Методична система вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

ЧЕРКАСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ БОГДАНА ХМЕЛЬНИЦЬКОГО

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук

МЕТОДИЧНА СИСТЕМА ВИВЧЕННЯ ФУНКЦІЙ У КЛАСАХ ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНОГО ПРОФІЛЮ

Кірман Вадим Кімович

Черкаси - 2010

Анотації

Кірман В.К. Методична система вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук за спеціальністю 13.00.02 - теорія та методика навчання (математика). - Черкаський національний університет імені Богдана Хмельницького. - Черкаси, 2010.

У дисертації розроблено й науково обґрунтовано методичну систему вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю. Запропонована методична система будується на основі компетентнісного підходу. Розроблено структуру математичної компетентності в галузі функцій, обґрунтовані критерії та рівні сформованості математичної компетентності в галузі функцій. Виділені стрижневі групи когнітивно-змістових комплексів, процес вивчення функцій розглядається при цьому як керований процес їх формування. Розкрито вивчення питань змістової лінії функцій у класах фізико-математичного профілю. Ефективність запропонованої методичної системи підтверджено експериментально.

Ключові слова: вивчення функцій, компетентнісний підхід, фізико-математичний профіль, методична система, профільне навчання.

математичний учень навчальний фізика

Кирман В.К. Методическая система изучения функций в классах физико-математического профиля. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по специальности 13.00.02 - теория и методика обучения (математика). - Черкасский национальный университет имени Богдана Хмельницкого. - Черкассы, 2010.

В диссертации разработана и научно обоснована методическая система изучения функций в классах физико-математического профиля. В качестве основного методологического инструмента выбран компетентностный подход. Исследована структура математической компетентности в области функций. Обоснованы критерии и уровни сформированности математической компетентности в области функций. Структура математической компетентности в области функций определяет направления, в которых разворачивается содержательная линия функций: аналитико-теоретическое, операционное, прикладное. Обосновано, что изучение функций в классах физико-математического профиля должно осуществляться на основе принципов развивающего обучения математике и дополнительных принципов концентризма, активной пропедевтики, логико-дидатической рефлексии, при необходимом условии системного управления всей учебной деятельностью, осуществления индивидуализации и дифференциации в обучении, осуществления активной мотивации обучения. Для характеристики объектов усвоения линии функций введено понятие когнитивно-смыслового комплекса. Весь процесс изучения функций рассматривается как управляемый процесс усвоения когнитивно-смысловых комплексов.

Компетентностно ориентированная система изучения функций в классах физико-математического профиля должна включать комплексы блоков, которые соответствуют компонентам методической системы (по А.М. Пышкало). Целевой комплекс включает блоки целей изучения математики и математической компетентности в области функций как цели. Содержательный комплекс включает блоки, связанные с когнитивно-содержательными комплексами, этапами их усвоения, программой по математике. Организационно-методический комплекс образуют блоки выбора методов, форм и средств обучения, система включает также автономные блоки межпредметных связей, тезауруса в области функций, банка задач, определения тематических целей. Завершающим блоком является блок математической компетентности в области функций как результат.

Значительное внимание уделяется интеллектуальным средствам обучения. Анализ структуры математического тезауруса учащихся в области функций позволяет управлять изменениями в функциональных представлениях учащихся, отслеживать степень усвоения способов использования элементарных функций. Предложена специальная классификация задач содержательной линии функций. В исследовании разработана система подготовительной работы учителя, предлагается система гибкого планирования с учетом межпредметных связей, система непрерывного мониторинга динамики математической компетентности учащихся в области функций. Для внедрения компетентностно ориентированной методической системы изучения функций учителю необходимо осуществлять гибкое иерархическое планирование учебного процесса, выделять в контексте каждой темы индивидуальные, коллективные, нормативные, оперативные и стратегические цели изучения функций, исходя из действующей программы и логики развития когнитивно-смысловых комплексов, и на их основе отбирать методы, формы и способы обучения, учитывая этапы формирования когнитивно-смысловых комплексов. Организация обучения в фоновом режиме позволяет осуществлять своевременную пропедевтику сложных вопросов содержательной линии функций, широко использовать вычислительный эксперимент, постепенно формировать функциональные представления с теоретико-множественных и кинематических позиций. Эффективность предложенной методической системы подтверждена экспериментально.

Ключевые слова: изучение функций, компетентностный подход, физико-математический профиль, профильное обучение.

Kirman V.K. The system of methods of studying functions in school forms of mathematical profile. - Manuscript.

Candidate dissertation in Theory and Methodology of Teaching: Mathematics (13.00.02). - Bohdan Khmelnitsky National University at Cherkasy. - Cherkasy, 2010.

The system of methods of studying functions in school forms of mathematical profile has been elaborated and scientifically grounded in this research. This system is based on the concepts of competence approach. The structure of mathematical competence in the field of functions has been worked out, the criteria and the levels of mathematical competence accomplishment in the field of functions have been grounded. The main groups of cognitive-meaning complexes have been outlined. The process of studying functions is treated as a controlled process of their formation. The specific character of studying the functions line in school forms of mathematical profile has been investigated. The efficiency of the suggested system of methods has been confirmed experimentally.

Key words: study of functions, methodical system, competence approach, physics and mathematics profile, profile teaching.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми дослідження. Державна національна програма “Освіта (Україна XXI століття)”, Національна доктрина розвитку освіти, Концепція загальної середньої освіти (12-річна школа) визначають, що розвиток сучасного суспільства, потреби України інтегруватись у спільноту найбільш розвинутих країн світу вимагають від школи виховання творчої особистості, здатної адаптуватись до динаміки змін та професійних пріоритетів. З огляду на це шкільний курс математики має спрямовуватися на розвиток компетентностей учнів.

