Пути формирования вычислительной культуры у учащихся средней школы в процессе обучения математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Алтайская государственная педагогическая академия» (АлтГПА)

Институт физико - математического образования

Кафедра алгебры и методики обучения математике

Выпускная квалификационная работа

Пути формирования вычислительной культуры у учащихся средней школы в процессе обучения математике

Выполнила

студентка 373 группы

Власенко Наталья Сергеевна

Научный руководитель:

к.п.н., профессор

Шапиро Иосиф Максимович

Барнаул 2012

Оглавление

• Введение

Глава 1. Вычислительная культура -важный показатель математической подготовки школьников

1.1 Сущность вычислительной культуры

1.2 Психолого-педагогические основы формирования вычислительной культуры школьников

• 1.3 Психологические особенности подростков

1.4 Основные пути формирования вычислительной культуры у учащихся основной и старшей школы

Глава 2. Методические рекомендации по формированию вычислительной культуры школьников

2.1 Устная работа при формировании вычислительных умений и навыков учащихся

2.2 Значение письменных вычислений и тождественных преобразований в процессе обучения математике

2.3 Методические особенности обучения приближённым вычислениям в школьном курсе математики

2.4 Использование графических вычислений как средства повышения вычислительной культуры учеников

2.5 Применение микрокалькулятора при решение задач по математике

2.6 Цели, задачи, содержание и результат опытной работы

Заключение

Литература

Введение

Развитие общества требует постоянного улучшения качества обучения, трудового и нравственного воспитания учащихся. Поэтому, важнейшей задачей обучения математике является обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися математическими знаниями и умениями, нужными в повседневной жизни и в работе каждого члена современного общества.

Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. Кроме того, вычисления активизируют память учащихся, их внимание, стремление к рациональной организации деятельности и прочие качества, оказывающие существенное влияние на развитие учащихся.

Главная проблема современных учащихся, которая напрямую связана с вычислительной культурой, - нерациональность вычислений, потому что школьники не могут выбрать и осуществить рациональный путь выполнения упражнений и решения задачи, рационально записать то или иное решение.

После прохождения педагогической практики можно сделать вывод о том, что уровень навыков вычислений и тождественных преобразований у учащихся резко снизился: они плохо и нерационально считают, кроме того, при вычислениях все чаще прибегают к помощи технических средств - калькуляторов. вычислительный культура школьник навык

Из выше сказанного следует, что существует необходимость более тщательного рассмотрения этого раздела частной методики обучения математике. Возникает противоречие между потребностью в повышении вычислительной культуры учащихся и недостаточно разработанной методики её реализации.

Цель выпускной квалификационной работы: разработать методические рекомендации по повышению вычислительной культуры учащихся в процессе обучения математике в средней школе.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе. Предмет исследования - методика формирования вычислительной культуры учащихся средней школы.

Для реализации этой цели необходимо решить следующие задачи:

1) ознакомиться с качеством вычислительных умений и навыков учащихся;

2) изучить пути формирования вычислительной культуры учащихся;

3) разработать методические рекомендации для повышения вычислительных умений и навыков школьников;

4) проверить эффективность предложенных рекомендаций в процессе опытной работы.

Гипотеза исследования: использование разработанных методических рекомендаций в учебном процессе позволяет повысить уровень вычислительной культуры учащихся.

Для реализации поставленной цели и доказательства выдвинутой гипотезы мы использовали следующие методы исследования:

1) беседы с учителями;

2) анализ психолого-педагогической и методической литературы;

3) наблюдение за учебной деятельностью школьников;

4) опытное преподавание уроков математики;

5) сравнительный анализ качества умений и навыков до применения методических рекомендаций и после;

Работа состоит из введения, двух глав, раскрывающих основное содержание, заключения и библиографического списка.

Глава 1. Вычислительная культура - важный показатель математической подготовки школьников

1.1 Сущность вычислительной культуры

Трудно, а может быть даже невозможно дать исчерпывающее определение музыкальной культуры индивидуума или его культуры мышления, да и вообще понятие культуры вряд ли поддается однозначному определению. Можно лишь попытаться выделить те элементы, наличие которых является необходимым признаком культуры. Учитывая это, будем считать, что достаточно высокий уровень вычислительной культуры учащихся может быть охарактеризован следующей совокупностью признаков:

· прочные и осознанные знания свойств и алгоритмов операций над числами;

· умение по условию поставленной задачи определить, являются ли исходные данные для вычислений точными или приближенными числами , прочные знания правил приближённых вычислений и навыки их выполнения;

· умение правильно сочетать устные, письменные вычисления и вычисления с применением вспомогательных средств;

· устойчивое применение рациональных приемов вычислений;

· автоматизм навыков безошибочного выполнения вычислительных операций;

· аккуратная и экономная запись расчётов;

· применение рациональных приёмов контроля вычислений;

· умение на определённом теоретическом уровне обосновать правила и приёмы, применяемые в процессе вычислений .[6]

Одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.

