Размещено на http://www.allbest.ru/

ЧЕРКАСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ БОГДАНА ХМЕЛЬНИЦЬКОГО

УДК 517.1:378.147

Автореферат

Наступність у вивченні теорії границь у загальоноосвітніх та вищих навчальних закладах

13.00.02 - теорія та методика навчання (математика)

Босовський Микола Васильович

Черкаси - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Черкаському національному університеті імені Богдана Хмельницького, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник:доктор педагогічних наук, професор Тарасенкова Ніна Анатоліївна, Черкаський національний університет імені Богдана Хмельницького, проректор з наукової роботи.

Офіційні опоненти:

доктор педагогічних наук, професор Моторіна Валентина Григорівна Харківський національний університет імені Г. С. Сковороди, завідувач кафедри математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Білоцький Микола Миколайович, Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, доцент кафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь.

Захист відбудеться «08» червня 2010 року об 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 73.053.02 у Черкаському національному університеті імені Богдана Хмельницького за адресою: 18031, м. Черкаси, бульвар Шевченка, 81, 2-й поверх, зал засідань.

Із дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Черкаського національного університету імені Богдана Хмельницького за адресою: 18031, м. Черкаси, вул. Університетська 22.

Автореферат розіслано «07» травня 2010 року.

Т. в. о. вченого секретаря спеціалізованої вченої ради І.А. Акуленко

Загальна характеристика роботи

Актуальність дослідження. Реформування вищої школи України, приєднання до Болонського процесу має сприяти реалізації таких провідних принципів вищої освіти, як демократизм, гуманізм, наступність, відкритість. Модернізація освітньої галузі спрямована на створення системи неперервної освіти, що могла б забезпечити кожному громадянинові України право здобувати та поповнювати свої знання впродовж життя. Реалізація загальноєвропейського принципу «освіта протягом життя» - глобальна проблема не тільки України, а й багатьох країн світу. Одним із важливих чинників неперервності освіти, її суттєвим складником є наступність. Нині реалізація наступності навчання в загальноосвітніх і вищих навчальних закладах (ЗНЗ і ВНЗ), зокрема математики, виходить на передній план наукових і практичних проблем.

Забезпечення належного рівня математичної освіти набуває на сучасному етапі розвитку суспільства особливого значення. Математична освіта для фахівців різних напрямів (математиків, фізиків, хіміків, економістів, інженерів, учителів та ін.) - основний інструмент засвоєння фахових дисциплін і майбутньої професійної діяльності. У ході вивчення цієї науки закладають не тільки методологічний, а й психофізіологічний фундамент системного, логічного та критичного мислення, що є життєво необхідним. Особливу роль у математичній підготовці фахівців відіграє теорія границь. Видатний математик Ф. Клейн зазначав, що всі прикладні завдання, які доводиться виконувати студентові, пов'язані зі змінними величинами й вимагають уміння обчислювати границі змінних величин, прирости змінних величин, відношення цих приростів, коли вони нескінченно малі. Їх використання має загальний характер. Тому в усіх (або майже в усіх) основних наукових чи технічних розрахунках обчислюють або границі відношення нескінченно малих (швидкість, прискорення, густина), або границі сум нескінченно малих (довжина дуги, площа, об'єм, маса). Отже, операція граничного переходу, яку вивчають у математичному аналізі, є однією з найважливіших обчислювальних операцій науки і техніки. Розуміння її сутності та вміння застосовувати становить базу для ґрунтовного опанування методів математичного аналізу, для яких функція слугує центральним об'єктом.

Водночас аналіз програм, підручників і навчальних посібників для ЗНЗ і ВНЗ, а також практика навчання свідчать, що існує розрив у вивченні граничного переходу в загальноосвітній і вищій школах. Отже, актуальним є розв'язання проблеми добору змісту та організації навчання теорії границь, спрямованих на забезпечення якісного опанування цієї теорії в системі неперервної освіти «ЗНЗ - ВНЗ».

Проблемі наступності навчання присвячено низку наукових досліджень, серед яких роботи відомих психологів і педагогів, зокрема Г. Александрова, Б. Ананьєва, А. Артемова, Ю. Бабанського, В. Батуріна, А. Блауса, С. Годника, Р. Гурова, В. Далінгера, Т. Десятова, А. Дістервега, Д. Ельконіна, Н. Казьмірчука, А. Кузьмінського, Ю. Кустова, А. Кухти, І. Лернера, А. Литвина, Т. Мальківського, О. Мороза, І. Песталоцці, В. Петренко, Н. Селезньової, Д. Ситдікової, А. Субетто, В. Тамаріна, В. Тереса, К. Ушинського та ін. Науковці з'ясовують сутність, місце і роль наступності в педагогічному процесі, аналізують наступність в організації навчальної роботи в межах ЗНЗ, у системі «ЗНЗ - ВНЗ», у межах ВНЗ, обґрунтовують педагогічні умови реалізації наступності навчання в різних ланках освіти, залежно від їхніх напрямів і профілів.

Методичний та змістовий аспекти наступності навчання математики ґрунтовно потлумачено в роботах А. Артемова, В. Гусєва, В. Далінгера, М. Зайкіна, І. Лур'є, І. Нікольської, А. Пишкало, Ю. Сидорова, О. Усманова та ін. Навчанню математичних дисциплін у ЗНЗ і ВНЗ різних профілів присвячено роботи М. Білоцького, В. Болтянського, М. Бурди, Н. Віленкіна, М. Дідовика, В. Лихача, Т. Колесник, Т. Крилової, Ю. Мальованого, Л. Наумова, Л. Нестерової, М. Потоцького, М. Працьовитого, Н. Тарасенкової, Н. Терешина, О. Скафи, З. Слєпкань, П. Стеблянка, А. Хінчина, Т. Хмари, В. Шавальової та ін. Особливості професійної підготовки вчителя математики досліджено в роботах І. Акуленко, К. Гнезділової, Ю. Колягіна, В. Крупича, Г. Луканкіна, Н. Метельского, Г. Михаліна, В. Мішина, В. Монахова, А. Мордковича, В. Моторіної, В. Оганесяна, А. Столяра, О. Томащука, А. Тютюн, Р. Черкасова, М. Шкіля та ін. Проблеми пізнавальної самостійності учнів, абітурієнтів, студентів проаналізовано в роботах Н. Ванжи, У. Вяткіна, І. Королькової, А. Нестеренко, Г. Саранцева та ін. Різні аспекти наступності навчання математики представлено в дисертаційних роботах останніх років Г. Гордійчук, Т. Мантули, О. Пінаєва, С. Уфімцева.

