Методика вивчення геометричного матеріалу в п’ятому класі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ I. Науково-методичні основи проблеми

1.1 Науково-методичні основи проблеми

1.2 Розвиток просторових уявлень у п'ятому класі

1.3 Наукові основи вивчення геометричного матеріалу у п'ятому класі

1.4 Функції геометричних понять

Розділ II. Методика вивчення геометричного матеріалу в п'ятому класі

2.1 Методика вивчення геометричного матеріалу в п'ятому класі

2.2 Формування уявлень про площину, пряму, промінь

2.3 Формування уявлення про кути

2.4 Формування уявлень про многокутник та його периметр. Рівні фігури

2.5 Формування уявлень про трикутник. Види трикутників

2.6 Формування уявлень про площу прямокутника і квадрата

2.7 Формування уявлень про прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда

2.8 Формування уявлень про об'єм прямокутного паралелепіпеда і куба

Висновки

Список використаної літератури

Вступ

Математика у п'ятому класі - це одна з найважливіших дисциплін. Вона розвиває уяву, спостережливість, образне і логічне мислення, яке є основою творчості, складовою частиною інтуїції, без якої не обходиться жодне наукове відкриття. Саме на уроках математики формуються особисті якості дитини: зібраність, організованість, здатність швидко та якісно приймати рішення, доводити і відстоювати свою думку.

Сьогодні важливе значення приділяється оновленню змісту освіти на засадах особистісної орієнтації, що передбачає, насамперед, всебічне врахування потреб дитини, її схильностей та інтересів, розробку змісту навчання й різних способів навчання.

Успішне навчання в старших класах, особливо з геометрії, значною мірою залежить від розвитку просторової уяви, яка на думку психологів, піддається активному формуванню саме в такому шкільному віці. Математика серед шкільних предметів з'явилася настільки давно, наскільки давно з'явилася сама система шкільного навчання. У різні історичні періоди ставлення до предмета було різним, але за будь-яких умов шкільна математика визнавалася прогресивно мислячою спільнотою одним з найважливіших загальноосвітніх предметів.

Методика навчання математики належить до педагогічних наук. Педагогіка вивчає загальні закономірності процесу виховання, навчання та освіти дітей.

Методика викладання математики - педагогічна наука про мету, зміст, методи, форми і засоби передачі учням математичних знань, про виховання в процесі навчання.

Середня школа - це друга ланка загальноосвітньої школи. Математика - один з обов'язкових предметів. І це не випадково. Визнання математики обов'язковим навчальним предметом загальноосвітньої школи безпосередньо пов'язане з її роллю в науково - практичній діяльності людства. «Красунею» називали математику стародавні індуси, а стародавні греки проголосили її «гімнастикою розуму».

Актуальність дослідження. У математиці розглядаються різні геометричні об'єкти: пряма, крива, кут, коло, многокутники та інші. Усе це математичні поняття. Щоб правильно організувати процес формування того чи іншого поняття у школярів треба, насамперед чітко визначити його місце у науці і його зміст у шкільному курсі, пам'ятаючи про те, що друге не повинне суперечити першому.

Поняття - це одна з основних форм мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних, необхідних ознак і відношеннях.

Отже, можна сказати, що поняття - це цілісна сукупність суджень про який-небудь об'єкт, ядром якої є судження, що відображають істотні ознаки об'єкта.

Об'єкт дослідження - вивчення геометричного матеріалу на уроках математики у п'ятому класі.

Предмет дослідження - методична система (цілі, зміст, обсяг, методи, види, засоби, структура) формування математичних понять.

Мета дослідження - узагальнити і систематизувати теоретико-методичні положення і розробити деякі власні методичні рекомендації по вивченню даної теми.

Гіпотеза дослідження - розроблена методика формування геометричних понять у процесі викладання математики в п'ятому класі на основі освітнього стандарту з математики сприятиме підвищенню якості загальноосвітньої, математичної, професійної підготовки учнів, розвиває інтуїцію, деякі навички мислення, тобто сприяє підвищенню їх інтелектуального рівня.

Відповідно до мети і гіпотези дослідження було визначено такі завдання роботи:

· аналіз психолого-педагогічної, методичної, математичної літератури з проблеми дослідження;

· розкрити загальні питання формування математичних понять;

· виявити психолого-дидактичні передумови застосувати понять;

· виявити психологічні закономірності процесу формування геометричних понять в учнів п'ятого класу.

Практичне значення результатів дослідження:

- розроблені методичні рекомендації по формуванню математичних понять;

- вивчення методики вибору ефективних шляхів, методів та прийомів математичних понять.

Джерелом дослідження є наукові статті з журналів, методичні посібники та підручники з математики.

просторовий трикутник об'єм периметр

Розділ I. Науково-методичні основи проблеми

1.1 Науково-методичні основи проблеми

У програмі традиційної школи геометричний матеріал є складовою частиною курсу математики. Він не виділяється в самостійний розділ, а включається в програму кожного року навчання.

Розвиток сприйняття вимагає введення геометричного матеріалу, тому що сам геометричний матеріал - це образи, це символи. Отже, друга складова - це мова. Дані образи й символи є моделлю реальних об'єктів. Реальні об'єкти можуть бути створені в ході моделюючої діяльності. Ці моделі представленні поняттями ( сторона, кут, трикутник, многокутник і т. д.), які природно діти намагаються вивчити якомога найкраще. А засобом опису моделей є мова. Тому на уроках спочатку вводимо моделі (геометричні образи).

Третій компонент, розвиток уяви, закладається в безпосередній діяльності конструювання. Однак мова й у цьому випадку є засобом розвитку учнів. При цьому творча фантазія дітей нічим не обмежена, зміст геометричної уяви діти формулюють опираючись на науковий апарат і логічні прийоми сприймання мислення.

Навчальна діяльність для дітей шкільного віку є провідною, а моделювання за допомогою знакової й символічної діяльності, є однією зі складових навчальної діяльності в сукупності з іншими інтелектуальними вміннями. Моделююча, знаково-символічна діяльність - це ті види діяльності, за допомогою яких учні розбудовують пам'ять, увагу, творчу уяву.

Виклад геометричного матеріалу проводиться в наочно-практичному плані. Працюючи з геометричним матеріалом, діти знайомляться й використовують основні властивості досліджуваних геометричних фігур. Завдання розташовуються в порядку ускладнення й поступово збагачення новими елементами конструкторського характеру.

