Особенности обучения учащихся методом геометрических преобразований в контексте укрупнения дидактических единиц

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Становление и развитие технологии укрупнения дидактических единиц в научной литературе. Блоки взаимосвязанных задач

2. Метод геометрических преобразований плоскости

3. Использование блоков взаимосвязанных задач в обучении учащихся методам геометрических преобразований плоскости

Заключение

Список использованных источников



Введение

В настоящее время в учебных планах, регламентирующих процесс обучения в общеобразовательной школе, наметилась тенденция к сокращению количества часов, отводимых на изучение дисциплин естественно-математического цикла. Одновременно происходит возрастание требований к качеству приобретаемых учащимися знаний, умений и навыков. В связи с этим, в теории и методике обучения математике обострились многие методические проблемы, в том числе, проблема обучения школьников решению задач.

Проблема обучения учащихся средней школы решению математических задач возникают по многим причинам, одна из них тот факт, что учащиеся не владеют методами решения задач, в том числе методами геометрических преобразований. Этот факт обусловлен тем, что в школах не хватает учебных часов, их постоянное сокращения только усугубляет данную проблему. Но решение обозначенной проблемы ним видится в технологии укрупнения дидактических единиц, которая позволяет более изложить учебный материал за меньшее время.

Как показывает анализ научной литературы, проблема укрупнения дидактических единиц получила распространение во многих научных областях. Четкое ее осознание как методической проблемы произошло, начиная с 60-х годов прошлого столетия, в работах методиста-математика П. М. Эрдниева, где она разрабатывалась для повышения эффективности процесса обучения учащихся начальной школы содержанию учебного предмета «Математика». Однако многочисленные исследования в дидактике и предметных методиках (С. В. Алещенко, А. К. Артемов, П. Д. Васильева, Ю. А. Горяев, А. В. Ефремов, Л. Д. Мунчинова, Г. И. Саранцев и др.) обеспечили дальнейшее развитие теории УДЕ. Отдельные ее приемы получили одобрение в практике изучения химии, физики, русского и иностранных языков и т.д., что повлекло за собой некоторое их изменение, модифицирование с учетом специфики изучаемого предмета. Кроме того, теория УДЕ оказалась востребованной для обучения учащихся различных возрастных групп.

Тем не менее, во многих работах, теория укрупнения дидактических единиц, как правило, рассматривается исследователями лишь применительно к системе знаний в их традиционном понимании. Тогда как сегодня актуально понимание знания как деятельности. Основным элементом деятельности выступает действие, но возможность использования теории УДЕ для формирования каких-либо действий специально не исследуется. В нашей работе мы раскрыли такое направление, разработав отдельные методические аспекты для обучения учащихся методам геометрических преобразований плоскости в контексте укрупнения действий, соответствующих методам, и их совокупностей.

Таким образом, актуальность нашего исследования определяет возникшее противоречие между необходимостью качественного обучения учащихся методам геометрических преобразований в контексте деятельностного подхода и особенностями традиционной методики обучения учащихся основной школы.

Цель курсовой работы: Выделить особенности обучения учащихся методом геометрических преобразований в контексте УДЕ.

Задачи курсовой работы:

1) исследовать методы геометрических преобразований плоскости;

2) проанализировать проблему УДЕ в научной литературе и обосновать её использование в обучении учащихся методам геометрических преобразований плоскости;

3) изучить понятие блока взаимосвязанных задач, выделить приёмы образования таких блоков;

4) разработать конкретные блоки взаимосвязанных задач для обучения учащихся методам геометрических преобразований плоскости.



1. Становление и развитие технологии укрупнения дидактических единиц. Блоки взаимосвязанных задач

С античных времен в науке известна фундаментальная философская проблема целостности (проблема соотношений части и целого), положившая начало возникновению и развитию идеи укрупнения. С течением времени данная идея в том или ином качестве находит свое отражение во многих научных областях (педагогике, психологии, теории познания сложных систем и др.). При этом в методике преподавания математике она впервые получила статус дидактической проблемы. Поскольку именно методист-математик П. М. Эрдниев, взяв эту идею за основу, с 60-х годов прошлого столетия начал разрабатывать одноименную теорию - теорию укрупнения дидактических единиц (УДЕ).

Согласно работам П. М. Эрдниева, центральной мыслью теории УДЕ явилось положение о необходимости осуществления укрупненного подхода к содержанию учебного материала, предполагающего совместное рассмотрение, в связях и переходах, целостных групп родственных (взаимосвязанных) единиц этого содержания, или, более коротко, рассмотрение таких единиц крупными блоками. В дальнейшем это положение облеклось в авторских разработках в форму одного из методических приемов, способствующего реализации данной теории на практике: приема совместного и одновременного изучения взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т.п. (в частности, взаимно обратных). Данный прием, по мнению многих исследователей, выполняет основную функциональную нагрузку в осуществлении укрупненного подхода к учебному материалу, а остальные - как бы подчинены ему, хотя каждый из них может использоваться как вполне самостоятельный. К таким «вспомогательным» приемам относят:

1) применение в процессе обучения деформированных упражнений;

2) использование метода обратных задач;

3) обращение структуры упражнений;

4) освоение и составление школьниками графсхем суждений и доказательств;

5) матричная (табличная) фиксация учебной информации;

6) усиление удельного веса творческих заданий. Однако несмотря на относительную самостоятельность каждого из перечисленных приемов, больший эффект в учебном процессе достигается посредством их комплексного применения. Это в значительной степени способствует формированию у учащихся системных знаний и обобщенных умений, обеспечивает создание у них целостных представлений об окружающей действительности, развитие познавательного интереса к предмету, а также интенсифицирует процесс обучения за счет использования резервных механизмов мышления обучаемых. При этом резко снижается нагрузка на ученика и значительно сокращается расход учебного времени (по разным данным от 15% до 30%).