Водночас аналіз науково-педагогічної та методичної літератури свідчить, що проблема організації вивчення граничного переходу в контексті наступності навчання в загальноосвітній та вищій школах недостатньо розроблена. Практика ж доводить, що й учні, і студенти відчувають істотних труднощів, опановуючи граничний перехід. Їхні знання нерідко неповні, неточні, а вміння - недосконалі. Отже, існує суперечність між запитами суспільства до якості математичної підготовки майбутніх фахівців, зокрема з теорії границь, і наявним станом цієї підготовки та її науково-методичним забезпеченням. Тому дослідження за темою «Наступність у вивченні теорії границь у загальноосвітніх та вищих навчальних закладах» є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу розпочато згідно з напрямом науково-дослідної роботи кафедри алгебри, геометрії та методики викладання математики Черкаського державного університету імені Богдана Хмельницького з теми «Актуальні проблеми методики викладання математики в середній школі й вузі», що затверджена рішенням вченої ради Черкаського державного університету імені Богдана Хмельницького (протокол № 2 від 21.12.1999 р.). У зв'язку з реорганізацією університету і кафедр математичного факультету роботу завершено відповідно до теми науково-дослідної роботи кафедри геометрії та методики навчання математики Черкаського національного університету імені Богдана Хмельницького «Проблеми математичної підготовки учнівської молоді в загальноосвітніх та вищих навчальних закладах», що затверджена рішенням вченої ради Черкаського національного університету імені Богдана Хмельницького (протокол № 4 від 23.01.2006 р.).

Тема дисертації затверджена вченою радою Черкаського державного університету імені Богдана Хмельницького (протокол № 4 від 19.12.2000 р.), а також рішенням бюро Ради з координації наукових досліджень у галузі педагогіки і психології в Україні (протокол № 2 від 20.02.2001 р.).

Мета дослідження розробити, науково обґрунтувати та експериментально перевірити методику навчання теорії границь у курсі математичного аналізу ВНЗ, спрямовану на забезпечення наступності навчання в загальноосвітній та вищій школах.

Поставлена мета конкретизована в таких завданнях:

1) проаналізувати стан дослідженості проблеми наступності навчання теорії границь у психолого-педагогічній теорії та практиці навчання;

2) окреслити наукові засади реалізації наступності навчання теорії границь у ЗНЗ і ВНЗ;

3) розробити й науково обґрунтувати методику навчання теорії границь у курсі математичного аналізу ВНЗ у контексті проблеми наступності;

4) експериментально перевірити ефективність пропонованої методики навчання теорії границь, що вивчають у курсі математичного аналізу ВНЗ.

Об'єктом дослідження постає процес математичної підготовки в загальноосвітніх і вищих навчальних закладах.

Предметом дослідження є зміст та організація навчання теорії границь у ВНЗ, спрямованого на забезпечення наступності навчання в загальноосвітній та вищій школах.

Для розв'язання поставлених завдань застосовано комплекс методів дослідження:

теоретичних - вивчення, узагальнення, систематизація психолого-педагогічної, науково-методичної та математичної літератури з теми дослідження, аналіз, порівняння навчальних програм, змісту й структури підручників, посібників із математики для ЗНЗ та математичного аналізу і вищої математики для ВНЗ, що дало змогу окреслити основні аспекти проблеми наступності навчання теорії границь у контексті дослідження; міжгалузевий аналіз і синтез, ретроспективне вивчення проблеми наступності та шляхів і засобів її розв'язання в теорії та практиці навчання уможливили з'ясування сутності загальнодидактичних вимог до реалізації наступності навчання, розроблення концептуальних засад та побудову методики навчання студентів теорії границь, спрямовану на забезпечення наступності навчання в системі «ЗНЗ - ВНЗ»;

емпіричних: діагностичні (анкетування, тестування, опитування, бесіди, педагогічний експеримент, аналіз контрольних робіт) для з'ясування рівня засвоєння учнями і студентами теорії границь на різних етапах навчання; педагогічний експеримент (констатувальний, пошуковий, формувальний) - для вивчення стану проблеми, розроблення, коригування й апробації авторської методики навчання студентів теорії границь;

статистичні - для кількісного та якісного аналізу результатів навчання за експериментальною методикою.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

- уперше виокремлено етапи навчання теорії границь (пропедевтичний, вибірковий, безпосередній) та охарактеризовано їхні особливості й часові межі; з'ясовано рівні вивчення теорії границь (інтуїтивний, інфінітезимальний, дефінітний), їхню специфіку та взаємозв'язок з етапами навчання; визначено рівні засвоєння теорії границь (репродуктивний, реконструктивно-варіативний, творчий) та їх залежність від рівня вивчення цієї теорії й організації навчання як об'єктивних факторів; окреслено типи наступності (еволюційний, революційний, регресивний), що виявляються при переході з певного рівня вибіркового вивчення теорії границь у ЗНЗ до її безпосереднього вивчення у ВНЗ, та вивчено їхній уплив на хід і результати навчання теорії границь у ВНЗ; обґрунтовано концептуальні засади забезпечення наступності навчання теорії границь у ЗНЗ та ВНЗ; виокремлено й охарактеризовано компоненти (особистісний, змістово-семіотичний, організаційний) системи забезпечення наступності навчання теорії границь у загальноосвітніх і вищих навчальних закладах; розроблено й упроваджено науково вивірену методику навчання теорії границь у курсі математичного аналізу ВНЗ, що спрямована на реалізацію наступності навчання в загальноосвітній та вищій школах;

удосконалено методичну систему навчання математичного аналізу в університетах через побудову й упровадження авторської методики навчання теорії границь як фундаментального складника курсу математичного аналізу;

дістали подальшого розвитку теоретичні положення стосовно добору змісту, методів, форм і засобів навчання, спрямованих на забезпечення наступності навчання математики в системі неперервної освіти «ЗНЗ - ВНЗ».