Вычислительная культура формируется у учеников на всех этапах обучения математике, но основа её закладывается в первые 5, 6 лет обучения. В этот период школьники обучаются умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики, физики, химии и других предметов.

Вычислительные умения и навыки можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять действия с натуральными числами; десятичными и обыкновенными дробями; рациональными, иррациональными, действительными, комплексными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления.

Для формирования у школьников сознательных и прочных вычислительных навыков используют игровые, информационные технологии, элементы личностно-ориентированного обучения. К работе по совершенствованию вычислительных навыков активно привлекают учащихся: они подбирают или самостоятельно составляют задания для устного счета, кодированные задания, частично привлекаются к проверке работ, консультируют других учащихся.

Использование различных форм и приемов организации вычислительной деятельности школьников, способствует не только формированию прочных осознанных вычислительных умений и навыков, но и повышению качества знаний, активизации мыслительной деятельности, создает мотивацию к учебе и развивает познавательный интерес к предмету.

Об уровне вычислительной культуры школьников можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.

Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются автоматически. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности.

Как в письменных, так и в устных вычислениях используются разнообразные правила и приемы. Уровень вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.

В вычислительной практике учащихся важную роль играют таблицы. Уже в 6 классе учеников знакомят с простейшими таблицами: таблицей квадратов двухзначных чисел, таблицей кубов натуральных чисел от 1 до 10 и таблицей степеней чисел 2 и 3. Эти таблицы имеют в курсе девятилетней школы большое применение, особенно таблица квадратов двузначных чисел, используемая при решении квадратных уравнений и в решении других задач.

Далее учащихся знакомят с четырёхзначными таблицами В. М. Брадиса и используют их при отыскании приближённых значений квадратов и квадратных корней. Вырабатывая навыки работы с этими таблицами, учитель должен помнить, что осмысленное и грамотное использование этих таблиц требует знания правил работы с приближёнными данными.

В ряде случаев в качестве вычислительного средства в школьной практике применяют графики некоторых элементарных функций.

Они используются при отыскании приближённых значений корней уравнений и решений систем уравнений с двумя переменными.[7]

1.2 Психолого-педагогические основы вычислительной культуры

Формирование вычислительных умений и навыков традиционно считается одной из самых «трудоемких» тем. Вопрос о значимости формирования устных вычислительных навыков на сегодняшний день является весьма дискуссионным в методическом плане. Широкое распространение калькуляторов ставит необходимость «жестокой» отработки этих умений под сомнение, поэтому многие не связывают хорошее овладение арифметическими вычислениями с математическими способностями и математической одаренностью. Однако внимание к устным арифметическим вычислениям является традиционным для общеобразовательной школы. В связи с этим значительная часть заданий всех существующих сегодня учебников математики направлена на формирование устных вычислительных умений и навыков. Остановимся на некоторых определениях понятий.

Навык - это действие, сформированное путем повторения, характерное высокой степенью освоения и отсутствием поэлементарной сознательной регуляции и контроля. [1]

По мнению М.А.Бантовой вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приемами.

Приобрести вычислительные навыки - значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует их выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и осуществлять эти операции достаточно быстро. [1]

Вычислительные навыки рассматриваются как один из видов учебных навыков, функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые выполняются посредством определенной системы операций. В зависимости от степени овладения учеником учебными действиями, которыми выступают как умение или навык, характеризующийся такими качествами, как правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм и прочность.

Правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т. е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.

Осознанность - ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он выполнял задание и почему именно так. Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять выполнение каждого упражнения. В процессе овладения навыком решение должно постепенно свертываться.

Рациональность - ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, т. е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых быстрее приводит к результату. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя полученные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

Обобщенность - ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т. е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, тесно связана с осознанностью вычислительного навыка, так как общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого - одни и те же теоретические положения.

Автоматизм (свернутость) - ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций. Осознанность и автоматизм вычислительных навыков не являются противоречивыми качествами. Они всегда выступают в единстве: при свернутом выполнении операций осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операций происходит свернуто в плане внутренней речи. Благодаря этому ученик может в любой момент дать развернутое обоснование своего выбора.

Прочность - ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Курс математики с использованием соответствующих методических приемов обеспечивает формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами

Вместе с тем, ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом - системой операций. О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению. Умение осознано контролировать выполняемые операции позволяет формировать вычислительные навыки более высокого уровня, чем без наличия этого умения.

Выполнение вычислительного приёма - мыслительный процесс, следовательно, овладение вычислительным приёмом и умение осуществлять контроль над его выполнением, должно происходить одновременно в процессе обучения.

Отличительным признаком навыка, как одного из видов деятельности человека, является автоматизированный характер этой деятельности.

