Методические особенности решения задач составлением уравнения в 5-6 классах

В этом случае текстовые задачи играют как бы подсобную роль в курсе математики наряду с такими средствами, как использование различных наглядных пособий, проведение практических работ и прочее.

Сюжетные задачи используются в качестве одного из средств формирования у детей тех или иных новых математических знаний (либо на этапе ознакомления с новым, либо на этапе применения в разнообразных условиях, с целью закрепления и совершенствования формируемых понятий, усвоение изученных свойств действий и тому подобное).

Однако к этому функции сюжетных задач не сводятся.

Одна из общих задач обучения математике в школе состоит в том, чтобы подготовить учащихся к их дальнейшей трудовой деятельности, с учетом современного уровня развития науки и техники.

Научить видеть в окружающей действительности такие факты и закономерности, которые могут быть описаны математически, - одна из важнейших задач обучения.

Так начиная с первых шагов обучения, школьники должны научиться выделять в окружающей обстановке (или на рисунке) множество предметов, объединенных каким-либо общим признаком, подмечать количественные изменения, которые происходят в результате тех или иных жизненных действий

Они должны научиться выяснять, какие данные необходимы (или достаточны) для ответа на тот или иной вопрос.

Школьники должны научиться предложенную им сюжетную задачу переводить на язык математических выражений, овладевать умением составлять по задаче уравнение (это оговорено программой). Все эти требования вытекают из необходимости подготовить учащихся к решению разнообразных по содержанию задач, выраженных в словесной форме, с помощью доступных им математических средств.

В этом смысле работу над текстовыми задачами можно сравнить с переводом с одного языка на другой.

Известный американский педагог и математик Д. Пойа в своей интереснейшей книге, посвященной специально проблемам обучения решению задач, пишет: "Составить уравнение, - значит выразить математическими символами условие, сформулированное словами. Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода". То же с полным правом может быть отнесено и к составлению выражения по задаче.

Обучение детей такому переводу должно быть осознано учителем как специальная задача начального курса математики.

Наконец, наряду с перечисленными специальными целями решение задач является упражнением весьма полезным в воспитательном отношении. Решение задач - упражнение, развивающее мышление. Мало того, решение задач способствует воспитания терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовольствие, связанное с удачным решением. Именно школа должна воспитать любовь, и даже потребность в трудовом (и, в частности, в умственном) учении. Решение задач - одно из средств, помогающих в этом деле.

Из рассмотренных роли и места текстовых задач в современном курсе математики должно стать ясно, что целью работы над задачами вовсе не является разучивание с детьми способов решения задач каких-то определенных видов.

Цель состоит в том, чтобы, используя текстовые задачи как один из видов упражнений, обеспечить лучшее усвоение включенных в программу вопросов теории, научить детей применять приобретенные теоретические знания на практике. При этом у них должны быть сформированы некоторые общие умения, необходимые для самостоятельного решения несложных жизненных задач, поддающихся "переводу" на язык математики. Мы должны развивать у учащихся умение рассуждать, основанное на способности отделить известное от неизвестного, установить существующие между ними связи, перевести эти связи с конкретного языка текстовой задачи на абстрактный язык математических отношений и зависимостей.

Это принципиально новая постановка целей работы над текстовыми задачами, которая должна войти в жизнь с введением нового учебного предмета - "математики". Как показывает анализ опыта массовой школы, эта задача осознана и "принята на вооружение" далеко не всеми учителями. Сила укоренившихся традиций, в соответствии с которыми перед учителем ставилась цель - научить детей решать задачи определенных типов, продолжает оказывать отрицательное влияние и в настоящее время. Отбор специально составленных так называемых "типовых" задач, разучивание способов решения задач каждого такого типа - путь, который не может обеспечить той математической подготовки учащихся, которая требуется в современных условиях.

Следовательно, отбор, система расположения задач в курсе, методика работы над ними должны отвечать общим целям обучения и учитывать при этом те функции, которые могут быть возложены на этот вид упражнений и которые были рассмотрены выше.

Отбор задач и система их распределения определяются рассмотренными выше целями, строятся с учетом тех функций, которые задачи выполняют в курсе.

Система расположения текстовых задач, естественно, совпадает с логикой развертывания вводимых понятий, ознакомления с арифметическими действиями и их свойствами и т.п. особенность задач, которые отбираются в этих целях, - максимальная их простота. Они должны быть совершенно понятны, близки детям по сюжету, наиболее просто изложены, не содержать никаких непонятных, новых для детей слов, которые требовали бы дополнительных пояснений.

Итак, первая группа задач, рассматриваемых в начальном курсе математики - задачи, направленные на раскрытие смысла арифметических действий.

Ко второй группе простых задач относятся задачи, раскрывающие различные отношения между числами.

