Методика решения текстовых задач арифметическим способом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава I. Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней

1.1 Понятие текстовой задачи

1.2 Виды арифметических задач

1.3 Роль задачи в математике

1.4 Этапы решения текстовых задач и приемы их выполнения

1.5 Некоторые способы решения текстовых задач

Глава II. Обучение школьников приемам решения текстовых арифметических задач

2.1 Решение задач на совместное движение

2.2 Задачи, решаемые с помощью таблиц

2.3 Решение задач на нахождение части числа и числа по части

2.4 Задачи на проценты

2.5 Задачи на совместную работу

Заключение

Литература

Введение

Можно научить учеников решать достаточно много типов задач, но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума. У.У. Сойер

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, т. е. развивает естественный язык. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами ( с учетом типа задачи ), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, т.е, формировать и развивать важные общеучебные умения.

Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Текстовые задачи -- традиционно трудный, для значительной части школьников, материал. В практике большинство учителей мало уделяют внимание решению задач Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в задачу; составить план решения, выполнить проверку полученного результата.

Цель моей выпускной работы -- исследование методики обучения решению текстовых задач арифметическим способом, рассмотреть структуру текстовой задачи, этапы решения задач арифметическим методом, показать трудности при решении задач, умение преодолевать эти трудности, применение арифметического способа решения текстовых задач из личной практики.

Объектом изучения является учебно-воспитательный процесс на уроках математики.

Задачи работы:

– проанализировать психолого-педагогическую литературу по данной теме; изучить научно-методическую литературу, направленную на обучение решению текстовых задач;

– рассмотреть характеристику текстовой задачи и методику работы с ней;

– показать применение арифметического способа при решении текстовых задач.

Структура работы. Моя работа состоит из введения, глав “Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней“ и “Обучение школьников приемам решения текстовых задач арифметическим способом“, заключения. В первой главе я рассмотрела понятие текстовой задачи, типы задач, что значит решить задачу, этапы процесса решения задачи арифметическими методами.Во второй главе я рассмотрела решение арифметическим способом текстовых задач на примере задач на движение, на нахождение дроби от числа и числа по величине его дроби, задач на процентные расчеты, на совместную работу; задачи, решаемые с помощью таблиц, среднее арифметическое в задачах. Старалась показать методику обучения учащихся решению текстовых задач, их место в учебно-воспитательном процессе на уроке. В своей работе я хочу показать конкретное применение арифметических способов решения текстовых задач, используя свой личный опыт.

По данной проблеме достаточно литературы. Проанализируя некоторые из них, хотелось бы отметить книгу С. Лукьяновой «Розв'язування текстових задач арифметичними способами». В книге рассматриваются разные арифметические способы решения текстовых задач и предлагаются оригинальные методики обучения этому учащихся 5-6-х классов. Автор рассматривает около 200 задач разных уровней сложности, к большинству которых предложено решение (к некоторым - несколько способов), каждое из которых реализуется только с помощью арифметических действий. В книге «Обучение решению текстовых задач. Книга для учителя», автор Шевкин А.В., подробно описаны предложения, возвращающие нас к лучшим традициям математического образования, о необходимости отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач, внося коррективы в традиционную методику обучения и стараясь избежать характерных недостатков ее применения. В учебном пособии Фридмана Л.М. «Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика» говорится, что при решении задач различными методами предпочтительнее выбирать тот, который распространяется на более широкий круг задач и есть целый ряд задач, которые легче решаются арифметически, чем алгебраически, а есть такие, которые и вовсе недоступны алгебре, хотя не представляют трудности для арифметики.

В работе использовала материалы учебно-методической газеты «Математика» №23 - 2005 ( Издательский дом «Первое сентября»), «Нетрадиционные уроки. Математика 5-11 кл.» ( М.Е.Козина, М.Е.Фадеева - Волгоград, 2008г.), Методические рекомендации для 5-6 классов, Дидактические материалы для 5-6 классов (М.К.Потапов, А.В. Шевкин) и другие.

Глава I. Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней

решение текстовый задача арифметический

Математика - это орудие для размышления, в ее арсенале имеется большое количество задач, которые на протяжении тысячелетий способствовали формированию мышления людей, умению решать нестандартные задачи, с честью выходить из затруднительных положений.

Работе с текстовыми задачами следует уделить достаточно много времени, обращая внимание детей на поиск и сравнение различных способов решения задачи, построение математических моделей, грамотность изложения собственных рассуждений при решении задач.

