Изучение четырехугольников на факультативных занятиях по геометрии

В конце главы приводится доказательство теоремы Фалеса, которая является обобщением теорем о средней линии треугольника и трапеции. В конце каждого параграфа и главы приводятся вопросы и задачи для проверки ЗУН учащихся.

Изучение четырехугольников в учебнике И. В. Смирнова, В. А. Смирнов идет по следующей схеме:

3 «Геометрия, 7-11 класс», автор А. В. Погорелов

Тема «Четырехугольники» изучается в восьмом классе. Этой теме в учебнике посвящен шестой параграф.

В первом пункте параграфа (п. 50) дается определение четырехугольника и предлагается задача на усвоение определения. Рассказывается, какие стороны и вершины называются соседними и противоположными. Дают определение диагоналей и периметра четырехугольника

В следующих пунктах (п.п. 51 - 56) дается определение параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата. Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма. Доказывается признак параллелограмма. Доказываются свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Рассматривается по одной задаче на каждое свойство параллелограмма. Для ромба и прямоугольника предлагаются задачи на использование определения. Определение квадрата дается на основе прямоугольника. Так же говорится, что квадрат является ромбом, так как стороны квадрата равны. На основе этого делается вывод, что квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба. Приводится пример использования определения при решении задачи.

Так же в данном параграфе изучается теорема Фалеса (п. 57) и средняя линия треугольника (п. 58). После приведения доказательства теоремы Фалеса автор делает замечание, что в качестве сторон угла можно взять любые две прямые. Предлагается задача разделить отрезок на n равных частей. При изучении средней линии треугольника дается определение и доказательство теоремы о средней линии треугольника.

В следующем пункте (п. 59) рассматривается еще один вид четырехугольника - трапеция. Вводятся определения трапеции и средней линии трапеции. Доказывается теорема о средней линии трапеции.

В последних пунктах параграфа (п.п. 60 - 61) доказывается теорема о пропорциональных отрезках и рассказывается, как построить четвертый пропорциональный отрезок.

Таким образом, изучение четырехугольников идет по следующей схеме:

4 «Геометрия, 7-9 класс», автор И.Ф. Шарыгин

Тема «Четырехугольники» изучается в главе «Подобие».

Первый параграф данной главы посвящен теме «Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат».

Свойства и признаки параллелограмма объединены в одну теорему, доказательство которой здесь же приводится. Автор отмечает, что из определения прямоугольника следует параллельность его противоположных сторон, то есть прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Приводится доказательство теоремы о свойствах прямоугольника.

Свойства и признаки ромба также объединены в одну теорему, доказательство которой здесь же приводится. Автор отмечает, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба, так как он является и прямоугольником, и ромбом. Еще один вид четырехугольника, а именно трапеция, изучается после теоремы Фалеса и теоремы о средней линии треугольника. Трапеция определяется как четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Определены термины основания, боковые стороны трапеции. Доказана теорема о средней линии трапеции.

Таким образом, изучение четырехугольников идет по следующей схеме:

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

в каждом учебнике свой порядок изучения частных видов четырехугольников

в каждом учебнике представлен большой объем упражнений для закрепления основных знаний, умений и навыков по данной теме.

2.3 Факультативный курс для учащихся 8 класса по теме «Четырехугольники на плоскости»

Разработанный факультативный курс способствует формированию познавательного интереса учащихся к математике, развитию их логического и аналитического мышления, математической интуиции. При его изучении внимание школьников акцентируется на практическое применение свойств и теорем в повседневной жизни, показывается связь математики с окружающей действительностью, а так же вычисление площадей моделей плоских фигур в реальных условиях.

Программа факультативного курса «Четырехугольники на плоскости» предназначена, прежде всего, для работы с учащимися 8 классов. Она составлена с учетом содержания программы по математике для учреждений, обеспечивающих получение среднего образования. Рассчитана данная программа на 7 часов и содержит пять тем, на изучение которых рекомендуется отводить от 1 до 3 часов учебного времени. Занятия должны проводиться один раз в неделю, тем самым достигается последовательности изучения основного материала на занятиях по геометрии базового компонента, а факультативные занятия лишь дополняют его. Занятия должны вестись параллельно с основными уроками по учебному плану и в соответствии с темой.

Тематика курса с системой соответствующих заданий позволяет учителю осуществлять личностно-ориентированное обучение, дифференцировать и индивидуализировать процесс обучения с учетом способностей и возможностей каждого ребенка.

Основная цель курса: развитие у учащихся логического мышления, познавательной и творческой активности на основе решения задач на определение и использование свойств геометрических фигур, а в частности четырехугольников.