Третья группа простых задач, используемых в целях конкретизации, большой наглядности и доступности при рассмотрении некоторых, более новых вопросов арифметической теории - задачи, раскрывающие связи между компонентами результатами арифметических действий. Это задачи на нахождение одного из компонентов действия, когда даны другой компонент и результат, например:

Задачи на нахождение одного из слагаемых по данной сумме и другому слагаемому.

Задачи на нахождение уменьшаемого по данным вычитаемому и разности.

Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого по данному уменьшаемому и разности.

Нахождение неизвестного множителя по данным произведению и другому множителю.

Задачи на нахождение неизвестного делимого или делителя.

Мы рассмотрели основные виды простых задач, которые используются на этапе ознакомления школьников со смыслом арифметических действий, со связью между компонентами и результатом действий, при разъяснении смысла важнейших количественных отношений.

Простые задачи часто используются и при ознакомлении детей с другими новыми вопросами программы.

Так, очень важна роль сюжетных задач в деле формирования у детей представления о величинах, об их изменении, о связи, существующей между такими величинами, как цена, количество и стоимость, масса одного предмета, число предметов и общая масса, скорость, время и пройденный путь, длина и ширина прямоугольника и его площадь, норма выработки за единицу времени, затраченное время и общая выработка, норма расхода каких-либо материалов на одно изделие, число изделий и общий расход материала на них и тому подобное.

Математическая сущность этих задач остается той же - они сводятся к одному из видов задач, рассмотренных выше. Однако, с точки зрения формирования понятия о величинах имеет смысл говорить специально о задачах на нахождение стоимости по заданной цене и числу купленных предметов, о задачах на нахождение цены по данным стоимости и числу купленных предметов и тому подобное.

С целью формирования у детей умения анализировать задачу, выделять в ней данные и искомое, те связи между ними, которые отражены в тексте задачи, сознательно подходить к выбору нужного действия, вводятся и так называемые задачи, выраженные и в косвенной форме.

Это задачи на увеличение (или уменьшение) числа на несколько единиц (или в несколько раз), в текст которых входят слова: "на столько-то больше", но решается задача не сложением, а вычитанием, слова "во столько-то раз больше", а решается задача не умножением, а делением и так далее.

Своевременное введение этих задач необходимо для того, чтобы исключить возможность создания в сознании детей прочных связей между отдельными, выхваченными из контекста задачи словами и выражениями и определенным арифметическим действием. Введение этих задач с самого начала должно способствовать формированию у учащихся правильного подхода к решению любой задачи, который предполагает обязательный и достаточно тщательный анализ условия, всестороннее его рассмотрение.

Итак, подбор и расположение простых текстовых задач подчиняется логике рассмотрения новых вопросов арифметической теории и вместе с тем отвечает требованию постепенного усложнения заданий, связанного с некоторыми особенностями той формы, в которой в них представлены математические связи и отношения, предоставляющие выбор арифметического действия, необходимого для решения задачи. Усложнение заданий может быть также связано с введением новых величин, с рассмотрением новых для детей связей между ними.

Наряду с задачами в тех же целях с успехом используются близкие к ним по характеру упражнения, которые условно можно назвать задачами-вопросами, задачи с недостающими данными и задачи с лишними данными.

Таким образом, задачи с недостающими данными, с лишними данными - все эти упражнения можно рассматривать как дополнительные к системе простых задач. Они могут использоваться учителями в разных целях, на разных этапах ознакомления с тем или иным вопросом курса, в качестве одного из средств, позволяющих обратить специальное внимание детей на важность элементов задач, сосредоточить их внимание на выяснении зависимости и тому подобное. Учителю полезно всегда помнить о тех возможностях, которые они открываются, и использовать их по мере надобности как в коллективной работе с классом, так и в индивидуальной работе со всеми учащимися.

2.4 Из опыта работы педагогов-исследователей о методике решения задач составлением уравнений

Одним из педагогов-новаторов является Н.Н. Никифоров (с. Новошенское Тамбовской области), который пишет, что тема довольно сложная, так как учащимся предлагается принципиально новый подход к решению задач.

Н.Н. Никифоров пишет, что важно показать учащимся необходимость и целесообразность такого способа решения и, главное, его механизм, ход логических рассуждений.

Он предлагает решить задачу: "Ваня, Петя и Сережа пошли на рыбалку и поймали вместе 51 рыбку. Ваня поймал рыбок в два раза больше, чем Петя, а Сережа на три рыбки больше, чем Петя. Сколько рыбок поймал каждый мальчик?" На доске делается краткая запись:

Он предлагает учащимся решить эту задачу. Решают они ее арифметически, попытки решить заканчиваются обычно неудачей. Далее Н.Н. Никифоров рассказывает, как можно было решить задачу. Спрашивает: "Трудная ли задача?" - "Да!". Говорит, что таких задач в дальнейшем будет встречаться много, и что сегодня научу их решать иным, более простым способом.

