Изучение четырехугольников на факультативных занятиях по геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Тема: Изучение четырехугольников на факультативных занятиях по геометрии

ВВЕДЕНИЕ

Что бы хорошо владеть знаниями по геометрии в школах лишь одних уроков не хватает, требуется дополнительные курсы. В таких ситуациях польза факультативных курсов по геометрии высока, так как факультативные занятия являются самой массовой формой, доступной для всех школьников. В свою очередь, факультативный курс по сравнению с основным курсом геометрии обладает некоторыми преимуществами: факультативные занятия позволяют учащимся убедиться в устойчивости своих интересов, глубже знать и критически оценивать свои возможности, то есть факультативные курсы расширяют и углубляют знания и умения, приобретаемые школьниками при изучении основного курса. Помимо того, они позволяют формировать и развивать у учащихся разносторонние интересы, культуру мышления, умение самостоятельно восполнять знания, приобщают школьников к самостоятельной исследовательской работе, дают возможность познакомиться с некоторыми современными достижениями науки.

В рамках гуманизации образования, факультативные занятия способствуют раскрытию внутреннего потенциала учащихся, созданию условий для их самореализации и развития. Факультативные курсы позволяют наиболее успешно применять индивидуальный подход к каждому школьнику с учётом его способностей, более полно удовлетворять познавательные и жизненные интересы учащихся. При этом форма организации занятий более свободна и предполагает в большей степени творческую активность учащихся. К тому же программы факультативных курсов не являются жёсткими и допускают коррекцию.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360є:

?A+?B+?C+?D=360є.

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

?A < ?B+?C+?D, ?B < ?A+?C+?D,

?C < ?A+?B+?D, ?D < ?A+?B+?D.

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

a < b+c+d, b < a+c+c,

c < a+b+d, d < a+b+c.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

В современной школе в связи с появлением новых учебников, новых подходов к изложению материала, возрастает интерес как к математическому образованию в целом, так и к вопросам преподавания математики, в частности геометрии. Изучение четырехугольников в курсе геометрии основной школы является разделом традиционным и достаточно важным во всех периодах школьного образования. В курсе геометрии 7-9-х классов данная тема является весьма актуальной, так как на рассмотренном материале, как на фундаменте, строят и изучают другие разделы геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется на этой теме.

Между тем при изучении темы «Четырехугольники» возникают определенные трудности: при решении задач на построение; при применении определений, свойств и признаков четырехугольников к решению практических задач, к доказательству теорем и т. п. Соответственно возникает необходимость в поиске наиболее эффективных форм и методов работы с теоретическим и задачным материалом по данной теме.

Тема выпускной квалификационной работы была выбрана исходя из того, что факультативные курсы имеют огромное значение для усвоения школьниками учебного материала и овладения дополнительными знаниями по геометрии с использованием доступных и интересных методов.

В работе рассмотрены основные цели и задачи, внеклассных мероприятий, методика их проведения, требования к ним, а также современные методы и средства в проведении факультативных занятий.

Предмет исследования - факультативные курсы по геометрии, содержание, методы, формы, средства изучения для учащихся 8 классов средней школы.

Цель выпускной квалификационной работы - изучение свойств четырехугольников и адаптация их к школьному курсу геометрии.

Для достижения цели исследования были определены следующие задачи:

Подбор и изучение литературы по теме выпускной квалификационной работы.

Подбор и решение задач по теме «Четырехугольники».

Анализ изложения темы «Четырехугольники» в различных школьных учебниках.

Разработка занятий факультатива по теме исследования.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников и приложений.

В первой главе «Теоретический аспект понятия «Четырехугольники» в школьном курсе геометрии» дана историческая справка о четырехугольниках, а также проанализированы методические основы изучения темы «Четырехугольники» в курсе геометрии.

Во второй главе «Разработка факультативных занятий по теме «Четырехугольники»» рассмотрено общее понятие факультативного курса, проведен анализ учебников по теме «Четырехугольники» в школьном курсе математики основной школы, а также предложены разработки уроков и факультативных занятий по теме исследования.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ПОНЯТИЯ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ» В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

1.1 Историческая справка о четырехугольниках

В древних египетских и вавилонских документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. В частности, в клинописных математических табличках встречаются прямоугольные треугольники, рассеченные параллелями к одному из катетов на прямоугольной трапеции.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, который был введен Евклидом. Он называл параллелограмм “параллельно-линейной площадью”. Слово parallhlogrammou составлено из parallhloz и grammh-- “линия” это слово дало основу для термина “параллелограмм” [44].

Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная версия параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь с 17 века. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида (и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых) [44].

Первые геометры, в том числе и Евклид, мыслили прямоугольник, вписанный в круг.

