Пути формирования вычислительной культуры у учащихся средней школы в процессе обучения математике

1) последовательность выполнения действий, преобразований;

2) какие действия (преобразования) можно выполнить устно;

3) нельзя ли применить свойства действий для упрощения вычислений (преобразований);

4) вести ли записи в виде цепочки равенств или по нумерованным действиям (частям) или составить удобную вычислительную схему;

5) как проверить результат.

Письменная проверка решения выполняется либо на основе законов действий, либо на основе зависимости между компонентами и результатами действий. Письменные вычисления проводятся и при проверке решения текстовых задач.

Учащиеся 5--6 классов должны уверенно справляться со сколь угодно большими числами, но и здесь считаются достаточными прочные навыки вычислений с 3-, 4-, 5-значными числами. Что касается письменного выполнения действий над дробями, то требуется, чтобы в 5 классе учащиеся научились уверенно выполнять вычисления вида

28,6 + 1,4 -- (6,595 + 3,405) -- 17,6 : 25, а в 6 классе -- вычисления вида 45,9 : 1,5 -- . В дальнейшем особое внимание должно уделяться совершенствованию навыков учащихся в письменном выполнении действий над десятичными дробями. Это требование исходит из оценки особой роли десятичных дробей как в учении о числе, так и в жизненной практике.

В старших классах требуется уверенное выполнение вычислений числовых выражений, содержащих комбинации элементарных (алгебраических и трансцендентных) операций. Для облегчения письменных вычислений вырабатываются особые приемы выполнения действий, например выполнение арифметических действий над целыми числами и десятичными дробями начиная со старших разрядов. Конечно, в школе невозможно использовать все многообразие существующих приемов быстрых вычислений, и учителю самому приходится выбирать те из них, которые сообщаются учащимся для систематического применения.

Применение аналитического аппарата для доказательства теорем, вывода формул, исследования функций, решения уравнений и неравенств осуществляется в форме тождественных преобразований аналитических выражений. Например, доказательство теоремы сложения для синуса может быть представлено следующей цепочкой преобразований:

Для вывода формул корней квадратного уравнения ах² + bх +c=0 целесообразно квадратный трехчлен ах² + bх + с тождественно преобразовать к виду

,

где ; после тождественного преобразования квадратного трёхчлена к виду легко уже выявляются промежутки монотонности функции и ее экстремум. Поэтому вполне оправдано требование доведения до автоматизма навыков выполнения тождественных преобразований.[6]

В 5--6 классах с расширением понятий числа и операций над числами обогащается и аппарат тождественных преобразований. Систематическое изучение тождественных преобразований начинается в 7 классе с определений: «Два выражения называются тождественно равными, если все их соответственные значения равны»; «Равенства, в которых левая и правая части -- тождественно равные выражения, называют тождествами»; «Замену выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения». Учащимся необходимо усвоить то принципиальное положение, что само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений, и понять, что сущность тождественных преобразований выражения состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоив эти положения, учащиеся часто проявляют формализм в знаниях сущности тождественных преобразований: они не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражения тождественны, т. е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных. Этот пробел в знаниях учащихся обычно является следствием недоработки учителя при изучении действий и их свойств. При записи определений и свойств действий в буквенной форме (например,

и т.д. следует постоянно отмечать, что такие равенства верны при любых допустимых значениях переменных, в них входящих. Этот вопрос не может быть строго обоснован в средней школе, но, хотя бы на интуитивной основе, надо добиться отчетливого понимания его учащимися. Например, содержательное доказательство тождественности выражений и а² + 2ab + b² должно быть примерно таким: по определению степени (a + b)² = (a+b)(a+b) при любом значении основания а + b, т. е. при любых значениях а и b, распределительный закон умножения относительно сложения выполняется при любых значениях слагаемых и множителя, т. е. (а + b) (а + b) = a (a + b) + b (a + b) при любых значениях a и b и т. д. В конечном счете получаем равенство

(а + b)² = a² + 2ab + b², верное при любых значениях а и b.

Важно также добиться, чтобы учащиеся хорошо понимали, что такие виды тождественных преобразований, как раскрытие скобок, приведение подобных членов, сокращение дробей, приведение дробей к общему знаменателю и т. д., являются следствиями определений и свойств соответствующих действий. [6]

В 7 классе рассматриваются преобразования рациональных выражений в отношения двух многочленов, сокращение алгебраических дробей. В связи с введением дробных выражений возникает необходимость расширения содержания понятия тождества. Действительно, даже такое равенство, как нельзя безоговорочно назвать тождеством, так как при b = 0 обе части равенства теряют смысл и говорить о том, что это равенство верно при любых значениях а и b, нельзя. Поэтому тождество определяется уже как равенство, верное при любых допустимых значениях переменных.

Весьма насыщена различными видами тождественных преобразований программа 8 класса: здесь выполняются тождественные преобразования как алгебраических, так и трансцендентных выражений. Для выражений, содержащих только действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, установлен стандартный вид (-рациональные числа).

Отношение тождества, определение которого было дано в 7 классе, на множестве алгебраических и трансцендентных выражений может терять свойство транзитивности. Например, | х | = -- тождество (на множестве допустимых значений х 0) = х тоже тождество (на том же множестве допустимых значений x), но равенство | х | = х не является тождеством, так как при отрицательных значениях (которые являются допустимыми для последнего равенства) равенство становится неверным. Таким образом, формально выполняя тождественные преобразования, мы можем ошибочно признать тождественными такие выражения, которые на самом деле тождественными не являются. Такие ошибки будут исключены, если внимательно руководствоваться следующими положениями: если А = В -- тождество над множеством D_1, В = С -- тождество над множеством D₂ и если D₁ D₂ = D , то А = С -- тождество над множеством D; А = С может оказаться тождеством над пустым множеством.