Предлагает решить сначала задачу методом подбора.

На доске чертится таблица, которая заполняется учителем по мере рассуждений учащихся:

Ваня	2	4	6	8	20	22		24	2х
Петя	1	2	3	4	10	11		12	х
Сережа	4	5	6	7	13	14		15	х+3
Всего	7	11	15	19	43	47	Должно быть 51	51	51

Если Петя поймал 1 рыбку, то Ваня - 1*2, то есть две рыбки, а Сережа - 1+3, то есть четыре рыбки. Всего они поймали 1+2+4=7 (рыбок), а должен поймать 51 рыбку Неверно.

Если Петя поймал 2 рыбки, то …

Берется несколько значений. Разумеется, не все значения перебираются. Можно взять 10, 11 и, наконец, 12. У Пети 12 рыбок, у Вани 12*2 рыбки, у Сережи 12+3 рыбки. И всего у них 51 рыбка.

Задача решена верно.

Какой недостаток такого решения? Много надо перебирать значений, долго. Можно решить эту задачу без переборки возможных значений.

Мы не знаем, сколько рыбок у Пети, но всякий раз число рыбок у других мальчиков выражаем через них. Обозначим число рыбок у Пети через х. Тогда у Вани - 2х рыбок, а у Сережи - (х+3) рыбки. Всего же они поймали 51 рыбку, то есть должно выполняться равенство:

х+2х+(х+3)=51

Решим это уравнение:

х+2х +х+3=51; 4х=28;

х=12 - столько рыбок у Пети.

У Вани 12*2=24 (рыбки), а у Сережи 12+3=15 (рыбок).

Проверим, верно ли решена задача: 24:12=2, 15-12=3, 24+12+15=51.

Все условия задачи выполнены. Задача решена верно. Проследим решение задачи и запишем последовательность решения в виде алгоритма.

Алгоритм решения задачи с помощью уравнения:

1. Обозначим неизвестную величину переменной.

2. Выразим через нее другие величины.

3. Найдем зависимость между ними и на основании этой зависимости составим уравнение.

4. Решим уравнение.

5. Найдем ответ на вопрос задачи.

6. Проверим правильность решения задачи.

7. Запишем ответ.

Записи могут быть различными, но надо, чтобы они были краткими и одновременно исчерпывающими. Затем Н.Н.Никифоров дает под диктовку образец оформления решения задачи, показывает одновременно этапы решения.

Решение:

Пусть Петя поймал х рыбок. Тогда Ваня поймал 2х рыбок, а Сережа - (х+3) рыбки. Зная, что вместе они поймали 51 рыбку, составим уравнение:

х+2х+(х+3)=51;

х+2х+х+3=51;

4х=48;

х=12

2х=2*12=24

х+3=12+3=15

Проверка. 24:12=2. 15-12=3. 12+24+15=51.

Ответ: 24, 12, 15 рыбок.

Практика показывает, что после решения нескольких похожих задач учащиеся хорошо усваивают алгоритм решения и не испытывают серьезных трудностей в дальнейшем.

Так, например, педагог-новатор Ю.М. Мацкин пишет, что в последнее время один из ведущих способов решения текстовых задач связан с использованием уравнений. В 5-6 классах учащиеся, по существу, решают текстовые задачи только составлением уравнения по их условию.

По-видимому, чрезмерное увлечение этим способом не является вполне оправданным. Это подтверждается анализом результатов работы по решению задач в 5-6 классах средней школы.

Суть проводимой работы в следующем: познакомить учащихся с арифметическим способом решения текстовых задач с использованием координатного луча, сравнить его с другими способами и выяснить, насколько он приемлем для них.

Ниже приведены задачи, которые решались на уроке двумя способами: составлением уравнения и с помощью координатного луча.

Задача. В трех корзинах 70 яблок. В первой в два раза больше, чем во второй, а в третьей в два раза больше, чем в первой. Сколько яблок в каждой корзине?

Решение. Первый способ. Пусть во второй корзине х яблок, тогда в первой корзине их будет 2х, а в третьей - 2*2х=4х. Таким образом, число яблок в трех корзинах равно (х+2х+4х). В то же время из условия задачи известно, что это число равно 70. Составляем уравнение и решаем его:

Х+2х+4х=70; 7х=70; х=10; 2*10=20; 4*10=40

Ответ: 20; 10; 40 яблок.

Тема: "Пропорция" служит основой для решения многих задач практического характера. Этой темой заинтересовался педагог-новатор Х.Ш. Шихалиев (г. Махачкала).

Эту широту прикладной роли темы "Пропорция" и следует раскрыть перед учащимися, обращаясь к решению задач из окружающей действительности. Характерной чертой всех задач, относящихся к этой теме, является то, что при их решении учащиеся руководствуются дедуктивным способом мышления: имеется определенное условие взаимосвязи количественных соотношений двух величин и, исходя из этой взаимосвязи, требуется определить другие количественные соотношения тех же величин.