При первісному уведенні нових геометричних понять використовуються нестандартні способи: створення наочного образа за допомогою малюнка на відомому дітям матеріалі, виконання нескладних спочатку практичних робіт.

Після введення однієї з найважливіших лінійних геометричних фігур - відрізка - передбачена серія завдань на вимірювання та визначення відстані між двома точками. Перші завдання спрямовані на виявлення рівних і нерівних відрізків, на вміння розташовувати їх у порядку збільшення або зменшення. Далі відрізки використовуються для виготовлення силуетів різних об'єктів на площині.

Програмою передбачено ознайомити із плоскими фігурами: трикутником та його видами, многокутником; з геометричними тілами : прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда. Діти вчаться вирішувати завдання на знаходження периметра, площі й об'єму фігур; ознайомлюються з таким інструментом, як транспортир та вчаться з ним працювати, удосконалюють навички працювати з лінійкою, косинцем.

В одній із своїх статей А.М. Колмогоров писав, що програма з математики і, навіть, вищої математики побудована так, що вона розрахована на «середнього» учня. Отже, для того, щоб досягти запланованих результатів навчання треба постійно здійснювати контроль за якістю і вести облік знань учнів на уроках математики.

В методичній літературі постійно обговорювалось питання: як допомогти учню знайти шлях до розв'язування задачі. Єдиний правильний шлях - це достатні знання з теорії плюс присутність відповідної практики. Якщо учні роблять помилки - це добре. Це - симптом нерозуміння. Але лікувати треба не симптом ,а хворобу.

1.2 Розвиток просторових уявлень у п'ятому класі

Необхідність удосконалення графічної освіти в цілому диктується не тільки сучасними вимогами виробництва, але й роллю графіки в розвитку технічного мислення й пізнавальних здібностей учнів. Здатність людини до переробки графічної інформації є одним із показників її розумового розвитку технічного мислення і пізнавальних здібностей учнів. По тому, наскільки готова людина до розв'язання просторових завдань графічними методами, можна визначити ступінь її загальної й політехнічної освіченості.

Певне місце у педагогічних і психологічних дослідженнях займає вивчення уяви і зокрема - просторової уяви. Суть просторової уяви полягає у створенні у свідомості людини уявлюваних образів об'єктів за їх кресленням чи описом. Аналіз публікацій у психолого-педагогічних виданнях говорить про те, що просторова уява є одним із важливих параметрів, що характеризують інтелект індивіда. На жаль, сьогодні не існує ефективних методик розвитку просторової уяви. Розвиток просторової уяви, таким чином, має відбуватися двома шляхами: підтримкою рівня фантазій і розвитком мислення. При цьому творча уява, основою якої є фантазія, може не тільки полегшити процес навчання, але й розвиватися при відповідній організації навчальної діяльності.

Стара істина говорить: «Розвивається те, що працює». Розвивати просторову уяву можна тільки, маючи її хоча б у зародковому вигляді. У зв'язку з цим у розвитку просторової уяви виникає одна з типових педагогічних проблем - «замкнуте коло», утворене двома компонентами педагогічного процесу: просторовою уявою і досвідом її використання.

Вивчення елементів геометрії розвиває просторові уявлення, образне мислення. Мета вивчення елементів геометрії буде досягнута, якщо впродовж наступного навчального року учні будуть орієнтуватися в основних напрямах положення і руху на площині і в просторі; знати геометричні форми, пізнавати і знаходити їх у навколишньому середовищі; знати назви основних елементів фігур і деяких тіл, уміти їх показати і полічити.

Навчальна діяльність, в процесі якої діти оволодівають геометричним матеріалом, охоплює такі варіанти робіт: організоване вчителем спостереження різних геометричних форм і відношень; практика дітей у вимірюванні, побудові, конструюванні, малюванні; практика розв'язування здач з геометричним змістом.

Через спостереження починається ознайомлення дітей з геометричними формами, їх істотними ознаками, положенням у просторі і на площині. Важливо, щоб учні не лише сприймали готові образи, що їх дає вчитель, а й самі відтворювали геометричні форми в процесі моделювання, креслення, малювання. Тому центральне місце у формуванні геометричних понять займає практика самих школярів.

Сприймання простору передбачає сприймання відстані, на якій предмети розміщені від нас і один від одного, напряму, в якому вони перебувають, величини та форми предметів.

Образи пам'яті - це образи, які виникають у свідомості в результаті відображення просторових властивостей і відношень раніше сприйнятих предметів.

Образи уяви - нові образи, які формуються внаслідок трансформації уявлень пам'яті. В уявленні перш за все зберігаються ті ознаки предметів, по відношенню до яких людиною виконувалась та чи інша практична діяльність.

Уявлення - основний будівельний матеріал уяви. Уява складається з перетворення уявлень, об'єднання, трансформації тощо.

Відтворююча уява - творення образів предметів і явищ, котрих людина не сприймала, але інформацію про які мала в формі словесного відношення, схеми, графіка, креслення.

Творча уява - формування нових образів, реалізація яких приводить до створення нових матеріальних культурних цінностей. Сутність просторової уяви в тому, що свідомість, використовуючи безпосередньо дані просторові образи, перетворює їх в нові просторові образи, створює нову просторову ситуацію.

Термін - «просторові уявлення» включає в себе уявлення про форму, положення, розміри тощо в просторових зв'язках і відношеннях.

Просторові уявлення і уява є метою і засобом викладання геометрії. Тесленко І.Ф. говорить: «мета і засіб тут своєрідно переплітаються, і тому, напевне, полягає одна з методичних проблем, від вірного розв'язання котрої залежать успіхи і невдачі в розвитку просторової уяви учнів». Розглянемо деякі вимоги до системи методів розвитку просторових уявлень школярів, які б дозволили керувати цим процесом. Така система методів повинна: забезпечити формування усіх компонентів просторових уявлень формування в учнів єдиного і цілісного уявлення про виучувані геометричні об'єкти, забезпечити можливість поступового досягнення учнями більш високого рівня розвитку просторових уявлень; враховувати індивідуальні особливості учнів і конкретні умови навчання.

Процес формування просторових уявлень характеризується певною етапністю: створення цілісного образу на наочній основі або абстрактно-логічній основі шляхом спирання на раніше засвоєні поняття; оперування образом в односкладних зв'язках в дещо змінених умовах, закріплення його істотних ознак шляхом варіювання неістотних ознак; оперування образом в дуже змінених умовах внутрішньо предметних і між предметних зв'язків і взаємностей; творче конструювання нових образів і відношень на основі раніше узагальнених, рухливих і дійових образів.

