Назначение этого этапа: наметить последовательность действий. План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать всё сначала.

Осуществление плана решения задач

Назначение данного этапа - найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом. Для текстовых задач, решаемых арифметическим методом, используются следующие приёмы:

- запись по действиям (с пояснениями, без пояснения, с вопросами);

- запись в виде выражения.

Проверка решения задачи

Назначение данного этапа - установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Арифметический метод решения задач может быть общим методом. Он представляет более или менее полную совокупность приёмов рассуждения. [16]

Алгебраический метод обеспечивает общий подход, общий принцип в анализе и решении задач (всех или, по крайней мере, достаточно широкого круга). Его отличие от арифметического метода, прежде всего, состоит во введении неизвестной величины и её специального обозначения.

Итак, при алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного (неизвестных), для обозначения буквой (буквами), от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических способах решения этой задачи.

Решение алгебраическим методом отличается от арифметического не только введением буквенных обозначений неизвестной величины, но и установлением зависимостей между величинами задачи. Эти зависимости представлены здесь не в виде цепочки формул, каждое звено которой связано с выполнением предшествующих действий и все звенья которой объединяются лишь в конце, а сразу в виде уравнения, в котором фиксируются все существенные связи между известными и чаще неизвестными величинами. Это возможно благодаря особой функции "X", позволяющей замещать неизвестную величину особым символом и оперировать с ним.

При алгебраическом методе решения задачи важно не вычисление конкретных значений величин, а выявление и выражение основных зависимостей между явными и неявными значениями величин, входящих в условие задачи.

При алгебраическом методе решения текстовой задачи выделяются следующие этапы:

1. Разработка математической модели. Математической моделью задачи является, как правило, уравнение или система уравнений. В моделях более сложных задач могут присутствовать и неравенства.

2. Поиск алгоритма решения.

3. Вычисление и исследование. [19]

Геометрический метод решения задач базируется на основных понятиях планиметрии (точка, отрезок, длина, площадь, треугольник, прямоугольник и другие), а также свойствах плоских фигур и графиков элементарных функций. Математическая модель в этом случае представляет собой либо диаграмму, либо график.

Диаграмма - это чертёж или рисунок, на котором условно изображены в виде отдельных фигур различные значения одной и той же величины или нескольких сравнимых величин. Она служит не только для изображения величин, но и для показа соотношений между ними.

График - это множество точек (обычно некоторая линия, реже - конечное множество), координатной плоскости. График используется для изображения связи между двумя величинами, из которых одна является аргументом, а другая - функцией. Каждое значение аргумента является абсциссой некоторой точки графика, а соответствующее значение функции - ординатой той же точки. Для решения конкретной задачи используется один или несколько графиков на одном чертеже.

Решение задач геометрическим методом осуществляется двумя приёмами: конструктивным (чисто графическим) и вычислительным (графико-вычислительным). В каждом из них используется различные способы решения задач.

При решении задач конструктивным приёмом диаграмма или график вычерчиваются как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой, треугольником или на миллиметровой бумаге или бумаге "в клетку" в определённом масштабе. Ответ обычно получается приближённый, но приемлемый для практических целей. Он находится при помощи измерений длин отрезков или других элементов чертежа, а зачастую просто "считывается" с чертежа.

Существуют так же нестандартные способы решения текстовых задач. Рассмотрим нестандартные способы решения обычных "стандартных" задач и задач олимпиадной и конкурсной тематики, специальные приемы их решения: переформулировка задачи, использование "лишних" неизвестных, решение задач в общем виде (когда все или некоторые значения величин в условии обозначены буквой).

Метод переформулировки задачи позволяет обходиться без решения систем. Переформулировка задачи оказывается наиболее полезной стратегией при решении нечетко поставленных задач. В четко поставленных задачах цель обычно определена однозначно в недвусмысленных терминах, которые практически не оставляют свободного пространства для переформулировки - хотя четко поставленная задача, по-видимому, могла бы иметь много возможных модификаций, если бы мы были в состоянии изменить ее формулировку и цель.