В процессе решения задач на пропорцию желательно рассмотреть и такие задачи, для решения которых предварительно требуется найти дополнительные данные. Например: "Долетит ли самолет, развивающий скорость 800 км/ч, из Москвы до Махачкалы за 2 часа?"

Думая над этим вопросом, учащиеся обнаруживают, что в условии не дано расстояние от Москвы до Махачкалы. Однако, это число (1670 км - воздушная трасса) можно найти в справочнике или пользуясь географической картой.

Составляем таблицу:

Время полета (в ч)	Расстояние (в км)
1	800
Х	1670

Получаем: 1:800=х:1670, откуда х2, 09.

Применение пропорции упрощает ход решения многих задач. Так, учащиеся при решении задач на нахождение дроби от числа или числа по его дроби нередко делают ошибки в выборе действий. Если же научить их при решении таких задач применять пропорцию, то подобные ошибки уже не появляются. Например: "Рабочий в магазине израсходовал 60 руб. из своей зарплаты, что составляет 2/7 от его месячного заработка. Сколько денег он получил за этот месяц?"

Число частей	Количество денег (в руб.)
2	60
7	х

Решение: 2:60=7:х, откуда х=210.

Ответ: 210 рублей.

Как видим, можно привести много примеров-задач, при решении которых применяется пропорция. Это задачи на смеси, сплавы, растворы, коллективную работу, расход зарплаты и так далее. Главное при этом состоит не только в умении решать задачи с готовым текстом, но и отвечать на практические вопросы в виде задач с недостающими данными. Подобные задачи развивают у учащихся логическое мышление, приучают их пользоваться справочным материалом, заставляют глубже изучать теоретический материал, превращают знания в необходимый элемент практической деятельности, а это важный компонент мотивации учения. Выполняя такие задания, учащиеся оказываются в одной из жизненных ситуаций и учатся отвечать на возникающие вопросы с помощью знаний, полученных на уроках математики.

Краткие выводы по второй главе

Итак, при изучении переменной в V-VI классах учащиеся должны знать и уметь правильно употреблять термины "переменная" и "значение переменной", подставлять в предложение вместо переменной ее значения. Уметь составлять простейшие выражения с одно переменной по условию задачи, находить значение выражения при различных значениях переменной, записывать в виде таблицы значения переменной и соответствующие им значения выражения. Кроме того, учащиеся должны приобрести знания и умения при решении текстовых задач алгебраическим путем.

Глава III. Описание практической работы по изучению темЫ: "Методические особенности решения задач составлением уравнений в 5-6 классах"

3.1 Организация практической работы

С целью подтверждения нашей гипотезы была проведена практическая работа.

Формирующий этап.

Разработана и внедрена система уроков по теме: "Решение задач составлением уравнений в 5-6 классах".

Задачи этапа:

На основе создания проблемных ситуаций, исследования игровых форм урока, исторических сведений создать положительную мотивацию по изучению темы: "Решение задач составлением уравнений в 5-6 классах".

Сформировать умение решать задачи алгебраическим способом (составлением уравнений).

Продолжить формирование у учащихся самостоятельной творческой деятельности на уроках математики при изучении темы: "Решение задач составлением уравнений".

Для решения поставленных задач были использованы уроки следующих типов: комбинированный урок, урок обобщения и систематизации знаний. На уроках применялись следующие методы: объяснительно-иллюстративный, объяснительно-иллюстративный с проблемными ситуациями, практический в форме игры.

Первый урок: 12 октября 2002 г.

Тема урока: Решение задач методом составления уравнений.

Цель урока: Ознакомить учащихся с общими приемами и алгоритмом решения задач составлением уравнений.

Тип урока: объяснение нового материала.

Методы и приемы урока: объяснительно-иллюстративный в игровой форме.

Оборудование: план-конспект, учебник, письменные и чертежные принадлежности.

Оформление классной доски:

1. Дата

2. Тема: Решение задач методом составления уравнений

Домашнее задание

Рисунок-плакат для наглядности решения задач на составление уравнения.

Ход урока

Актуализация опорных знаний (решение нескольких уравнений устно и письменно).

Объяснение нового материала

А) Как возникают и используются при решении задач буквенные выражения, формулы и уравнения.

Б) Что такое уравнения? Как выглядит математическая задача? В ней какие-то числа известны, а какое-то (пока неизвестное) число надо найти. Условие задачи обычно записывают словами. Но можно переписать его, используя только математические знаки. Тогда неизвестное число легко будет найти.

Предложила рассмотреть несколько простых задач и посмотреть, как это делается.

