Пример 1. Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 5 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.

1) 11100011₂

2) 351₈

3) F0₁₆+1₁₀

4) 31₁₀·8₁₀+1₁₀

Решение: Что бы выполнить данное задание необходимо перевести все числа в 2-ую систему счисления и выполнить арифметические действия. Для того что бы перевести числа в 2-ую систему счисления, переведем числа сначала в 10-ую систему:

351₈ = 3·64 + 5·8 + 1 = 192 + 40 + 1 = 233 ₁₀,

F0₁₆+1₁₀ = 15·16 + 1 = 241₁₀,

31₁₀·8₁₀+1₁₀ = 249₁₀.



Переведем полученные числа в двоичную систему счисления:

11100011₂ -- 5 единиц.

233₁₀ = 11101001₂ -- 5 единиц;

241₁₀ = 11110001₂ -- 5 единиц;

249₁₀ = 11111001₂ -- 6 единиц;

Ответ: F0₁₆+1₁₀.

Пример 2. Укажите наименьшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 5 нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

Решение: Для выполнения данного задания сначала нужно найти наибольшее число в 16-ой системе счисления. Это число . Затем нужно перевести его в 2-ую систему, так как нули нужно искать в 2-ой системе (переводим число сначала в 10-ую систему, затем в 2-ую):

1000₁₆ = 1•16³+0•16²+0•16¹+0•16⁰ = 4096+0+0+0 = 4096₁₀

4096₁₀ = 0001 0000 0000 0000₂

Добавляем 1-цы в младшие разряды, чтобы было 5 нулей, получаем

. Переводим число в 16-ую систему:

0001000001111111₂ = 0•2¹⁵+0•2¹⁴+0•2¹³+1•2¹²+0•2¹¹+0•2¹⁰+0•2⁹+0•2⁸+0•2⁷+1•2⁶+1•2⁵+1•2⁴+1•2³+1•2²+1•2¹+1•2⁰ = 0+0+0+4096+0+0+0+0+0+64+32+16+8+4+2+1 = 4223₁₀

4223₁₀ = 107F₁₆

Ответ: 107F

-число 2^N-2^K при K < N в двоичной системе записывается как N-K единиц и K нулей:

2⁶-2³ = 1000000-1000 = 111000

-поскольку , получаем , откуда следует, что

2³+2³ = 1000+1000=10000=2⁴

Пример 3. Сколько единиц в двоичной записи числа 42015 + 8405 - 2150 - 122

Решение: Приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что

122 = 128 - 4 - 2 = 2⁷ - 2² - 2¹:

4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ - 2¹⁵⁰ - 122 = (2²)²⁰¹⁵ + (2³)⁴⁰⁵ - 2¹⁵⁰ - 2⁷ + 2² + 2¹ = 2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ - 2¹⁵⁰ - 2⁷ + 2² + 2¹

вспомним, число 2^N-2^K при K < N записывается как N-K единиц и K нулей:

для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2^N-2^K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию в нашем случае вы выражении

2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ - 2¹⁵⁰ - 2⁷ + 2² + 2¹

стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу используем теперь равенство , так что - 2¹⁵⁰ = - 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰; получаем

2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ - 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰ - 2⁷ + 2² + 2¹

здесь две пары 2^N-2^K , а остальные слагаемые дают по одной единице общее число единиц равно

1 + (1215 - 151) + (150 - 7) + 1 + 1 = 1210

Ответ: 1210

Пример 4. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа

4⁵¹² + 8⁵¹² - 2¹²⁸ - 250

Решение: Количество значащих нулей равно количеству всех знаков в двоичной записи числа (его длине!) минус количество единиц приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что

250 = 256 - 4 - 2 = 2⁸ - 2² - 2¹:

4⁵¹² + 8⁵¹² - 2¹²⁸ - 250 = (2²)⁵¹² + (2³)⁵¹² - 2¹²⁸ - 2⁸ + 2² + 2¹= 2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ - 2¹²⁸ - 2⁸ + 2² + 2¹

старшая степень двойки - 2¹⁵³⁶, двоичная запись этого числа представляет собой единицу и 1536 нулей, то есть, состоит из 1537 знаков; таким образом, остаётся найти количество единиц вспомним, число 2^N-2^K при K < N записывается как N-K единиц и K нулей:

для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2^N-2^K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию в нашем случае вы выражении

2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ - 2¹²⁸ - 2⁸ + 2² + 2¹

стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу используем теперь равенство , так что - 2¹²⁸ = - 2¹²⁹ + 2¹²⁸; получаем

2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ - 2¹²⁹ + 2¹²⁸ - 2⁸ + 2² + 2¹

здесь две пары 2^N-2^K , а остальные слагаемые дают по одной единице общее число единиц равно 1 + (1024 - 129) + (128 - 8) + 1 + 1 = 1018 таким образом, количество значащих нулей равно 1537 - 1018 = 519

Ответ: 516

Определение количества появлений некоторой цифры в записи числа в системах счисления с известным основанием

Пример 1. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение: Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5: 10=20₅, 17 = 32₅ .

Заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли между 20₅ и 32₅ есть еще числа 21₅, 22₅, 23₅, 24₅, 30₅, 31₅ в них 5 цифр 2 (в числе 22₅ - сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз таким образом, верный ответ - 7.

Ответ: 7

Пример 2. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?