На кожному етапі повинна застосовуватися специфічна система методів формування і розвитку просторових уявлень.

1.3 Наукові основи вивчення геометричного матеріалу у п'ятому класі

Вивчення геометричних фігур і тіл супроводжується безпосередніми маніпуляціями з моделями, їх побудовою, конструюванням, спирається на приклади з навколишнього середовища і максимально враховує життєвий досвід учнів.

Учні знайомляться з величинами (довжина і площа), їх вимірюванням і відношенням (взаємне розміщення, паралельності, перпендикулярності).

Основна мета вивчення геометрії в середній школі - розширити уявлення учнів, здобуті в попередніх класах, про істотні ознаки геометричних фігур, уміння обчислювати геометричні величини (довжини, площі, об'єми деяких фігур) за формулами. Геометричні поняття, операції і відношення дістають математичне спрямування.

Усі курси геометрії - рівневодиференційовані. Це досягається запровадженням таких рівнів вивчення геометрії, а, значить, сформованості геометричних умінь:

1 рівень (мінімально базовий). Матеріал засвоюється в обсязі обов'язкових результатів навчання, які необхідні учням для подальшого вивчення геометрії в основній і здобуття, в майбутньому, робітничих професій.

2 рівень (базовий). Передбачає засвоєння і вироблення вмінь в обсязі, заданому програмами з геометрії.

3 рівень (підвищений). Учні, що вчаться на цьому рівні, дістають більш глибокі знання і вміння, ніж це передбачено програмами.

Нормативним, обов'язковим для виконання документом, який визначає основний зміст шкільного курсу математики, обсяг знань, що мають бути засвоєні учнями кожного класу, та умінь і навичок, які мають набути учні, є навчальна програма з математики.

Навчальна програма з математики ґрунтуються на принципах відповідності програми основним завданням школи, забезпечує наступність, яку одержують учні в 1 - 4 класах, 5 - 9 класах, 10 - 11 класах.

Програма 5 - 9 класів з математики містить матеріал, необхідний для формування знань та умінь, котрі є базою для подальшого навчання школярів.

Програма середньої школи передбачає, що всі теоретичні знання набуваються і обробляються дітьми в безпосередньому зв'язку з розв'язанням задач та з виробленням у дітей осмислених твердих навичок письмових та усних обчислень з багатоцифровими числами.

Різнорівнева диференціація досягається модульним принципом побудови курсів, який забезпечує підвищений рівень навчання. Кожний курс включає дві частини - інваріанту і варіативну. Варіативна частина містить логічно завершені порції матеріалу, які доповнюють інваріанту частину.

1.4 Функції геометричних понять

Поняття - це форма мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних, необхідних ознаках і відношеннях.

Ознакою називають все те, в чому об'єкти споріднені один до одного, або в чому вони різняться. Істотними називають такі ознаки поняття, кожна з яких є необхідна, а всі разом достатні для того, щоб даний об'єкт відрізнити від інших, подібних йому, щоб пізнати його суть.

Думка про предмет, в якій відображаються загальні і істотні його ознаки, називається поняттям. Поняття, яке означується, називають означуваним, а те поняття чи групу понять, за допомогою яких вводиться означуване поняття, називають означуючими поняттями.

Кожне поняття має зміст і обсяг. Зміст поняття - це сукупність істотних ознак, що входять у дане поняття. Обсяг або об'єм поняття - це множина предметів, що охоплюється даним поняттям.

Зміст поняття визначає обсяг. Між змістом поняттям і обсягом існує обернена залежність.

Якщо обсяг одного поняття А міститься в образі іншого поняття В (А є В), то друге поняття називають родовим по відношенню до першого поняття, а перше називають видовим по відношенню до другого.

Наприклад: арифметичні дії - додавання, віднімання, множення, ділення. Родове поняття - арифметичні дії. Видові поняття - додавання, віднімання, множення, ділення.

В родових відношеннях слід розрізняти найближчий рід і наступні родові ступені. Якщо між залежними поняттями не можна поставити іще одне поняття, то матимемо відношення найближчого роду і виду.

Означення поняття - це логічна операція, за допомогою якої розкривається зміст поняття. Результатом такої операції є речення, яке також називають означенням. Означенням називають речення, в якому в стислій формі за допомогою вже відомих понять і їх властивостей розкривається зміст нового поняття.

Словесне позначення поняття називається терміном. В математиці для окремих термінів існують символи.

Є різні способи означування понять. Основний із них - через найближчий рід і видову відмінність. Цей спосіб полягає в тому, що називаються, по-перше, найближчий рід, до якого належить означуване поняття, і по-друге, особлива ознака (або кілька таких ознак) даного поняття, що характеризує його як один з видів зазначеного роду. Означення через найближчий рід і видові ознаки мають таку конкретизацію: означення шляхом вказівки на їх характеристичну властивість; заперечне означення, включаючи неявні означення основних об'єктів предмета через систему аксіом; конструктивні і реконструктивні означення.

Означення математичних об'єктів шляхом опису характеристичної властивості. Цей вид означення побудований на логічних діях і операціях установлення найближчого роду, видових ознак і логічної природи зв'язку між родом і видовими ознаками.

В залежності від логічної природи зв'язку означення в прикладах: перше - кон'юктивне, друге - диз'юнктивне, третє - записане у вигляді імплікації.

Конструктивні означення. Властивості об'єкта в такому означенні розкриваються шляхом показу операцій його конструювання, тобто видові ознаки задані у вигляді дій.

В рекурсивних означеннях вказують деякі базисні об'єкти певного класу і правила, які дозволяють одержати нові об'єкти цього ж класу.

Заперечні означення не задають властивостей об'єкта (перелічуються властивості, які заперечуються). Вони ніби виконують класифікаційну функцію.

Аксіоматичне означення - це логічна операція опосередкованого розкриття змісту поняття за допомогою певної аксіоматики.

Означення через абстракцію. При цьому, порівнюючи між собою різні предмети, виділяють їх спільні властивості, в серед них - специфічні властивості для даної групи предметів. Сукупність встановлених при цьому ознак об'єднуються загальною назвою, не зазначаючи родового поняття (яке зовсім не існує або до моменту означення нового поняття ще не створене).