1.1 Понятие текстовой задачи

Решение текстовых задач дает богатый материал для развития и воспитания учащихся. Эти задачи сформулированы на естественном языке, поэтому их называют текстовыми. В них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий, поэтому их часто называют сюжетными. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь на те условия, которые указаны в задаче и учитывая их» - отметил Л.М. Фридман в своей работе «Сюжетные задачи по математике».

Текстовая задача -- есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения. Текстовые задачи могут быть абстрактного содержания, когда в тексте зависимости между числами описаны словесно (Найти два числа, если одно из них на 18 больше другого, а их сумма равна 80) или с определенным сюжетом (Билет для входа на стадион стоил 160 руб. После того, как плату за вход снизили, количество зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стоит билет после снижения платы за вход?).

Каждая задача -- это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и , наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое.

Математическая задача -- это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ним определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса), причем условия и требования взаимосвязаны.

В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи -- это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найдите скорость велосипедистов или « Сколько километров проходил турист в каждый из трех дней?» ). Требований в задаче может быть несколько.

Рассмотрим задачу: Свитер,шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?

Объекты задачи: шарф, шапка, свитер. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения: Свитер, шапка, шарф связаны из 1200 г шерсти.

На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

На шапку израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Требования: Сколько шерсти израсходовали на свитер?

Сколько шерсти израсходовали на шапку?

Сколько шерсти израсходовали на шарф ?

В задаче три неизвестных значений величин, одно из которых заключено в требовании задачи. Это значение величины называется искомым.

Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или все условие включено в одно предложение с требованием задачи.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть, такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.

На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так в задаче: «Сколько литров воды в каждой бочке, если в первой на 48 л больше, чем в другой?» - недостаточно данных для ответа на ее вопрос. Чтобы решить эту задачу, необходимо ее дополнить недостающими данными.

Одна и та же задача может рассматриваться как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся и решающих значений.

Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:

1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.

Понимая роль задачи и ее место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения обоснованно и четко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи.

1.2 Виды арифметических задач

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, называется составной.

Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из центральных понятий начального курса математики -- понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и ее составными частями. В связи с решением простых задач дети овладевают основными приемами работы над задачей.

Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению ее на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточить внимание учащихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения ее в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время.

В решении составной задачи появилось существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которым вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать составные задачи.

1.3 Роль задачи в математике

Значительное место в математике занимают текстовые задачи. При рассмотрении смысла арифметических действий, связи существующей между действиями и взаимосвязи между компонентами и результатами действий непременно используются соответствующие простые задачи (задачи, решаемые одним арифметическим действием). Текстовые задачи служат одним из важнейших средств ознакомления детей с математическими отношениями, используются в целях уяснения доли, помогают и при формировании ряда геометрических понятий, а также при рассмотрении элементов алгебры.

Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т. п.

Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет исключительно важную роль в формировании у детей элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия имеют корни в реальной жизни, в практике людей. Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Содержание многих задач отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры.

Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида.

Задачи являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями. Решение задач -- упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задачи, что является одним из важных звеньев в цепи познания математики, этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но ипрокладывает пути к глубокому пониманию ее. Работа по осознанию хода решения той или иной математической задачи дает импульс к развитию мышления ребенка. Решение задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углубленному изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира. Кроме того, нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей положительные качества характера и развивает их эстетически.

1.4 Этапы решения тестовых задач и приемы их выполнения

Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка. Решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи, процесс нахождения результата. Причем этот процесс рассматривается двояко: метод нахождения результата и последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод. То есть в данном случае под решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу. Основными методами решения текстовых задач является арифметический и алгебраический. Решить задачу арифметическим способом -- это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Решение задач -- это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Рассмотрим пример: «Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот отработав 7 месяцев, захотел уйти и попросил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 рублей и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?».

Решение задачи: работник не получил 12 -- 5 = 7 (руб) за 12 - 7 = 5(месяцев),

поэтому за один месяц ему платили 7 : 5 = 1,4 (руб),

а за 7 месяцев он получил 7 * 1,4 = 9,8 (руб),

тогда кафтан стоил 9,8 -- 5 = 4,8 (руб).