Благодаря таким показателям, теория УДЕ заинтересовала многих исследователей. Начались поиски возможностей некоторого совершенствования ее приемов и основных положений.

Примером такого практического изменения в методике преподавания математики может служить обучение по системе В. Ф. Шаталова, когда на уроках учитель использует так называемые листы с опорными сигналами, представляющими собой систему взаимосвязанных ключевых слов, условных знаков, рисунков, чертежей, с помощью которой кодируется крупная единица, блок информации - учебный раздел, тема или несколько параграфов. То есть лист с опорными сигналами - это действительно один из вариантов образования блоков из учебного материала. Также можно выделить иные формы блочного изложения учебного материала, используемые при изучении и других учебных дисциплин (опорные конспекты, структурно-логические схемы, обобщающие и сводные таблицы, блок - конспекты и т.д.), а также блочное представление учащимся школьных задач, в частности, математических. В качестве примера преобразования теоретических положений теории УДЕ по П. М. Эрдниеву в контексте обучения математике можно привести направление, представляемое в работах А. К. Артемова и обозначаемое им как изначальное формирование у учащихся обобщенных умений в максимально возможной широте обобщения. Анализ этого направления показывает, что при его реализации движение человеческой мысли, как правило, осуществляется от общего к частному, что качественно отличает его от варианта П. М. Эрдниева, представляющего скорее индуктивный путь укрупнения знаний.

Согласно П. М. Эрдниеву выделяются следующие принципы технологии УДЕ, базирующиеся на соответствующих им закономерностям и реализующиеся через систему правил:

Принцип перехода педагогического управления в самоуправление учащихся в учебной деятельности опирается на следующую закономерность: в развитии творческих способностей учащихся достигается тем большая эффективность, чем больше используются возможности и средства самоуправления учащихся.

Правила реализации этого принципа:

1) все, что учащиеся в учебной деятельности способны выполнить без помощи извне, они должны выполнять самостоятельно;

2) учащиеся должны учиться самостоятельно, составлять и формулировать обратные задачи, решать их, тем самым формировать процесс работы с задачей, вырабатывать навык самопроверки;

3) в учебный процесс должны включаться задания не только по решению задач, но и самостоятельного их составления по указанной формуле, аналогичные, усложненные;

4) учитель должен систематически использовать возможность самоорганизации учащихся и преимущественно опираться на средства косвенного и перспективного управления учебной деятельностью. При этом под косвенным управлением имеется в виду управление деятельностью учащихся через подбор системы творческих задач и заданий.

Принцип обращения структуры упражнений базируется на закономерности, установленной физиологами: в основе всей психической деятельности находятся циклические, кольцевые процессы, поток информации проходит по замкнутым путям [1, c. 198]. Принцип обращения структуры упражнений реализуется через следующие правила:

1) в систему упражнений должны включаться деформированные, обращенные задания;

2) составление обратных задач, когда искомым элементом последовательно выступает каждый элемент данного выражения (данной задачи).

Принцип системности знаний базируется на следующей закономерности: знания учащихся приобретают системные качества, а не становятся неорганизованным набором сведений, если освоение знаний осуществляется укрупненными порциями, и элементы знания образуют укрупненную единицу усвоения, лишь благодаря многообразным связям между этими элементами.

Принцип системности знаний реализуется через следующие правила:

1) совместное изучение взаимосвязанных вопросов, теорем, свойств, признаков;

2) построение блока задач на основе одной заданной ситуации;

3) не рассматривать на уроке вопросов, не вносить в план пунктов, на основательное рассмотрение которого не рассчитываете, и нет логической связи с предыдущим материалом;

4) повторение через преобразование знания, через его укрупнение;

5) использование схем, планов для того, чтобы обеспечить усвоение учащимися системы знаний.

Сформировавшаяся система знаний - важнейшее средство предотвращения их забывания. Забытые знания быстрее восстанавливаются в системе.

Принцип генерализации информации в процессе учебно-творческой деятельности в целях саморазвития творческих способностей личности. Поскольку информация - поток информации научных знаний - в мире с каждым годом увеличивается в геометрической прогрессии, то в любом виде учебно-творческой деятельности, в том числе и творческой, возникает потребность ее уплотнения - генерализации.

Правила реализации принципа:

1) уделить внимание применению общеучебных умений, искать общие способы, подходы решения творческих задач;

2) укрупнение должно представлять процесс восхождения от абстрактного к конкретному и воссоздание связей исходной единицы с общей структурой знания;

3) использование схем, планов, таблиц [11].

В тоже время, развитие теории УДЕ не ограничилось лишь рамками изучения учебного предмета математики. Многочисленные исследования в дидактике и частных методиках (С. В. Алещенко, П. Д. Васильева, Л. Д. Мунчинова, Г. И. Саранцев и др.) показали педагогическую эффективность ее использования в изучении и других учебных дисциплин: физики, химии, лингвистики и т.д. Вполне естественным следствием этого явилось некоторое преобразование отдельных приемов данной теории с учетом специфики того или иного предмета. Например, в химии была отмечена возможность параллельного изучения веществ с противоположными свойствами (кислород - водород). В физике появился так называемый укрупненный опыт, предполагающий одновременное проведение нескольких экспериментов, позволяющих комплексно раскрыть перед учениками сущность взаимосвязанных явлений, процессов, физических понятий и т.д.