Важлива роль у підготовці майбутніх фахівців належить розвитку умінь будувати та досліджувати різноманітні залежності, зокрема функціональні. Функції дозволяють у багатьох випадках розглядати з єдиних позицій різні теорії та факти всередині самої математики. Таким чином, вивчення функцій є центральним у курсі математики як з теоретичного, так і прикладного погляду, особливо при поглибленому вивченні математики в профільних фізико-математичних класах, діяльність яких спрямована на виховання майбутньої наукової та технічної еліти. У Концепції профільного навчання в старшій школі наголошується на масовому характері профільної фізико-математичної освіти, яка в сучасних умовах спрямовується на навчання не лише обдарованих учнів. Звідси глибоке оволодіння навчальним матеріалом функціональної змістової лінії необхідне для всіх випускників фізико-математичних класів.

Водночас практика навчання показує, що при вивченні функцій учні часто стикаються з труднощами, роблять помилки під час їх знаходження, дослідження та використання. Проте наявність цих знань та умінь, на думку викладачів математичних кафедр університетів, є конче потрібною для якісного опанування математики у вищих навчальних закладах. Тому запровадження компетентнісного підходу в навчанні функцій - нагальна потреба сьогодення.

Проблема організації вивчення функцій завжди перебувала в центрі уваги педагогічної науки і практики. Концепції змісту навчання функцій, зокрема поглибленого, розробляли математики і методисти О.Д. Александров, П.С. Александров, Н.Я. Віленкін, В.Г. Дорофєєв, Г.М. Карпенко, Т.В. Колесник, А.М. Колмогоров, В.Г. Кузнєцов, О.І. Маркушевич, Ф.Ф. Нагибін, Є.І. Нелін, Т.А. Пєсков, В.І. Севбо, З.І. Слєпкань, С.О. Теляковський, Ф. В. Томашевич, А.Я. Хінчин, Т.М. Хмара, С.І. Шварцбурд, Г.Є. Шилов, М.І. Шкіль, І.М. Яглом та ін. Широке коло питань, пов'язаних з організацією вивчення функцій, досліджено в працях М.М. Білоцького, М.І. Жалдака, Т.В. Крилової, В.І. Лагна, В.Г. Моторіної, Г.О. Михаліна, Л.І. Нічуговської, Л.Л. Панченко, М.В. Працьовитого, С.А. Ракова, С.П. Семенця, О.І. Скафи, Н.А. Тарасенкової та ін. Вивченню функцій присвячені дисертаційні роботи І.В. Антонової (організація роботи вчителя при формуванні поняття функції в основній школі), І.В. Калашникова (розвиток творчої діяльності учнів у процесі вивчення функцій в основній школі), В.О. Бахтіної (методика навчання диференціального та інтегрального числення при поглибленому вивченні математики), О.Л. Швай (формування функціональних уявлень на міжпредметній основі), С.М. Макишинського (перетворення та симетрії в системі міжпредметних зв'язків математики та фізики), С.Ж. Кєнжалієвої (ідейний потенціал математичного аналізу в шкільному курсі математики), С.В. Карпухіної (використання професійних комп'ютерних систем при навчанні учнів елементів математичного аналізу), Н.М. Шунди (формування знань про елементарні функції у професійній підготовці вчителя математики). Утім відсутні системні дослідження щодо організації компетентнісно орієнтованого навчання функцій у профільних фізико-математичних класах в умовах реформування сучасної вітчизняної школи.

Отже, існує протиріччя між вимогами суспільства до якості математичної підготовки випускників фізико-математичних класів і реальними станом профільної фізико-математичної освіти в її загальноосвітній ланці, необхідність розв'язання якого зумовлює актуальність теми “Методична система вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю”.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тему дисертації затверджено Вченою радою Черкаського національного університету імені Богдана Хмельницького (протокол № 2 від 16.11.2005) та узгоджено в Раді з координації наукових досліджень у галузі педагогіки та психології в Україні (протокол № 4 від 25. 04. 2006).

Мета дослідження - розробити, науково обґрунтувати й експериментально перевірити методичну систему навчання функцій у класах фізико-математичного профілю, побудовану на засадах компетентнісного підходу в освіті.

Реалізація поставленої мети передбачає розв'язання таких завдань:

1) проаналізувати психолого-педагогічну, методичну та математичну літературу з теми дослідження, з'ясувати стан організації вивчення функцій у загальноосвітніх навчальних закладах фізико-математичного профілю, її специфіку та основні тенденції розвитку;

2) окреслити теоретичні засади реалізації компетентнісного підходу в навчанні функцій у школах і класах фізико-математичного профілю;

3) розробити й науково обґрунтувати модель компетентнісно орієнтованої методичної системи вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю та рекомендації щодо запровадження її у навчальному процесі;

4) експериментально перевірити ефективність розробленої методичної системи.

Об'єкт дослідження - процес навчання математики в класах фізико-математичного профілю.

Предмет дослідження - цілі, зміст та організація вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю.

Для досягнення мети і розв'язання поставлених завдань були використані такі методи дослідження:

теоретичні - системний і порівняльний аналіз психолого-педагогічної і науково-методичної літератури для виявлення провідних тенденцій у навчанні математики, з'ясування цілей та завдань вивчення функцій при поглибленому вивченні математики, висвітлення психолого-педагогічних основ навчання математики в профільних фізико-математичних класах; аналіз програм, підручників і навчальних посібників для окреслення основних підходів до вивчення функцій учнями, уточнення класифікації основних задач, пов'язаних з функціями; порівняння, синтез наявних науково-теоретичних положень, що уможливило розробку концептуальних засад поглибленого вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю; моделювання педагогічних процесів для оцінки можливості організації навчання в активному й фоновому режимах при вивченні основних питань змістової лінії функцій; методи математичної статистики, зокрема методи теорії статистичної перевірки гіпотез для обробки результатів педагогічного експерименту;

емпіричні - спостереження, бесіди з учителями, учнями та викладачами вищих навчальних закладів, аналіз уроків, письмових робіт учнів, анкетування, тестування для виявлення труднощів і помилок, що виникають в учнів при вивченні функцій; узагальнення передового педагогічного досвіду; організація і проведення констатувального, пошукового й формувального експериментів для перевірки ефективності розробленої методичної системи.

