Элементы проблемного обучения при изучении темы "Динамика тел под влиянием сил гравитационного взаимодействия"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Элементы проблемного обучения при изучении темы «Динамика тел под влиянием сил гравитационного взаимодействия»



Одним из наиболее эффективных педагогических методов развития творческого мышления является проблемное обучение. При практической реализации метода проблемного обучения первостепенную роль играет должным образом организованная преподавателем эвристическая беседа со студентами. Поскольку общие положения этого метода можно освоить только на конкретном материале при изучении некоторой учебной дисциплины, ниже приводится вариант примерного построения эвристической беседы между Преподавателем и Студентом при изучении проблем динамики N тел под действием гравитационного взаимодействия, как некоторой темы в рамках дисциплины «Компьютерные методы современного естествознания» (КМСЕ) на втором курсе физического факультета ЮФУ. С нашей точки зрения, этот раздел курса КМСЕ является очень удобным для иллюстрации основных форм проблемного обучения.

Над проблемами динамики N тел под действием гравитационного взаимодействия начиная с XVII века бились лучшие умы человечества и, тем не менее, до сих пор эту область науки нельзя считать полностью завершённой. Процесс изучения рассматриваемой нами темы разбит на 4 модуля, каждый из которых предполагает организацию самостоятельной проблемной ситуации и ее разрешение. Последнее достигается за счет соответствующей серии вопросов, стимулирующих поисковую деятельность студента, выполнения им конкретных заданий по нахождению информации в сети Интернет и других источниках, и, что самое главное, проведения компьютерных экспериментов, в процессе которых он самостоятельно приходит к серии «мини-открытий» и к некоторым фундаментальным физическим выводам.

педагогический проблемный обучение эвристический



Модуль 1. Законы Кеплера

Комплексная цель: Основной целью данного модуля является углубление знаний студентов законов Кеплера и, в частности, понимание того, в Солнечной системе они носят лишь приближенный характер.

Краткое изложение программного материала: Обсуждается вывод законов Кеплера, исходя из дифференциальных уравнений задачи двух тел, на основе проведения серии вычислительных экспериментов.

Содержание модуля

Этот модуль является вводным и предназначен для того, чтобы в сознании студента возникла связь известных ему идей и фактов с теми новыми идеями и фактами из области нелинейной динамики, к которым он должен самостоятельно прийти в процессе выполнения серии индивидуальных заданий. Реализация этого этапа, например, может выглядеть следующим образом:

Пр: Какие законы Кеплера Вы знаете?

Ст: Я знаю, что существует три закона Кеплера, но точно сформулировать могу лишь один из них. Он утверждает, что каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Пр: А что такое эллипс?

Ст: Это геометрическое место точек плоскости, которые обладают тем свойством, что сумма расстояний от каждой из них до двух выделенных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина.

Пр: Совершенно верно. Как Вы сказали, в одном из фокусов такого эллипса находится Солнце, а что находится во втором фокусе?

Ст: … Ничего…

Пр: А чем отличаются друг от друга эллипсы, которые описывают траектории различных планет Солнечной системы?

Ст: Размерами и ориентацией своих осей.

Пр: Хорошо. Ко второму и третьему закону Кеплера мы вернемся позднее. А как Вы думаете, каким образом Кеплер пришел к открытию своих законов?

Ст: Этого я не знаю… Кажется, он открыл их на основе анализа большого объема астрономических наблюдений.

Пр: Совершенно верно. Давайте зафиксируем последнее ваше утверждение. Оно нам вскоре пригодится… Обязательно постарайтесь найти в Интернете историю открытия Кеплером своих законов. Это очень поучительная история.

Подведем итоги. Из всего того, что Вы только что рассказали, ясно, что законы Кеплера явились следствием астрономических наблюдений за движением планет Солнечной системы, и, следовательно, их нельзя считать абсолютно точными. В свою очередь, это значит, что утверждение о том, что данная планета движется по некоторому эллипсу, заведомо не может быть правильным. Вы согласны с этим?

Ст: Но ведь во всех учебниках говорится о движении планет по эллипсам, а из Ваших слов получается, что это неправда?!

Пр: А вы не забыли, что на каждую планету кроме Солнца действуют гравитационные силы и со стороны всех остальных планет Солнечной системы? Разве их действие не влияет на форму орбиты рассматриваемой нами планеты?

Ст: Но, наверно, влияние других планет достаточно мало и оно лишь слабо искажает орбиту данной планеты?

Пр: В принципе, Вы правы. Тогда мы с Вами приходим к выводу о том, что законы Кеплера выполняются в Солнечной системе лишь приближенно. Давайте проверим выполнение первого закона Кеплера, используя прямой компьютерный эксперимент, считая, что на каждую планету действует только Солнце. На следующем этапе исследований, можно будет уже учесть влияние нескольких больших планет, например, Юпитера и Сатурна.

Ст: А как можно на компьютере промоделировать движение планеты в поле притяжения Солнца?

Пр: Поскольку мы знаем, что планета должна двигаться вокруг Солнца по эллипсу, а последний является плоской фигурой, давайте рассмотрим движение этой планеты в плоскости (x, y) под действием только силы притяжения к Солнцу. Поскольку масса последнего (М) во много раз больше массы планеты (m), мы можем считать, что Солнце неподвижно и находится в начале системы координат.

Рис. 1

Какие законы физики мы можем использовать для того, чтобы найти зависимость координат x(t) и y(t) от времени (t) и, таким образом, построить траекторию движения планеты?

Ст: По-видимому, мы можем использовать второй закон Ньютона и его же закон всемирного тяготения .

Пр: Совершенно правильно. Я думаю, Вы понимаете, что при описании криволинейного движения планеты вдоль своей орбиты удобно рассматривать проекции этого движения на оси x и y в декартовой системе координат.

Ст: Да, конечно, я так и думал! Тогда уравнения движения вдоль этих осей можно записать в форме

(1)



где и - есть соответствующие ускорения, а Fx и Fy - проекции силы притяжения к Солнцу на оси x и y, соответственно.

Пр: А как найти эти проекции?