Суть метода ""Лишние" неизвестные" состоит во введении неизвестных, значения которых не требуется находить для получения ответа на вопрос задачи (а часто и невозможно найти). При этом задача может быть решена без составления уравнения - вычислением отношения с сокращением "лишнего" неизвестного, составлением уравнения или системы уравнений, в которых число неизвестных превышает число уравнений. [12] Рассмотрим применение этого метода на примере:

Задача: Велосипедист ехал из A в B со скоростью 15 км/ч, а возвращался назад со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всем участке?

Решим задачу с помощью "лишнего" неизвестного. Пусть x км - расстояние от A до B, тогда:

Затрачено на путь туда и обратно.

Вычислим среднюю скорость, поделив пройденный путь на время движения:

2.4 Моделирование в решении текстовых задач

Метод моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта или явления выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении, подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследование задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальные явления или объект.

Под моделью (от лат. modulus - мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект - оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели, называется моделированием [9].

В математике широко используется метод моделирования при решении задач.

Математической моделью можно назвать специальное описание (часто приближенное) некоторой проблемы, ситуации, которое дает возможность в процессе ее анализа применять формально - логический аппарат математики. При математическом моделировании имеем дело с теоретической копией, которая в математической форме выражает основные закономерности, свойства изучаемого объекта [29].

Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

В процессе математического моделирования выделяют три этапа:

1. Формализация - перевод предложенной задачи (ситуации) на язык

математической теории (построение математической модели задачи).

2. Решение задачи в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели).

3. Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация решения) [30].

Чаще всего математическая модель представляет собой несколько упрощенную схему (описание) оригинала, а значит, обладает определенным уровнем погрешности.

Одна и та же модель может описывать различные процессы, объекты, поэтому результаты внутри модельного исследования одного явления зачастую могут быть перенесены на другое. В этом состоит одно из основных достоинств математического моделирования.

Требований в заданиях тоже может быть несколько. Они могут быть сформулированы, как в вопросительной, так и в утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью (словесной).

Чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это можно путем особых знаково-символических средств - моделей, однозначно отображающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия школьниками.

В структуре любой задачи выделяют:

1. Предметную область, то есть объекты, о которых идет речь в задаче.

2. Отношения, которые связывают объекты предметной области.

3. Требования задачи [13].

Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов, они могут быть представлены разного рода исценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

· рисунок;

· условный рисунок;

· чертеж;

· схематический чертеж (или просто схема).

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести:

краткую запись задачи;

таблицы [31].

Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются:

выражение;

уравнение;

система уравнений;

запись решения задачи по действиям.

Схематизированные, графические и знаковые модели, выполненные на естественном языке - вспомогательные модели, а знаковые модели, выполненные на математическом языке - решающие.

Уровень овладения моделированием определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и главное место в формировании умения решать задачи.

Полезно применять чертежи и схематические рисунки, блок - схемы,

моделирование с помощью отрезков и таблиц.

Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: левая - правая, верхняя - нижняя, увязывать пространственную информацию с информацией меры, тем самым, формируя умение решать задачи [20].

Итак, модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития; научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях.

Текстовая задача - это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, то есть построить ее математическую модель.

Решение любой задачи - процесс сложной умственной деятельности. Реальные объекты и процессы в задаче бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели как мощного орудия познания [21].

Подробнее остановимся на моделировании и использовании этого метода при работе над текстовой задачей.

Обучение с применением моделирования повышает активность мыслительной деятельности учащихся, помогает понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь решения, установить нужный способ проверки, определить условия, при которых задача имеет или не имеет решение. Модель дает возможность более полно увидеть зависимость между данными и искомыми в задаче, представить задачу в целом, помогает обобщить теоретические знания. Постановка учебной задачи составляет мотивационно-ориентировочное звено - первое звено учебной деятельности.

Вторым (центральным) звеном учебной деятельности является исполнительское звено, то есть следующие учебные действия для решения учебной задачи:

1) преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;

2) моделирование выделенного в ней отношения в предметной, графической или буквенной форме;

3) преобразование модели отношения для изучения его свойств;

4) построение системы частных задач, решаемых общим способом.

Чтобы научить школьников самостоятельно и творчески учиться, нужно включать их в специально организованную деятельность, сделать хозяевами этой деятельности. Одним из способов включения учащихся в активную деятельность в процессе решения задач и является моделирование.