Ответ: стоимость кафтана 4,8 рублей.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

В расширенном виде решение текстовой задачи можно представить как последовательность таких этапов:

1) анализ задачи;

2) построение модели;

3) поиск способа решения ( составление плана решения );

4) запись решения;

5) проверка решения;

6) исследование задачи и ее решения;

7) формулирование ответа;

8) учебно-познавательный анализ задачи и ее решения.

Чаще всего реализуется только четыре этапа : анализ задачи, составление плана решения, запись решения, формулирование ответа, а на всех этапах останавливаются только при решении сложных, проблемных задач или задач, которые имеют определенные обобщающе -- теоретическое значение.

Анализ задачи всегда направлен на ее требование.

Цели этапа: - понять ситуацию, описанную в задаче;

- выделить условия и требования;

- назвать известные и искомые объекты;

- выделить все отношения ( зависимости ) между ними.

Чтобы разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования, нужно задать специальные вопросы:

1. О чем задача?

2. Что требуется найти в задаче ?

3. Что означают те или иные слова в тексте задачи?

4. Что в задаче неизвестно?

5. Что является искомым?

Рассмотрим пример: «По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4км/ч, а скорость второго 5км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?»

Анализ задачи: 1) О чем эта задача?

-Задача о движении двух мальчиков и собаки. Оно характеризуется для каждого из участников движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.

2) Что требуется найти в задаче?

-В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все время от начала движения, пока мальчики не окажутся рядом, т. е. второй не догонит первого.

3) Что в задаче известно о движении каждого из его участников?

-В задаче известно: а) мальчики идут в одном направлении;

б) до начала движения расстояние между мальчиками было 2км;

в) скорость первого мальчика, идущего впереди, 4км/ч;

г) скорость второго мальчика, идущего позади, 5км/ч;

д) скорость, с которой бежит собака, 8км/ч;

е) время движения, когда расстояние между мальчиками было 2км до момента встречи.

4) Что в задаче неизвестно?

-В задаче неизвестно: а) время, за которое второй мальчик догонит первого (время движения всех его участников);

б) с какой скоростью происходит сближение мальчиков;

в) расстояние, которое пробежала собака (это требуется узнать в задаче).

5) Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?

Искомым является значение величины -- расстояние, которое пробежала собака за время от начала движения мальчиков до момента встречи.

Большую помощь в осмыслении задачи оказывает прием -- перефразировка текста задачи. То есть из текста задачи отбрасывается все лишнее (не существенное), а описания некоторых понятий заменяют соответствующими терминами и наоборот заменяют некоторые термины описанием содержания соответствующих понятий.

Перефразировка текста задачи -- преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения. Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций. Для удобства понимания задачи можно ее записать в виде таблицы или схематического чертежа. И таблица и схематический чертеж являются вспомогательными моделями задачи. Они служат формой фиксации анализа текстовой задачи и являются основным средством поиска плана ее решения. После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1) все ли объекты задачи показаны на модели;

2) все ли отношения между объектами отражены;

3) все ли числовые данные приведены;

4) есть ли вопрос ( требование ) и правильно ли он указывает искомое.

Поиск плана решения задачи

Цели этапа: установить связь между данными и исходными объектами;

наметить последовательность действий.

План решения задачи -- это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов. При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними ( такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, решающий вновь выделяет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т. д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта. При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т. д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке. Разбор по тексту задачи: « На поезде, который шел со скоростью 56км/ч, турист проехал 6ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?»

Рассуждения от данных к вопросу: известно: 6ч турист ехал на поезде;

скорость поезда 56км/ч.

По этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6ч (скорость умножить на время). Зная пройденную часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему оно равно (пройденное расстояние нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза)). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можно найти весь путь, выполнив сложение найденных отрезков пути.

Итак действия: 1) расстояние,которое турист проехал на поезде;

2) расстояние, которое ему осталось проехать; . 3) весь путь.

Рассуждение от вопроса к данным: В задаче требуется узнать весь путь туриста. Мы установили, что путь состоит из двух частей. Значит, для выполнения требования задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал и сколько километров ему осталось проехать. И то, и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист. Это в задаче известно. Умножив скорость на время, узнаем путь, который турист проехал. Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (умножив на 4). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь.

Осуществление плана решения задачи:

Цель этапа: найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решающих арифметическим способом, используются следующие приемы:

- запись по действиям(с пояснением, без пояснения, с вопросами);

- запись в виде выражения.

а) Запись решения по действиям с пояснением к каждому выполненному действию: 1) 56*6 = 336(км) -- турист проехал за 6ч.