Наприклад, поняття «величина».

Правила означування.

1) Означення повинно бути співвимірним, тобто обсяг означуваного і означуючого понять мають бути різними.

2) Означення не повинно містити ще не означених понять (якщо вони є не первісними).

3) Родова ознака має вказувати на найближче ширше поняття.

4) Видовою відмінністю повинна бути ознака або група істотних ознак, властивим тільки даному предмету і відсутніх в інших предметах, які належать до цього самого роду.

5) Означення має бути чітким і однозначним.

Класифікація поняття - ц логічна операція, за допомогою якої обсяг поняття ділять за якою-небудь ознакою на класи, а останні (вже за іншими ознаками) - на підкласи і т. д. Найпростіший вид класифікації - поділ, при цьому обсягу даного поняття ділять за якоюсь однією ознакою на два або більше класів. Поняття, обсяг якого становить одиничний предмет, поділити не можна. Ознака, за якою здійснюють поділ, називається основою поділу.

В методиці викладання математики виділяються два методи введення понять: конкретно-індуктивний і абстрактно-дедуктивний. Ці методи визначаються логічними методами пізнання - індукцією і дедукцією. Схема застосування конкретно-індуктивного методу така: аналізується емпіричним матеріал (при цьому, крім індукції і дедукції, застосовуються й інші логічні методи: аналіз, порівняння, абстрагування, узагальнення); виясняються спільні ознаки поняття, які його характеризують; формулюється означення; означення закріплюється шляхом наведення прикладів і контр прикладів; подальше засвоєння поняття і його означення відбувається в процесі їх застосування.

Схема застосування абстрактно-дедуктивного методу така: формулюються означення поняття; наводяться приклади; подальше засвоєння поняття і означення відбувається в процесі їх застосування.

Широко застосовується в шкільному навчанні і частково в підручниках з математичних дисциплін метод доцільних задач, розроблений С.М. Шохор-Троцьким. За допомогою спеціально підібраних задач учні приходять до висновку про необхідність введення нового поняття і доцільність надання йому саме такого змісту, який воно вже має в математиці.

Учитель, вводячи нове поняття, ставить мету, щоб учні засвоїли істотні ознаки, які входять в його зміст. Але ця мета не досягається повністю в умовах використання стандартних креслень. Стандартні креслення наштовхують учнів на сприйняття окремих ознак фігур як істотних ознак. Звідси і поширені помилки типу: трикутник прямокутний, якщо прямий кут внизу,зовнішній кут завжди тупий. Використання лише стандартних геометричних креслень є неповноцінним використанням геометричної наочності, і за цих умов пояснення вчителя і геометрична наочність діють в різних напрямках, внаслідок чого пояснення в значній мірі втрачає свою керівну і організуючу силу. При цьому немає необхідності давати надто багато варіацій. Важливо лише, щоб серед фігур, які демонструються, було дві-три фігури, форма і положення яких нестандартні.

Кожне поняття треба правильно зрозуміти, свідомо і чітко засвоїти всім учням ще на уроці. Ця мета повинна досягатися в процесі введення поняття, але необхідно, щоб поняття закріпилося на даному і повторювалися на наступних уроках. Кожен учень має знати означення понять, які вивчаються, засвоєнню складних в структурному відношенні означень допомагає аналіз логічної структури означень.

Аналіз означення допомагає більш свідомому його сприйняттю, запам'ятовуванню і відтворенню. Виясненню структури означень сприяють справи на побудову схем алгоритмів розпізнавання понять. Оперативному введенню понять сприяє застосування технічних засобів навчання, різноманітних засобів наочності. З метою навчання і контролю під час вивчення означень застосовуються математичні диктанти і тести.

В шкільній навчально-методичній літературі треба дотримуватись єдиного порядку у формулюванні означень: спочатку дається означуване поняття, потім предикат, далі - найближчі родові поняття і нарешті - видові ознаки.

Процес формування геометричних понять не закінчується їх початковим введенням. Він продовжується під час використання цих понять для означення інших понять, формулювання теорем, проведення доведень, розв'язання задач.

Розділ II. Методика вивчення геометричного матеріалу в п'ятому класі

2.1 Методика вивчення геометричного матеріалу в п'ятому класі

Головне спрямування геометричного матеріалу, визначеного програмою і реалізованого в системі ретельно дібраних задач, сформувати достатньо повну систему геометричних уявлень (образи геометричних фігур, їх елементів, відношень між фігурами та їх елементами).

На цій основі формуються просторові уявлення й уява, розвивається мова й мислення учнів, а також організовується робота, спрямована на вироблення важливих практичних навичок.

Перед учителем постає важливе завдання дібрати методику розкриття змісту геометричного матеріалу на тому рівні, якого досягають учні п'ятого класу, а також визначити головні напрямки вивчення цього матеріалу.

Робота з формування геометричних уявлень має проводитися так: властивості фігур учні виявляють експериментально, одночасно засвоюють необхідну термінологію й дістають певні навички; головне місце в навчанні повинні посідати практичні роботи учнів, спостереження й робота з геометричними об'єктами.

Оперуючи різноманітними предметами, моделями геометричних фігур, розглядаючи їх у процесі численних дослідів, учні помічають найзагальніші їх ознаки (що не залежить від матеріалу, кольору, положення і т. п.).

У методиці формування геометричних уявлень важливо іти від «речі» до фігури (до її образу), а також навпаки, - від образу до реальної речі.

Це досягається систематичним використанням прийому матеріалізації геометричних образів. Абстрагуючись від конкретних властивостей матеріальних речей, учні оволодівають і геометричними уявленнями.

В учнів п'ятого класу усвідомлені спонукальні мотиви до вивчення геометрії ще, зазвичай, не сформувалися. Тому формування до безпосереднього інтересу цього змісту має зумовлюватися цікавими завданнями, які пов'язані з практичною діяльністю. З урахуванням особливостей розвитку дітей зазначеного віку геометричні поняття і факти необхідно вводити з урахуванням наявного в них життєвого досвіду, нових спостережень, експериментів, конструювання і моделювання. Адже геометричні фігури - це основні «цеглинки» геометричних знань, вони нагадують деталі конструктора: із найпростіших деталей із найелементарнішими чи вивченими властивостями конструюються нові тільки зі складнішими. Тому матеріал, який вивчається, бажано наповнити численними малюнками і кресленнями.