В результате изучения факультативного курса «Четырехугольники на плоскости» у учащихся:

расширяются и углубляются знания, связанные с содержанием программы основного курса геометрии;

осуществляется пропедевтическое изучение систематического курса стереометрии;

формируются практические навыки и умения работы с геометрическим инструментарием;

усиливается прикладная направленность изучения математики;

развивается математическая интуиция, логическое и абстрактное мышление;

формируется культура математической речи;

развиваются математические и конструкторские способности;

повышается познавательная активность, формируется познавательный интерес, развивается интеллектуальный и творческий потенциал;

формируются умения и навыки самостоятельной исследовательской и творческой работы с научной литературой;

создается комфортная, положительно ориентированная направленность на изучение математики.

Таблица 2.1 - План занятий

Номер занятия	Наименование темы	Задачи
1	Повторение основных свойств параллелограмма	Применение теоретических знаний и умений в практической деятельности
2	Решение задач по теме «Параллелограмм»
3	Закрепление основных свойств четырех угольников
4	Применение знаний и умений по теме «Трапеция»

Изложение материала может осуществляться в виде проблемной беседы, дискуссии. Рекомендуется привлекать учащихся к самостоятельному первичному ознакомлению с новым материалом, подготовке научных сообщений. Желательны использование наглядных пособий, дидактического раздаточного материала, технических средств обучения и компьютерных технологий, демонстрация видеоматериалов.

2.3 Конспекты факультативных занятий «Четырёхугольники их свойства и признаки»

Занятие 1: «Повторение основных свойств параллелограмма»

Цели урока:

Вспомнить основные определения, свойства, теоремы, изученные в теме «параллелограмм»,

Закрепить знания о свойствах и признаках параллелограмма в процессе решения задач.

Задачи:

Повторить определения параллелограмма, биссектрисы, угла.

Вспомнить теоремы о противоположных углах, сторонах; сумме углов четырехугольника, свойства диагоналей параллелограмма.

Вспомнить основные методы решения задач.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Сообщить тему, сформулировать цель урока

2. Актуализация знаний учащихся.

Решение письменно у доски и в тетрадях задачу.

К доске вызывается один ученик и решает два пункта задачи вместе с классом.

Задача: Дано: АВСД - параллелограмм

Доказать:

1) АВ || СД

ВС || АД

АВ = СД

ВС = АД

АО = ОС

ВО = ОД

А = С

В = Д

А + В = 1800

С + В = 1800

С + Д = 1800

А + Д = 1800

Вопросы к задаче:

п.1 Определение параллелограмма;

п.3 Теорема о противоположных сторонах;

п.5 Свойства диагоналей параллелограмма;

п.7 Теорема о противоположных углах;

п.9 Теорема о сумме углов четырехугольника.

После решения задачи учащимся задается вопросы: 1)Какие частные случаи параллелограмма вам известны? 2) Какими свойствами обладают эти параллелограммы?

3. Решение задач

Решите письменно на доске и в тетрадях задачи, выполнив рисунок и записав краткое решение.

К доске вызываются три ученика и решают по одной задаче самостоятельно, на местах учащиеся также работают самостоятельно. По окончании работы решения задач с доски проверяют учащиеся, исправляют имеющиеся ошибки, предлагают наиболее рациональные способы решения.

Задача 1: Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Решение:

ABK - равнобедренный, AB=BK=CD=14см, BC=AD=14+7=21см,

P = (21+14)·2=70

Ответ: 70см.

Наводящие вопросы:

- определение биссектрисы;

- что вы можете сказать о ABK, если AK ,b- биссектриса BAD параллелограмма ABCD?

- Чему равна сторона параллелограмма ABCD?Его периметр?

Задача 2: Найдите периметр ромба ABCD, если B=60°, AC=10,5см.

Решение:

B+A=180°A=180°-60°=120°, т.к AC - биссектриса ABAC=1/2·120=60°. Аналогично, BCA=60°ABC - равносторонний AB=10.5, P=10.5·4=42.

Проверочная работа

Вариант 1

Задача 1: Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если АВО = 30°

Задача 2: Дано AK - медиана KAD=30°, KCD=47°. Найдите D.

Вариант 2

Задача 1: Диагонали ромба КМНР пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника КОМ, если угол МНР = 80°.

Задача 2: BH - высота, AH=7, HD=12, ABH=30°. Найти периметр.

4. Подведение итогов урока

Собрать тетради для проверки проверочной работы. Домашнее задание: решить задачу:

№394 Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Занятие 2: Решение задач по теме «Параллелограмм»

Цели урока:

Закрепить знания о свойствах и признаках параллелограмма в процессе решения задач

Совершенствовать новые решения задач

Задачи урока:

Повторить определения параллелограмма, равнобедренного треугольника, биссектрисы угла.

Вспомнить свойства диагоналей параллелограмма, его периметр, теорему о противоположных сторонах.

Закрепить основные методы решения задач по теме: «Параллелограмм».

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся

Работа у доски, работа по индивидуальным карточкам и проверка домашнего задания проводится одновременно.

Работа у доски

Подготовить у доски доказательства признаков параллелограмма (3 ученика). Учащиеся работают самостоятельно.

Проверка домашнего задания

Проверить решение домашней задачи. Один из учащихся по указанию учителя готовит решение задачи на переносной доске. Решение заслушать после проверки задачи по готовым чертежам.

