Размещено на http://www.allbest.ru/

Проблема преемственности в системе математического образования



Содержание

Введение

1. Математическое развитие детей

1.1 Задачи математического развития

1.2 Значение математики в развитии детей

2. Преемственность дошкольной математической подготовки и обучения математике в начальных классах

3. Преемственность математического образования между начальной школой и 5-6 классами средней школы

3.1 Понятие «преемственности»

3.2 Преемственность в изучении чисел в 1-4 и 5-6 классах

3.3 Преемственность в изучении алгебраического материала в начальных и 5-6 классах

3.4 Преемственность в изучении геометрического материала в начальных и 5-6 классов

3.5 Преемственность в обучении решению задач в начальных и в 5-6 классах

Заключение

Список литературы

преемственность математический обучение образование



Введение

Введение в систему образования Федеральных государственных образовательных стандартов для дошкольного воспитания, обучения в начальной школе и обучения детей в средней школе актуализировало проблемы связанные с гуманизацией системы образования. В связи с чем одним из условий модернизации системы образования является реализация преемственности между различными ступенями образования.

Проблема преемственности всегда была в центре внимания отечественной психолого-педагогической науки Б.Г. Ананьев [2], В.В. Давыдов [9], В.Т. Кудрявцев [9], А.А. Люблинская [14].

Большинство этих исследований выполнено во второй половине XX века. Изменения, происходящие в обществе и системе образования в настоящее время, требуют новых подходов к обсуждаемой проблеме: реализации преемственности с учетом современного состояния и перспектив развития дошкольного и начального образования.

Изучение состояния вопроса в теории и практике показывает, что преемственность зачастую понимается узко и больше декларируется, чем осуществляется. Нередко преемственность характеризуется как информативная подготовка ребенка к новой ступени образования, как освоение содержания школьных курсов, что приводит к несформированности готовности к школе и отрицательно отражается на успешности обучения ребенка, комфортности его пребывания в классе. Обучение в школе, начиная с 6 лет, ещё более актуализирует проблему преемственности. Трудности обучения в школе связаны и с недостаточным вниманием к обучению математике.

Для концепции современного непрерывного образования особенно важны следующие положения федеральных государственных стандартов образования:

- конституционное право каждого ребенка как члена общества на охрану жизни и здоровья

- бережное отношение к индивидуальности каждого ребенка

- адаптивность системы образования к уровням и особенностям развития и подготовки детей.

На сегодняшний день непрерывное образование понимается как связь, согласованность и перспективность всех компонентов системы (целей, методов, средств, форм организации воспитания и обучения) на каждой ступени образования.

Таким образом, проблема исследования: преемственность в системе математического образования.

Объект исследования - система математического образования.

Предмет исследования - преемственность в математике между дошкольным и начальным образованием и начальным и средним звеном школьного образования.

Цель нашего исследования: изучить методы и средства осуществления преемственности в системе математического образования.

Исходя из цели нашего исследования были поставлены следующие задачи:

1. Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по проблеме исследования.

2. Выявить значение обучения детей математике.

3. Изучить особенности преемственности дошкольной математической подготовки и обучения математики в начальных классах

4. Рассмотреть особенности преемственности в изучении чисел.

5. Рассмотреть особенности преемственности в изучении алгебраического материала.

6. Рассмотреть особенности преемственности в изучении геометрического материала.

7. Изучить особенности преемственности в обучении решению задач.

1. Математическое развитие детей

1.1 Задачи математического развития

Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы - логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность.

Ещё одной важнейшей причиной нужды человечества в математике является воспитание в человеке способности понимать смысл поставленной перед ним задачи, умение правильно, логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления. Каждому надо научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, критиковать, понимать смысл поставленной задачи, схематизировать, отчётливо выражать свои мысли и т. п., а с другой стороны - развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения и т. д.). Иначе говоря, математика нужна для интеллектуального развития личности.

Проблема обучения математике в современной жизни приобретает все большее значение. Это объясняется, прежде всего, бурным развитием математической науки и проникновением ее в различные области знаний.

Повышение уровня творческой активности, проблемы автоматизации производства, моделирования на электронно-вычислительных машинах и многое другое предполагает наличие у специалистов большинства современных профессий достаточно развитого умения четко и последовательно анализировать изучаемые процессы. Поэтому обучение в детском саду направлено, прежде всего, на воспитание у детей привычки полноценной логической аргументации окружающего. Опыт обучения свидетельствует о том, что развитию логического детей в наибольшей мере способствует изучение математики. Для математического стиля мышления характерны четкость, краткость, расчлененность, точность и логичность мысли, умение пользоваться символикой.

Доказано, что ознакомление детей с разными видами математической деятельности в процессе целенаправленного обучения ориентирует их на понимание связей и отношений. Формирование математических знаний и умений у детей должно осуществляться так, чтобы обучение давало не только непосредственный практический результат, но и широкий развивающий эффект. Под математическим развитием дошкольников, как правило, понимают качественные изменения в формах познавательной активности ребенка, которые происходят в результате формирования математических представлений и связанных с ними логических операций.

