Дидактическая

структура

урока

Методическая подструктура урока

Признаки решения

дидактических

задач

Методы

обучения

Форма

деятельности

Методические

приемы и их содержание

Средства

обучения

Способы

организации

деятельности

Организационный момент. Вступительное слово учителя

Информационный

Вступление учителя

Целевая установка

Лекция

Коллективный

Мобилизация учащихся к уроку

Сообщение темы и цели урока

Информационно-рецептивный

Целевая установка

Лекция (индусская притча)

Коллективный

Создание позитивного эмоционального настроя

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний

Информационно-рецептивный

Математический диктант

Наводящие вопросы

Лекция

Фронтальный

Получение ответов на вопросы, взаимопроверка

Актуализация знаний учащихся

Репродуктивный

Беседа

Создание проблемной ситуации

Лекция

Индивидуальный, фронтальный, парный

Получение ответов на вопросы

Введение новых знаний. Физкультминутка

Информационно-рецептивный

Сообщение

Работа у доски

Презентация ученика

Индивидуальный

Усвоение метода оценки

Проблемно-исследовательский

Сообщение, обсуждение

Решение уравнения с дополнительными условиями

Презентация ученика

Индивидуальный

Решение проблемы

Самостоятельное применение полученных знаний

Репродуктивный

Дифференцированная самостоятельная работа

Использование заданий разных типов и разного уровня сложности

Карточки с заданиями

Индивидуальный, фронтальный

Проверка степени сформированности умений и навыков решения уравнений

Подведение итогов урока (рефлексия).

Домашнее задание

Информационно-рецептивный

Объяснение учителя

Составление предложений

Учебник, дополнительная литература

Индивидуальный, фронтальный

Проверка правильности решения на следующем уроке

№

Этап урока

Деятельность учителя. Текст лекции

Деятельность учеников

Время (мин)

1.

Организационный момент

Проверяет готовность класса к уроку. Мотивирует на деятельность. Вступительное слово: «Наш урок пройдёт под девизом «Наука есть не только знание, но и сознание, т.е. умение пользоваться знанием как следует». Это сказал великий математик В. Ключевский»

Подготавливаются к уроку. Записывают в тетради дату проведения урока

1

2.

Сообщение темы и цели урока

«Тема нашего урока: «Решение тригонометрических уравнений». Сегодня на уроке обобщим и расширим знания по типам тригонометрических уравнений и способам их решения.

Послушайте индусскую притчу:

Магараджа выбирал себе министра. Он объявил, что возьмёт того, кто пройдёт по стене вокруг города с кувшином, доверху наполненным молоком, и не прольёт ни капли. Многие ходили, но по пути их отвлекали, и они проливали молоко. Но вот пошёл один. Вокруг него кричали, стреляли. Он не пролил молоко. «Ты слышал крики, выстрелы?» - спросил его потом Магараджа. - «Нет, повелитель».

Так и я, не слышать и не видеть ничего постороннего, вам, желаю при выполнении математического диктанта».

Внимательно слушают учителя

1

3.

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний

Объявляет математический диктант.

Проводит фронтальный опрос класса:

1) Записать формулу корней уравнения:

2) sin x = a (cos x = a).

3) 2) Записать частные случаи решения уравнения:

4) cos x = a ( sin x = a).

5) 3) 1 вариант. Записать формулу корней уравнения tg x = a.

6) 4) 2 вариант. При каких значениях а уравнения.

sin x = a; cos x = a не имеют решений?

5) Решите уравнение:

sin x = 0 (cos x = - 1)

К доске приглашаются два учащихся из класса для выполнения задания (за закрытой доской).

Остальные работают на листах опроса, взаимопроверка (ПРИЛОЖЕНИЕ 1)

5

4.

Актуализация знаний учащихся

Выдаёт карточки с набранными выражениями ученикам (ПРИЛОЖЕНИЕ 2).

Задаёт вопросы:

1. Назовите известные вам типы тригонометрических уравнений?