Решение: Нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 30₅ = 15, 31₅ = 16, 32₅ = 17, 33₅ = 18 и 34₅ = 19 таким образом, верный ответ - 3, 15, 16, 17, 18, 19

Ответ: 3, 15, 16, 17, 18, 19

Чтобы перевести число 12345_N, из системы счисления с основанием в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на в степени, равной ее разряду:

43210 < разряды

12345_N = 1·N⁴ + 2·N³ + 3·N² + 4·N¹ + 5·N⁰

Определение неизвестного в уравнении, в котором числа в разных системах счисления

Пример 1. Решите уравнение: 35₆ + x = 35₇ Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Решение: Для решения данного задания необходимо перевести известные элементы уравнения к десятичному виду:

35₆ = 3·6¹ + 5·6⁰ = 23₁₀;

35₇ = 3·7¹ + 5·7⁰ = 26₁₀.

Таким образом, получается уравнение 23₁₀ + x = 26₁₀. Далее можем найти неизвестный элемент уравнения . Отсюда следует, что неизвестный элемент уравнения - это .

Ответ:

Определение основания системы счисления из уравнения с одним неизвестным

Пример 1. Решите уравнение .Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

переведём все числа в десятичную систему счисления:

собирая всё в одно уравнение получаем

это уравнение имеет два решения, 6 и -8; основание системы счисления - натуральное число, поэтому ответ - 6

переводим ответ в троичную систему: 6 = 2•3¹ = 20₃.

Ответ: 20

Пример 2. Решите уравнение: 103_x + 11₁₀ = 103_х+1

Решение: Переведём все числа в десятичную систему счисления:

Составим новое уравнение и решим уже его:

Х=5

Ответ: х=5

Определение наименьшего основания системы счисления из уравнения с двумя неизвестными

Пример 1. Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления , при котором 225_x = 405_y? Ответ записать в виде целого числа.

Решение: Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с . Очевидно, что , однако это не очень нам поможет. Для каждого «подозреваемого» вычисляем значение и решаем уравнение , причем нас интересуют только натуральные . Для и нужных решений нет, а для получаем

так что.

Таким образом, верный ответ (минимальное значение ): 8

Ответ: 8

Определение основания СС, если известна последняя цифра числа и количество разрядов в числе

Пример 1. Запись числа 381₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.

Решение: Поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом имеем

следовательно, основание N - это делитель числа с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то естьнеравенство дает (так как ) неравенство дает (так как ), таким образом, ; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа

· 9, при получаем запись числа

· 14, при получаем запись числа

· 18, при получаем запись числа

Наибольшим из приведенных чисел - это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение), таким образом, верный ответ - 18.

Ответ: 18.

Определение основания СС, если известно только количество разрядов в числе

Пример 1. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 трехзначна.

Решение: Составим уравнение для перевода числа в n-ричную систему счисления. где X,Y,Z - разряды числа в n- ой системе счисления, числа в промежутке [0;n).

Так как мы ищем наименьшее основание системы счисления, рассмотрим максимальные X,Y и Z, равные n-1.

Перепишем уравнение: То есть, . Будем искать не в точности n ведь оно не будет натуральным, а n близкие к решению этого уравнения. Возьмем наименьшее - n=3

Переведем 50 в троичную систему счисления:. Число четырехзначно, и это означает, что стоит взять систему счисления n=4.

Переведем 50 в четверичную систему счисления:, это число трехзначно, следовательно, ответом к этой задаче будет 4.

Ответ: 4.

Определение основания СС, если известны два первых знака в представлении числа

Пример 1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение: Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3). Устанавливаем ограничения по количеству разрядов. Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23_x), то справедливо равенство ; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , таких решений нет.

Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число - 2300_x, где . При минимальном основании () оно равно , поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков.

На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть , где - целое неотрицательное число, такое что .

Максимальное можно определить как решение уравнения (при ); получаем одно из решений - 6,15; поэтому . Если мы знаем , то определится как ; пробуем подставлять в эту формулу , пытаясь получить . Минимальное будет при : , а при получается .

Ответ:6

Пример 2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 82 начинается на 14.

Решение:

1. предположим, что число двузначно 1*х^1+4*x^0=82, x=78

2. предположим, что число трехзначно есть решение при х>=5 М <=5 это 7: 1*х^2+4*x^1 +М =82

3. предположим, что число четырехзначно мин допустимое четырехзначное число - 1400_x, где . При минимальном основании () оно больше 82

Ответ: 7 (число 145), 78 (число 14)

Определение основания СС, если известен последний знак в представлении числа

Пример 1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 4.

Решение:

Итак, нужно найти все целые числа N>4(цифра 4 присутствует в системах счисления только с таким основанием), такие что остаток от деления 31 на равен 4, или (что то же самое) 31=k•N+4, где k-- целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

Из формулы 31=k•N+4 получаем k•N=27, так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 27, которые больше 4;

В этой задаче есть только два таких делителя: N=9 и 27.

Ответ: 9,27

Пример 2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 40 оканчивается на 4.

Решение:

1. Итак, нужно найти все целые числа N>4(цифра 4 присутствует в системах счисления только с таким основанием), такие что остаток от деления 40 на N равен 4, или (что то же самое) 40=k•N+4, где k -- целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2. Из формулы 40=k•N+4 получаем k•N=36, так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 36, которые больше 4;

3. В этой задаче есть только пять таких делителей: N=6,9,12,18 и 36.