В то же время в какой-то момент теория УДЕ стала развиваться и в ином направлении. А именно: она стала находить свое приложение не только в обучении учащихся начальной школы (как задумывалось изначально), но и средних и старших классов, а также студентов вузов и даже детей дошкольного возраста и аспирантов. При этом основные положения теории, как правило, всегда специализируются с учетом предметного содержания и возрастных особенностей обучаемых. Так, Б. П. Эрдниев и П. М. Эрдниев исследовали проблему единого изложения родственных вопросов двух предметов математического цикла, изучаемых в вузе (аналитической геометрии и линейной алгебры), в результате чего предприняли попытку создания единого укрупненного учебного предмета «Линейная математика».

Приведенный пример позволяет выделить еще одно специфическое преобразование теории УДЕ, направленное на установление внутрипредметных и межпредметных связей. Оно находит свое отражение в хорошо известной идее фузионизма, предполагающей совместное изучение планиметрии и стереометрии, и даже в документах, регламентирующий процесс обучения в средней школе. Поскольку в последних изданиях базисного плана образовательных учреждений Российской Федерации имеют место так называемые образовательные области, включающие в себя несколько учебных предметов на основе различных связей между ними.

Таким образом, теория укрупнения дидактических единиц с момента зарождения идеи укрупнения в целом прошла долгий путь своего развития, претерпевая различные изменения. Условно этот путь можно разделить на несколько основных этапов, наглядно представленных на рисунке 1 (двойными стрелками указаны переходы от одного этапа к другому):

1) неосознанное восприятие проблемы УДЕ;

2) ее четкое осознание как методической проблемы, разработка теории УДЕ;

3) совершенствование основных положений теории УДЕ.

В современный период с учетом вышесказанного можно выделить новый акцент в совершенствовании научных положений теории УДЕ. В большинстве ранних работ, связанных с исследованием различных аспектов данной теории, как правило, либо она сама выступает в качестве объекта исследования, либо, в противном случае, все варианты ее использования в учебном процессе рассматриваются через содержание изучаемых предметов. Тогда как в последнее время предметное содержание нередко характеризуется действиями. Например, содержание предмета математики может быть представлено совокупностью таких компонентов, как задачи, теоремы, математические понятия, методы решения задач и т.д., каждому из которых соответствует система конкретных действий. Подобные взгляды способствуют появлению работ, в которых реализуется укрупненный подход к формированию действий. Это позволяет сегодня рассматривать теорию УДЕ как динамичную и вариативную конструкцию обучения, которая еще не исчерпала своего творческого, исследовательского потенциала.

Рисунок 1

Действительно, подобные взгляды привели И. В. Ульяновой деятельностной концепции УДЕ, реализующей в обучении укрупнённый подход к формированию действий, адекватных изучаемым содержательным компонентам обучения математике. В соответствии с данной концепцией основным средством формирования у учащихся соответствующих укрупнённых действий выступают блоки укрупнённых задач. Их можно легко образовывать, в частности, развивая тему решаемой задачи на заключительной стадии работы с ней. Этот этап - хороший полигон для развития творческой инициативы учащихся, вариативности и самостоятельности их мышления, поскольку его реализация, кроме всего прочего, предполагает составление новых задач, в том числе укрупняющих действия по решению исходной задачи. Остановимся на таких блоках более подробно.

В 1912 году на первом съезде преподавателей математиков в докладе К. Ф. Лебединцева [15] отмечалось, что «если пересмотреть сборники задач по всем отделам математики, то можно убедиться, что входящие в них задачи состоят из ряда вопросов, чисто механически связанных в одно целое». Впервые связать разрозненный задачный материал по математике попытался П. Цветков, уже спустя пару-тройку лет опубликовав сборник задач, расположенных по «новой системе», и методические рекомендации по их решению [10; 19], Под «новой системой» автор понимал задачи, взаимосвязанные между собой содержанием и решением. Построение данной системы П. Цветков осуществлял на основе простой задачи с решением в одно действие. Затем одно из данных этой задачи автор делал неизвестным, но при этом для его нахождения добавлял ряд утверждений. Таким образом, возникала новая задача .

Для составления других задач такой процесс повторялся нужное количество раз, при этом каждая последующая задача опиралась на результат решения предыдущей.

В итоге подобных преобразований возникает целый цикл взаимосвязанных задач, процесс конструирования которых наглядно можно изобразить в виде схемы, представленной на рисунке 2.

Приведем пример цикла задач 1.1-1.3, образованных по данной схеме.

1.1 В четырехугольнике ABCD AD=BC, Докажите, что (Структура задачи -

1.2 В четырехугольнике ABCD отрезок BD пересекает диагональ AC в её середине O. Докажите, что , если . (Новая структура - , так как здесь равенство «AD=BC» заменяется утверждением, что «BD пересекает AC в её середине O». Из этого легко вытекает равенство треугольников AOD и BOC, приводящее решающего к замененному равенству).

1.3 В четырехугольнике ABCD диагонали точки пересечения делятся пополам. Докажите, что , так как исходные равенства сторон AD, BC и углов CAD, ACB, замененных, соответственно, неявными утверждениями, что AO=OC, а BO=OD, легко находятся из ставшего очевидным равенства треугольников BOC и AOD).

С течением времени циклы взаимосвязанных задач, именуемые авторами блоками, системами, совокупностями и т.д., не раз становились объектами исследования. Сегодня примеры таких блоков можно встретить в работах Э. Г. Готмана, Г. В. Дорофеева, Т. М. Калинкиной, Е. С. Канина, И. Я. Куприяновой, И. Я. Кушнира, Н. С. Мельник, Г. И. Саранцева, Г. В. Токмазова, И. В. Ульяновой, Б. Ф. Харитонова, П. М. Эрдниева и многих других. В основу составления циклов таких задач авторами кладется либо содержательный аспект взаимосвязи между задачами, либо деятельностный (на основе деятельности, но их решению).