Креслення і малюнки - ефективний засіб формування в учнів умінь помічати закономірності з урахуванням спостережень, обчислень, зіставлень. Вони сприяють більшою мірою кращому засвоєнню властивостей і понять, розвивають мислення, допомагають в запам'ятовуванні найбільш важкого матеріалу, спрощують вирішення завдань, призводять до відкриття якогось факту. Тобто учні на конкретному прикладі якраз і можуть побачити ті властивості, які має об'єкт, який вивчається, виокремити із запропонованого готового креслення найголовніше, що складає максимум інформації.

2.2 Формування уявлень про площину, пряму, промінь

У середній школі учитель продовжує ознайомлювати учнів з властивостями геометричних фігур та вводить нові поняття і означення.

Учитель пропонує учням зобразити в зошитах відрізок АВ. (Одного з учнів можна викликати до дошки і такі самі завдання виконувати на дошці.) Потім продовжити відрізок до кінця аркушу зошита (дошки) за точку В. Після цього обговорити питання:

-- Чи змогли б продовжити зображення цієї лінії, якби аркуші зошита (дошки) мали більші розмірі? нескінченні розміри?

-- Чи можна виміряти довжину утвореної лінії?

-- Чи утворилася нова геометрична фігура?

Після цього пропонуємо продовжити відрізок ще й за точку А і обговорюємо такі самі питання. Учні переконуються, що утворилися нові геометричні фігури, а саме: промінь і пряма. Отже, завдання: зрозуміти, що таке пряма, промінь, навчитись розрізняти і зображати ці геометричні фігури.

Вивчення цього матеріалу можна провести у формі розповіді за таким планом:

1. Поняття «точка», «лінія», «поверхня»

Перш ніж формувати уявлення учнів про поняття «площина», «пряма», «промінь», доцільно ознайомити їх з описами більш загальних геометричних об'єктів: поверхня, лінія, точка. Учитель розповідає, що кожне геометричне тіло має поверхню. Наприклад, поверхня кулі (демонструє поверхню кулі), поверхня куба (показує) складається з шести квадратів. Іноді поверхню уявляють у вигляді дуже тонкої плівки (як мильні пузирі), але це не зовсім правильно, бо будь-яка плівка має товщину, а поверхня -- ні. Поверхня -- це межа між геометричним тілом і середовищем, що його оточує. Говорять про поверхню води в озері, поверхню Земної кулі.

Дві поверхні можуть перетинатись, у разі перетину вони утворюють лінію. Наприклад, дві поверхні стіни в класі перетинаються по відрізку -- частині прямої лінії.

Лінія, так само, як і поверхня, не має товщини.

Перетин двох ліній утворює точку. Кінці лінії також є точками. Тому точка, як і лінія, не має ні ширини, ні довжини, ні висоти.

2. Поняття площини

Спираючись на поняття «поверхня», учитель формує уявлення про поняття «площина» (як поверхню, уявлення про яку дають поверхня стола, стіна тощо) і поняття «нескінченності» площини (методичний прийом «уяви», що подану поверхню збільшили в багато разів), тобто властивість, яка означає, що площину можна продовжити в будь-якому напрямку на будь-яку відстань.

3. Поняття прямої

Тепер зрозуміло, що на площині можна зобразити відрізок, який має дуже велику довжину. Більш того, в уяві це можна зробити необмежено. Тоді ми дістанемо геометричну фігуру, яку називають прямою. Оскільки пряма не має кінців, тобто вона нескінченна, то на рисунках (у зошитах, на дошці, на футбольному полі) ми можемо зобразити тільки частину прямої. Тобто пряму ми можемо тільки уявити.

4. Поняття променя

Якщо на прямій позначити точку, то вона поділить цю пряму на дві частини. Кожну з цих частин називають променем з початком у цій точці.

Корисно повідомити учням, що промінь іноді називають пів-прямою. Така назва підкреслює, що промінь є частиною саме прямої, а не будь-якої іншої лінії.

5. Зображення і позначення прямих і променів

Учитель пояснює, як зображають і позначають прямі й промені.

Додатково слід зауважити, що точки як геометричні фігури можуть бути у певний спосіб розташовані щодо площини, прямої й променя, а саме належати чи не належати кожній з цих фігур. (Проілюструвати це можна за допомогою простих демонстрацій на предметах з навколишнього середовища.)

Іноді учні намагаються з'ясувати, чи складається пряма з точок. Тоді краще пояснити, що пряма -- це дещо ціле, а точки можуть належати або не належати прямій.

Важливо запропонувати вправи, які сприяють формуванню вміння розпізнавати, зображати і позначати прямі та промені, а також розумінню того, що прямі та промені нескінченні, вони не мають довжини. Під час виконання вправ бажано вимагати від учнів обґрунтування відповідей, домогтися чіткої відповіді на запитання: чому на прямій можна позначити безліч точок? чому від початку променя можна відкласти безліч відрізків будь-якої довжини?

2.3 Формування уявлення про кути

У попередніх класах діти мали навчитися розрізняти кути серед решти геометричних фігур, тому вже в п'ятому класі доцільно більш детально розібрати поняття кута, навчитися позначати кути, засвоїти поняття бісектриси кута.

Нажаль, різні автори підручників підходять до означення кута по-різному. У математиці кутом називають і об'єднання двох променів, що входять з однієї точки, і частину площини, обмежену двома променями, що мають спільну вершину. Тобто словом «кут» називають суттєво різні поняття.

Як трактувати поняття кута п'ятикласникам? Методисти не мають з цього приводу спільної думки. Тому вчителеві доцільно дотримувати тієї позиції, яку вибрали автори підручника, за яким навчаються саме їх учні. За будь-якого трактування поняття кута такі його елементи, як вершина і сторони, трактують однаково. Однаково і позначають кути. По-різному треба підходити до введення поняття бісектриси кута. Якщо кут - це частина площини, тоді бісектриса - це промінь, який виходить з вершини кута і ділить його на два рівних кути. Якщо кут - це два промені зі спільним початком, то бісектриса кута - це промінь, який виходить з вершини кута, проходить з вершини кута, проходить між його сторонами і утворює з кожною зі сторін рівні кути.

У будь-якому випадку вивчення нової теми можна провести у формі розповіді за таким планом:

- Що називають кутом?

- Що таке вершина кута? Сторони кута?

- Способи позначення кутів.

- Які кути називають рівними?

- Що називають бісектрисою кута?

