Вивчення площі та одиниць її вимірювання на уроках математики у початкових класах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Величини відображають різноманітні властивості реального світу. У математиці поняття величини виникло в результаті абстрагування від якісних особливостей, властивостей реальних об'єктів, щоб виділити тільки кількісні відношення.

У процесі абстракції властивості об'єктів і явищ дещо ідеалізуються, відбувається деяке віддалення від дійсності, від окремих сторін явищ і об'єктів. У самій природі немає довжини, площі, сили, швидкості. Ці та інші величини вводяться в процесі пізнання для описання явищ природи. Тому величини - це не сама реальність, а лише її відображення. Багатовікова практика показує, що величини правильно відображають властивості об'єктів навколишнього середовища. Абстракція є засобом пізнання. Поняття величини тісно пов'язане з поняттям вимірювання. Результат вимірювання виражається числовим значенням величини при певній одиниці вимірювання - мірою величини. Вимірювання є одним із шляхів пізнання природи людиною, який поєднує теорію з практикою. Ще в давній давнині вимірювання було знайдено багато емпіричних фактів про загальні властивості величин, які є відображенням властивостей дійсного світу.

У початкових класах розглядаються величини: довжина, площа, місткість, час тощо. Учні мають набути конкретних уявлень про ці величини, ознайомитись з одиницями їх вимірювання, оволодіти уміннями вимірювати величини, навчитися виражати результати вимірювання в різних одиницях, виконувати арифметичні дії над іменованими числами.

Вивчення величин має велике значення, оскільки поняття величини є найважливішим поняттям математики. Кожна величина, яку вивчають, - це деяка узагальнена властивість реальних об'єктів навколишнього світу. Вправи на вимірювання розвивають просторові уявлення, озброюють учнів важливими практичними навиками, які широко використовують у житті. Отже, вивчення величин - це один із засобів зв'язку навчання з життям.

Крім цілих чисел і дій над ними, в курсі математики початкових класів програмою передбачено ознайомлення учнів з деякими величинами і їх вимірюванням. Без величин неможливо вивчати природу, реальну дійсність. В відповідних величинах виражені властивості різних об'єктів, явищ реального світу.

Отже, вивчення величин сприяє засвоєнню багатьох питань курсу математики.

Поняття величини і числа - основні базові в математиці. Це пояснюється винятковою їх роллю для формування теорії і законів у багатьох галузях науки, а також практики. Величини та їх вимірювання використовуються при вивченні багатьох шкільних предметів. У початкових класах закладаються для цього міцні основи. Тут здійснюється значна пропедевтика, мета якої - створення змістового фонду понять, таких як довжина, площа, маса, час та інші. У курсі математики 1 - 4 класів вони становлять окрему змістову лінію, поступово поглиблюються, збагачуються. Водночас робота над величинами сприяє вдосконаленню обчислювальної діяльності школярів, формуванню в них навичок і вмінь швидких обчислень, а також закріпленню знань про число, арифметичні дії, правила їх виконання. Поняття величини тісно пов'язане з вимірюванням, результат якого виражається числом. Тому оперування значеннями величин є один із засобів удосконалення обчислювальних умінь. А все в комплексі сприяє активізації навчальної діяльності школярів, осмисленню вивченого.

Концентрична будова програми з математики в початкових класах зумовлює послідовність розгляду й обсяг викладу відомостей про величини, реалізацію освітніх і розвивальних цілей під час опрацювання матеріалу.

Вивчення величин - важливий розділ початкового курсу математики. Учитель повинен забезпечити не лише засвоєння окремих його питань, а й закласти міцний фундамент для подальшої роботи наступних класах.

Вивчення величин - це один із засобів зв'язку навчання математики з життям. Ознайомлення учнів з величинами та одиницями їх вимірювання і формуванням відповідних умінь і навичок здійснюється у тісному зв'язку з формуванням поняття натурального числа, з вивченням арифметичних дій над числами, формуванням поняття геометричної фігури. Вивчення величин, одиниць їх вимірювання треба організовувати так, щоб учні набули деяких практичних навичок, конкретно уявляли одиниці їх вимірювання та співвдношення між ними [7, 21-23].

Роль і значення вимірювань у процесі розвитку природничих і технічних наук безперервно зростає, бо зростає число і якість вимірюваних величин. Величини є складовою частиною змісту багатьох природничих наук - математики, фізики, астрономії, хімії, біології та інших.

Актуальність дослідження. Початкове ознайомлення учнів із площею геометричних фігур і її вимірюванням є основною базою подальшого вивчення площі у середніх і старших класах, а також знання з даної теми безпосередньо використовуються учнями початкових класів при розв'язуванні різних практичних ситуаційних задач.

Об'єкт дослідження - вивчення площі та одиниць її вимірювання на уроках математики у початкових класах.

Предмет дослідження - формування у школярів початкових класів математичних понять про скалярну величину «площу» та вивчення одиниць її вимірювання.

Мета дослідження - узагальнити і систематизувати теоретико-методичні положення і методичні рекомендації по вивченню та дослідженню даної теми у початкових класах.

Відповідно до мети дослідження було визначено такі завдання роботи:

· аналіз психолого-педагогічної, методичної, математичної літератури з проблеми дослідження;

· розкрити загальні питання методики вивчення площі та одиниць її вимірювання у початкових класах;

· виявити психолого-дидактичні передумови застосування поняття «площа»;

· виявити психологічні закономірності процесу формування понять про величини в учнів основної школи.

· Практичне значення результатів дослідження:

Методика формування поняття «площа» у процесі викладання математики в початковій школі на основі освітнього стандарту з математики сприятиме підвищенню якості загальноосвітньої, математичної, професійної підготовки учнів, розвиває інтуїцію, деякі навички мислення, тобто сприяє підвищенню їх інтелектуального рівня.

Джерелом дослідження є наукові статті з журналів, методичні посібники та підручники з математики.

Структура роботи обумовлена темою та змістом дослідження і складається зі вступу, двох розділів, висновків, списку використаної літератури та додатків



1. Теоретичні аспекти формування у молодших школярів поняття «величина» та «площа»

школа дидактичний учень площа

1.1 Історія виникнення початкових знань про площу, їх еволюція та застосування у житті

Зародження геометричних знань, пов'язаних з виміром площ, губиться в глибині тисячоліть.