Первый аспект оказывается более распространенным. Многие исследователя при составлении задачных блоков опираются именно на непрерывность линии содержания. Хотя используемые ими при этом принципы объединения задач в такие блоки нередко различаются. Это может быть общая конфигурация, встречающаяся в каждой задаче и являющаяся ключом к ее решению (Б. Ф. Харитонов), или различные вариации одной и той же конфигурации (Э. Г. Готман, И. А. Кушнир), или одна и та же «окрестность» задач, то есть определенный круг понятий, теорем, методов рассуждений и т.д.

Наиболее популярной основой объединения задач в блоки выступает принцип «рассмотрения и составления задач, порожденных данной, или, иначе говоря, задач, развивающих тему одной задачи» (И. Е. Дразнин, Т. М. Калинкина, Е. С. Канин, Г. В. Токмазов, П. М. Эрдниев и др.). Действительно, если рассмотреть, к примеру, укрупненное упражнение П. М. Эрдниева - «главное оружие теории УДЕ» [21], представляющее собой «многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, по психологически состыкованных в некоторую целостность частей, например: а) решение обычной «готовой» задачи; б) составление обратной задачи и ее решение; в) составление аналогичной задачи по данной формуле (тождеству) или уравнению и решение ее; г) составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей; д) решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным параметрам исходной задачи», то нетрудно заметить, что оно представляет собой блок взаимосвязанных задач, в котором одна задача («готовая») является основной, а другие - ее производными, полученными на ее основе. При этом автор явно не выделяет приемы образования новых задач, но они четко прослеживаются из указанных пунктов б) - д).

Подобно П. М. Эрдниеву, некоторые авторы, приводя примеры готовых блоков взаимосвязанных задач, также не раскрывают механизма их получения (Н. С. Мельник). Однако в ряде научно-методических работ такие приемы прописаны достаточно четко. Например, Е. С. Канин выделяет следующие приемы составления новых задач [6]:

1) замена части данных в исходной задаче другими данными без замены заключения задачи;

2) обобщение данных или исходных;

3) специализация данных или исходных;

4) добавление новых заключений при сохранении данных;

5) замена части данных исходной задачи ее искомыми (часть данных принимается за искомые, а некоторые искомые считаются данными), т.е. путем обращения задачи.

Впервые наиболее полно методика использования блоков взаимосвязанных задач в обучении математике была исследована и раскрыта в диссертационном исследовании Т. М. Калинкиной «Динамические задачи как средство совершенствования процесса обучения геометрии в средней школе» [15]. Под динамическими задачами автор понимает совокупность задач, построение которых удовлетворяет одному или нескольким требованиям:

1) условие последующей задачи использует результат решения предыдущей;

2) в решении задачи используется результат предыдущей задачи;

3) задачи являются элементами основной задачи;

4) условия задачи одинаковы, а требования различны;

5) требования задач одинаковы, а условия задач являются производными от условия исходной задачи.

Данное определение обусловливает совокупность выделяемых Т. М. Калинкиной приемов составления блоков динамических задач, в которую входит построение взаимообратных и противоположных задач, обобщение и конкретизация задач, рассмотрение задач-аналогов, расчленения условия и требования задачи на части и включение их в новые связи, составление задач на основе использования в них результата решения предыдущих задач.

Подробно исследуя различные аспекты включения динамических задач в учебный процесс, Т. М. Калинкина отмечает, что методика их использования на уроках геометрии предполагает организацию работы трех видов:

1) работу по готовым, составленным учителем, динамическим задачам;

2) совместную деятельность учителя и ученика по получению динамических задач;

3) организацию деятельности по самостоятельному составлению динамических задач учениками.

Дальнейшие исследования в области разрешения проблемы использования блоков взаимосвязанных задач в обучении математике показали, что указанные этапы имеют смысл и для включения в процесс обучения учащихся задач, взаимосвязанных между собой в контексте деятельностного аспекта, т.е. на основе деятельности по их решению.

Попытки связать воедино несколько задач, учитывая какую-либо взаимосвязь между их решениями, встречались в методической литературе неоднократно. Но, в целом, они сводились либо к использованию в условии или решении новой задачи результата решения предыдущей задачи, либо к объединению задач на основе общего метода, приема или способа их решения.

Более глубоко, на наш взгляд, связь между решениями задач раскрывается лишь в блоках, так называемых укрупненных задач - конструкциях, содержащих в себе две или более задачи, взаимосвязанные между собой так, что решение каждой последующей из них включает в себя как составную часть решение одной из предшествующих ей задач, расширяя его (укрупняя) посредством выполнения одного или нескольких новых действий [16; 18]. Приемами образования таких блоков выступают [16; 17]:

1) замена требования задачи каким-либо новым требованием;

2) расширение чертежа задачи;

3) обращение задач;

4) замена условия задачи каким-либо новым условием.

Современные исследования показывают, что блоки укрупненных задач можно использовать на уроках математики как средство достижения различных образовательных целей: формирования у учащихся математических понятий, организации их работы с теоремой, осуществление контроля за уровнем усвоения школьниками изучаемого учебного материала и др. Работа с такими блоками эффективно способствует активизации мыслительной деятельности обучаемых, воспитания у них многих положительных личностных качеств, систематизации и обобщения их знаний, умений и навыков и т.д. В соответствии с темой нашей курсовой работы ниже представим примеры таких блоков взаимосвязанных задач, предназначенных для формирования у учащихся действий, адекватных методам геометрических преобразований плоскости. Однако прежде на таких действиях остановимся подробно.