Пояснення вчитель супроводжує побудовою кута на дошці. Учні в зошитах виконують відповідні побудови та записи.

Рис. 1

Промені ОА і ОВ виходять з однієї точки О --> АОВ - кут. Елементи кута АОВ: сторони - промені ОА і ОВ; вершина - точка О.

Рис. 2

АОС = СОВ О --> промінь ОС - бісектриса кута АОВ. Можна звернути увагу учнів на те, що на рисунках рівні кути позначають однаковою кількістю дужок.

Крім того, доцільно пояснити, що знак « А » вживають для заміни на письмі слова «кут». Звернути увагу на:

Правильне написання знака « /. » : нижня рисочка строго горизонтальна (інакше його можна сплутати зі знаком « < »);

правильне застосування знака « А »: писати тільки перед позначенням кута буквами.

Можна провести бесіду про те, що правильне вживання математичних знаків і символів є частиною математичної культури.

Далі потрібно запропонувати вправи, спрямовані на засвоєння поняття кута, його вершини і сторін. Учителеві слід приділити належну увагу формуванню вміння правильно позначати кути. Учні повинні добре розрізняти ситуації, коли можна позначити кут однією буквою, а коли - ні. Невміння правильно позначати кути приводить до помилок під час знаходження відповідних кутів на рисунках, і врешті-решт викликає труднощі під час розв'язування планіметричних і стереометричних задач.

Бажано вимагати від учнів повних відповідей на запитання щодо сторін і вершини кута. Учні повинні не тільки вказувати назви сторін і вершини, а й зазначити, що сторонами кута є промені, вершиною - точка. Тобто бажана відповідь: «Сторонами кута АОВ є промені ОА і ОВ, вершиною -- точка О ».

2.4 Формування уявлень про многокутник та його периметр. Рівні фігури

З попередніх класів учні ознайомлені з поняттями прямокутника і трикутника, мають уявлення про многокутники.

Тому для створення відповідної мотивації можна провести бесіду, під час якої обговорити питання:

-- Що спільного у прямокутника і трикутника? (їх зображення складаються з відрізків.)

-- Чим відрізняються зображення прямокутника і трикутника? (Кількістю відрізків.)

Перед проведенням бесіди бажано запропонувати учням «побудувати» прямокутник і трикутник з підручних засобів (наприклад, з олівців) і зобразити ці геометричні фігури на дошці. Звичайно, під час обговорення учні можуть давати й інші відповіді. Учитель шляхом постановки навідних запитань має підвести учнів саме до наведених відповідей.

Після цього вчитель пропонує «створити» геометричні фігури з більшої кількості олівців. Учні одержують нові геометричні фігури. З-поміж них можуть бути або ламані, або многокутники. Учитель (вибираючи многокутник) повідомляє, що такі фігури називають многокутниками. Потрібно засвоїти поняття многокутника, навчитись розв'язувати задачі, пов'язані з поняттям многокутника, зокрема обчислювати периметр многокутника.

Чинною програмою з математики в 5 класі не передбачено вивчення поняття ламаної. З поняттям ламаної учні ознайомлені з попередніх класів. Проте деякі автори підручників розглядають це поняття під час вивчення теми «Відрізок». Якщо поняття ламаної було розглянуте на попередніх уроках, то виконання графічних вправ можна організувати як самостійну роботу з подальшою перевіркою та обговоренням. В іншому випадку ці вправи бажано виконати колективно, з детальними коментарями з боку вчителя.

Вивчення цього матеріалу можна провести у формі бесіди за таким планом.

1. Що називають многокутником?

Під час обговорення цього питання слід звернути увагу на такі питання:

- не всяка замкнена ламана є многокутником;

- частину площини, обмежену многокутником, також називають многокутником.

2. Що таке вершини, сторони, кути многокутника?

3. Від чого залежить назва многокутника (чотирикутник, п'ятикутник тощо)?

Тут бажано звернути увагу на те, що в будь-якого многокутника кількість сторін дорівнює кількості кутів.

4. Позначення многокутників.

5. Що називають периметром многокутника?

6. Які фігури називають рівними?

Учні раніше стикалися з відношенням рівності фігур: оперували поняттями «рівні відрізки», «рівні кути» тощо. Тому доцільно узагальнити вже відоме учням, пригадати з ними, де і коли вони вживали поняття «рівні фігури», як визначали рівність двох фігур. (Наприклад, виготовлення аплікацій.)

Корисно продемонструвати учням рівні фігури, виготовлені, наприклад, з картону, а не тільки їх зображення в підручнику. Можна запропонувати учням виготовити різноманітні рівні фігури (якщо є можливість, у класі, в іншому випадку -- вдома).

Корисними є вправи на ілюзії зору, які переконують учнів у необхідності перевіряти правильність висновків, зроблених на основі спостережень. (Пізніше учні зрозуміють, що й вимірювання не завжди є підставою для переконливих висновків, що надійним засобом для ствердження істини є тільки доведення.)

Важливо звернути увагу учнів на безліч рівних фігур у навколишньому середовищі, на те, що це не випадковість, а необхідність, обумовлена економічністю і зручністю виготовлення та заміни окремих деталей.

2.5 Формування уявлень про трикутник. Види трикутників

Формування уявлень необхідно розпочати із запитання: «Назвіть многокутник з найменшою кількістю сторін». Звичайно, учні дадуть відповідь, що це трикутник. Після цього вчитель пояснює, що трикутник -- це окремий вид многокутника. Поняття трикутника є одним із найважливіших у геометрії. Властивості трикутників, співвідношення між їх елементами широко використовуватимуться в наступних класах під час розв'язування задач, доведення теорем. Завдання цього уроку: навчитися розрізняти види трикутників за видами їх кутів та довжинами сторін.

Уявлення про трикутники та їх елементи формують в учнів з 1-го класу. До п'ятого класу учні вже вміють будувати трикутники, розрізняти їх з-поміж інших геометричних фігур. Тому вивчення нового матеріалу можна організувати як самостійну роботу з підручником. Учитель пропонує учням план вивчення теми, тобто запитання, відповіді на які учні повинні знайти у відповідному параграфі підручника.

1) Який трикутник називають гострокутним?

2) Який трикутник називають прямокутним?

3) Який трикутник називають тупокутним?

4) Який трикутник називають рівнобедреним?

5) Як називають сторони рівнобедреного трикутника?