2. Среди нижеприведённых уравнений:

2sin2x + cos2x = =5sin x cos x

sin26x + sin24x = 1

cos x Ч sin 7x = = cos 3x Ч sin 5x

2sin2x - 3sin x + 1 = = 0

sin2x + 9 cos2x = = 5sin 2x

sin x + sin 5x + + cos x + cos 5x = 0

cos2x + 6 sin x - 6 = = 0

sin x - sin 2x + + sin 3x - sin 4x = 0

4sin2x - 3 sin x cos x + +5cos2x = 3

sin2x - sin2x = =cos2x

sin x + cos x = 0

3sin x + 4cos x = 5

выбрать те, которые решаются:

а) приведением к квадратному относительно sin x или cos x;

б) как однородные;

в) понижением степени;

г) с помощью формул преобразования суммы в произведение и произведения в сумму;

д) с помощью универсальной подстановки;

е) методом введения вспомогательного аргумента.

Положите тетради рядом и проверьте вместе с товарищем по парте ответы»

3. Названия типов уравнений подсказывают нам способы их решения, кроме одного - это однородное уравнение.

1) Какое уравнение называется однородным и как его решать?

2) В чём недостаток универсальной подстановки?

Ответы:

1. Уравнения, приводимые к квадратному относительно sin x или cos x; однородные; уравнения, которые решаются с помощью универсальной подстановки; методом введения вспомогательного аргумента.

2. Записывают ответы в тетрадях.

3. а) 4;7

б) 1; 5; 9; 10; 11

в) 2

г) 3; 6; 8

д) 12

е) 12

Проверяют ответы парами.

3. 1) Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным. Его можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. если мы в данное уравнение подставим cos x = 0, то получим, что sin x = 0, что невозможно, т.к. sin2x + cos2x = 1

2) Происходит потеря корней.

8

5.

Введение новых знаний

О новом методе решения уравнения расскажет… (1 ученик).

«Иногда надо решить тригонометрическое уравнение с дополнительными условиями. Индивидуальные задания покажут вам… (два ученика)»

«Метод оценки заключается в следующем: надо оценить левую и правую части уравнения (предварительно упростив, если возможно) и найти такое значение переменной, при котором возможно равенство, перейдя к равносильной системе.

Если:

то f(x) = g(x) при f(x) = с, g(x) = с

Ученики делают записи в тетрадях. Решают уравнение:

sin = x2 - 2x + 2

Оценим левую и правую части уравнения

| sin | Ј 1

x2 - 2x + 2 = (x2 - 2x +1) + 1 = (x - 1)2 + 1 і 1

Равенство обеих частей уравнения, выполняется

при

Подставим x = 1 во 2-ое уравнение sin = 1 верно

x=1 является решение системы.

Ответ: 1.

Ученики делают записи в тетрадях.

1) Найти количество корней уравнения

2sin2x + sin 2х = =2 cos2x - cos 2х

удовлетворяющих неравенству

8 х2 - 65 pх + 8 p2 Ј 0

Решим уравнение:

2 sin2x + sin 2х = =2 cos2x - cos 2х

1 - cos 2х + sin 2х = =1 + cos 2х - cos 2х

- cos 2х + sin 2х = 0 /: cos 2х № 0

tg 2x - 1 = 0

2x = + pk, kО Z

x = + , kО Z

Решим неравенство:

8x2 - 65 pх + 8 p2 Ј 0

8x2 - 65 pх + 8 p2 = 0

D= (- 65 p)2 - 4 Ч 8 Ч 8p2= 4225p2 - 256p2 = 3969p2 = (63p)2

x1 =

x2= xО [; 8 p]

Из корней тригонометрического уравнения выберем те, которые принадлежат отрезку [; 8 p].

Ј + k Ј 8 p, kО Z

0 Ј k Ј , kО Z

0 Ј k Ј 15

kО Z, k=0; 1, … 15 (16 корней)

Ученики делают записи в тетрадях.

2) Найдите все решения уравнения

cos2х + sin2x = cos x, принадлежащие [- p; p].

cos2x - sin2x + sin2x - -cos х = 0

cos х (cos х - 1) = 0

x = + pk, kО Z

х = 2pn, nО Z

1) - p Ј + pk Ј p, kО Z

Ј pk Ј , kО Z

Ј k Ј k = - 1; 0

x = ; x = - p = -

2) - p Ј 2pn Ј p, nО Z

- Ј n Ј n=0

x = 2p Ч 0 = 0

Ответ: - ; 0; .

14

6.

Физкультминутка

ФМ для улучшения мозгового кровообращения

I. И.п. -- сидя на стуле.

1 -- голову наклонить вправо;

2 -- и.п.; 3 -- голову наклонить влево; 4 -- и.п.; 5 -- голову наклонить вперед, плечи не поднимать; 6 -- и.п.