Ст: Из рисунка 1 ясно, что

(2)

Пр: Совершенно правильно. Вы даже не забыли учесть факт отрицательности проекции силы на оси x, y (студенты часто забывают об этом, в результате чего “открывают” антигравитацию…).

Ст: Подождите, подождите. А что будет, если планета находится не в первом квадранте, как это изображено на рисунке 1, а в другом? Ведь от этого могут зависеть знаки проекций на соответствующие оси.

Пр: Но не забывайте, что при этом изменяются и знаки координат планеты (x, y). Давайте сначала запишем правильные уравнения движения, предполагая, что планета находится в первом квадранте в соответствии с рисунком 1. Если Вы получите для этого частного положения планеты правильные уравнения, то они автоматически будут правильными и для всех других положений!

Ст: Хорошо, из уравнений (1), (2) получим:

(3)

Но что делать дальше?

Пр: При движении планеты по орбите, очевидно, изменяется и ее расстояние до Солнца (R), и угол (ц), то есть R=R(t) и ц=ц(t). Разве эти переменные независимы друг от друга?

Ст: Я понял! Между этими переменными и координатами планеты x(t) и y(t) существуют тривиальные геометрические связи:

(4)

.

Формулы (4) с очевидностью следуют из рисунка 1 при учете того, что сила притяжения направлена по прямой, соединяющей планету и Солнце. Тогда уравнения (3) можно переписать следующим образом:

(5)

Я здесь сократил каждое из этих уравнений на массу планеты (m).

Пр: А знаете ли Вы, что факт такого сокращения, вообще говоря, тривиальным не является?

Ст: А почему это не тривиально?

Пр: Мы не можем сейчас обсуждать эту проблему сколько-нибудь подробно, но я советую Вам найти в физической энциклопедии или в Интернете информацию о том, что масса, входящая во второй закон Ньютона () и масса, входящая в закон всемирного тяготения () имеют разный физический смысл! Первая из них называется инертной массой, а вторая - гравитационной, и они характеризуют существенно разные свойства тела. Во втором законе Ньютона масса m характеризует способность тела приобретать ускорение под действием внешней силы, а в законе всемирного тяготения масса m характеризует способность тела притягивать другие тела и притягиваться к ним. Равенство инертной и гравитационной масс тел подвергалось тщательной экспериментальной проверке и лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна. Мы с Вами не будем углубляться в эту область, но я еще раз настойчиво рекомендую Вам познакомиться более подробно с этой проблемой по литературным источникам.

Итак, мы получили уравнения (5), которые описывают движение планеты вокруг Солнца. Вы, наверно, понимаете, что их лучше переписать в форме:

(6)

Что Вы можете сказать по поводу типа этих уравнений?

Ст: Уравнения (6) представляют собой систему двух связанных дифференциальных уравнений второго порядка. Но я совершенно не представляю как их решать...

Пр: Да, с такими уравнениями Вам, скорее всего, действительно не приходилось встречаться. Это некоторые нелинейные уравнения, а общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений не существует. Кстати, когда Вам будут в дальнейшем встречаться нелинейные дифференциальные уравнения, я очень советую прежде всего поискать их решение (если такое человечеству известно!) в справочниках. Замечу, что наиболее полным таким справочником является книга [10].

Ст: А если мы там не найдем готового аналитического решения наших уравнений?

Пр: Тогда можно прибегнуть к численным методам решения дифференциальных уравнений. Существует целый ряд таких методов, причем, многие из них являются универсальными, т.е. их можно применять практически к любым дифференциальным уравнениям и их системам. Этим свойством численные методы существенно отличаются от аналитических, которые ориентированы на отдельные и часто весьма узкие классы дифференциальных уравнений. Разумеется, численные методы должны быть реализованы в виде компьютерных программ, поскольку их практическое применение обычно требует огромного объема вычислительной работы.

Ст: Это значит, что мне самому придется писать компьютерную программу реализации какого-либо численного метода для решения дифференциального уравнения?

Пр: К счастью, в настоящее время существуют мощные математические пакеты, такие как Maple, MatLab, Mathematica, которые предлагают пользователю целый набор численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Вам, наверное, наиболее просто будет воспользоваться пакетом Maple, имеющим, кстати сказать, очень хорошую систему помощи (Help), в которой Вы сможете найти много конкретных примеров. Советую Вам ознакомиться с пакетом Maple по книгам [8, 9].

Ст: А в каком виде мы можем получить решение, используя пакет Maple?

Пр: Для некоторых простейших типов обыкновенных дифференциальных уравнений Maple может найти соответствующее общее аналитическое решение. В тех же случаях, когда это невозможно, Вы вправе прибегнуть к численным методам, в результате чего может быть получено частное решение рассматриваемых уравнений в форме соответствующих графиков или таблиц. Кстати, а что такое общее и частное решения дифференциальных уравнений?

Ст: Я знаю, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка зависит от n произвольных постоянных, а частное решение получается из него в результате присвоения этим произвольным постоянным конкретных числовых значений. Но я не понимаю, как это все связанно с нашей задачей о построении орбиты, по которой планета движется вокруг Солнца…

Пр: Общее решение системы (6) должно определять все возможные типы движения тела массой m в поле притяжения к Солнцу. Разве эллипс является единственно возможной траекторией движения рассматриваемого тела?

Ст: Нет, например, тело может падать на Солнце по прямой, а кометы, насколько я знаю, могут двигаться по параболическим и гиперболическим траекториям.

Пр: Вы совершенно правы. Теория утверждает, что в самом общем случае траектория движения тела в поле притяжения к Солнцу является одним из конических сечений - это может быть: окружность, эллипс, парабола, гипербола или прямая. Эти траектории называются коническим сечениями в силу того, что их можно получить, пересекая конус плоскостями различным образом расположенными относительно него. Подумайте самостоятельно над этими словами и поищите соответствующую информацию в Интернете.

Таким образом, уравнения одни и те же, а форма траектории может быть совершенно разной. Как Вы думаете, чем определяется форма той или иной траектории движения при одних и тех же уравнениях, которые описывают движение рассматриваемого тела?