Таким образом, из сказанного видно, что обучение математике в школе, в том числе в начальных классах, преследует достижение четырех взаимосвязанных целей:

- общеобразовательных - овладение учащимися определенным объемом математических знаний, умений и навыков в соответствии с программой;

- воспитательных - формирование важнейших моральных качеств, готовности к труду;

- развивающих - развитие логических структур и математического стиля мышления;

- практических - формирование умения применять математические знания в конкретных ситуациях, при решении практических задач.



1.2 Значение математики в развитии детей

Математика - это фундаментальная наука, методы которой, активно применяются во многих естественных дисциплинах, таких как физика, химия и даже биология. Сама по себе, эта область знаний оперирует абстрактными отношениями и взаимосвязями, то есть такими сущностями, которые сами по себе не являются чем-то вещественным. Но, тем не менее, стоит только математике вступить в область любой науки о мире, она сразу воплощается в описание, моделирование и предсказание вполне себе конкретных и реальных природных процессов.

Математика развивает умственные способности. Она позволяет развить важные умственные качества. Это аналитические, дедуктивные (способность к обобщению), критические, прогностические (умение прогнозировать, мыслить на несколько шагов вперед) способности. Также эта дисциплина улучшает возможности абстрактного мышления (ведь это абстрактная наука), способность концентрироваться, тренирует память и усиливает быстроту мышления. Если говорить более подробно и оперировать конкретными навыками, то математика поможет ребенку развить следующие интеллектуальные способности:

· Умение обобщать. Рассматривать частное событие в качестве проявления общего порядка. Умение находить роль частного в общем.

· Способность к анализу сложных жизненных ситуаций, возможность принимать правильное решение проблем и определяться в условиях трудного выбора.

· Умение находить закономерности.

· Умение логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли, делать верные логические выводы.

· Способность быстро соображать и принимать решения.

· Навык планирования наперед, способность удерживать в голове несколько последовательных шагов.

· Навыки концептуального и абстрактного мышления: умение последовательно и логично выстраивать сложные концепции или операции и удерживать их в уме.

Математическому мышлению свойственны те качества, которые присущи научному мышлению. В исследованиях Ю. Н. Колягина [11], это:

1) Гибкость мышления - способность к целесообразному варьированию способов действия; легкость перестройки системы знаний, умений и навыков при изменении условий действия; легкость перехода от одного способа действия к другому, умение выходить за границы привычного способа действия.

2) Активность мышления - постоянство усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желание обязательно решить эту проблему, изучить различные подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий и т. д.

3) Организованность памяти. В зависимости от содержания запоминаемого материала и от деятельности человека в процессе запоминания память делят на образную (двигательную, зрительную, слуховую), эмоциональную и словесно-логическую. В зависимости от целей деятельности различают память непроизвольную и избирательную. В зависимости от времени хранения информации в памяти различают память кратковременную (оперативную) и долговременную.

4) Широта мышления - способность к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к частным, нетипичным случаям. Это качество мышления часто проявляется в готовности школьников принять во внимание новые для него факты в процессе деятельности в известной ситуации.

5) Глубина мышления - способность глубокого понимания каждого из изучаемых математических фактов в их взаимосвязи с другими фактами. 6) Критичность мышления - умение оценить правильность выбранных путей решения проблемы и получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности, значимости и т. п. В процессе обучения математике воспитанию этого качества у учащихся способствует постоянное обращение к различного вида проверкам, грубым прикидкам найденного результата, а также к проверке умозаключений, сделанных с помощью индукции, аналогии и интуиции.

Математика развивает творческие способности. К творческим способностям, с точки зрения Ю. М. Колягина[11], относятся прежде всего:

- способность к правильному и быстрому восприятию, способность к пространственному воображению;

- способность к быстрому сосредоточению и переключению внимания с сохранением его устойчивости и интенсивности на любых избранных объектах;

- наличие хорошей избирательной памяти, способность репродуцировать ведущие знания и опыт;

- способность к сильному творческому воображению;

- способность оценивать ситуацию сразу с различных точек зрения, способность видеть больше того, что есть и что очевидно;

- способность проникать в сущность основных взаимосвязей, скрытых в данной проблеме, перед тем как приступить к ее решению;

- устойчивую потребность в познании нового;

- образность, точность и сжатость речи, способность необычно отвечать на специфические вопросы;

- способность создавать наглядно-действенные и наглядно-образные модели тех или иных ситуаций;

- способность мыслить отвлеченно, схватывая главную суть закономерности изучаемого процесса или характеристические свойства той или иной ситуации.

Важно отметить, что к числу качеств, присущих творческой личности, справедливо относят и такие качества, как: глубокие и широкие знания в области своей деятельности; всестороннюю (или узконаправленную) любознательность; мечтательность, склонность к фантазии; независимость суждений; находчивость, способность к импровизации; склонность к риску и т. д.

Нетрудно видеть, что в перечисленных качествах творческой личности проявляется высокий уровень развития самых разнообразных компонентов, присущих математическому мышлению.