Ще 4 - 5 тис. років тому вавілоняни обчислювали площі земельних ділянок, що мають форму прямокутника і трапеції, у квадратних одиницях. Одиницею виміру площі здавна використовували квадрат, так як саме квадрат володіє чудовими властивостями: рівні боки, рівні і прямі кути; квадрат має вісь і центр симетрії і досконалість форми. Квадрати легко будувати, і ними можна покрити без просвітів фігури будь-якої форми.

Близько 4 000 років тому єгиптяни визначали площу прямокутника, паралелограма, трикутника і трапеції тими ж прийомами, як і ми. Тобто, щоб визначити площу прямокутника, множили довжину на ширину; щоб знайти площу трикутника, основу трикутника ділили навпіл і множили на висоту. А для знаходження площі трапеції суму паралельних сторін ділили навпіл і множили на висоту. Площу багатокутника знаходили розбивкою його на прямокутники, трикутники і трапеції. Єгиптяни використовували й інші, які дозволяли швидше вимірювати площу земельної ділянки шляхом тільки обходу його по кордонах, але результат вимірювання виходив з деякою похибкою.

У математичних працях Евкліда, Герона, Брахмагупти та інших відомо, що з питань вимірювання площ греки і індуси пішли далеко вперед у порівнянні з єгиптянами і вавилонянами.

У своїх «Початках» Евклід не застосовував слово «площа», так як він під словом «фігура» розумів частину площини, обмежену тієї чи іншої замкненою лінією, і під поняттям фігури мав на увазі і її площу. Евклід результат вимірювання площі не виражав числом, а порівнював площі різних фігур між собою. Евклід також займався питаннями перетворення одних фігур в рівновеликі їм фігури, оперуючи при цьому не числами, а самими площами.

Перші відомості про вимірювання площ і відстаней на Русі відносяться до XI століття. У Державному Ермітажі зберігається камінь з написом: «У літо 6576 Гліб князь міряв морем по льоду від Тмутороканя до Корчева 14 000 сажнів». У цьому записі йдеться про вимірювання в 1068 році відстані між містами Тамань і Керч через Керченську протоку по льоду.

Стародавні математики Єгипту та Індії необгрунтовано переносили на загальний випадок правила обчислення площ, вірні в деяких окремих випадках. На Русі XI-XVI століттях теж пішли шляхом узагальнення правил.

У другій половині XVI ст. зросли потреби у вимірі землі, розвиток артилерійської справи і будівництво міст привели до необхідності створення рукописів геометричного змісту. У 1551 р. цар Іван IV послав людей «описати і зміряти державу». На жаль, рукописи Стародавньої Русі до нас не дійшли. Автор «Історії Російської з найдавніших часів» В.М. Татіщев (1686-1750) писав: «Я читав наказ, даний в 1556 р. переписувачам про те, як слід вимірювати землю». До наказу додавалися «землемірні накреслення», тобто креслення. Наказ безслідно зник. Пропали також «Математичні рукописи XVII століття», що зберігалися в родині письменника та історика Н.М. Карамзіна (1766-1826).

Першою з рукописів, що збереглися, в яких викладаються правила вимірювання площ, була «Книга сошного листа», найдавніший екземпляр, який відноситься до 1629 року, хоча є вказівки, що оригінал був складений при Івані Грозному в 1556 році. У цій книзі є розділ «Про земельне верстання, як землю верстати». У ній, на жаль, міститься багато помилкового матеріалу в способах вимірювання площ. Можливо, вони з'явилися в результаті спотворень під час переписування від руки. Доводиться визнати, що рівень знань був невисоким, хоча вважати росіян XVI-XVII століть менш грамотними, ніж древні єгиптяни не можна. Тим більше яскравим підтвердженням тому служать виняткові по красі архітектурні пам'ятки того часу, такі, як собор Василя Блаженного, побудований в 1553-1560 р.р. при Івані Грозному російськими «майстрами кам'яних справ» Постніковим, Яковлєвим і Барменом [9, 208].

Були й вагомі причини, що затримали поширення математичних знань на Русі. У ХV ст. були царські оголошення «Про заборону книг, вивезених із Заходу», в одному з яких навіть говорилося, що «богомерзостен перед богом кожен, хто любить геометрію». Лише за Петра I в 1701 році відкрили в Москві «Математичні і навігаційні школи». У програму навчання включили викладання арифметики, алгебри, геометрії та тригонометрії. Ці науки викладав виписаний з-за кордону професор-математик Фархварсон і математик-самоучка Леонтій Магніцький. З того часу основи геометрії як науки проникли у Росію. Саме на початку ХVIII століття в 1739 році під редакцією А. Фархварсона були переведені на російську мову і видані «Начала» Евкліда. Через ці книги російському читачу стало доступним все існуюче із класичної спадщини з елементарної геометрії.

Так які ж конкретно помилки допускали у вимірі площ на Русі?

У вище згаданій книзі «Про земельне верстання, як землю верстати» зібрані правила вимірювання площ різних фігур і наведені приклади, як ними користуватися. Але висновків і доказів цих правил немає. Площу прямокутника обчислювали шляхом виділення з нього найбільшого квадрата, а решта площа залишилася. Ії обчислювали визначенням, яку частку найбільшого квадрата вона становить.

Як примітивний цей спосіб у порівнянні з обчисленням площі прямокутника множенням довжини його на ширину!

У Древній Русі при обчисленні площ допускали ще одну грубу помилку, вважаючи, що «фігури з рівними периметрами мають рівні площі». Це припущення невірне ні для однієї фігури, навіть якщо вони мають рівні сторони.

1.2 Поняття площі і її властивості

В житті постійно доводиться стикатись з поняттям площі (площі кімнати, присадибної ділянки, площі поверхні стола тощо). Під площею розуміють місце, яке займає певне тіло (предмет) на площині (підлоги, землі, стола).

Площею фігури називають невід'ємну величину, визначену для кожної фігури так, що

1) рівні фігури мають рівні площі;

якщо фігура складена із скінченної кількості фігур, то її площа дорівнює сумі площ її частин;

існує квадрат, площа якого дорівнює 1 (е²) (сторона його дорівнює одиниці довжини).

Часто площу позначають буквою S. S (F) - площа фігури F.