Практичне значення одержаних результатів дослідження полягає в тому, що розроблено та апробовано методичний комплекс, який включає: засоби діагностики та засоби навчання теорії границь, навчально-методичний посібник подвійного спрямування (для ЗНЗ і ВНЗ), інтерактивний посібник із теорії границь, систему методичних рекомендацій щодо організації навчання теорії границь на лекціях, практичних заняттях і в ході самостійної роботи студентів, навчально-методичні посібники з диференціального числення функцій багатьох змінних, теорії функцій комплексної змінної, векторного аналізу, що оптимізують вивчення застосувань теорії границь і які побудовано на спільних концептуальних засадах. Результати дослідження можуть бути застосовані в практиці навчання математичного аналізу в класичних університетах, у ВНЗ педагогічного та інших профілів, а також у курсі алгебри й початків аналізу в ЗНЗ із поглибленим вивченням математики, у процесі складання навчальних і методичних посібників.

Теоретичні положення й практичні результати дослідження впроваджено в навчальний процес студентів у Черкаського національного університеті імені Богдана Хмельницького (довідка № 234/03 від 03.04.2009 р.), Полтавського державного педагогічного університету імені В. Г. Короленка (довідка № 1392/01 - 37/02 від 10.04.2009 р.), Сумського державного педагогічного університету імені А. С. Макаренка (довідка № 539 від 02.04.2009 р.), Вінницького державного педагогічного університету імені Михайла Коцюбинського (довідка № 10 / 24 від 10.04.2009 р.).

Особистий внесок здобувача в працях, написаних у співавторстві. У тезах доповіді «Щодо питання про наступність у навчанні теорії границь в школі й вузі» здобувачем проведений аналіз проблеми вивчення теорії границь та сформульовані загальні висновки. У тезах доповідей «Особистісний аспект навчання теорії границь в школі й вузі», «Принципи максимізації різноманітності особистості та наступність навчання математики в школі й вузі» автором дібраний і систематизований матеріал; у посібнику «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» авторові належить розроблення розділу, що стосується границі функції багатьох змінних та її застосувань.

Апробація результатів дослідження. Основні положення дисертаційної роботи доповідались та дістали схвалення на міжнародній науково-методичній конференції «Проблеми математичної освіти» (Черкаси, 2009), усеукраїнських науково-методичних конференціях «Проблеми математичної освіти» (Черкаси, 2005, 2007), усеукраїнських науково-практичних конференціях «Актуальні проблеми теорії і методики навчання математики» (Київ, 2004), «Особистісно орієнтоване навчання математики: сьогодення і перспективи» (Полтава, 2003, 2005, 2008), «Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики» (Кривий Ріг, 2001, 2004), «Формування духовної культури особистості в процесі навчання математики в школі та вищому навчальному закладі» (Луцьк, 2003), усеукраїнській науковій конференції «Алгебраїчні методи дискретної математики (теорія та методологія)» (Луганськ, 2002), Республіканському науково-методичному семінарі (Київ, 2002, 2007, 2008), засіданнях кафедр математичного факультету Черкаського національного університету імені Богдана Хмельницького (2000-2008).

Публікації. Результати дослідження опубліковано в 22 наукових працях, серед яких 7 статей у фахових виданнях, затверджених ВАК України, 2 статті в інших наукових виданнях, 9 тез доповідей на конференціях, 4 навчально-методичні посібники, із яких один має гриф «Схвалено комісією з математики МОН України».

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, двох розділів, висновків до розділів, загальних висновків, 19 додатків, серед яких комп'ютерний диск CD-R, списку використаних джерел із 242 найменувань. Основний зміст викладено на 197 сторінках, він містить 35 рисунків, 5 таблиць. Повний обсяг дисертації становить 312 сторінок.

Основний зміст дисертації

У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, окреслено об'єкт, предмет, мету й завдання дослідження, аргументовано наукову новизну та практичне значення роботи, подано відомості щодо апробації та впровадження результатів, отриманих у ході наукового пошуку.

У першому розділі «Предмет і теоретичні основи проблеми дослідження» з'ясовано роль теорії границь у математичній освіті, охарактеризовано стан вивчення теорії границь у школі та вищих навчальних закладах як у ретроспективі, так і на сучасному етапі; виокремлено наукові засади реалізації наступності навчання в ЗНЗ і ВНЗ; розроблено наукову концепцію, на засадах якої створено авторську методику навчання теорії границь у курсі математичного аналізу ВНЗ.

У роботі проведено короткий огляд відомостей щодо історії становлення теорії границь, що вміщено в енциклопедичних виданнях, історіографічних збірниках, працях видатних математиків Б. Больцано, Д. Валліса, Ж. Даламбера, Л. Ейлера, Б. Кавальєрі, І. Кеплера, О. Коші, Г. Лейбніца, С. Люільє, І. Ньютона, Б. Паскаля, П. Ферма та ін. З'ясовано, що початок вивчення теорії границь в університетах пов'язують з ім'ям О. Коші. Учений 1814 р. увів поняття границі в проект програми для Політехнічної школи. У Російській імперії це поняття запропоноване в університетському курсі із 1830 р. М. В. Остроградським, відтоді його обов'язково вивчають студенти у складі математичного аналізу. До програми загальноосвітньої школи елементи сучасної теорії границь остаточно увійшли в період реформ 60-х р. 20 ст., які проводилися під керівництвом А. Колмогорова.

Нині теорію границь вивчають студенти різних напрямів підготовки в класичних, педагогічних, технічних та інших університетах України. Вона входить до складу курсів математичного аналізу чи вищої математики, причому в різному обсязі та із суттєвими змістовими відмінностями. Розгортання змісту теорії границь відбувається на чотирьох рівнях: суто дедуктивному, частково дедуктивному, на дедуктивній основі, інтуїтивно-дедуктивному. Найповніше теорію границь вивчають студенти напрямів підготовки «Математика» та «Педагогіка і методика середньої освіти. Математика».

У школах України опановують лише елементи теорії границь. Вони слугують уведенню понять неперервності функції, похідної, визначеного інтеграла тощо. В курсі алгебри і початків аналізу, що вивчається на академічному чи профільному рівні, обсяг змісту і кількість годин, відведених на цю тему, є різним. На рівні стандарту (гуманітарний напрям підготовки в ЗНЗ) для елементів теорії границь окремої теми взагалі не передбачено.