Таким образом, математика необходима для развития ребенка. Она задает стандарты правильного, рационального мышления на всю жизнь вперед. Дает огромный толчок для умственного развития. Этот школьный предмет способен намного поднять умственный уровень подрастающего индивида и послужить хорошим подспорьем для интеллектуального развития в последствии, уже в зрелом возрасте. Он организует, упорядочивает и оптимизирует мышление, тренирует, такие умственные качества, которые формируют каркас и скелет всего мышления.



2. Преемственность дошкольной математической подготов-ки и обучения математике в начальных классах

Проблема преемственности в системе образования не нова. Еще К. Ушинский обосновал мысль о взаимоотношениях «подготовительного обучения» и «методического обучения в школе» [21, 90].

Исторически постановка проблемы преемственности, которая решалась в основном с точки зрения подготовки детей к школе, совпала с моментом введения в детский сад систематического обучения в форме занятий. В 60-е годы XX века система регламентированных занятий получила широкое распространение.

Принцип преемственности на современном этапе становится предметом особого психолого-педагогического анализа.

Так А.М. Леушина [14] отмечает, что преемственность - это внутренняя органическая связь общего, физического и духовного развития на грани дошкольного и школьного детства, внутренняя подготовка при переходе от одной ступени формирования личности к другой.

Школа постоянно повышает требования к интеллектуальному, в частности математическому, развитию детей. С целью совершенствования подготовки всех детей шестилетнего возраста к школе организуются подготовительные классы при школах, подготовительные группы в детских садах.

Обеспечение более высокого уровня математического развития детей, поступающих в первый класс, их предварительная подготовка, безусловно, существенно влияют на качество усвоения учебного материала в школе. Поэтому такое серьезное внимание уделяется правильной организации учебно-воспитательной работы в детских садах, особенно в старшем дошкольном возрасте.

Психолого-педагогические исследования последних лет дали возможность усовершенствовать содержание обучения дошкольников, в частности математике. Перестройка вариативных программ обучения и воспитания в детском саду осуществляется, прежде всего, в соответствии с требованиями начальной школы, которые предъявляются к математической подготовке детей, и особенностей их математического развития.

Программа работы в детском саду является частью единой системы обучения математике и развития интеллекта детей, которая предполагает занятия с двух лет. В старшей группе содержательным ядром программы является формирование представления о числе как о точке числовой прямой. Большое значение придается развитию образного мышления и абстрактного воображения детей, воспитанию интереса и "вкуса" к математике как совершенно особой области человеческого знания. С этой целью предлагаются творческие задания, включенные в продуктивные виды деятельности как средство усвоения и присвоения математического содержания.

Можно сказать, что работа по этому разделу преследует две цели: первая связана с подготовкой детей к поступлению в школу и обучению в ней, вторая - с развитием интеллекта и воображения.

Как показывает анализ современных программ по математике для первого класса и дошкольного учреждения, в их содержании достигнута значительная преемственность. Характерно, что программы строятся на теоретико-множественной основе. Центральным понятием, с которым знакомятся дети и в детском саду, и в школе, является множество, а основным методом обучения - метод одновременного изучения взаимообратных действий.

В программе по математике условно можно выделить пять разделов:

- знания о количестве и счете,

- размере,

- форме,

- пространстве,

- времени.

Усвоение программы, как подчеркивалось раньше, обеспечивает выпускникам дошкольных учреждений уверенное овладение математикой в школе. Так, для усвоения знаний первой темы программы в первом классе «Десяток» дети имеют достаточный уровень знаний. Они умеют хорошо считать предметы, звуки, движения, хорошо усвоили названия, последовательность и обозначение первых десяти чисел натурального ряда. Формирование понятия числа и арифметических действий над ними осуществлялось в детском саду и продолжается в первом классе на основании практических операций с разными конечными множествами. Этому способствует опыт, приобретенный детьми ранее.

В первом классе идет дальнейшее углубление знаний об отношениях между смежными числами натурального ряда, закрепляются навыки установления взаимооднозначного соответствия между элементами двух множеств накладыванием, прикладыванием и сравнением чисел.

В детском саду уделяется внимание развитию специальной терминологии: названиям чисел, действий (прибавления и отнимания), знаков (плюс, минус, равно). В школе углубляется процесс обогащения речи детей специальными терминами. Дети усваивают названия данных и искомых, компонентов действий сложения и вычитания, учатся читать и записывать самые простые выражения и т.д.

Важное значение для изучения школьного курса математики имеет своевременное ознакомление дошкольников с арифметическими задачами и примерами. Выпускники детских садов уже усвоили математическую сущность задачи, понимают значение и содержание вопросов задачи, правильно отвечают на них, выбирают и аргументируют выбор арифметического действия. В детском саду начинается, а в первом классе продолжается усвоение детьми таблицы сложения и вычитания в пределах десяти на основе знаний состава числа из двух меньших. Кроме того, в первом классе дети знакомятся с отдельными случаями сложения и вычитания, когда одно из числовых данных равно нулю.