Ответ: 6, 9, 12, 18, 36.

Поиск основания СС, если известны два последних знака в представлении числа

Пример 1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Решение: Итак, нужно найти все целые числа , такие что

а) 31 = k*n+1 - числа у которых последний остаток равен одному

б) k = p*n +1 - числа у которых предпоследний остаток равен одному

Подставим 31 = k*n+1 в k = p*n +1, получаем:

31 = (p*n +1)*n+1 = p*n^2 +n +1

p*n^2 +n = 30

Подбираем n >=2, такие, чтобы p были натуральными числами

n=2, р = 7

n=3 р = 3

n=5 р = 1

n=30 р = 0

Таким образом, верный ответ - 2, 3, 5, 30.

Ответ: 2,3,5,30

Пример 2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 61 оканчивается на 15.

Решение: Так как число 61 в системе счисления с основанием N кончается на 15, то число 61 в десятичной системе счисления при делении на N должно давать остаток 5 (т. е. 61=Ny+5 y- любое целое неотрицательное число, N- основание искомой системы счисления) и частное от этого деления y должно давать остаток 1 при делении на N(т. е.y=Nz+1, z- любое целое неотрицательное число). Следовательно, 61=z+5+N, 56=z+N, где N?6

Иначе говоря, 56-N должно быть кратным . Отбросим сразу те N, которые при вычитании из 56 дают простые числа, а также те, квадраты которых больше 56, т.е. от 8 до бесконечности.

Но при этом 56 тоже является решением данной задачи, так как 56 - особый случай, ведь 56-N=0

Итого остается еще 6 и 7. Из них подходит только 7.

Ответ: 7.

Поиск чисел, в записи которых известны два последних знака в представлении числа и известно основание СС

Пример 1. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?

Решение: Так как число в системе счисления с основанием 3 кончается на 22, то искомое число x в десятичной системе счисления при делении на 3 должно давать остаток 2 (т. е. x=3y+2, y- любое целое неотрицательное число, x- искомое число) и частное от этого деления y также должно давать остаток 2 при делении на 3 (т. е. y=3x+2, z- любое целое неотрицательное число). Следовательно, x=9z+8.

При z=0, x=8.

При z=1, x=17.

При z=2, x=26.

При z=3, x=35. 35>26, значит, z<3.

Ответ: 8, 17, 26.

Пример 2 . Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры?

Решение. Так как число в системе счисления с основанием 3 кончается на ff, то искомое число x в десятичной системе счисления при делении на 3 должно давать остаток f (т. е. x=3y+f, y- любое целое неотрицательное число, x- искомое число) и частное от этого деления y также должно давать остаток f при делении на 3 (т. е.y=3z+f, z- любое целое неотрицательное число). Следовательно, x=9z+4f.

Подбирая f и z, найдем все натуральные решения этого уравнения, не превосходящие 17.

1. При f=1, z=0: x=4;

2. При f=2,z=0: x=8;

3. При f=0, z=1: x=9;

4. При f=1, z=1: x=13;

5. При f=2, z=1: x=17;

6. При f=1, z=2: x=22.

Заметим, что в последнем варианте искомое число больше 17, значит, мы заканчиваем пересчет на предыдущем.

Ответ: 4,8,9,13,17.



Заключение

Все поставленные задачи исследования выполнены. Исследования проводились на основе учебника К.Ю. Полякова, Е.А.Еремина «Информатика» углубленный уровень 10 класс. Мною было проанализировано содержание обучения по разделу «Системы счисления» на профильном уровне изучения информатики и по итогу был сформирован план изучения данного раздела. Так же были рассмотрены различные задания по разделу «Системы счисления», в результате чего был отобран необходимый минимум теоретической информации, достаточный для решения всех возможных задач и сформирован оптимальный набор заданий для подготовки к ЕГЭ по данному разделу. Так же мной были составлены конспекты занятий для подготовки к ЕГЭ по разделу «Системы счисления». В каждом конспекте есть теоретическая часть, в которой представлен теоретический минимум для решения практических заданий, а так же практическая часть, в которой представлены задания с подробным решением.

Данные исследования помогут учителю по информатике спланировать программу подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ. Анализ и отбор теоретического и практического минимума позволит осуществить подготовку к ЕГЭ по разделу «системы счисления» в минимально возможные сроки.



Библиографический список

1. Богомолова О.Б. Информатика: ЕГЭ за 30 дней: Экспресс-репетитор / О.Б. Богомолова. - Москва: АСТ, Астрель, 2014. - 446, [г] с.

2. Евич Л.Н, Кулабухова С.Ю. Информатика и ИКТ. Экспресс-курс. Подготовка к ЕГЭ. / Под ред. Л.Н. Евич, С.Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион, 2015. - 496 с.

3. Поляков К. Ю., Еремин Е.А. Информатика. Углубленный уровень: учебник для 10 класса: в 2ч. 41 / Поляков К. Ю., Еремин Е.А. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. - 344с. : ил

4. Сайт Константина Полякова http://kpolyakov.spb.ru/

5. Сайт «Решу ЕГЭ»: Информатика. Обучающая система Дмитрия Гушина. ЕГЭ -2016 http://inf.ege.sdamgia.ru/

6. Сайт «Теория для ЕГЭ по информатике» http://www.ctege.info/informatika-teoriya-ege/



Приложение

Методическое планирование

Урока №1

Тема урока: Основные понятия по теме «Системы счисления». Перевод числа из одной системы счисления в другую.

