Элементы проблемного обучения при изучении темы "Динамика тел под влиянием сил гравитационного взаимодействия"

Краткое изложение программного материала: Начиная с открытой менее 10 лет назад восьмеркообразной траектории для случая трех тел, студенты знакомятся с различными причудливыми простыми хореографиями для случая многих тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения.

Пр: На предыдущем этапе мы с Вами занимались задачей трех тел и рассмотрели тот частный случай, когда все они имели одинаковые массы и двигались по одной и той же траектории (окружности). При этом в любой момент времени положение этих трех тел образовывали равносторонний треугольник. Это один из немногих частных случаев задачи трех тел, для которых можно получить аналитическое решение. Рассмотренный пример, как и несколько других частных случаев задачи трех тел, были указаны еще в 1772 году Лагранжем. Обязательно познакомитесь с ними по книгам, посвященным небесной механике, или найдите соответствующую информацию в Интернете.

Более того, в конце XIX века Г. Э. Брунсу и А. Пуанкаре удалось доказать, что общее решение задачи трех тел нельзя выразить через алгебраические или однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел.

Ст: Поскольку упомянутые Вами результаты Лагранжа были получены весьма давно, у меня возник вопрос о том, что было сделано в этой области с тех далеких времен…

Пр: Вы можете поискать соответствующую информацию в Интернете, но смею Вас заверить, что принципиально новые результаты в решении задачи трех тел были получены только недавно, а именно, в самом конце 1999 г (как раз к моменту наступления нового тысячелетия!).

Ст: Ваши слова мне представляются очень интересными - неужели для столь старой по своему происхождению задачи небесной механики «принципиально новые», как Вы выразились, результаты были получены столь недавно - менее 10 лет тому назад…

Пр: Как ни странно, но это действительно так. Открытие, о котором я говорю, было сделано А. Шенсине и Р. Монтгомери (их статья [16] называется «Замечательное периодическое решение задачи трех тел в случае равных масс»). В результате весьма сложных математических расчетов, которые далеко выходят за рамки привычного для физиков математического аппарата, авторам вышеуказанной работы удалось доказать существование некоторой неподвижной траектории в форме восьмерки, вдоль которой движутся три тела одинаковой массы. Существование этой необычной траектории (см. рис. 7) было подтверждено прямыми численными экспериментами, в которых самое активное участие принимал известный исследователь в области небесной механики К. Симо.

Ст: Мне кажется, что я бы мог достаточно легко построить такую траекторию с помощью своей Maple-программы…

Пр: Интересно, а как Вы собираетесь это сделать? Какие вы будете задавать начальные условия?

Ст: А разве я не могу попробовать самостоятельно подобрать соответствующие начальные условия таким образом, чтобы получилась изображенная на рисунке 7 орбита…

Пр: Попробуйте, попробуйте! Проблема такого подбора намного сложнее известной задачи поиска иголки в стоге сена. Не забывайте, что Вы должны соответствующим образом подобрать 12 чисел - начальные координаты и скорости всех 3 тел, а это задача поиска в многомерном пространстве…

Ст: Да, я уже начинаю понимать, что «просто так» начальные условия для построения вышеуказанной траектории найти не удастся…

Пр: Зато Вы можете достаточно легко воспроизвести с помощью своей Maple-программы обсуждаемую выше траекторию движения трех тел, если Вам будет известны соответствующие начальные условия. Взять их можно из оригинальной работы [16], перевод которой можно найти в книге К. Симо «Современные проблемы хаоса и нелинейности» [17]). Попробуйте запустить Вашу Maple-программу со следующими начальными условиями:

(16)

Ст: (заносит эти начальные условия в свою компьютерную программу). Да, действительно, все три тела движутся по восьмёркообразной траектории, галантно уступая друг другу дорогу, чтобы избежать возможных столкновений…

Рис. 7

Пр: Вы правильно заметили, проблема исключения столкновений чрезвычайно актуальна, а решение ее отнюдь не тривиально.

Ст: А что произойдет, если мы будем изменять начальные условия в некотором диапазоне около указанных Вами начальных данных (16), которые приводят к идеальной восьмёркообразной траектории?

Пр: Вполне одобряю Ваши намерения, поскольку такое «шевеление» начальных условий напрямую связано с исследованием устойчивости рассматриваемой нами замечательной восьмёркообразной траектории.

Ст: (запускает свою программу с несколько измененными начальными условиями). Видно, что в результате такого компьютерного эксперимента восьмёркообразная траектория утолщается (см. рисунок 8).

Рис. 8

Ст: (продолжает варьировать начальные условия). А вот если изменить начальные данные (16) существенным образом, наша особая траектория исчезает.

