Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах

Рассмотрим возможности активного включения в процесс обучения математике различных приемов умственных действий так, как это предлагает Истомина Н.Б.[13].

Прежде всего, учащихся нужно научить использовать анализ и синтез, так как эти операции являются важнейшими мыслительными операциями. Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств. Синтез - это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое. В мыслительной деятельности человека анализ и синтез дополняют друг друга, так как анализ осуществляется через синтез, синтез - через анализ.

Основу этих операций составляет умение выделять признаки предметов. Дети знакомятся с признаками: форма, цвет, размер. Дополнительно можно познакомить с такими признаками как «функциональное назначение» и «материал». В этот период используются упражнения типа:

ь Опиши предмет;

ь Угадай предмет по признакам;

ь Измени любой признак предмета и нарисуй новый предмет.

Также учащиеся знакомятся с существенными и несущественными признаками. В это же время вводят понятие «одинаковые» и «различные» признаки. В результате дети должны научиться вычленять признаки предметов [13].

По мнению Истоминой Н.Б., особую роль в организации продуктивной деятельности младших школьников в процессе обучения математике играет прием сравнения. Сравнение - это сопоставление различных объектов, нахождение их общих и различных признаков. Сравнение предполагает сформированность следующих умений:

1. Выделять признаки объектов;

2. Сопоставлять объекты по данному основанию;

3. Выделять основание для сравнения;

4. Устанавливать общие и различные признаки.

Формирование умения пользоваться этим приемом следует осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением конкретного содержания. Истомина Н.Б. предлагает ориентироваться на следующие этапы:

Ш Выделение признаков или свойств одного объекта;

Ш Установление сходства и различия между признаками двух объектов;

Ш Выявление сходства между признаками трех, четырех и более объектов [13].

Так как работу по формированию у детей логического приема сравнения лучше начать с первых уроков математики, то в качестве объектов можно сначала использовать предметы или рисунки с изображением предметов, хорошо им знакомых, в которых они могут выделить те или иные признаки, опираясь на имеющиеся у них представления.

При обучении установлению сходств и различий между двумя объектами вводим понятия общие и различные признаки.

При сравнении трех и более предметов необходимо добиться от учеников понимания задания «сравнении».

Умение выделить признаки и, ориентируясь на них, сравнивать предметы ученики переносятся на математические объекты. Например, назови признаки: выражения 3+2 (числа 3, 2 и знак «+»).

По этим внешним признакам, доступным для восприятия, могут устанавливать сходство и различие между математическими объектами и осмысливать эти признаки с точки зрения различных понятий.

Истомина Н.Б. [13] указывает, что показателем сформированности приема сравнения является умение детей самостоятельно использовать его для решения различных задач, без указание на это.

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие - основа приема классификации. Классификация - это разделение и последующее объединение объектов на каком-либо основании [13].

При формировании умения выполнять классификацию необходимо развивать у детей следующие умственные операции:

- выявлять различные признаки объектов (анализ и синтез);

- выявлять сходство и различие (сравнение);

- выявлять основание для классификации;

- делить объекты на группы по данному основанию;

- давать название каждой выделенной группе объектов;

- проводить контроль результатов классификации.

Умение выполнять классификацию формируется у школьников в тесной связи с изучением конкретного содержания. Задания, связанные с приемом классификации, обычно формулируются в таком виде: «Разложите все предметы на две группы по какому-либо признаку».

По мере изучения различных понятий задания на классификацию могут включать числа, выражения. Равенства, уравнения, геометрические фигуры. Например, разбейте данные числа на две группы, чтобы в каждой группе оказались похожие числа: 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53 (в одну группу входят числа, записанные двумя одинаковыми цифрами, в другую - различными).

Как указывает Истомина Н.Б. [13], задания на классификацию можно применять не только для продуктивного закрепления знаний, умений и навыков, но и при знакомстве учащихся с новыми понятиями.

В процессе обучения математике учитель довольно часто говорит детям «Сделайте по аналогии» или «Это аналогичное задание». Обычно такие указания даются с целью закрепления тех или иных действий.

Под аналогией понимают особый вид умозаключения, когда по причине сходства двух объектов по некоторым признакам и при наличии признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Как указывает Истомина Н.Б. [13], формируя у младших школьников умение выполнять умозаключения по аналогии, необходимо иметь ввиду следующее:

o Аналогия основывается на сравнении, поэтому успех ее применения зависит от того, несколько ученики умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и различие между ними;

o Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, второй сравнивается с ним по каким-либо признакам. Отсюда, применения приема аналогии способствует повторению изученного и систематизация знаний и умений;

o Для ориентации школьников на использование аналогии необходимо в доступной форме разъяснить им суть этого приема, обратив их внимание на то, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, вспомнив и проанализировав известный способ действий и данное новое задание;

o Для правильных действий по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации. В противном случае вывод может быть неверным.