Положительно влияют на формирование знаний о числе представления детей о непрерывных величинах, что предусмотрено программой детского сада, а также навыки в измерении условной мерой и такими общепринятыми мерами, как метр, литр, килограмм. В первом классе дети продолжают измерять протяженность, массу, вместимость, объем. Постепенно, начиная с детского сада и продолжая эту работу в школе, детей подводят к пониманию функциональной зависимости между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения (количеством мер). Все эти знания расширяют понятие о числе, развивают мышление ребенка, его интересы и способности.

Таким образом, усвоение программы обеспечивает выпускникам дошкольных учреждений уверенное овладение математикой в школе. В первом классе идет дальнейшее углубление знаний по математике.



3. Преемственность математического образования между начальной школой и 5-6 классами средней школы

3.1 Понятие «преемственности»

Преемственность в обучении - установление необходимой связи и правильного соотношения между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения; понятие преемственности характеризует также требования, предъявляемые к знаниям и умениям учащихся на каждом этапе обучения, формам, методам и приёмам объяснения нового материала и ко всей последующей работе по его усвоению. Преемственность в изложении учебного материала и выборе способа деятельности по овладению этим содержанием происходит с учетом следующих факторов: содержания и логики математической науки и закономерностей процесса усвоения знаний. Преемственность должна осуществляться и между видами деятельности учащихся при усвоении учебного материала. Учащиеся должны выступать не как объект обучения, а становиться субъектами учебной деятельности [18,с. 11].

В новых стандартах образования нашли отражение инновационные научные идеи, которые активно разрабатывались педагогами, психологами и методистами: системно - деятельностный подход и личностно-ориентированное обучение, дифференциация, гуманизация и гуманитаризация образования, теория учебной деятельности, формирование общеучебных умений, взаимосвязь обучения, воспитания и развития учащихся и т.д.

В начальных классах в соответствии со стандартом, основной задачей изучения математики является "формирование представлений о натуральном числе, выработка прочных навыков вычислений с натуральными числами и нулем, обучение применению натуральных чисел при решении практических задач".

Поэтому, преемственные связи находят свое выражение в том, что курс математики 5 класса так же как и курс математики начальной школы сориентирован на отработку частных вопросов. Это оказывает влияние на способы реализации преемственности между ступенями образования, которые находят отражение и при изучении натуральных чисел и дробей. В качестве основных способов реализации преемственности выступают:

· Повторение, пронизывающее весь курс математики 5-6 классов. Это находит свое выражение как в специальном разделе "Натуральные числа", так и при изучении новых вопросов, где предлагаются упражнения для повторения ранее изученного материала в большинстве случаев с натуральными числами;

· При введении нового материала используются объяснительные тексты, в которых авторы учебников взаимосвязь с вопросами, ранее изученными на начальной ступени, выражают формулировками типа: "Вы уже умеете...", "В предыдущих классах вы изучали..." и т.д. Тем не менее эти фразы носят формальный характер, так как при дальнейшем изложении объяснительного текста эти знания и умения детей не используются, а все "разъясняется" с самого начала. При этом деятельность учащихся носит репродуктивный характер, отражает образец, данный в объяснительном тексте или учителем.

Эти способы реализации преемственности носят внешний, формальный характер и не формируют в сознании учащихся необходимую понятийную взаимосвязь, так как она не находит достаточного выражения в заданиях, которые являются основным средством организации учебной деятельности учащихся, а отражена только в объяснительных текстах учебника.

Если же рассмотреть преемственность между начальной и основной ступенями в случае, когда обучение в начальных классах ведется по развивающим программам, то разрыв между ними еще значительнее, так как работа по развитию учебной деятельности и мышления учащихся, начатая в начальных классах, не получает должного продолжения ни в одном из рассматриваемых учебников.

3.2 Преемственность в изучении чисел в 1-4 и 5-6 классах

Содержание курса "Математика" в изучении чисел в начальных и пятом классах выстроено следующим образом:

· I класс.

- Отношения "столько же", "больше", "меньше" (установление взаимно однозначного соответствия). Счет. Количественная характеристика групп предметов. Цифры. Взаимосвязь количественного и порядкового чисел.

- Натуральный ряд чисел от 1 до 9, принцип его построения. Присчитывание и отсчитывание по единице.

- Смысл действия сложения и вычитания. Понятия целого и части. "Увеличить на....", "уменьшить на....". Сумма, слагаемые, значение суммы. Переместительное свойство сложения. Уменьшаемое, вычитаемое, значение разности. Взаимосвязь компонентов и результатов действия сложения и вычитания. Число и цифра нуль. Разностное сравнение.

- Двузначные числа, их разрядный состав.

· II класс.

- Сочетательное свойство сложения.

- Трехзначные числа, их разрядный состав.

- Смысл умножения. Названия компонентов и результата умножения. Умножение на 0 и на 1.

- Переместительное свойство умножения. Понятие "увеличить в...".

· III класс.

- Сочетательное свойство умножения.

- Смысл деления. Названия компонентов и результата деления. Взаимосвязь умножения и деления. Понятие "уменьшить в...". Кратное сравнение. Невозможность деления на нуль. Деление числа на 1 и на само себя.

- Распределительное свойство умножения.

- Деление суммы на число.