Вимірювання площі - це порівняння площ даної фігури із площею одиничного квадрата е².

S (F) = 5e²

Число 5 називають числовим значенням площі при даній одиниці виміру e².

Щоб виміряти площу довільної фігури, покривають її сіткою квадратів, площа кожного з яких рівна e². Таку сітку називають палеткою.

При вимірюванні площі за допомогою палетки отримуємо М - кількість квадратів, які цілком лежать у фігурі (5); N - кількість квадратів, через які проходить фігура (нецілих - 13). Тоді Ме < S(F) < (М+И) е²;

(5 см < S(F) < (5 + 13) см²).

М, М+И - наближені значення площі з недостачею та надлишком.

Тоді S(F) = М + (М+N)/2х е²

S (F) = (5+ 18): 2 - 23:2 = 11,5 (см²).

Щоб отримати точніші виміри, потрібно збільшити кількість квадратиків сітки, тобто зменшити самі квадратики е₁ = (1/10) е, тоді е² = (1/10) е² (1 см²= 100 мм²; S(F) = 1150 мм²).

В результаті отримаємо наближене значення площі з більшою точністю.

Властивості площі.

1. Якщо фігури рівні, то числові значення їх площ теж рівні (при одній і тій же одиниці площі), але - не навпаки.

F₁ = F₂ S(F₁) = S(F₂)

2. Якщо фігуру F складено із фігур F₁, F₂…F_n, то числове значення площі фігури F дорівнює сумі числових значень площ фігур F₁, F₂…F_n при одній і тій же одиниці виміру площі.

F=F₁ F₂ F₃ S(F) = S(F₁)+S(F₂)+S(F₃)

3. При заміні одиниці площі числове значення площі збільшиться (зменшиться) у стільки разів, у скільки нова одиниця менша (більша) старої.

Наприклад 5м² = 0,000005 км² (бо 1 м²= 1/1000000 км);

5 м² = 5 * 100дм² = 500дм²(бо 1 м²= 100 дм²)

Площі можна множити на число, ділити на число, віднімати, додавати, порівнювати, при цьому виконуються відповідні дії над їх числовими значеннями.

Стандартні одиниці площ та залежності між ними:

1 мм² - площа квадрата із стороною 1 мм;

1 см² - площа квадрата із стороною 1 см;

1 см² = 100 мм²; 1дм² - площа квадрата із стороною 1 дм;

1 дм² =100 дм²; 1 м² - площа квадрата із стороною 1 м;

м² = 100 дм² = 10000 см² = 1000000 мм²;

1 а (ар) - площа квадрата із стороною 10 м; 1а = 10 м х 10 м = 100м²;

1 га (гектар) - площа квадрата із стороною 100 м; 1 га = 100 м х 100 м = 100 а = 10000 м²;

1 км - площа квадрата із стороною 1000 м; 1 км² = 100 га = 10000 а = 1000000 м².

Розглянемо деякі старі українські і російські неметричні одиниці площі:

· квадратна верста - 1,14 км²;

· десятина - 2400 квадратних саженів - 10 925 м²;

· квадратний сажень - 9 квадратних аршинів - 4,552 м²;

· квадратний аршин - 256 квадратних вершків - 0,506 м²;

· квадратний вершок - 3,06 квадратних дюйма - 19,758 см²;

· квадратний дюйм - 6,452 см;

· квадратна лінія - 6,452 мм².

Одиниці площі широко використовуються в повсякденному житті. Відомо, що площа України становить 603700 км. Площа менших ділянок землі вимірюється в гектарах. Площі невеликих ділянок землі вимірюють в арах (сотках). Площу поверхні шкіри в легкій промисловості вимірюють квадратними дециметрами.

1.3 Знайомство з площею в контексті вивчення учнями початкових класів величин

У курсі математики початкової школи учні вивчають розділ «Величини», який тісно пов'язаний з практичною діяльністю людства. У вищеназваному розділі розглядається ряд питань, направлених на формування у дітей уявлень про величини і їх вимірювання. У зв'язку з вимірюванням величин розширюється і уточнюється поняття про число.

Учні повинні отримати конкретні уявлення про ці величини, ознайомитися з одиницями їх вимірювання, оволодіти вміннями вимірювати величини, навчитися виражати результати вимірювання в різних одиницях, виконувати арифметичні дії над величинами.

Вивчення величин має велике значення, так як поняття величини є найважливішим поняттям математики. Кожна досліджувана величина - це деяка узагальнена властивість реальних об'єктів навколишнього світу. Вправи у вимірах розвивають просторові уявлення, озброюють учнів важливими практичними навичками, які широко застосовуються в житті. Отже, вивчення величин - це один із засобів зв'язку навчання з життям [14, 42-43].

Величини розглядаються в тісному зв'язку з вивченням натуральних чисел і дробів: навчання виміру зв'язується з навчанням рахунку; нові одиниці вимірювання вводяться слідом за введенням відповідних лічильних одиниць; арифметичні дії виконуються над натуральними числами і над величинами. Вимірювальні та графічні роботи як наочний засіб використовуються при вирішенні завдань. Таким чином, вивчення величин сприяє засвоєнню багатьох питань курсу математики.

В основі методики вивчення величин лежить практична діяльність учнів, пов'язана з оволодінням навичками вимірювання таких величин, як довжина відрізка, площа фігури, температура, маса і об'єм тіла, час. Перераховані величини, передбачені програмою початкової школи, є основними. Крім них передбачені також і деякі похідні величини: швидкість руху тіла, вартість. [14, 44-45].

При вивченні величин в учнів виникають певні труднощі. Вони пов'язані з нерозумінням різниці між поняттям «число» і «величина» і тим зв'язком, який між ним існує. Учні часто плутають такі поняття як «відрізок» і «довжина відрізка», «прямокутник» і «площа прямокутника». Зустрічаються труднощі й іншого порядку: учні часто припускаються помилки при засвоєнні таблиці мір довжини, назви лінійних і квадратних мір схожості: «метр» - «квадр. метр.» Це говорить про те, що досвід, на основі якого формується у дітей уявлення про площу і квадратні міри, досить малий, або зовсім відсутній.