Наукова новизна дисертаційної роботи полягає в тому, що:

уперше розкрито зміст та структуру математичної компетентності учнів у галузі функцій як складової математичної компетентності; розроблено критерії, рівні й показники сформованості математичної компетентності в галузі функцій; запропоновано характеристики стану математичної компетентності учня (обсяг та ступені вільності); виокремлено основні когнітивно-змістові комплекси змістової лінії функцій, напрями (аналітико-теоретичний, обчислювальний, моделювання) та етапи (пропедевтичний, основний, узагальнювальний) їх формування; обґрунтовано специфічні принципи компетентнісно орієнтованого навчання функцій (концентризму, активної пропедевтикики, формування в учнів логіко-структурної рефлексії); окреслено специфічні цілі компетентнісно орієнтованого навчання функцій (нормативні, оперативні, тактичні, стратегічні); схарактеризовано систему пропедевтики при компетентнісно орієнтованому навчанні функцій, до складу якої входять внутрішньо-предметна, міжпредметна (експорт-, імпорт-) та перспективна пропедевтики; розкрито структуру та зміст математичного тезауруса учня в галузі функцій; побудовано модель компетентнісно орієнтованої методичної системи навчання функцій у класах фізико-математичного профілю; розроблено методику непрямого навчання при вивченні функцій у класах фізико-математичного профілю, зокрема навчання у фоновому режимі при формуванні складних понять змістової лінії функцій;

удосконалено методичну систему навчання математики в класах фізико-математичного профілю, зокрема уточнено структурно-логічні схеми розгортання змісту лінії функцій у класах фізико-математичного профілю, запропоновано застосування активної пропедевтики, доповнено зміст навчання матеріалом щодо математичного моделювання та технологій обчислень;

дістала подальшого розвитку система організаційних форм і засобів навчання, спрямованих на розвиток математичної компетентності учнів при вивченні функцій, зокрема обґрунтовано зміст та структуру таких нестандартних уроків, як експорт-урок, імпорт-урок та експорт-імпорт урок, уточнено класифікацію задач у контексті змістової лінії функцій, зокрема виокремлено задачі на: обчислення, пов'язані з функціями; трансформацію способу задання функцій; конструювання (побудову) функцій; доведення властивостей функцій; дослідження властивостей функцій; математичного моделювання засобами теорії функцій; доповнено категорійно-термінологічний апарат методики математики поняттями “математична компетентність у галузі функцій”, “імпорт- та експорт-пропедевтика”, “тезаурус учня в галузі функцій”, “когнітивно-змістовий комплекс”.

Практичне значення дослідження полягає в тому, що, по-перше, в навчальний процес упроваджено компетентнісно орієнтовану методичну систему вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю; по-друге, розроблено методичні рекомендації для вчителів математики щодо організації вивчення основних тем змістової лінії функцій в активному та фоновому режимах, проведення обчислювальних робіт, пов'язаних з вивченням функцій з використанням інформаційно-комунікаційних технологій, координації міжпредметних зв'язків з фізикою та інформатикою при вивченні матеріалу, пов'язаного з функціями; по-третє, видано посібники для вчителів і для учнів щодо вивчення найбільш складних питань змістової лінії функцій.

Отримані в дисертації висновки і узагальнення можуть бути застосовані під час складання та вдосконалення навчальних програм, підручників, навчальних посібників з математики, що стосуються профільного та допрофільного навчання. Матеріали дослідження будуть корисними для методистів, учителів, студентів педагогічних ВНЗ; вони придатні для використання в процесі підвищення кваліфікації вчителів математики в закладах післядипломної освіти педагогічних працівників.

Упровадження результатів роботи здійснювалось у навчальному процесі комунального закладу освіти “Дніпропетровський обласний ліцей-інтернат фізико-математичного профілю” (довідка № 2/1 від 11.01.2010), комунального закладу освіти “Середня загальноосвітня школа № 1” м. Дніпропетровська (довідка № 625 від 23.12.2009), комунального закладу освіти “Середня загальноосвітня школа № 19” Дніпропетровської міської ради (довідка № 841 від 24.12.2009), Технічного ліцею м. Дніпродзержинська Дніпропетровської області (довідка № 1 від 04.01.2010), Криворізького Жовтневого ліцею Криворізької міської ради Дніпропетровської області (довідка № 3 від 11.01.2010), середньої загальноосвітньої школи № 1 Криничанського району Дніпропетровської області (довідка № 417 від 31.12.2009), Павлоградської загальноосвітньої школи I - III ступенів № 1 (довідка № 26 від 30.12.2009), Томаківської загальноосвітньої школи I - III ступенів № 2 Томаківської районної ради Дніпропетровської області (довідка № 19 від 25.01.2010), комунального закладу освіти “Спеціалізована школа № 13” Дніпропетровської міської ради (довідка № 01/113 від 23.02.2010), відділу природничо-математичних дисциплін комунального закладу освіти “Дніпропетровський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти” (довідка № 134 від 04.02.2010).

Особистий внесок здобувача. У статті “Зміст і структура математичної компетентності учнів загальноосвітніх навчальних закладів”, написаній у співавторстві, здобувачем досліджена структура математичної компетентності в галузі функцій. У тезах доповіді “Функційна компетентність як складова математичної компетентності” дисертантом запропоновано критерії, рівні та показники математичної компетентності в галузі функцій; у тезах доповіді “Функціональне рівняння Коші як інструмент систематизації та узагальнення в системі внутрішньо-предметних зв'язків “геометрія - початки аналізу” - використання функціонального рівняння Коші для доведення теорем про довжину дуги та площу прямокутника; у тезах доповіді “Про пропедевтику елементів диференціального числення в курсі фізики” - спосіб доведення формул похідних тригонометричних функцій з використанням кінематичних моделей.