В 10 классе основными трансцендентными тождествами являются

lg(xy)=lg x+lg y, lg=lg x-lg y, lg = n lg x,

, tg , sin (90° -- ) = cos , sin (180° -- ) = sin , cos (90° -- ) = sin , cos (180° --) = = -- cos .

В 10 -11 классах аппарат тождественных преобразований расширяется за счет комбинаторных тождеств, формул суммы членов бесконечной геометрической прогрессии, суммы квадратов первых натуральных чисел, бинома Ньютона, формул синуса и косинуса суммы и разности.

При изучении в 11 классе профильного уровня, темы «Многочлен от одной переменной» можно использовать следующую систему упражнений:

1. Запишите многочлен в стандартном виде:

а)

б)

2. При каких значениях параметра а коэффициент при в стандартном виде многочлена равен 0.

3. В многочлене выполнили замену переменной и получили многочлен. При каких значениях параметра многочлен не содержит члена степени , если

4. Определите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена р(х):

р(х)=.

5. Найдите все значения параметров a и b, при которых многочлены тождественно равны:

.

6. Выполните деление «уголком»:

.

7. Найдите остаток от деления многочлена

8. Используя схему Горнера , выполните деление многочлена на двучлен :

9. Используя схему Горнера , докажите, что число a является корнем многочлена :

10. Докажите, что многочлен не имеет действительных корней:

11. Разложите многочлен на линейные множители:

12. Докажите, что у данного многочлена нет рациональных корней: .

2.3 Методические особенности обучения приближённым вычислениям в школьном курсе математики

Чем обусловлена необходимость изучения приближенных вычислений в школьном курсе математики? Многочисленные приложения математических методов в различных областях знаний и жизненной практики часто осуществляются в форме решения задач на вычисление. Если среди данных в задаче имеются значения непрерывных величин (расстояния, скорости, времени, стоимости, веса, давления, площади, объема, температуры, силы тока и т. д.), то они обязательно являются приближенными числами, так как точные измерения таких величин принципиально невозможны. Объясняется это тем, что при изготовлении самих измерительных приборов не может быть достигнута их идеальная точность (на приборах указывается их погрешность), да и сам человек, пользующийся измерительным прибором, допускает погрешности[2].

С элементами приближённых вычислений учащиеся встречаются в начальный период обучения математике. Изучение таких вычислений продолжается на протяжении 11 лет обучения в школе. За это время учащиеся должны овладеть следующим объемом сведений о приближённых вычислениях.

Точные и приближенные числа. Источники точных и приближенных чисел. Приближенные значения числа с недостатком и с избытком. Нижняя и верхняя границы точного числа. Округление чисел. Правила округления. Погрешность приближенного числа. Абсолютная и относительная погрешности. Границы абсолютной и относительной погрешностей. Верные цифры числа. Десятичные знаки и значащие цифры. Приближенные вычисления по способам границ, границ погрешностей и правилам подсчета цифр.

Остановимся на некоторых вопросах методики изучения основных понятий приближенных вычислений в 5--7 классах.

Термины «точное число» и «приближенное число» могут быть, естественно, введены в начале курса математики 5 класса при повторении и расширении сведений о счете и нумерации. Заметим, что рассуждения учителя о сомнительной точности данных, о численности некоторых множеств (число жителей страны и т. п.) не производят на учащихся должного впечатления. Более эффективен другой подход к вопросу. Например, вывешивается рисунок, на котором беспорядочно расположены кружки красного и зеленого цвета. Предлагается узнать число кружков каждого цвета. Как правило, дети ошибаются в счете. Проверяя результаты, отмечаем, какие числа оказываются точными, какие -- неточными, приближенными. Теперь уже будет полезным обсудить с учащимися, можно ли и, главное, имеет ли смысл безошибочно сосчитать число демонстрантов в колонне, количество вагонов движущегося с большой скоростью поезда, число жителей своего населенного пункта, птиц в пролетающей стае и т. д.

В связи с изучением вопроса «Изображение чисел точками на луче» и с ознакомлением учащихся со шкалами и измерением расстояний опять-таки естественным образом может быть введен в употребление термин «приближенное значение числа с недостатком (с избытком)» и организованы практические работы по измерению расстояний так, чтобы учащиеся поняли, что в результате измерения всегда получаются приближенные числа. Надо обратить внимание на то, что сама точность измерительных приборов условная: металлическая измерительная линейка в зависимости от температуры может укорачиваться или удлиняться; мерная лента при измерении может натягиваться с разной силой и т. д. [6]

В теме «Десятичные дроби» при изучении вопросов «Измерение величин», «Округление чисел» можно говорить уже о погрешности приближенного числа, о границах для точного числа. Надо объяснить, что если измерением установлено: 10 х 11, то в качестве приближенного значения х могут быть взяты не только числа 10 и 11, но и любое число между ними, например 10,2. На числовой оси точка х расположена где-то между точками 10 и 11, и расстояние между точками х и 10,2 очевидно, меньше расстояния между точками 10 и 11, равного 11 -- 10 = 1. В этом случае говорят, что число 10,2 (как и всякое другое число от 10 до 11) есть приближенное значение числа х.

После изучения в 5 классе разрядов десятичной дроби полезно систематически выполнять такие упражнения: 1) назвать и записать половину единицы заданного разряда; 2) привести примеры чисел, меньших половины единицы заданного разряда; 3) сравнить заданное число с половиной единицы заданного разряда. Без такого рода подготовительных упражнений учащиеся в 8 классе испытывают затруднения в усвоении понятия верной цифры, играющего важную роль в теории приближенных вычислений.