Досліджуючи методику вивчення величин в початкових класах як проблему я зрозуміла, що ця проблема є однією з найактуальніших на сьогоднішній день. Ще К.Д. Ушинский підкреслював, що «…як тільки стане можливим, треба дати дітям аршин, сажень, терези, дрібні монети. Нехай учні міряють, зважують, лічать. Це пожвавлює навчання, подобається дітям і закріплює їх навички у лічбі».

Вивчення досвіду класоводів та особливостей навчальної діяльності молодших школярів переконує, що питання вивчення величин дуже складне, але використовуючи різноманітні цікаві форми і методи навчання учні швидко і легкістю опанують знаннями про величини.

Аналіз програми та методичної літератури для вчителів дає можливість констатувати недостатню увагу до питань методики формувань вимірювальних умінь і навичок. На мою думку потрібно більше уваги приділяти даному питанню, щоб молодий недосвідчений вчитель мав змогу звідки черпати корисну і методичноцінну інформацію з даної проблеми.

Вивчення в курсі математики початкової школи величин та їх вимірювань має велике значення в плані розвитку молодших школярів. Це обумовлено тим, що через поняття величини описуються реальні властивості предметів і явищ, відбувається пізнання навколишньої дійсності; знайомство з залежностями між геометричними величинами допомагає створити у дітей цілісні уявлення про навколишній світ; вивчення процесу вимірювання величин сприяє набуттю практичних умінь і навичок, необхідних людині в його повсякденній діяльності. Крім того знання і вміння, пов'язані з величинами і отримані в початковій школі, є основою для подальшого вивчення математики.

За традиційною програмою в кінці четвертого класу діти повинні:

· Знати таблиці одиниць вимірювання величин, позначення цих одиниць. Вміти застосовувати ці знання в практиці вимірювання та при розв'язуванні завдань практичного змісту;

· Знати взаємозв'язок між периметром та площею;

· Вміти застосовувати ці знання до вирішення текстових завдань;

· Вміти обчислювати периметр та площу прямокутника (квадрата).

Концентрична будова програми з математики в початкових класах зумовлює послідовність розгляду й обсяг викладу відомостей про величини, реалізацію освітніх і розвивальних цілей під час опрацювання матеріалу.

Отже, процес навчання учнів величинам ефективний за таких умов:

1) якщо чітко додержуватись етапів роботи при ознайомленні з величинами та одиницями їх вимірювання;

2) використовувати різні види наочності;

3) здійснювати інтегрований підхід до вивчення величин;

4) використовувати творчі вправи при вивченні величин в початковому курсі математики.



2. Методика вивчення площі та одиниць її вимірювання, як невід'ємної складової пропедевтики геометрії у початкових класах

2.1 Ознайомлення з площею та обчислення площі прямокутника

З поняттями «Плоска поверхня» і «викривлена поверхня» учні знайомляться ще в 1-му класі перед тим, як приступити до вивчення плоских геометричних фігур. На даному етапі навчання поняття «Плоска поверхня» дозволяє провести пропедевтичну роботу в плані знайомства з поняттям «площина». При цьому поняття «площина» нас цікавить не сама по собі, а у зв'язку з питанням зображення фігур і предметів на площині. Питання симетрії регулярно розглядається, починаючи з 1-го класу, що продиктоване особливою важливістю формування цього поняття для вивчення реальної дійсності і орієнтації в навколишньому світі. Окрім цього, питання симетрії грають дуже велику роль на уроках трудового навчання [18, 26-27].

Вивчення величин в 1 - 4 класах зводиться головним чином до вивчення нової величини, яка називається «площею». Всі інші питання величинного характеру вивчаються окремо. Знайомство з величиною «площа» можна здійснювати на прикладі аналізу реальної навчальної ситуації, в яку поставлені двоє учнів. Саме на прикладі порівняння виконуваної ними роботи по забарвленню підлоги в двох приміщеннях прямокутної форми з однаковим периметром ми створюємо проблемну ситуацію, рішення якої приводить до необхідності розгляду «нової» величини, так званою площею. Оскільки безпосереднє порівняння площ в даній ситуації виконати неможливо, то вже на цьому етапі ми пропонуємо проводити таке порівняння фактично за допомогою вимірювання, яке виражається в розбитті на одиничні квадрати.

Перш за все площа виділяється як властивість плоских предметів серед інших їх властивостей. Вже дошкільнята порівнюють предмети за площею (не називаючи саме слово «площа») і правильно встановлюють відношення «більше», «менше», «дорівнює» («однаково»), якщо порівнювані предмети дуже різко відрізняються один від одного або зовсім однакові. При цьому діти користуються накладенням предметів чи порівнюють їх віч-на-віч, зіставляючи предмети. Наприклад, лист берези менший, ніж лист клена, каток біля школи більший, ніж біля нашого будинку, всі млинці однакові - не більші і не менші і т. п. Однак, порівнюючи предмети, у яких форма різна, а відмінність площ не дуже чітко виражено, діти відчувають труднощі. У цьому випадку вони замінюють порівняння за площею порівнянням за довжиною або за шириною предметів, тобто переходять на лінійну протяжність, особливо в тих випадках, коли по одному з вимірів предмети сильно відрізняються один від одного [7, 22-23].

Саме у 4 класі учні ознайомлюються з поняттям площі. Для цього відводиться 7 уроків:

· Урок 1. Ознайомлення з поняттям площі.

· Урок 2. Обчислення площі прямокутника.

· Урок 3. Закріпленя вивченого матеріалу про площу.

· Урок 4. Вивчення одиниць вимірювання площі. Ознайомлення з таблицею мір площі.

· Урок 5. Закріплення вивченого матеріалу про одиниці вимірювання площі.

· Урок 6. Знаходження сторони прямокутника за відомою площею.

· Урок 7. Знаходження площі за допомогою палетки.

Вчитель повідомляє про те, що в розмовах, передачах по радіо, телебаченню часто можна почути: посівна площа, житлова площа, площа квартири, площа класної кімнати; що серед предметів, що нас оточують, багато таких, поверхня яких має форму трикутника, прямокутника, круга (дно каструлі - круг; підлога, стіни кімнати, класна дошка - прямокутники), кожна з них має площу.