Апробація результатів дослідження. Окремі положення й результати дослідження оприлюднені на міжнародних науково-методичних конференціях: “Евристичне навчання математики” (Донецьк, 2005, 2009), “Проблеми математичної освіти” (Черкаси, 2009), Міжнародній науково-практичній конференції “Математична освіта в Україні: минуле, сьогодення, майбутнє” (Київ, 2007), Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпропетровськ - Дніпродзержинськ, 2008), всеукраїнських науково-методичних конференціях “Проблеми математичної освіти” (Черкаси, 2005, 2007), “Профільне навчання: проблеми, перспективи, шляхи реалізації” (Черкаси, 2009), “Розвиток інтелектуальних умінь і творчих здібностей учнів та студентів у процесі навчання математики” (Суми, 2009), Всеукраїнській науково-практичній конференції “Актуальні проблеми теорії та методики навчання математики” (Київ, 2004), Всеукраїнському науково-методичному семінарі (Київ, 2004, 2007, 2009), а також на засіданнях кафедр математичного факультету Черкаського національного університету імені Богдана Хмельницького (2005 - 2009), курсах підвищення кваліфікації вчителів математики Дніпропетровської області (2004 - 2009), на методичних нарадах керівників методичних об'єднань вчителів математики Дніпропетровської області (2004 - 2009).

Публікації. Основні результати дослідження опубліковано у 20 працях. Серед них 7 статей у фахових виданнях, затверджених ВАК України (1 у співавторстві), 1 навчальний посібник для учнів, 1 методичний посібник для вчителів, 10 тез доповідей на конференціях (3 у співавторстві).

Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, двох розділів, додатків, списку використаних джерел з 334 найменувань, з них 26 іноземними мовами. Основний зміст дисертації викладений на 191 сторінках, він містить 6 таблиць і 19 рисунків. Повний обсяг дисертації становить 351 сторінку.

2. Основний зміст дисертації

У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, визначено об'єкт, предмет, мету й завдання дослідження; розкрито наукову новизну й практичне значення роботи; подано відомості щодо апробації та впровадження результатів, отриманих під час дослідження.

У першому розділі «Теоретичні основи проблеми дослідження» проаналізовано стан профільного навчання математики в його ретроспективі та вивчення функцій у загальноосвітній школі, висвітлено психолого-педагогічні основи організації навчання математики в профільній школі, розроблено концептуальні засади організації поглибленого вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю.

Аналіз програм і підручників дозволив виділити сучасні тенденції вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю, а саме: одночасне використання як генетичного підходу, так і теоретико-множинного підходу до побудови змісту лінії функцій з певним домінуванням останнього; застосування теоретико-множинної концепції в геометрії, що пов'язано з геометричними перетвореннями; поглиблення прикладної спрямованості вивчення функцій.

З'ясовано, що у шкільному курсі математики функціональні залежності можуть задаватися як строгими так і нестрогими методами. Після введення поняття функції, особливо при поглибленому вивченні, домінують строгі способи задання функцій. При цьому залишається можливість для пропедевтики вивчення наступних класів функцій на нестрогому рівні з тим, щоб створити інтуїтивну змістову базу для їхнього застосування. Прийнятий нині порядок вивчення функцій у фізико-математичних класах передбачає після початкового введення поняття функції ознайомлення з елементарними методами дослідження функцій (щонайперше лінійної, дробово-лінійної, квадратичної), вивчення рухів та перетворень у планіметрії, розширення відомостей про функції та систематичне вивчення тригонометричних функцій, вивчення показникової, логарифмічної та степеневої функцій, елементів диференціального та інтегрального числення, перетворень у просторі. У дисертації наголошено, що необхідним і можливим є посилення фундаментальності викладу змісту лінії функцій та його практичної спрямованості, більш широке врахування міжпредметних зв'язків, професійної орієнтації, підготовки учнів до самостійної дослідницької роботи. У результаті навчання учні фізико-математичних класів мають набути вмінь знаходити, досліджувати та використовувати функціональні залежності. Звідси, вивчення функцій має спрямовуватися на розвиток компетентностей, пов'язаних з функціями.

Згідно з ієрархічною класифікацією компетентностей (за О.І. Пометун), виділяють три їх види: ключові, загальногалузеві, предметні. Водночас математична компетентність як складна система дозволяє проводити аналіз за різними критеріями, зокрема на основі змістових ліній курсу математики. Тому до ієрархічної системи компетентностей необхідно додати ще один рівень - спеціальні предметні компетентності. Отже, у складі математичної компетентності доцільно виділяти предметно-галузеві та спеціальні предметні компетентності. Серед останніх окрему групу становить математична компетентність у галузі функцій (МКГФ). З'ясовано, що МКГФ - це складова математичної компетентності, що полягає у спроможності застосовувати в різноманітних сферах діяльності уявлення та знання про функціональні залежності, функції та їх узагальнення, способи подання, методи знаходження й дослідження, методи застосування та інтерпретації результатів досліджень функціональних залежностей. До складу МКГФ входять чотири компоненти, перший з яких відображає гносеологічну, а три інші - операційну складові: К1 - уявлення і знання про функціональні залежності, функції та їх узагальнення, способи їх подання; К2 - уміння знаходити функціональні залежності, функції; К3 - уміння досліджувати функціональні залежності; К4 - уміння інтерпретувати й використовувати результати досліджень функціональних залежностей. Виявлено, що стан МКГФ учня доцільно характеризувати такими параметрами, як обсяг МКГФ та ступінь вільності МКГФ.