- Четырехзначные, пятизначные, шестизначные числа. Понятия разряда и класса. Соотношение разрядных единиц. Разрядные слагаемые.

· IV класс

- Смысл деления с остатком. Способы деления с остатком. Взаимосвязь компонентов и результата деления (с остатком и без остатка).

· V класс.

- Натуральные числа. Повторение основных понятий, свойств, способов действий, которые изучались в курсе математики начальной школы.

- Делители и кратные. Простые и составные числа.

- Свойства делимости. Признаки делимости. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.

Таким образом, первые шаги в формировании понятия числа у младших школьников связаны с выполнением ими определенных действий с предметными совокупностями. Количественная характеристика предметных групп осознается ребенком в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами, В этом случае количественная характеристика числа находит выражение в понятиях "столько же", "больше", "меньше".

Установление взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами связано с вычленением отдельных элементов и подготавливает детей к сознательному овладению операцией счета. На первом этапе счет выступает для ребенка как установление взаимнооднозначного соответствия между предметной совокупностью и совокупностью слов-числительных, расположенных в определенном порядке.

Таким образом, в основе формирования понятия числа, с одной стороны, лежит счет предметов, который служит для определения их количества. Число выступает как результат счета и характеризует количество предметов данного множества ("количественное число"). С другой стороны, число как общая характеристика класса эквивалентных множеств осознается ребенком в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между элементами различных множеств. Ответы на вопросы: "Больше?", "Меньше?", "Сколько же?" - могут быть получены как способом пересчитывания, так и способом установления взаимно-однозначного соответствия. Эти способы используются параллельно, дополняя друг друга.

Каждое число, называемое в процессе счета, ставится в соответствие одному из пересчитываемых предметов, характеризуя его порядок при счете ("порядковое число"). Порядковая и количественная характеристика числа тесно связаны.

Знакомство учащихся с лучом, отрезком и способом измерения длины с помощью различных мерок позволяет ввести понятие "числовой луч" и применять его как наглядное средство для сравнения чисел, а затем для их сложения и вычитания.

В качестве математической основы разъяснения смысла сложения выступает теоретико-множественная трактовка суммы. Она легко переводится на язык предметных действий, что позволяет при формировании представлений о смысле сложения опираться на опыт детей, навыки счета и операции присчитывания и отсчитывания.

Для разъяснения смысла сложения используется идея соответствия предметного действия его словесному описанию, математической записи и изображению на числовом луче. Для чтения математических записей вводится терминология: выражение, равенство, слагаемые, значение суммы. Употребление ее позволяет исключить такой термин как "примеры". Интерпретация сложения на числовом луче помогает ребенку абстрагироваться от предметных действий. Введение в программу темы "Целое и части" помогает детям осознать взаимосвязь между сложением и вычитанием (представление о смысле действия сложения), между компонентами и результатами этих действий. Процесс усвоения состава однозначных чисел тесно связан с "изучением таким понятий, как "увеличить на...", "уменьшить на...", "целое и части", "число и цифра нуль", "разностное сравнение".

При изучении нумерации двухзначных чисел деятельность учащихся направляется на осознание позиционного принципа десятичной системы счисления и на соотношение разрядных единиц. Для этого используются как предметные наглядные пособия, так и калькулятор.

Во втором классе в теме "Умножение" большое внимание уделяется разъяснению детям смысла этого действия как суммы одинаковых слагаемых и новой математической записи. Для этой цели предлагаются различные виды учебных заданий:

· на выделение признаков сходства и различия данных выражений;

· на соотнесение рисунка и числового выражения;

· на запись числового выражения по данному рисунку;

· на выбор числового выражения, соответствующего данному рисунку и т.д.

Параллельно с разъяснением смысла умножения проводится работа, целью которой является формирование навыков табличного умножения. Составление таблицы умножения органически включается в темы: "Умножение", "Переместительное свойство умножения", "Увеличить в несколько раз", "Площадь фигуры", "Измерение площади", "Сочетательное свойство умножения".

В соответствии с логикой курса школьники сначала усваивают смысл умножения и его табличные случаи и только после этого (в третьем классе) приступают к изучению деления.

Использование идеи изменения и соответствия предметных действий (предметных ситуаций) и математической записи позволяет рассматривать так называемые "деление по содержанию" и "деление на равные части" (без употребления терминологии) в их тесной взаимосвязи, а также во взаимосвязи с умножением, что дает возможность детям лучше усвоить понятие "уменьшить в несколько раз" и понятие кратного сравнения.

В теме "Деление" рассматривается взаимосвязь компонентов и результатов действий умножения и деления, которая лежит в основе составления равенств, соответствующих случаям табличного умножения.

Нумерация многозначных чисел в курсе третьего класса представлена темами: "Четырехзначные числа" и "Пятизначные и шестизначные числа". Основными способами усвоения десятичной позиционной системы счисления являются: анализ многозначных чисел с точки зрения их разрядного состава, выявление признаков сходства и различия в конкретных числах, построение рядов чисел в соответствии с определенными правилами.