Порівнюючи площі фігур, виставлених на набірному полотні (наприклад круг, трикутник, квадрат), діти встановлюють, що квадрат займає більше місце, ніж круг або трикутник. Учитель констатує про те, що в такому разі говорять, що площа квадрата більша, ніж площа кожної іншої фігури. Він зазначає, що площа - це величина, яку можна не тільки порівнювати, а й виміряти.

Ознайомлення з площею можна провести так:

«Подивіться на фігури, прикріплені до дошки, і скажіть, яка з них займає більше всіх місця на дошці. У цьому випадку говорять, що площа квадрата більша, ніж площа кожного трикутника. Порівняйте площу трикутника і квадрата (площа трикутника менша, ніж площа квадрата). Подивіться, я порівняю ці фігури накладанням - трикутник займає тільки частину квадрата, отже, дійсно площа його менша площі квадрата. Порівняйте площі обох трикутників (у них площі однакові, вони займають однакове місце на дошці, хоча розташовані по-різному). Перевірте накладанням. Аналогічно порівнюються за площею інші фігури.

Найважливішим етапом у вивченні величини «площа» є розгляд питання про обчислення площі прямокутника. Саме при вивченні цього питання учні вперше стикаються з можливістю встановити шукану величину не за допомогою її безпосереднього вимірювання, а за допомогою обчислення на основі вимірювання іншої величини (інших величин). В даному випадку такою допоміжною величиною є довжина. Абсолютно очевидна велика пропедевтична значущість вивчення цього питання: йдеться про перспективу вивчення не тільки всього шкільного курсу математики, але і про перспективу вивчення інших шкільних курсів і раніше всього курсу фізики. Саме при вивченні даної теми учні вперше стикаються з використанням повноцінної формули (формули площі прямокутника), записаної з використанням буквених виразів. Надалі ця практика тільки розширюватиметься і удосконалюватиметься. При вивченні величини «площа» вчитель не повинен забувати і про те, що до цього напряму роботи тісно примикають і відповідні теми геометричного характеру. До таких тем відносяться: «Складання і розрізання фігур», «Висота трикутника». Вивчення даних тем не тільки важливе і цікаве для учнів саме по собі, але і дуже корисне в плані глибшого розуміння питань, що мають відношення до поняття площі.

У процесі подальшого вимірювання й обчислення площі прямокутника, розв'язування задач на обчислення площі слід мати на увазі такі моменти:

1.Діти повинні достатньо практикуватися у вимірюванні площ прямокутників на моделях та малюнках.

2. Кожен учень має виконати 2-3 завдання на вимірювання площі класної дошки, вікна, поверхні кришки стола, підлоги, стіни класної кімнати, земельної ділянки.

3. Треба розв'язати достатню кількість задач на обчислення площ прямокутника, сторони якого виражені складеними іменованими числами. Саме тоді стане зрозумілою вимога правила про те, що довжину і ширину прямокутника необхідно вимірювати однією і тією самою мірою. Розв'язування задач на обчислення площі потрібно поєднувати з розв'язуванням задач на обчислення периметра [5, 219].

4. Слід практикувати обчислення площі прямокутних ділянок за планом.

На наступному етапі учні знайомляться з прийомом обчислення площі прямокутника (квадрата). Спочатку розглядають прямокутники, які вже розділені на квадратні сантиметри. Їх площу знаходять шляхом підрахунку квадратних сантиметрів в одному ряду, а потім отримане число множать на число рядів. Наприклад, якщо в одному ряду 6 кв. см, а таких рядів 5, то площа дорівнює 6 - 5, тобто 30 кв. см. Дуже важливо при цьому встановити відповідність між довжиною прямокутника і числом квадратних сантиметрів, прилеглих до довжини; шириною прямокутника і числом рядів. Наприклад, якщо в ряду 6 кв. см, то довжина прямокутника 6 см, а якщо рядів 5, то ширина прямокутника 5 см. Потім діти креслять прямокутник за заданими довжинами сторін, розбивають його на ряди, а один ряд на квадрати і знову переконуються у відповідності: якщо довжина 4 см, то в одному ряду, прилеглому до цієї сторони, міститься 4 кв. см, якщо ширина 3 см, то таких рядів виявляється 3. Число квадратних сантиметрів дорівнює добутку чисел 4 і 3. Робиться висновок: щоб обчислити площу прямокутника, потрібно знати його довжину і ширину (в однакових одиницях) і знайти добуток цих чисел.

Порівнявши різні способи знаходження площі, діти самі можуть вирішити питання, що легше: виміряти довжину і ширину прямокутника і отримані числа перемножити або розбити прямокутник на квадратні сантиметри і порахувати їх. Далі включаються усні і письмові завдання на обчислення площі прямокутників (квадратів) і периметрів цих фігур. Дуже корисні вправи в обчисленні площі і периметра фігур, складених з декількох прямокутників. Тут учням доводиться обчислювати площі кожного прямокутника, а потім знаходити їх суму, тобто площа заданої фігури. У процесі вирішення завдань на обчислення площі та периметра прямокутників слід показати, що фігури, які мають однакову площу, можуть мати неоднакові периметри, і що фігури, що мають однакові периметри, можуть мати неоднакові площі. Наприклад, це легко спостерігати при заповненні таблиці види:

Довжина	7 см	6 см	5 см	4 см
Ширина	1 см	2 см	3 см	4 см
Периметр	16 см	16 см	16 см	16 см
Площа	1см2	12 см2	15 см2	16 см2

По таблиці учні креслять прямокутники зазначених розмірів, обчислюють площу та периметр і записують їх у таблицю. Наочні ілюстрації допомагають дітям усвідомити спостережувані співвідношення. Легко помітити, що найбільшу площу при однаковому периметрі мають прямокутники з рівними сторонами (квадрати). Аналогічну роботу можна провести за спостереженням зміни периметра в залежності від зміни довжини сторін при однаковій площі (наприклад, прямокутники зі сторонами 12 см і 2 см, 8 см і 3 см, 6 см і 4 см).

2.2 Особливості вивчення одиниць вимірювання площі у початкових класах

Окремий урок відводиться для ознайомлення учнів з новими одиницями вимірювання площі. Вводиться перша стандартна одиниця площі. До цієї «першої» стандартної одиниці можна віднести - квадратний сантиметр. Такий вибір продиктований наступними причинами:

1) квадратний сантиметр зручно ілюструвати,

2) у квадратних сантиметрах зручно проводити вимірювання (необхідні ілюстрації можна помістити на сторінки підручника),

3) має місце аналогія з вибором «першої» стандартної одиниці довжини.