Кожне математичне поняття змістової лінії функцій доцільно розглядати як ядро певної структури, яку С.А. Раков називає “квантом знань”. Як виявилось, для цієї категорії більш адекватним є термін когнітивно-змістовий комплекс (КЗК). Для кожного поняття (П) у галузі функцій КЗК утворюють чотири складові: Г(П) - генеза поняття, В(П) - властивості об'єктів, що входять до обсягу поняття; З(П) - застосування поняття, С(П) - систематизація поняття. У змісті шкільного курсу математики можна виділити 23 групи КЗК змістової лінії функцій. Доведено, що засвоєння КЗК необхідно реалізовувати в таких напрямах: аналітико-теоретичному, обчислювальному, моделювання.

Визначення дидактичних цілей та характеристика об'єктів засвоєння під кутом компетентнісно орієнтованого підходу дає змогу розглядати вивчення функцій як керований процес формування в учнів КЗК змістової лінії функцій, що розгортається синхронно в кількох напрямах з урахуванням міжпредметних зв'язків. Одним із результатів цього процесу є формування в учнів тезауруса в галузі функцій (ТГФ). Установлено, що ТГФ учня - це сукупність семантичних просторів, пов'язаних з функціями та елементами різних множин, розподілених за чотирма ієрархічними рівнями. Так, якщо на першому рівні розміщений семантичний простір, що стосується дійсних чисел, то на другому - числових функцій, на третьому - функціоналів та операторів, на четвертому - відображень, визначених на множинах операторів та функціоналів. Виявлено, що вивчення різних питань змістової лінії функцій супроводжується такими змінами ТГФ, як поява в ньому нових об'єктів та біфуркації (при переході об'єктів з одного рівня на інший).

Оволодіння складними поняттями змістової лінії функцій, як з'ясувалося, не може здійснюватися одномоментно, а лише протягом вивчення кількох тем. Тому постає необхідність розробки методики непрямого навчання функцій, загальну ідею якої запропонувала Н.А. Тарасенкова. З огляду на це обґрунтовано потребу введення та застосування специфічних принципів навчання функцій: концентризму, активної пропедевтики та логіко-структурної рефлексії.

Реалізація принципу концентризму полягає в тому, що КЗК вивчаються поетапно, зокрема одночасно в кількох суміжних предметах, бо логіка вивчення окремих предметів передбачає ознайомлення з деякими поняттями раніше, ніж передбачено програмою з математики. Організацію засвоєння КЗК доцільно здійснювати на таких етапах, як: пропедевтичний (первинної пропедевтики, початкової пропедевтики, активної пропедевтики), основного вивчення, узагальнення. На етапі первинної пропедевтики учні ознайомлюються з поняттями на інтуїтивному рівні. Далі на етапі початкової пропедевтики ілюструються деякі застосування, при цьому аргументація проводиться також на інтуїтивному рівні. На етапі активної пропедевтики значна кількість властивостей поняття розкривається за допомогою задач. Тоді на етапі основного вивчення, коли відповідне поняття стає явним об'єктом засвоєння, його властивості систематизуються, учні ознайомлюються із застосуваннями поняття, строгими способами доведення його властивостей. Нарешті, під час узагальнювального етапу встановлюється система логічних зв'язків між твердженнями, пов'язаними з відповідним поняттям, з'ясовується і поступово уточнюється місце того ж поняття в системі математичних знань, проводиться пропедевтика наступних понять, що не входять до шкільного курсу як явні об'єкти засвоєння.

Для розгортання функціональної лінії важливою є реалізація принципу активної пропедевтики. Його запровадження доцільно пов'язувати з внутрішньо-предметним та міжпредметним видами пропедевтики, які, своєю чергою, можна поділити на імпорт-пропедевтику (передбачає початкове ознайомлення з математичними поняттями не в курсі математики, а при вивченні інших предметів), експорт-пропедевтику (дає можливість при початковому ознайомленні з деякими поняттями та ідеями в курсі математики формувати підґрунтя для введення важливих понять з інших дисциплін) та перспективну пропедевтику (вона спрямована на навчальну діяльність учнів після закінчення школи).

Реалізація принципу логіко-структурної рефлексії безпосередньо пов'язана з рефлексивним компонентом МКГФ. Усвідомлення учнями логічної структури навчального курсу математики виступає необхідною складовою формування в них математичної компетентності.

Установлено, що модель компетентісно орієнтованої методичної системи вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю, що розглядається в середовищі “учень - учитель”, має містити комплекси цільових блоків (“Цілі вивчення функцій”, “МКГФ як мета”), змістових блоків (“КЗК”, “Етапи формування КЗК”, “Програма з математики”, “Теми курсу математики”), організаційно-методичних блоків (“Добір методів навчання”, “Добір форм навчання”, “Добір засобів навчання”), автономних блоків “Міжпредметні зв'язки”, “ТГФ”, “Банк задач”, “Визначення тематичних цілей”. Завершувальним виступає блок “МКГФ як результат” (рис. 1). Інструментами регулювання в процесі вивчення функцій є добір методів, форм, засобів навчання, серед яких головними постають задачі. Методи навчання, насамперед, визначаються згідно із загальнодидактичними вимогами, в той же час, доцільно їх вибір пов'язати з етапами формування КЗК змістової лінії функцій. Структура вивчення питань всередині кожної теми зумовлює вибір організаційних форм навчання. Серед них особливе значення мають інтегровані уроки, які слід розділити на експорт-уроки, імпорт-уроки та експорт-імпорт-уроки.

Найбільш специфічним при вивченні функцій є застосування інтелектуальних засобів навчання: зміст навчання змістової лінії функцій; знаково-символічні засоби фіксації змісту та діяльності з ним; засоби контролю й керування навчально-пізнавальною діяльністю (вправи, задачі; комплекс наявних у кожного учня знань, вмінь та навичок, математичний тезаурус).