2) 336*4 = 1344(км) -- осталось проехать туристу;

3) 336 + 1344 = 1680(км) -- должен был проехать турист.

Если пояснения даются в устной форме ( или совсем не даются), то запись будет следующей: 1) 56 * 6 = 336(км);

2) 336 * 4 = 1344(км);

3) 336 + 1344 = 1680(км)

б) Запись решения по действиям с вопросами:

1) Сколько километров турист проехал на поезде?

56 * 6 = 336(км)

2) Сколько километров осталось проехать туристу?

336 * 4 = 1344(км)

3) Сколько километров турист должен был проехать?

336 + 1344 = 1680(км)

Проверка решения задачи:

Цель этапа: установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача. Рассмотрим основные:

1. Установление соответствия между результатом и условиями задачи. Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.

2. Решение задачи другим способом.

Пусть при решении задачи каким-то способом получен некоторый результат. Если ее решение другим способом приводит к тому же результату, то задача решена верно.

1.5 Некоторые способы решения текстовых задач.

На основании похожести по математическому смыслу и взаимозаменяемости разных приемов решения все арифметические способы можно объединить в такие группы:

1) способ приведения к единице, приведение к общей мере, обратного приведения к единице, способ отношений;

2) способ решения задач с «конца»;

3) способ исключения неизвестных ( замена одного неизвестного другим, сравнение неизвестных, сравнение данных, сравнение двух условий вычитанием, объединение двух условий в одно ); способ предположения;

4) пропорциональное деление, подобие или нахождение частей;

5) способ преобразования одной задачи в другую (разложение сложной задачи на простые, подготовительные; приведение неизвестных к таким значениям, для которых становится известным их отношение; прием определения произвольного числа для одной из неизвестных величин ).

Кроме названных способов целесообразно рассматривать еще способ среднего арифметического, метод излишек, способ перестановки известного и неизвестного, способ «фальшивых» правил.

Посколько обычно невозможно наперед определить, какой из способов является найрациональным, предвидеть, какой их них приведет к простейшему и самому понятному для ученика решению, то учащихся стоит познакомить с разными способами и давать им возможность самим выбирать, какой из них применить при решении конкретной задачи.

Способ исключения неизвестных

Этот способ используется, когда в задаче несколько неизвестных. Такую задачу можно решить с помощью одного из пяти приемов: 1) замена одного неизвестного другим; 2) сравнение неизвестных; 3) сравнение двух условий вычитанием; 4) сравнение данных; 5) объединение нескольких условий в одну.

В результате применения одного из перечисленных приемов вместо нескольких неизвестных остается одно, которое можно найти. Вычислив его, используют данные в условии зависимости для нахождения других неизвестных.

Остановимся детальнее на рассмотрении некоторых из приемов.

1. Замена одного неизвестного другим

Название приема раскрывает его идею: на основании зависимостей (кратных или разностных), какие даны по условию задачи, необходимо выразить все неизвестные через одно из них.

Задача. У Сергея и Андрея всего 126 марок. У Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея. Сколько марок было у каждого из мальчиков?

Краткая запись условия:

Сергей -- ? марок, на 14 марок больше

Андрей -- ? марок

Всего -- 126 марок

Решение 1.

( замена большего неизвестного меньшим )

1) Пусть у Сергея было столько марок, как и у Андрея. Тогда общее количество марок было бы 126 -- 14 = 112 (марок).

2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Андрея сначало: 112 : 2 = 56 (марок).

3) Учитывая, что у Сергея на 14 марок больше , чем у Андрея, получаем: 56 + 14 = 70 (марок).

Решение 2.

(замена меньшего неизвестного большим)

1) Пусть у Андрея было столько же марок, как и у Сергея. Тогда общее количество марок было бы 126 + 14 = 140 (марок).

2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Сергея сначало: 140 : 2 = 70 (марок).

3) Учитывая, что у Андрея было на 14 марок меньше, чем у Сергея, получим: 70 -- 14 = 56 (марок).

Ответ: У Сергея было 70 марок, а у Андрея -- 56 марок.

Для наилучшего усвоения учащимися способа замены меньшего неизвестного большим перед его рассмотрением необходимо выяснить с учащимися такой факт :если число А больше числа В на С единиц, то чтобы сравнить числа А и В необходимо:

а) из числа А вычесть число С (тогда оба числа равны числу В);

б) к числу В прибавить число С (тогда оба числа равны числу А).