Цели урока:

1. ввести понятие «Система счисления»;

2. познакомить обучающихся с различными системами счисления;

3. научить переводить числа из одной системы в другую.

Задачи урока:

1. Образовательная: ввести основные понятия по системам счисления; дать представление о позиционной и непозиционной системах счисления; сформировать умения перевода чисел из одной системы в другую.

2. Развивающая: развивать у обучающихся интерес к предмету, логическое мышление, умение оперировать ранее полученными знаниями.

3. Воспитательная: воспитывать информационную культуру.

Ход урока

I. Организационный момент:

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих.

II. Изучение нового материала:

Основные теоретические сведения по теме «Системы счисления»

Система счисления - это совокупность символов, используемых для изображения чисел.

Система счисления включает в себя: алфавит, т. е. набор символов для записи чисел, способ записи чисел, способ чтения чисел. Они делятся на два класса: позиционные и непозиционные

Позиционные системы счисления - это системы, в которых величина цифры определяется ее положением (позицией) в числе.

Позиция цифр называется разрядом числа. Позиционные системы счисления различают по их основаниям, где основание - это число цифр, используемых в системах счисления.

Например: двоичная система счисления (А₂ ), восьмеричная система счисления (А₈) т.д.

Непозиционные системы счисления - это системы, в которых величина цифры не определяется ее положением (позицией) в числе.

Например: римская система счисления (II, V, XII)

Примеры наиболее часто используемых систем счисления (см. таблицу 1):

Таблица 1

Система счисления	Основание	Алфавит системы счисления	Пример записи числа
Двоичная	2	0,1
Восьмеричная	8	0,1,2,3,4,5,6,7
Десятичная	10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Шестнадцатеричная	16	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А(=10), В(=11), C(=12), D(=13), E(=14), F(=15)

Формы записи чисел в различных системах счисления

Свернутая («обычная») форма записи числа - привычная запись числа как последовательности цифр, стоящих на своих разрядах.

Развернутая форма записи числа - запись числа в виде суммы произведений его цифр на основание системы счисления в степени, равной значению разряда той или иной цифры числа.

Форма (схема) Горнера - преобразованная запись развернутой формы, при которой за счет использования скобок удается избавиться от возведения основания счисления в степени.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Чтобы перевести натуральное число из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием 2,8,16 нужно выполнить последовательное деление десятичного числа на основание системы в которую переводим (т.е. 2,8,16), пока не получится частое меньше делителя (т.е. десятичное число меньше основания системы). Число в новой системе счисления записывается в виде остатков от деления в обратном порядке. На примере более подробно разберем перевод чисел в системы счисления с основаниями 2,8,16.

Пример 1: Перевести число 100 из десятичной системы счисления в двоичную систему.

Решение: Выполняем последовательное деление заданного десятичного числа на основание системы, в которую нужно перевести число (делим на 2), до того момента, пока частное не будет меньше делителя (0 или 1).

Полученные остатки от деления записываем в обратном порядке. Получаем:

Ответ: .

Пример 2: Перевести число 2401 из десятичной системы счисления в восьмеричную.

Решение: Выполняем последовательное деление заданного десятичного числа на основание системы, в которую нужно перевести число (делим на 8), до того момента, пока частное не будет меньше делителя.



Полученные остатки от деления записываем в обратном порядке. Получаем:

Ответ: .

Пример 3: Перевести число 936 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему.

Решение: Выполняем последовательное деление заданного десятичного числа на основание системы, в которую нужно перевести число (делим на 16), до того момента, пока частное не будет меньше делителя.

Полученные остатки от деления записываем в обратном порядке, заменяя значения, больше 9, на соответствующее значение шестнадцатеричной цифры.

Таблица соответствия десятичного и шестнадцатеричного числа:



Таблица 2

Десятичное число	Шестнадцатеричное	Десятичное число	Шестнадцатеричное
0	0	9	9
1	1	10	A
2	2	11	B
3	3	12	C
4	4	13	D
5	5	14	E
6	6	15	F
7	7	16	10
8	8	…	…

То есть вместо остатка 10 записываем А. Получаем:

Ответ:

Для перевода двоичного, восьмеричного или шестнадцатеричного числа в десятичную систему можно пользоваться алгоритмом:

Алгоритм перевода целого числа из системы счисления с основанием q (2, 8, 16) в десятичную систему счисления:

1. Определить разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная с нуля)

2. Умножить цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда.

3. Суммировать все произведения.

Теперь давайте посмотрим как работает данный алгоритм на пример, разберем перевод чисел из каждой системы.

Пример 4: Перевести число 110110 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления.

Решение:

1. Определить разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная нуля):

2.

5 4 3 2 1 0 разряды

3. Умножить цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда и суммировать все произведения:

.

Ответ:

Пример 5: Перевести число 1506 из восьмеричной системы в десятичную систему счисления.

Решение:

1. Определить разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная нуля):

3 2 1 0 разряды

1506

2. Умножить цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда и суммировать все произведения:

Ответ:

Пример 6: Перевести число А50 из шестнадцатеричной системы в десятичную систему счисления.

Решение:

1. Определить разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная нуля):

2.