Принциповими в контексті застосування знаково-символічних засобів при вивченні функцій є формування в учнів навичок переходу від однієї системи позначень функцій до іншої (його доцільно називати символічним транспонуванням), використання загальновживаної та внутрішньої термінології, аналізу графічних моделей. Застосування ідей Н.А. Тарасенкової щодо психолого-семіотичних характеристик процесу навчання дає підстави для введення поняття візуальної моделі функції (ВМФ). ВМФ може мати як форму статичної моделі, так і динамічної (анімація з використанням ІКТ, пластика). Застосування ВМФ як засобу навчання дозволяє робити візуальні ілюстрації для функцій типу Діріхле чи Ван-дер-Вадена. Очевидно, що задачі створення учнями ВМФ не можна віднести до класичних задач на побудову. Так само специфічними є задачі переходу з одного способу задання функцій до іншого і задачі математичного моделювання, які більш широкі за змістом, ніж задачі обчислення. Таким чином, виникає потреба перегляду традиційної класифікації задач для змістової лінії функцій. Доцільно виділити шість груп задач, пов'язаних з функціями: на обчислення; трансформацію способу задання функції; конструювання (побудову) функцій; доведення властивостей функцій; дослідження властивостей функцій; задачі математичного моделювання засобами теорії функцій.

Рис. 1. Модель компетентісно орієнтованої методичної системи вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю

У другому розділі «Методика вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю» висвітлено систему підготовчої роботи вчителя щодо організації вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю, зокрема планування та організаційно-методичне забезпечення навчання в активному й фоновому режимах, розкрито специфіку вивчення основних питань змістової лінії функцій та прикладні аспекти вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю, описано організацію та хід педагогічного експерименту, наведено дані щодо якісної та кількісної оцінки ефективності запропонованої методичної системи вивчення функцій.

Реалізація цілей вивчення функцій передбачає спеціальну організацію вивчення математики, тісну координацію вчителів при реалізації міжпредметних та внутрішньопредметних зв'язків. При вивченні кожної теми змістової лінії функцій доцільно розглядати три основних напрями індивідуальних траєкторій розвитку в учнів знань та умінь у галузі функцій - теоретичний, операційно-аналітичний та прикладний. Динаміка навчальних досягнень за кожним з них стає підставою для корегування значень ступенів вільності МКГФ учнів при індивідуальному обліку. Це дозволяє корегувати тематичні цілі (нормативні, тактичні, оперативні та стратегічні). При цьому важливо спиратися на схему еволюції основних КЗК при вивченні різних тем.

Одним із провідних компонентів змістової лінії є матеріал, що стосується основних елементарних функцій. Адаптація схеми З.І. Слєпкань для навчання елементарних функцій у класах фізико-математичного профілю дозволяє виділити такі кроки: зовнішня мотивація; внутрішньо-предметна мотивація; строге визначення відповідного виду функції; розпізнавання функцій даного виду; нестрогий графічний аналіз; строге дослідження властивостей функцій; строгий графічний аналіз; розв'язування задач на перетворення графіків, побудову графіків з кусковими характеристиками; дослідження та графічний аналіз функцій, пов'язаних із заданим класом; застосування властивостей функцій в теоретичних задачах; пропедевтика питань аналізу, пов'язаних із заданим класом функцій; виконання обчислювально-графічних робіт, пов'язаних із даним класом функцій; розв'язування прикладних задач, пов'язаних із даним класом функцій; аналіз різних підходів до визначення даного класу функцій; узагальнення методів дослідження та побудови графіків даного класу функцій для інших класів; усвідомлення логічних зв'язків між основними властивостями даного класу функцій (логіко-структурна рефлексія). З'ясовано, що послідовне виконання цих кроків дозволяє ефективно засвоїти усі питання, що передбачені чинною програмою щодо елементарних функцій, розвинути навички дослідження функцій (у тому числі елементарними методами) на монотонність, обмеженість, періодичність тощо. Крім того виявлено, що запропонована схема дає можливість розвивати навички математичного моделювання та обчислень, здійснювати пропедевтику (первинну, початкову та активну) вивчення наступних класів функцій та основних питань математичного аналізу, а також знайомити з основними ідеями розв'язування функціональних рівнянь.

Виявлено ефективність концентричного підходу й активної пропедевтики при вивченні питань математичного аналізу, пов'язаних з функціями. Доведено ефективність застосування для пропедевтики, наприклад, поняття границі системи задач з так званими базовими нескінченно малими послідовностями. З'ясовано, що первинну пропедевтику понять похідної та інтеграла доцільно проводити на інтегрованих уроках “фізика-математика”, при цьому доцільним стає “кінематичне” обґрунтування формул похідних. Активна пропедевтика поняття визначеного інтеграла стає ефективною при вивченні підсумування послідовностей для ілюстрації обчислення площ.

Обґрунтовано, що вивчення кожної теореми аналізу, пов'язаної з функціями, доцільно організовувати поетапно. На підготовчому етапі здійснюється актуалізація опорних знань, мотивація вивчення теореми, на основному - виявляється фізичний та геометричний зміст теореми, проводиться ітераційний пошук формулювання й доведення теореми, на аналітичному - здійснюється аналіз умов і доведення теореми, вивчення місця теореми в структурі логічних зв'язків тверджень теорії, побудова контрприкладів для некоректно змінених умов теореми (ефективним засобом на цьому етапі є граф логічних зв'язків теореми), на прикладному - формулюються і доводяться наслідки з теореми, розглядаються основні задачі, пов'язані із застосуванням теореми та її наслідками, здійснюється застосування теореми та її наслідків в задачах обчислювальної математики і математичного моделювання) та, зрештою, на узагальнювальному етапі обираються стратегії узагальнення теореми.