Задача 1. Покупая бублик, Вася отдал 20 коп. и получил сдачу 14 коп. Сколько стоит бублик? Эту задачу можно решить арифметическим способом, но мы сделаем иначе. Обозначим неизвестное число копеек буквой х. Что такое сдача? Это такое число, которое дополняет х до 20 копеек. Тогда условие задачи говорит нам, что х+14=20. Вот мы и записали условие математическими знаками!

Давайте разберемся, какая запись получилась. Видите: это равенство. Его правая часть - число 20, а левая часть - буквенное выражение х+14. Значит, наша запись - это равенство, содержащее букву х. Что обозначает в нем букву х? Неизвестное число. Найдешь х - и задача решена. Такое равенство с неизвестным числом называется уравнением.

Для задачи 1 у нас получилось уравнение х+14=20. Буква х обозначает в нем неизвестное слагаемое. А известное слагаемое находят вычитанием: х=20-14=6 (коп). Уравнение решено.

Задача 2. За буханку хлеба стоимость 20 копеек покупатель подал монету в 50 копеек. Сколько копеек сдачи он получит?

Рассуждая также как при решении задачи 1, мы составим уравнение 20+х=50.

Решите это уравнение самостоятельно. Какой ответ получили? Верно: 30 копеек.

Затем были предложены задачи посложнее.

Задача 3. Произведение двух чисел равно 72, один множитель равен 8. Чему равен второй множитель?

Обозначим неизвестное число буквой х. Тогда условие задачи говорит нам, что 8*х=72. Вот и уравнение готово!

Ученики задали вопрос: "А неизвестное число в уравнении обязательно обозначать буквой х? Нет, конечно, можно использовать любые буквы.

Далее я предложила детям решить с помощью уравнения задачу, которую не смог решить кот Леопольд. Изучая математику и применяя ее, надо уметь рассуждать. Ведь чтобы обнаружить какое-то свойство или правило, без рассуждений не обойтись. И при решении задач, если не рассуждать, а действовать наобум, то есть, как попало, то вряд ли удастся добиться успеха.

Задача. Винни-Пух и Пятачок раздобыли две одинаковые банки, полные меда, и две одинаковые ложки. Друзья решили сразу же съесть весь мед, набирая по полной ложки каждый из своей банки. Пятачок съедал за минуту 10 ложек меду и управился за 18 минут, а Винни-Пух съедал мед со "скоростью" 12 ложек в минуту. За сколько минут он опорожнил свою банку?

Давайте порассуждаем, как решать эту задачу. Будем задавать себе вопросы и отвечать на них. Чтобы яснее показать, как это делается, разделим страницу на две части. Слева будем записывать вопросы, справа ответы. Следите внимательно за тем, как идут рассуждения.

Начнем с вопроса задачи.

Что нужно узнать в задаче?	За сколько минут Винни-Пух съел мед в своей банке?
Что для этого нужно знать?	Сколько ложек меду вмещает банка Винни-Пуха. Ведь тогда, разделив это число на 12 (то есть "скорость", с которой ел Винни-Пух), мы и узнаем требуемое время.
Сколько же ложек меду вмещает банка Винни-Пуха?	Столько же, сколько и банка Пятачка. Ведь по условию и банки, и ложки у друзей одинаковые.
А как найти, сколько ложек меду вмещает банка Пятачка?	Пятачок съедал мед со скоростью 10 ложек в минуту и управился за 18 минут. Значит, надо 10 умножить на 18.

Теперь ясен план решения:

1). Найти, сколько ложек меду вмещает банка;

2). Найти время, за которое Винни-Пух съест весь мед из банки.

А теперь давайте решим нашу задачу, составив уравнение. Как рассуждать в этом случае?

Начать нужно с того, что обозначить неизвестное число буквой. Например, буквой х. А теперь приступаем к рассуждениям.

Сколько ложек меду вмещает банка Винни-Пуха?	12*х
О равенстве каких чисел можно сделать вывод из условия задачи?	Так как банки и ложки одинаковые, число ложек меда в каждой банке было одно и то же.
Сколько же ложек меду вмещает банка Пятачка?	10*18
Как возникает уравнение?	Приравниваем число ложек меду каждой из банок. Получаем уравнение 12*х=10*18

Дети задали вопрос: "Всегда ли нужно так записывать рассуждения?"

Учитель. Рассуждают обычно мысленно. Но я советую при решении задач пока записывать рассуждение, чтобы лучше научиться рассуждать.

На дом была задана задача, которую следовало решить двумя способами.

Задача. В магазин привезли 37 ящиков с молоком в пакетах. В каждом ящике 12 пакетов. Через час осталось 329 пакетов. Сколько молока было продано за час?

Закрепление материала осуществлялось в устной и письменной форме.

Затем в тетрадях записали алгоритм решения задач составлением уравнения:

Обозначим неизвестную величину через х.

Выразим через нее другие величины.

Найдем зависимость между ними и на основании этой зависимости составим уравнение.

Решим уравнение.