Истомина Н.Б.[13] указывает, что выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений - основная характеристика такого приема умственных действий, как обобщение. Обобщение - это мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.

Следует различать результат и процесс обобщения. Результат фиксируется в понятиях, суждениях, правилах. Процесс же обобщения может быть организован по-разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения - теоретическом и эмпирическом.

В начальном курсе математики наиболее часто применяется эмпирический тип, при котором обобщение знания является результатом индуктивных рассуждений (умозаключений).

Например, для того чтобы подвести учащихся к формулировке переместительного свойства умножения, учитель предлагает им такое задание:

ь Рассмотрите рисунок и попробуйте посчитать сколько квадратов прямоугольнике. В результате получают 9*3=27, 3*9=27 и следовательно описывают те сходства и различия, которые существуют между записанными равенствами.

ь Ученикам предлагается самостоятельная работа: найти значения следующих выражений, заменив умножение сложением:

3*2 4*4 3*6 4*5 5*3 8*4

2*3 2*4 6*3 5*4 3*5 4*8

После этого анализируем полученные записи, выделяем общее, которое формулируем виде правила.

Формируя у младших школьников умение обобщать наблюдаемые факты индуктивным способом, полезно предлагать задания, при выполнении которых они могут сделать неверные обобщения.

Рассмотрим пример:

Ш Сравни выражения, найди общее в полученных неравенствах и сделай соответствующие выводы:

2+3…2*3 4+5…4*5

3+4…3*4 5+6…5*6

Сравнив данные выражения и отметив закономерности: слева записана сумма, справа записано произведение двух последовательных чисел; сумма всегда меньше произведения. Но высказанное обобщение ошибочно, так как не учтены случаи: 0+1…0*1 и 1+2…1*2.

Как указывает Истомина Н.Б. [13], непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения.

Для начальных классов наиболее доступными являются следующие способы доказательства истинности суждений:

- измерение;

-вычисление;

- эксперимент;

- дедуктивные умозаключения.

Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы.

Например:

· Вставь числа в «окошечки», чтобы получились верные равенства:

Ў/6=27054

Ў/7=4083 (ост.4)

Учащиеся высказывают общее суждение: «если значение частного умножим на делитель, то получим делимое». Частное суждение: «значение частного - 27054, делитель - 6». Заключение: « 27054*6=162324».

Рассмотрим, как используются элементы математической логики в программах по математике:

1. Программа по математике Т.Е.Демидовой, С.А.Козловой, А.П.Тонких («Школа 2100»).

Как указывает Баракина Т.В.[5], в программе «Моя математика» выделяется раздел «Элементы стохастики», в рамках которого представлены элементы комбинаторики, теории графов, наглядной и описательной стохастики, начальные понятия теории вероятностей.

Так, в 1-м классе учащиеся получают начальные представления о графах, учатся работать с таблицами, строить цепочки логических рассуждений, используя математические сведения. Формируется понятие о взаимно однозначном соответствии, решаются задачи на расположение и выбор (перестановку) предметов.

Во 2-ом классе полученные знания учащиеся уже применяют при изучении нового материала. С помощью таблиц и графов решаются комбинаторные задачи. Формируются первоначальные представления о сборе и накоплении данных, при этом младшие школьники учатся читать и записывать данные не только в таблицах, но и с помощью линейных диаграмм. Вводится понятие случайного эксперимента. Продолжается работа над высказываниями (истинные и ложные) в рамках изучения неравенств.

В 3-ем классе закрепляются основные понятия теории и вероятности, рассматриваются новые приемы решения комбинаторных задач: упорядоченный перебор вариантов, с помощью дерева вы. Младшие школьники учатся представлять статистические данные с помощью линейных, столбчатых, круговых диаграмм, знакомятся с элементами теории множеств и теории высказываний.

Полученные знания учащиеся должны уметь и применять в жизни, поэтому проекты, предлагаемые детям в 4-ом класса, направлены на формирование умения собирать и обрабатывать статистическую информацию о явлениях окружающей действительности (опросы общественного мнения).

В 4-ом классе рассматриваются стохастические игры, вводятся понятия «справедливые» и «несправедливые» игры, закрепляются элементы теории множеств, высказываний, графов.

2. Программа по математике Л.Г.Петерсон («Школа 2000…»).

Учебник ориентирован на развитие мышления, творческих способностей ребенка, его интереса к математике.

Баракина Т.В.[5] указывает, что в 1-ом классе вводится понятие «совокупность» предметов или фигур.