Теоретико-множинне тлумачення поняття функції у зв'язку з неповним його розкриттям у шкільному курсі залишається неявним об'єктом засвоєння. Виділено три лінії додаткового формування функціональних уявлень: комбінаторна, геометричних перетворень, функціональних рівнянь. Зазначається, що під час розв'язування комбінаторних задач доцільно вчити учнів давати альтернативні формулювання мовою відображень. Наголошено також, що пропедевтичне ознайомлення з геометричними перетвореннями слід проводити за індуктивною схемою. З'ясовано, що функціональні рівняння ефективно вивчати лише у фоновому режимі під час ознайомлення з властивостями елементарних функцій і вивчення тем математичного аналізу та на факультативних заняттях, при цьому виділено вісім етапів вивчення функціональних рівнянь. Доведено можливість ілюстрації існування нелінійних адитивних функцій на рівні знань учня старшої школи (шляхом введення адитивних функцій на скінченновимірних просторах). Проілюстровано можливість використання адитивного рівняння Коші для обґрунтування формули довжини дуги, площі прямокутника, узагальненої теореми Фалеса тощо.

Установлено, що для формування навичок математичного моделювання при вивченні функцій доцільно поступово переходити від задач з готовими концептуальними моделями до задач, де принциповим є пошук спрощень, наближених моделей. Для реалізації останнього варто використовувати два типи задач: 1) задачі з урахуванням малості фізичних величин; 2) задачі “якісного” аналізу функцій, що описують фізичні процеси з урахуванням малості величин. Розглядати відповідні задачі слід на інтегрованих уроках “фізика-математика”. Завершальним етапом формування навичок розв'язування задач математичного моделювання стає робота щодо складання, розв'язування та інтерпретації розв'язків диференціальних рівнянь. З'ясовано, що ефективне вивчення цих питань можливе у фоновому режимі на трьох пропедевтичних рівнях у системі інтегрованих уроків “фізика-математика-інформатика” (здійснюється поступовий перехід від різницевих рівнянь, які розв'язуються як аналітично, так і за допомогою комп'ютерних засобів, до диференціальних).

З'ясовано, що у навчанні розв'язування обчислювальних задач змістової лінії функцій необхідно виділяти концептуально-історичний, теоретичний, алгоритмічний, технологічний, організаційний компоненти. Обґрунтовано, що навчання розв'язування обчислювальних задач ефективно проводити під час спеціально організованих лабораторних графічно-обчислювальних робіт. У контексті вивчення функцій виявлено можливість ознайомлення учнів з різними алгоритмами обчислення функцій, табулювання, проведення обчислювальних експериментів щодо пошуку наближених формул.

Теоретико-методичне та експериментальне дослідження виконувалося протягом 2001 - 2009 років.

На першому етапі (2001 - 2003 рр.) проводився констатувальний експеримент, під час якого проводились анкетування вчителів та учнів, діагностичні тестування учнів. Анкетування показало, що від 30 до 92% випускників фізико-математичних класів не мають уявлень про застосування математики в найважливіших сферах науково-технічної та економічної діяльності. Результати тестувань засвідчили, що питаннями елементарних методів дослідження функцій володіють від 6 до 9% випускників, питаннями, пов'язаними з границями - 12%, розуміють теоретико-множинний зміст функції - 11%, мають початкові навички математичного моделювання, пов'язані з функціями, - 5%. Під час бесід та опитувань викладачі математичних кафедр університетів висловлювали думку про неготовність сприйняття більшістю випускників фізико-математичних класів матеріалу концептуально важливих курсів з математики та теоретичної фізики через відсутність їх пропедевтики. Учителі, що працюють у фізико-математичних класах, виділили найскладніші питання змістової лінії функцій, вивчення яких є, за існуючими методиками, на їх думку, малоефективними. Зокрема питання елементарних методів дослідження функцій (64% опитаних), поняття границі (98%), теоретико-множинне визначення функцій (94%). Крім того, значна кількість вчителів загалом не усвідомлює важливість задач на обчислення та моделювання реальних процесів під час вивчення функцій та пропедевтики понять, які вивчатимуться у вищій школі. Результати констатувального експерименту підтвердили необхідність розробки методичної системи вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю, спрямовану на розвиток математичної компетентності учнів. З огляду на це виділено теоретичні положення дослідження, сформульовано його мету й завдання.

На етапі пошукового експерименту (2003-2005 рр.) вивчалася психолого-педагогічна, науково-методична література з теми дослідження; проводився порівняльний аналіз різних підходів до вивчення функцій у програмах та підручниках. Окреслено шляхи та засоби реалізації компетентнісного підходу в навчанні функцій у класах фізико-математичного профілю, розроблено концептуальні засади та побудовано модель методичної системи вивчення функцій учнями шкіл і класів фізико-математичного профілю, описані основні об'єкти засвоєння змістової лінії функцій, розроблено методичні рекомендації щодо їх вивчення в різних темах шкільного курсу в межах чинних програм, систематизовано базу задач (для основного курсу і факультативів) змістової лінії функцій з урахуванням міжпредметних зв'язків, розроблено схеми вивчення елементарних функцій (з елементами активної пропедевтики в фоновому режимі та узагальнювально-систематизаційних етапів навчання), елементарних методів дослідження функцій, дослідження функцій на періодичність, запропоновано систему пропедевтики основ математичного аналізу. Підготовлено рекомендації щодо: опанування елементів математичного моделювання під час вивчення функцій, проведення графічно-обчислювальних робіт при вивченні функцій, геометричних перетворень у фоновому режимі, функціональних рівнянь.

На етапі формувального експерименту (2005 - 2009 рр.) проводилися апробація та впровадження створеної системи вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю, спрямованої на формування МКГФ. Її ефективність перевірялася методами математичної статистики. Були виділені експериментальна (306 учнів) та контрольна (304 учні) групи. В обох групах, було проведено три тестування (табл. 1): вихідне - на початку 8 класу (завдання охоплювали матеріал курсу математики 5 - 6 класів, алгебри 7 класу, частково геометрії 7 класу), проміжне - наприкінці 9 класу перед державною підсумковою атестацією (завдання охоплювали матеріал змістової лінії функцій 7 - 9 класів, а також задачі наближеного обчислення значень функцій); підсумкове - наприкінці 11 класу перед зовнішнім незалежним оцінюванням з математики. Завдання охоплювали матеріал змістової лінії функцій 7 - 11 класів, задачі наближеного обчислення значень функцій та моделювання функціональних залежностей в геометричних, фізичних та економічних задачах, комбінаторні задачі та задачі геометричного змісту.