Повторить 3-4 раза. Темп медленный.

II. И.п. -- сидя, руки на поясе. 1 -- поворот головы направо; 2 -- и.п.; 3 -- поворот головы налево; 4 -- и.п.

Повторить 4-5 раз. Темп медленный.

Повторяют движения физкультминутки

2

7.

Самостоятельное применение полученных знаний

«Мы с вами рассмотрели основные типы тригонометрических уравнений. А теперь вам необходимо выполнить самостоятельную работу».

Раздаются карточки с заданиями (ПРИЛОЖЕНИЕ 3).

«В карточках 3 уравнения, из трёх вам необходимо выбрать 2-а и решить их. После 10 минут проверить ответы»

Выполняют самостоятельную работу в тетрадях

11

8.

Подведение итогов урока

(рефлексия).

Домашнее задание.

Каждому учащемуся раздаются листочки с таблицей для последующего заполнения.

«Оцени свою работу на уроке. (ПРИЛОЖЕНИЕ 4). Заполни оценочный лист (ПРИЛОЖЕНИЕ 5).

Казалось бы, рассмотрены основные типы тригонометрических уравнений, но это не значит, что, зная их, можно решить любое уравнение. Каждое задание требует творческого подхода.

Например: К какому типу относится это уравнение:

5 sin 11x + 24 cos 17x = =29

Не можете ответить на этот вопрос, поэтому вам его надо решить дома, пользуясь дополнительной литературой»

Отвечают на вопросы.

Оценивают свою работу.

Записывают домашнее задание в тетрадь

5

Фамилия _____________________ Имя ______________ За верный ответ 1 балл

1 вариант ответ

Записать формулу корней уравнения: sin x = a _______________________

Записать частные случаи решения уравнения: cos x = a _______________________

Записать формулу корней уравнения: tg x = a _______________________

Решите уравнение: sin x = 0 ________________________

Фамилия _____________________ Имя ______________ За верный ответ 1 балл

2 вариант ответ

Записать формулу корней уравнения: cos x = a ______________________

Записать частные случаи решения уравнения: sin x = a ______________________

При каких значениях а уравнения sin x = a; cos x = a не имеют решений ___________

Решите уравнение: cos x = -1 ______________________

Типы уравнений:

2sin2x + cos2x = 5sin x cos x

sin26x + sin24x = 1

cos x Ч sin 7x = cos 3x Ч sin 5x

2sin2x - 3sin x + 1 = 0

sin2x + 9 cos2x = 5sin 2x

sin x + sin 5x + cos x + cos 5x = 0

cos2x + 6 sin x - 6 = 0

sin x - sin 2x + sin 3x - sin 4x = 0

4sin2x - 3 sin x cos x + 5cos2x = 3

sin2x - sin2x = cos2x

sin x + cos x = 0

3sin x + 4cos x = 5

1 вариант

2 вариант

4sin2x - 4sinx +1 = 0

4cos2x + 4cos x + 1 = 0

sin 2х = 2 sin2x

2sin2x - sin 2х = 0

sin х = x2 + 2x +2

cos x = x2 - 2x +2

Продолжи предложение:

На уроке я работал активно/пассивно

_____________________________________________________________________________

Своей работой на уроке я доволен-на/не доволен-на

_____________________________________________________________________________

Урок мне показался коротким/длинным

_____________________________________________________________________________

За урок я не устал-а/устал-а

_____________________________________________________________________________

Моё настроение стало лучше/стало хуже

_____________________________________________________________________________

Материал урока мне был понятен/не понятен, полезен/бесполезен

интересен/скучен

_____________________________________________________________________________

7. Домашнее задание мне кажется лёгким/трудным, интересным/не интересным

№

этапа

Вид работы

Способ проверки и

оценивания

Количество баллов, оценка

1

Математический диктант

Взаимопроверка (4 балла)

2

Типы уравнений

Учитель (6 баллов)

3

Устные ответы

Правильный ответ (1 балл), выставляет ученик самостоятельно

4

Индивидуальные задания

Учитель (за правильное решение 2 балла)

5

Самостоятельная работа

Самопроверка (3 балла)

Итого:___________________

От 15 баллов и выше - «5»

От 12 баллов до 15 баллов - «4»

От 9 баллов до 12 баллов - «3»