Умение учащихся заменять большее неизвестное меньшим, и наоборот, в дальнейшем способствует развитию умений выбирать неизвестное и выражать через него другие величины при составлении уравнения.

2. Сравнение неизвестных

Задача. На четырех полках стояло 188 книг. На второй полке книг было на 16 меньше, чем на первой, на третьей -- на 8 больше, чем на второй, а на четвертой -- на 12 меньше, чем на третьей полке. Сколько книг на каждой полке?

Анализ задачи

Для лучшего осознания зависимостей между четырьмя неизвестными величинами (количеством книг на каждой полке) используем схему:

I _________________________________

II___________________________

III______________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Сравнивая отрезки, которые схематически изображают количество книг на каждой полке, приходим к таким выводам: книг на первой полке на 16 больше, чем на второй; на третьей на 8 больше, чем на второй; на четвертой -- на 12 -- 8 = 4 (книг) меньше, чем на второй. Следовательно, задачу можно решить, сравнив количество книг на каждой полке. Для этого снимем с первой полки 16 книг, с третьей -- 8 книг и поставим на четвертую полку 4 книги. Тогда на всех полках будет одинаковое количество книг, а именно -- как на второй было сначало.

Решение:

1) Сколько книг стоит на всех полках после описанных в анализе задачи операций?

188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (книг )

2) Сколько книг было на второй полке?

168 : 4 = 42 ( книг )

3) Сколько книг было на первой полке?

42 + 16 = 58 ( книг )

4) Сколько книг было на третьей полке?

42 + 8 = 50 ( книг )

5) Сколько книг было на четвертой полке?

50 -- 12 = 38 ( книг )

Ответ: На каждой из четырех полок было 58, 42, 50 и 38 книг.

Замечание. Можно предложить учащимся решить эту задачу другими способами, если сравнивать неизвестные количество книг, которые стояли на первой, или на второй, или на четвертой полках.

3. Сравнение двух условий вычитанием

В сюжет задачи, которая решается этим приемом, часто входят две пропорциональные величины (количество товара и его стоимость, количество работников и выполненная ими работа и т. п.). В условии дается два значения одной величины и разность двух пропорциональных к ним числовых значений другой величины.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 4кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 500 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,

4кг ап. и 3кг бан. - 500 руб.

Решение:

1) Сравним стоимость двух покупок. И в первый раз, и во второй раз покупали одинаковое количество апельсинов по одной и той же цене. Первый раз заплатили больше потому, что купили больше бананов. Найдем, на сколько килограммов бананов было куплено больше в первый раз: 5 -- 3 = 2 (кг).

2) Найдем, на сколько больше заплатили первый раз, чем во второй (то есть узнаем, сколько стоят 2кг бананов): 620 -- 500 = 120 (руб.).

3) Найдем цену 1кг бананов: 120 : 2 = 60 (руб.).

4) Зная стоимость первой и второй покупок, можем найти цену 1кг апельсинов. Для этого сначало найдем стоимость купленных бананов, потом стоимость апельсинов, а потом цену 1кг. Имеем: ( 620 -- 60*5 ) : 4 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, а цена 1кг бананов -- 60 руб.

4. Сравнение данных

Применение данного приема дает возможность сравнить данные и применить способ вычитания. Сравнивать значения данных можно:

1) с помощью умножения ( сравнивая их с наименьшим общим кратным);

2) с помощью деления (сравнивая их с наибольшим общим делителем).

Покажем это на примере.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 6кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 660 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,

6кг ап. и 3кг бан. - 660 руб.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наименьшим общим кратным: НОК(4;6) = 12.

Решение1.

1) Увеличим количество купленных фруктов и их стоимость в первом случае в 3 раза, а во втором -- в 2 раза. Получим такую краткую запись условия:

12кг ап. и 15кг бан. - 1860 руб,

12кг ап. и 6кг бан. - 1320 руб.

2) Узнаем, на сколько больше бананов купили первый раз: 15- 6 = 9(кг).

3) Сколько стоит 9кг бананов? 1860 -- 1320 = 540 (руб).

4) Найдем цену 1кг бананов: 540 : 9 = 60(руб).

5) Найдем стоимость 3кг бананов: 60*3 = 180(руб).

6) Найдем стоимость 6кг апельсинов: 660 -- 180 = 480(руб).

7) Найдем цену 1кг апельсинов: 480 : 6 = 80(руб).