Ромб -- это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Образ ромба был связан первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Есть и другое значение. Термин «ромб» образован от греч. спмвпт -- «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Кстати, название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми [44].

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Термин «квадрат» происходит от латинского quadratum (quadrare- сделать четырехугольным), перевод с греческого - четырехугольник [44].

Трапеция - это четырёхугольник, где две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Трапеция - слово греческое, означавшее в древности «столик». В «Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (1 век). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в 18 веке это слово приобретает современный смысл [44].

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

противолежащие стороны равны;

противоположные углы равны;

диагонали точкой пересечения делятся пополам;

сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d12+d22=2(a2+b2).

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

Две его противоположные стороны равны и параллельны.

Противоположные стороны попарно равны.

Противоположные углы попарно равны.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны -- боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

все свойства параллелограмма;

диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.

Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

все свойства параллелограмма;

диагонали перпендикулярны;

диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом, если:

Две его смежные стороны равны.

Его диагонали перпендикулярны.

Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

все углы квадрата прямые;

диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы

Произвольный выпуклый четырехугольник

d1, d2 -- диагонали; -- угол между ними; S -- площадь.

S =d1d2 sin

Параллелограмм

a и b -- смежные стороны; -- угол между ними; ha -- высота, проведенная к стороне a.

S = aha

S = ab sin

S =d1d2 sin

Трапеция

a и b -- основания; h -- расстояние между ними; l -- средняя линия.

S = lh

Прямоугольник

S = ab

S =d1d2 sin

Ромб

S = aha

S = a2sin

S =d1d2

Квадрат

d -- диагональ.

S = a2

S =d2

Рассмотрим свойства четырехугольников, на примере ЕГЭ.

Параллелограмм -- это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.

Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Рассмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть ВМ и СК -- биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне ВС. Сумма углов ЛВС и BCD равна 180°. Углы ОВС и ОСВ -- половинки углов ЛВС и BCD. Значит, сумма углов ЛВС и BCD равна 90 градусов. Из треугольника ВОС находим, что угол ВОС -- прямой.

Ответ: 90.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, -- перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма -- параллельны.

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы DAE и ВЕЛ, а также CED и .4DE -- накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол ИЛЕ равен углу ВЕЛ, а угол CED -- углу .4DE.

Получаем, что треугольники .ABE и CDE -- равнобедренные, то есть BE = ЛВ, а ЕС = CD. тогда ВС = 5 + 5 = 10.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Запишем формулы площади параллелограмма:

S = a * h, где а -- основание параллелограмма, h -- его высота.

S = a * b * sin if, где a и b -- стороны параллелограмма, ^ -- угол между ними.

И еще одна формула. Также, как и свойства биссектрис углов параллелограмма, эта формула пригодится тем, кто нацелен на решение задачи С4.

S = dl * d2 * sin а, где d 1 и d2 -- диагонали параллелограмма, а -- угол между ними.

Прямоугольник и его свойства

Прямоугольник -- это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны.

1. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2, меньшая его сторона равна

6. Найдите диагональ данного прямоугольника.

Всё просто. Рассмотрите прямоугольный треугольник ABD. Найдите, чему равен угол DBA и его синус, а затем найдите DB.

Ответ: 12.

А сейчас рассмотрим еще одну задачу, в которой применяются свойства диагоналей прямоугольника.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Казалось бы, при чем здесь прямоугольник? Дан прямоугольный треугольник, из вершины прямого угла проведены высота и медиана. А что можно сказать о длине этой медианы?

Давайте достроим чертеж до прямоугольника. Поскольку диагонали прямоугольника равны (это свойство прямоугольника) и делятся пополам в точке пересечения, отрезки СМ, ВМ и AM тоже будут равны. Каждый из них равен половине диагонали прямоугольника.

Мы доказали теорему:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Итак, ВМ = СМ, значит, треугольник ВМС равнобедренный, и угол В СМ равен 24°

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла,

/АСЕ = /.ABC = 24°

Тогда угол МСН (между медианой и высотой треугольника ABC) равен

90* - 24° - 24° = 42°

Ответ: 42.

Как вы думаете, где находится центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника? Ведь центр описанной окружности -- точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Очевидно, эта точка -- середина гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы.

1. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

Проведем диагональ АС.

Получим, что АС равна

Ответ: 10.

Ромб и его свойства

По определению, ромб -- это параллелограмм, все стороны которого равны.

Свойства ромба:

Диагонали ромба перпендикулярны.

Диагонали ромба делят его углы пополам.

Воспользуемся свойствами ромба для решения задач.

1. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60°.

Проведите меньшую диагональ ромба и рассмотрите треугольник.ADB. Поскольку AD = DB, а угол DAB равен 60°, треугольник .4DB -- равносторонний.

Следовательно, меньшая диагональ ромба равна 2.