Встановлено, що відмінності в організації навчання в ЗНЗ і ВНЗ пов'язані не лише зі змістом навчання, а й з особливостями реалізації кожного дидактичного циклу (за Л. Зоріною) та методичної системи (за А. Пишкало) загалом. Якщо в школі дидактичний цикл реалізується лінійно (усі його ланки шикуються в суворо визначеному порядку), то у ВНЗ чергування ланок перестає підпорядковуватися лінійному законові, бо в процес відпрацювання студентами матеріалу певної лекції курсу може вклинюватися новий навчальний матеріал. Інші суттєві відмінності пов'язані з особливостями самостійної роботи учнів і студентів, що зумовлені специфікою процесу учіння (за І. Ільясовим).

З'ясовано, що до спільних, стрижневих аспектів забезпечення наступності навчання у ЗНЗ і ВНЗ відносяться закони, закономірності та принципи навчання, а також необхідність побудови навчального процесу на засадах сучасних підходів - комплексного, системного, діяльнісного, особистісно орієнтованого й семіотичного.

Аналіз напрацювань дослідників проблеми наступності свідчить про неоднозначність у тлумаченні складників її понятійного апарату. Зіставлення різних поглядів на суть наступності в навчанні математики показує, що вони не суперечать, а лише взаємодоповнюють один одного. Це підтверджує, що наступність в навчанні - багатогранне поняття, яке виявляється в процесі навчання по різному. Обґрунтовано, що наступність є загальнодидактичним принципом і водночас категорією теорії й методики навчання математики, що стосується проблеми відповідності процесів навчання математики в школі й ВНЗ та способів їх узгодження. Такий підхід дає змогу перейти від аналізу одного з виокремлених аспектів наступності навчання до їх інтеграції.

Забезпечення наступності в системі неперервної освіти «ЗНЗ - ВНЗ» можливе у двох напрямах - перспективному (удосконалення шкільної освіти з урахуванням потреб вищої освіти) і компенсаторному (удосконалення методики навчання у вищій школі, яке здійснюється з опорою на здобуті в школі знання й уміння учнів та компенсацію виявлених недоліків їхньої підготовки). Авторську методику розроблено в контексті другого напряму.

У системі неперервної освіти «ЗНЗ - ВНЗ» навчання теорії границь здійснюється на пропедевтичному, вибірковому та безпосередньому етапах, а її вивчення може відбуватися на трьох рівнях (інтуїтивному, інфінітезимальному, дефінітному), що мають свою специфіку та взаємозв'язок з етапами навчання. Результати засвоєння теорії границь можуть бути неоднорідними на кожному етапі навчання, вони залежать від способу засвоєння змісту|вмісту| освіти|утворення|, пропонованого на тому чи на тому рівні вивчення теорії границь. Виокремлено три рівні засвоєння теорії границь - репродуктивний, реконструктивно-варіативний|, творчий.

У вивченні теорії границь при переході «ЗОШ - ВНЗ» можливі два типи наступності, що забезпечують розвиток: еволюційний та революційний. Перший тип наступності характерний для переходу від дефінітного рівня вивчення теорії границь у школах і класах із поглибленим вивченням математики до дефінітного рівня вивчення цієї теорії у вищій школі. Другий тип|типа| наступності пов'язує інфінітезимальний| рівень вивчення теорії границь у непрофільній школі з дефінітним рівнем її вивчення в університеті. Третій тип наступності - регресивний, він характерний для переходу з дефінітного рівня вивчення теорії границь у профільній школі до інфінітезимального рівня вивчення цієї теорії в тих університетах, де глибока математична підготовка фахівців не передбачається. У нинішніх умовах превалює другий тип наступності, оскільки набуло масовості явище, коли випускники непрофільної школи продовжують свою освіту в класичних, педагогічних, технічних та інших ВНЗ, де теорію границь вивчають на дефінітному рівні. Цей тип наступності обрано як основний для побудови авторської методики. навчання математичний границя

Зміст та його оболонки в навчанні теорії границь у курсі математичного аналізу ВНЗ необхідно добирати з урахуванням того, що для границі послідовності (функції) можливими є лише п'ять варіантів її репрезентації (існує скінченна границя, дорівнює + ? або - ?, границя не існує, бо послідовність обмежено або необмежено коливається). Теореми про граничний перехід доцільно виокремлювати шляхом перебору всіх варіантів репрезентації границі для кожного зі складників, що входять до них. Це дає змогу систематизувати відомості, утворити укрупнені й структуровані блоки інформації, надати можливість студентам засвоювати не розрізнений зміст, а певні концепти. З'ясовано, що вивчення границі послідовності перед границею функції дозволяє звести складні граничні процеси до границі послідовності та уникнути необхідності щоразу доводити елементарні теореми про границі й тим самим встановити єдність усіх видів границь.

У доборі методів навчання доцільно дотримуватися певних положень, виявлених нами експериментально: 1) зміст теорії границь та його оболонки суттєво ускладнюються в напрямі: інтуїтивний рівень інфінітезимальний рівень дефінітний рівень; 2) від особливостей певного рівня вивчення теорії границь та відповідних йому рівнів засвоєння цієї теорії залежить специфіка способів організації засвоєння та їхня варіативність; 3) на кожному з рівнів вивчення теорії границь можливе застосування будь-якого методу навчання; 4) що вищий ступінь строгості розгортання змісту теорії границь, то більше часу і зусиль знадобиться для організації його засвоєння учнями (студентами), бо з кожним ступенем зростає складність навчального матеріалу (об'єктивний фактор) та труднощі опанування (суб'єктивний фактор); 5) зростання ступеня строгості розгортання змісту теорії границь з урахуванням об'єктивного та суб'єктивного факторів, а також фактору часу призводить до зменшення кількості варіацій у способах організації засвоєння, які можна застосовувати в реальному навчальному процесі.