Ст: Наверное, данная траектория выделяется некоторыми дополнительными условиями, которые определяют, где находилось тело в определенный момент времени и какую оно имело при этом скорость.

Пр: Вы совершенно правы. Для выделения конкретной траектории необходимо задать кроме системы дифференциальных уравнений (6) некоторые начальные условия. Как Вы думаете, сколько таких дополнительных условий необходимо задать для однозначного определения траектории?

Ст: Наверное, необходимо задать четыре условия: начальные координаты x(0) и y(0) и начальные скорости , .

Пр: Вы правы. Число этих дополнительных условий должно быть равно числу произвольных постоянных, от которого зависит общее решение нашей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а в нашем случае их четыре (поскольку мы имеем два дифференциальных уравнения второго порядка). В зависимости от конкретных значений начальных координат и скоростей можно получить самые различные виды траекторий движения тела.

Обратите внимание на то, что на языке пакета Maple в операторе dsolve Учтите, что координаты тела на Maple следует задавать не в виде x, y, а как функции времени x(t), y(t). , который позволяет получить численное решение при задании спецификации numeric, набор уравнений и соответствующих им начальных условий задается в виде множества, причем эти объекты могут быть перечислены в любом порядке. Напишите дома программу на языке пакета Maple для проверки первого закона Кеплера.

Ст: А как можно выбрать те начальные условия, которые порождают эллипс, а не какие-либо другие траектории движения, например, незамкнутые?

Пр: Я рекомендую Вам прежде всего рассмотреть движение тела вокруг Солнца по окружности. Эта задача будет неплохим тестовым примером для проверки написанной Вами Maple-программы. Можете ли Вы указать необходимые для этого начальные условия?

Ст: Пожалуй, да. Ведь такого рода задачи мы решали даже в школе. Рассматриваемый случай равномерного движения тела по окружности сводится к решению уравнения

,

где слева стоит сила притяжения тела к Солнцу, а справа - произведение его массы на центростремительное ускорение (). Отсюда можно найти ту скорость, которую нужно сообщить телу в начальный момент времени, если оно находится при этом на расстоянии R0 от Солнца, для того, чтобы тело двигалось по окружности, а не по какой-либо другой траектории:

. (*)

Насколько я понимаю, это значит, что для получения круговой траектории движения тела при решении уравнений (6) можно задать следующие начальные условия:

Пр: Совершенно верно. А как Вы докажете, что в результате решения нашей задачи действительно получается окружность?

Ст: Для этого достаточно с помощью средств пакета Maple построить соответствующий график.

Пр: При этом Вы лишь убедитесь в том, что полученная Вами траектория, действительно похожа на окружность. Но как доказать более строго, что она таковой является?

Ст: … Можно, например, построить с некоторым шагом по времени таблицу значений функции Если при этом расстояние до Солнца R(t) остается при движении тела неизменным с достаточно высокой степенью точности, ясно, что траектория тела является окружностью.

Пр: Все правильно. Более того, по отклонению R(t) от R0 (которое определяет расстояние от планеты до Солнца), можно судить о точности применяемого Вами численного метода решения дифференциальных уравнений. Не забудьте провести соответствующую оценку точности на достаточно большом интервале времени (таком, чтобы тело успело совершить, по крайней мере, несколько оборотов вокруг Солнца).

Ст: Насколько я теперь понимаю, если задать начальную скорость больше, чем найденная нами величина V0 из формулы (8), то тело будет двигаться уже по эллипсу, вытянутому вдоль оси x…

Пр: Постарайтесь проверить Вашу гипотезу на компьютере дома. И, более того, увеличивайте начальную скорость до тех пор, пока траектория не станет незамкнутой.

Но у меня есть к Вам и более серьёзный вопрос. А как Вы убедитесь в том, что замкнутая траектория, которая получается в результате Вашего компьютерного моделирования, действительно является эллипсом. Ведь нам необходимо проверить законы Кеплера достаточно точно!

Ст: Я думаю, что можно найти самое близкое и самое дальнее расстояния от тела до Солнца, т. е. точки A и B (см. рис. 2), соответствующие перигелию и афелию рассматриваемой орбиты. Иными словами, нужно найти минимальное и максимальное значения функции Это позволит нам определить большую полуось эллипса, а стало быть, и его фокусы F1, F2. После этого, можно проверить, удовлетворяет ли наша траектория определению эллипса, т.е. является ли при движении тела сумма расстояний от точек эллипса до его фокусов постоянной величиной (СF1+ СF2 на рисунке 2).



Рис. 2

Пр: Вы совершенно правы, и я жду от Вас на следующем занятии результаты соответствующих вычислительных экспериментов. Но не забывайте, что у Кеплера есть не только вышеобсужденный нами первый закон, но и два других. Как проверить их? Давайте сначала поговорим о втором законе Кеплера? Что утверждает этот закон?

Ст: Мне кажется, что в нем говорится о скорости движения тела по эллиптической орбите.

Пр: Как Вы думаете, является ли равномерным движение тела по этой орбите?

Ст: При движении по окружности тело двигалось равномерно, то есть с постоянной линейной, а стало быть, и угловой скоростью. А вот при движении тела по эллиптической орбите, по-моему, скорость должна изменяться. Я думаю, что, чем ближе тело к Солнцу, тем скорость планеты должна быть больше...

Пр: Давайте устроим маленький перерыв, во время которого я прошу Вас пойти в библиотеку и найти какие-нибудь книги, где дается точная формулировка второго и третьего закона Кеплера.

Пр: Давайте дадим теперь точную формулировку второго закона Кеплера.

Ст: Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади.

Пр: Да, именно так Кеплер сформулировал свой второй закон. А не знаете ли Вы, как объяснить смысл этого закона в рамках современных представлений?

Ст: Пожалуй, знаю. Он является следствием закона сохранения момента импульса, то есть этот закон сводится к утверждению, что при движении планеты вдоль эллиптической траектории сохраняется векторная величина . Поскольку движение тела является плоским, нам достаточно проверить, что сохраняется проекция этого вектора на ось z, перпендикулярную плоскости (x, y). Таким образом, при движении планеты должна сохраняться величина , что, наверно, легко проверить в ходе вычислительного эксперимента.