2 1 0 разряды

А50

3. Умножить цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда и суммировать все произведения:

Ответ:

III. Закрепление изученного материала:

Задание 1: Переведите число 234 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

Задание 2: Переведите число 512 из десятичной системы в восьмеричную систему счисления.

Задание 3: Перевести число 2555 из десятичной системы в шестнадцатеричную систему.

Задание 4: Перевести число 1000 из двоичной системы в десятичную систему счисления.

Задание 5: Перевести число 711 из восьмеричной в десятичную систему счисления.

Задание 6: Перевести число FF из шестнадцатеричной системы в десятичную систему.

V. Проверка самостоятельной работы:

Проверка самостоятельной работы. Выявление и исправление ошибок.

VI. Домашнее задание:

Задание 1: Перевести число 56 из десятичной системы в двоичную систему.

Задание 2: Перевести число 256 из десятичной системы в восьмеричную.

Задание 3: Перевести число 3522 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Задание 4: Перевести число 100011 из двоичной системы в десятичную систему счисления.

Задание 5: Перевести число 1234 из восьмеричной системы счисления в десятичную.

Задание 6: Перевести число 5AF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

Ответы к самостоятельной работе.

Задание 1: Переведите число 234 из десятичной системы счисления в двоичную

Решение: Выполняем последовательное деление заданного десятичного числа на основание системы, в которую нужно перевести число (делим на 2), до того момента, пока частное не будет меньше делителя.

Полученные остатки от деления записываем в обратном порядке. Получаем:



Ответ:

Задание 2: Переведите число 512 из десятичной системы в восьмеричную систему счисления.

Решение: Выполняем последовательное деление заданного десятичного числа на основание системы, в которую нужно перевести число (делим на 8), до того момента, пока частное не будет меньше делителя.

Полученные остатки от деления записываем в обратном порядке. Получаем:

Ответ:

Задание 3: Перевести число 2555 из десятичной системы в шестнадцатеричную систему.

Решение: Выполняем последовательное деление заданного десятичного числа на основание системы, в которую нужно перевести число (делим на 16), до того момента, пока частное не будет меньше делителя.

Записываем остатки от деления в обратном порядке, меняя числа, которые больше 9, на соответствующее значение шестнадцатеричного числа. Получаем:

Ответ:

Задание 4: Перевести число 1000 из двоичной системы в десятичную систему счисления.

Решение:

1. Определить разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная нуля):

3 2 1 0 разряды

1000

2. Умножить цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда и суммировать все произведения:

Ответ:

Задание 5: Перевести число 711 из восьмеричной в десятичную систему счисления.

Решение:

1. Определить разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная нуля):

2 1 0 разряды

711

2. Умножить цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда и суммировать все произведения:

Ответ:

Задание 6: Перевести число FF из шестнадцатеричной системы в десятичную систему.

Решение:

1. Определить разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная нуля):

1 0 разряды

FF

2. Умножить цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда и суммировать все произведения:

Ответ:

Ответы к домашней работе.

Задание 1: Перевести число 56 из десятичной системы в двоичную систему.

Решение:

Ответ:

Задание 2: Перевести число 256 из десятичной системы в восьмеричную.

Решение:

Ответ:

Задание 3: Перевести число 3522 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Решение:

Ответ:

Задание 4: Перевести число 100011 из двоичной системы в десятичную систему счисления.

Решение:

1. Определить разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная нуля):

5 4 3 210 разряды

100011

2. Умножить цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда и суммировать все произведения:

Ответ:

Задание 5: Перевести число 1234 из восьмеричной системы счисления в десятичную.

Решение:

1. Определить разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная нуля):

3 2 1 0 разряды

1234

2. Умножить цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда и суммировать все произведения:

Ответ:

Задание 6: Перевести число 5AF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

Решение:

1. Определить разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная нуля):

2 1 0 разряды

5AF

2. Умножить цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда и суммировать все произведения:

А=10, F=15

Ответ:

Методическое планирование

Урок №2

Тема урока: Арифметические действия в системах счисления с основанием 2,8,16.

Цель урока: познакомить учащихся с правилами выполнения арифметических операций (сложение, вычитание, умножение) системах счисления с основаниями 2,8,16

Задачи урока:

1. Обучающие: освоить способы сложения, вычитания, умножения в системах счисления с основаниями 2,8,16;

2. Развивающие: развивать память, внимание учащихся. Формирование познавательного интереса и творческой активности;

3. Воспитательные: привитие навыков самостоятельной работы при выполнении индивидуальных заданий.

Ход урока

I. Организационный момент:

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих.

II. Проверка домашнего задания.

Проверка домашнего задания, ответы на вопросы учеников по выполнению домашней работы, разрешение трудностей.

III. Изучение нового материала.

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:



0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. Сейчас подробно рассмотрим сложение двоичных чисел на примере.

Пример 1: Найти сумму чисел 110 и 11 в двоичной системе счисления.

Решение: Запишем числа «в столбик», разряд под разрядом, как при сложении десятичных чисел и произведем вычисление, пользуясь таблицей сложения одноразрядных двоичных чисел:

Вычисления:

0+1=1

1+1=10 («о» пишем, «1» переносим в следующий разряд)

1+1=10

Получаем:

Ответ: .

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен :

0-0= 0

0-1=1

1-0= 1

1-1= 0

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110₂ и 11₂:

Пример 2: Найти разность двоичных чисел 110 и 11.