Найдем ответ на вопрос задачи.

Проверим правильность решения задачи.

Запишем ответ.

Затем подведение итогов урока.

Второй урок: 13.10.2002 г.

Тема урока: Решение задач методом составления уравнения.

Цель урока: закрепление материала.

Тип урока: комбинированный.

Методы: практический.

Ход урока.

I. Повторение пройденного материала.

II. Решение задач, самостоятельная работа.

В классе 25 человек, работу выполняли 24 человека, справились с работой 19 человек, не справились 5 (Приложение 1).

Первая проверка знаний показала, что дети не совсем поняли принцип решения задач составлением уравнения. Поэтому надо продолжать решение задач для закрепления материала.

Третий урок: 14 октября 2002 г.

Тема урока: Решение задач методом составления уравнения.

Цель урока: закрепление темы урока.

Тип урока: комбинированный.

Методы: практический в форме игровых задач.

Ход урока.

I. Повторение ранее изученного материала.

II. Решение игровых задач, задач на проценты.

Детям было предложено решать задачи на проценты.

Задача 1. Токарь за 1ч вытачивал 40 деталей. Применив резец из сверхпрочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Начинаем рассуждать.

Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько процентов составляет 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Как вычислить эту часть?

Вы знаете, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь 0,25 запишем в процентах - 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Итак, чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

Задача 2. Тракторист вспахал 1,32 кв. км пашни. Это составило 60% всей площади, которую он должен вспахать. Какова вся площадь, которую ему нужно вспахать?

Опять же начинаем рассуждать.

Вся площадь нам неизвестна. Обозначим ее буквой х. Мы знаем, что 60% от числа х составляют 1,32. Как записать это утверждение равенством? Правило, сформулированное в первой задаче данного урока, подсказывает нам, что сначала нужно заменить проценты десятичной дробью, а затем записать уравнение х*0,60 = 1,32. Решая его, получаем, что х = 1,32/0,6 = 2,2 (кв. км).

Что же мы сделали, чтобы найти х? Во-первых, заменили проценты десятичной дробью, а во-вторых, разделили данное нам число на получившуюся десятичную дробь.

Можем сформулировать правило:

Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число, то, чтобы найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.

Далее учащимся были предложены задачи, решаемые с помощью уравнение при отгадывании математических загадок и математических фокусов.

Загадка: задуманы два числа. Одно на 26 больше другого, а их сумма равна 100. Какие числа задуманы?

Эту загадку легко отгадать, если использовать уравнение. Неизвестных чисел здесь два. Но легко догадаться, что, зная одно, мы сразу найдем другое - ведь они отличаются друг от друга на 26. Давайте обозначим меньшее из задуманных чисел буквой х. Тогда большее число будет равно х+26. Запишем их сумму

х+(х+26)

А нам известно, что эта сумма равна 100. Вот и уравнение получилось:

х+(х+26) = 100

Применяя сочетательный закон и заменяя затем сразу х+х произведением х*2, получаем цепочку равенств

х+(х+26) = (х+х)+26 = х*2+26 = 100

Находим первое слагаемое: х*2 = 100-26 = 74. Теперь находим неизвестный множитель: х=74/2; х = 37

Записываем ответ.

Затем учащимся был предложен математический фокус.

Фокус. Клоун предложил каждому из публики задумать число. Потом он сказал: "Прибавьте к задуманному числу 5. Теперь результат умножьте на 2.Теперь к результату прибавьте 7." Потом клоун спросил у желающих, какое число получилось. Услышав ответ, он немедленно объявил каждому, какое число тот задумал.

Хотите и вы, дети, научиться показывать такие фокусы? Делать это очень просто, если знаешь уравнения. Как это делать, я сейчас объясню, а вы запишите себе в тетрадь. Слева записываем задание "фокусника", а справа - выражения, которые он мысленно представляет.

Задумайте число	Обозначаю его буквой х
Прибавьте к нему число 5	Получаем число х+5
Результат умножьте на 2	Получаем число (х+5)*2
К результату прибавьте 7	Получаем (х+5)*2+7
Скажите ваш результат	Приравниваем составленное выражение (х+5)*2+7 к названному числу, получаем уравнение.

Если, например, в итоге получилось число 23, то уравнение выглядит так:

(х+5)*2+7=23

Чтобы быстрее решить его, упростить левую часть, воспользуемся свойствами сложения и умножения:

(х+5)*2+7=(х*2+5*2)+7=(х*2+10)+7=х*2+17

Уравнение теперь получилось несложное: х*2+17=20.

Какое число задумано? Правильно, 3.

Теперь вы сами можете придумывать похожие математические фокусы.

Далее дети сами решили несколько задач, придумывая математические фокусы.

Четвертый урок: 14 октября 2002 г.

Тема и цель урока те же.

Методы и приемы урока игровые.