В 6 классе при округлении чисел на основе понятия модуля числа можно выявлять, какое из приближенных значений -- с недостатком или с избытком -- ближе к определяемому числу. Понятие степени с натуральным показателем используется для записи результата округления числа до разряда десятков, сотен (24 583 2458 * 246 * 10³) и т. д., а в дальнейшем и для записи числа в стандартном виде а * 10ⁿ, где 1 а 9,n Z.

Рассмотренные понятия, относящиеся к теории приближенных вычислений, должны планомерно применяться и на седьмом году обучения.

Систематическое изучение элементов теории приближенных вычислений начинается в 8 классе. Здесь уточняются уже знакомые понятия и вводятся новые: разность между числом х и его приближенным значением а называется погрешностью приближенного значения числа; модуль разности между числом х и его приближенным значением а называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа и обозначается .[6]

Вводятся определения верной и значащей цифр. Цифра какого-либо разряда в записи приближённого значения числа называется верной, если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы этого разряда. Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, кроме нулей, стоящих перед первой отличной от нуля цифрой. [7]

Рассмотрим как применяются приближенные вычисления в уравнениях.

До сир пор в школьном курсе математики рассматривались лишь такие уравнения, которые могут быть «вручную» (т.е. применением тождественных преобразований, введением вспомогательных неизвестных, расчленением одного уравнения в совокупность нескольких уравнений и т. д.) сведены к простейшим уравнениям, допускающим непосредственное решение с применением, если нужно, таблиц или калькулятора. Типичным примером является , например, уравнение

, (1)

которое введением вспомогательного неизвестного приводится к квадратному уравнению . Аналогичные примеры, связанные с решением тригонометрических, логарифмических и других типов уравнений, можно в изобилии встретить в действующих учебных пособиях.

Разумеется, определённую методическую ценность такие примеры имеют, поскольку они приучают к проведению тождественных преобразований, усвоению свойств тригонометрических и показательных функций, правил действия со степенями и т.п. Вместе с тем собственно решению уравнений (представляющему собой важный способ решения прикладных, производственных, жизненных задач) эти специально подобраннее примеры фактически не учат. Можно сказать, что такого рода примеры в некоторой степени способствуют изучению правил тождественных преобразований, но в значительно большей степени тренируют умение выполнять преобразования для подведения левой части уравнения к одному из известных случаев. Умение решать уравнения с помощью вычурных преобразований часто проверяется на письменных экзаменах. Вряд ли можно считать, что это умение свидетельствует о хорошей математической подготовке абитуриента.

Вернёмся к рассмотренному выше уравнению (1). Достаточно чуть-чуть изменить числовое значение коэффициентов, например, взять уравнение

, и сведение к квадратному уравнению уже не возможно. Между тем числовые значения в инженерных расчётах, производственных задачах, статистических вычислениях обычно получаются с помощью экспериментальных замеров, табличных данных, технических характеристик и т. п. При этих условиях умение решать «вручную» уравнения с помощью сложных преобразований оказывается бесполезным, поскольку такие коэффициенты уравнения выводят его за рамки специально подобранных задач. И даже если случайно окажется, что уравнение допускает «ручное» решение, инженер этого не заметит, поскольку он привык к тому, что, как правило, уравнения (особенно трансцендентные) могут быть решены лишь приближенно, а не точно.

Такое понимание «решения» различных уравнений объективно подготовлено (и более того, сделалось необходимостью) в связи с современным развитием вычислительной техники. Если раньше (до появления компьютеров или даже калькуляторов) процесс приближенного решения уравнения был настолько трудоёмким в вычислительном плане, что практически не мог быть осуществлён на уроке (даже с возможным завершением в виде домашнего задания), то теперь приближенное решение является более простым, более общим, более практически значимым и более богатым и важным в идейном плане, чем проведение сложных «ручных» преобразований. Разумеется, это вовсе не означает, что в школе также следует вести дело к постепенному переходу исключительно на приближенные методы решения уравнений. Напротив, линейные уравнения, квадратные уравнения и некоторые типы иррациональных уравнений (главным образом с квадратными радикалами) останутся в пределах обозримого будущего важным элементом культуры. И решение этих уравнений будет по-прежнему проводиться хорошо известными в школьной методике приёмами (хотя и здесь чисто «ручное» решение должно будет сочетаться с применением вычислительной техники.) [5]

Рассмотрим в качестве примера решение кубического уравнения

( 2 )

с точностью до 0,0001, т.е. решение уравнения , где через обозначается многочлен третьей степени, стоящий в левой части. Возьмем сначала наиболее простой вариант работы, когда в распоряжении человека, осуществляющего приближенное решение уравнения, имеется лишь обычный калькулятор с одной ячейкой памяти. Так в процессе приближенного решения уравнения придётся несколько раз вычислять значения функции , то удобно воспользоваться схемой Горнера, для чего следует представить многочлен в виде

(3).

Теперь, если например, нужно найти значение этого многочлена в точке 2,17, мы осуществим вычисления на калькуляторе следующим образом:

2,17 F ЗАП - 3F ИП + 5F ИП -7=

Иначе говоря, мы один раз набираем значение аргумента и вводим его в ячейку памяти, а затем при необходимости вызываем записанное значение из памяти.

Для числа 2,17, имеющего лишь 2 знака после десятичной точки, это не очень существенно, но при увеличении точности такой приём (когда не надо несколько раз набирать одно и тоже значение ) очень удобен.