Пр: Вы правы. Учтите, что при решении дифференциального уравнения второго порядка в пакете Maple можно легко находить не только x(t) и y(t), но и их производные по времени… А можете ли вы проверить третий закон Кеплера?

Ст: Этот закон утверждает, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Думаю, что после всего вышесказанного, я действительно смогу его проверить. По крайней мере, с помощью нескольких вычислительных экспериментов, проведенных при разных начальных условиях. Мы будем задавать в любом эксперименте различные расстояния от тела до Солнца, моделируя тем самым движения планет более или менее далеких от него.

Пр: А теперь давайте вернемся к обсуждению вопроса о том, что законы Кеплера, получены из наблюдений за движениями реальных планет солнечной системы. В силу этого, как мы уже говорили, законы Кеплера являются лишь некоторыми приближенными законами (на данную планету действует не только сила притяжения со стороны Солнца, но и со стороны других планет).

Ст: Да, конечно.

Пр: А можете ли Вы проиллюстрировать это с помощью конкретных вычислительных экспериментов?

Ст: Я бы рассмотрел движение некоторой легкой планеты (например, Марса) под действием не только силы притяжения к Солнцу, но и хотя бы к одной из массивных планет (например, к Юпитеру). Тогда, наверно, можно считать, что действие Юпитера на легкую планету сказывается на ее траектории достаточно сильно, в то время как обратное влияние (легкой планеты на тяжелую) должно лишь незначительно искажать траекторию последней.

Пр: Вы совершенно правы. Более того, для Вас, видимо, будет наиболее удобным считать, что Юпитер движется по некоторой круговой траектории, которая практически не изменяется за счет его взаимодействия с Марсом (см. рисунок 3).

Ст: Наверно, я могу найти в астрономических справочниках реальные массы Юпитера и Марса, а радиус движения Юпитера по окружности считать равным среднему расстоянию его до Солнца.

Рис. 3

Задавая соответствующие начальные условия, можно сравнить траекторию движения Марса без учета влияния на него Юпитера и с учетом этого влияния. Но ведь это очень большая вычислительная работа…

Пр: Да, конечно. Но зато она себя полностью окупит, поскольку в результате ее выполнения Вы будете намного лучше понимать сами законы Кеплера, и, что для нас наиболее важно, осознаете тот факт, что в Солнечной системе законы Кеплера носят лишь приближенный характер.

Проектное задание. С помощью численных методов решения дифференциальных уравнений построить траеторию движения планеты, считая, что Солнце неподвижно и находится в начале системы координат. Проверить выполнение первого и второго законов Кеплера.

Тест рубежного контроля №5

Тест содержит 5 заданий, на выполнение которых отводится 5 минут. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов.

Согласно первому закону Кеплера, в одном из фокусов эллиптической орбиты планеты находится Солнце. Что находится во втором ее фокусе?

Черная дыра.

Некоторое астральное тело

Ничего

Справедливы ли законы Кеплера в Солнечной системе?

1) Да.

2) Нет.

3) Да, но лишь с некоторой точностью.

3. Какие формы орбит допускает задача Кеплера двух тел:

1) Циклоида, спираль.

Конические сечения.

Гипотрохоида.

4. Могут ли два небесных тела, движения которых описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями, иметь различные траектории?

1) Нет.

2) Да, в зависимости от начальных условий.

3) Да, в зависимости от их масс.

5. Второй закон Кеплера связан с:

1) Законом сохранением импульса.

2) Законом сохранением энергии.

3) Законом сохранением момента импульса

Бланк ответов

№	1	2	3
1)
2)
3)
4)
5)

Критерий оценки

Число правильных ответов - 5 4 3 2 1 0

Оценка - 5 5 4 3 2 2

Модуль 2. Закон всемирного тяготения Ньютона

Комплексная цель: Основной целью данного модуля является углубление знания закона всемирного тяготения Ньютона.

Краткое изложение программного материала: Обсуждается проблема точности обратной квадратичности зависимости силы притяжения от расстояния между телами.

Содержание модуля

Пр: Итак, в начале семнадцатого столетия Кеплер открыл свои знаменитые законы движения планет Солнечной системы, в частности, первый закон, который утверждает, что планеты движутся по эллиптическим траекториям. А как Вы думаете, задавался ли Кеплер вопросом почему планеты движутся именно таким образом, т.е. какова причина существования в природе законов, носящих его имя?

Ст: Нет, мне это совершенно неизвестно, и я безусловно поищу в Интернете информацию об этом. Но сейчас всем хорошо известно, что законы Кеплера можно объяснить на основе закона всемирного тяготения Ньютона.

Пр: Совершенно верно. Сформулируйте, пожалуйста, этот закон.

Ст: Все тела в природе притягиваются друг к другу, причем сила этого притяжения определяется формулой:

(7)

где G - гравитационная постоянная, m и M - массы взаимодействующих тел, а R - расстояние между ними.

Пр: А чему равно R в случае, если в космическом пространстве друг к другу приближаются два астероида достаточно неправильной формы - две каменные глыбы совсем не похожие на шары?

Ст: Очевидно, в данном случае R есть расстояние между центрами масс этих небесных тел.

Пр: К сожалению, Вы неправы и здесь далеко не все так очевидно, как это Вам кажется. Формула (7) описывает притяжение только между материальными точками или шарами (в этом случае R есть расстояние между центрами шаров). Последнее, наверно, Вам кажется очевидным…

Ст: Да, то, что для случая шаров формула (7) справедлива, мне кажется совершенно тривиальным. А вот что касается астероидов неправильной формы, то я, честно говоря, затрудняюсь дать определенный ответ…

Пр: Но ведь мы знаем, что обсуждаемая нами формула Ньютона справедлива для материальных точек…

Ст: Я, кажется, начинаю понимать… Может быть, нужно мысленно разбить астероиды на достаточно большое число столь малых частей, что каждую из них приближенно можно считать материальной точкой. После этого нужно найти геометрическую сумму сил гравитационного взаимодействия между всеми парами таких точек, одна из которых принадлежит первому астероиду, а другая - второму. Наверно, эту задачу можно свести к вычислению некоторых кратных интегралов…

Пр: Прекрасно, Вы действительно на правильном пути - наша задача сводится к некоторому процессу интегрирования. Более того, вероятно Вы знаете, что честь открытия дифференциального и интегрального исчислений одновременно принадлежит двум авторам - Лейбницу и Ньютону. При этом Ньютон пришел к идее интегрального исчисления в результате размышлений именно над задачей о силе притяжения двух тел произвольной формы.