6) За якою формулою зручно обчислювати периметр рівнобедреного трикутника?

7) Який трикутник називають рівностороннім?

8) За якою формулою зручно обчислювати периметр рівностороннього трикутника?

9) Який трикутник називають різностороннім?

Після цього потрібно провести обговорення цих питань. Потім доцільно запропонувати учням скласти опорний конспект (заповнити таблицю). Таблицю потрібно заготовити на дошці заздалегідь або з метою економії часу виготовити заздалегідь на окремих аркушах і роздати кожному учневі. (Якщо рівень навчальних досягнень учнів класу не досить високий, то складання опорного конспекту можна виконати колективно під керівництвом учителя.)

Таблиця 1 Класифікація трикутників

Чинна програма з математики не передбачає розглядання в 5 класі питання про суму кутів трикутника. Проте автори деяких підручників розглядають це питання. Якщо наявність часу та рівень навчальних досягнень учнів дозволяють, то можна сформулювати твердження про суму кутів трикутника. Потрібно пояснити, що це твердження буде доведено в старших класах. Зараз можна наочно переконатися в тому, що сума кутів трикутника дорівнює 180°, виготовивши з паперу модель трикутника і склавши трикутник так, як показано на рисунку.

Рис. 3

Кути трикутника разом утворюють розгорнутий кут, отже, їх сума дорівнює 180°.

Після цього можна обговорити питання про те, чому в трикутнику може бути тільки один прямий кут, тільки один тупий кут.

Не бажано пропонувати учням вимірювати кути трикутника за допомогою транспортира і знаходити їх суму, оскільки під час вимірювання можливі похибки, тому здобута сума навряд чи дорівнюватиме рівно 180°.

2.6 Формування уявлень про площу прямокутника і квадрата

Оскільки з поняттям площі фігур і формулами для обчислення площ прямокутника і квадрата учні ознайомились у початкових класах, то цей етап уроку можна провести, використовуючи знання і власний досвід учнів і, як уже було зазначено, проводячи аналогію з вимірюванням довжини відрізка.

Учитель, підсумовуючи роботу учнів на попередніх етапах уроку, розповідає, що для вимірювання будь-яких величин (довжини, градусної міри, площі тощо) в математиці існує єдиний підхід: спочатку домовляються про одиниці виміру (одиничний відрізок, одиничний кут, одиничний квадрат тощо).

Після цього учитель пропонує учням таблицю, яку вони разом заповнюють по мірі обговорення зазначених у ній питань.

Таблиця 2

У деяких учнів може виникнути запитання: як, вимірюючи площу, наприклад, трикутника, заповнити його одиничними квадратами? Тому пояснюючи, що визначити площу фігури -- означає дізнатися, скільки одиничних квадратів у ній уміщується, слід зробити зауваження, що це трактування правильне в найпростіших випадках, наприклад, для прямокутників, сторони яких виражені натуральними числами (саме про такі йдеться на цьому етапі). Такі фігури, як трикутники, довільні многокутники, не можна заповнити одиничними квадратами. Про площу таких фігур учні дізнаються в старших класах.

Обов'язково слід звернути увагу учнів на те, що для твердження «Рівні фігури мають рівні площі» обернене твердження неправильне. Можливо, краще сформулювати цю властивість так: «Якщо фігури рівні, то вони мають рівні площі». Обернене твердження «Якщо фігури мають рівні площі, то вони рівні», взагалі кажучи, не виконується.

Після цього вчитель пояснює учням, як обчислити площу прямокутника.



Рис. 4

На рисунку прямокутник складається з 12 одиничних квадратів, їх кількість можна підрахувати або обчислити. Сторона одиничного квадрата дорівнює одиничному відрізку. Довжина прямокутника дорівнює 4 одиничним відрізкам, ширина -- 3 одиничним відрізкам. Тому кількість одиничних квадратів, які вміщуються в прямокутнику, дорівнює 4?3 = 12.

Міркуючи аналогічно, доходимо висновку, що якщо одна сторона прямокутника дорівнює а одиничним відрізкам, а друга -- Ь одиничним відрізкам, то цей прямокутник можна поділити на а?Ь одиничних квадратів. Тобто 8 = аЬ. Учні повинні розуміти, що в цій формулі а і Ь виражені в одних і тих самих одиницях вимірювання.

Оскільки у квадрата всі сторони рівні, то 8 = а .

2.7 Формування уявлень про прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда

Цю тему простіше пояснювати, розділивши її на дві частини.

Перша частина. Прямокутний паралелепіпед. Куб

1.Розповідь учителя

За допомогою моделі прямокутного паралелепіпеда і його зображення на дошці вчитель пояснює:

1) Що таке прямокутний паралелепіпед?

2) Що таке грані прямокутного паралелепіпеда? Якими геометричними фігурами є грані прямокутного паралелепіпеда?

3)Що таке ребра прямокутного паралелепіпеда? Якими геометричними фігурами є ребра прямокутного паралелепіпеда?

4) Що таке вершини прямокутного паралелепіпеда? Якими геометричними фігурами є вершини прямокутного паралелепіпеда?

5) Які грані називають протилежними? Властивість протилежних граней прямокутного паралелепіпеда.

6) Що називають площею поверхні прямокутного паралелепіпеда?

7) Що таке виміри прямокутного паралелепіпеда?

8) Який прямокутний паралелепіпед називають кубом?

9) Яку фігуру називають розгорткою прямокутного паралелепіпеда?

10) Зображення прямокутного паралелепіпеда.

Важливо показати і на моделі, і на рисунку всі елементи прямокутного паралелепіпеда. Можна розглянути одразу всі елементи на моделі, а потім запропонувати учням знайти їх на рисунку, а можна розглядати елементи прямокутного паралелепіпеда по черзі: на моделі -- на рисунку.

Доцільно наголосити, що гранями прямокутного паралелепіпеда є прямокутники і що саме це відрізняє прямокутні паралелепіпеди від решти многогранників. Це також важливо для введення поняття «площа поверхні прямокутного паралелепіпеда».

2. Виконання практичної роботи

Учитель роздає учням, так би мовити, одноразові моделі прямокутних паралелепіпедів -- коробочки від ліків, зубної пасти тощо (можна заздалегідь запропонувати учням принести їх з дому). Учні переконуються, що їх грані -- прямокутники, що не всі з них рівні між собою. Потім під керівництвом учителя учні розгортають ці коробочки (дістають розгортки прямокутного паралелепіпеда) і зафарбовують пари рівних граней однаковими кольорами. Далі складають коробку і переконуються: протилежні грані рівні (зафарбовані однаковим кольором).