На уроке детям была предложена игра "Волшебное число".

Игра предложена для отработки навыков решения уравнений, ведется на основе сказки об Иване-Царевиче и Кощее Бессмертном.

Класс делится на три команды.

Я начинаю рассказ: "Полюбили друг друга Иван-Царевич и Елена Прекрасная, но злой Кощей Бессмертный похитил Елену. Иван-Царевич взял верных воинов и поехал выручать свою любимую. Вышли они к реке, а там огромный камень закрыл дорогу на мост. На камне написаны три уравнения (с указанием номера команды):

(у-371)+546=277 (I).

(127+m)-98=32 (II).

(x+379)-197=183 (III).

Если их правильно решить, то камень повернется и освободит дорогу". К доске вызывается по одному ученику от каждой команды, которые решают уравнения. Иван-Царевич, капитан одной из команд, решает уравнения вместе с членом своей команды. На следующем этапе пути его сменит капитан другой команды. Преодоление названное преграды приносит очки командам. Учитывается скорость и правильность решения. Учащиеся на местах решают уравнения своей команды и могут помочь при необходимости своему игроку, только при условии, что представят учителю решения уравнений и двух других команд.

Я продолжаю дальше: "Долго ехали они по лесу, пока дорога не привела их к избушке Бабы-Яги. Она давно враждовала с Кощеем и согласилась помочь Ивану-Царевичу, но только в том случае, если его воины решат шесть уравнений, написанных на стенах избушки".

Первые четыре ученика садятся на место, а семь других (по два из каждой команды и один из капитанов) идут к доске.

Подводятся итоги работы на втором этапе.

"Прощаясь с Иваном-Царевичем, Баба-Яга рассказала ему о силе корней уравнения. Коль нужно тебе, какой запор отпереть или закрыть накрепко, произнеси вслух корни уравнения. Мигом исполнится. Черный ворон подслушал этот разговор и рассказал обо всем Кощею. Тот подстерег Ивана-Царевича и его воинов, схватил их и бросил в глубокое подземелье. Замкнул на шесть замков".

К доске идут новые семь учеников. На доске написаны новые шесть уравнений. "Узники подземелья" решают их. Заняты работой и члены команды, готовые прийти на помощь своим "воинам".

Подводятся итоги третьего тура.

"Иван-Царевич произнес "волшебные слова", назвал корни всех уравнений, двери подземелья открылись. И стали воины пред воротами Кощеева дворца, на которых написаны уравнение: у+12705:121=105. Устно решил его Иван-Царевич. Ворота открылись. Освободили воины Елену Прекрасную и в тот же день сыграли свадьбу. Потом они поехали домой, и стали жить-поживать и добра наживать".

Подводятся итоги всей игры. Устанавливается команда-победитель. Часть учеников получает оценки в журнал.

Итог: Дети любят играть в игры, и такая форма урока воспринимается ими с удовольствием. Лучше запоминаются способы решения уравнений.

Пятый урок: 17 октября 2002 г.

Тема: Решение задач методом составления уравнений.

Цель урока: Обобщение, систематизация, коррекция полученных знаний.

Тип урока: комбинированный.

Методы: практический.

Шестой урок: 18 октября 2002 г.

Тема урока: Контрольная работа по теме: "Решение задач методом составления уравнений".

Цель: выявление знаний учащихся; проверить усвоение ими изученной темы.

Ход урока:

I. Организация учащихся на проведение работы.

II. Выполнение работы.

В классе 25 человек, работу выполняли 23 человека, справились с работой 22 человека, не справился -1.

Проанализировав результат контрольной работы, и сравнив с результатами самостоятельной работы, мы пришли к выводу, что решать и понимать задачи на составление уравнений учащиеся стали лучше, грамотнее и с большим интересом.

Таким образом, после проведения целенаправленной работы, в результате которой осуществилось стимулирование мотивации учения по решению задач составлением уравнений через игровые формы, исторический материал, проблемную постановку ситуаций материал усвоен лучше и глубже.

Заключение

Изучив методическую литературу и опыт педагогов-новаторов, на протяжении всей исследовательской работы мы изложили основные положения методики обучения решению алгоритмических задач.

Главные из этих положений следующие:

1. Решение задач - не самоцель, а средство для того, чтобы учащиеся овладели разумным общим подходом к решению любых задач, которые им могут встретиться в жизни.

2. Второй важнейшей целью решения задач является овладение учащимися моделированием простейших жизненных явлений и в особенности математическим моделированием, без которого невозможно применение математического аппарата для решения задач.

3. Для того, чтобы учащиеся осознанно и разумно решали алгоритмические задачи, надо их познакомить с основными элементами теории задач и их решения. Это знакомство должно осуществляться в процессе всех лет обучения в начальной школе.

4. Очень сильным средством для овладения учащимися основными элементами теории задач является самостоятельное составление ими различных задач по разным основаниям, рассмотренном нами в данном изложенном материале.