Серед типів лекцій найбільш ефективними виявилися інформаційна та проблемна лекції, а також лекція-візуалізація (або з елементами візуалізації). Інформаційні лекції доцільно проводити, коли вивчають складний матеріал (наприклад, означення границі послідовності, означення границі функції в точці, на нескінченності, доведення теорем про арифметичні операції). На проблемних лекціях важливо керуватися принципом доступності й забезпечувати посильний рівень складності проблеми та трудомісткості процесу її розв'язування. Такого типу лекції варто проводити під час вивчення теорем про границю проміжної послідовності, число Ейлера, односторонні границі тощо. Лекції-візуалізації слід застосовувати для узагальнення й систематизації знань студентів після вивчення укрупненої завершеної частини змісту.

Найбільш ефективними виявилися практичні заняття таких типів і змісту: 1) формування навичок і вмінь, під час яких доцільно відпрацьовувати теми «Означення границі послідовності», «Число е як границя послідовності», «Підпослідовності. Нижня та верхня границі послідовності», «Означення границі функції в точці й на нескінченності», «Односторонні границі», «Границі раціональних та ірраціональних функцій», «Перша і друга визначні границі»; 2) узагальнення й систематизації знань, яким варто завершити вивчення змістового модуля загалом; 3) застосування знань і вмінь, на яке корисно винести задачі фізичного й геометричного змісту; 4) контрольне заняття. Ураховуючи те, що теорію границь вивчають у першому семестрі першого курсу, практичні заняття доцільно організовувати як перехідну форму від уроку в школі до академічного заняття у ВНЗ. Крім того, важливо використовувати не лише фронтальні, а й групові та індивідуальні форми роботи, будуючи їх на засадах диференційованого підходу.

У другому розділі «Методика навчання теорії границь у вищих навчальних закладах у контексті наступності» запропоновано планування модуля «Теорія границь», побудованого згідно з вимогами кредитно-модульної системи організації навчання, розроблено рівневі вимоги до результатів вивчення теорії границь, запропоновано методичні рекомендації щодо організації вивчення теоретичного матеріалу та його відпрацювання.

На вивчення модуля «Теорія границь» доцільно виділити 2 кредити ECTS (72 год.) із таким розподілом годин на лекції, практичні заняття і самостійну роботу: 20 + 22 + 30 (год.).

Особливості змісту теорії границь та труднощі, що виникають у студентів під час її вивчення, вимагають окремого часу для повторення й систематизації знань з теми «Модуль числа». Експериментально доведено, що цей матеріал доцільніше винести в окремий підготовчий блок, оскільки супровідне повторення властивостей і відновлення умінь, пов'язаних із модулем дійсного числа, під час вивчення границі числової послідовності є мало ефективним. Для якісного засвоєння нового матеріалу потрібно, щоб студенти вільно володіли означенням модуля дійсного числа, геометричним змістом цього поняття, легко розв'язували нерівності з модулем, застосовували властивості модуля дійсного числа, могли перейти від аналітичного задання нерівності до графічної інтерпретації (заміна аналітичної оболонки на графічну). Для відпрацювання цього матеріалу доцільно запланувати одне практичне заняття, яке бажано провести перед вивченням теми «Границя послідовності».

Для забезпечення наступності навчання теорії границь у ЗНЗ і ВНЗ важливу роль відіграє не лише зміст навчання, а й способи ознайомлення з ним студентів. Так, під час уведення поняття границі числової послідовності доцільно скористатися конкретно-індуктивною схемою, яка більше притаманна шкільному навчанню. Згідно з нею, уведення поняття розпочинається з розгляду конкретних прикладів, на яких виокремлюють й узагальнюють те суттєве, що дає змогу сформулювати науково точне означення. Не менш важливо зреалізувати й такі кроки цієї методичної схеми: здійснити підведення об'єкта під поняття, виведення наслідків із факту належності об'єкта до поняття, а також проаналізувати можливі окремі випадки. Розроблений інтерактивний навчальний посібник (ІНП) спрямований на те, щоб успішніше реалізувати цю схему. Поняття границі функції доцільно вводити за абстрактно-дедуктивною методичною схемою.

У змісті блоку «Границя послідовності» важливо виокремити центральний факт (існування лише п'яти випадків репрезентації границі) і стрижневий напрям розгортання змісту (від окремого до загального). Формулюючи основні теореми про границю послідовності (наприклад, теорему про границю суми двох збіжних послідовностей), необхідно утворити низку супровідних тверджень, які вичерпують усі істотно важливі випадки репрезентації границі складників (наприклад, для названої теореми - це сім тверджень, у яких перебираються можливі варіанти репрезентації границі для кожного з доданків). Подання цих відомостей у таблиці з двома входами (табл. 1) дає змогу не лише систематизувати отримані відомості, а й надати студентам опору для застосування знань у стандартних і нестандартних ситуаціях, зокрема для розуміння походження невизначеностей (наприклад, та ін.) і правильного їх трактування.

Таблиця 1. Границя суми двох збіжних послідовностей

Наприклад, запис у другому рядку і другому стовпчику таблиці (у виділеному квадраті) відображає зміст основної теореми. Інформація, уміщена в другому рядку, розгортається так: якщо має скінченну границю, то сума поводиться, як перший доданок. Незаповнена частина таблиці симетрична відносно головної діагоналі. Клітинки таблиці заповнені в тих випадках, коли поведінка суми двох послідовностей очевидна. Усі випадки варто формулювати у вигляді тверджень, які доповнюють основну теорему. Виклад матеріалу, що стосується кожної з теорем про границю послідовності, доцільно побудувати за таким узагальненим планом: 1) постановка задачі; 2) навідні міркування; 3) база знань; 4) формулювання теореми; 5) план доведення теореми; 6) доведення теореми; 7) аналіз умов теореми.

Зміст блоку «Границя функції» доцільно здійснювати за такою схемою: 1) границя функції в точці за умови, що функція визначена в деякому околі точки а; 2) односторонні границі в точці а за умови, що функція визначена в деякому інтервалі, один із кінців якого дорівнює а; 3) зв'язок між границею функції в точці та односторонніми границями; 4) нескінченні границі функції в точці; 5) границі функції на нескінченності; 6) арифметичні операції та граничний перехід; 7) нерівності та граничний перехід; 8) дві визначні границі; 9) основні границі, пов'язані з числом Ейлера.

Розроблення, дослідження, корекція та перевірка ефективності запропонованої в дисертації методики відбувалася в процесі педагогічного експерименту протягом 1999-2008 рр.