Решение: Запишем числа «в столбик», разряд под разрядом, как при вычитании десятичных чисел и произведем вычисление, пользуясь таблицей вычитания одноразрядных двоичных чисел:

2 1 0 разряды

Вычисления:

0-1= (занимаем единицу из 1 разряда)

Так как мы занимали единицу у первого разряда, то получаем:

0-1= (занимаем единицу из 2 разряда)

Во втором разряде остался ноль, так единицу мы заняли, из него вычитать ничего не надо, по сути во втором разряде получается ноль, но мы его не пишем, так как это не значащий ноль.

Получаем ответ,

Ответ:

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 110₂ и 11₂:

Пример 3: Найти произведение чисел 110 и 11 в двоичной системе счисления.

Решение: Запишем числа «в столбик», разряд под разрядом, как при умножении десятичных чисел и произведем вычисление, пользуясь таблицей умножения одноразрядных двоичных чисел:

110

+ 110

Вычисления:

1. 1*0=0

1*1=1

1*1=1

2. 1*0=0

1*1=1

1*1=1

3. Выполняем сложение получившихся чисел и получаем:

Ответ:

Деление. Деление чисел в системах счисления с основанием 2,8,16 производиться так же, как и десятичных чисел, при этом используются правила умножения, сложения и вычитания чисел в 2,8,16 системах счисления.

Пример 4: Произвести деление двоичных чисел 110 и 11.

Решение: Деление производим в столбик как при делении десятичных чисел:

- 110

0

Ответ: .

Арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления проводятся аналогично, как и в двоичной системе счисления. Необходимо только помнить, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления. Далее на примерах разберем сложение, вычитание, умножение и деление восьмеричных и шестнадцатеричных чисел.

Пример 5: Найти сумму чисел 37 и 25 в восьмеричной системе счисления.

Решение: Записываем в столбик данные числа и производим вычисление:

Вычисления:

7+5=12 («2» пишем, «1» переходит в следующий разряд)

3+2+1=6

Ответ:

Пример 6: Найти сумму чисел 93 и 48 в шестнадцатеричной системе счисления.

Решение: Записываем в столбик данные числа и производим вычисление:

Вычисления:

3+8=11 (по таблице соответсятия десятичных и шестнадцатеричных чисел 11=B)

9+4=13 ( по таблице соответсятия десятичных и шестнадцатеричных чисел 13=D), получаем:

Ответ:

Пример 7: Найти разность чисел 37 и 25 в восьмеричной системе счисления.

Решение: Записываем числа «в столбик» и выполняем вычисления:

Вычисления:

7-5=2

3-2=1

Ответ:

Пример 8: Найти разность чисел 9С и 78 в шестнадцатеричной системе.

Решение: Записываем числа «в столбик» и выполняем вычисления, помним, что С=12:

Вычисления:



С-8=12-8=4

9-7=2

Ответ:

Пример 9: Найти произведение чисел 1411,44 и 46,4 в восмеричной системе счисления.

Решение: Арифметические действия с дробными числами выполняются так же как и арифметические действия с целыми числами. Записываем числа «в столбик», разряд под разрядом. Выполнять вычисления будем так же как и при умножении десятичных чисел. При вычислении пользуемся таблицей соотеветствия чисел в различных системах счисления.

Вычисления:

(«0»-пишем, «2»-переносим)

(«2»-пишем, «2»-переносим)

4•1=4

(«0»-пишем, «2»-переносим)

4•1+2=6

Получаем:

(«0»-пишем, «3»-переносим)

(«3»-пишем, «3»-переносим)

(«1»-пишем, «1»-переносим)

(«0»-пишем, «3»-переносим)

Получаем:

(«0»-пишем, «2»-переносим)

(«2»-пишем, «2»-переносим)

4•1=4

(«0»-пишем, «2»-переносим)

4•1+2=6

Получаем:

Находим сумму чисел

Вычисления:

2+0=2

(«1»-пишем, «1»-переносим)

(«0»-пишем, «1»-переносим)

(«6»-пишем, «1»-переносим)

(«3»-пишем, «1»-переносим)

1+0+1=2

1+6=7

Получаем:

Ответ:

Пример 10: Найти произведение чисел 41 и 17 в шестнадцатеричной системе счисления.

Решение:

Вычисления:

1*7=7

7*4=28

1*1=1

1*4=4

8+1=9

2+4=6

Ответ:

Пример 11: Найдите частное чисел 1125 и 25 в восьмеричной системе счисления.

Решение:

0

Ответ:

Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в разных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.

IV. Самостоятельная работа.

Задание 1: Проведите сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел .

Задание 2: Сложить восьмеричные числа 1254,20 и 1150,54.

Задание 3: Найдите частное чисел 3FB,4 и 140,6 в шестнадцатеричной системе счисления.

Задание 4: Найти произведение чисел . Ответ записать в восьмеричной системе счисления.

V. Проверка самостоятельной работы:

Проверка самостоятельной работы. Выявление и исправление ошибок.

VI. Домашнее задание:

Задание 1: Найдите разность чисел 1101111000,1001 и 1000000,0100 в двоичной системе.

Задание 2: Найти сумму чисел 1040,2 и 533,2 в восьмеричной системе.

Задание 3: Найдите произведение чисел 66,4 и 65,8 в шестнадцатеричной системе.

Ответы к самостоятельной работе.

Задание 1: Проведите сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел .

Решение:

Вычисление: 0+0=0 1+1=10 («0»-пишем, «1»-переносим) 0+1=1 Ответ:	Вычисления: 0-0=0 1-1=0 Ответ:	+ 0000 1010 Вычисления: 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 0+0=0 0+1=1 Ответ:	0 Ответ:

Задание 2: Сложить восьмеричные числа 1254,20 и 1150,54.

Решение:

Вычисления:

0+4=4

2+5=7

4+0=4

5+5=

2+1+1=4

1+1=2

Ответ:

Задание 3: Найдите частное чисел 3FB,4 и 140,6 в шестнадцатеричной системе счисления.

Решение:



Вычисления:

=

=

Ответ:

Задание 4: Найти произведение чисел . Ответ записать в восьмеричной системе счисления.

Решение:

1. Переводим числа в одну систему счисления, удобно перевести в десятичную систему:

2. Выполняем умножение десятичных чисел:

3. Переводим получившееся десятичное число в восьмеричную систему:

Ответы к домашней работе.

Задание 1: Найдите разность чисел 1101111000,1001 и 1000000,0100 в двоичной системе.

Решение:

1101111000,1001

- 1000000,0100

1100111000,0101

Ответ:

Задание 2: Найти сумму чисел 1040,2 и 533,2 в восьмеричной системе.

Решение:

1040,2

- 533,2

305,0

Вычисление:

2-2=0

0-3=8-3=5

3-3=0

0-5=8-5=3



Ответ:

Задание 3: Найдите произведение чисел 66,4 и 65,8 в шестнадцатеричной системе.

Решение:

Вычисления:

Ответ:



Методическое планирование

Урок №3

Тема урока: Представление целых чисел в памяти компьютера. Операции с числами вида

Цели урока:

1. Знакомство с представлением чисел в памяти компьютера.

2. Познакомить учащихся с правилами выполнения арифметических операций с числами вида

Задачи урока:

1. Образовательная: сформировать представление у учащихся о форме записи чисел в памяти компьютера; повторить перевод чисел из одной системы счисления в другую; сформировать умения работать с числами вида .

2. Воспитательная: воспитание информационной культуры учащихся, внимательность, аккуратность, дисциплинированности, усидчивости.

3. Развивающая: развивать алгоритмическое мышление, познавательный интерес; умение выделять главное; расширить кругозор и творческий потенциал учащихся.

Ход урока

I. Организационный момент:

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих.

II. Проверка домашнего задания:

Проверка домашнего задания, ответы на вопросы учеников по выполнению домашней работы, разрешение трудностей.

III. Изучение нового материала:

Любая информация в компьютере хранится в двоичном коде в ячейках памяти, состоящих из разрядов



Имеются различные способы кодирования для:

- целых положительных (без знака) чисел;

- целых чисел со знаком;

- вещественных чисел.

Все целые числа в компьютере разделяются на:

- числа без знака (только положительные)

- числа со знаком (положительные и отрицательные).

У чисел со знаком старший разряд отводится под знак 0 в старшем разряде - положительное число, 1 - отрицательное.

Для представления в памяти целого десятичного числа без знака используется прямой код:

1. Число переводится в двоичную систему;

2. Двоичную запись слева дополняют таким количеством нулей, сколько требует тип данных числа.

Для представления в компьютере целых чисел со знаком (положительных и отрицательных) используют дополнительный код. Дополнительный код нужен для того, чтобы закодировать знак «минус» и свести процедуру вычитания к сложению (процессор компьютера может только складывать числа).

Дополнительный код целого положительного числа со знаком совпадает с его прямым кодом n - разрядный дополнительный код отрицательного числа m - это запись в n разрядах положительного числа 2n - |m|, где |m| - модуль отрицательного числа m. Т.е. дополнительный код - это дополнение модуля числа m до 2n (или до машинного нуля в n-разрядной арифметике)ю

Дополнительный код целого отрицательного числа со знаком может быть получен также по следующему алгоритму:

1) записать прямой код модуля числа;

2) инвертировать его (заменить 1 на 0, 0 на1);

3) полученный обратный код сложить с единицей.

Пример 1: Найдите обратный код числа -19 в 8-разрядном представлении.

Решение: Обратный код получается благодаря замене всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд числа, на обратные числа. Ноль заменяется на единицу, а единица заменяется на ноль.

Код модуля числа: 00010011

Обратный код числа: 11101100

Ответ: 11101100.

Пример 2: Найдите дополнительный код числа -19 в 8-разрядном представлении.

Решение: Дополнительный код получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Находим обратный код числа -19:

00010011-11101100

Прибавляем единицу к его младшему разряду:

11101100+1=11101101

Ответ: 11101101.

Операции с числами вида

- число в двоичной системе записывается как единица и N нулей: например: 16 = =

- число в двоичной системе записывается как N единиц: например: 15 = =

-число 2^N-2^K при K < N в двоичной системе записывается как N-K единиц и K нулей:

2⁶-2³ = 1000000-1000 = 111000

-поскольку , получаем , откуда следует, что

2³+2³ = 1000+1000=10000=2⁴

Пример 1. Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 5 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.