Не завжди так легко встановити, яка з двох фігур має більшу (меншу) площу або вони однакові за площею. Щоб показати це учням, можна запропонувати їм порівняти вирізані з паперу прямокутник і квадрат, які значно відрізняються за площею, наприклад: розміри квадрата 4 Ч 4 см, а прямокутника 5 Ч 3 см, при цьому фігури із зворотного боку розбиті на квадратні сантиметри.

Спочатку учні намагаються порівняти ці фігури віч-на-віч шляхом накладення. Однак обидва способи не допомагають дітям вирішити питання переконливо. Вислухавши різні припущення, вчитель повертає фігури тією стороною, на якій зроблено розбивка на квадрати, і пропонує порахувати, скільки однакових квадратів містить кожна фігура. На цій основі діти встановлюють, площа якої фігури більша, а якої - менша. Аналогічні вправи на порівняння площі фігур, складених з однакових квадратів виконуються за підручником, а також за кресленнями, даними на дошці. Діти переконуються в тому, що якщо фігури складаються з однакових квадратів, то площа тієї фігури більша (менша), яка містить більше (менше) квадратів.

Корисно на цьому ж уроці розглянути такий випадок, коли різні за формою фігури мають однакову площу, тому що містять однакове число квадратів (наприклад, квадрат - 16 кв. одиниць і прямокутник - 16 кв. одиниць.). На наступних уроках включаються вправи на підрахунок квадратів, що містяться в заданих фігурах, пропонується накреслити в зошитах фігури, які складаються з певної кількості квадратів (клітинок зошита). У процесі таких вправ починає формуватися поняття про площу як про число квадратних одиниць, що містяться в геометричній фігурі.

На наступному етапі учнів знайомлять з першої одиницею площі - квадратним сантиметром. Учні креслять у зошитах, вирізають з паперу в клітинку квадрати зі стороною 1 см. Учитель повідомляє: «Це одиниця площі - квадратний сантиметр».

Використовуючи паперові моделі квадратного сантиметра, діти складають з них різні геометричні фігури і знаходять підрахунком їх площі. Порівнюючи площі складених фігур, діти ще раз переконуються, що площа тієї фігури більша (менша), яка містить більше (менше) квадратних сантиметрів. Площі фігур, що містять однакове число квадратних сантиметрів, рівні, хоча фігури можуть не поєднуватися при накладенні. Ефективний на цьому етапі прийом зіставлення знайомих дітям величин-довжини відрізка і площі фігури, який допомагає попередити зсув цих величин. Виконуючи конкретні вправи, виявляють деяку схожість і істотну відмінність цих величин: сантиметр - одиниця довжини; квадратний сантиметр-одиниця площі; довжина відрізка - число сантиметрів, які містяться в даному відрізку; площа фігури - кількість квадратних сантиметрів, що містяться в цій фігурі.

Далі учні знайомляться з квадратним дециметром.

Як і при введенні квадратного сантиметра, перш за все формується наочний образ нової одиниці: діти креслять на картонному папері квадрат зі стороною 1 дм і потім вирізають його, складають фігури з декількох квадратних дециметрів, називаючи їх площа і периметр. Встановлюється відношення між квадратним дециметром і квадратним сантиметром. Учні самі обчислюють площу квадрата зі стороною 1 дм в квадратних сантиметрах і записують: 1 кв. дм = 100 кв. см.

Потім діти вчаться переводити одні одиниці вимірювання площі в інші і навпаки. Вирішуються завдання на обчислення площі прямокутників (квадратів) і фігур, складених з прямокутників, сторони яких задані в дециметрах або в дециметрах і сантиметрах.

Важливим моментом у вивченні питання про співвідношення одиниць площі є встановлення залежності, що існує між співвідношенням одиниць площі і співвідношенням відповідних одиниць довжини. Цей зв'язок може бути виражений за допомогою множення на відповідне «кругле» число, тому зовсім не випадкове вивчення даних тем передує розгляду питань про множення на число 100 і на число 10 000. Що стосується вивчення такої одиниці площі, як квадратний міліметр, то воно здійснюється абсолютно аналогічно.

Надалі наочне уявлення про одиниці вимірювання площі фігур закріплюються. Включаються вправи на знаходження площі фігур, розбитих на квадратні сантиметри, квадратні дециметри. Пропонується при підрахунку квадратних сантиметрів групувати їх по рядах або стовпцях, щоб прискорити знаходження їх загального числа.

2.3 Методика знаходження площі за допомогою палетки

Для наближеного вимірювання площ плоских фігур можна використовувати різні.прилади, зокрема, палетку. …………………………….

Палетка-це прозора пластина, на якій нанесена мережа квадратів. Сторона квадрата приймається за 1, і чим менша ця сторона, тим точніше можна виміряти площу фігури.

Накладаємо палетку на дану фігуру. Квадрати, які мають з фігурою спільні точки і лежать всередині фігури, утворюють багатокутну фігуру. Площі знаходять простим підрахунком квадратів. За наближене значення площі фігури приймається середнє арифметичне знайдених площ.

У початковому курсі математики учні вимірюють площі фігур за допомогою палетки таким чином: підраховують число квадратів, які лежать всередині фігури, число квадратів через які проходить контур фігури; потім друге число ділять навпіл і додають до першого. Отриману суму вважають площею фігури

Палетка дозволяє виміряти площу фігури з певною точністю. Щоб отримати більш точний результат, потрібно взяти палетку з більш дрібними квадратами. Але можна зробити інакше: накласти одну і ту ж палетку на фігуру по-різному і знайти кілька наближених значень площі фігури. Їх середнє арифметичне може бути кращим наближенням до чисельного значенням площі фігури.

Для ознайомлення учнів з палеткою як інструментом для вимірювання площі фігур можна скористатися прийомом аналогії (масштабна лінійка призначена для вимірювання довжини відрізка, палетка - для вимірювання площі фігури). Розкриваючи мету уроку, вчитель повідомляє дітям, що раніше вони знаходили площу фігури тільки прямокутної форми і робили це за правилом. Тепер потрібно навчитись з допомогою особливого пристрою знаходити площу фігур, що мають форму круга, будь-якого многокутника або фігури будь-якої форми. На фігуру накладають палетку - прозору плівку або пластинку, поділену на квадрати, - і лічать, скільки квадратів цієї палетки накладається на дану фігуру.