Во 2-ом классе учащиеся знакомятся с понятием «операция», «объект операции», «результат операции».

В 3-ем классе изучаются элементы математической логики. Ученики знакомятся с понятием множества, в том числе и с пустым множеством, элементами множества, подмножествами (классификация), знаками, обозначающими принадлежность к множеству. Они проводят операции над множествами, изучают их свойства (пересечение, объединение). Рассматривается диаграмма Венна.

Тогда же происходит знакомство с высказываниями, их видами: верное, неверное. На основе изученного материала вводится понятие «формула».

В 4-ом классе знакомятся с множеством решений, импликацией «или».

3. Программа по математике В.Н.Рудницкой, Т.В.Юдачевой («Начальная школа XXI века»).

Как указывает Баракина В.Т. [5], в соответствии с этой программой учащиеся овладевают многими важными логико-математическими понятиями. Они знакомятся, в частности, с математическими высказываниями, логическими связками («и», «или», «если…то», «неверно, что»), со смыслом логических слов ( каждый, любой, все. кроме, какой-нибудь), составляющих основу логической формы предложения, используемой в логических выводах.

Выпускник начальной школы. Обучавшийся по данной программе, должен отчетливо представлять себе, что значит доказать какое-либо утверждение; владеть простейшими способами доказательства; подобрать конкретный пример, иллюстрирующий некоторое общее положение, или привести опровергающий пример; применять определение для распознавания того или иного математического объекта, давать точный ответ на поставленный вопрос.

Важной составляющей линией логического развития ребенка является его обучение (уже с 1-го класса) действию классификации по заданным основаниям и проверка правильности его выполнения.

Баракина В.Т. [5] отмечает, что вышеуказанные программы по математике выделяют отдельный содержательный раздел, в котором рассматриваются элементы логики. Другие же программы, например «Школа России», «Перспективная начальная школа», «Гармония» и т.п., несмотря на отсутствие подобного раздела, также знакомят детей с элементами логики в процессе обучения. Она конкретизирует данное замечание:

1. Большинство программ начального курса математики при введении основных математических понятий используют теоретико-множественный подход.

2. При ознакомлении младших школьников с выражениями с переменными, а также уравнениями рассматриваются элементы теории высказываний, предикатов.

3. В настоящее время абсолютно все программы по математике включили в свое содержание, помимо традиционных видов текстовых задач. Комбинаторные задачи.

Младшие школьники знакомятся с данным понятием на уровне представлений; учатся отличать комбинаторные задачи от других типов текстовых задач, рассматриваемых на уроках математики; приобретают навыки решения комбинаторных задач практическими, графическими способами.

4. При обучении младших школьников математике широко используются элементы теории графов. При этом учащиеся должны не только получить представление о графе, нго составляющих, но и познакомится с различными видами графов, научится использовать графы в процессе решения задач из различных предметных областей.

В настоящее время не только содержание начального курса математики расширено за счет введения элементов логики, но и программы по информатике для учащихся 1-4 классов также направлены на изучение основных понятий теорий множеств, высказываний, графов, решение комбинаторных задач и т.п. Но, несмотря на это объема изучаемого материала недостаточно. Поэтому необходимо либо давать на уроках дополнительные задания с использованием элементов логики, либо выносить их во внеурочную деятельность.

2.2 Психолого-педагогические основы использования элементов математической логики по УМК «Перспективная начальная школа»

Предлагаемый начальный курс математики по УМК «Перспективная начальная школа» имеет цель не только ввести ребенка в абстрактный мир математических понятий и их свойств, охватывающий весь материал обязательного минимума начального математического образования, но и дать первоначальные навыки ориентации в той части реальной действительности, которая описывается с помощью этих понятий, а именно: окружающий мир как множество форм, как множество предметов, отличающихся величиной, которую можно выразить числом, как разнообразие классов конечных равночисленных множеств и т.п., а также предложить ребенку соответствующие способы познания окружающей действительности [34].

Содержание всего курса можно представить как взаимосвязанное развитие пяти основных содержательных линий: арифметической, геометрической, величинной, обучение решению задач и алгебраической.

Алгебраическая линия традиционно представлена такими понятиями, как выражения с переменной, уравнение. Изучение этого материала приходится главным образом на 4-ый класс, но пропедевтическая работа начинается с 1-го класса. Задания, в которых учащимся предлагается заполнить пропуски соответствующими числами, готовят детей к пониманию сначала неизвестной величины, а потом и переменной величины. Появление равенств с «окошками», в которые следует вписать нужные числа, является пропедевтикой изучения уравнений. Во 2-ом классе вводится само понятие «уравнение» и соответствующая терминология. Рассматриваются правила нахождения неизвестного слагаемого, неизвестного уменьшаемого, неизвестного вычитаемого как способы решения соответствующих уравнений. В 3-м классе рассматриваются уравнения с неизвестным множителем, неизвестным делителем, неизвестным делимым.