На першому, констатувальному, етапі (1999 - 2001 рр.) опрацьовано педагогічну, методичну та математичну літературу з проблеми дослідження, з'ясовано стан потрактування проблеми в педагогічній науці, проаналізовано наявний стан навчання теорії границь у ЗНЗ і ВНЗ, досліджено хід і результати засвоєння учнями та студентами теорії границь, вивчено ступінь задоволення викладацького складу ВНЗ рівнем шкільної математичної підготовки студентів-першокурсників та рівнем їхніх знань із теорії границь.

Пошуковий етап експерименту проведено в 2002 - 2004 рр. На цьому етапі наукову роботу спрямовано на створення й обґрунтування методики, яка забезпечила б якісне вивчення теорії границь студентами ВНЗ на підставі реалізації наступнісних зв'язків навчання математики в ЗНЗ і ВНЗ. Основний акцент зроблено на дидактично виважений добір і структурування змісту навчання теорії границь у ВНЗ. Також зреалізовано пошук методів, форм і засобів навчання, які б сприяли забезпеченню наступності. Окреслено основні дефініції роботи. Дібрано матеріал для формувального експерименту. У процесі дослідження виділено етапи навчання, рівні вивчення та рівні засвоєння теорії границь тими, хто навчається. На пошуковому етапі розроблено навчально-методичний посібник «Функція та її границя в курсі алгебри і початків аналізу» подвійного спрямування, яким послуговувалися в ході експерименту.

Перевірка достовірності висновків, до яких дійшли на пошуковому етапі, та доведення ефективності створеної методики відбувалися протягом третього, формувального, етапу експерименту (2005 - 2008 рр.). На цьому етапі впроваджувалася й уточнювалася авторська методика навчання теорії границь у курсі математичного аналізу ВНЗ, що покликана забезпечити наступність навчання в загальноосвітній та вищій школі.

В експерименті взяло участь 1 155 студентів. Формування експериментальної (ЕГ) та контрольної (КГ) груп проведено на основі вихідної контрольної роботи за шкільний курс алгебри і початків аналізу. за рівневими показниками шкільної підготовки студенти ЕГ (585 осіб) і КГ (570 осіб) відрізнялися не значимо. Студенти ЕГ вивчали теорію границь за розробленою нами методикою, КГ - за традиційною.

Ефективність обґрунтованої методики перевірено за рівнем навчальних досягнень студентів із теорії границь. Виокремлено чотири таких рівні: І - початковий рівень, коли внаслідок вивчення навчального матеріалу студент: а) називає математичний об'єкт (вираз, формулу, символ, геометричну фігуру), але тільки в тому разі, якщо цей об'єкт (його зображення, опис, характеристика) запропоновано йому безпосередньо; б) за допомогою викладача виконує елементарні завдання; ІІ - середній рівень, коли студент повторює інформацію, операції, дії, засвоєні ним у процесі навчання, здатний розв'язувати завдання за зразком; ІІІ - достатній рівень, коли студент самостійно застосовує знання в стандартних ситуаціях, уміє розв'язувати задачі, загальна ідея та план розв'язування яких йому відомі, але зміст та умови виконання змінені; IV - високий рівень, коли студент здатний самостійно орієнтуватися в нових для нього ситуаціях, складати план дій і виконувати його, пропонувати нові способи розв'язування завдань. Діяльність студента на цьому рівні наближається до дослідницької.

Наприкінці формувального експерименту проведено контрольні, самостійні роботи в тестовій формі. На основі отриманих даних із надійністю = 0,95 можна стверджувати: того рівня успішності, якого досягнуто в експериментальній групі внаслідок упровадження авторської методики, не можна досягнути традиційними методиками, що й свідчить про її ефективність.

Показники навчальних досягнень студентів у контрольній та експериментальній групах на початку й наприкінці формувального експерименту подано на рисунках 1 і 2.

Рис. 1. Навчальні досягнення студентів (початок формувального експерименту).

Рис. 2. Навчальні досягнення студентів (завершення формувального експерименту).

Висновки

У дисертації здійснено теоретичне узагальнення й запропоновано нове розв'язання наукової проблеми забезпечення наступності навчання теорії границь у загальноосвітніх та вищих навчальних закладах. Результати теоретичного дослідження і педагогічного експерименту дають змогу зробити такі висновки.

1. аналіз нормативних документів, програм, підручників і навчальних посібників для загальноосвітньої та вищої шкіл, а також стану підготовки учнів і студентів із теорії границь свідчить, що існує розрив в організації та результатах навчання цієї теорії у двох ланках освіти. Порушення зв'язків наступності негативно впливає на підготовку кваліфікованих фахівців у класичних університетах та ВНЗ педагогічного та інших профілів, де курс математичного аналізу чи вищої математики є базовою дисципліною підготовки фахівця. Отже, методика навчання теорії границь у вищій школі потребує вдосконалення. Її необхідно спрямувати на забезпечення наступності у вивченні теорії границь у ЗНЗ і ВНЗ.

2. У науково-педагогічних дослідженнях наступність потрактовано як загальнодидактичний принцип, що відображає закономірності варіативності й узгодженості взаємозв'язаних структурних і функціональних компонентів процесу навчання та діяльності його учасників. Забезпечення наступності навчання в загальноосвітній і вищій школах потребує врахування психологічних, дидактичних та організаційних факторів, що впливають на наступність навчального процесу в обох ланках освіти в концептуальному, змістовому й процесуальному аспектах.

Концептуальною базою пропонованої методики слугують положення про необхідність: побудови навчального процесу з урахуванням дидактичних законів, закономірностей і принципів навчання; реалізації комплексного, системного, особистісно орієнтованого й семіотичного підходів до навчання теорії границь; вибору компенсаторного напряму забезпечення зв'язків наступності, що зумовлене, з одного боку, наявністю істотного розриву у вивченні теорії границь у ЗНЗ та ВНЗ, а з іншого - гострою потребою нівелювання цього розриву для підвищення якості навчання фундаментальних дисциплін математичного циклу, що спираються на теорію границь; урахування специфіки етапів навчання теорії границь (пропедевтичного, вибіркового, безпосереднього), рівнів її вивчення (інтуїтивного, інфінітезимального, дефінітного) та рівнів засвоєння (репродуктивного, реконструктивно-варіативного, творчого); диверсифікації науково-методичного забезпечення наступності залежно від її типу (еволюційного, революційного, регресивного); розроблення системи забезпечення наступності навчання теорії границь у ЗНЗ і ВНЗ як єдності трьох відносно самостійних компонентів (особистісного, змістово-семіотичного та організаційного), де створення умов для становлення й розвитку особистості студентів має основоположне значення.