На дошці вчитель креслить довільну криволінійну фігуру, накладає на неї палетку, показує спосіб підрахунку повних і неповних квадратів. (Палетка вчителля поділена на квадратні дециметри). Використовуючи зображення геометричних фігур, учні за допомогою палетки визначають їх площу [5, 219].

Розглядаються і такі фігури, які поряд з цілими квадратними сантиметрами містять і нецілі - половини, а також частки більше або менше, ніж половина квадратного сантиметра.



Слід також ознайомити учнів з перебуванням наближеної площі фігури таким способом: порахувати всі нецілі квадратні сантиметри і загальне число їх розділити на два, потім отримане число скласти з числом цілих квадратних сантиметрів, які містяться в даній фігурі.

Вже при вивченні квадратного сантиметра слід звертати особливу увагу учнів на правильне виконання процесу вимірювання площі, який вимагає такого заповнення вимірюваної фігури (поверхні предмету), при якому одиничні квадрати заповнюють всю фігуру без пропусків і без накладення одного квадрата на іншій за винятком можливої загальної частини межі. Приклад такого правильного заповнення вимірюваної фігури одиничними квадратами можна наочно продемонструвати, використовуючи палетку як вимірювальний прилад. Бажано, щоб на відповідному уроці кожен учень мав можливість самостійної роботи з палеткою. З цією метою можна застосовувати «саморобні» палетки.

У цей же час приступають до зіставлення площі і периметра багатокутників з тим, щоб діти не змішували ці поняття, а в подальшому чітко розрізняли способи знаходження площі і периметра прямокутника. Виконуючи, практичні вправи з геометричними фігурами, діти підраховують кількість квадратних сантиметрів і тут же вимірюють периметр багатокутника в сантиметрах.

2.4 Особливості роботи вчителів початкових класів по формуванню поняття площі в учнів

Багаторічний досвід спостереження показує, що учні початкових класів і навіть старших плутають поняття периметр та площу. Відповідно допускають помилки при їх обчисленні і запису отриманих одиниць виміру.

Основна причина змішування цих понять - слабке знання одиниць вимірювання величин і відсутність навичок практичного застосування. У дітей не сформовано дуже важливе поняття про те, що при будь-якому вимірі величин потрібно порівнювати їх з такою ж величиною, прийнятої за одиницю виміру. Діти краще знають одиниці довжини, так як вони вивчають і застосовують їх протягом усіх років навчання в початковій школі починаючи з 1 класу. Вони часто використовують інструменти для вимірювання довжини на уроках математики, трудового навчання і в повсякденному житті. Учні реально представляють натуральні розміри одиниць довжини в один сантиметр, дециметр, метр і гірше представляють натуральну величину кілометра. Це пояснюється тим, що з даною одиницею довжини діти знайомляться на уроці в класі, а не на вулиці, де можна показати довжину кілометра візуально або пройти цю відстань. Одиницями довжини вимірюється і обчислюється периметр геометричних фігур. Спочатку це не викликає ускладнень, немає і помилок при його знаходженні. Помилки починають з'являтися після вивчення правила знаходження площі прямокутника. Діти при визначенні периметра можуть записати у відповіді одиниці площі, а при визначенні площі, навпаки, записати одиниці довжини. Причина змішання одиниць довжини та одиниць площі - недостатня робота вчителя з формування поняття площі, одиниць площі і застосування їх для практичного вимірювання площ різних геометричних фігур прямокутної форми. Діти часто формально заучують правило обчислення площі, не уявляючи того, що шляхом множення довжини на ширину вони знаходять число квадратних одиниць.

У деяких школах України використовується дещо інша методика вивчення теми «Площа прямокутника». Виділяється спеціальний урок, на якому формується поняття площа, виконуються вправи на порівняння площ різних геометричних фігур. Розглянемо фрагмент цього уроку. Учитель бере будь-яку геометричну фігуру, вирізану з картону, наприклад квадрат, і проводить рукою по її поверхні, промовляючи, що цю поверхня фігури називають площею. Таким чином, вчитель показує площі кількох геометричних фігур. На прохання вчителя діти показують рукою площі різних фігур з набору, що лежить у них на парті. Потім вони показують і називають площі різних предметів у навколишньому оточенні класу: столу, дошки, підлоги, двері і т.д. Коли вчитель переконається, що діти правильно називають і показують площі предметів і геометричних фігур, він приступає до порівняння площ. Для цього у нього і у дітей є роздатковий матеріал: різні прямокутники рівної площі, але різного кольору і прямокутники різної площі та різного кольору. Учитель бере два прямокутники різного кольору і шляхом накладання порівнює їх. Діти роблять висновок про рівність площ цих фігур.

Аналогічну роботу діти проводять самостійно з дидактичним матеріалом. Потім вчитель бере два прямокутники з різними площами і шляхом накладання порівнює їх. Діти роблять висновок, що площі цих фігур різні. Таке порівняння діти виконують самостійно на дидактичному матеріалі і роблять відповідні висновки.

Можна попросити дітей порівняти площі підлоги, дверей, класної дошки і поверхні вчительського столу.

Корисно виконати на порівняння площ таку вправу. Учитель вивішує два прямокутники різного кольору, але однакового розміру, Один з них розділений на 8 рівних квадратів, а інший на 32 таких же квадрати. Учитель просить дітей спочатку порахувати, на скільки квадратів розділений перший прямокутник. Записує результат рахунку на дошці. Аналогічна робота проводиться з іншим прямокутником. Потім діти зі знайденого числа квадратів порівнюють площі прямокутників. Як правило, діти роблять помилкові висновки. Але неправильний висновок призводить до розуміння необхідності нових одиниць для вимірювання площ геометричних фігур. Для вимірювання площі лінійні одиниці не придатні, потрібні нові одиниці - одиниці площі. За існуючою методикою дітей спочатку знайомлять з квадратним сантиметром, потім через кілька уроків - з квадратним дециметром і ще через певний проміжок часу - з квадратним метром. Діти бачать ці одиниці частіше за все як демонстрацію, як наочність на уроці і дуже рідко застосовують їх для вимірювання площ прямокутників. Учитель на одному уроці знайомить дітей з одиницею площі і правилом обчислення площі через довжину і ширину прямокутника.