1) 11100011₂

2) 351₈

3) F0₁₆+1₁₀

4) 31₁₀·8₁₀+1₁₀

Решение: Что бы выполнить данное задание необходимо перевести все числа в 2-ую систему счисления и выполнить арифметические действия. Для того что бы перевести числа в 2-ую систему счисления, переведем числа сначала в 10-ую систему:

351₈ = 3·64 + 5·8 + 1 = 192 + 40 + 1 = 233 ₁₀,

F0₁₆+1₁₀ = 15·16 + 1 = 241₁₀,

31₁₀·8₁₀+1₁₀ = 249₁₀.

Переведем полученные числа в двоичную систему счисления:

11100011₂ -- 5 единиц.

233₁₀ = 11101001₂ -- 5 единиц;

241₁₀ = 11110001₂ -- 5 единиц;

249₁₀ = 11111001₂ -- 6 единиц;

Ответ: F0₁₆+1₁₀.

IV. Самостоятельная работа.

Задание 1: Найдите обратный код числа -25 в 16-разрядном представлении.

Задание 2: Найдите дополнительный код числа -23 в 8-разрядном представлении.

Задание 3: Укажите наименьшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 5 нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

V. Проверка самостоятельной работы:

Проверка самостоятельной работы. Выявление и исправление ошибок.

VI. Домашняя работа:

Задание 1: Сколько единиц в двоичной записи числа 42015 + 8405 - 2150 - 122

Задание 2: Сколько значащих нулей в двоичной записи числа

4⁵¹² + 8⁵¹² - 2¹²⁸ - 250

Задание 3: Найти обратный и дополнительный код числа -25 в 8-разрядном

Ответы к самостоятельной работе.

Задание 1: Найдите обратный код числа -25 в 16-разрядном представлении.

Решение:

Код модуля числа: 0000000000011001

Обратный код числа: 1111111111100110

Ответ: 1111111111100110

Задание 2: Найдите дополнительный код числа -23 в 8-разрядном представлении.

Решение:

Находим код модуля числа -23: 00010111

Находим обратный код числа: 11101000

Прибавляем единицу к младшему разряду: 11101000+1=11101001

Ответ: 11101001

Задание 3: Укажите наименьшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 5 нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

Решение: Для выполнения данного задания сначала нужно найти наибольшее число в 16-ой системе счисления. Это число . Затем нужно перевести его в 2-ую систему, так как нули нужно искать в 2-ой системе (переводим число сначала в 10-ую систему, затем в 2-ую):

1000₁₆ = 1•16³+0•16²+0•16¹+0•16⁰ = 4096+0+0+0 = 4096₁₀

4096₁₀ = 0001 0000 0000 0000₂

Добавляем 1-цы в младшие разряды, чтобы было 5 нулей, получаем

. Переводим число в 16-ую систему:

0001000001111111₂ = 0•2¹⁵+0•2¹⁴+0•2¹³+1•2¹²+0•2¹¹+0•2¹⁰+0•2⁹+0•2⁸+0•2⁷+1•2⁶+1•2⁵+1•2⁴+1•2³+1•2²+1•2¹+1•2⁰ = 0+0+0+4096+0+0+0+0+0+64+32+16+8+4+2+1 = 4223₁₀

4223₁₀ = 107F₁₆



Ответ: 107F

Ответы к домашней работе.

Задание 1: Сколько единиц в двоичной записи числа 42015 + 8405 - 2150 - 122

Решение: Приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что

122 = 128 - 4 - 2 = 2⁷ - 2² - 2¹:

4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ - 2¹⁵⁰ - 122 = (2²)²⁰¹⁵ + (2³)⁴⁰⁵ - 2¹⁵⁰ - 2⁷ + 2² + 2¹ = 2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ - 2¹⁵⁰ - 2⁷ + 2² + 2¹

вспомним, число 2^N-2^K при K < N записывается как N-K единиц и K нулей:

для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2^N-2^K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию в нашем случае вы выражении

2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ - 2¹⁵⁰ - 2⁷ + 2² + 2¹

стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу используем теперь равенство , так что - 2¹⁵⁰ = - 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰; получаем

2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ - 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰ - 2⁷ + 2² + 2¹

здесь две пары 2^N-2^K , а остальные слагаемые дают по одной единице общее число единиц равно

1 + (1215 - 151) + (150 - 7) + 1 + 1 = 1210

Ответ: 1210

Задание 2: Сколько значащих нулей в двоичной записи числа

4⁵¹² + 8⁵¹² - 2¹²⁸ - 250

Решение: Количество значащих нулей равно количеству всех знаков в двоичной записи числа (его длине!) минус количество единиц приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что

250 = 256 - 4 - 2 = 2⁸ - 2² - 2¹:

4⁵¹² + 8⁵¹² - 2¹²⁸ - 250 = (2²)⁵¹² + (2³)⁵¹² - 2¹²⁸ - 2⁸ + 2² + 2¹= 2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ - 2¹²⁸ - 2⁸ + 2² + 2¹

старшая степень двойки - 2¹⁵³⁶, двоичная запись этого числа представляет собой единицу и 1536 нулей, то есть, состоит из 1537 знаков; таким образом, остаётся найти количество единиц вспомним, число 2^N-2^K при K < N записывается как N-K единиц и K нулей:

для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2^N-2^K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию в нашем случае вы выражении

2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ - 2¹²⁸ - 2⁸ + 2² + 2¹

стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу используем теперь равенство , так что - 2¹²⁸ = - 2¹²⁹ + 2¹²⁸; получаем

2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ - 2¹²⁹ + 2¹²⁸ - 2⁸ + 2² + 2¹

...