Однако навык вырабатывается при участии сознания, которое первоначально направляет действие к определенной цели при помощи осмысленных способов его выполнения и контролирует его. Советский психолог С. А. Рубинштейн пишет: «Высшие формы навыка у человека, функционирующие автоматически, вырабатываются сознательно и являются сознательными действиями, которые стали навыками; на каждом шагу - в частности при затруднениях - они вновь становятся сознательными действиями; навык, взятый в его становлении, является не только автоматическим, но и сознательным актом; единство автоматизма и сознательности заключено в какой - то мере в нем самом». [15]

Например, воспроизведение табличных результатов умножения выполняется автоматически; на вопрос, чему равняется произведение чисел 5 и 6, ученик сразу дает ответ 30.

«…В любую форму деятельности навыки входят необходимой составной частью; только благодаря тому, что некоторые действия закрепляются в качестве навыков и как бы спускаются в план автоматизированных актов, сознательная деятельность человека, разгружаясь от регулирования относительно элементарных актов, может направляться на разрешение более сложных задач».[15]

Вычислительные навыки достигают высшего уровня своего развития лишь в результате длительного процесса целенаправленного их формирования. Формирование у школьников вычислительных навыков остаётся одной из важных задач обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий.

Психология много внимания уделяет проблеме механизмов формирования навыков, имеющей большое практическое значение. Доказано, что механическое заучивание гораздо менее эффективно, чем заучивание при участии сознания. Полезен практический принцип «повторение без повторения», когда при отработке навыка не закрепляется одно и то же действие, но постоянно варьируется в поисках оптимальной формулы движения. При этом осознанию принадлежит очень важная роль.

Формирование вычислительных умений и навыков - это сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.

1.3 Психологические особенности подростков

На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.[14]

Рассмотрим некоторые психологические особенности современного ученика, имея в виду лишь те его особенности, которые важно учитывать в процессе обучения математике.

Ученик - это растущий, развивающийся человек. Придя в школу в семь лет, он заканчивает её в 17-18 лет вполне сложившимся человеком юношеского возраста. За эти одиннадцать лет обучения ученик проходит огромный путь физического, психического и социально-нравственного развития.

Подростковый возраст -это весьма сложный, таящий в себе опасность кризисных явлений, период в жизни ученика. В этот период организм ребёнка претерпевает кардинальные изменения. Развёртывается процесс полового созревания. С этим процессом связано возникновение у подростка физического ощущения собственной взрослости. У него возникает представление о себе уже не как о ребёнке, он стремится быть и считаться взрослым. Отсюда у подростка возникает новая жизненная позиция по отношению к себе, к окружающим людям, к миру. Он становится социально активным, восприимчивым к усвоению норм ценностей и способов поведения, которые существуют среди взрослых.

Поэтому период подросткового возраста характерен тем, что здесь начинается формирование морально-нравственных и социальных установок личности ученика, намечается общая направленность этой личности.

Подросток стремится к активному общению со своими сверстниками, и через это общение он активно познаёт самого себя, овладевает своим поведением, ориентируясь на образцы и идеалы, почерпнутые из книг, кинофильмов, телевидения.

Подросток становится более независимым от взрослых ещё и потому, что у него возникают такие потребности, которые он должен удовлетворить только сам (потребность в общении со сверстниками, в дружбе, в любви). Родители и вообще взрослые при всём их желании не могут решить проблемы, встающие перед подростками в связи с возникновением у них новых потребностей, между тем как удовлетворение всех основных потребностей младших школьников зависит в основном от родителей. Всё это зачастую болезненно сказывается на отношении учащихся к учению. Общая картина работы учащихся-подростков на уроках по сравнению с младшими классами ухудшается. Ранее примерные и аккуратные ученики позволяют себе не выполнять задания. Тетради ведутся неряшливо. У многих учащихся меняется почерк, он становится неразборчивым и небрежным. При решении математических задач многие подростки не проявляют нужной настойчивости и прилежания. Попытки учителя заинтересовать учеников занимательностью формы изложения или какими-либо другими способами зачастую не приносят ожидаемого результата.

В то же время эти же подростки весьма охотно участвуют в работе различных кружков, где, казалось бы, наиболее трудные подростки охотно выполняют все указания взрослого руководителя кружка, с интересом и усердием овладевают теоретическими знаниями, нужными для выполнения практических работ.

Если подростковый возраст есть начало внутреннего перехода ученика от положения объекта обучения и воспитания, которым он был в младшем школьном возрасте, к положению субъекта этого процесса, то в юношеском возрасте ученик становится (во всяком случае, должен становиться) уже подлинным субъектом своей деятельности в учебно-воспитательном процессе. [9]

Это период ранней юности - период жизни и развития человека от 16 до 18 лет. Как правило, к концу этого периода юноши и девушки обычно достигают физической зрелости. Завершается период бурного роста и развития организма, наступает относительно спокойное время дальнейшего физического развития. Заметно нарастает мышечная сила и работоспособность, заканчивается формирование и функциональное развитие тканей и органов. Более отчетливыми становятся моральные понятия, оценки, крепнут этические убеждения. Чувство взрослости становится глубже и острее.