Задача 3: Периметр параллелограмма ABCD равен 50см, С=30°, а перпендикуляр BH к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Решение:

В BCH H=90,C=30BC=2*HB, т.е. BC=13см.

P=AB+BC+CD+DA,

AB=DC, BC=DA как противолежащие стороны параллелограмма, значит, 2*AB+13*2=50

Таким образом, AB=12 см, тогда CD=AB=12см, AD=BC=13см.

Ответ:CD=AB=12см, AD=BC=13см.

Наводящие вопросы:

Что вы можете сказать о BCH? Можно ли найти другие его стороны?

Как можно найти стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 50см.

Работа по индивидуальным карточкам

(3-6 учеников получают задание на карточках и работают самостоятельно)

3. Уровень

Точка E и K - середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что AECK-параллелограмм.

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, причем AC=2дм, AO=10см, BD=1,5дм, BO=7см. Выясните, является ли ABCD параллелограммом?

4. Уровень

1.В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD отмечены соответственно точки M и N так, что BMC=AND. Докажите, что AMNC-параллелограмм?

2.Точки A и B делят диагональ MK параллелограмма MNKP на три равные части. Является ли четырехугольник ANBP-параллелограммом? Ответ обоснуйте.

5. Уровень

Дано ABCD-параллелограмм, MC=CK, AP=CN

Доказать, MNKP-параллелограмм.

Через точку пересечения диагоналей O параллелограмма ABCD проведена прямая MN, пересекающая стороны AD и BC в точках M и N соответственно. Является ли MBND параллелограммом? Ответ обоснуйте.

Решение задач по готовым чертежам

Решение с последующей самопроверкой по готовым ответам. В это время учитель может выслушать доказательства признаков параллелограмма (приложение Б).

Ответы:

C=64, D=116

MP=4см, PK=10см

B=D=115,A=C=65

P=16см

AD=10см

P=30см, AED=90

BC=4см, CD=5см

MN=3см, MP=7см

AD=5см, DC=4см

6. Решение задач

Решите письменно на доске и в тетрадях задачи, выполнив рисунок и записав краткое решение.

К доске вызываются два ученика и решают по одной задаче самостоятельно, на местах учащиеся также работают самостоятельно. По окончании работы решения задач с доски проверяют учащиеся, исправляют имеющиеся ошибки, предлагают наиболее рациональные способы решения.

Задача 4: Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК=15 см, КС=9 см.

Решение:

ABK-равнобедренный, AB=BK=CB=15см, BC=AD=15+9=24см, P=(15+24)*2=78см

Ответ: 78см

Наводящие вопросы:

- Что вы можете сказать о ABK, если AK-биссектриса BAD параллелограмма ABCD?

- Чему равны стороны параллелограмма ABCD? Его периметр?

Задача 5: В параллелограмме MNPQ проведен параллелограмм NH к прямой MQ, причем точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MN=3 см, HQ=15 см, MNH=30°.

Решение:

В MNP H=90,N=30, MN=3смMN=6см

MNPQ-параллелограммMN=PQ=6см, NP=MQ=8см.

Ответ: MN=PQ=6см, NP=MQ=8см.

Наводящие вопросы:

-Что вы можете сказать о MNH? Какую из его сторон можно найти?

-Найдите стороны параллелограмма MNPQ

7. Самостоятельная работа

Задания I уровня предлагаются менее подготовленным учащимся, задания III уровня - самым подготовленным, задания II уровня - всем остальным, что составляет большинство класса. Учащихся, выполняющих задания I и III уровня необходимо предупредить о критериях оценивания их работ. Верное решения всех заданий I уровня может быть максимально оценено в 4балла, для получения оценки «5» решающим задания III уровня необходимо верное решения или решения с негрубыми ошибками третьего задания. Ни в коем случае нельзя навязывать задания I и III уровней учитель может их только рекомендовать учащимся.

8. Уровень

1 вариант

1. В четырехугольнике ABCD AB || CD, AC=20см, BD=10см, AB=13см. Диагонали ABCD пересекаются в точке O. Найдите периметр COD.

2. Из вершины B параллелограмма ABCD с острым углом A проведен перпендикуляр BK к прямой AD; BK=AD/2. Найдите C, D.

3. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром AC, причем точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD-параллелограмм.

1 вариант

1. В четырехугольнике ABCD AB||CD, BC||AD, O-точка пересечения диагоналей. Периметр AOD равен 25см, AC=16см, BD=14см. Найдите ВС.

2. В параллелограмме ABCD с острым углом A из вершины B опущен перпендикуляр BK к прямой AD; AD=BK. Найдите C, D.

3. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали AC за вершины A и C отмечены точки M и N соответственно так, что AM=CN. Докажите, что MBND-параллелограмм.

9. Уровень

1 вариант

1. В четырехугольнике ABCD A+B=180, ABCD. На сторонах BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM=KD. Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.