Умение решать задачи - один из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала [18].

Одна из основных причин допускаемых ошибок в решении текстовых задач - неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи и ее анализа, которые проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без ее графического моделирования [14].

В 5 классе, как правило, в процессе анализа используются разные виды краткой записи или готовые схемы, а создание модели задачи на глазах учеников или самими учащимися в процессе решения задач используется крайне редко. Учителя при фронтальном анализе и решении задачи нередко ограничиваются правильными ответами двух-трех учеников, а остальные записывают за ними готовые решения без глубокого их понимания.

Для устранения отмеченных недостатков следует, прежде всего, решительно улучшить методику организации первичного восприятия и анализа задачи, чтобы обеспечить осознанный и доказательный выбор арифметического действия всеми учащимися [5].

Главное для каждого ученика на этом этапе - понять задачу, то есть уяснить, о чем эта задача, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми и т.п. Для этого, где возможно, следует применять метод моделирования ситуации, отраженной в задаче.

Используемый в науке метод моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому; построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект [24].

Рассмотрим методику решения текстовой задачи с помощью таблицы, предложенную ленинградским учителем А.А. Окуневым. [24]

Он следующим образом организовывал процесс обучения решению задачи. Задавал следующую систему вопросов:

1) О каких процессах идет речь в данной задаче?

2) Сколько процессов описано в условии задачи?

3) Какими величинами характеризуется каждый процесс, описанный в задаче?

Затем учитель и учащиеся читают каждую фразу задачи и выясняют, о каких величинах идет речь.

Всю полученную информацию заносят в таблицу и выясняют, условие, которое лежит в основе уравнения. При помощи его и решалась задача.

Табличное изображение служит хорошим и удобным средством для организации коллективной и индивидуальной (дифференцированной) самостоятельной работы учащихся.

Также таблица помогает организовать соответствующую работу, так как наглядно иллюстрируют то, что известно и что нужно определить; на ней легче увидеть, каких именно данных не достает (или какие данные являются лишними) для того, чтобы, используя нужную зависимость, решить ту или иную задачу.

Рассмотрим пример решения задачи выделением 3-х этапов математического моделирования:

1) составление математической модели,

2) работа с математической моделью,

3) ответ на вопрос задачи.

Задача. Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой пройден путь 41 км.

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью () км/ч, а против течения - со скоростью () км/ч.

По течению реки лодка плыла 3ч 12 мин. Поскольку скорость выражена в км/ч, это время надо записать в часах. Имеем: 12 мин=12/60 ч. Значит, 3ч 12 мин=3,2 ч. За это время со скоростью () км/ч лодкой пройден путь км.

Против течения лодка плыла 1,5 ч. За это время со скоростью () км/ч лодкой пройден путь км.

По условию весь ее путь составил 41 км. Так как он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем:

Это уравнение - математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с составленной математической моделью.

Как всегда, на этом этапе думаем только о том, как решить модель - уравнение, а не о том, откуда эта модель взялась. Выполним в левой части уравнения умножение одночлена 3,2 на двучлен , одночлена 1,5 на двучлен х-2, а затем полученные многочлены сложим, получим:

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т.е. чему равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х=8.

Ответ: собственная скорость лодки 8 км/ч.

§3. Текстовые задачи в ГИА по математике

3.1 Кодификатор и спецификация ГИА о текстовых задачах

Тест ГИА по математике разделен на две части, отличающиеся по сложности и форме приведения ответа:

· часть 1 - содержит задания базового типа сложности с выбором одного правильного ответа из предложенных (состоит из18 заданий);

· часть 2 - содержит задачи повышенного уровня сложности, требует подробного решения и ответа (состоит из 5 заданий).

При анализе демонстрационных вариантов ГИА 2009-11, можно отметить, что вторая часть содержит текстовую задачу. Часть 2 направлена на проверку владения материалом на повышенном и высоком уровнях. Ее назначение - дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, составляющую потенциальный контингент профильных классов. Эта часть содержит 5 заданий повышенного и высокого уровней сложности из различных разделов курса математики (2 задания по геометрии, 3 задания по алгебре одним из которых является текстовая задача.). Все задания требуют полной записи решения и ответа. Задания части 2 расположены по нарастанию трудности - от относительно простых до сложных, предполагающих свободное владение материалом и высокий уровень математической культуры. Требования к уровню подготовки выпускников, соответствующие Федеральному компоненту государственного образовательного стандарта, зафиксированы в кодификаторе требований (КТ). Ориентировочная доля заданий, относящихся к каждому из разделов кодификатора требований.