Формируется принципиальность, развиваются убеждения, чувство долга и ответственности. Высокого уровня развития достигают волевые качества: самостоятельность, инициативность, настойчивость, выдержка. Юношеский возраст отличается богатством и многообразием переживаемых чувств. У старшеклассников усиливаются сознательные мотивы поведения. Важное значение имеет статус личности в коллективе. Старшеклассники, в отличие от ценящих физическую силу подростков, уважают интеллектуальные качества. Больше всего ценятся живость ума, находчивость, умение остро чувствовать проблему, быстро ориентироваться в материале, необходимом для ее решения. Авторитетом в классе пользуются учащиеся, имеющие проницательный ум, способные за видимыми фактами находить скрытые причины, предвидеть, строить смелые предположения. Кроме этого, в юношеском возрасте развивается умение комплексной оценки человека. Сравнение себя с идеалом стимулирует процесс самовоспитания, направленный на преодоление тех или иных недостатков и развитие отдельных положительных качеств. Юность - время самоутверждения, бурного роста самосознания, активного осмысления будущего, пора поисков, надежд и мечтаний.

Происходят характерные изменения в умственном развитии юношей и девушек. Растет их сознательное отношение к труду и учению, которые становятся основными видами деятельности в этом возрасте.

У старшеклассников обычно ярко выражено избирательное отношение к учебным предметам. Потребность в значимых для жизненного успеха знаниях - одна из наиболее характерных черт нынешнего старшеклассника.

Восприятие характеризуется целенаправленностью. Заметно развивается и совершенствуется способность к переключению и распределению внимания. Последнее, в частности, сказывается в формирующемся умении одновременно слушать объяснения учителя, и вести запись лекции-беседы, следить за содержанием и формой своего ответа.

В этом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно развивается логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребёнок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредованной памяти. Процесс запоминания у старших школьников сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям.

Существенные изменения происходят в мыслительной деятельности старших школьников, в характере умственной работы. Ведущей деятельностью в этом возрасте является учение. Большое значение приобретают уроки-лекции, самостоятельное выполнение практических работ, написание рефератов и докладов. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счёт усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно.

Мыслительная деятельность приобретает такой уровень развития процессов анализа и синтеза, теоретического обобщения и абстрагирования, который делает вполне «возможной самостоятельную, в известной мере, творческую деятельность в определенных областях. Для юношей и девушек становятся характерными тенденция к причинному объяснению явлений, умение аргументировать, делать выводы, связывать изучаемое в систему. В раннем юношеском возрасте завершается формирование когнитивных процессов и, прежде всего, мышления. В эти годы мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь как основное средство организации мышления и регуляции других познавательных процессов. [9]

Интеллект в своих высших проявлениях становится речевым, а речь интеллектуализированной. Возникает полноценное теоретическое мышление. Наряду с этим идёт активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе.

Приобретают окончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся на логику рассуждений и отличающие словесно-логическое, абстрактное мышление от наглядно-действенного и наглядно-образного.[14]

Юность - это период расцвета всей умственной деятельности.

Познавательные процессы осуществляются в виде отдельных познавательных действий, каждое из которых представляет собой целостный психический акт, состоящий нераздельно из всех видов психических процессов. Но один из них обычно является главным, ведущим, определяющим характер данного познавательного действия. Только в этом смысле можно рассматривать отдельно такие психические процессы, как восприятие, память, мышление, воображение. Познание человеком объективной действительности начинается с ощущений и восприятия. Но, начинаясь с них, познание действительности не заканчивается, а переходит к мышлению.

Мышление как психический процесс имеет целенаправленный характер. Мышление необходимо прежде всего, тогда, когда в ходе жизни перед человеком возникает новая цель, новая проблема, новые обстоятельства и условия деятельности. Мышление ребенка зарождается и развивается сначала в процессе наблюдения, которое является не чем иным, как более или менее целенаправленным мыслящим восприятием. Мышление представляет собой активную целенаправленную деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся и вновь поступающей информации - анализ и синтез. Анализ - это выделение в объекте тех или иных его сторон, элементов, свойств, связей, отношений; это расчленение познаваемого объекта на различные компоненты. В отличие от анализа синтез предполагает объединение элементов в единое целое. Анализ и синтез всегда взаимосвязаны. Неразрывное единство между ними отчетливо выступает уже в познавательном процессе сравнения. Всякое сравнения предметов начинается с сопоставления или соотнесения их друг с другом, т.е. начинается с синтеза. В ходе этого синтетического акта происходит анализ сравниваемых явлений, предметов, событий и т.д. - выделение в них общего и различного. Так сравнение ведет к обобщению.[9]