В 1-ом классе дети учатся сравнивать предметы по величине (размеру): больше, меньше, такой же. Сравнение чисел: знаки ?, ? или =. Также изучают сложение чисел. Знак «плюс» (+). Знак «минус» (-).

К концу первого года обучения учащиеся должны знать и понимать:

· Смысл действий (операций) сложения и вычитания над целыми неотрицательными числами;

· Знаки больше (?), меньше (?), равно (=);

· Сравнивать изученные числа и записывать результат сравнения с помощью знаков (?, ? или =).

Во 2-ом классе дети продолжают изучать нумерацию и сравнение чисел, но уже двузначных и трехзначных. Сравнивают числа на основе десятичной нумерации. Изучают уравнения как форму записи действия с неизвестным компонентом. Правила нахождения неизвестного слагаемого, неизвестного вычитаемого, неизвестного уменьшаемого. Учащиеся учатся сравнивать предметы по массе без их измерения.

К концу второго года обучения учащиеся должны знать и понимать:

· Смысл действий (операций) умножения и деления над целыми неотрицательными числами;

· Уравнения как форма записи действия с неизвестным компонентом;

· Знаки и термины, связанные с умножением и делением (знаки (.) и (:), произведение, значение произведения, множители, частное, значение частного, делимое, делитель);

· Читать и записывать все однозначные, двузначные и трехзначные числа;

· Сравнивать изученные числа и записывать результат сравнения с помощью знаков (?, ? или =).

В 3-ем классе учащиеся продолжают изучение темы нумерация и сравнение многозначных чисел. Дети знакомятся с новой разрядной единицей - тысячи. Учатся поразрядному сравнению многозначных чисел. Так же продолжают изучать тему действия над числами. Решают уравнения с неизвестным множителем, неизвестным делителем, неизвестным делимым. Кратное сравнение чисел и величин. Расширяют свои знания по теме величины и их измерение. Происходит сравнение углов без измерения и с помощью измерения произвольной меркой. Появляется понятие о площади. Сравнение площадей фигур без их измерения.

К концу 3-го года обучения учащиеся должны знать и понимать:

· Соотношение между разрядами и классами;

· Взаимосвязь между арифметическими операциями;

· Измерение величины углов как операции сравнения их с выбранной меркой;

· Измерение площади как операцию сравнения их с выбранной меркой;

· Читать и записывать все однозначные, двузначные и трехзначные числа;

· Сравнивать изученные числа и записывать результат сравнения с помощью знаков (?, ? или =).

В 4-ом классе учащиеся знакомятся с новой разрядной единицей - миллион, понятием доля и дробь. Учатся сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями. Изучают новую тему к которой шли на протяжении трех лет - элементы алгебры. В этой теме учащиеся знакомятся с буквенными выражениями. Происходит знакомство с понятием переменной величины. Буквенное выражение как выражение с переменной. Нахождение значения буквенного выражения при заданных значениях переменной. Уравнения. Корень уравнения. Понятие о решении уравнения. Способы решения уравнений: подбором, на основе зависимости между результатом и компонентами действий, на основе свойств истинных числовых равенств.

К концу 4-го года обучения учащиеся должны знать и уметь:

· Использование натуральных чисел для счета предметов, для упорядочивания предметов, для измерения величин;

· Смысл операций сложения, вычитания, умножения и деления;

· Взаимосвязи между изученными операциями;

· Существующую зависимость между компонентами и результатом каждой операции;

· Названия компонентов всех изученных арифметических действий (операций), знаки этих действий, законы и свойства этих действий;

· Термины, связанные с понятием «уравнение»;

· Сравнивать изученные натуральные числа, используя их десятичную запись или название, и записывать результаты сравнения с помощью соответствующих знаков;

· Сравнивать дробные числа с натуральными и записывать результаты сравнения с помощью соответствующих знаков;

· Сравнивать дробные числа с одинаковыми знаменателями и записывать результаты сравнения с помощью соответствующих знаков;

· Выполнять сложение и вычитание многозначных чисел на основе законов и свойств этих действий и с использованием «Таблицы сложения однозначных чисел»;

· Выполнять умножение и деление многозначных чисел на основе законов и свойств этих действий и с использованием «Таблицы умножения однозначных чисел»;

· Решать уравнения методом подбора, на основе связи между компонентами и результатом действий и на основе использования свойств равенств [22; 91-120].