Легко убеждаемся, что , т.е. в точках 2 и 3 функция принимает значения разных знаков. Кроме того эта функция непрерывна, и поэтому на отрезке имеется корень этого уравнения.

Теперь делим отрезок на 10 равных частей (точками 2,1; 2,2;…;2,9) и находим по указанной схеме вычислений (рис. 1) значение функции в этих точках. Мы получаем:

т.е. после первых же двух вычислений значений функции мы обнаруживаем , что искомый корень лежит между 2,1 и 2,2, мы видим, что в точке 2,2 это значение (по модулю) в три с лишним раза меньше, чем значение в точке 2,1. Можно поэтому считать, что искомый корень существенно ближе к точке 2,2, чем к точке 2,1. Взяв, для испытания значения Х=2,17 и Х=2,18, получаем:

.



Рис. 1

Отсюда ясно, что искомый корень лежит между 2,17 и 2,18 и притом существенно ближе к 2,18. Взяв для проверки Х=2,179, получаем следующий ответ: .

Таким образом, корень находиться между 2,179 и 2,180 (примерно на равном расстоянии). Возьмём поэтому Х=2,1795; получаем

.

Это означает, что корень лежит между 2,1794 и 2,18 причем очень близко к 2,1795; поэтому мы испытываем значение 2,1796: .

На этом процесс приближенного решения уравнения заканчивается: мы нашли, что искомый корень расположен между 2,1795 и 2,1796 (и притом существенно ближе к 2,1795). Таким образом, с точностью до четырёх десятичных знаков имеем ответ: Х=2,1795. Как видим, нам пришлось сделать всего семь проб, чтобы найти корень кубического уравнения с четырьмя десятичными знаками. При некотором практическом навыке работы с калькулятором этот процесс требует всего несколько минут.

2.4 Использование графических вычислений как средства повышения вычислительной культуры учеников

Одной из форм обучения математике, способствующих развитию и воспитанию ценных вычислительных умений и навыков, является использование графических работ. Они имеют большое воспитательное и образовательное значение, позволяют полнее и сознательнее уяснить математические зависимости между величинами, ознакомиться с измерительными и вычислительными инструментами и их применением на практике, научиться измерять и вычислять с определённой точностью.

Графический метод используется для наглядного изображения функциональных зависимостей, для вычисления приближенных значений корней уравнений и неравенств и их систем, для решения задач технического содержания. Функционально-графические представления целесообразно также применять для выяснения теоретических вопросов, причем обычно перед аналитическими выводами и доказательствами, а также в тех случаях, когда аналитические средства но тем или иным причинам являются недоступными для учащихся или представляют определенные трудности. Например:

1. При решении системы уравнений

способом подстановки получается уравнение четвертой степени, аналитические приемы решения которого учащимся неизвестны.

2. Уравнение tg х = х решить аналитическим способом вообще нельзя. Графическое же решение уравнения является вполне доступным для учащихся.( рис. 2) Приближенные корни данного уравнения, полученные при графическом способе решения, оказываются вполне пригодными для практического их использования.[23]

Рис. 2

Чтобы получить с помощью графиков приемлемые числовые ответы, графики должны быть особенно тщательно построены.

При построении графиков рекомендуют широко использовать функциональные сетки, которые позволяют построение графиков некоторых функций свести к построению графиков более простых функций. Началом такой работы служит применение разграфленной в клетку доски, клетчатой бумаги, миллиметровой бумаги, которые упрощают построение системы координат, точек в ней и нанесение масштаба на оси, а также чтение координат точек, уже нанесенных на координатную плоскость. При этом важно научить учащихся читать координаты точек, когда искомая точка лежит на двух линиях разлиновки, на одной линии разлиновки, между линиями разлиновки.

Хорошие чертежные инструменты дают возможность повысить точность нахождения неизвестных при графическом способе решения уравнений и систем уравнений.

Точность графического решения зависит от особенности уравнений, от взаимного расположения графиков, от расположения точки пересечения линий графика по отношению к началу координат, от погрешности определения общих точек графиков. Если графики пересекаются под очень острым углом, то трудно правильно определить положение точки на чертеже, так как на некотором участке графики практически сливаются. Точка пересечения определяется тем точнее, чем угол пересечения графиков оказывается ближе к 90° . Изменения величины угла можно добиться за счет изменения масштаба.

Графический способ решения дает приближенные значения неизвестных, что следует учитывать при проверке решения уравнения и систем уравнений, правая и левая части могут оказаться приближенно равными.

Действительный корень уравнений, полученный в первом приближении графическим способом, может быть вычислен более точно. Для этого существуют различные методы: можно увеличить единицу масштаба графика, можно вычислять разности соседних с приближенным значением корня значений функций и по перемене знака этих разностей судить об уточнении корня, можно применять метод последовательных приближений, можно постепенно уточнять десятичные, сотые, тысячные и т. д. знаки приближенно найденного корня.[23]

В интересах повторения и применения изученных функций учащиеся решают ряд уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств аналитическим и графическим способами. Сочетание этих способов дает возможность сопоставлять результаты двух решений и позволяет установить абсолютные и относительные погрешности.

Графический метод решения способствует лучшему усвоению ряда понятий: функции, корней уравнения и неравенств, систем уравнений и неравенств и др. При этом целесообразно при графическом решении уравнений устанавливать связи с такими свойствами функций, как возрастание и убывание, знакопостоянство, обращение функции в нуль, что помогает глубже понять функциональную зависимость между величинами. [23]

Графический метод имеет и существенные недостатки: громоздкость, получение приближенных результатов, большая затрата времени и т. д. В применении аналитического и графического методов должно быть определенное равновесие и взаимодействие, ибо одностороннее увлечение одним из них и уменьшение роли другого не может привести к положительным результатам.