Любое мышление есть искание и открытие нового, самостоятельное движение к новым обобщениям, поэтому по сути всякое мышление всегда является творческим, продуктивным в большей или меньшей степени. В зависимости от степени новизны продукта, получаемого на основе мышления, его делят на продуктивное и репродуктивное. Продуктивное мышление характеризуется высокой новизной своего продукта, своеобразием процесса его получения и существенным влиянием на умственное развитие. Продуктивное мышление учащихся обеспечивает самостоятельное решение новых для них проблем, глубокое усвоение знаний, быстрый темп овладения ими, широту их переноса в относительно новые условия. Репродуктивное мышление характеризуется меньшей продуктивностью, но оно играет важную роль. На основе этого вида мышления осуществляется решение задач знакомой школьнику структуры. Оно обеспечивает понимание нового материала, применение знаний на практике, если при этом не требуется их существенного преобразования. Возможности репродуктивного мышления определяются наличием исходного минимума знаний. Главным признаком продуктивных умственных актов является возможность получения новых знаний в самом процессе, т. е. спонтанно, а не путем заимствования извне.[9]

Самостоятельность мышления приобретает определяющий характер и крайне необходима для самоутверждения личности. Взрослые, в частности учителя иногда безапелляционно отвергают наивные, односторонние, еще далеко незрелые заключения, создавая своей бестактностью предпосылки для конфликтов и недоразумений.

1.4 Основные пути формирования вычислительной культуры у учащихся средней и старшей школы

Об уровне вычислительной культуры учащихся можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов. В зависимости от сложности задания на практике используются три вида вычислений: письменное, устное и письменное с промежуточными устными вычислениями. Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений.

Одной из основных задач преподавания математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.

Вычислительные навыки - важная составляющая математических навыков. Большая часть математических навыков - это сложные навыки, формирующиеся на основе других умений и навыков. Так, навык сложения дробей с разными знаменателями основан на умении находить наименьшее общее кратное двух натуральных чисел, применять основное свойство дроби при приведении дробей к общему знаменателю, складывать дроби с одинаковыми знаменателями. В свою очередь каждые из указанных умений также имеют сложную структуру. Отсутствие какого-либо из элементарных умений и навыков служит причиной несформированности сложного навыка.

Общеизвестно, что умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если их формирование происходит на сознательной основе (дидактический принцип сознательности). Тренировки без достаточного понимания изучаемого редко приводят к прочным умениям и навыкам. Поэтому формированию навыков учащихся должно предшествовать понимание ими сути изучаемого действия.

Формирование математических навыков состоит из следующих этапов:

1. Первый этап формирования навыка - овладение умением. При овладении умением в вычислениях или тождественных преобразованиях первые упражнения на применение нового приема, метода, определения должны выполняться с подробными объяснениями и записями. Так, при изучении деления рациональных чисел следует подробно разъяснять смысл нового действия, алгоритм его выполнения. Подробные разъяснения и записи помогают ученикам лучше понять смысл и последовательность выполнения изучаемого действия. Именно поэтому на этом этапе при формировании вычислительных навыков предпочтительнее использовать письменные вычисления. Но процесс формирования навыка не ограничивается овладением умением.[15]

2. Второй этап - этап автоматизации умения. Автоматизация умения происходит путем исключения некоторых промежуточных операций, сложные ассоциации заменяются прямыми (или спрямленными) ассоциациями от данных к искомому. Так, если умение реализуется по схеме, А>В>С, где В - промежуточное действие, то навык - чаще всего по прямой схеме А>С. Поэтому следует помочь ученикам перейти от сложной схемы действий к более простой. Это означает, что после выполнения первых упражнений надо добиваться свертывания промежуточных операций, для чего полезно часть преобразований выполнять мысленно, опуская промежуточные записи. При формировании вычислительных навыков на этом этапе используют письменные вычисления с промежуточными устными.[15]

Актуальным является методическое требование выполнять устно вычисления и преобразования не только во время так называемых пятиминуток устного счета. При решении любых задач, на каждом этапе урока все вычисления и выкладки, которые ученики могут выполнять устно, должны быть устно и выполнены. И дело не только в том, что на лишние записи тратится драгоценное время урока. Гораздо хуже то, что учащихся с самого начала приучают не думать при вычислениях, а только применять стандартный алгоритм, что в дальнейшем приводит ко многим нерациональным решениям, к слабо развитым вычислительным умениям и навыкам. Привычка выполнять устно несложные вычисления и выкладки нередко порождает потребность производить мысленные эксперименты при решении задач, высказывать догадки, предположения о путях решения более сложных задач, мысленно (устно) проверяя истинность предположений. А это одно из главных условий обучения решению математических задач.

Несколько слов нужно сказать и о проблеме рациональности в вычислениях. В требование рационального выполнения вычислений и преобразований включается как выбор и осуществление рационального пути выполнения упражнений и решения задач, так и их рациональная запись.

Выбору рационального пути решения всегда предшествует анализ данного для вычисления или преобразования выражения, выявление порядка заданных операций, мысленный эксперимент («Если поступить так, то получится то-то, а если иначе-то… Какой путь проще?»). На этой основе составляется план вычислений, преобразований. Обдуманное составление плана существенно помогает выбору рационального пути решения. Рациональное же решение - способ развития мышления учащихся, формирования высокоразвитых, осмысленных умений и навыков, свидетельствующий о бережном отношении учителя к учебному времени учащихся. Рациональное выполнение вычислений и тождественных преобразований требует нестандартных решений, следовательно, служит формированию более прочных умений и навыков. Задача учителя систематически обращать внимание школьников на рационализацию вычислений и преобразований.