2. Метод геометрических преобразований

дидактический обучение геометрический преобразование

Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого задача может быть решена.

Процесс овладения умением решать задачи методом преобразований требует не только знания самих преобразований, но и активного использования общей геометрической и графической культуры, что в свою очередь, оказывает положительное влияние на развитие геометрической интуиции, необходимой при решении любых задач.

Рассмотрим применение этого метода по каждому отдельному геометрическому преобразованию.

Метод геометрических преобразований делится на следующие методы:

1) метод параллельного переноса;

2) метод осевой симметрии;

3) метод поворота;

4) метод центральной симметрии;

5) метод подобия;

6) метод инверсии;

7) метод гомотетии.

В курсе основной школы изучается лишь несколько методов, такие как: метод параллельного переноса, метод осевой и центральной симметрии, метод поворота.

Метод параллельного переноса. Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор. Этим путём иногда удаётся облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур, когда часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и потому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-нибудь часть искомой фигуры переносят параллельно самой себе на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условий задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большое количество данных.

Если, например, даны два отрезка и угол, заключённый между ними, и если один отрезок будет перенесён параллельно самому себе так, чтобы один из его концов совместился с одним из концов другого отрезка, то получится треугольник, из элементов которого известны две стороны и угол, между ними заключённый. Этот треугольник легко может быть построен, что может оказаться полезным при решении задачи.

Особенно часто этим методом параллельного переноса пользуются для построения многоугольников. Иногда также данный метод оказывается полезным при решении задач на «кратчайший путь».

Использование метода параллельного переноса требует овладеть следующими действиями:

1) строить точки, в которые переходят данные точки при параллельном переносе;

2) видеть соответственные при преобразовании точки;

3) выделять элементы, и направление параллельного переноса.

Метод симметрии. Применение осевой симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в некоторых случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки.

Метод симметрии заключается в следующем. Предполагают задачу решённой и одну из данных точек (прямую или окружность) отражают в какой-нибудь известной оси; иногда эта ось проходит через известную точку. Тогда полученную симметричную точку (прямую или окружность) подчиняют тем же условиям, которым должна была удовлетворять заменённая точка (прямая или окружность). После этого получится новая задача, которую решают способами, уже нам известными. Обыкновенно, с решением этой новой задачи предложенная задача уже будет решена сама собой, и только в редких случаях придётся ещё переходить к первоначальным условиям задачи. Таким образом, метод симметрии приводит решение предложенной задачи к решению новой задачи.

Использование осевой симметрии требует овладения следующими действиями:

1) строить образ фигуры при осевой симметрии;

2) выделять при осевой симметрии точки на соответственных при той же симметрии фигуры;

3) видеть ось симметрии фигуры;

4) строить симметричные относительно прямой точки на заданных фигурах.

Метод поворота (вращения) Вращением (поворотом) также пользуются как методом решения геометрических задач на построение. Идея метода вращения состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению. Поясним этот приём несколькими примерами.

Задачи на вращение около точки можно разделить на три группы. Первая группа. В задачах этой группы вращение имеет тот же характер, как и параллельное перенесение, т.е. оно сближает части фигуры в положение, удобное для построения, вводит в чертёж данные, совмещает равные или неравные углы и линии и вообще сводит данную задачу на другую. В задачах этого рода центр вращения непосредственно известен.

Вторая группа. В задачах этой группы при данных центре, угле и отношении вращения требуется отыскать две соответственные точки, лежащие на данных прямых или окружностях. Очевидно, если умножить и повернуть прямую (или окружность) на данные угол, то она встретить другую прямую (или окружность) в искомой точке.

Третья группа. В задачах этой группы даны две линии и на каждой из них по соответственной точке; требуется определить на тех же линиях по новой соответственной точке так, чтобы они удовлетворяли каким-либо условиям; центр вращения неизвестен. Допустим, что имеется достаточно данных для совмещения данных линий и искомых точек. Тогда можно определить центр вращения. Остаётся заметить зависимость между данными, искомыми и центром вращения. Эта зависимость даст указание на решение задачи.

Компонентами умения применять метод поворота являются следующие действия:

1) строить образы фигур при повороте;

2) выделять соответственные при повороте точки на соответственных при этом же повороте фигуры;

3) видеть центр поворота;

4) строить соответственные при повороте точки на любых заданных фигурах;

5) использовать специфические свойства поворота.

Методом подобия Основная идея метода подобия состоит в следующем.

Сначала строят фигуру, подобную искомой, так, чтобы она удовлетворяла всем условиям задачи, кроме одного. Затем строят уже искомую фигуру, как фигуру подобную построенной и удовлетворяющую опущенному требованию.

Метод подобия находит применение обычно в случаях, когда среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные данные - либо углы, либо отношения отрезков.

Обычно целесообразно вспомогательную фигуру строить так, чтобы она была не только подобной искомой, но и подобно расположена ей, успех решения существенно зависит в этих случаях от выбора центра подобия.

При решении задач на построение методом подобия часто полезно воспользоваться следующим замечанием.

Если две фигуры подобны, то коэффициент подобия равен отношению любых двух соответствующих отрезков. Если отрезкам a, b, c, … фигуры Ф соответствуют отрезки aґ, bґ, cґ, … подобной фигуры Фґ, то коэффициент подобия равен также отношениям и т.д.

Компонентами умения применять метод подобия являются следующие действия:

1) использовать специфические свойства преобразования;

2) выделить при методе подобия точки на соответственные при той же симметрии фигуры;

3) строить соответственные при повороте точки на любых заданных фигурах.