1. Найдите высоту ромба, сторона которого равна 3, а острый угол равен 60?

Один из подходов к решению задач по геометрии -- метод площадей. Он состоит в том, что площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из полученного уравнения находится неизвестная величина.

2. Диагонали ромба относятся как 3 : 4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Пусть диагонали ромба равны 6х и 8х.

Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник АОВ -- прямоугольный.

По теореме Пифагора Л В2 = АО2 + ОВ2

Нам надо найти высоту ромба.

Давайте запишем, чему равна площадь ромба. С одной стороны, S = а * h. С другой стороны, площадь ромба складывается из площадей двух равных треугольников ЛВС и ADC, то есть равна 60 * 40 = 2400. отсюда h = S :а = 2400 : 50 = 48.

Ответ: 48.

Квадрат -- определение и свойства

Квадрат -- это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Можно дать и другое определение квадрата:

квадрат -- это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

Все углы квадрата -- прямые, все стороны квадрата -- равны.

Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Ответ: 2.

3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Ответ: 4.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат , считая стороны квадратных клеток равными .

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Ответ: 2.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник . В ответе укажите .

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник -- квадрат. Все его стороны равны, все углы -- прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, . Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .

Ответ: 5.

Трапеция и ее свойства

Трапеция -- четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие -- нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две -- боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. Мы разобрали и стандартные задачи (номер 1 и 2), и более интересные.

1. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны .

Высота трапеции -- это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины В.

Ответ: 2.

2. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150. Найдите площадь трапеции.

3. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое -- два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника -- это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника ABC находим x = 5.

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

4. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

5. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть .

Периметр трапеции равен .

На сколько периметр трапеции больше периметра треугольника? Чему равен периметр трапеции?

Ответ: 23.

1.2 Методические основы изучения темы «Четырехугольники» в курсе геометрии

Изучение четырехугольников в курсе геометрии основной школы является разделом традиционным и достаточно важным во всех периодах школьного образования. В курсе геометрии 7-9-х классов данная тема является весьма актуальной, так как на рассмотренном материале, как на фундаменте, строят и изучают другие разделы геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется на этой теме.

Естественно, что учитель при подготовке к преподаванию этой темы должен четко себе представлять обобщенные цели и учебные задачи, которые ставятся при обучении теме «Четырехугольники», иметь перед собой карту изучения темы.

Рассмотрим задачи, изучаемые в школьном курсе геометрии по теме «Четырехугольники»

Задача 1: Доказать, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Решение: Если четырёхугольник ABCD выпуклый, то согласно теореме о свойстве диагоналей выпуклого четырёхугольника его диагонали АС и BD пересекаются и, следовательно, отрезок АС пересекается с прямой BD. Это и означает, что противоположные вершины А и С лежат по разные стороны от прямой BD.

Пусть четырёхугольник ABCD невыпуклый и прямая АВ пересекает сторону CD в точке М. Возможны два случая:

Точка В лежит на отрезке AM. В этом случае точки А и М лежат по разные стороны от прямой BD.Отрезок MC не пересекается с прямой BD, поэтому точка С лежит по ту же сторону от прямой BD, что и точка М. Итак, вершина А лежит по одну сторону от прямой BD,а противоположная вершина С, по другую сторону от этой прямой.

Точка А лежит на отрезке BM. В этом случае, так же как и в случае 1),можно доказать, что противоположные вершины B и D лежат по разные стороны от прямой AC.

Задача 2: Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояние от точек A, B, и P до прямой CD равны a, b, и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна

Решение: Пусть площади треугольников ABP, BPC, CPD и DPA и .

Тогда и ,а

значит,.Учитывая, что , получаем требуемое.

Задача 3: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R; -угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырёхугольника ABCD равна 2R

Решение: Применяя теорему синусов к треугольникам ABC и ABD, получаем AC=2RsinB и BD=2RsinA. Поэтому .

Задача 4: Докажите, что ломанная АОС делит ABCD на две фигуры равной площади.

Решение: Пусть AOB=a и COD=b. Тогда . А так как и, где R-радиус описанной окружности, то . Аналогично .

Задача 5: Известен радиус описанной окружности R.

1) Найдите АР +ВР +СР +DP .

2) Найдите сумму квадратов сторон четырёхугольника ABCD.

Решение: Пусть AOB=2a и COD=2b. Тогда a+b=ADP=PAD=90.Поэтому . Аналогично,.

Задача 6: Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка ОР и радиус окружности R.

Решение: Пусть М-середина АС, N-середина BD. AM =АО-ОМ, BN =ВО -ON, поэтому,так как .

Задача 7: Из вершин А и В опущены перпендикуляры на CD, пересекающие прямые BD и АС в точках К и L соответственно. Докажите, что AKLB-ромб.