Рассмотрим на примерах самостоятельной работы как применяются графические вычисления в 8 и 10 классе.

В 8 классе по теме «Графическое решение систем уравнений и неравенств второй степени» проводится самостоятельная работа. Она может состоять из следующих заданий:

1. Решить графически следующую систему уравнений:

Выполните проверку.

2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют следующей системе неравенств:

Искомое множество заштрихуйте.

3. Запишите систему неравенств, множество решений которой изображено на рисунке 3. На рисунке заштриховано множество точек, координат которых удовлетворяют следующей системе неравенств:

рис. 3

Цель данной работы -закрепить умение графически решать систем уравнений и неравенств второй степени, совершенствовать навыки построения и чтения графиков.

В 10 классе по теме «Графическое решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными» целесообразно провести лабораторно-графическую работу.

Цель работы -закрепить навыки графического решения неравенств и систем неравенств с двумя переменными.

Лабораторная включает в себя следующие задания:

1.Даны точки Составьте неравенство, определяющее полуплоскость с границей ? Которая содержит точку . Докажите, что прямая не пересекает отрезка, ограниченного точками .

2.Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

3. Запишите системы неравенств, множества решений которых изображены на рисунках.

рис. 4

рис.5

2.5 Применение микрокалькулятора при решение задач по математике

Микрокалькуляторы в настоящее время находят всё большее применение при решении задач. Освобождение учащихся от однообразной вычислительной работы позволяет уделить большее внимание самому алгоритму вычислений, сделать занятия более творческими. Появляется возможность решать задачи с реальными числовыми данными. Высокая точность и быстрота вычислений позволяет широко и систематически использовать в учебном процессе математический эксперимент для активизации познавательной деятельности учащихся. Появляется возможность знакомить учащихся с достаточно общими методами поиска и обоснования решения сложных нестандартных задач. Рассмотрение таких задач на занятиях без использования программируемых микрокалькуляторов методически не оправдано, потому что их решение сильно затруднено, а в ряде случаев невозможно. Калькуляторы помогают на более высоком уровне организовывать индивидуальную и коллективную работу учащихся. Микрокалькулятор является надёжным и удобным средством поэтапного контроля правильности выполнения тождественных преобразований выражений с переменными.

Программируемые микрокалькуляторы позволяют эффективно в комплекте использовать различные методы поиска решения задач.

Особо следует отметить роль калькуляторов при решении уравнений. Их систематическое применение при работе над уравнениями коренным образом изменяет её обучающее содержание. Калькулятор даёт возможность применять при решении самых различных уравнений общий функциональный метод, основанный на систематическом комплексном использовании свойств всех функций, изучаемых в школе. При таком подходе к работе над уравнениями у учащихся формируется не только общий метод их решения, но и происходит их систематическое комплексное повторение важнейших свойств изученных ими ранее функций. Последнее является самым существенным в методике обучения учащихся решению уравнений.[5]

С использованием микрокалькулятора делается практически универсальным и самым простым в применении метод интервалов решения неравенств.

В школе ученики изучают общие свойства непрерывных функций, применение которых в полном объёме позволяет существенным образом упростить поиск решения нестандартных уравнений. В самом деле, учащиеся знакомятся с достаточным условием монотонности функции, с правилами вычисления производных, с производной сложной функции. Отсюда непосредственно вытекают свойства суммы двух возрастающих (убывающих) функций, свойства сложных функций. Однако при решении уравнений и других задач прикладного характера эти важнейшие теоретические значения применения не находят и поэтому учениками усваиваются формально.

У учащихся должна постоянно формироваться культура работ над уравнениями, которая сводится к следующему. Приступая к решению уравнения , прежде всего необходимо попытаться выяснить, имеет ли оно корни. В необходимых случаях (для получения гипотезы о существовании корней) составляем таблицу значений функции при помощи калькулятора. Дело в том, что, доказать, что уравнение не имеет корней, часто гораздо проще, чем заниматься его преобразованиями, направленными на получение точных корней. Полученная таблица значений функции облегчает и выбор методов нахождения корней уравнения , напоминает о существовании свойств функции , на которые без таблицы мы не могли бы и не обратить внимание.

Следует заметить, что определение корней уравнения может оказаться более сложной задачей, чем решение уравнения . Поэтому часто приходиться отказываться от мысли отделить корни уравнения путём нахождения критических точек функции . Во многих случаях отделение корней упрощается с помощью метода «ступенек». Для этого уравнение преобразуется к виду возрастающие или убывающие функции на некотором промежутке). При помощи калькулятора составляются таблицы значений функций ( с достаточно малым шагом). Работа над уравнением завершается уточнением отдельных корней.

Задача 1.Найти рациональные числа n и k, такие, что

Решение. При помощи микрокалькулятора последовательно находим:

,

602+602,0007=1364,0007,

Сравнив первое и последние из этих неравенств, получаем, что k=1 и n=2, т.е.

Задача 2. Сумма трёх первых чисел a, b, c равна нулю. Доказать, что число является квадратом целого числа.

Решение. Попытаемся получить гипотезу о каких-либо свойствах данного выражения путём рассмотрения частных случаев.

Если, например, a=1, b=2, то c=-3 и данное выражение равно . Если a=2, b=3,c=-5, то данное выражение равно Если a=-3, b=8, c=-5 и данное выражение равно .

Но как связаны значения a, b, c с основаниями квадратов ,,? Легко заметить, что ,, Итак, появляется гипотеза, что

,

если a+b+c=0. Полученная в результате математического эксперимента гипотеза легко доказывается.