Метод инверсии Рассмотрим ещё одно геометрическое преобразование - инверсию, которая даёт возможность решить ряд сравнительно сложных задач на построение, трудно поддающихся решению с помощью других рассмотренных нами приёмов. Новый способ решения конструктивных задач, который мы здесь рассмотрим, носит название метода инверсии, или метода обращения, или метода обратных радиусов. Заметим попутно, что этот метод значительно «моложе» ранее рассмотренных. Инверсию стали изучать впервые лишь в 30-х годах прошлого веках.

Данный метод даёт возможность заменять фигуры, содержащие окружность, более простыми фигурами. Сущность метода инверсии заключаются в следующем. Наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваем фигуры, инверсные им или их частям. Иногда этого оказывается уже достаточно для нахождения таких связей между искомыми и данными, которые нужны для решения задачи.

В большинстве случаев решение задачи сводится к построению фигуры, инверсной искомой, в предположении, что уже построена фигура, инверсная данной. Эта последняя задача, при удачном выборе базисной окружности, может оказаться проще данной задачи. Построив фигуру, инверсную искомой, затем строят искомую фигуру. Метод инверсии даёт возможность решить ряд наиболее трудных конструктивных задач элементарной геометрии.

Компонентами умения применять метод интроверсии являются следующие действия:

3) использовать специфические свойства преобразования;

4) строить соответственные при преобразовании точки на любых заданных фигурах;

5) строить образы фигур при данном преобразовании.

Недостатком этого метода является его громоздкость, связанная с необходимостью выполнять большое число построений.

Метод гомотетии Преобразование фигуры, при котором каждая её точка переходит в точку полученную построением, называется гомотетией относительно центра О. Гомотетия, есть преобразование подобия, которая широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов мест и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м. на местности.

Компонентами умения применять метод гомотетии являются следующие действия:

1) использовать специфические свойства преобразования;

2) строить образ изображений на плоскость;

3) находить центр гомотетии, вычислить его коэффициент.

И так если мы хотим овладеть умением решать задачи методом преобразований, необходимо выработать у учащихся следующие умения и навыки метода:

1) строить образы фигур в каждом требуем преобразовании;

2) видеть соответствующие при указанном преобразовании точки на соответствующих фигурах;

3) выделять элементы, определяющие то или иное преобразование (ось или центр симметрии, центр и угол вращения, вектор параллельного переноса, центр и коэффициент гомотетии и т.п.);

4) строить соответствующие при указанном преобразовании точки на несоответствующих фигурах;

5) использовать специфические свойства преобразований.

Иерархия выделенных умений применять геометрические преобразования в конкретных ситуаций такова, что каждое последующее умение охватывает предыдущее и вместе с тем поднимает учащихся на новую, более высокую ступень в овладении методом геометрических преобразований. Необходимо иметь в виду то, что умение применять геометрические преобразования в конкретных ситуациях предполагает владение почти всеми указанными действиями на умственном этапе. Так же стоит отметить то, что применение осевой симметрии, а также и других преобразований предполагает владение умением мысленно строить образы фигур без непосредственных построений. И овладение различными действиями предполагает различные уровни их формирования, что должно быть предусмотрено при конструировании упражнений.

3. Использование блоков взаимосвязанных задач в обучении учащихся методам геометрических преобразований плоскости

Решение геометрических задач вызывает трудности у большинства учащихся. Это связано, прежде всего, с тем, что редко какая - либо задача по геометрии может быть решена с использованием определенной теоремы или формулы. Многие задачи требуют применения различных теоретических знаний. Два того чтобы решить задачу необходимы хорошие знания теоретической части курса, знания достаточного количества геометрических фактов, обладающих определенными приемами и методами решения геометрических задач. Поэтому уроки решения одной задачи являются отличным полигоном для развития творческой деятельности учащихся. В данном параграфе вам представим фрагмент урока одной задачи, на котором решается блок взаимосвязанных задач, связь между элементами в которых осуществляется в соответствии с их решениями. Этот блок может быть заранее заготовлен учителем или составляться учащимися непосредственно под его руководством на уроке.

Приведём примеры блоков задач с укрупнением дидактических единиц по теме нашей курсовой работы

Метод центральной симметрии:

1.1) Дан треугольник ABC в котором AB=3, BC=4, AC=5. Найдите длину отрезка AN, если точка N делит сторону BC пополам.

Рисунок 2

Решение:

1) Построим проекцию точки A где N - центр проекции и получим точку D (рисунок 3) ABDC - параллелограмм, где AB=CD=3, BD=AC=5. N- точка пересечения диагоналей BC и AD.

2) BC²+AD²=2(AB+BC)², 4²+AD²=264, AD²=128-16, AD==.

3) AN=AD==

1.2) Найдите сторону треугольника ABC если известно, что длинна медианы проведённой к этой стороне равна а две другие стороны 3 и 5.

Решение:

1) Смотри действие 1) в решении 1.1.

2) AD=AN==.

3) BC²+AD²=2(AB+BC)², BC²+ ()²=264, BC²=128-112, BC==4

1.3) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что длинна медианы AN=, AB=3, AC=5.

Решение:

1) Смотри действие 1) в решении 1.1.

2) Смотри действие 2) в решении 1.2.

3) Смотри действие 3) в решении 1.2.

4) ; p=. p==6. ²

А теперь предположим, что у нас имеется некоторая задача-1 для решения которой каким-либо конкретным методом надо выполнить определённую последовательность действий: .