Решение2.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наибольшим общим делителем: НОД (4; 6) = 2.

1) Чтобы уравнять количество апельсинов, купленных в первый раз и во второй раз, уменьшим количество купленного товара и его стоимость в первом случае в 2 раза, во втором -- в 3 раза. Получим задачу, которая имеет такую краткую запись условия

2кг ап. и 2,5кг бан. - 310 руб,

2кг ап. и 1кг бан. - 220 руб.

2) На сколько теперь бананов покупают больше: 2,5 -- 1 = 1,5 (кг).

3) Найдем, сколько стоит 1,5кг бананов: 310 -- 220 = 90 (руб).

4) Найдем цену 1кг бананов: 90 : 1,5 = 60 (руб).

5) Найдем цену 1кг апельсинов: ( 660 -- 60*3 ) : 6 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, 1кг бананов -- 60 руб.

При решении задач с использованием приема сравнения данных можно не делать такого детального анализа и записей, а только сделать запись изменений, которые делали для сравнения, и записать их в виде таблицы.

5. Объединение нескольких условий в одно

Иногда избавиться от лишних неизвестных можно, объединив несколько условий в одно.

Задача. Туристы вышли из лагеря и сначала 4 часа шли пешком, а потом еще 4 часа ехали на велосипедах с некоторой постоянной скоростью и удалились от лагеря на 60км. Во второй раз они вышли из лагеря и сначала ехали на велосипедах с такой же скоростью 7 часов, а потом повернули в обратном направлении и , двигаясь пешком 4 часа, оказались на расстоянии 50км от лагеря. С какой скоростью туристы ехали на велосипедах?

Решение

В задаче два неизвестных: скорость , с какой туристы ехали на велосипедах, и скорость, с какой они шли пешком. Для того, чтобы исключить одно из них, можно объединить два условия в одно. Тогда расстояние, которое пройдут туристы за 4 часа, двигаясь вперед первый раз пешком, равно расстоянию, которое они прошли за 4 часа, двигаясь назад во второй раз. Поэтому на эти расстояния не обращаем внимания. Значит, расстояние, которое пройдут туристы за 4 + 7 =11 (час) на велосипедах, будет равно 50+60=110 (км).

Тогда скорость движения туристов на велосипедах: 110 : 11 = 10 (км/ч).

Ответ.Скорость движения на велосипедах составляет 10 км/ч.

6. Способ допущения

Использование способа допущения при решении задач у большинства учащихся не вызывает трудностей. Поэтому, чтобы не возникало механического запоминания учащимися схемы шагов этого способа и непонимания сути выполненных действий на каждом из них, следует сначала показать учащимся способ проб («фальшивое правило» и «правило древних вавилонян»).

При использовании способа проб, в частности «фальшивого правила», одной из неизвестных величин дается («допускается») некоторое значение. Потом, используя все условия, находят значение другой величины. Полученное значение сверяют с тем, которое задано в условии. Если полученное значение отлично от данного в условии, то задаваемое первое значение не правильно и его необходимо увеличивать или уменьшать на 1, и снова находить значение другой величины. Так необходимо делать до тех пор , пока не получим значение другой величины такое, как в условии задачи.

Задача. У кассира есть 50 монет по 50копеек и по 10 копеек, всего на сумму 21 руб. Найдите, сколько было у кассира отдельно монет по 50к. и по 10к.

Решение1. ( способ проб)

Воспользуемся правилом «древних» вавилонян. Предположим, что у кассира монет каждого номинала поровну, то есть по 25 штук. Тогда сумма денег будет 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (к.), или 15 руб. Но в условии 21 руб, то есть больше, чем получили, на 21 грн -- 15 руб.= 6 руб. Значит, необходимо увеличивать количество монет по 50 копеек и уменьшать количество монет по 10 копеек, пока не получим в сумме 21 руб. Изменение количества монет и общую сумму запишем в таблицу.

Количество монет	Количество монет	Сумма денег	Сумма денег	Общая сумма	Меньше или больше, чем в условии
по 50 к.	по 10 к.	по 50к.	по 10 к.
25	25	12руб50к.	2руб50к.	15,00 руб.	Меньше на 6руб.
26	24	13,00 руб.	2руб40к.	15руб40к.	Меньше на 5руб60к
...	...	...	...	...	...
40	10	20руб	1руб	21руб	Как в условии

Как видно из таблицы, у кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Решение2

Как выяснилось в решении 1, если бы у кассира было поровну монет по 50к. и по 10к., то всего у него было денег 15 руб. Легко заметить, что каждая замена монети 10к. на монету 50к. увеличивает общую сумму на 40к. Значит, необходимо найти, сколько необходимо сделать таких замен Для этого найдем сначала, на сколько денег необходимо увеличить общую сумму:

21 руб -- 15 руб. = 6 руб. = 600 к.

