не было работой от случая к случаю, чтобы повторение входило органической частью в саму методику изучения математики.

2. Должна быть четкая целеустремленность в работе, сознательное отношение учащихся к повторению, осознание ими задач и результатов, которых они должны добиться при повторении.

3. Тщательно отбирать материал и продумывать планирование его при повторении.

4. Стимулировать самостоятельность и активность в процессе повторения, что достигается разнообразием форм и. методов повторения.

5. Правильно дозировать и распределять материал повторения во времени.

6. Соблюдать установку: "Учить, чтобы усвоить и запомнить".

Без целевой установки даже многократное повторение может не дать желаемого результата.

7. Органически связывать и продумывать сочетание отдельных видов повторения. Основные виды повторения должны дополнять друг друга, представлять стройную систему педагогически целесообразного повторения.

Работа на уроках повторения и на уроках первичного усвоения различна. Это объясняется своеобразием работы ученика по усвоению нового материала от работы при повторении пройденного, усвоенного уже однажды. Повторением, которое должно помочь учителю в приведении в систему знаний и умений учащихся, мы должны:

а) устранить недочеты в знаниях учащихся;

б) углубить и расширить знания учащихся по данному вопросу;

в) предупредить забывание основного содержания материала;

г) воспроизвести ранее пройденный материал на более высокой ступени в новых связях и комбинациях;

д) обобщить, систематизировать и окончательно закрепить наиболее существенное из учебного материала.

При повторении математики значительную часть времени приходится уделять теории, так как у учащихся возникает много вопросов, требующих более полного и глубокого освещения.

8. Уроки повторения должны быть продуманы как с точки зрения содержания, так и организации их. Постановка самих вопросов и разбор упражнений по своей форме и характеру должны заставлять несколько по-иному осмысливать прежний материал. [25]

Таким образом, в данной главе были рассмотрены различные определения понятия "повторения", основные методы и формы повторения, приведена наиболее часто встречающаяся в методической литературе классификация видов повторения. Рассмотрели сущность организации итогового повторения при подготовке учащихся к ГИА.

Таким образом, повторение - это воспроизведение усвоенных знаний и действий для облегчения их запоминания. Формы и методы повторения могут быть разнообразными. Одна из функций повторения - совершенствование действий по различным параметрам. Большую роль для эффективности повторения играет наглядность.

Наиболее часто в методической литературе встречается следующая классификация видов повторения:

5. Повторение в начале учебного года.

6. Текущее повторение всего, ранее пройденного:

а) повторение пройденного в связи с изучением нового материала (сопутствующее повторение);

б) повторение пройденного вне связи с новым материалом.

7. Тематическое повторение (обобщающее и систематизирующее повторение законченных тем и разделов программы).

Итоговое повторение в конце года способствует большему осознанию пройденного, указывает на связь различных разделов курса и одновременно дает возможность обозреть большой материал, создавая представление о системе математики.

Итоговое повторение должно помочь учащимся обобщить известные им знания, обозреть полученные знания в определенной идейно направленной системе, выявить внутренние логические связи между соответствующими отделами предмета, прочно закрепить пройденное.

Глава 2. Методика организации итогового повторения по теме "Решение текстовых задач на движение" при подготовке учащихся к ГИА

Текстовые задачи, обычно решаемые в школьном курсе математики, по мнению Л.М. Фридмана, "представляют собой словесные модели задач, в которых учащемуся необходимо найти значения некоторой неизвестной величины (или нескольких величин). Нахождение этого значения возможно потому, что оно однозначно определяется другими известными и неизвестными величинами и их взаимными связями с неизвестной величиной. В задаче имеются все данные для решения, но неизвестны операции, которые должны к нему привести. Основная трудность заключается в определении пути решения". [35]

По определению Ю.М. Колягина, текстовой задачей является "описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения". [16]

Решение задач на движение требует составления уравнения (или неравенства), а также их систем на основании условия задачи. Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов.