2. На сторонах PK и MH параллелограмма MPKH взяты точки A и B соответственно, MP= PB=AK; MPB=60. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки BM и AH.

3. На основании AC равнобедренного ABC отмечена точка K, а на сторонах AB и BC-точки M и P соответственно, причем PK=MB, KPC=80,C=50. Докажите, что KMBP-параллелограмм.

2 вариант

1. В четырехугольнике MPKH PMK=HKM, PKMH. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны PK и MH в точках A и B соответственно. Докажите, что AP=HB.

2. На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и K, AB=BM=KD, AMB=30. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки AM и CK.

3. В треугольнике MPK M=65.На сторонах MK, MP, PK отмечены точки A, B, C соответственно так, что середина стороны PK-точка C, AM=KC, BP=AC, BAM=50. Докажите, что BPCA-параллелограмм.

10. Уровень

1 вариант

В выпуклом четырёхугольнике ABCD A+B=B+C=180. Через точку О пересечения диагоналей четырёхугольника проведена прямая, пересекающая стороны DC и AD в точках М и К соответственно; ВОМ=90°. Докажите, что ВК=ВМ.

2. На сторонах DC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВН и MD пересекаются в точке О; ВНD=95°, DMC=90°, BOD=155°. Найдите отношение длин отрезков АВ и MD и углы параллелограмма.

3. Точки М и К являются соответственно серединами сторон АВ и ВС АВС. Через вершину С вне треугольника проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая луч МК в точке Е. Докажите, что КЕ=АС:2.

2 вариант

В выпуклом четырёхугольнике МРКН М+Р=180°, MKH=RMP. На сторонах MP и РК отмечены точки А и В так, что РВ=РА. Отрезок АВ проходит через точку пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что НРАВ

На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты точки К и М соответственно. Отрезки ВМ и КР пересекаются в точке О, BOD=140o, DKB=110°, BMC=90°. Найдите отношение длин отрезков МС и AD и углы параллелограмма.

Точки А и В принадлежат соответственно сторонам РЕ и ЕТ РЕТ Прямая, проходящая через вершину Т вне треугольника, пересекает луч АВ в точке К так, что АР=КТ, АВ=ВК=ВР:2. Докажите, что точка А является серединой отрезка РЕ.

11. Подведение итогов урока

Собрать тетради для проверки самостоятельной работы.

Домашнее задание: Решить задачи №375,3 80,3

Задача №375: Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7см и 14см.

Задача №373: Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, С=30° а перпендикуляр BH к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Задача №380: На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P, и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.

Задача №383: На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB=QD. Докажите, что четырехугольник APCQ - параллелограмм.

Занятие 3: «Закрепление основных свойств четырехугольников»

Цели урока:

Вспомнить основные понятия, свойства и теоремы, изученные в теме «четырехугольники»

Совершенствовать способы решения задач.

Задачи:

Повторить определения четырехугольника, трапеции, острого угла.

2. Вспомнить теоремы о противоположных углах, сторонах; сумме углов четырехугольника, свойства диагоналей параллелограмма.

3. Вспомнить основные методы решения.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

Вопросы для повторения задаются вначале урока и адресованы всему классу.

Вопросы:

Дайте определения четырехугольника.

Какие виды четырехугольников вы знаете?

Дайте определения трапеции, параллелограмма, квадрата, ромба и прямоугольника.

Работа у доски и по индивидуальным карточкам проводится одновременно.

Работа у доски:

Подготовить у доски доказательство площади параллелограмма и площади трапеции (2 человека). Учащиеся работают самостоятельно.

Работа с карточками:

Три или шесть учеников получают задания на карточках и работают самостоятельно.

Карточка 1.

1) Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если одна сторона на 3 см больше другой.

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов равен 150°. Найти площадь ромба.

Карточка 2.

Найдите углы B и D равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если A=36°.

Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 2 и 3 см. Найти площадь параллелограмма.

Карточка 3.

Найдите периметр ромба ABCD, если B=60°, AC=10,5 см.

Найдите площадь трапеции ABCD с основанием AB и CD, если D=30°, AB=2 см, CD=10 см, DA=8 см.

Решение задач по готовым чертежам (приложение В)

3. Самостоятельная работа

Вариант 1.

Стороны параллелограмма равны 10 и 3. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне делят противоположные стороны на три отрезка. Найдите эти отрезки.

В трапеции ABCD с большим основанием AD, диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, BAC=CAD. Найти AD, если P=20, D=60°.

Найти площадь равнобокой трапеции, если меньшее основание равно 18, высота равна 9 и острый угол 45°.

Вариант 2.

, ABCD - параллелограмм, AB=14. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса A? Найдите отрезки, которые образуются при пересечении.

Основания прямоугольной трапеции ABCD равны 4 и 7 см, а один из углов равен 60°. Найти большую боковую сторону трапеции.

Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 18 и 30 см, а диагонали взаимноперпендикулярны.

4. Подведение итогов урока

Собрать тетради для проверки самостоятельной работы.