3. Встановлено, що найбільш масовим і водночас проблемним є перехід у вивченні теорії границь з інфінітезимального рівня в ЗНЗ до дефінітного рівня в курсі математичного аналізу у ВНЗ. Авторська методика спрямована на забезпечення наступності навчання теорії границь у названих умовах.

Традиційно в змісті модуля «Теорія границь» курсу математичного аналізу виділяють два змістові блоки «Границя послідовності» та «Границя функції», які є відносно самостійними. Теоретично можливо організувати їх вивчення в будь-якому порядку. Проте результати експериментального навчання показують, що перехід від вивчення границі послідовності до границі функції є більш ефективним як з огляду на результативність навчання, так і з огляду на реалізацію розвивального потенціалу. Це також дає певну економію навчального часу, бо при вивченні означень границі функції, основної та супровідних теорем про границі функції можна широко використовувати аналогію з послідовностями, а також зіставлення, протиставлення, узагальнення. Зведення складних граничних процесів до границі послідовності звільняє від необхідності щоразу встановлювати елементарні теореми про границі. Цим шляхом відновлюється єдність усіх видів границь.

Щоб забезпечити умови для успішного входження студентів у процес вивчення теорії границь, необхідно передбачити окремий підготовчий блок, у межах якого повторити й систематизувати знання про модуль числа та його геометричну інтерпретацію, відновити вміння розв'язувати нерівності з модулем, провести роботу з декодування й перекодування ключових словосполучень теорії границь, зокрема «для великих значень n», «n прямує до нескінченності» тощо.

В організації самостійної роботи студентів необхідно враховувати те, що студенти-першокурсники не мають достатньо сформованих навичок і вмінь самостійного опрацювання складного за змістом і великого за обсягом навчального математичного матеріалу. З огляду на це для самостійного вивчення доцільно пропонувати матеріал, опанування якого вимагає лише репродуктивного та реконструктивно-варіативного способів засвоєння. Це можуть бути теми, близькі за змістом матеріалу, який аналізували на лекціях і для якого демонстрували зразки структурування й аналізу. Самостійне відпрацювання навичок і вмінь необхідно організовувати на диференційованій основі, зокрема надаючи диференційовану допомогу студентам.

У ході навчання належну увагу слід приділяти візуалізації граничного переходу в кожному з можливих варіантів його репрезентації, добору оболонок змісту на підставі спільних семіотичних рядів, їх дидактично виваженому варіюванню. Це дає змогу досягати повного з'ясування студентами сутності того, що вивчають, запобігати утворенню спайок змісту й форми, створювати належні умови для формування в студентів інтересу до навчання, позитивної мотивації та адекватної самооцінки.

Дидактично виважений добір методів, форм і засобів навчання якнайбільше сприяє збереженню наступнісних зв'язків між двома ланками освіти. У навчанні теорії границь у курсі математичного аналізу ВНЗ в аудиторній роботі доцільно використовувати в якості основних пояснювально-ілюстративний та репродуктивний методи, а також метод проблемного викладу. Частково-пошуковий та дослідницький методи краще застосовувати під час самостійної роботи сильніших студентів, а також в наукових гуртках і проблемних групах. У дисертації доведено, що реалізації наступності навчання|вчення| теорії границь у ЗНЗ і ВНЗ сприяє розроблений методичний комплекс, який включає: засоби діагностики (для вхідного, проміжних та підсумкового зрізів); засоби навчання теорії границь, що містять системи вправ, завдань і запитань, які диференційовані не лише за змістовим, а й за семіотичним компонентом; навчально-методичний посібник подвійного призначення (для ЗНЗ і ВНЗ); інтерактивний посібник; методичні рекомендації щодо організації навчання|вчення| на лекціях, практичних заняттях і в ході самостійної роботи студентів.

4. Проведений педагогічний експеримент, якісний та кількісний аналіз його результатів підтверджують, що розроблена методика навчання теорії границь у курсі математичного аналізу ВНЗ є ефективною. Вона сприяє підвищенню якості підготовки студентів і реалізації наступності у вивченні теорії границь у загальноосвітній та вищій школах.

Вірогідність одержаних результатів та їх обґрунтованість забезпечені: методологією вихідних позицій дослідження; відповідністю методів дослідження його меті й завданням; репрезентативністю вибірки; різнобічною апробацією основних положень дисертаційної роботи в педагогічному експерименті та впровадженням розробленої методики в практику роботи вищої школи; обговоренням теоретичних положень і конкретних результатів дослідження на наукових конференціях і семінарах.

Проведене дослідження не вичерпує проблему забезпечення наступності навчання в ЗНЗ і ВНЗ. Подальших наукових розвідок потребує проблема розроблення методики навчання теорії границь у загальноосвітній школі, що спрямована на реалізацію двох типів наступності навчання (еволюційного та революційного) в системі неперервної освіти «ЗНЗ - ВНЗ».

Список опублікованих праць за темою дисертації

Статті в наукових фахових виданнях

1. Босовський М. В. Використання інформаційних та комунікаційних технологій в школі і вузі / М. В. Босовський // Вісник Черкаського університету: Серія "Педагогічні науки". - Вип. 127. - Черкаси, 2008. - С. 17 - 24.

2. Босовський М. В. Граничний перехід в геометричних задачах / М. В. Босовський // Дидактика математики: Проблеми і дослідження. - Вип. 22. - Донецьк: ТЕАН, 2004. - С. 132 - 135.

3. Босовський М. В. До питання вивчення границі послідовності, границі та неперервності функції в середній школі / М. В. Босовський // Збірник наукових праць. Педагогічні науки. - Вип. 21. - Херсон: Айлант, 2001. - С. 7 - 11.

4. Босовський М. В. Елементи математичного аналізу та проблема наступності / М. В. Босовський // Дидактика математики: Проблеми і дослідження. - Вип. 24. - Донецьк: ДонНУ, 2005. - С. 127 - 131.