Замечу, что Вы вряд ли сумеете вычислить силу гравитационного притяжения двух трехмерных тел произвольной формы, но вот выполнить эту операцию в простейшем случае с помощью прямого компьютерного моделирования, весьма поучительно. Попробуйте сами сформулировать простейшую задачу из этого класса.

Ст: Может быть, рассмотреть гравитационное взаимодействие двух тонких спиц, находящихся на одной прямой? В этом одномерном случае, пожалуй, я бы смог с помощью компьютерного моделирования найти силу притяжения при любом расстоянии между спицами.

Пр: Отлично. Обязательно проведите такое вычисление дома и убедитесь, что, если Ваши спицы находятся достаточно близко друг к другу, формула где R - расстояние между их центрами, совершенно некорректна.

Аналогичным образом можно проверить, что притяжение кубиков, находящихся на близком расстоянии друг от друга (тогда их нельзя считать материальными точками), также невозможно описать формулой (7).

Наверное Вам будет интересно узнать, что Ньютону потребовалось около 20 лет на то, чтобы строго доказать, что формула (7) справедлива для шаров, находящихся на любом расстоянии R друг от друга. И это отнюдь не так очевидно, как Вам вначале показалось! Зато, как мы уже говорили, в процессе этих размышлений Ньютон и пришел к идее интегрального исчисления.

Ст: Да,… это очень интересно и я обязательно поищу в Интернете историческую справку о том, как Ньютон пришел к этому своему открытию.

Пр: Прекрасно. Обязательно постарайтесь найти также и информацию о том, как Ньютон пришел к закону всемирного тяготения и формуле (7) (неужели просто от удара яблока по голове?!). Могу только заметить, что формула (7) фактиески была им выведена из законов Кеплера…

Ст: Постойте-постойте, в связи с Вашими словами у меня возник вопрос…. Ведь мы уже говорили, что законы Кеплера в Солнечной системе не являются точными, а лишь приближенными… Значит ли из этого, что выведенная с их помощью формула Ньютона (7) также является приближенной? Например, она могла бы иметь вид: где д - достаточно маленькая величина, обусловленная степенью приближенности законов Кеплера.

Пр: В настоящее время в учебниках обычно делается наоборот: не формула Ньютона выводится из законов Кеплера, а законы Кеплера получаются из формулы Ньютона в предположении, что она является точной. При этом следовало бы поступить следующим образом - перейти в задаче двух тел (движение планеты вокруг Солнца) к системе отчета, в которой центр масс этих тел покоится. Тогда мы приходим к задаче о движении одного тела в поле неподвижного силового центра, действующего на некоторую «приведённую массу» () с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до него.

Ст: Насколько я Вас понял, из предположения о точности формулы Ньютона следует, что законы Кеплера для задачи двух тел выполняются абсолютно точно. Но я все-таки не понимаю, насколько мы можем быть уверены в точности формулы Ньютона, если она сама была выведена на основе законов Кеплера, которые были открыты в результате астрономических наблюдений, и поэтому заведомо точными не являются?

Пр: В истории физики неоднократно делались попытки экспериментального подтверждения правильности формулы Ньютона (7), однако проведение таких экспериментов в земных условиях (поищите соответствующую информацию в Интернете!) крайне затруднительно в силу чрезвычайной малости гравитационных сил. Астрономические же наблюдения движения системы двух изолированных тел (без влияния со стороны каких-либо других космических объектов) невозможны в принципе. Тем не менее, есть некоторая другая область физики, где аналогичные исследования в земных условиях вполне выполнимы. Не догадываетесь ли Вы, на что я намекаю?

Ст: Да, конечно. Вы наверняка имеете в виду закон Кулона: , который описывает взаимодействие двух точечных зарядов.

Пр: Вы правы, я имею в виду именно закон Кулона. Он действительно неоднократно проверялся в земных условиях, уже хотя бы потому, что электростатические взаимодействия намного сильнее гравитационных. Более того, в случае электростатики были найдены некоторые косвенные методы проверки корректности формулы Кулона. В результате экспериментов, проведенных в разные годы разными авторами, в настоящее время известно, что отклонение от двойки показателя степени R в знаменателе формулы Кулоны не превышает величины 10-16.

Ст: Но ведь подтверждение закона Кулона не является автоматическим доказательством правильности формулы Ньютона, поскольку электрические и гравитационные взаимодействия имеют совершенно различную физическую природу.

Пр: В связи с этим, давайте вернемся к той задаче, которую мы уже рассматривали с Вами с помощью компьютерного моделирования - задаче о движении тела малой массы в гравитационном поле неподвижного Солнца. На сей раз будем предполагать, что их взаимодействие описывается не формулой (7), а некоторой ее модификацией которую Вы уже выше сами и предлагали.

Ст: Да, я обязательно проведу соответствующие вычисления. Мне кажется, что они достаточно просты, поскольку в той программе, которую я уже написал для случая традиционного гравитационного взаимодействия нужно изменить лишь показатель степени R в знаменателе.

Пр: Заметьте, что таким образом Вы проведете вычислительный эксперимент, который в принципе невозможно осуществить в виде реального физического эксперимента. Действительно, ведь мы с Вами не Боги и не можем по своему усмотрению изменить закон всемирного тяготения для того, чтобы проверить, к каким последствиям такое изменение может привести. А вот вычислительный эксперимент позволяет достаточно легко ответить на этот вопрос.