Форма записи решения задач может иметь немалое значение в формировании навыков. Не следует рекомендовать единую форму записи решения на всех этапах обучения, в процессе отработки умений и навыков форма записи вычислений и тождественных преобразований должна, как правило, упрощаться.

Таким образом, подчеркнув особенности математических навыков, можно переходить к рассмотрению частного случая - вычислительным навыкам.

Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти автоматически. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности. [13]

Как в письменных, так и в устных вычислениях, используются разнообразные правила и приемы.

В 5 классе у учащихся необходимо закрепить умение выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами. В результате изучения программного материала школьники должны уметь выполнять основные действия с десятичными дробями; применять законы сложения и умножения (переместительный, сочетательный и распределительный) к упрощению выражений, использовать признаки делимости на 10, 2, 5, 3, округлять числа до любого разряда, определять порядок действий при вычислении значения выражения.[21]

В 6 классе у учащихся необходимо закрепить умение находить числовое значение выражения с использованием всех действий с десятичными дробями. В процессе изучения нового материала учащиеся должны уметь выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножение и деление дробей, совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, применять переместительный и сочетательный законы сложения к упрощению вычислений с дробями, использовать распределительный закон умножения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами.[21]

В 7-9 классе у учащихся развивается и закрепляется умение находить числовое значение выражения, как при изучении нового материала, так и при его закреплении. В 7 классе вычислительная техника школьников совершенствуется при выполнении преобразований над степенями с натуральным показателем, с одночленами и многочленами (когда коэффициент - дробное число), при использовании тождеств сокращенного умножения.

В 8 классе при изучении тем «Рациональные дроби», «Неравенства», «Квадратные корни и квадратные уравнения» широко используются умениями учащихся выполнять действия с дробными числами в процессе нахождения числовых значений рациональных выражений, преобразования выражений, содержащих степени с целым показателями, решения неравенств, вычисления квадратных корней.[21]

В 9 классе в процессе изучения тем: “Квадратные уравнения”, “Уравнения и неравенства с двумя переменными”, “Системы уравнений и неравенств”, “Степень с рациональным показателем” - девятиклассники учатся свободно владеть навыками действий с рациональными числами.[21]

В 10 классе учащиеся свободно владеют навыками действий со степенью с рациональными и действительными показателями, демонстрируют применение знаний о свойствах показательной функции к решению прикладных задач, изучают основные способы решения показательных уравнений, применяют свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений, решают различные логарифмические уравнения и их системы, изучают тригонометрические формулы и уравнения.

В 11 классе школьники должны овладеть навыками построения графиков тригонометрических функций, распознают функции по данному графику; приобретают навыки вычисления производных функций на основе определения производной, а навыки вычисления первообразных на основе свойств элементарных функций.

Учитель должен иметь представление об уровне вычислительных умений и навыков учащихся, сформированных ранее. Этому могут помочь проведение самостоятельных работ и наблюдения учителя за работой учащихся в классе. Анализ письменных и устных работ учащихся дает возможность установить, как усвоен данный материал, какие общие и наиболее характерные ошибки допущены при проведении вычислений, кто из учащихся и что именно не усвоил и как ликвидировать выявленные пробелы.

Общий вывод по первой главе

В первой главе мы попытались дать определение «вычислительной культуры». Выделили ряд признаков, которые определяют достаточно высокий уровень вычислительной культуры. Выяснили, что она главным образом выражается вычислительными умениями и и навыками.

После анализа литературы пришли к выводу: вычислительные навыки достигают высшего уровня своего развития лишь в результате длительного процесса целенаправленного их формирования; его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.

Глава 2. Методические рекомендации по формированию вычислительной культуры школьников

2.1 Устная работа при формировании вычислительных умений и навыков учащихся

В методике математики различают устные и письменные приемы вычисления.

Чтобы навыки устных вычислений постоянно совершенствовались, необходимо установить правильное соотношение в применении устных и письменных приёмов вычислений, а именно: вычислять письменно только тогда, когда устно вычислять трудно.

Упражнения в устных вычислениях должны пронизывать весь урок. Их можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе. Особенно хорошо, если наряду с этим, специально отводить 5-7 минут на уроке для устного счёта. Материал для этого можно подобрать из учебника или специальных сборников. Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. В зависимости от этого учитель определяет место устного счета на уроке. Если устные упражнения предназначаются для повторения материала, формирования вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то лучше их провести в начале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала. Не следует проводить его в конце урока, так как дети уже утомлены, а устный счет требует большого внимания, памяти и мышления. Количество упражнений должно быть таким, чтобы их выполнение не переутомляло детей и не превышало отведенного на это времени урока.