5. Босовський М. В. Ефективність взаємодії середніх і вищих навчальних закладів / М. В. Босовський // Вісник Черкаського університету: Серія "Педагогічні науки". - Вип. 70. - Черкаси, 2005. - С. 17 - 21.

6. Босовський М. В. Особливості введення поняття границі числової послідовності / М. В. Босовський // Вісник Черкаського університету: Серія "Педагогічні науки". - Вип. 139. - Черкаси, 2008. - С. 32 - 40.

7. Босовський М. В. Роль історичного фактору при вивченні теорії границь та інтегралів в математичному аналізі / М. В. Босовський // Наука і сучасність: Збірник наукових праць нац. пед. ун-ту ім. М. П. Драгоманова. - К.: ЛОГОС, 2003. Т. XLI. - С. 72 - 82.

8. Босовський М. В. Теорія границь, напрямки здійснення наступності / М. В. Босовський // Вісник Черкаського університету: Серія "Педагогічні науки". - Вип. 74. - Черкаси, 2005. - С. 3 - 8.

Статті в інших наукових виданнях

9. Босовський М. В. Застосування задач фізичного змісту у навчанні математичного аналізу / М. В. Босовський // Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики: Збірник наукових праць. Випуск 4: В 3-х томах. - Т. 1: Теорія та методика навчання математики. - Кривий Ріг: Видавничий відділ НацМетАУ, 2004. - С 32 - 35.

10. Босовський М. В. Історія теорії границь в шкільному курсі математики // Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики: Збірник наукових праць / М. В. Босовський // Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики: Збірник наукових праць: В 3-х томах. - Т. 1: Теорія та методика навчання математики. - Кривий Ріг: Видавничий відділ НацМетАУ, 2001. - С. 31 - 37.

Матеріали конференцій

11. Босовський М. В. Вплив наступності у викладанні математичного аналізу на формування внутрішньої мотивації навчання / М. В. Босовський // Всеукраїнська науково-практична конференція „Актуальні проблеми теорії і методики навчання математики": Київ, 6 жовтня 2004 p.: Тези доповідей. - К.: НПУ ім. М. П. Драгоманова, 2004. - С. 23 - 24.

12. Босовський М. В. Методичні аспекти реалізації наступності в навчанні математики в школі та вузі / М. В. Босовський // Матеріали Всеукраїнської науково-методичної конференції "Проблеми математичної освіти" (ПМО - 2005), м. Черкаси, 20-22 квітня 2005 р. - Черкаси: Вид. від. ЧНУ ім. Б. Хмельницького, 2005. - С. 325 - 326.

13. Босовський М. В. Наступність навчання математики у системі школа - вуз / М. В. Босовський // Матеріали Всеукраїнської науково-методичної конференції "Проблеми математичної освіти" (ПМО - 2007), м. Черкаси, 16 - 18 квітня 2007 р. - Черкаси: Вид. від. ЧНУ ім. Б. Хмельницького, 2007. - С. 241 - 242.

14. Босовський М. В. Напрямки здійснення наступності при вивченні теорії границь / М. В. Босовський // Матеріали II Всеукраїнської науково-практичної конференції "Особистісно орієнтоване навчання математики: сьогодення і перспективи", Полтава, 6 - 7 грудня 2005 p.: Тези доповідей. - Полтава: ПДПУ, 2003. - С. 78 - 79.

15. Босовський М. В. Наступність у навчанні та розвиток / М. В. Босовський // Матеріали III Всеукраїнської науково-практичної конференції "Особистісно орієнтоване навчання математики: сьогодення і перспективи", Полтава, 8 - 9 квітня 2008 p.: Тези доповідей. - Полтава: ПДПУ, 2008. - С. 12 - 13.

16. Босовський М. В. Про введення поняття неперервності в курсі математики середньої школи / М. В. Босовський // Матеріали Всеукраїнської науково-методичної конференції "Проблеми математичної освіти" (ПМО - 2009), м. Черкаси, 7 - 9 квітня 2009 р. - Черкаси: Вид. від. ЧНУ ім. Б. Хмельницького, 2009. - С. 115 - 116.

17. Тарасенкова Н. А. Особистісний аспект навчання теорії границь в школі й вузі / Н. А. Тарасенкова, М. В. Босовський // Всеукраїнська науково-практична конференція "Формування духовної культури особистості в процесі навчання математики в школі та вищому навчальному закладі", Луцьк, 22 - 24 травня 2003 p.: Тези доповідей. - Луцьк: РВВ "Вежа" Волин. держ. ун-ту ім. Лесі Українки, 2003. - С. 93 - 94.

18. Тарасенкова Н. А. Принцип максимізації різноманітності особистості та наступність навчання математики в школі й вузі / Н. А. Тарасенкова, М. В. Босовський // Всеукраїнська науково-практична конференція "Особистісно орієнтоване навчання математики: сьогодення і перспективи", Полтава, 9 - 10 грудня 2003 p.: Тези доповідей. - Полтава: ПДПУ, 2003. - С. 40 - 41.

19. Тарасенкова Н. А. Щодо питання про наступність у навчанні теорії границь в школі й вузі / Н. А. Тарасенкова, М. В. Босовський // Всеукраїнська конференція "Алгебраїчні методи дискретної математики (теорія та методологія)", м. Луганськ, 23 - 27 вересня 2002 p.: Тези доповідей. - Луганськ: "Alma Mater", 2002. - С. 95 - 97.

Навчально-методичні посібники

20. Босовський М. В. Елементи векторного аналізу: Навч.-метод. посібник / М. В. Босовський. - Черкаси: ЧДУ, 2000. - 31 с.

21. Босовський М. В. Теорія функції комплексної змінної: Навч.-метод. посібник / М. В. Босовський. - Черкаси: ЧДУ, 2000. - 60 с.

22. Босовський М. В. Функція та її границя в курсі алгебри і початків аналізу: Навч.-метод. посібник для організації самостійної роботи учнів фізико-математичних шкіл і ліцеїв та студентів / М. В. Босовський. -Черкаси: ЧДУ, 2002. - 84 с. - Гриф «Схвалено комісією з математики Науково-методичної ради з питань освіти Міністерства освіти і науки України».