Для усвідомленого розуміння необхідності одиниць площі, для знайомства з ними виділяється спеціальний урок, на якому відразу знайомимо з трьома одиницями площі (квадратний сантиметр, квадратний дециметр, квадратний метр). Урок будуємо так. Спочатку повторюємо одиниці довжини і співвідношення між ними. Складаємо таблицю мір довжини і записуємо її на дошці або в спеціальній таблиці. Особливо наголошуємо, чому їх називають лінійними вимірами. Потім пропонуємо дітям для вирішення проблемну задачу. Учитель вивішує на дошці квадрат і прямокутник рівний площі і пропонує порівняти площі цих фігур. Зазвичай діти беруть лінійки, вимірюють довжину і ширину кожної фігури, але порівняти площі не можуть. Тут приходить на допомогу вчитель. Він говорить, що діти навчилися вимірювати довжину і ширину лінійними одиницями, а вимірювати площу ще не вміють, тому що не знають одиниць для вимірювання площі.

Знайомство з одиницями площі потрібно вести в порівнянні з одиницями довжини, щоб показати їх відмінність. Для вимірювання невеликих довжин предметів використовують сантиметр, для вимірювання невеликих площ застосовують квадратний сантиметр. Квадрат зі стороною один сантиметр і називається квадратним сантиметром. Вчитель робить на дошці запис - 1 см^2. Діти беруть модель квадратного сантиметра зі свого дидактичного матеріалу (у кожної дитини є моделі квадратного сантиметра (не менше 30 штук) для проведення практичних робіт). Потім на цьому ж уроці вчитель знайомить дітей з квадратним дециметром. Він показує квадрат з картону і просить виміряти

довжину його сторони. Показ супроводжує питаннями: яка це фігура? Яка довжина сторони квадрата? Як можна назвати цю одиницю площі? Як записати її? Діти показують модель квадратного дециметра зі свого дидактичного матеріалу, візуально запам'ятовують його розміри. Аналогічно робота проводиться при знайомстві дітей з квадратним метром (модель квадратного метра показується в натуральну величину). Діти повинні бачити одиниці площі в натуральну величину і їх запис. Потім на уроці виконується практична робота. Під керівництвом вчителя діти в зошитах креслять лінійний сантиметр і під ним квадрат зі стороною один сантиметр, лінійний дециметр і квадрат зі стороною один дециметр. Квадратний сантиметр і квадратний дециметр зафарбовують яскравими [13, 37-38].

Наступний урок присвячується застосуванню одиниць площі для вимірювання площі різних прямокутників. На ньому діти засвоюють правило вимірювання площі шляхом накладання на поверхню фігури квадратних одиниць і визначення їх числа перерахуванням. Діти вміють вимірювати довжину одиницею довжини і спеціальним інструментом - лінійкою. Для вимірювання площі такого інструменту немає, але є одиниці виміру - квадратний сантиметр, квадратний дециметр. На уроці вчитель вчить дітей користуватися цими одиницями. Для цього вивішує прямокутник з картону. На ньому тонкі стрічки з гумки (волосіні) для кріплення квадратних одиниць (квадратних дециметрів). Учитель на очах у дітей викладає квадратні дециметри двох кольорів, чергуючи їх рядами, на всій поверхні прямокутника. У результаті квадрати розташовуються, як на шаховій дошці. Діти спостерігають, що прямокутник покритий квадратними одиницями. Це дуже важливо для розуміння вимірювання площі квадратними одиницями. Діти рахують їх. Учитель поруч записує число квадратних одиниць, тобто величину площі. Потім він пропонує дітям взяти на парті прямокутник певного кольору і певного розміру, викласти на його поверхні квадратні сантиметри, перерахувати їх і записати кількість у зошиті. Після перевірки вчитель пропонує накреслити в зошитах прямокутник певного розміру, але так, щоб лінії прямокутника збіглися з лініями клітин зошитового листа. Вважаючи чотири клітинки аркуша за 1 кв. см, просить розфарбувати в два кольори квадратні сантиметри, чергуючи кольору, потім визначити площу цього прямокутника шляхом перерахунку квадратних одиниць. Діти з великим інтересом виконують такі практичні роботи, одночасно усвідомлено засвоюючи поняття про те, що площу вимірюють одиницями площі (у них залишається в пам'яті яскрава сітка квадратних дециметрів або квадратних сантиметрів на поверхні). В якості домашнього завдання пропонується виміряти шляхом накладання квадратного дециметра площу стола або дверей. Для цього достатньо мати одну квадратну одиницю (квадратний дециметр).

На наступному уроці вивчається правило обчислення площі прямокутника. Розглянемо послідовність роботи. Для цього вчителю потрібні прямокутник, на якому було б зручно викладати і кріпити квадратні дециметри, і необхідна кількість квадратних дециметрів двох кольорів. На партах дітей приготовлені прямокутники та необхідну кількість квадратних дециметрів двох кольорів. Прикріпивши до дошки прямокутник розміром 5 дм Ч 4 дм, вчитель просить дітей виміряти його площу. Спочатку він з'ясовує, що розглянутий вище спосіб не завжди зручний для вимірювання площі фігури. Далі запитує, скільки дм² можна викласти в один ряд по довжині прямокутника. (Викладає квадратні дециметри, чергуючи їх кольору.) А скільки таких рядів вкладеться по ширині прямокутника? (Викладає квадратні дециметри по ширині і визначає число рядів.) У бесіді з дітьми вчитель з'ясовує, що якщо в один ряд вклалося 5 квадратних дециметрів, а таких рядів 4, то всього в прямокутнику квадратних дециметрів 20, тобто 20 дм ^2. Це міркування записується на дошці: 5 • 4 = 20 (дм²). Учитель підкреслює, що, розмірковуючи таким чином, ми знайдемо число квадратних дециметрів, або обчислимо площу даного прямокутника. Знову з'ясовуємо незручність такого способу визначення числа квадратних одиниць, або площі прямокутника. Учитель залишає на дошці другий прямокутник з покладеними на нього квадратними дециметрами і

...