2.3 Система заданий, нацеленная на формирование понятия «элементы математической логики» у учащихся по окончанию начальной школы

Проведя анализ различной литературы по исследуемому вопросу, обобщив педагогический опыт учителей, проанализировав состояние проблемы взаимосвязи теории с практикой обучения в начальном курсе математики, изучив альтернативные программы и учебники математики для начальных классов, определив этапы формирования у младших школьников понятия «элементы математической логики», выявив способы осуществления взаимосвязи между ними, мы приступили к разработке системы заданий, нацеленной на формирование данного понятия [34].

Разработанная методическая система дает учащимся не только овладеть знаниями, но и стимулирует использование полученных знаний для получения новых на каждом следующем этапе.

При введении и изучении термина и понятия «элементы математической логики», система заданий построена таким образом, что новые знания включаются в систему освоенных знаний, а освоенные знания предполагают их анализ и синтез для использования их в новых условиях.

В предложенной системе формирования понятия «элементы математической логики» достигается путем поэтапной работы во временной период обучения начальных классов.

Это находит выражение в следующих положениях:

- для формирования новых понятий и терминов использовать обучающие задания продуктивного (мыслительного) характера;

- использовать обобщающие возможности выражений для повторения арифметического курса начальной математики с целью формирования системы взаимосвязанных знаний учащихся;

- осуществлять повторение тем, ранее изученных, взаимосвязанных с понятием «элементы математической логики», с целью глубокого изучения новых понятий.

Экспериментальная работа проводилась в МБОУ «Ставровская средняя общеобразовательная школа» Собинского района в 4 классе «Б», продолжалась четыре года: 2012/2013, 2013/2014, 2014/2015, 2015/2016 учебные годы. Учитель Лисова Н.С. занимается по программе и учебному комплекту 1-4 автора Чекин А.Л.

Исследование включало следующие этапы: констатирующий, обучающий и контрольный эксперименты.

Чтобы приступить к основной части экспериментальной работы - обучающему эксперименту, было необходимо выявить типичные ошибки учащихся при усвоении элементов математической логики.

Был проведен констатирующий срез с целью определения уровня овладения учащимися четвертого класса необходимыми знаниями и умениями. Этот срез включал следующие задания:

1. Реши уравнение:

- х * 7 = 28;

- 81 : х = 9;

- х : 72 = 3.

2. 1) Запиши числа в порядке возрастания: шесть, двенадцать, восемнадцать, восемь, ноль.

2) запиши числа в порядке уменьшения: семь, тринадцать, четырнадцать, ноль, девять.

3. Восстанови верные равенства.

- 4 * Ў = 5 * 4;

- 7 * Ў = Ў * 7.

4. Из следующих предложений выбери и подчеркни те предложения, которые ты считаешь верными:

А) все углы прямоугольника прямые;

Б) все углы квадрата прямые;

В) острый угол больше любого из углов квадрата.

5. Из следующих числовых выражений составь и запиши два верных равенства:

1) 30 + 10; 4 * 6; 8 * 5; 20 + 4.

2) 10 + 20; 4 * 9; 6 * 5; 30 +6.

Анализ результатов констатирующего среза представлен в таблице:

Выполняли работу	Выполнили всю работу без ошибок (%)	Количество ошибок в (%)
		1 ошибка	2 ошибки	3 ошибки
25 человек	5 человек - 20 %	10 человек - 40%	5 человек - 20%	5 человек - 20%

Результаты констатирующего среза изображены на диаграмме (смотри прил.3).

Анализ результатов констатирующего среза показал, что большинство учащихся справились с предложенными заданиями, но все же допустили ошибки при выполнении предложенных заданий.

Первая типичная ошибка связана с незнанием того, что такое верное равенство. Это привело к ошибке. Вторая типичная ошибка связана с непрочным усвоением в сравнении углов у геометрических фигур.

С целью устранения к предупреждению ошибок, допущенных детьми, выявилась необходимость в проведении работы на устранение значительных пробелов в знаниях учащихся (обучающий эксперимент). На этом этапе учитель дополнительно занимается с учащимися и дает подобные задания на допущенные ошибки.

После дополнительных занятий и изучении всех тем учитель дает контрольный эксперимент, в котором сформулированы цели и задачи данной работы.

1. Цель и содержание проверочной работы по математике

Определить уровень сформированности предметных результатов у учащихся 4 классов школы по итогам освоения программы по теме «Логика».

Проверочная работа по математике проводится в один день.

2. Структура работы и характеристика заданий

Работа содержит две группы заданий.

1 группа (№ 1,2, 3,) -- задания базового уровня сложности.

В них проверяется освоение базовых знаний и умений по предмету, обеспечивающих успешное продолжение обучения в основной школе. Учащимся предлагаются стандартные учебные или практические задачи, в которых очевиден способ решения, изученный в процессе обучения.