Занятие 4: «Применение знаний и умений по теме «Трапеция»

Цели урока:

Ввести понятие трапеции и ее элементов, познакомить учащихся с равнобедренной и прямоугольной трапециями.

Рассмотреть некоторые свойства равнобедренной трапеции.

*Научить учащихся применять полученные знания в процессе решения задач.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся

1. Работа над ошибками самостоятельной работы с использованием готовых ответов и указаний к задачам (можно объединить учащихся одного варианта по группам для того, чтобы они могли проконсультироваться друг у друга или вместе разобраться в решении задачи).

1 уровень

I вариант

1.См. 1 . АВСО - параллелограмм, тогда СО = АВ = 13 см, ОС = АО = 10 см, BD= ОD = 5 см (объясни).

РCOD= 10 + 5 + 13 = 28 см

2. См. рис.2 . ВК = АВ/2, тогда А = 30° (объясни), значит С = 30°, D = 150° (объясни).

3. См. рис.3. В четырехугольнике АВСD диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит АВСD - параллелограмм.

2 вариант

1. См. рис. 4. АВСD - параллелограмм, тогда АО = СО = 8 см, ВО = DО = 7 см (объясни).

Т. к. РАОО = 25 (см), то ВС = АИ = 10 (см).

2. См. рис. 5. АК = ВК, тогда АА = 45° (объясни),С = 45°, D=135° (объясни).

3. См. рис. 6. АВСD - параллелограмм, тогда АО = СО, ВО = DO. В четырехугольнике МВND диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит МВND - параллелограмм.

II уровень

I вариант

1. См. рис. 1.

а) Докажите, что АВСD - параллелограмм и ВС\\ АD.

б) Докажите, что ВОМ = DОК и ОМ = ОК.

2. См. рис. 2.

а) Докажите, что МРВ - равносторонний, М= 60°,.К = 60°.

б) Докажите, что АКН - равносторонний, АКН = МРВ, тогда МВ = АН, М = К = 60°, Р=Н = 120°.

3. См. рис. 3.

а) Найди В и докажи, что МВ || КР.

б) Докажи, что МВРК- параллелограмм.

1. См. рис. 4.

а) Докажи, что АВСD - параллелограмм и РО = НО.

б) Докажи, что РОА = HOB и РА= НВ.

2. См. рис. 5.

а) Докажи, что АВМ- равнобедренный, В = 120°, ВАD = 60°.

б) Докажи, что АВМ = КDС и АМ = КС, В = D = 120°, А = С = 60°.

3. См. рис. 6.

а) Докажи, что в АВМ, МА = ВА.

б) Докажи, что ВРСА - параллелограмм.

3 уровень

1вариант

1) См. рис.1 .

а) Докажи, что АВСD - параллелограмм и АО= СО.

б) Докажи, что АОК = СОМ и КО = МО.

в) Докажи, что ВКО = ВМО и ВК= ВМ.

2) См. рис. 2.

МDС = 60°, МСD = 30° (объясни).

МD = СD/2, АВ : МD = 2 : 1, С = А = 30°, В = В= 150°

3) См. рис. 3.

а) Докажи, что MBK = ЕСK и EC = МВ = АМ, КЕ = МК = МЕ/2.

б) Докажи, что АМЕС - параллелограмм и МЕ = AС, т. е. КЕ = АС/2.

2 вариант

1) См. рис. 4.

а) Докажи, что МРКН - параллелограмм и МО = ОК.

б) Докажи, что МOA= КОВ и АО = ОВ.

в) Докажи, что РО AB и РH AB.

2) См. рис. 5 .

КDС = 50°, МСВ = 60°, СВМ = 30° (объясни).

СМ = ВС/2; МС : АО = 1: 2; АС = АА = 60°, АВ = АО = 120°.

3. См. рис. 6.

а) Докажи, что РАКТ- параллелограмм и РЕ \\ КТ.

б) Докажи, что АЕВ = КТВ и АЕ = КТ=РА, т.е.А- середина РЕ.

Решение задач на готовых чертежах с целью подготовки к изучению нового материала

1. Рис. 1. Найти: х.

2. Рис. 2. Найти: у.

3. Рис. 3. Найти: z.

3. Изучение нового материала

Ввести понятие трапеции, ее оснований и боковых сторон. В тетрадях учащихся и на доске рисунок (рис. 4) и записи: АВСD - трапеция, если

ВС АD.

АВ и СD - боковые стороны

ВС и АО - основания.

2. Ввести понятия равнобедренной трапеции, прямоугольной трапеции.

В тетрадях учащихся и на доске рисунки и записи:

Рис. 5. Равнобедренная трапеция.

Рис. 6. Прямоугольная трапеция.

3. Ввести понятие средней линии трапеции.

В тетрадях учащихся и на доске рисунок и записи:

Рис. 7. М - середина АВ, N - середина СD,

МN - средняя линия трапеции.

Исследование свойств равнобедренной трапеции

Разбить класс на небольшие группы и предложить задания:

1. Исследовать углы равнобедренной трапеции.