Содержание программы четвертого класса тоже соответствует тематическому принципу. Последовательность изучения тем позволяет органически включить в каждую следующую ранее пройденный материал и тем самым выстроить знания, умения и навыки в определенную систему.

Для разъяснения смысла деления с остатком, также как и при рассмотрении смысла действий сложения, вычитания, умножения и деления, используются задания на соотнесение предметных действий и математической записи. Чтобы освоить способ деления с остатком, дети прежде всего должны осознать взаимосвязь между делимым, делителем, неполным частным и остатком (с обязательным условием, что остаток меньше делителя). С помощью специальной системы заданий до учащихся доводится смысл определения: "Разделить числа а на натуральное число b -значит найти такие q иг, при которых a = bq +r, где 0 < г < b ", но при этом, конечно, буквенная символика не употребляется.

В пятом классе продолжается работа, начатая в начальных классах.

Тема "Натуральные числа" - первая тема в 5 классе, основные цели изучения которой: систематизировать, обобщить и развить знания учащихся о натуральных числах; познакомить с новыми понятиями, к восприятию и усвоению которых учащиеся были подготовлены в начальных классах.

Данные цели реализуются при изучении всех вопросов, включенных в тему. При повторении курса математики начальных классов вводится понятие "натуральное число" (в начальных классах этот термин не вводится, речь шла о числах, которые используются для счета), вводятся также понятия координатного луча (в начальных классах - числовой луч), координата точки, единичный отрезок (в начальных классах - мерка), учащиеся обобщают на вербальном и символическом уровне изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов и знакомятся со способами округления (подготовительная работа к такому обобщению также осуществлялась в начальных классах).

В раздел "Натуральные числа" включается знакомство пятиклассников с классом миллионов и миллиардов, с двойным неравенством, с помощью буквенной символики обобщаются свойства сложения (переместительное и сочетательное) и умножения (переместительное, сочетательное, распределительное) - термины были введены в начальных классах.

Введение понятий "делимое" и "кратное", простые и составные числа расширяют представления учащихся о натуральных числах и создают условия для включения заданий, нацеленных как на совершенствование вычислительных умений и навыков, так и на развитие логической грамотности учащихся.

Изучение свойств делимости опирается на знания, умения и навыки, сформированные в начальном курсе математики: связь компонентов и результатов действий умножения и деления; замена выражений - суммы, разности, произведения, частного - значением этих выражений и наоборот; деление суммы на число и др. Например, изучение свойств делимости суммы на натуральное число опирается на знание учащимися свойства "деление суммы на число". Например, в третьем классе при знакомстве с этим свойством учащимся предлагается задание:

1. Догадайся! По какому правилу записаны выражения в каждом
столбике ?

Вычисли их значения.

54 : 9 63 : 7

(36 + 18): 9 (49 + 14):7

36:9 + 18:9 49:7 + 14:7

72 : 8 56:7

(24 + 48): 8 (42 + 14): 7

24:8 + 48:8 42:7+14:7

Запиши столбики выражений по такому же правилу и вычисли их
значения: 36 : 4 48 : 6 27 : 3 45 : 9

В процессе выполнения этого задания учащиеся осознают новый способ действия. А именно: делимое представляется в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число, затем на это число делится каждое слагаемое и полученные результаты складываются.

Для усвоения нового способа действия выполняются различные задания.

Например:

Чем похожи выражения в каждой паре? Чем отличаются?

(24 + 48): 8 (42 + 14): 7

(22 + 50): 8 (40 + 16): 7

(36+18):9 (49 + 14):7

(34 + 20):9 (47 + 16):7

Какие суммы делятся на 4:

24+4 20+8 16+8 24+5 20+9 23+5 21+7 20+7 16+12 19+9 15+13 16+15

В процессе выполнения этих заданий учащиеся рассматривают различные случаи деления суммы на число, а именно: если каждое слагаемое делится на данное число, если каждое слагаемое не делится на данное число, если одно из слагаемых делится на данное число, а другое не делится. Результаты этих наблюдений используются в пятом классе при изучении свойства делимости суммы, знакомство с которым начинается с выполнения задания:

Чем похожи выражения? Вычисли их значения:

(56+72): 8 (63+49): 7

(36+81): 9 (64+56): 7

(49+28): 7 (64+72): 8

(56+48):6 (45+81):9

Анализируя признаки сходства и различия данных выражений, учащиеся выдвигают предположения о свойствах делимости суммы. Эти предположения они проверяют на других числовых выражениях, которые составляют сами. Итогом работы является обобщенная формулировка свойства делимости, которая дана в учебнике:

· если каждое из натуральных числе делится на натуральное число а, то и сумма этих чисел делится на это число;

· если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся, то вся сумма на число b не делится.

Дальнейшая деятельность учащихся направлена на осознание этих свойств. Для этой цели им предлагаются задания:

Не выполняя вычислений, выпишите выражения, в которых:

а) число 9 является делителем суммы;

б) число 8 является делителем суммы;

в) сумма кратна числу 6;

г) сумма кратна числу 11.