Как Вам кажется, каков может быть характер искажения орбиты планеты при условии, что гравитационная сила определяется формулой

(8)

Ст: Мне кажется, что малая поправка в формуле (8) приведет к малому изменению формы эллипса (уж по крайней мере ясно, что за счет добавления 0 орбита планеты треугольной не станет!)

Пр: Да, действительно, треугольной она не станет… А вот рассказ, что с ней случится на самом деле, я жду от Вас на следующем нашем занятии.

Ст: Вы знаете, в результате проведенных вычислительных экспериментов, о которых мы с Вами договорились на прошлом занятии, я обнаружил, что траектория движения планеты уже не будет замкнутой кривой! Более того, при малых значениях (например, при =0.05) каждый виток планеты вокруг Солнца напоминает эллипс, но от витка к витку большая ось этого эллипса слегка поворачивается в его плоскости (см. рисунок 4а).

Если же следить за орбитой планеты достаточно долго, оказывается, что она полностью лежит в слое между двумя окружностями. Эта ситуация изображена при = -0.1 на рисунке 4б.

а) б)

Рис. 4

Пр: Это правильный результат. А не обратили ли Вы внимание на то, чем отличается картина движения планеты при >0 и <0?

Ст: Нет, не обратил, но я обязательно проведу соответствующие вычислительные эксперименты при различных знаках поправки .

Ст: Вы знаете, оказывается, что в зависимости от знака поправки , эллипс вращается или «по», или «против» часовой стрелки…

Пр: Скажите, а Вы никогда не слышали о небольших поворотах эллиптической орбиты у реальных планет Солнечной системы при их многократных оборотах вокруг Солнца?

Ст: Я слышал, что такое изменение орбиты наблюдается у самой близкой к Солнцу планеты - у Меркурия, но обычно этот эффект объясняют с помощью общей теории относительности Эйнштейна.

Пр: Да, Вы правы. Но мы сейчас не будем углубляться в эту теорию, а продолжим исследовать движение тел под действием обычных гравитационных сил, полностью оставаясь в рамках классической физики. В частности, попробуйте к следующему занятию исследовать зависимость скорости вращения главной оси эллипса от величины поправки к формуле (7) закона всемирного тяготения.

Проектное задание. С помощью численных методов решения дифференциальных уравнений пронаблюдать характер искажения эллиптической орбиты планеты, движущейся вокруг неподвижного Солнца при условии, что гравитационная сила определяется формулой .

Тест рубежного контроля

Тест содержит 3 задания, на выполнение которых отводится 5 минут. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов.

1. Можно ли по формуле Ньютона найти силу притяжения между двумя астероидами неправильной форму при произвольном расстоянии между ними?

1) Нельзя

2) Можно, считая R -расстоянием между центрами масс

3) Можно, считая R- расстоянием между ближайшими точками астероидов

2. Как может измениться характер траектории движения тела, если бы закон всемирного притяжения имел вид, где - малая поправка?

1) Траектория превратится в эллипсис с измененным эксцентриситетом.

2) Траектория станет незамкнутой.

3) Превратиться в гипотрохоиду.

3. С какой степенью точности показателя 2 в знаменателе выполняется закон Кулона?

1)

2)

3)

Бланк ответов

№	1	2	3
1)
2)
3)

Критерий оценки

Число правильных ответов - 3 2 1 0

Оценка - 5 4 3 2

Модуль 3. Задача трех тел

Комплексная цель: Ознакомить студентов со знаменитой проблемой трех тел и возможностью проявления динамике этих тел элементов детерминированного хаоса.

Краткое изложение программного материала: Обсуждаются дифференциальные уравнения задачи трех тел и их численное решение при различных начальных условиях и различных соотношениях их масс.

Содержание модуля

Пр: До сих пор мы с Вами обсуждали восходящую к Кеплеру задачу двух тел. Не хотите ли Вы рассмотреть более сложные задачи небесной механики, имея в виду возможность их моделирования с помощью проведения соответствующих компьютерных экспериментов?

Ст: Насколько я понимаю, исходя из опыта решения задачи Кеплера, мы можем достаточно легко написать дифференциальные уравнения для движения любого числа тел под действием гравитационных сил и использовать для их решения возможности математического пакета Maple.

Пр: Вы совершенно правы. Наверно, логично начать с исследования проблемы трех тел.

Ст: А разве сразу нельзя рассмотреть задачу с большим числом тел. Ведь, например, в Солнечной системе у нас 8 планет, которые взаимодействуют с Солнцем и друг с другом.

Пр: Думаю, что Вы здесь не правы. Дело в том, что в Солнечной системе взаимное влияние планет друг на друга относительно невелико. И для расчета их траектории обычно используют упрощенные методы, основанные, например, на различных вариантах теории возмущений. С принципиальной же точки зрения более интересной представляется задача о движении тел в случае, когда их взаимное влияние достаточно велико. И здесь разумно начать исследование именно со случая трех взаимодействующих тел.

Ст: А не слишком ли простой будет такая задача? Я легко могу написать соответствующие ей дифференциальные уравнения, являющиеся аналогом уже использованных нами уравнений (6):

(9)

Пр: Да, Вы правильно написали эти уравнения, но вот решить их (в отличие от задачи Кеплера двух тел) аналитическими методами еще никому не удалось, несмотря на то, что над этой так называемой «проблемой трех тел» бились лучшие умы человечества. В их числе были такие гениальные математики как Ж. Лагранж, К. Якоби, А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф и др. Несмотря на все их гигантские усилия, получить аналитическое решение в общем случае не удалось. И более того, мы сейчас понимаем, что и не удастся…

Ст: Как это не удастся? Разве можно говорить о каких-либо пределах человеческого разума? Из того, что это не было сделано до сих пор, не следует, что не удастся через сто или тысячу лет…

Пр: Не торопитесь с выводами. В процессе компьютерных экспериментов Вы сами убедитесь в причинах такого моего утверждения и откроете для себе кое-что совершенно неожиданное.

Ст: Вы меня заинтриговали. Давайте же приступим к делу.

Пр: Замечу, что несмотря на отсутствие аналитического решения задачи трех тел, был подробно исследован ряд различных частных случаев, когда такое решение можно найти (например, случаи, найденные Лагранжем). Думаю, что можно начать исследование с рассмотрения плоского движения, когда три тела с массами m1, m2, m3 движутся в одной плоскости.