Найдем, сколько раз такую замену необходимо сделать: 600 к. : 40 к.=15.

Тогда по 50 к. будет 25 +15 =40 (монет), а монет по 10 к. останется
25 -- 15 = 10.

Проверкой подтверджается, что общая сумма денег в этом случае равна 21 руб.

Ответ: У кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Предложив учащимся самостоятельно выбирать разные значения количества монет по 50 копеек, необходимо подвести их к идее, которая наилучшим с точки зрения рациональности есть допущение, что у кассира были только монеты одного номинала (например, все 50 монет по 50 к. или все 50 монет по 10к. каждая). Благодаря чему, одно из неизвестных исключается и заменяется другим неизвестным.

7. Способ остатков

Этот способ имеет некоторую схожесть с размышлениями при решении задач способами проб и допущений. Способ остатков используем, решая задачи на движение в одном направлении, а именно -- когда необходимо найти время, за которое первый объект, который движется позади с большей скоростью, догонит второй объект, который имеет меньшую скорость движения. За 1 час первый объект приближается ко второму на расстояние, которое равно разности их скоростей, то есть равно «остатку» скорости, которая есть у него в сравнении со скоростью второго. Чтобы найти время, которое необходимо первому объекту для преодоления расстояния, которое было между ним и вторым на начало движения, следует определить, сколько раз «остаток» помещается в этом расстоянии.

Если абстрагироваться от сюжета и рассмотреть только математическую структуру задачи, то в ней говорится о двух множителях (скорости движения обоих объектов) или разнице этих множителей и о двух произведениях (расстояния, которые они проходят) или их разность. Неизвестные множители (время) одинаковые и их необходимо найти. С математической точки зрения неизвестный множитель показывает, сколько раз разность известных множителей содержится в разности произведений. Поэтому задачи, которые решаются способом остатков, получили название задач на нахождение чисел по двум разностям.

Задача. Учащиеся решили наклеить в альбом фотографии с праздника. Если они на каждую страницу наклеют по 4 фотографии, то в альбоме не хватит места для 20 фотографий. Если же на каждую страницу клеить по 6 фотографий, то 5 страниц останутся свободными. Сколько фотографий собираются учащиеся наклеить в альбом?

Анализ задачи

Количество фотографий остается одинаковым при первом и втором вариантах наклеивания. По условию задачи оно неизвестно, но его можно найти, если будет известно количество фотографий, которые размещаются на одной странице, и количество страниц в альбоме.

Решение

Количество фотографий, которые наклеивают на одну страницу, известно (первый множитель). Количество страниц в альбоме неизвестно и остается неизменным (второй множитель). Так как известно, что 5 страниц альбома остаются во второй раз свободными, то можно найти, сколько еще фотографий можно было бы наклеить в альбом: 6*5 = 30 (фотографий).

Значит, увеличивая количество фотографий на одной странице на 6 - 4 = 2, количество наклеенных фотографий увеличивается на 20 + 30 = 50.

Так как во второй раз на каждую страницу наклеивали на две фотографии больше и всего наклеили на 50 фотографий больше, то найдем количество страниц в альбоме: 50 : 2 = 25 (стр.).

Следовательно, всего фотографий было 4*25 + 20 = 120 (фотографий).

Ответ: В альбоме было 25 страниц и клеили 120 фотографий.

Глава II. Обучение школьников приемам решения текстовых арифметических задач

Обучение методам решения текстовых задач провожу системно, при изучении каждой темы школьного курса.

2.1 Решение задач на совместное движение

Начиная с 5-го класса, ученики часто встречаются с этими задачами. Еще в начальной школе учащимся дается понятие «общей скорости».В результате у них формируются не совсем правильные представления о скорости сближения и скорости удаления ( данной терминологии в начальной школе нет ).Чаще всего, решая задачу, учащиеся находят сумму. Начинать решать эти задачи лучше всего с введения понятий : «скорость сближения», «скорость удаления». Для наглядности можно использовать движение рук, объясняя, что тела могут двигаться и в одном направлении.и в разном. В обоих случаях может быть и скорость сближения и скорость удаления, но в разных случаях они находятся по-разному. После этого ученики записывают следующую таблицу:

Таблица 1.