2 группа (№ 4) -- задания повышенной сложности. В них проверяется способность учащихся решать учебные или практические задачи, в которых нет явного указания на способ выполнения, а учащийся сам должен выбрать этот способ из набора известных ему. В некоторых случаях требуется интегрировать два-три изученных способа.

В работе внутри содержательного блока одновременно представлены задания как базового, так и повышенного уровней. Задания повышенного уровня отмечено специальным значком*, что позволит учащимся сориентироваться в трудности задания и правильно рассчитать свои силы и время.

В проверочной работе используются три типа заданий:

? задания с выбором ответа (1 задание), где предлагается 2 - 4 варианта ответа, из которых только один правильный;

ь задания с кратким ответом, требующие один единственный ответ.

ь задания с полным ответом требующие развернутого ответа

Выбор в качестве основных трех форм заданий -- с выбором ответа, с записью краткого ответа и развернутым ответом сделан осознанно, чтобы повысить полноту проверки за счет включения в работу достаточно большого количества заданий.

Работа содержит 4 задания. Она рассчитана на один урок.

В ней 3 задания базового уровня сложности, 1 задание -- повышенного уровня.

По блокам содержания курса математики количество заданий распределяется следующим образом: Арифметические действия -- 4; Работа с данными -1, Работа с текстовыми задачами -3.

3. План итоговой работы

В плане работы (таблица 1) дана информация о каждом задании: его содержание, объект оценивания, уровень сложности, тип, время выполнения и максимальный балл.

Условные обозначения

Уровень сложности: Б -- базовый, П -- повышенный. Тип задания КО -- с кратким ответом, ВО - выбор ответа, РО - полный ответ.

3.4. Время и способ выполнения проверочной работы

На выполнение проверочной работы отводится 45 минут.

Каждый ученик получает бланк с текстом проверочной работы, в котором отмечает или записывает свои ответы на задания.

3.5. Оценка выполнения заданий и проверочной работы в целом

Выполнение заданий разной сложности и разного типа оценивается с учетом следующих рекомендаций.

1. В заданиях с выбором ответа из трех предложенных вариантов ученик должен выбрать только верный ответ. Если учащийся выбирает более одного ответа, то задание считается выполненным неверно.

2. В заданиях с кратким ответом ученик должен записать требуемый краткий ответ. (смотри прил.4).

Оценка выполнения работы в целом осуществляется в несколько этапов в зависимости от целей оценивания.

1. Определяется балл, полученный учеником за выполнение заданий базового уровня.

2. Определяется балл, полученный учеником за выполнение заданий повышенного уровня. Выполнение этих заданий свидетельствует о том, что кроме усвоения необходимых для продолжения обучения в основной школе знаний, умений, навыков и способов работы, обучение повлияло и на общее развитие учащегося.

3. Определяется общий балл учащегося.

Максимальный балл за выполнение всей работы -- 12 баллов (за задания базового уровня сложности --10, повышенной сложности --2 балла) (смотри прил.5).

Для контрольного эксперимента учащимся были даны следующие задания:

Вариант 1

1. Из чисел 34, 40, 500, 721, 63, 70 выбери и запиши:

1) «круглые» и двузначные: ____________________________;

2) «круглые» или двузначные: __________________________.

2. Из чисел 5, 8, 12, 14, 16, 18, 20 выбери и запиши те, которые можно поставить вместо р, чтобы данная запись оказалась верной:

1) Р ? 16: ___________________________________________;

2) 8 ? р ? 16: ________________________________________.

3. Продолжи утверждение так, чтобы они были верными.

1) Если длина стороны квадрата меньше 12 см, то его периметр __________________________________________________________;

2) Число 14 не только четное, но и __________;

4*. Заверши построение следующего утверждения так, чтобы оно было верным:

Если «круглое» и двузначное число 5 ? а ? 20, то а = ___________.

Вариант 2.

1. Из чисел 24, 50, 120, 512, 81, 20 выбери и запиши:

3) «круглые» и двузначные: ____________________________;

4) «круглые» или двузначные: __________________________.

2. Из чисел 2, 6, 11, 13, 14, 17, 21 выбери и запиши те, которые можно поставить вместо р, чтобы данная запись оказалась верной:

3) Р ? 14: ___________________________________________;

4) 6 ? р ? 14: ________________________________________.

3. Продолжи утверждение так, чтобы они были верными.

3) Если длина стороны квадрата меньше 15 см, то его периметр __________________________________________________________;

4) Число 13 не только нечетное, но и _______________;

4*. Заверши построение следующего утверждения так, чтобы оно было верным:

Если «круглое» и двузначное число 2 ? с ? 20, то с = ______________.

Для проверки знаний используется таблица (смотри прил.6), в которой прописаны соответствие номера ошибки, ее описание и задания для коррекции.