2. Исследовать диагонали равнобедренной трапеции. Результаты исследований выслушать и обсудить, на доске и в тетрадях записать:

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Рис. 1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство: Проведем СЕ || АВ.

АВСЕ - параллелограмм (АВ \\СЕ, ВС\\ АD).

СD = АВ = СЕ, CDЕ - равнобедренный, 1=2

АВ || СЕ, тогда 2. = 3.

1=2=3..

АВС= 180° -3 = 180° -А = ВСD.

2. Рис. 2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Доказательство: АВС = DСВ (АВ = DС, ВС - общая сторона,

АВС = DCD), тогда АС = ВD.

Изучение признаков равнобедренной трапеции

Задание: Сформулируйте утверждения, обратные свойствам равнобедренной трапеции, и выясните их справедливость.

Результаты работы выслушать и обсудить, на доске и в тетрадях записать:

Признаки равнобедренной трапеции:

1. Рис. 3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство: Проведем СЕ || АВ.

АВСЕ - параллелограмм, тогда АВ = СЕ, А = СЕО. СЕD - равнобедренный (D = СЕD), тогда СЕ = СD

АВ=СЕ = СD, тогда АВСD - равнобедренная трапеция.

2. Рис. 4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство: Проведем СК\\ ВD.

ВСКD - параллелограмм (СК || ВD, ВС || АК).

AСК- равнобедренный (АС=ВD = СК),1=2.

СК || ВD, 2 = З, тогда 1=3.

АВD = DСА (АС = ВО, АО - общая сторона, 1 = 3), тогда

АВ = СD, т. е. АВСD - равнобедренная трапеция.

IV. Работа в рабочих тетрадях Решить задачи № 16, 18.

Задача № 16. Ответ: АМ = 71°, АР = 143°.

Задача № 18. Ответ: АО = 22 см.

5. Подведение итогов урока

Домашнее задание

П. 44, вопросы 10, 11; выучить признаки и свойства равнобедренной трапеции;

Решить задачи № 386, 387, 390; повторить № 384 (устно); решить задачу № 17 из рабочей тетради.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе изучения педагогической, методико-математической, психолого-педагогической литературы, а также опыта работы учителей по вопросу организаций факультативных занятий разработаны рекомендации для успешного функционирования математического факультатива в средней школе.

Наиболее важные задачи, которые стояли при определении основных идей и положений рекомендаций математического факультатива заключается в следующем:

1. Важной задачей является раскрытие психолого-педагогических основ организации факультативных занятий как осуществление профильной дифференциации.

2. Основным направлением предложенных рекомендаций, является максимальное повышение эффективности работы факультативных занятий.

3. Исходя из предыдущих задач, рекомендации предполагают раскрытия и достижения всех цепей факультатива.

4. Обучать на основе прогрессивных методов, то есть, во-первых, обучать на наивысшем уровне познав возможности учащихся. Во-вторых, прежде всего осмысленное применение на практике. Современная общеобразовательная школа ставит задачу профориентации учащихся по окончании школы, путем введения профильной дифференциации как факультативную форму работы. И я постаралась сформулировать рекомендации, которые повысят уровень преподавания факультативных занятий и тем самым повысят уровень подготовленности учащихся.

Разработанные рекомендации учитывают следующие дидактические принципы:

- При включении рекомендаций в работу факультатива обеспечивается достижение целей и задач факультативных курсов.

- возможность учащимся удовлетворять потребность и развивать свои способности, углублять знания.

- подготовиться к вступительным экзаменам в ВУЗ.

Как видно, в процессе работы отчетливо прослеживается основная черта всех рекомендаций - направленность на повышение эффективности работы учащихся на факультативных занятиях, более глубокое усвоение материала. Таким образом, предложенные рекомендации для успешного функционирования математических факультативов в условиях средней школы предусматривают следующие условия:

- наличие учащихся, желающих углубить свои знания по математике, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой.

- профильную дифференциацию целесообразно осуществлять посредством математических факультативов в средней общеобразовательной школе.

- содержание факультативов должно удовлетворять требования учащихся, создавать условия для дальнейшего развития способностей учащихся, подготовить почву для осознанного выбора будущей профессии школьниками.

Целью организации факультативных занятий является расширение кругозора учащихся, формирование математического мышления, создание функционального познавательного энтузиазма к предмету, воспитание мировоззрения и ряда личных свойств средствами глубокого исследования математических дисциплин.

Также важным в факультативных формах занятий является формирование определенных сторон мышления и особенностей нрава учащихся. Занятия факультативного курса составляют в качестве главной цели продолжение либо углубления фактических занятий полученных на уроках геометрии.

Одним из главных условий факультативных занятий: является учет внимания, интересов и склонностей учащихся, увеличение и углубления их познания сообразно предмету, ознакомление школьников с некими общими идеями современной геометрии, открыть секреты использования знаний по геометрии на практике.