Эти действия взаимосвязаны между собой. Каждое последующее из них опирается на результат выполнения предыдущего (т.е. ), а вместе они направлены на получение ответа к задаче-1, выполнение её требования. Эту совокупность действий определим как одно целое, укрупнённое действие-1 (Д1). Если мы рассмотрим задачу-1 до задачи-2 так, что решение задачи-2 будет опираться на решение задачи-1, то действия, производимые для решения задачи-2 будут некоторым образом взаимосвязаны между собой так же, как и действия задачи-1. Поэтому в качестве нового целого, укрупнённого действия-2 (Д2) будем рассматривать совокупность действий: . Решение задачи-1 входит как составная часть в решение задачи-2, то есть часть действий, способствующих решению задачи-2, будет тождественно действиям в решении задачи-1.

Рисунок 3



Таким образом, к действиям (то есть к действию Д1) мы добавим несколько новых действий и получим действие-2, которое содержит в себе структурный элемент Д1. Тогда действие-2 (Д2) является укрупнённым действием-1 (Д1). То есть, расширяя задачу до новой задачи, мы укрупняем и действия, соответствующие методу её решения. Расширять же сами задачи можно посредством комплекса методических приёмов:

Параллельный перенос:

2.1) В четырехугольнике ABCD АВ=8, CD=, , . Найти длины сторон ВС и AD.

2.2) В четырехугольнике ABCD АВ=8, CD=, , , . Доказать, что диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.

2.3) В четырехугольнике ABCD АВ=8, CD=, , . Найдите периметр ABCD.

Метод поворота:

3.1) Постройте прямую , которая получается из данной прямой a поворотом вокруг точки O на угол , по часовой стрелке, если прямая не проходит через точку O.

3.2) Постройте прямую , которая получается из данной прямой a поворотом вокруг точки O на угол , по часовой стрелке, если прямая не проходит через точку O.

3.3) Найдите площадь треугольника ABB₁, образованного поворотом отрезка AB=4, вокруг точки A в точку B₁ на угол .

Комбинированный блок задач (центральная симметрия и поворот):

4.1) Дан прямоугольник ABCD AB=4, BC=3, точка M образована центральной симметрией точки B через точку A, точка N образованна поворотом по часовой стрелки точки B вокруг точки C на угол . Найдите площадь пятиугольника MBNCD.

4.2) Дан прямоугольник ABCD AB=4, BC=3, точка M образована центральной симметрией точки B через точку A, точка N образованна поворотом по часовой стрелки точки B вокруг точки C на угол . Найдите периметр пятиугольника MBNCD.

Как показывает блок задач 4.1-4.2 в одном блоке можно интегрировать несколько методов. Понятие «интеграция» трактуется как восстановление, объединение в целое каких-либо частей, элементов. Под интеграцией методов будем понимать процесс сочетания данных методов или связи их приемов в один метод. В области обучения решению задач интеграция методов предполагает параллельное (на одном уроке) решение одной задачи разными методами или решение одной задачи в блоке другим методом. Примером такого блока является блок задач 5.1-5.3 Образованный на основе задачи из учебника [2] и предполагающий использование учащимися геометрического метода (метода симметрии) и алгебраического (метода координат).

5.1) Найдите длину отрезка AA₁ если A(4;5), а точка A₁ образованна центральной симметрией относительно точки O(4;-1).

5.2) Дана трапеции ABB₁A₁ образованной при симметрии отрезка AB, где A(-4;1), B(-2;4) в отрезок A₁B₁ относительно оси Oy, найдите её площадь.

5.3) Параллелограмм ABB₁A₁ образован при симметрии отрезка AB, где A(-3;1), B(-2;4) в отрезок A₁B₁ относительно начала координат, найдите площадь

Словесная формулировка укрупненных задач в одном блоке может несколько различаться. Подобное привносит в процесс работы с такими задачами значительный положительный эффект. В психологии установлено, что выполнение однотипных заданий (в определенной степени это относится и к укрупненным задачам) приводит к ряду негативных явлений: учащиеся - начинают решать задачи по аналогии с предыдущими, не вдумываясь в условие, опуская отдельные существенные рассуждения и т.д., из-за чего в решениях появляются ошибки. Подобное объясняется тем, что «последовательность рассуждении (А; В; С;…; М), повторяющаяся при решении однотипных задач, может свертываться до составной ассоциации (А; М), которая, в дальнейшем, в случае необходимости, легко развертывается в первоначальную цепь рассуждений. Свертывание рассуждении - это естественный процесс.

Однако не у всех учащихся обратный процесс - развертывание - происходит без потерь каких-либо существенных рассуждений. Поэтому в интересах лучшего усвоения материала желательно в некоторых случаях замедлить процесс свертывания».

Изменение хотя бы формулировок текста блочных задач позволяет замедлить такой «процесс свертывания», так как подобное эффективно способствует пониманию задачи учеником, заставляя его осмысливать свое решение.

Меняя текст задачи, можно также сменить обозначения заданных в ней геометрических фигур, числовые значения используемых величин или лишь единицы их измерения. Такие преобразования также позволяют школьникам непрерывно осмысливать выполняемые ими решения, что приводит к значительному снижению количества допускаемых ими при этом ошибок.

В то же время эффективность использования блоков укрупненных задач в обучении математике, конечно, зависит не от разнообразия формулировок составляющих их задач.

В большей степени этому способствует разнообразие форм и методов организации работы учащихся с такими блоками.

Так, на втором и третьем этапах осуществления этой работы школьникам можно предлагать упражнения творческого характера.

Например, требующие от них восстановления готового задачного блока или составления нового блока задач по готовому чертежу.