Ст: В этом случае мы должны решать систему дифференциальных уравнений второго порядка (9).

Пр: Эти нелинейные дифференциальные уравнения являются достаточно сложными. Можете ли Вы указать какой-либо частный случай, для которого мы можем попытаться найти аналитическое решение. Заметьте, что согласно известному приему эвристики, если исходную задачу не удается решить «с ходу», то наиболее рационально начать с рассмотрения разных ее, наиболее простых для решения, частных случаев.

Ст: Я бы начал с рассмотрения случая, когда все три массы одинаковы: m1=m2=m3=m. Их, видимо, целесообразно в начальный момент времени расположить в углах равностороннего треугольника.

Пр: Продолжайте-продолжайте…

Ст: Давайте придадим им также одинаковые по величине начальные скорости, чтобы образованный этими массами равносторонний треугольник вращался вокруг своего центра как единой целое.

Пр: Хорошо, давайте изобразим эти начальные условия на соответствующем рисунке:

Рис. 5

Ст: Скорости должны быть направлены по касательным к окружности, описанной вокруг нашего треугольника.

Рис. 6

Похоже, что такую задачу можно решить с помощью обычных школьных методов, не прибегая к дифференциальным уравнениям… На тело номер 1, действуют две равные по величине силы, направленные вдоль сторон треугольника. Их равнодействующая направлена к центру треугольника и по величине, очевидно, равна



(10)

Насколько я понимаю, при любой величине сторон треугольника R можно найти такую начальную скорость V0, при которой рассматриваемое нами первое тело (а стало быть, в силу симметрии, и два других тела), движется по окружности.

Пр: И как Вы будете находить эту начальную скорость V0 ?

Ст: Исходя из второго закона Ньютона, для случая движения тела по окружности можно записать

(11)

Здесь - центростремительное ускорение.

Отсюда легко получить:

(12)

Пр: Отлично! Решенная Вами сейчас школьная задача может послужить тестовым примером для проверки правильности той Maple-программы, которую Вы будете писать для решения системы дифференциальных уравнений (9). Давайте также выпишем в явной форме и соответствующие начальные условия.

Ст: Исходя из рисунка 6 для первого тела можно написать:



Аналогично, начальные условия для второго и третьего тела записываются в виде:

(13)

Пр: Постарайтесь дома написать соответствующую Maple-программу для решения дифференциальных уравнений (9) с начальными условиями (13) и убедитесь в том, что с достаточной степенью точности все три тела действительно движутся по окружности радиуса . Обязательно оцените эту точность на нескольких оборотах нашего треугольника.

Пр: Интересно, что же у Вас получилось в результате компьютерного моделирования при рассмотрения нашего частного случая задачи трех тел?

Ст: Я проверил, что все три тела действительно движутся по окружности радиуса a.

Пр: Поскольку тестовая задача у Вас дома получилась, можно попытаться каким-либо образом варьировать начальные условия (не забудьте, что при одних и тех же уравнениях движения можно получить самые разнообразные траектории за счет различного выбора начальных условий). Какие у Вас есть на сей счет предложения?

Ст: Мне хотелось бы сохранить исходную конструкцию трех тел в виде правильного треугольника и несколько изменить (увеличить и уменьшить) начальные скорости (V0), по-прежнему считая их одинаковыми по величине для всех трех тел.

Пр: Как Вам кажется, что будет, если в качестве начальной скорости выбрать величину ?

Ст: Возможно наши тела разлетятся…

Пр: Стало быть Вы считаете, что тела уйдут на бесконечность даже при сколь угодно малом отклонении от V0?! Давайте проверим эту гипотезу непосредственно на компьютере.

Ст: (Изменяет начальные условия и с изумлением смотрит на экран). О, каждое из тел движется по своей траектории, но если мысленно соединить эти тела отрезками прямых по-прежнему образуется правильный треугольник, который вращается вокруг своего центра, изменяя при этом свои размеры… Я ясно вижу, что линейные размеры треугольника осциллируют во времени…

Пр: А как Вы думаете, какова амплитуда этих осцилляций? Точнее, каким будет максимальное и минимальное значения ребра треугольника в процессе его колебаний и вращения? И кстати, совпадает ли период колебаний с периодом вращения?

Ст: Я думаю, что наш треугольник осциллирует вокруг того равновесного состояния, которое он имел в начальный момент времени. А периоды вращения и колебания, судя по изображению на экране компьютера, являются одинаковыми…

Пр: С последним Вашим заключением я могу полностью согласиться, однако, дома Вам необходимо обязательно проверить это утверждение не только качественно, но и количественно. А вот что касается Вашего первого утверждения о том, что размеры треугольника осциллируют вокруг исходной конфигурации тел (т.е. ребро треугольника R становится то больше, то меньше начального своего значения R0), то здесь Вы ошибаетесь.

Ст: (После серии вычислительных экспериментов). Оказывается, ребро треугольника R то удаляется от значения R0, то приближается к нему, но не становится меньше этой величины!

Пр: Это действительно правильно. А не могли бы Вы объяснить такое поведение размера нашего треугольника?

Ст: Я кажется начинаю понимать... Из рисунка 6 видно, что на тело номер 1 действует лишь одна сила (которая является равнодействующей сил F1 и F2). Здесь x - расстояние до центра треугольника, которое я могу выразить через его ребро R:

Подставляя это значение в формулу для силы F, получим:

(14)

Таким образом, мы видим, что тело номер один движется в неподвижном силовом центре, который совпадает с центром треугольника, под действием силы (14). Выражение этой силы отличается от обычной формулы Ньютона (7) лишь дополнительным множителем . Иными словами, мы будем рассматривать движение тела в силовом центре при несколько другой величине гравитационной постоянной .