Анализ контрольного эксперимента представлен в таблице:

Выполняли работу	Выполнили всю работу без ошибок (%)	Количество ошибок в (%)
		1 ошибка	2 ошибки	3 ошибки
25 человек	20 человек - 80 %	3человека - 12%	2 человека - 8%

Анализ контрольного среза представлены на диаграмме (см. прил. 7).

Наибольшие изменения мы видим после обучающего эксперимента, об этом свидетельствует диаграмма контрольного среза. С работой справились все учащиеся и уменьшилось количество работ с тремя и более ошибками.

Анализ результатов контрольного среза позволяет сделать вывод: систематическое использование заданий на изученную тему способствует формированию понятия элементов математической логики, применение знаний и навыков на практике и развитие логического мышления.

Выводы по 2 главе

При изучении материала, мы познакомились с понятиями, с помощью которых уточнили смысл употребляемых в математике союзов «и», «или», частицы «не», слов «всякий», «существует», «следовательно» и «равносильно». Это понятия:

-высказывание;

- элементарные высказывания;

- логические связки;

- составные высказывания;

- конъюнкция высказываний;

- дизъюнкция высказываний;

- отрицание высказываний.

Рассмотрели правила:

- определения значения истинности составного высказывания;

- построения отрицания предложений различной структуры.

Современные методисты включают отдельные элементы логики в курс математики начальной школы, но их недостаточно для развития логического мышления. Поэтому учителю необходимо самому давать дополнительные задания на уроках, либо во внеурочной деятельности. В Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования внеурочная деятельность организуется по общеинтеллектуальному направлению развития личности в форме кружков, для этого определено пространство и время в образовательном процессе.

Заключение

В ходе написания дипломной работы были проработаны, проанализированы и систематизированы материалы, посвященные математической логике.

Целью исследования было обоснование необходимости и возможности использования математической логики при обучении математике в начальной школе.

В ходе работы были определены и решены задачи исследования:

- были выявлены психолого-педагогические и методические основы формирования у детей элементов математической логики в процессе обучения в начальной школе;

- была обоснована необходимость совершенствования практического материала при обучении математике в начальной школе с целью формирования у учащихся элементов математической логики;

- были определены требования к упражнениям для формирования у учащихся элементов математической логики.

Данная дипломная работа является лишь началом в изучении использования элементов математической логики в начальной школе. Следует продолжать исследования в этом направлении. И тогда результаты работы по изучению использования элементов математической логики в начальной школе могут стать основой для учителей и методистов при совершенствовании программ, учебников и методических пособий.

Список литературы

1. URL. http: // mosmetod.ru/ metodicheskoe - prostranstvo/nachlnaya - shkola/fgos - noo - s - izmeneniyami.

2. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах (сборник докладов, под ред. Моро М.И. и Пышкало A.M.).- М.: Просвещение. 1977.

3. Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. -- М.: Финансы и статистика, 2006. -- 368 с.

4. Андронов И.К. Проблемы логики и методологии познания. - М.: Наука. 1972.

5. Баракина Т.В. Возможности изучения элементов логики на уроках математики и информатики в начальной школе. Журнал начальная школа плюс до и после. №4. 2009.

6. Возрастные возможности усвоения знаний (под. ред. Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова). - M: Просвещение. 1966.

7. Выготский Л.С. Педагогическая психология. М.: Просвещение, 1991. - 374 с.

8. Готманова А.Д. Логика. - М.: Высшая школа. 1986.

9. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования. - НШ, 1990, №6.

10. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика: Учеб. пособие для вузов. - М., Наука, 1987.-336с.

11. Занков Л.В. Обучение и развитие: экспериментально-педагогическое исследование./ Под ред. Л.В.Занкова. - М., 1975.

12. Ивин А.А. Логика: Учебник для гуманитарных факультетов. - М.: ФАИР - ПРЕСС, 2002. - 320 с.

13. Истомина Н.б. Методика обучения математике в начальных классах. М.: «Академия», 2001. 288 с.

14. Карелин А. Большая энциклопедия психологических тестов.

15. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. -- М.: КомКнига, 2006. 240 с. (Классический университетский учебник.)

16. Кондаков Н.И. Логический словарь - справочник. - М.: Наука. 1976.

17. Курбатов В.И. Логика. Учебное пособие для студентов вузов. - Ростов - на - Дону: Издательство «Феникс», 1997. - 384 с.

18. Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева Математическая Логика. Курс лекций. 3адачник-практикум и решения. Серия Учебники для вузов. - Санкт-Петербург, Издательство "Лань", 1999 - 288 с.