В процессе факультативных упражнений имеют все шансы употребляться различные формы проведения занятий, лекций практические работы, дискуссия заданий сообразно дополнительной литературе, доклады школьников, создание рефератов.

Лекционно-семинарская система при исследовании ряда тем курса дозволяет учителю объяснять тренировочный материал большими дозами и на данной базе вызволить время для возобновления вопросов теории и решении задач. Кроме того, факультативная организация занятий гарантирует укрепление практической направленности преподавания, приобщения учащихся к функциональной работе с учебной литературой, повышения уровня их подготовки. Одна из немаловажных необыкновенных особенностей школьной лекции содержится в том, что преподаватель постоянно смотрит за действием усвоения материала конкретно на занятии.

Уроки практических занятий. Главным видом занятий является независимая служба учащихся сообразно закреплению и углублению абстрактного материала, изложенного на лекции. На уроках практических занятий проводится целенаправленная служба сообразно выработке у учащихся умений и навыков решения главных типов задач.

Уроки-семинары. Как правило, семинары на факультативных курсах бывают разных типов. Величайшее распределение у учителей геометрии получили семинары, приуроченные к возобновлению, углублению и обобщению пройденного материала школьного курса.

В результате моей работы был сделан вывод, что использование учебного материала по геометрии на факультативных занятиях требует от учителя творческой работы. Он обязан снабдить четкую ассоциация между обликами возобновления, выполнить углубленно обдуманную систему повторения и закрепления пройденных тем.

При разработке факультативных занятий был систематизирован абстрактный материал сообразно теме школьного курса геометрии, подобраны задачи на тему «Четырехугольники», которые не включены в школьный курс, но имеют все шансы существовать, также были применены дополнительные знания на тему классификации знаний согласно теме: «Четырехугольники», была проведена методическая работа, чтобы факультативные занятия были увлекательными и познавательными. Материал собран в единое целое, что позволяет применять его на упражнениях, имеющих целью - закрепление знаний школьного курса по теме «Четырехугольники».

Данные исследования являются средством повышения эффективности работы учащихся на факультативных занятиях и позволяют достичь более высоких результатов в обучении математики. А также, что организация математических факультативов как осуществление профильной дифференциации дает возможность учащимся для их всестороннего развития и послужит для выбора ВУЗа.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Александров, А.Д. Геометрия [Текст]: учеб. для 8-9 кл. общеобразоват. учреждений / А. Д. Александров, И. С. Вернер, В. И. Рыжик. - М.: Просвещение, 2013. - 415 с.

Атанасян, А.С. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 1995. - 335 с.

Балк, М.Б., Балк, Г.Д. Математический факультатив вчера, сегодня, завтра // Математика в школе. - 2014. № 5. С. 14-17.

Боярчук, В.Ф. Межпредметные связи в процессе обучения. - Вологда, 1988.

Бударный, А.А. Индивидуальный подход в обучении // Советская педагогика. - 1965.

Бутузов, И.Г. Дифференцированное обучение - важное дидактическое средство эффективного обучения школьников. - М., 1968.

Грес, П.В. Математика для гуманитариев / П. В. Грес. - М.: Логос, 2013.

Груденов, Я.И. совершенствование методики работы учителя математики [Текст]: книга для учителя / Я. И. Груденов. - М.: Просвещение, 1990. - 224с.

Данилочкина, Г.А. Индивидуализация обучения как средство развития познавательной самостоятельности учащихся (на материале преподавания математики в старших классах): Автореф. диссертации на соискание степени канд. пед. наук: 13.00.02. - М., 1973.

Дорофеев, Г.В., Кузнецова, Л.В., Суворова, С.Б., Фирсов, В.В. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. - 1990. №4. С. 15-21.

Закирова, И.Б. Индивидуализация самостоятельной работы как средство умственного воспитания учащихся (IV-VIII классы): Автореф. диссертации канд. пед. на-ук: 13.00.01. - М. 1973.

Злоцкий, Г.В. Широкий спектр средств дифференциации // Математика в школе - 1991. № 5. С. 8-9.

Кадыров, И. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике. - М., 1983. С. 5-11.

Калмыкова З.И. Психологические принципы развивающего обучения. - М.: Знание, 1979. 48 с.

Кельбакиани, В.Н. Контуры дифференциации в преподавании математики // Математика в школе. - 1990. №6. С. 14-15.

Кирсанов, А.А. Индивидуализация учебной деятельности как педагогическая проблема. - Казань, 1982.

Кирсанов, А.А. Индивидуализация учебной деятельности школьников. - Казань, 1980. 207 с.

Колягин, Ю.М., Ткачева, М.В., Федорова, Н.Е. Профильная дифференциация обучения. // Математика в школе. - 1990. С. 21-27.

Математическая энциклопедия. Гл. ред. М. Виноградов. Том 3. Коо - Од. М.: Советская энциклопедия, 1982, 1184 стр., ил.

Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / А.Я. Блох, В. . Гусев, Г.В. Дорофеев [и др.] - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / Е.С. Канин, А.Я. Блох [и др.]; под ред. Р.С. Черкасова. - М.: Просвещение, 1985. - 268 с.