Пр: Отлично, а какие бы Вы предложили дальнейшие вычислительные эксперименты?

Ст: Я бы хотел посмотреть насколько устойчивой является восьмёркообразная траектория не только по отношению к изменению начальных условий, но и по отношению к вариации самого закона всемирного тяготения, в том смысле, как это мы делали при рассмотрении задачи двух тел (см. переход от формулы (7) к формуле (8)).

Пр: Я полностью поддерживаю Вашу инициативу и советую дома провести соответствующие вычислительные эксперименты.

Ст: При различных д в формуле (8) мне удалось получить самые различные типы движения трех тел с одинаковыми массами. Один из характерных примеров изображен на рисунке 9 (д>0.06).

Рис. 9

На них хорошо видно хаотическое движение трех тел.

Пр: Очень хорошо. Как видите с детерминированным хаосом можно столкнуться буквально на каждом шагу.

В заключение хотелось бы привести несколько других примеров простых хореографий для движения N тел одинаковой массы при различных значениях N. Эти примеры взяты мной из работы К. Симо [17].

Рис. 10

Ст: А почему Вы пользуетесь термином «хореография»? Насколько он уместен для описания движения небесных тел?

Пр: Жаль, что я не могу показать Вам анимацию, соответствующую этим хореографиям: тогда бы Вы увидели, что движение наших тел очень причудливо. Наблюдателю и впрямь кажется, что они исполняют некоторые небесные танцы.

Учтите только, что в отличие от восьмёркообразной траектории, большинство траекторий, изображенных на рисунке 10 устойчивыми не являются.

Ст: А почему Вы называете эти хореографии простыми?

Пр: Этот общепринятый термин обязан своим происхождением тому, что все N тел движутся по одной и той же траектории.

Ст: А что, могут быть и «сложные» хореографии?

Пр: Да, могут быть… Но нам с Вами пора на чем-то остановиться. Давайте лучше подведем некоторые итоги проведенных нами занятий.

Проектное задание. С помощью численных методов решения дифференциальных уравнений пронаблюдать движение трёх одинаковых тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона, вдоль восьмёркообразной траектории, используя начальные значения координат и скоростей этих тел, указанных в формуле (16). Рассмотреть устойчивость данной траектории относительно малых изменений начальных условий.

Тест рубежного контроля

Тест содержит 2 задания, на выполнение которых отводится 5 минут. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов.

1. Начальные условия для получения простых хореографий легко можно найти:

1) Случайным перебором.

2) С помощью следствий из теоремы Пуанкаре-Дюлака.

3) В оригинальных статьях К. Симо.

2. Простые хореографии отличаются друг от друга:

1) Скоростью тел вдоль траекторий

2) Числом столкновений

3) Количеством тел и формой траектории

Бланк ответов

Критерий оценки

Число правильных ответов - 2 1 0

Оценка - 5 3 2

Выводы

Во второй данного учебного пособия мы рассмотрели применение метода проблемного обучения на примере преподавания темы «Динамика тел под действием гравитационных сил» курса «Компьютерное моделирование в современном естествознании». Изучение этой темы было разделено на четыре модуля:

Пятый модуль является вводным: студент должен понять, что изучение динамики тел сводится к решению соответствующих систем дифференциальных уравнений, научиться проводить компьютерные эксперименты (решая эти уравнения с помощью математического пакета MAPLE), придти к принципиальной идее о том, что законы Кеплера носят приближенный характер (за счет влияния планет друг на друга).

Как известно, исторически закон всемирного тяготения был выведен Ньютоном на основе законов Кеплера, а поскольку последние, как было указано выше, имеют приближенный характер, то возникает естественная проблема: «Можно ли считать сам закон всемирного тяготения абсолютно точным?». Эта проблема обсуждается в шестом модуле. В частности, мы подводим студента к идее того, что небольшое изменение закона всемирного тяготения влечет за собой кардинальные изменения характера орбиты планеты - она становится незамкнутой.

Проведенное студентом самостоятельное исследование для задачи двух тел естественным образом приводит его к возможности исследования такими же численными методами известной «задачи трех тел». Исследование этой задачи мы начали с простого частного решения, указанного еще Лагранжем в XVII веке, - трех одинаковых тел, расположенных в углах равностороннего треугольника и имеющих одинаковые по модулю скорости V0, направленные по касательным к описанной вокруг этого треугольника окружности. Этот случай можно исследовать, основываясь лишь на школьных знаниях. Варьируя вышеупомянутую скорость, студент естественным образом приходит к идее связи между вращательной и колебательной степенями свободы в нелинейных динамических системах. Далее, варьируя некоторым образом массы тел и начальные условия, студент сталкивается с новым для него понятием - детерминированным хаосом, который является одним из ключевых явлений в динамике нелинейных систем. Всем этим вопросам посвящен седьмой модуль.