Решение: Острые углы BLP и ВDC имеют соответственно перпендикулярные стороны, поэтому они равны. Следовательно, BLP= BDC =ВАР. Кроме того, AKBL и ALBK. Поэтому AKLB-ромб.

Задача 8: Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна (AB*CD+BC*AD)/2.

Решение: Возьмём на описанной окружности точку так, что . Так как , то BD-диаметр, а значит,DAB=DCB=90. Поэтому .

Задача 9: Докажите, что расстояние от точки О до стороны АВ равно половине длины стороны CD.

Решение: Проведём диаметр АЕ.и, поэтому . Углы, опирающиеся на хорды ЕВ и CD, равны, поэтому EB=CD. Так как ЕАВ=90, расстояние от точки О до АВ равно ЕВ/2.

Задача 10: В четырехугольнике ABCD углы А и В равны, а DC. Докажите, что тогда ADBC.

Решение: Пусть А=В. Достаточно доказать, что если ADBC, то DC. Возьмем на стороне BC точку так, что BD=AD. Тогда -равнобедренная трапеция. Поэтому D=C.

Задача 11: В трапеции ABCD при основании AD удовлетворяют неравенствам AD90. Докажите, что ACBD.

Решение: Пусть В' и C'-проекции точек В и С на основание AD. Так как BABCDC и BB=CC, то ABDC и поэтому BDAC.Следовательно, BD=BD+BBAC+CC=AC.

Задача 12: Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.

Решение: Пусть углы B и D четырехугольника ABCD тупые. Тогда точки В и D лежат внутри окружности с диаметром AC. Так как расстояние между любыми двумя точками, лежащими внутри окружности, меньше ее диаметра, то BDAC.

Задача 13: Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трёх вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвёртой вершины.

Решение: В равнобедренной трапеции ABCD диагонали AC и BD равны. Поэтому BM+(AM+CM).

Задача 14: Угол А четырёхугольника ABCD тупой; F-середина стороны ВС. Докажите, что 2FA<BD+CD.

Решение: Пусть О-середина отрезка BD. Точка А лежит внутри окружности с диаметром BD, поэтому OA<BD/2. Кроме того, FO=CD/2. Следовательно,CD+BD.

Задача 15: Пусть М и N-середины сторон ВС и CD выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что

Решение: Ясно, что . Если отрезок AM пересекает диагональ BD в точке А, то S. Значит,

Задача 16: Точка Р лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что сумма расстояний от точки Р до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Решение: Диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Пусть для определённости точка Р лежит внутри треугольника AOB. Тогда AC+BD и CP+DPCB+BA+AD.

Задача 17: Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырёхугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.

Решение: Пусть AC<=BD. Опустим из вершин А и С перпендикуляры АА и СС на диагональ BD. Тогда АА +СС <=AC<=BD, а значит, АА <=BD/2 или СС <=BD/2

Задача 18: В трапеции ABCD (ADBC, ADBC) на диагонали AC взята точка E такая, что BECD. Доказать, что .

Решение:

I способ. По условию BCDE-трапеция, поэтому (рис.1).

Аналогично, в трапеции ABCD имеем . Следовательно, .

II способ.

Продолжим прямую BE до пересечения с AD в точке F (рис. 2 ).

Тогда площадь каждого из треугольников ABC и DEC равна половине площади параллелограмма BCDF ( общая сторона и высота). Следовательно, .

Задача 19: Докажите, что если центр вписанной в четырёхугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырёхугольник-ромб.

Решение: Пусть О-центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. ТогдаACB=ACD и BAC=CAD. Поэтому треугольники ABC и ADC равны, так как сторона АС у них общая. Следовательно, AB=DA. Аналогично AB=BC=CD=DA.

Задача 20: Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Докажите, что АОВ+ СOD=180.

Решение: Ясно, что AOB=180-BAO-ABO=180(A+B)/2 и COD=180-(C+D)/2. Следовательно, AOB+COD=360-(A+B+C+D)/2=180.

Задача 21: Докажите, что если существует окружность, касающаяся продолжений всех сторон выпуклого четырёхугольника АВСВ, и окружность касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны.

Решение: Рассмотрим две окружности, касающиеся сторон данного четырёхугольника и их продолжений. Прямые, содержащие стороны четырёхугольника, являются общими внутренними и внешними касательным» к этим окружностям. Прямая, соединяющая центры окружностей, содержит диагональ четырёхугольника, и, кроме того, она является осью симметрии четырёхугольника. Значит, вторая диагональ перпендикулярна этой прямой.

Задача 22: В трапеции ABCD (ADBC), Найти площадь трапеции ABCD.

Решение: Пусть h - высота трапеции. Заметим, что так как основание BC и высота h у них общее, тогда

Задача 23: Диагонали параллелограмма равны 16 м и 12 м, а угол между ними равен 30. Найдите площадь параллелограмма.