Задача 3. Рассматриваются все возможные семизначные числа k с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, записанными в произвольном порядке. Существуют ли среди этих чисел два таких числа m и n, что m делиться на n?

Решение. Сумма цифр числа k равна 28. Поэтому m и n не делятся на 3 и 6. Число 7 654 321 является наибольшим из чисел k, а число 1 234 567 -наименьшим из всех чисел k. Так как 7 654 321:1 234 567 6,3, то ясно, что при делении m на n может получиться только 2,4 или 5.

Если число m делиться на 5, то оно должно оканчиваться цифрой 5, поэтому первой цифрой числа m может быть только 6 или 7. Рассмотрим несколько примеров (вычисления ведутся при помощи микрокалькулятора):

7 643 215:5=1 528 643, 7 436 125:5=1 487 225, 7 432 165:5=1 486 433, 6 374 125:5=1 274 825, 6 142 375:5=1 228 475, 6 137 245:5= 1 227 449.

Замечаем, что все частные содержат цифру 8 или 9. Но почему? Да потому, что при данном условии при делении на 5 всегда приходиться делить число на 41, или 42, или 43, или 45 на 5. Выясним, существует ли равенство 2n=m или 4n=m. Рассмотрим примеры: 3 765 2=7 530 842,

3 765 412 2=7 530 824, 1 654 372 2= 3 308 744, 2 134 567 2= 4 269 134,

1 234 765 2= 2 469 530, 2 573 146 2=5 146 392.

После рассмотрения этих примеров становится понятным, что при умножении любого числа n на 2 получаем число с цифрой 8, если после 4 в числе n стоит цифра 1, 2 или 3. Если в числе n после цифры 4 стоит цифра 5, 6 или 7, то при его умножении на 2 получаем число с цифрой 9. Осталось выяснить, существует ли равенство 4n=m. Рассмотрим несколько примеров:

1 765 432 4= 7 061 728, 1 276 543 4= 5 106 172,

Во-первых, ясно, что число n может начинаться столько с цифрой 1 и не может оканчиваться цифрой 2, 7 или 5. Во-вторых, число m везде содержит цифру 0, 8 или 9. И это зависит от того, какие две цифры стоят в числе n после 2: 34, 35, 36, 37, 43, 45, 46, 47, 53, 54, 56, 57, 63, 64, 65, 67, 73, 74, 75, 76.

Таким образом, доказано, что задача не имеет решения.

Задача 4. Решить уравнение

(1)

Решение. Положительная функция определена на промежутке (-1,0) и (0,1). Положительную функцию рассматриваем на и (0,1). Для получения гипотезы о числе корней уравнения составляем таблицу значений функций и :

x	P(x)	F(x)	x	P (x)	F(x)
-1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2	11,4 8,33 7 6,25 5,77 5,46 5,24 5,10 5,05	6,08 5,97 5,83 5,65 5,41 5,08 4,58 3,75 2,08 0	0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1	5 5,02 5,10 5,24 5,46 5,77 6,25 7 8,33	17,1 12,1 10,4 9,58 9,08 8,75 8,51 8,33 8,08

Функции и на (-1, -) убывают. Методом « ступенек » легко доказывается, на этом промежутке уравнение (1) корней не имеет. На (0,1) непрерывная функция возрастает, убывает. Число 0,8 является единственным корнем уравнения (1).

Данные вычисления следует применять при изучении алгебры в 7-9 классах с использованием возможностей применения малых вычислительных средств.

2.6 Цели, задачи, содержание и результат опытной работы

Опытная работа по формированию вычислительной культуры школьников была проведена в естественнонаучном 8 «А» классе гимназии № 42 г. Барнаула.

Во время прохождений практики изучались следующие темы: «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения корня», « Функция , её свойства и график».

Цель работы: формировать вычислительные умения и навыки применяя разработанные методические рекомендации.

Первая изучаемая тема включается в тему « Квадратные корни». В её содержании выделяются следующие элементы, подлежащие усвоению:

· понятия и термины: «иррациональное число», «действительное число», «квадратный корень», «арифметический квадратный корень»;

· символ , выражения (область определения, множество значений), выражение ,где m (области определения);

· теоремы, выражающие свойства арифметического квадратного корня: а) , где ; б) , в) где m , г) , где ; , где ;

· приёмы:

а) нахождение арифметического квадратного корня из точного квадрата;

б) нахождение десятичных приближений арифметического квадратного корня методом проб;

в) нахождение арифметического квадратного корня по таблице;

г) решение уравнения ;

д) решение уравнения и неравенств

e) нахождение корня из произведения, частного, степени с четным показателем;

ж) преобразование выражений, содержащих квадратные корни (вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня, освобождения от иррациональности в знаменателе).

Формирование вычислительных умений и навыков при изучении первой темы происходило следующим образом.

1. В начале урока проводились устные вычисления. Эта работа позволяла выяснить, все ли учащиеся усвоили ранее изученный материал, могут ли они использовать его при выполнении письменных упражнений. Работа включала в себя следующие задания:

1) Сформулируйте и запишите свойства квадратного корня.

Представьте подкоренное выражение в виде произведения, один из множителей которого является полным квадратом:

2) Вынесите множитель из -под знака корня:

3) Внесите множитель под знак корня:

Данные упражнения позволяют отработать правила внесения множителя под знак корня и вынесения из-под знака корня.

Эта работа помогает ученикам активно действовать с учебным материалом, побуждает у них стремление совершенствовать способы вычисления, развивает внимательность, память и речь.