При этом здесь возможно несколько вариантов таких упражнений. А именно:

I. Упражнения на восстановление готового задачного блока.

Пусть имеется некоторый блок укрупненных задач , для решения которых надо выполнить ряд действий . Например, . Тогда школьникам можно предложить:

I.1) лишь задачи и после решения которых потребовать от обучаемых составления и решения новой задачи, решение которой, с одной стороны, будет продолжать решение первой задачи, с другой стороны - являться частью решения второй задачи (то есть учащиеся при выполнении данного упражнения фактически восстанавливают сознательно пропущенную учителем задачу );

I.2) все задачи блока, предварительно нарушив их блочный порядок следования друг за другом, например, (в этом случае от учащихся требуется решить данные задачи, и восстановить их блочную очередность).

II. Упражнения на составление блока задач по готовому чертежу.

К этой группе можно отнести упражнения, где обучаемым требуется:

II.1) продолжить блок готовых задач, но таким образом, чтобы чертежом новой задачи был предварительно данный им какой-то конкретный геометрический чертеж;

II.2) составить весь блок полностью, с первой до последней задачи, по данному им более сложному чертежу. Это значительно расширяет поле творческой деятельности обучаемых, так как в зависимости, например, от того, какой «кусочек» этого чертежа будет взят ими в качестве чертежа первой блочной задачи, составленные в итоге блоки могут быть разными.

Примеры подобных упражнений приведены в работе. Кроме того здесь выделяется и более емкое упражнение на восстановление задачного блока, чем приведенные выше. Оно предполагает развитие темы задачи в два противоположных направления (расширения ее решения и его сужения), так как опирается на два противоположных вида деятельности по трансформации задачи - ее укрупнение и разукрупнение. Укрупнение задачи, в контексте вышесказанного, - это расширение решения задачи за счет добавления к нему новых действий. Тогда разукрупнение задачи можно рассматривать как сужение ее решения посредством выделения из нее элементарных подзадач, таких, что решения каждой последующей из них содержится как часть в решении предыдущей.

Поскольку в ходе анализа решения той или иной задачи З можно выявлять не только задачи укрупняющие ее, но и задачи для которых она сама будет укрупненной.

На такой основе школьникам можно предложить следующее упражнение творческого характера на восстановление задачного блока: «Составьте блок укрупненных задач, в котором начальной (промежуточной, конечной) была бы задача: (текст задачи)».

Такое упражнение целесообразно предлагать учащимся в конце второго этапа включения блоков укрупненных задач в процесс обучения или даже на третьем заключительном этапе. Оно, как и сама деятельность по разукрупнению задачи, усиливает эффект, оказываемый укрупнением решения задачи на усвоение школьниками таких эвристических приемов, как прием элементарных задач, прием вспомогательной фигуры и др. способствующих повышению эффективности процесса обучения учащихся математике.

Рисунок 4

Составление и использование в учебном процессе блоков укрупнённых задач способствует всестороннему развитию учащихся, активизации их мыслительной деятельности, воспитанию многих личностных качеств, систематизации и обобщению знаний, умений и навыков учащихся, а также позволяет более эффективно обучать школьников математике, формируя у них, например, математические понятия. Однако в контексте технологии укрупнения дидактических единиц формировать понятия возможно не только в результате использования блоков задач, но и с помощью применения различных методических основ обучения в основной школы.



Заключение

1) Проблема обучения учащихся средней школы решению математических задач возникают по многим причинам, одна из них тот факт, что учащиеся не владеют методами решения задач, в том числе методами геометрических преобразований. Существует несколько методов геометрических преобразований такие как:

1) метод параллельного переноса;

2) метод осевой симметрии;

3) метод поворота;

4) метод центральной симметрии;

5) метод подобия;

6) метод инверсии;

7) метод гомотетии.

В курсе основной школы изучается лишь несколько методов, такие как: метод параллельного переноса, метод осевой и центральной симметрии, метод поворота.

При изучении даже небольшого количества методов геометрических преобразований у учащихся возникают трудности в обучении. С этой ситуацией нам поможет справиться технология УДЕ. Нами были рассмотрены проблемы технологии и использование данной технологии в обучении учащихся методам геометрических преобразований плоскости.

В данной курсовой работе было изучено понятие блока взаимосвязанных задач основы и аспекты объединения задач в блоки. Были выделены приёма образования таких блоков.

Так же были разработаны блоки взаимосвязанных задач для обучения учащихся методам геометрических преобразований плоскости.



Список использованных источников

1. Андреев В.И. «Педагогика творческого саморазвития» Казань, 1996.

2. Атанасян Л.С. «Геометрия» 7-9 классы М.: Просвещение 2005.

3. Гребенюк О.С. «Концепции и технологии обучения» Сайт: «Начальная школа плюс до и после».

4. Гребенюк, О.С. Основы педагогики индивидуальности Текст.: Учеб. пособие / О.С. Гребенюк, Т.Б. Гребенюк. Калинингр. Ун-т. - Калининград, 2000. - 572 с. - ISBN 5-88874-160-8.

5. Заславский А.А. Геометрические преобразования. - М.:МЦНМО, 2004.--86 с. 2-е изд., стереотипное.

6. Канин, Е.С. Развитие темы задачи / Е.С. Каиин // Математика в школе. - 1991. - № 3. -С. 8-12

7. Котенко, В.В., Рефлексивная задача как средство повышения обучаемости школьников в процессе изучения базового курса информатики // Дис. . канд. пед. наук : 13.00.02. Омск, 2000., 168 с. ил.

8. Малюкова О.Г.«Технология на основе методического усовершенствования и дидактического реконструирования учебного материала: укрупнение дидактических единиц П.М. Эрдниева». Сайт: «Начальная школа плюс до и после».

...