(54+36+72+81+18):9 (64+824+16+72):8

(9+27+35+54+72): 9 (32+16+40+36+48): 8

(99+9+18+27+81): 9 (88+176+80+40+56) : 8

(42+12+36+18+6): 6 (88+66+77+222) : 11

(24+84+48+54+60): 6 (99+44+22+33) : 11

(108+72+64+26+42): 6 (110+440+220+777) : 11

Проверь себя, вычислив значения этих выражений.

Можно ли утверждать, что сумма чисел в каждом ряду делится на 2?

а) 2, 4, 6, 8, 9, 10

б) 7, 8, 12, 14, 26

в) 24, 26, 28, 32, 34

Изучение свойств делимости, в частности свойства делимости суммы, находит дальнейшее развитие при изучении признаков делимости.

Например, при изучении признака делимости на 5. Знакомство с признаком делимости на 5 начинается с задания:

Подумай, можно ли сформулировать признак делимости на 5 ?

Ориентируясь на знание свойств делимости и знание признака делимости на 10, учащиеся могут рассуждать следующим образом:

- Все числа, которые делятся на 10, делятся и на 5. Это легко доказать, так как любое число, делящееся на 10, оканчивается нулем (или несколькими нулями) и его можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых будет число 10. Например, 42040 = 4204-10 77700 = 7770 * 10

Число 10 делится на 5. А если один из множителей делится на натуральное число, то и все произведение будет делиться на натуральное число.

Но рассуждения могут быть и такими:

- На 5 могут делиться те числа, которые оканчиваются цифрой 5, так как в этом случае мы можем записать число в виде двух слагаемых, каждое из которых делится на 5. Например: 42045 = 42040 + 5 77705 = 77700 + 5

Выполнение данного задания основано на знаниях, умениях и навыках, усвоенных на предшествующих этапах и помогает осознать признак делимости на 5.

Введение понятий "наибольший общий делитель", "наименьшее общее кратное" создает условия для совершенствования вычислительных навыков и готовит учащихся к усвоению темы "Обыкновенные дроби".

Изучение перечисленных вопросов в данной последовательности позволяет учащимся активно использовать при изучении нового материала ранее усвоенные (как в начальных классах, так и в 5 классе) знания, умения и навыки, что создает условия для самостоятельного выполнения заданий, нацеленных на усвоение нового материала.

Учебные задания являются основным средством организации учебной деятельности учащихся. В них находят отражение цели, содержание, методы и формы обучения. Задания непосредственно выходят на ученика, обусловливая характер его учебных действий. Поэтому содержание, формулировка и система учебных заданий в развивающем курсе 5, 6 классов имеют ряд отличительных особенностей по сравнению с системой заданий, нацеленных на "отработку" знаний, умений и навыков.

Так, при построении курсов математики в начальных и 5-6 классах, основной целью которых является формирование у учащихся знаний; умений и навыков, учитель обычно сам дает образец действий, сопровождая его необходимыми пояснениями, затем дети выполняют тренировочные задания, аналогичные тем, которые использовал учитель на этапе объяснения. После этого возможны творческие или нестандартные задания. Они обычно обсуждаются фронтально или предлагаются так называемым сильным ученикам.

Подобное построение системы учебных заданий не оказывает эффективного влияния на развитие мышления учащихся, так как процесс их выполнения не требует активного использования различных мыслительных операций.

В развивающем курсе математики, основной целью которого является формирование приемов умственной деятельности в начальных классах и активное их использование в 5-6 классах в процессе усвоения математического содержания, последовательность предлагаемых видов заданий существенно изменяется. Сначала это частично - поисковые, творческие задания. Процесс их выполнения может быть связан с догадкой, опирающейся в начальных классах на опыт ребенка, а в 5-6 классах на уже усвоенные знания, умения и навыки, с обсуждением различных вариантов и возможных способов действий, с организацией целенаправленного наблюдения, позволяющего включать в активную познавательную деятельность всех учащихся.

Цель этого этапа - осознание школьниками той учебной задача, на решение которой должна быть направлена его последующая деятельность.

Задания, предлагаемые для организации этой деятельности также отличаются от "тренировочных" заданий, обычно используемых на этапе закрепления, вариативностью формулировок, возможностью действовать различными способами, необходимостью активно привлекать ранее усвоенные знания, умения и навыки, используя приемы умственных действий. Другими словами, в развивающем курсе "Математика" для 5-6 классов "тренировочные задания" тоже имеют продуктивный характер.

Важной характеристикой учебных заданий является та функция - контролирующая и обучающая, которую они выполняют в учебном процессе.

В рамках обучения, направленного на "отработку" знаний, умений и навыков, обычно выделяются следующие этапы: актуализация знаний -объяснение - закрепление - контроль - повторение. В этом случае в качестве приоритетных выступают контролирующие задания, так как они предлагаются ученикам на всех этапах усвоения материала, кроме объяснения. Приоритет контролирующей функции на всех этапах обучения оказывает отрицательное воздействие на мотивационную сферу учащихся.