Отсюда следует, что при достаточной малом отклонении начальной скорости от того значения , при котором тело вращалось по окружности, оно будет двигаться по некоторому эллипсу. Эксцентриситет этого эллипса увеличивается с ростом . Отсюда же ясно, что при достаточно большом значении траектория движения первого тела (а значит, и траектории двух других тел) может стать незамкнутой, т.е. превратится в параболу или гиперболу. С другой стороны, если соответствует эллиптической траектории, то ясно, что минимальное (максимальное) значение ребра треугольника определяется расстоянием от силового центра (совпадающим с одним из фокусов эллипса) до перегелия (афелия). Таким образом, в случае нашу задачу можно решить полностью аналитически… И наверно, то же самое можно сделать и в случае - просто при этом эллиптическая орбита планеты будет по-другому ориентирована в пространстве.

Пр: Мы с Вами пришли к очень существенному выводу: за счет нелинейности рассматриваемой задачи между вращательной и колебательной степенями свободы возникает некоторая связь, которая заведомо отсутствует в известной Вам из курса механики теории малых колебаний.

Ст: Я не очень понимаю, что Вы имеете в виду, и почему этот вывод является столь важным…

Пр: Мы не можем сейчас сколько-нибудь подробно рассматривать эту область теории. Я хочу только сделать несколько кратких замечаний.

В теории малых колебаний рассматривается так называемое гармоническое приближение - потенциальная энергия раскладывается в ряд Тейлора вблизи равновесной конфигурации системы, причем, отбрасываются все члены, степень которых превышает 2. При этом динамические уравнения становятся линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В таком приближении можно ввести понятие о нормальных модах, которые являются независимыми друг от друга.

Ст: Я что-то смутно начинаю припоминать…

Пр: В нашем случае среди нормальных мод есть, по крайней мере, так называемая «дыхательная» мода, описывающая колебательный режим, при котором наш треугольник сохранит свойство равносторонности («дышит», то уменьшаясь, то увеличивается в размерах). Среди других нормальных мод есть такая, которая определяет вращение треугольника вокруг своего центра (вращательная мода), как некоторой жесткой конфигурации. При этом обе вышеупомянутые моды являются независимыми друг от друга. Если же выйти за рамки гармонического приближения и рассмотреть модель, описываемую уравнениями (9), то две эти моды (дыхательная и вращательная) окажутся уже связанными друг с другом. Именно это Вы только что и увидели на экране компьютера. В теории колебаний молекул такая связь является весьма существенной.

Не могу не заметить, что именно исследование модели (9) в свое время привело к возникновению понятия о «бушах (кустах) мод» для динамических систем с дискретной симметрией, которые были введены и исследованы в работах [11, 12, 13]. Но давайте вернемся к нашей задаче трех тел.

Ст: Может быть, теперь рассмотрим случай, когда массы тел различны?

Пр: Хорошая идея. Ее реализация уже не представит принципиальной трудности, поскольку Вы можете просто воспользоваться написанной ранее компьютерной программой.

Ст: Рассмотрим, например, случай когда m1=5m, m2=2.5m, m3=0.5m, выберем некоторые начальные условия, и посмотрим, какой вид имеют траектории движения наших тел…

Пр: Ну-ну, попробуйте…

Ст: (делает несколько экспериментов и удивленно смотрит на экран…) Неужели такое может быть?! Движение наших тел кажется совсем беспорядочным, хаотичным…

Пр: Представьте себе, что да, может быть и такой неожиданный результат! Мы здесь сталкиваемся с явлением, которое называется детерминированным хаосом. Впервые оно было открыто в 1963 году американским метеорологом Эдвардом Лоренцом. В последующем это открытие привело к кардинальному изменению наших представлений о динамических процессах…

Ст: Я не очень понимаю, что означает термин «детерминированный хаос», ведь детерминированное движение и хаотическое движение кажутся совершенно противоположными понятиями. Как они могут сочетаться в одном термине?

Пр: Обязательно поищите ответ на свой вопрос в Интернете и соответствующей литературе (см., например, [14, 15]). Вкратце суть этого явления заключается в следующем. При некоторых параметрах задачи и некоторых начальных условиях (причем, это не экзотика, которая встречается очень редко - ведь Вы обнаружили это явление, выбирая массы планет, их начальные положения и скорости достаточно случайным образом) траектории движения становятся очень чувствительными к малейшим отклонениям в начальных данных и стремятся разбежаться друг от друга. В результате, совершенно незначительные возмущения (даже те, которые возникают в результате численного решения дифференциальных уравнений) на достаточно больших временах могут привести к кардинальному изменению характера движения. Поскольку в природе всегда существуют самые разнообразные маленькие возмущения, то такое явление имеет прямой физический смысл. Термин «детерминированный хаос» подчеркивает тот факт, что динамические уравнения (в нашем случае, это система дифференциальных уравнений (9)) являются вполне детерминированными, но предсказать поведение системы на больших временах даже при сколь угодно малых возмущениях становится принципиально невозможным, и нам кажется, что поведение тел хаотично. В настоящее время теория детерминированного хаоса считается одним из наиболее существенных достижений естествознания XX века. Обязательно найдите соответствующую информацию в Интернете и литературе.



Рис. 7.

Проектное задание. С помощью численных методов решения дифференциальных уравнений пронаблюдать движение трёх одинаковых тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона, которые расположены в вершинах правильного треугольника и имеют одинаковые по величине скорости, направленные вдоль соответсвующих касательных к описанной вокруг этого треугольника окружности.

Тест рубежного контроля

Тест содержит 2 задания, на выполнение которых отводится 5 минут. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов.

1. Можно ли получить для задачи трех тел общее аналитическое решение?

1) Да.

2) Нет, это принципиально невозможно.

3) Да, но это очень сложно.

2. При плоском движении трех тел каждое из них движется:

1) По своей эллиптической орбите

2) Движение тел может носить хаотический характер

3) Тела могут двигаться по одной и той же траектории, представляющую собой спираль Архимеда.

Бланк ответов

№	1	2	3
1)
2)

Критерий оценки

Число правильных ответов - 2 1 0

Оценка - 5 3 2

Модуль 4. Простые хореографии в задаче N тел

Комплексная цель: Ознакомить студентов с необычными траекториями в задаче N тел с одинаковыми массами, которые получили название «простых хореографий».

...