При подборе упражнений для урока следует учитывать, что подготовительные упражнения и первые упражнения для закрепления, как правило, должны определяться прямолинейно. Здесь ненужно стремиться к особенному разнообразию в формулировках и приёмах работы. Упражнения для отработки знаний и навыков и, особенно, для применения их в различных условиях однообразны. Формулировки заданий, по возможности рассчитаны на то, чтобы они легко воспринимались на слух. Для этого они должны быть чёткими и лаконичными, сформулированы легко и определённо, не допускать различного толкования. В случаях, когда задания всё-таки трудны для усвоения на слух, необходимо прибегать к записям или рисункам на доске. Устный счет на уроках математики способствует формированию прочных вычислительных навыков и умений, он также играет немаловажную роль в привитии и повышении у детей познавательного интереса к урокам математики как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития логического мышления, развития личностных качеств ребенка.[8]

Рассмотрим часто встречающиеся случаи умножения и деления, в которых особенно плодотворно применение устного счета.

Дроби

1. Умножение целого числа на смешанное. Умножение целого числа на смешанное число может быть выполнено по правилу умножения числа на сумму, так как смешанное число есть сумма целого числа и дроби. Поясним это на числовом примере:

1) .

При умножении целого числа на смешанное число можно обратить смешанное число в неправильную дробь, затем умножить целое число на числитель неправильной дроби, полученное произведение сделать числителем искомого произведения, а знаменатель оставить тот же:

.

Как видим, первый способ проще и дает возможность быстрее выполнять умножение.

2. Деление смешанного числа на целое. Смешанное число можно рассматривать как сумму двух чисел. Следовательно, деление смешанного числа на целое есть деление суммы двух чисел на число. Чтобы разделить сумму чисел на число, достаточно разделить на это число каждое из слагаемых, и сложить полученные результаты.

Мы знаем, что все основные законы арифметических действий, установленные для натуральных чисел, сохраняют свою силу и для дробных чисел:

1) 348: 4 = (348 + ): 4 = 348: 4 + : 4 = 87 + = 87.

Как видим, этот способ проще (он дает возможность быстрее производить вычисления), чем обычный способ деления смешанного числа на целое с обращением смешанного числа в неправильную дробь.

3. Умножение и деление целого числа на дробь, которая отличается от единицы на одну долю:

а) умножение

;

б) деление

.

Рассмотрим пример деления целого числа на дробь, причем дробь отличается от единицы на две и более долей:

.

Как мы видим, данный способ дает возможность быстрее умножать и делить целое число на дробь, поэтому следует разобранный способ использовать при умножении или делении целого числа на дробь.

Приём округления в сложении

Например: надо сложить 399 + 473.

Если мы добавим к 399 единицу, то есть округлим первое слагаемое на единицу, то и сумма увеличивается на единицу, поэтому, сложив 400 и 473, мы получаем не истинную сумму чисел 399 и 473, а на единицу больше. Поэтому от 873 надо отнять единицу, и мы получим истинную сумму, то есть 872.

Округлением слагаемых можно пользоваться не только при сложении целых, но и при сложении дробей, как обыкновенных, так и дробных.

Приём округления в вычитании

Рассмотрим теперь на примере применение приёма округления при вычитании:

56-38=[(56+4)-38 ] -4=(60-38) -4=22-4=18

Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток, или разность, увеличивается на столько же единиц. Поэтому, увеличив (округлив) 56 на 4, мы должны из разности ( она заключена в квадратные скобки ) вычесть эти 4 единицы.

Если уменьшаемое на несколько единиц уменьшить, то остаток, или разность, уменьшится на столько же единиц.

Если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток, или разность уменьшится на столько же единиц.

Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц, остаток, или разность, увеличится на столько же единиц.

Приём округления в умножении

3518=3520-352=700-70=630.

Приём очень эффективный, если множимое «удобное» для умножения, а множитель близок к полному числу десятков или полному числу сотен.

1983=(200-2)3=600-6=594

Приём округления множимого удобен, если оно близко к полным десяткам или сотням и если множитель -однозначное число ( или число , выражающее круглые десятки или сотни).

Приём округления в делении

Если делимое и делитель одновременно увеличить (или уменьшить) в одно и тоже число раз, то величина частного не измениться.

Умножение двузначных чисел в случаях, когда оба числа начинаются или оканчиваются цифрой 5

Умножение двузначных чисел в случаях, когда оба числа начинаются или оканчиваются цифрой пять или когда одно из чисел состоит из одних пятерок, выполняется по формуле:

АС * EG = (А*Е + Полусумма "не пятерок")*100 + C*G.

Примеры:

54 * 51 = (5*5 + (4+1 ):2)*100 + 4*1 = (25+2,5)*100 + 4 = 2754;

35 * 75 = (3*7 + (3+7):2)*100 + 5*5 = 2*600 + 25 = 2625;

55* 93 = (5*9 + (9+3):2)*100 + 5*3 = 5100 +15 = 5115.