2. Письменные вычисления.

Они предназначены для формирования умения применять свойства квадратного корня при преобразования выражений.

Была использована следующая система упражнений:

1) Расположите в порядке возрастания числа:

Решение:

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, их нужно сравнить. Для этого представляем все числа в иррациональном виде:

, затем сравниваем

и выписываем в порядке возрастания

Ответ: .

Данное упражнение позволяет школьникам использовать правило внесения множителя под знак корня, а также вспомнить правила сравнения чисел.

2) Упростите выражения:

Для выполнения задания ученикам нужно было вспомнить, как выполняется сложение с подобными слагаемыми.

3) Разложите выражение на множители методом вынесения общего множителя за скобки:

Главная задача увидеть общий множитель, объяснить каким свойством пользовались.

4) Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

;

.

Ученики должны увидеть и применить формулы сокращённого умножения.

5) Сократите дробь:

6) Проверьте равенство:

Ответ: равенство верное.

Упражнение позволяет вспомнить правило избавления от иррациональности в знаменателе.

7) Докажите тождество:

Ответ: тождество верно.

Упражнения расположены по уровню сложности от простого к сложному. Разработанная система упражнений позволяет расширить знания и умения проводить преобразования выражений, побуждает учеников к самоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности, воспитывает волю и настойчивость для решения поставленной задачи.

После изучения данной темы проводилась контрольная работа.

Цель работы: проверить знания, умения и навыки учащихся по изученному материалу.

Контрольная работа состояла из 4 вариантов, средней сложности. Приведём содержание одного из них:

Вариант 1

1. Вычислите

2. Упростите выражение .

3. Сократите дробь .

4. Решите графически уравнение

5. Сравните числа A и B, если

6. Проверьте равенство

Оставшиеся 3 варианта содержали подобные задания. Писали контрольную работу 25 человек. На «отлично» выполнили 7 человек, на «хорошо» 11, на «удовлетворительно» 7. Оценивание происходило следующим образом: если решены правильно 6 заданий ставилось «отлично», 4-5 заданий решено верно -« хорошо», 3 -«удовлетворительно», менее 3 «не удовлетворительно».

Больше всего ошибок учащиеся допустили в 3 и 6 заданиях. После учащиеся выполняли работу над ошибками, где школьником объяснялось, почему его решение не привело к правильному ответу.

Тема « Функция , её свойства и график». В её содержании выделяют следующие элементы, которые необходимо усвоить: определение графика функции, построение графика, и свойства графика:

при k>0

1. Область определения функции есть вся числовая прямая.

2. y=0, если x=0, y>0, если x?0.

3. -непрерывная функция.

4. ,(достигается при x=0), - не существует.

5. Функция возрастает при x, убывает при x.

6. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

7. Область значения луч [0,+

8. Функция выпукла вниз.

График функции.

Во время урока школьникам предлагались задания на отработку свойств функции, на построение графиков, нахождение точек пересечения нескольких графиков функций.

Главная цель уроков -формировать и отработать умение построения графика функции и её свойства; развивать наблюдательность вычислительных навыков, устную и письменную математическую речь; воспитывать аккуратность, внимательность в процессе решения упражнений.

После изучения темы была написана самостоятельная работа.

Цель работы: проверить знания, умения и навыки по изученному материалу.

Работа состояла из 4 вариантов, одинаковой сложности. Приведём содержание одного из них:

Вариант 1

1. Постройте график функции с помощью графика найдите: а) промежутки убывания и возрастания;

б) является ли функция ограниченной?

2. Найдите точку пересечения графиков функций:

3. Решите графически уравнение: .

4. Решите графически систему уравнений:

5. Дана функция , где . Найдите : .

Остальные варианты содержали задания подобного вида.

На «отлично» справились 14 человек, на «хорошо»-8, на «удовлетворительно»-3. Оценивания происходило следующим образом: если все 5 заданий выполнено верно -« отлично», 4 -«хорошо»,

3 -«удовлетворительно». Большинство ошибок допустили в 3, 4 заданиях. После проводилась работа над ошибками.

На основе полученных результатов можно сделать ввод: школьники продемонстрировали свои умения применять приемы быстрого счета при решении математических задач, стали более рационально проводить вычисления, графически находить решение упражнения, повысился результат успеваемости. Всё это мы достигли с помощью определённой схемы работы:

1. На каждом уроке проводилась устная работа. Она позволяла подготовить учеников к изучению нового материала, или закрепляла ранее изученный материал.

2. При решении письменных вычислений и тождественных преобразованиях учащиеся выбирали рациональные пути решения, что позволяло быстрее приходить к правильному результату. Выполнение некоторых упражнений производились быстро и свёрнуто.

3. Использовались графические вычисления при решении уравнений и их систем, что позволяло ученикам наглядно увидеть, сколько корней имеет уравнение или система уравнений.

Таким образом, мы нашли эффективные пути повышения вычислительной культуры учащихся.

Заключение

Одной из главных задач, которые ставятся при обучении математике, является совершенствование вычислительной культуры учащихся.

Для того, чтобы данный процесс протекал успешно, были разработаны следующие рекомендации:

1. Устные вычисления. Следует чётко определить уровень трудности заданий для устной работы в соответствии с возрастными возможностями учащихся. Готовясь к уроку, полезно наметить, какие задания полностью или частично предложить школьникам выполнить устно. Кроме того, полезно время от времени проводить математические диктанты, и другие виды самостоятельных работ, в которых учащиеся, выполняя вычисления в уме, записывают только полученный результат.