Таким образом, построение курса математики при изучении чисел обеспечивает изучение в органической связи каждой темы с предыдущей, что создает условия для повторения ранее изученных вопросов на новом уровне, позволяет сопоставлять и соотносить их в самых различных аспектах, обобщая и систематизируя их, устанавливая причинно-следственные связи. При этом, если учащиеся начальной школы в большей мере опираются на жизненный опыт, интуицию, то ученики 5-6 классов активно применяют уже сформированные понятия и способы действий.

3.3 Преемственность в изучении алгебраического материала в начальных и 5-6 классах

Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса, но основа ее закладывается в начальной школе. В этот период школьники обучаются осознанному использованию законов математических действий, осваивают правила и приемы вычислений, которые в последующие годы совершенствуются и закрепляются. Поэтому уровень вычислительных навыков зависит от систематичности повторения и закрепления ранее усвоенных приемов вычисления и их преемственной связи с новыми, приобретаемыми при последующем изучении материала.

Во время перехода от изучения математики к изучению систематического курса алгебры традиционно происходят затруднения у школьников, что часто приводит к снижению успеваемости. Это связано с широким использованием в курсе алгебры буквенной символики и затруднениями в понимании учениками того факта, что буква в математике, а затем и в алгебре обозначает число.

Рассмотрим пример преемственности при изучении линии решения уравнений:

В изучении уравнений выделяются три этапа.

К I этапу относится пропедевтическое изучение уравнений в начальной школе, II этап - более высокий уровень пропедевтики этих понятий в курсе 5-6 классов и III этап начинается с 7 класса.

В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число.

Термин “решение” употребляется в двух случаях: он обозначает так число (корень), при подготовке которого уравнение обращается в верное числовое равенство, так и сам процесс отыскания такого числа, т.е. способ решения уравнения. В данной работе для нас важнее второе толкование этого термина, поэтому рассмотрим некоторые способы решения уравнений более подробно.

Способы решений уравнений могут быть различными, желательно, чтобы учащиеся овладели их разнообразием. Выделяют следующие способы решения уравнений: способ, основанный на подборе значений переменной, способ, основанный на знании состава чисел, способы основанные на зависимостях между компонентами и результатами действий, графический способ, способы, основанные на разностном и кратном отношении чисел. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

Способ подбора.

При решении уравнений в начальной школе не редко используется способ подбора. Прежде всего он формирует осознанный и материалистически верный подход к решению уравнений, т.к. ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится. Так, решая уравнение x+2=5, ученик пробует подставить вместо x число 1, 2, 3. Даже если ученик смог сразу дать правильный ответ, он должен еще “доказать” его правильность, подставив найденное число в уравнение вместо х. В этом случае для проверки осознанности, действий учащегося можно задать ему вопрос: “Почему х не может равняться 2? (Если вместо х подставить 2, то получится 4, а не 5).

Используя способ подбора, учащиеся смогут справиться и с решением уравнений на нахождение неизвестного уменьшаемого или вычитаемого. При подборе чисел в процессе решения уравнений ученик должен прежде всего, подумать, с какого числа целесообразнее его начать.

Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует у учащегося умение “оценить”, “проанализировать” записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем с помощью “правил”.

Решение уравнений на основе соотношения между частью и целым.

Уравнения на сложение и вычитание с фигурами, линиями, числами рассматриваются в программе Л. Г. Петерсон.

Составляя подобные равенства, учащиеся на основе практических предметных действий выводят и усваивают правила:

целое равно сумме частей

чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть

Взаимосвязь между частью и целым является затем для учащихся тем удобным и надежным инструментом, который позволяет им легко решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым.

Решение уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения вида: х + 10 = 30 - 7, х+ (45 -17) =40 и т.п. им предлагаются более сложные уравнения, для нахождения неизвестного компонента, в которых необходимы определенные преобразования. Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений.

Первыми рассматриваются уравнения, в которых правая часть задается не числом, а числовым выражением, например: х+25=50·14 или х+25=12 ·3. При решении подобных уравнений учащиеся вычисляют значение выражения в правой части, после чего уравнение сводится к простейшему.

На протяжении длительного периода учащиеся упражняются в чтении, записи, решении и проверке таких уравнений, причем в левую и правую части их включаются простейшие выражения всех видов в различных сочетаниях. Наиболее сложными являются уравнения, в которых один из компонентов - выражение, содержащее неизвестное число х, например: (х+8) - 13=15, 70 + (40 - х)=96 и т.п., так как при решении уравнений данной структуры приходится дважды применять правила нахождения неизвестных компонентов. Например, рассматривают на уроке уравнение (12-х)+10=18. Очень важно правильно прочитать его, выяснить последнее действие, назвать компоненты, выделить каждое слагаемое, затем дети говорят о том, что неизвестное входит в первое слагаемое. После нахождения неизвестного слагаемого, после преобразования дети получают простейшее уравнение, в котором неизвестное вычитаемое. После нахождения вычитаемого х=4 необходимо сделать проверку решения уравнения.

Обучение решению уравнений этого вида требует длительных упражнений в анализе выражений и хорошего знания правил нахождения неизвестных компонентов.

Овладение навыками решения уравнений данного вида способствует преемственному обучению.

Решение уравнений на основе знаний конкретного смысла умножения.

...