В восьмом модуле студент знакомится с крупным открытием в области нелинейной динамики, которое было сделано менее 10 лет назад, - с «простыми хореографиями», соответствующим движению одинаковых тел по одной и той же траектории.

Таким образом, с помощью настоящего учебного пособия студент знакомится с теорией движения тел под действием сил гравитации, начиная с выполненных еще в XVII веке работ Кеплера и Ньютона и заканчивая последними достижениями в этой области - простыми хореографиями, открытыми только в 1999г.

Заключение

Проблемное обучение является одним из основных методов педагогики, призванных развивать творческие способности студентов в процессе изучения ими конкретных дисциплин учебного плана. Нам представляется, что наиболее эффективно проблемное обучение можно реализовать в рамках эвристической беседы между преподавателем и студентом [18]. На каждом отдельном этапе преподаватель стремится «погрузить» студента в некоторую проблемную ситуацию, к разрешению которой студент должен придти практически самостоятельно при минимальной помощи со стороны преподавателя. Роль преподавателя при этом сводится к умелой постановке серии наводящих вопросов и требует от него, вообще говоря, достаточной большого искусства.

В настоящем пособии мы попытались представить некоторый возможный вариант эвристической беседы при изучении темы «Динамика тел под действием гравитационного взаимодействия» из курса «Компьютерное моделирование современного естествознания» (2 курс физического факультета Южного Федерального Университета).

В процессе этой беседы и самостоятельного выполнения соответствующих компьютерных экспериментов студент должен более глубоко понять сущность законов Кеплера и закона всемирного тяготения Ньютона, познакомиться со знаменитой проблемой трёх тел, открыть для себя целый ряд новых явлений, таких, например, как детерминированный хаос и существование простых хореографий при движении N тел. Открытия, обсуждаемые в вышеуказанной эвристической беседе, были сделаны разными учеными и в разное время. Обсуждения начинается с открытия в начале XVII века законов Кеплера и заканчивается открытием в 1999 году простых хореографий.

Нам представляется, что в результате приведенной эвристической беседы студент может погрузиться в атмосферу личного творчества и, на примере обсуждаемой темы, представить себе, основываясь на собственном опыте, как творцы науки приходят к новым проблемам, идеям и открытиям.

Литература

1. А. Т. Филиппов «Многоликий солитон» М. «Наука», изд. 2 (1990).

2. N. Zabusky, M. Kruskal. Phys. Rev. Lett. 15, 240 (1965).

3. Р. В. Хемминг «Численные методы» М. Наука (1972).

4. Г. Корн, Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров» М. «Наука» (1978).

5. Н. Н. Калиткин «Численные методы» М. Наука (1978).

6. T. Dauxois, M. Peyrard, S. Ruffo. “The Fermi-Pasta-Ulam numerical experiment: history and pedagogical perspectives”. arXiv: nlin. PS/0501053 (2005)

7. Л.И. Седов «Методы подобия и размерности в механике» М. Наука (1977).

8. В.Говорухин, В.Цибулин. «Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, LaTeX» Питер (2001).

9. В.Дьяконов. «Maple 7. Учебный курс» Питер (2001).

10. В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин “Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям” М.: “Факториал” (1997).

11. В.П. Сахненко, Г.М. Чечин «Симметрийные правила отбора в нелинейной динамике атомных систем» ДАН. 1993. Т.330, N3, 308-310.

12. В. П. Сахненко, Г.М. Чечин «Кусты мод и нормальные колебания для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией» ДАН. 1994. Т.338, N1, 42-45.

13. G. M. Chechin and V.P. Sakhnenko “Interactions between Normal Modes in Nonlinear Dynamical Systems with Discrete Symmetry. Exact Results”, Physica D 117, 43-76 (1998).

14. Г. Шустер Г. «Детерминированный хаос: Введение» М.: Мир (1988)

15. С.П. Кузнецов «Динамический хаос (курс лекций)» М.: Издательство Физико-математической литературы (2001).

16. А. Chenciner and R. Montgomery «A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses», Annals of Mathematics 152, p. 881-901 (2000)

17. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Под редакцией К.Симо. изд-во Ижевск, 2002 - 304 стр.

18. Д. Пойа. Как решать задачу. - М.: Наука, 1961.

Приложение

Таблицы правильных ответов

Бланк ответов на тест №1

Бланк ответов на тест №2

Бланк ответов на тест №3

Бланк ответов на тест №4

Бланк ответов на тест №5

Бланк ответов на тест №6

Бланк ответов на тест №7

Бланк ответов на тест №8

Размещено на Allbest.ru