Прежде всего, необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них. В связи с этим нужным рассмотреть типовые задачи на движение и их классификацию по различным признакам.

1.2 Классификация задач на движение

В основу нашей классификации была положена классификация текстовых задач на движение Пасечник Л.А. и Беловой Е.И. учителей математики. Учитель математики Белова Е.И. рассматривает типы классификаций задач на движение, наиболее часто применяемые в куре математики 5-6 классов. Проанализировав классификацию, которую предлагает Пасечник Л.А. следует заметить, что её можно расширить. Тем самым, считаем целесообразным, объединить эти две классификации и добавить к ней тип задач на движение по замкнутой траектории, часто встречающийся в заданиях ГИА. А так же заменить "классификацию по воде", классификацией "задачи на движение в разных средах". С учетом выше изложенного предлагаем следующую классификацию:

1) по количеству движущихся объектов;

a) задачи на движение одного человека, одного велосипедиста, одной машины и т.д.

Задача. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути он был задержан на 10 минут, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в пункт B вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути?

b) движение, в котором два и более участника;

Задача. Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

2) по направлению движущихся объектов;

a) противоположно направленное движение;

· движение навстречу друг другу;

Задача. Два охотника вышли навстречу друг другу из леса с двух сторон поляны и оказались на расстоянии 450 м друг от друга. Один шел со скоростью 70 м/мин, другой-со скоростью 80 м/мин. Собака одного из них побежала навстречу другому. Добежав до него, она вернулась к хозяину и, повернув, снова бросилась к его другу. Так она продолжала свой бег до встречи двух охотников. Найти расстояние, которое пробежала собака, если ее скорость равна 12 км/ч.

· движение в разные стороны;

Задача. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого-6 км/ч. Какое расстояние между ними будет через 3 часа?

b) движение в одном направлении - однонаправленное движение;

Задача. Первый турист, проехав 1,5 часа на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?

3) по времени начала движения;

a) одновременное движение

Задача. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч. Через 3 часа пешеходы удалились друг от друга на 30 км. Определите скорость другого пешехода.

b) разновременное движение

Задача. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого - третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

4) по характеру движения

a) движение из одного пункта в другой с остановкой в пути;

Задача. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 240 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 1 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 1 час. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A.

b) движение с возвращением в начальный пункт отправления;

Задача. Машина выезжает из A в B и, доехав до B, тут же возвращается обратно. Через 1 час после выезда из A машина была на расстоянии 80 км от B, а еще через 3 часа - в 80 км от А. Известно, что весь путь туда и обратно машина прошла менее чем за 9 часов. Найти расстояние от A до В.

4) в зависимости от траектории движения

a) прямолинейное движение (движение по прямой, движение автомобиля по ровной дороге без поворотов);

Задача. Два велосипедиста одновременно отправились в 108-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

b) движение по замкнутой траектории (по стадиону, по окружности, движение автомобиля на повороте);

Задача. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км.

5) в зависимости от среды, в которой движутся объекты:

a) задачи на движение по водному пути;

· движение по реке;

- по течению;

Задача. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 399 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 20 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 42 часа после отплытия из него.

- против течения;

Задача. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 399 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 20 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 42 часа после отплытия из него.

· движение в стоячей воде;

Задача. Лодка шла из пункта A в пункт B по течению 30 минут, затем из пункта B в пункт A против течения 70 минут. Найти время движения лодки из A в B в стоячей воде.

b) задачи на движение по воздушному пути;

Задача. Бабочка капустница пролетела 4с со скоростью 4 м/с, а когда подул попутный ветер скорость бабочки увеличилась на 6 м/с, и она пролетела еще какое-то количество метров. Какое расстояние бабочка пролетела при попутном ветре, если всего она пролетела 688 м.

c) задачи на движение в смешанной среде;

Задача. Моторная лодка шла 0,4 ч по озеру и 0,3 ч по течению реки, скорость течения которой 2 км/ч. Всего моторная лодка прошла 9 км. Найдите её собственную скорость.