Обоснование способа следует из тождеств:

(50a+a)*(50+b) = (25+(a+b)/2)*100 + ab;

(10а+5)*(10b-5) = (ab+(a+b)/2)*100 + 25;

(10a+b)*55 = (5a+(a+b)/2)*100 + 5b.

Умножение двух двузначных чисел, близких к 100

Всякое двузначное число можно представить в виде 100 -а. Будем называть а недостатком данного числа до 100. Если данные числа близки к 100, то недостатки их -сравнительно небольшие числа, удобные для устных вычислений. Рассмотрим такое умножение в общем виде:

(100 -а )(100 -b )=100*100 -100а -100b+аb=(100 -а -b )*100+аb

Это выражение показывает: чтобы получить число сотен искомого произведения, достаточно из одного сомножителя ( например, 100 -а ) вычесть недостаток другого сомножителя до 100 т.е. b) и к полученной разности приписать произведение недостатков ab, если ab -двузначное . Если ab -однозначное число, например 8, то приписывается 08.

Пример. Умножить 87 на 94. Первый недостаток 13, второй 6. Из числа 87 вычитаем 6 (или из числа 94 вычитаем 13), получаем 81. К числу 81 приписываем 13*6=78. Произведение 8178.

Рассмотрим систему упражнений, которую можно использовать для устной работы при изучении темы « Квадратные корни» в 8 классе. Она может содержать следующие задания:

1. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна:

а) ; г) ;

б) ; д);

в) е) .

2. Выберите вернее равенства:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

3. Вычислите:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е)

4. Найдите значение выражения:

а) при a =3; в) при b=;

б) при x=10, y=4; г) при t=3.

5. При каких значениях а имеет смысл выражение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

6. Сравните числа:

а) в) ;

б) 2; г)

7. Вычислите:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

8. Используя свойства квадратных корней, найдите значение числового выражения:

а); г) ;

б); д) ;

в); е) .

9.Подберите два последовательных числа, между которыми заключено число:

а) ; в) -;

б) ; г) -.

10. Укажите, сколько целых чисел принадлежит промежутку:

а) [1;]; в) ;

б); г) .

11. Вычислите, применяя формулу сокращённого умножения:

а) ; в) ;

б) ; г).

12.Решите уравнение, применяя формулы сокращённого умножения:

а) ; в);

б) ; г).

13. Разложите на множители, применяя формулы сокращённого умножения:

а); в) ;

б) m-n; г) .

14. Сократите дробь:

а) ; в) ;

б) ; г)

15. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе:

а) ; в);

б) ; г)

В 10 классе при изучении темы « Производна» для устной работы можно использовать следующую систему упражнений:

1. Установите, является ли функция F(x) первообразной для функции f(x):

а) ; в)

б) г).

2. Определите, какие из следующих функций являются первообразными для функции :

а) в)

г)

в) д)

Найдите первообразную для функции

3. а) в)

б) г)

4. а) в)

б) г)

2.2 Значение письменных вычислений и тождественных преобразований в процессе обучения математике

Возможности устных вычислений ограничены свойствами памяти: с возрастанием количества цифр компонентов действий память перестает справляться с закреплением результатов мысленно выполняемых операций. Этим ограничением не стеснен письменный способ вычислений.

Формирование культуры письменных вычислений и тождественных преобразований начинается с обучения учащихся правильной и аккуратной записи чисел, выражаемых как цифрами, так и буквами. Из начальной школы дети приходят в 5 класс обычно с хорошо отработанными навыками письменной нумерации. В средней школе (особенно в старших классах) нередко наблюдается снижение требований к учащимся относительно цифровой и буквенной каллиграфии, вследствие чего школьники начинают вести записи цифр, букв, знаков действий и отношений небрежно, неразборчиво, а затем привыкают к этому. Наблюдаются, например, случаи, когда ученик не может разобрать, какую цифру или букву он записал:

6 или 0; 9 или 2; 7 или 4; а или d; выражение или ;

или и т. д. Часто ошибочный результат вычислений или тождественных преобразований является следствием именно небрежной записи. При изучении той или иной категории чисел (натуральных, дробных и т. д.) учитель дает образцы написания чисел и затем настойчиво требует от учащихся соблюдения соответствующих правил. [6]

При изучении действий и их свойств даются образцы подробной записи тождественных преобразований и устных объяснений, на основании каких свойств действий они выполняются, а затем и образцы краткой записи, например:

.

Краткая запись:

.

Следует предостеречь от другого способа вычисления суммы данных чисел, а именно: начинать с представления слагаемых в виде неправильных дробей -- отметив очевидное преимущество первого способа.

Этот методический прием используется при изучении каждого действия с целью выявления наиболее рациональных способов письменного выполнения действий. На время изучения действий и новых видов тождественных преобразований полезно в классе вывешивать образцы рационального письменного выполнения действий и тождественных преобразований. Полезны и общие указания: перед вычислением или преобразованием выяснить:

...