Учитель пропонує встановити, що для всіх коробок спільне і чим вони відрізняються. Під керівництвом учителя учні доходять висновку: всі прямокутні паралелепіпеди мають 6 граней і 12 ребер, що у них усі грані -- прямокутники (спільне). Відрізняються тим, що ці прямокутники мають різні розміри -- виміри прямокутного паралелепіпеда.

Друга частина. Піраміда

На моделі піраміди та її зображенні вчитель показує:

- бічні грані піраміди;

- основу піраміди;

- вершину піраміди;

- бічні ребра піраміди;

- ребра основи піраміди.

Потім учитель пояснює, як можна класифікувати піраміди. За можливості показує моделі різних видів пірамід (трикутної, чотирикутної тощо).

Після цього вчитель пояснює, що таке розгортка піраміди, демонструє паперові розгортки пірамід, показує, як із них можна зробити моделі пірамід.

Важливо, щоб учні зрозуміли, що бічні грані будь-якої піраміди -- це трикутники, а основою може бути будь-який многокутник, у тому числі й трикутник.

2.8 Формування уявлень про об'єм прямокутного паралелепіпеда і куба

Учителю необхідно запропонувати учням скласти речення зі словом «об'єм». З цим поняттям учні часто стикаються в повсякденному житті: наприклад, об'єм паливного бака, об'єм холодильної камери, об'єм спожитого газу або води. Потім учитель пропонує учням висловити припущення, як можна виміряти об'єм геометричного тіла, наприклад прямокутного паралелепіпеда. Цілком імовірно, що, скориставшись аналогією з вимірюванням довжини відрізка або площі фігури, деякі учні здогадаються, що виміряти об'єм тіла -- означає підрахувати, скільки одиничних об'ємів уміщається в цьому тілі. Тоді учитель повідомляє, що завдання уроку: дізнатися, які існують одиниці вимірювання об'ємів, які властивості має об'єм, навчитись обчислювати об'єм прямокутного паралелепіпеда.

Сформувати поняття і встановити властивості об'єму можна використовуючи аналогії з поняттям і властивостями довжини відрізка. (Цей прийом було використано під час вивчення поняття і властивостей площі фігури.). Учитель нагадує, що для вимірювання будь-яких величин (довжини, градусної міри, площі тощо) в математиці існує єдиний підхід: спочатку домовляються про одиниці виміру (одиничний відрізок, одиничний кут, одиничний квадрат тощо). Потім учитель повідомляє, що за одиницю виміру об'єму вибирають куб, ребро якого дорівнює одиничному відрізку. Такий куб називають одиничним.

Після цього можна запропонувати учням таблицю, яку вони разом заповнюють по мірі обговорення зазначених у ній питань. (Для зручності ми подаємо цю таблицю вже заповненою.)

Таблиця 3

Для наочного уявлення про об'єм геометричного тіла можна з набору однакових кубиків скласти яке-небудь тіло. Кожний з кубиків можна вважати за одиничний куб. Підрахувавши, скільки кубиків використано, ми дізнаємось, чому дорівнює об'єм побудованого тіла.

Аналогічно можна проілюструвати властивості об'єму. Необхідно наголосити, що тіла, які мають рівні об'єми, не обов'язково є рівними. (Як приклад можна навести різні ємності, які мають однаковий об'єм, наприклад літрова пляшка і літрова банка.)

Після цього слід пояснити, як обчислити об'єм прямокутного паралелепіпеда. Найзручніше для цього знову використати набір однакових кубиків. З цих кубиків скласти прямокутний паралелепіпед і спочатку підрахувати, а потім обчислити кількість кубиків.

Для обчислення кількості кубиків, з яких складається, наприклад, прямокутний паралелепіпед, у якого довжина дорівнює 4 кубикам, ширина -- 2 кубикам, а висота -- 3 кубикам, потрібно знайти значення виразу: 4·2·3. Тому його об'єм дорівнює 4·2·3 = 24 (одиничних кубів).

Якщо виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють а, b, c, то його об'єм V = аbс.

Важливо наголосити, що числа а, b, і c мають бути вираженими в одних і тих самих одиницях вимірювання.

Доцільно вимагати від учнів не тільки знання формули для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда, а й словесне формулювання відповідного правила.

Після цього можна запропонувати учням самостійно вивести формулу для обчислення об'єму куба: V = .

(Тут можна обговорити питання: «Чому третій степінь числа називають кубом? »)

Бажано ознайомити учнів з іншим записом формули для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда, а саме V=S осн ? h, а також її словесним формулюванням.

Висновки

Сучасний шкільний курс математики має великі розвиваючі можливості завдяки своїй цілісності й логічній строгості. Ще К.Д. Ушинський писав: зробити серйозне заняття для дитини цікавим - ось завдання навчання. Кожна здорова дитина потребує діяльності і до того ж серйозної діяльності. З перших же уроків привчає дитину полюбити свої обов'язки й знаходити приємність в їх виконанні.

Будь-яке поняття, у тому числі і математичне, є абстракцією від багатьох конкретних об'єктів, які описуються. У понятті відбиваються стійкі властивості досліджуваних об'єктів, явищ. Вони повторюються у всіх об'єктів, які об'єднуються поняттям. Але кожен реальний об'єкт має деякі інші властивості, притаманні тільки йому.

Якщо в початкових класах навчання ведеться в основному на наочно образному рівні мислення, то в 5-6 класах більш глибоко розвивається словесно-логічне мислення. Змістом такого мислення є поняття, сутність яких «вже не зовнішні, конкретні, наочні ознаки предметів та їх відносини, а внутрішні, найбільш істотні властивості предметів і явищ і співвідношення між ними».Всі поняття, що вивчаються у початкових класах, надалі переосмислюються на більш високому теоретичному рівні або поглиблюються й узагальнюються.

Не завжди є можливість та й необхідність формувати визначення по конструкції: 1) зазначається рід, 2) вказуються ті ознаки, які відрізняють цей вид (визначається поняття) від інших видів найближчого роду. Учнів навчають на наочно-інтуїтивній основі розуміти значення суттєвих і несуттєвих ознак для розкриття суті визначається поняття, тобто достатньо сформувати правильне уявлення.

...