Для произвольного четырехугольника верна формула -длина диагоналей, - угол между ними.

Тогда

Задача 24: В параллелограмме ACBM AC=16 м, CB=24 м, CE и CF - соответственно высоты, проведенные к сторонам AM и BM, ECF=60. Найти длину высоты CE.

Решение: По условию в параллелограмме ACBM CEAM и ECF=60, тогда ACE=30. Значит,

Из AEC, где AC=16 м, AE=8 м,

Задача 25: Основание трапеции a и b. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Решение: Так как по условию задачи точка M - середина диагонали AC и точка N - середина BD, то точки M и N лежат на средней линии трапеции EF. Так как EN - средняя линия ABD, то Аналогично, Значит,

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ТЕМЕ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ»

2.1 Общее понятие о факультативном курсе

Факультативный курс - это необязательный учебный курс, предмет, изучаемый по желанию студентами вузов, учащимися средних специальных и профессионально-технических учебных заведений и общеобразовательных школ (старшие классы). Термин «факультативный» (от франц. facultatif и лат. facultas- возможность) означает возможный, необязательный, предоставляемый на выбор (напр., факультативный курс), действующий от случая к случаю. Согласно Педагогической энциклопедии, в современной школе факультативные курсы (темы) являются дополнением к основному объёму общеобразовательных знаний, который определяется учебным планом и программами, а факультативные занятия - это необязательные занятия, организуемые для углубления и расширения знаний по отдельным курсам, темам или вопросам в соответствии с желаниями и интересами учащихся.

Слово «факультативный» означает «необязательный». Название подчёркивает отличительную особенность этого вида учебной деятельности. Она связана с добровольным выбором учениками для углубленного изучения тех предметов, которые их более всего интересуют. Это сближает факультативные занятия с внеклассными формами познавательной деятельности, например, с предметными кружками.

Факультативные курсы -- это также форма углубленного изучения одного из предметов по выбору учащихся, средство развития познавательных интересов школьников, их способностей, а также профессиональной ориентации учащихся.

В отличие от внеклассных занятий, факультативы проводятся по области программы, по расписанию, в рамках отведенного времени, с постоянным составом учащихся.

Как и уроки, факультативные занятия проводятся по утверждённым программам, на этих занятиях применяют общие с уроком методы обучения и формы организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся. Сходство с предметными кружками состоит в том, что факультатив, как и кружок, объединяет группу учащихся на основе общих интересов, добровольности выбора этой формы обучения. На факультативных занятиях применяются некоторые формы и методы, характерные для внеклассных занятий. Тем не менее учитель должен помнить, что факультативы не заменяют внеклассную работу по предмету. Являясь самостоятельной частью учебно-воспитательной работы в школе, факультативы могут дополняться внеклассными (кружковыми) занятиями, на которых учащиеся в ещё большей степени углубляют и расширяют свои знания и умения.

М.А. Прокофьев предлагает следующую классификацию факультативных курсов:

1. Курсы, углубляющие основной материал школы (т.е. систематические курсы);

2. Внепрограммные факультативные курсы (т.е. спецкурсы);

3. Факультативные курсы, ориентированные на применение знаний на практике (т.е. прикладные);

4. Межпредметные факультативные курсы;

5. Особая группа - кружки, секции, творческие объединения в домах пионеров.

Типы факультативных курсов:

1. Дополнительные главы и вопросы к основному курсу

2. Специальные курсы (спецкурсы)

3. Систематические курсы

4. Прикладные факультативные курсы

5. Факультативы повышенного уровня

6. Факультативные спецкурсы

6. Курсы, углубляющие основной материал школы (т.е. систематические курсы)

7. Внепрограммные факультативные курсы (т.е. спецкурсы);

8. Факультативные курсы, ориентированные на применение знаний на практике.

9. Межпредметные факультативные курсы

10. Кружки, секции, творческие объединения в домах пионеров

Перечень факультативных курсов в школе на каждый год утверждается педагогическим советом и объявляется учащимся.

Каждая из форм обучения - уроки и факультативные занятия - обладает собственной ценностью, имеет свои специфические задачи. Именно эти задачи должны определять “обратные” требования к каждому предыдущему звену цепи “уроки - внеклассная работа - факультативные занятия”, например, с учетом пропедевтики, с учетом выполнения задач последующего звена (последующих звеньев - для уроков геометрии).

Существенную роль на факультативных занятиях играет самостоятельная работа учащихся. Для формирования устойчивого интереса учащихся к изучению геометрии учителя считают важным обеспечить взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий. Один из эффективных приемов в этом плане и одна из целей факультативных курсов - непосредственное знакомство учащихся с новыми идеями и методами в действии, с их применением к задачам, которые “программными” методами решаются гораздо сложнее.