2. Значение письменных вычислений и тождественных преобразований. Все упражнения располагаются по уровню сложности от простого к сложному. При изучении действий и их свойств даются образцы подробной записи вычислений и тождественных преобразований. Так же полезны и общие указания: перед вычислением или преобразованием выяснить:

1) последовательность выполнения действий, преобразований;

2) какие действия (преобразования) можно выполнить устно;

3) нельзя ли применить свойства действий для упрощения вычислений (преобразований);

4) вести ли записи в виде цепочки равенств или по нумерованным действиям (частям) или составить удобную вычислительную схему;

5) как проверить результат.

3. Методические особенности обучения приближённы вычислениям в школьном курсе математики. В школьной практике широко используются приближённые вычисления, так как учащимся приходиться работать с различными таблицами, а так же выполнять лабораторные работы. Поэтому главная задача учителей -научить школьников правильно пользоваться всеми таблицами.

4. Использование графических вычислений как средства повышения вычислительной культуры учеников. Одним из средств является проведение лабораторно-графических работ. Характерными особенностями этих работ являются:

а) построение графиков и их применение;

б) использование чертежных, измерительных и вычислительных инструментов, приборов, специальных лекал;

в) вычислительная обработка результатов измерений с помощью необходимых формул и сравнение результатов измерений и вычислений;

г) применение таблиц, справочной литературы, включая учебники и специальные описания или инструкции.

Лабораторно-графические работы имеют большое воспитательное и образовательное значение. Они позволяют полнее и сознательнее уяснить математические зависимости между величинами, ознакомиться с измерительными и вычислительными инструментами и их применением на практике, научиться измерять и вычислять с определенной степенью точности.

При проведении лабораторно-графических работ графический метод применяется не только в вычислительной работе, но и при исследовании функций, решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Он не вызывает такого умственного утомления, как это происходит при аналитическом способе. Велико значение графического метода и для политехнического обучения, так как он широко применяется в технике для решения целого ряда производственных задач.

Предложенные рекомендации позволяют повысить вычислительную культуру учащихся. Они служат одним из средств предупреждения формализма в преподавании математических дисциплин, делают знания более действенными, гибкими и эффективными. Изучаемые понятия рассматриваются с различных сторон, что способствует выявлению их сущности.

В этой работе рассмотрены понятия вычислительные умения и навыки, правильность, осознанность, рациональность, обобщённость, автоматизм, прочность; устные, письменные, приближённые, графические вычисления.

Во второй части работы даны методические рекомендации по формированию вычислительный умений и навыков школьников. Разобраны системы упражнений, а так же систематизированы приемы повышения вычислительной культуры для практической работы учителя.

Считаем, что поставленные цель и задачи выпускной квалификационной работы достигнуты, гипотеза подтверждена в ходе опытного преподавания.

Литература

1. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. №11-95

2. Бекаревич А.Н. «Приближенные вычисления в средней школе»/ -Минск: Народная Асвета, 1979

3. Борткевич Л.К. «Повышение вычислительной культуры учащихся» / Математика в школе, №5, 1995

4. Виноградова Л. В. « Методика преподавания математики в средней школе»/-Ростов-на-Дону: «Феникс», 2005

5. Г. Д. Глейзер « Повышение эффективности обучения математике в школе»/: М.: Просвещение, 1989

6. Колягин Ю. М., Г. Л. Луканкин и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. // Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М., « Просвещение», 1977

7. Макарычев Ю. М., Н. Г. Миндюк Н.Г. « Преподавание алгебры в 6-8 классах» / М.: Просвещение, 1980

8. Мишин В. И. Методика преподавания математики в средней школе / -М.: Просвещение, 1987 г.

9. Мордкович А. Г. Алгебра 8 кл.: В двух частях. Ч 1: Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ 12-е изд. -М .: Мнемозина, 2010

10. Мордкович А. Г. Алгебра 8 кл.: В двух частях. Ч 2: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/ 12-е изд. -М .: Мнемозина, 2010

11. Обухова, Л.Ф. Детская (возрастная) психология. [Текст] Учебник / Л.Ф. Обухова.-М.: Российское педагогическое агенство, 1996.

12. Подласый, И.П. Педагогика [Текст] Учебник для студентов высших учебных заведений / И.П. Подласый.- М.: Владос, 2001.

13. Поспелов, Н.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников [Текст] / Н.Н. Поспелов, И.Н. Поспелов.- М.: Педагогика, 1989.

14. Рогов, Е.И. Настольная книга практического психолога в образовании [Текст] / Е.И. Рогов.- М.: Владос, 1996.

15. Ройтман П.Б. «Повышение вычислительной культуры учащихся»[Текст]: пособие для учителей / П.Б. Ройтман, С.С. Минаев, Н.С. Прокофьева [и др.]. - М.: Просвещение, 1985

16. Стратилатов П.В. « Повышение вычислительной культуры учащихся средней школы» /- М.: Просвещение , 1965

17. Темербекова А.А. « Методика преподавания математики»/ : Учеб. Пособие для студ. высш. учеб. заведений. -М.: гуманит. изд. Центр

Владос, 2003.

18. Федорова Н.Е., Ткачёва М.В. «Изучение алгебры и начала анализа в 10-11 классах .»/ -М.: «Просвещение»,2004

19. Шаповалов А.А. «Педагогические цели и пути их достижения»/: Учеб. Пособие.- Барнаул: Изд-во БГПУ, 2004.

20. Шеин, И.Г. Алгоритмический подход к обучению математике. [Текст] / И.Г.Шеин.-Л.: ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1983.

21. Чекмарев, Я.Ф. Методика устных вычислений [Текст] / Я.Ф. Чекмарев - М.: Просвещение, 1970. - 238 с.

...