5. Для того, чтобы учащиеся свободно решали аналитические задачи, их решение должно предварять выполнение учащимися системы подготовительных упражнений.

Успех в решении задач методом составления уравнения зависит от количества решаемых задач, но так, чтобы решение каждой задачи приносило учащимся какую-то пользу, чтобы они узнавали что-то новое, овладевали какими-то новыми умениями или закрепляли, развивали, углубляли уже имеющиеся у них знания и умения. Практика показывает, что после решения нескольких похожих задач учащиеся хорошо усваивают алгоритм решения и не испытывают серьезных трудностей, то есть наша гипотеза подтверждается.

В настоящее время проблема решения задач составлением уравнения приобретает особую актуальность, требует увеличения объема, разнообразия умения применять эти знания при решении задач составлением уравнения.

В ходе решения задач развивается творческая и прикладная стороны мышления, интеллект учащихся, формируются представления об идеях и методах математики. Организованное и проводимое обучение приведет к коренному улучшению в области решения задач с составлением уравнения в 5-6 классах.

Научить человека правильно, разумно решать задачи - это главнейшая цель образования.

На основе этого мы можем составить методические рекомендации.

Если в процессе обучения учащихся решению задач путем составления уравнения педагогом будут созданы условия, при которых необходимо учитывать следующие обстоятельства:

Использование наиболее эффективной формы работы (индивидуальные консультации, нетрадиционные формы работы).

Правильная организация условия анализа и хода решения задач.

Учет возрастных особенностей овладения навыками решения задач путем составления уравнений.

задача уравнение математика

Список используемой литературы

1. К.С. Антонов, В.А. Гусев. Современные проблемы методики преподавания математики. Сборник статей. Учебное пособие для студентов математических и физико-математических специальностей педагогических институтов. М.: "Просвещение" 1998 г.- 304 с.

2. Л.М. Фридман Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учебное пособие для учителей и студентов педагогических вузов и колледжей. М."Школьная пресса", 2002, - 206 с.

3. Н.Н. Никифоров К изучению темы "Решение задач с помощью уравнений". Математика в школе №2, 1999 г.

4. Ю.М. Мацкин. Использование элементов координатного метода при решении текстовых задач в V классе. Математика в школе № 4, 2000 г.

5. Х.Ш. Шихалиев. О решении задач с помощью уравнений. Математика в школе №5, 2001.

6. Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн. Математика. Учебник-собеседник 5 класса. М.: "Просвещение", 1996. - 319 с.

7. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. Учедное пособие для учащихся педагогических училищ по специальности. Москва "Просвещение" 2000. - 320 с.

8. В.Л. Дрозд, А.Т. Катасонова Методика начального обучения математики. Пособие для студентов педагогических институтов. Минск "Высшая школа". 1998 г.-254с.

9. Е.Б. Арутюнян, Г.Г. Левитас. Математика: Учебное пособие для младших классов. М.: АСТ-ПРЕСС, 1999 .- 96 с.

10. Ф.М. Барчукова, А.А. Бесчинская. Алгебра в 6-8 классах. Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1998 г. - 394 с.

11. А.Я. Блох, В.А. Гусев. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов педагогических институтов. М.: Просвещение 1997 г. - 416 с.

12. Ю.М. Калягин, В.А. Оганесян. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физико-математических педагогических институтов. М.: Просвещение, 1985 г. - 462 с.

13. Лященко Е.И., К.В. Зобкова. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей педагогических институтов. М.: Просвещение. 1998 г.-223 с.

14. Марушкевич А.И. Математика в 4 классе. Методическое пособие для учителей. Москва "Просвещение", 1992 г.

15. М.И. Моро, А.М. Пышкало. Методика обучения математике в начальных классах. Пособие для учителей. Москва: Просвещение, 1995г. - 204 с.

16. Нешков К.И., В.Н. Рудницкая. Математика в 5 классе. Методическое пособие для учителя. М.: Просвещение. 1992 -223 с.

17. Психологические аспекты усвоения курса алгебры в 5-6 классах. Математика, газета № 29/95 - 30/95.

18. В.К. Совайленко. Система обучения математике в 5-6 классах. Книга для учителей. Из опыта работы. М.: Просвещение, 1996 г. - 480 с.

19. Фридман Л.М., Е.Н. Турецкий Как научиться решать задачи. Книга для учащихся старших классов средней школы. Москва "Просвещение", 1998 г. - 192 с.

20. Л.М. Шеврин, А.Г. Гейн. Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. М.: Просвещение, 1998 г. - 495 с.

21. Фридман Л.М., Е.Н. Турецкий Как научиться решать задачи. Книга для учащихся старших классов средней школы. Москва "Просвещение", 1998 г. - 192 с.

Размещено на Allbest.ru

...