Якісний аналіз результатів навчання, анкетування учнів та бесіди з учителями свідчать про підвищення рівня навчальних досягнень учнів, мотивації до навчання математики, можливість реалізації творчого потенціалу найбільш талановитих учнів. Усе це переконує в ефективності експериментальної системи вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю.

Висновки

У дослідженні побудовано й апробовано науково обґрунтовану методичну систему вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю, розроблену на засадах компетентнісного підходу в освіті. Результати теоретичного дослідження й педагогічного експерименту дають підстави для таких висновків.

1. аналіз нормативних документів, програм, підручників і навчальних посібників для загальноосвітньої школи, а також стану підготовки учнів з питань змістової лінії функцій показують, що результати навчання не задовольняють вимоги суспільства до випускників фізико-математичних класів. Сучасні тенденції розвитку науки та технологій вимагають від випускників профільних фізико-математичних класів уміти знаходити, досліджувати та використовувати функціональні залежності, мати початкові уявлення про концептуальні ідеї сучасної математики та її застосувань, вміти розв'язувати практичні задачі на обчислення та моделювання. Це, своєю чергою, вимагає запровадження компетентнісного підходу в організації вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю. Методику навчання функцій у класах фізико-математичного профілю необхідно спрямувати на розвиток компетентностей учнів, пов'язаних із застосуванням функцій у різних видах діяльності.

2. У науково-педагогічних дослідженнях останнього часу компетентність людини розглядається як певним способом структуровані сукупності знань, навичок, умінь і стосунків, які дають людині змогу визначати і розв'язувати незалежно від ситуації проблеми, характерні для певної сфери діяльності. До відомої ієрархії компетентностей доцільно додати ще один рівень - спеціальні предметні компетентності, до яких належить математична компетентність у галузі функцій (МКГФ). Останню необхідно трактувати як складову математичної компетентності, що полягає у спроможності застосовувати в різноманітних сферах діяльності уявлення та знання про функціональні залежності, функції та їх узагальнення, способи їх подання, методи їх знаходження й дослідження, методи застосування та інтерпретації результатів досліджень функціональних залежностей. МКГФ містить чотири компоненти, що відображають гносеологічний та операційний аспекти: уявлення і знання про функціональні залежності, функції та їх узагальнення, способи їх подання; уміння знаходити функціональні залежності, функції; уміння досліджувати функціональні залежності; уміння інтерпретувати та використовувати результати досліджень функціональних залежностей. Структура МКГФ зумовлює основні напрями її розвитку: аналітико-теоретичний, обчислювальний, моделювання. Вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю повинно здійснюватися на засадах загально-дидактичних принципів, а також специфічних для навчання математики у класах фізико-математичного профілю принципів концентричного навчання, активної пропедевтики, формування в учнів логіко-структурної рефлексії.

3. Установлено, що навчання функцій у класах фізико-математичного профілю має спрямовуватись на формування й розвиток МКГФ учнів. Процес навчання необхідно будувати так, щоб забезпечити якісне засвоєння учнями основних когнітивно-змістових комплексів (КЗК), пов'язаних з функціями. Це зумовлює необхідність певного розширення змісту навчання, передбаченого чинною програмою з математики для профільного рівня. Обов'язковими для вивчення у класах фізико-математичного профілю мають стати питання математичного моделювання та обчислень. Відповідним навчальним матеріалом доцільно доповнити зміст навчання в межах кожної програмової теми, не порушуючи передбаченого програмою бюджету часу на її вивчення. З цією метою необхідно якнайповніше використати можливості непрямого навчання, зокрема внутрішньо-предметної, міжпредметної (експорт-, імпорт-) та перспективної пропедевтики. При цьому основний навчальний матеріал, пов'язаний з функціями, може вибудовуватися в традиційній послідовності й в унормованому програмою обсязі.

Засвоєння учнями КЗК, пов'язаних із функціями, доцільно організовувати в три етапи. На першому (пропедевтичному) етапі створюється необхідне підґрунтя для якісного засвоєння певного КЗК, на другому (основному) етапі учні ознайомлюються з новим навчальним матеріалом та відпрацьовують навички й уміння, на третьому (узагальнювальному) етапі знання та вміння учнів набувають нової якості - системності.

Компетентнісно орієнтована методична система вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю має включати комплекси блоків, що відповідають компонентам методичної системи (за О.М. Пишкало). Цільовий комплекс містить блоки “Цілі вивчення математики” та “МКГФ як мета”. Змістовий комплекс включає блоки, пов'язані з КЗК, етапами формування КЗК, програмою з математики. Організаційно-методичний комплекс утворюють блоки добору методів, форм і засобів навчання. Система включає також автономні блоки “Міжпредметні зв'язки”, “Тезаурус у галузі функцій”, “Банк задач”, “Визначення тематичних цілей”. Блок “МКГФ як результат” є завершувальним у системі.

Для запровадження компетентнісно орієнтованої методичної системи вивчення функцій учителю необхідно здійснити гнучке ієрархічне планування навчального процесу, виділити в контексті кожної теми індивідуальні, колективні, нормативні, тактичні, оперативні та стратегічні цілі вивчення функцій, виходячи з чинної програми та логіки розвитку КЗК, і на їх основі виважено дібрати методи, форми та засоби навчання, враховуючи етапи формування КЗК змістової лінії функцій. Завдяки узагальненню та пропедевтиці в учнів мають формуватися широкі уявлення про функції, що вивчаються, різні способи їх визначення, найголовніші застосування в різних галузях знань.