Требования преемственности методов и средств обучения позволяют говорить о необходимости активной самостоятельной работы учащихся вообще на всех занятиях по геометрии. Главное - учителю следует стремиться, чтобы работа учащихся не ограничивалась лишь решением типовых задач и выполнением обычных упражнений, так как основная цель этих занятий заключается в развитии творческой инициативы школьников, их познавательных способностей, геометрического мышления.

Еще одна важная рекомендация: процесс обучения должен строиться как совместная исследовательская деятельность учащихся: геометрическая истина (определенное правило, теорема, свойство) не сообщается ученикам в «готовом» виде, а открывается ими самими. Процесс этот начинается с наблюдений, предположений, суждений (о возможном способе решения, о возможном содержании теоремы, правила), после чего следует проверка, поиски дедуктивного обоснования выводов, обобщение, анализ прикладных возможностей. Исследовательская или проблемная структура изучения геометрии удачно сочетается с развивающими целями обучения в ходе именно факультативных занятий. Не случайно эта структура органически сочетается с одновременным выполнением ряда “развивающих” требований - требований использования историко-математического материала, использования материала “занимательной” геометрии и других им подобных областей.

Интерес учащихся к изучению геометрии, базируясь на занимательности (в узком смысле слова), должен поддерживаться и другими средствами: привлечением историко-математического материала (с целью знакомства с прошлым и настоящим науки, а также ее перспективами), решением жизненных задач, связью с потребностями, выдвигаемыми практической деятельностью человека.

Итак, из всего сказанного можно выделить методические рекомендации по организации геометрических факультативов:

1. Обеспечивать взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий;

2. Соблюдать принцип единства в содержании факультативных занятий и различных разделов геометрии;

3. Активизировать самостоятельную работу учащихся;

4. Строить учебный процесс как совместную исследовательскую деятельность учащихся;

5. Использовать на факультативных занятиях системы ключевых задач по темам;

6. Использовать на факультативных занятиях историко-математический материал;

7. Соблюдать принципы занимательности занятий;

8. Организовывать проблемное изучение материала.

В различных учебниках изложение материала рассмотрено по-разному, по этому учителю нужно сочетать свою работу с материалом изложения на страницах других учебников.

2.2 Анализ учебников по теме «Четырехугольники» в школьном курсе математики основной школы

Понятие четырехугольник вводится в зависимости от того, как и когда введено понятие многоугольника:

в учебнике Л.С. Атанасяна четырехугольник вводится как частный вид многоугольника;

в учебнике А.В. Погорелова понятие многоугольника вводится значительно позже, поэтому дается определение, аналогичное определению треугольника: «Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться».

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

В теме «Четырехугольники» рассматриваются выпуклые и невыпуклые четырехугольники. Для более наглядного представления полезно составить следующую схему:

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Основанием для классификации выпуклых четырехугольников является наличие параллельных сторон: в случае одной пары параллельных сторон из класса четырехугольников выделяется множество трапеций, в случае двух пар параллельных сторон - множество параллелограммов.

Структурно - логическая схема основных классов геометрических фигур, составляющих её, имеет вид:

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

При классификации всех четырехугольников за основание классификации принимается сначала взаимное расположение противоположных сторон - не параллельность или параллельность их, вследствие чего множество всех выпуклых четырехугольников разбивается на три класса:

четырехугольники, не имеющие параллельных сторон;

трапеции (одна пара параллельных сторон);

параллелограммы (две пары параллельных сторон).

За основание классификации параллелограммов принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно параллелограммы и ромбы), а также отсутствие или наличие прямого угла (собственно параллелограммы и прямоугольники).

В основу классификации ромбов кладется отсутствие или наличие прямого угла (собственно ромбы и квадраты).

При классификации прямоугольников за основание принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно прямоугольники и квадраты).

Классификация трапеции проводится сначала по длине боковых сторон (равнобокая и неравнобокая трапеции); затем неравнобокие трапеции в свою очередь разбиваются на прямоугольные и непрямоугольные.

Описанный процесс составления классификации четырехугольников, в частности выпуклых четырехугольников, в основу которого положена последовательная целенаправленная деформация каждой вновь полученной фигуры (получить сначала параллельные, а потом и равные стороны, затем прямые углы), позволяет отчетливо выяснить генетический характер образования каждого частного вида выпуклых четырехугольников. Из четырехугольника с непараллельными сторонами получаются трапеции и параллелограммы, из параллелограммов - прямоугольники и ромбы, из ромбов и прямоугольников - квадраты.

Выяснение этого генезиса - происхождения одной фигуры из другой - помогает более отчетливому восприятию самих геометрических образов, выяснению связей между ними, а в силу этого позволяет распространять свойство одной более общей фигуры, например параллелограмма, на частные виды ее, на прямоугольник, ромб и квадрат. Представим это на схеме. Такую схему полезно использовать при обучении школьников (приложение А).