19. Магомедов Н.Г. Игровые формы усвоения элементов математической логики в начальных классах. Ж. Начальная школа, (№4-6). -М.: 2000.

20. Магомедов Насрудин Гитихмаевич. Изучение отношений на числовом множестве как средство формирования элементов математической логики у младших школьников : Дис. ... канд. пед. наук : 13.00.02 : Махачкала, 2000 134 c. РГБ ОД, 61:00-13/1126-9

21. Маркушевич А.И. Математика и школьное образование. Советская педагогика, № 5. 1965.

22. Математическая логика. Под общей ред. А.А. Столяра. Минск, ВШ, 1991.

23. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М., Наука, 1971.-322с.

24. Новиков П.С. Основы математической логики. - М.: Наука. 1965.

25. Основы общей психологии / С.Л.Рубинштейн. СПб.: Питер, 2003. - 720 с.: ил. - (Серия «Мастера Психологии)

26. Пономарев В.Ф. Математическая логика. Часть 1. Логика высказываний. Логика предикатов. Учебное пособие. - Калининград: КГТУ, 2001. - 140с.

27. Пышкало А.М. Новая программа обучения младших школьников. - Начальная школа, №4. 1969

28. Пышкало А.М., Стойлова Л.П., Ирошников Н.П., Зельцер Д.Н. Теоретические основы начального курса математики. Учеб. пособие для учащихся школьных отделений пед. училищ (специальность №2001). М., «Просвещение», 1974. 368 с. с ил.

29. Робетр Р., Столл Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М.: Просвещение. 1968.

30. Скаткин М.Н. Методология и методика педагогических исследований. М., 1986.

31. Стойлова Л.П. Математика: Уебник для студ. высш. пед. учеб. завдений. - М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 424 с.

32. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе. 1990. No 6. С. 5 - 7

33. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. -- 2-е изд. -- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -- 128 с.

34. Чуракова Н.А., Чуракова Р.Г., Федотова О.Н., Каленчук М.Л., Чекин А.Л., Трафимова Г.В., Гринева А.А., Рагозина Т.М., Мылова И.Б., Бененсон Е.П., Паутова А.Г., Агаркова Н.Г., Агарков Ю.А. Программы четырехлетней начальной школы: Проект «Перспективная начальная школа» / Сост. Р.Г. Чуракова. - 5-е изд. - М.: Академкнига /Учебник. 2010. - 204 с.

35. Шенфилд Д. Математическая логика. - М.: Наука. 1975.

36. Эльконин Д.Б. Избранные психологические труды. - М., 1989

37. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. - М.: Педагогика, 1988. - 208 с.

38. Якиманская Н.В. Развивающее обучение. М., 1979

Приложение 1

М	Р(х)	Q(x)	L	Р(х)	Q(x)	K	Р(х)	Q(x)
3	1	1	2	1	0	3	1	1
4	0	0	3	1	1	4	0	0
5	1	1	4	0	0	5	1	1
6	0	0	5	1	1	6	0	0
7	1	1	6	0	0	7	1	1
8	0	0	7	1	1	8	0	0
			8	0	0	9	0	1

Рис. 1

Рис.2

Приложение 2

И	И	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И

A	И	И	Л	Л
B	И	Л	И	Л
АВ	И	Л	Л	И

Приложение 3

Приложение 4

№ задания	Раздел содержания	Объект оценивания	Уровень сложности	Тип задания	Максимальный бал за выполнение
1	Как в математике применяют союз «и» и союз «или»	Использование союза «и»	Б	КО	1
		Использование союз «или»	Б	КО	1
		*использование понятия «круглое» число	Б	КО	1
		*Использование понятия «двузначное» число	Б	КО	1
2	Когда выполнение одного условия обеспечивает выполнения другого	Нестрогое неравенство	Б	КО	1
		двойное неравенство	Б	КО	1
3	Арифметические действия. Не только одно, но и другое	Использование условия «если … то…»	Б	КО	1
		Использование условия «не только одно, но и другое»	Б	КО	1
		* определение периметра прямоугольника	Б	РО	1
		*умножение на однозначное число	Б	РО	1
4		Логическое задание	П	РО	2
Итого	Б-10 П-1	РО - 3 КО- 8	12

Приложение 5

Рекомендации по проверке и оценке выполнения заданий проверочной работы

отметка	Нет «старых» ошибок	Есть «старые» ошибки	примечание
	Количество допущенных ошибок	Коэффициент успешности	Количество допущенных ошибок	Коэффициент успешности
5	1	86	1	72	n=6, c= 14·(k+p) 1 ошибка - 14%
4	2	72
	3	58	2	58
3	4	44	3	44
	5	30	4	30
	6	16	5	16
			6	0

Приложение 6

Приложение 7

Размещено на Allbest.ru

...