Методика преподавания математики. - Москва. 1985. С. 317-332.

Монахов, В.М., Орлов, В.А., Фирсов, В.В. Дифференциация обучения в средней школе // Советская педагогика. - 1990. №8. С. 42-47.

Николаева, Т.М. Сочетание общеклассной, групповой и индивидуальной работы учащихся на уроке как одно из средств повышения эффективности учебного процесса: Автореф. диссерт. на соискание степени канд. пед. наук: 13.00.01. - М., 1972.

Овечкин, К.А. Использование методов научного познания при изучении темы «Четырехугольники» // Познание процессов обучения физике [Текст]: сборник статей. Вып. девятый / под ред. Ю. А. Саурова. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. - С. 54-59.

Педагогическая энциклопедия: В 2-х т. / Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н. Петрова. - М.: Советская энциклопедия, 1964. - Т.1. 832 с.

Педагогическая энциклопедия: В 2-х т. / Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н. Петрова. - М.: Советская энциклопедия, 1964. - Т.2. 912 с.

Петров, Е.С. Теория и методика обучения математике [Текст]: учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец. / Е. С. Петров. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - 84 с.

Петров, Е.С. Теория и методика обучения математике [Текст]: учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец. / Е. С. Петров. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - 84 с.

Погорелов, А.В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-11 Кл. общеобразоват. учреждений / А. В. Погорелов. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.

Погорелов, А.В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-11 Кл. общеобразоват. учреждений / А. В. Погорелов. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.

Полякова, Т.С. Методика обучения геометрии в основной школе: Учебное пособие для студентов педвузов и пед.колледжей. - Ростов-на-Дону: РЕПУ, 1996. -96 с.

Полякова, Т.С. Методика обучения геометрии в основной школе: Учебное пособие для студентов педвузов и пед.колледжей. - Ростов-на-Дону: РЕПУ, 1996. -96 с.

Попова, А.А. Учет индивидуальных особенностей школьников как одно из условий повышения эффективности процесса формирования понятий: Автореферат диссертации на соискание степени канд. пед. наук: 13.00.01. - Казань, 1981.

Саакян, С.М. Лекционно-семинарская система преподавания математики. // Математика в школе - 1987. № 3. С. 8-16.

Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике / сост. Ю.Д. Кабалевский - М.:Просвещение,1988

Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов мат. специальности Пед. Вузов и университетиов - Саранск: Тип. Красный Октябрь, 1999. - 208 с.

Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов мат. специальности Пед. Вузов и университетиов - Саранск: Тип. Красный Октябрь, 1999. - 208 с.

Сичивица, О.М. Методы и формы научного познания [Текст] / О. М. Сичивица. - М., Высшая школа, 1993.

Смирнова, И.М. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 Кл. общеобразоват. учреждений / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2001. - 271 с.

Смирнова, И.М. Дидактические материалы по геометрии для 7-9 классов / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2004. - 205 с.

Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие / Т. А. Иванова, Е. Н. Перевосщикова [и др.] - Н. Новгород: НГПУ, 2003. - 320 с.

Унт, И.Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. - М.: Педагогика, 1990. 192 с.

Четырёхугольник. Материал из Википедии -- свободной энциклопедии // http://ru.wikipedia.org/wiki

Шварцбурд, С.И. и др. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике: Пособие для учителей. - М., 1977. 48 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Рисунок 1. ABCD-параллелограмм. Найти: С,D

Рисунок 2. MNKP-параллелограмм. Найти: MP,PK

Рисунок 3. Найти углы параллелограмма ABCD.

Рисунок 4. ABCD-параллелограмм. Найти его периметр

Рисунок 5. ABCD-параллелограмм. Найти: AD

Рисунок 6. ABCD-параллелограмм. Найти: P,AED

Рисунок 7. NBFD-параллелограмм. AD=4см, NB=5см. Найти: BC,CD

Рисунок 8. ABCD-параллелограмм. P=20см. Найти: MN,MP

Рисунок 9. BNDM-параллелограмм.AB/BC=4/5, P=18см. Найти: AD,DC

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Рисунок 1. MNPS - прямоугольная трапеция. Найти S.

Рисунок 2. MNKP-параллелограмм. Найти: MP,PK

Рисунок 3. Найти углы параллелограмма ABCD.

Рисунок 4. ABCD-параллелограмм. Найти его периметр

Рисунок 5. ABCD-трапеция. Найти BK.

Рисунок 6. ABCD-параллелограмм. Найти: P,AED

Рисунок 7. NBFD-параллелограмм. AD=4см, NB=5см. Найти: BC,CD

Рисунок 8. ABCD-трапеция. MN=0,5BC, MP=NL, AP=1. Найти PL.

Рисунок 9. BNDM-параллелограмм.AB/BC=4/5, P=18см. Найти: AD,DC

четырехугольник факультативный учебник

Размещено на Allbest.ru

...