Во всех действующих в настоящее время пособиях [2, 3, 21, 23] осуществляется одинаковый подход во введении частных параллелограммов: прямоугольников, ромбов и квадратов. Частные виды четырехугольников рассматриваются в соответствии с условной единой методической схемой:

дается определение (через ранее изученный вид четырехугольников);

указываются элементы;

формулируются и доказываются свойства и признаки;

рассматривается задача на построение этого четырехугольника.

Квадрат в одних учебниках вводится как четырехугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом. В других - квадрат определяется как частный вид прямоугольника. В большинстве учебников трапеция рассматривается после параллелограмма и его частных видов. Тема имеет большие возможности для развития логического мышления.

легко выявляется логическая структура темы. Полезно использовать структурно-логические схемы;

используются формально-логические определения (через ближайший род и видовое отличие).

Определить понятие, значит перечислить его существенные свойства, а это зачастую бывает нелегко. Однако, задача упрощается, если использовать ранее изученные понятия. Сказанное обусловило способ определения понятия, называемый «через ближайший род и видовое отличие». Конструирование определения этим способом заключается в следующем:

Указывается род, в который входит определяемое понятие как вид.

Указываются видовые отличия и связь между ними.

Пример: трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Род - четырехугольник. Видовое отличие, - у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Изучение свойств четырехугольников обычно не вызывают затруднений. При установлении различных свойств и признаков параллелограмма широко используются свойства и признаки равных треугольников, свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третей, признаки параллельности. Материал о параллелограммах и их частных видах очень удобен для формирования и развития логического мышления учащихся. Именно здесь учитель имеет широкие возможности по работе с определениями: например, предложить ученику дать определение прямоугольника через понятие четырехугольника, параллелограмма и т.д. учащимся по силам самим установить, а затем и доказать различные свойства и признаки параллелограмма и трапеции.

Например:

Свойства	Признак
Теорема: В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Дано: - параллелограмм Доказать:	Теорема: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм. Дано: - четырехугольник Доказать: - параллелограмм

При доказательстве теорем ученики, как показывает опыт, часто путают, признаки, свойства определения, не верно строят логические цепочки, умозаключения. Поэтому при работе с понятиями необходимо уже на этой теме формировать дедуктивное мышление, учить построению схем, таблиц, выявлять зависимости; делать правильные классификации, например, используя круги Эйлера.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

В курсе планиметрии основным способом помогающим организовать материал, усвоить всю совокупность свойств фигуры, является создание некоторого образа, связываемого с понятием. В самом деле, что мы представляем себе, когда произносим или читаем слово «параллелограмм». Обычный параллелограмм, с диагоналями, которые в точке пересечения делятся пополам. Создание такого образа помогает многократное выполнение одного и того же чертежа, на котором все свойства видны. Этому способствуют и такие методические приемы, как обзор всех свойств, приводимых учителем, или опрос не по отдельным свойствам или теоремам, а по всей совокупности свойств фигуры: «Что вы знаете о трапеции?», «Перечислите все свойства прямоугольника» и т.д.

К 12-13 годам, когда ученик приступает к изучению геометрии, непосредственный интерес к ее освоению уже практически утрачен, еще по-настоящему не проявившись. Ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозданием (по отношению к психологически благоприятному периоду), как геометрию. Наглядно-образное мышление и воображение наиболее полно развиваются на стыке старшего дошкольного и младшего школьного возраста.

Наглядная геометрия предполагает изучение свойств геометрических форм только на отдельных геометрических предметах путем непосредственного их восприятия и представления. При этом учитель не прибегает к общим отвлеченным понятиям этих форм. Для обоснования справедливости находимых свойств может широко использоваться индуктивный метод.

Впервые, в школьном курсе математики, с четырехугольниками школьники встречаются в начальной школе. Если обучение идет по учебникам Л.Г. Петерсона, то это второй класс. Если по учебникам М.И. Моро, то это третий класс. Изучение четырехугольников, а именно прямоугольника и квадрата, идет поверхностно. В основном изучается периметр и площадь, так как при решении задач на нахождение площади и периметра отрабатывается умение применять операции сложения, вычитания, умножения и деления. А это одно из основных умений, которые должны выработаться в начальной школе.

В 5 и 6 классах школьники также встречаются с четырехугольниками. Как и в начальной школе, изучение идет поверхностно. К прямоугольнику и квадрату добавляются параллелограмм и трапеция.

Более подробно тема «Четырехугольники» изучается в курсе геометрии в восьмом классе. Рассмотрим, как предлагается изучение данной темы разными авторскими коллективами в учебниках геометрии, рекомендованных Министерством образования РФ.