Кодификатор умений по теме "решение текстовых задач на движение" к уровню подготовки выпускников основной школы по математике для составления контрольных измерительных материалов государственной (итоговой) аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений 2012 года:

1) решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением,

пропорциональностью величин, дробями;

2) составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач,

находить значения буквенных выражений, осуществляя

необходимые подстановки и преобразования;

3) решать линейные, квадратные уравнения и рациональные

уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и

несложные нелинейные системы;

4) решать текстовые задачи алгебраическим методом,

интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений

исходя из формулировки задачи;

5) моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.

Каждое задание может относиться более чем к одному разделу кодификатора требований. [15]

К теме "Решение текстовых задач на движение" в кодификаторе содержания ГИА по математике относятся следующие элементы:

Уравнения

1.1 Уравнение с одной переменной, корень уравнения.

1.2 Линейное уравнение.

1.3 Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения.

1.4 Решение рациональных уравнений.

Текстовые задачи

2.1 Решение текстовых задач арифметическим способом.

2.2 Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Часть 2 состоит из заданий повышенного (П) и высокого (В) уровней

сложности. Планируемые проценты выполнения заданий части 2 приведены в таблице 1.

Таблица 1. "Планируемый процент выполнения заданий части 2".

Уровень сложности заданий 19, 21, 22 основывается на результатах многолетнего мониторинга экзамена по алгебре в 9-х классах. Уровень сложности заданий 20 и 23 определяется в ходе диагностических работ и уточняется ежегодно по результатам проведения экзамена. Для оценивания результатов выполнения работ выпускниками применяется такой количественный показатель, как общий балл. В таблице 2 приводится система формирования общего балла. [32]

Таблица 2. "Система формирования общего балла".

3.2 Обзор текстовых задач на движение, входивших в задания ГИА

Рассмотрев демонстрационные варианты ГИА 2009-2012 года, приведем пример задач, встречающихся в данных тестовых вариантах:

1. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути он был задержан на 10 минут, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в пункт B вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути? (демонстрационный вариант 2012г.)

2. Из города A в город B, расстояние между которыми 200 км, выехал грузовик. Через час вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на 10 км/ч больше, чем скорость грузовика. В город B они въехали одновременно. Найдите скорости грузовика и легкового автомобиля.

3. Из пункта A в пункт B, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта B вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от A до B пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт B, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки? (демонстрационный вариант 2010г.)

4. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходит круг? (вариант 2)

5. Велосипедист едет сначала 3 минуты с горы, а затем 9 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 12 минут. При этом в гору велосипедист едет всегда с одной и той же скоростью, а с горы - с большей, но также всегда одинаковой скоростью. Во сколько раз скорость движения велосипедиста с горы больше, чем его же скорость в гору? (вариант 1)

6. Путь от поселка до железнодорожной станции пешеход прошел за 4 ч, а велосипедист проехал за 1,5 ч. Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода. С какой скоростью ехал велосипедист? (демонстрационный вариант 2009 г.)

В приведенных примерах задачи относятся к следующим типам нашей классификации: задачи на движение нескольких объектов; задачи на движение с остановкой в пути; на движение по реке; на движение по кольцевой трассе. Следует отметить, что в школьном курсе нет четкого разделения методов их решения, в том смысле, что авторы школьных учебников не дают напрямую схему какого-либо метода. Поэтому задачу любого типа можно решить различными способами. При итоговом повторении учитель обращает внимание учащихся, что при выборе метода, следует руководствоваться наиболее удобным.

Таким образом, можно сделать вывод, что в учебниках математики для основной школы рассматриваются следующие методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, а также некоторые нестандартные методы. Нестандартные методы применяются в основном при решении олимпиадных и конкурсных задач. Арифметический метод решения задач может быть общим методом. Он представляет более или менее полную совокупность приёмов рассуждения, каждый из которых применим для конкретного типа задач.