1 «Геометрия, 7-9 класс», автор Л.С. Атанасян

Тема «четырехугольники» изучается в начале восьмого класса. На её изучение отводится целая глава. Первый параграф данной главы посвящен многоугольникам. Дается определение многоугольника (п. 39), а также что называют вершинами и сторонами многоугольника. Говорится, что называется n-угольником. Приводятся примеры фигур, которые являются многоугольниками и тех, которые не являются многоугольниками. Дается определение соседних вершин и диагоналей многоугольника. В конце данного пункта говорит о том, что любой многоугольник разделяет плоскость на две части (внутренняя и внешняя область многоугольника).

В следующем пункте первого параграфа (п. 40) автор рассказывает о выпуклых многоугольниках. Приводит пример выпуклого и невыпуклого многоугольника. Рассматривая выпуклый n-угольником A1A2A3…An-1AnA1 автор говорит, что углы AnA1A2, A1A2A3, …, An-1AnA1 называются углами этого многоугольника и показывает чему равняется сумма углов выпуклого n-угольника.

Последний пункт данного параграфа (п. 41) посвящен четырехугольнику. Автор не дает определения четырехугольника, он просто говорит, что четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Дает определение противоположных сторон и вершин. Приводит пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника. На основании суммы углов выпуклого n-угольника делается вывод, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360є.

Второй параграф посвящен параллелограмму и трапеции. При изучении параллелограмма (п. 42) дается его определение, и доказываются его свойства. Л.С. Атанасян предлагает другой способ доказательства свойств параллелограмма по сравнению с учебником [2]. Данные доказательства являются меньшими по объему и легче усваиваются учениками.

В следующем пункте параграфа (п. 43) рассказывается о признаках параллелограмма. В отличие от А.В. Погорелова Л.С. Атанасян рассматривает три признака параллелограмма. Это позволяет быстрее решать задачи на доказательство.

Последний пункт параграфа (п. 44) отводится трапеции. В этом пункте дается определение трапеции и рассматриваются виды трапеции. В этом учебнике также предлагается для изучения теорема Фалеса, но в явном виде она не выделена отдельным пунктом (по сравнению с учебником [2]).

Третий параграф посвящен прямоугольнику, ромбу и квадрату. Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма (аналогично с учебником [2]). Так как прямоугольник и ромб являются параллелограммом, то они обладают всеми свойствами параллелограмма (этот факт не оговаривается в учебнике [2]). Также в учебнике рассматривается особые свойства прямоугольника и ромба. Определение и свойство квадрата рассматриваются подобно, что и в учебнике [2], добавляются особые свойства квадрата.

В конце параграфа отдельным пунктом (п. 47) выделена осевая и центральная симметрия. В конце главы предлагаются задачи на отработку ЗУН.

Изучение четырехугольников в учебнике Л.С. Атанасяна идет по следующей схеме:

2 «Геометрия, 7-9 класс», авторы И.М. Смирнова, В.А. Смирнов

Тема «Четырехугольники» изучается в восьмом классе в главе «Параллельность».

В первом параграфе рассматриваются параллельные прямые. Дается определение параллельных прямых, секущей. Определяются соответственные, внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы. Доказывается признак параллельности двух прямых, и рассматриваются три следствия данной теоремы. Также доказывается теорема о равенстве внутренних накрест лежащих углов.

Следующий параграф посвящен сумме углов многоугольника. Сначала доказывается, что сумма углов треугольника равна 1800, а затем переходят к доказательству общего случая.

В третьем параграфе рассматривают параллелограмм. Дается определение параллелограмма, доказывается три его свойства. Рассмотрен пример на применение свойств параллелограмма. На признаки параллелограмма отводится четвертый параграф, в котором доказываются первый и второй признаки параллелограмма. Приведено два примера на применение данных признаков.

В пятом параграфе рассмотрены прямоугольник, ромб и квадрат. Прямоугольник и ромб определяются через параллелограмм. Авторы отмечают, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма и приводят доказательство признака прямоугольника (если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник).

Ромб также является параллелограммом, следовательно, он обладает всеми его свойствами. Приводится доказательство признака ромба (если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб).

Квадрат определяется через прямоугольник. Авторы отмечают, что квадрат также является ромбом, у которого все углы прямые. На основании этого следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Перед изучением трапеции авторы рассматривают теорему о средней линии треугольника. Дают определение средней линии треугольника и приводят доказательство теоремы. Этот шаг оправдан, так как при доказательстве теоремы о средней линии трапеции используется теорема о средней линии треугольника. Определение трапеции такое же, как и в других учебниках [2, 21, 23]. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны. Дается определение равнобокой, прямоугольной трапеций, средней линии трапеции. Приводится доказательство теоремы о средней линии трапеции и рассматривается следствие из данной теоремы.

...