Методы нахождения скорости сближения и скорости удаления

	Движение в одном направлении	Движение в разных направлениях
Скорость удаления	V1 V2	V1 V2
Скорость сближения	V1 V2	V1 V2
	V1 - V2 (V1 V2 )	V1 + V2

При разборе задачи даются следующие вопросы

1. С помощью движения рук выясняем, как двигаются тела относительно друг друга (в одном направлении, в разных).

2. Выясняем, каким действием находится скорость (сложением, вычитанием).

3. Определяем, какая это скорость (сближения, удаления).

Записываем решение задачи.

Пример № 1. Из городов А и В, расстояние между которыми 600км, одновременно, навстречу друг другу вышли грузовая и легковая машины. Скорость легковой 100 км/ч, а грузовой -- 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Учащиеся движением рук показывают, как движутся машины и делают следующие выводы:

а. машины движутся в разных направлениях;

б. скорость будет находиться сложением;

в. так как они движутся навстречу друг другу, то это скорость сближения.

Решение:

1. 100 + 50 = 150 (км/ч) - скорость сближения.

2. 600 : 150 = 4 (ч) - время движения до встречи.

Ответ: через 4 часа.

Пример №2. Мужчина и мальчик вышли из дома на дачу одновременно и идут одной и той же дорогой. Скорость мужчины 5км/ч, а скорость мальчика 3км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

С помощью движения рук, выясняем:

а. мальчик и мужчина движутся в одном направлении;

б. скорость находится разностью;

в. мужчина идет быстрее, т. е., удаляется от мальчика ( скорость удаления).

Решение:

1. 5 -- 3 = 2 (км/ч) - скорость удаления.

2. 2*2 = 4 (км/ч) - расстояние между мужчиной и мальчиком через 2 часа

Ответ: 4 км.

2.2 Задачи, решаемые с помощью таблиц

При подготовке к решению таких задач можно удачно использовать карты сигналы.

№ 1 на … больше +
№ 2 в … больше х
№ 3 на … меньше -
№ 4 в … меньше :

Устный счет следует проводить с использованием данных карт, которые должны быть у каждого учащегося, что позволяет привлечь к работе весь класс.

Пример№1. У первого мальчика на 5 марок больше, чем у второго. Как найти сколько марок у второго?

Учащиеся поднимают карту №1 и объясняют, что к числу первого нужно прибавить 5, так как у него на 5 больше, выделяя интонацией «на … больше»

Пример №2. У второго мальчика 30 марок, а у первого в 3 раза меньше. Сколько марок у первого мальчика?

Учащиеся должны поднять карту №4 и ответить: 10 марок, так как 30:3 =10. Опорные слова - «в...меньше».

Подбор задач на устный счет должен быть разнообразным, но каждый раз ученик должен давать объяснение, называя опорные слова. В таблице опорные слова лучше подчеркивать.

Пример №3. Всадник проехал 80км за 5 часов. Сколько времени потратит на этот путь велосипедист, если его скорость на 24 км/ч больше скорости всадника?

	Скорость	Время	Расстояние
Всадник	16 км/ч	5 часов	80 км
Велосипедист	на 24км/ч больше		80 км

При заполнении таблицы ученик должен подчеркнуть опорные слова и объяснить, что скорость велосипедиста находится путем сложения 16 км/ч и 24 км/ч. Затем, устанавливая функциональную зависимость между величинами, учащиеся заполняют все строки и столбцы таблицы. После этого, в зависимости от поставленной задачи, ученик или отвечает на вопрос , или оформляет решение. Работая с таблицей, учащийся должен понимать, что при решении задачи все строки и столбцы должны быть заполнены данными задачи, и данными, которые получаются в результате использования функциональной зависимости между величинами.

2.3 Решение задач на нахождение части числа и числа по части

Для подготовки к решению данных задач проводится работа по усвоению понятия дроби. При устном счете нужно добиться, чтобы каждый учащийся знал: а. какое действие обозначает дробная черта;

б. что обозначает дробь.

Дробная черта обозначает действие деления, а дробь 3/4 обозначает, что данное разделили на 4 равные части и взяли 3 части. Для этого хорошо использовать конверты, которые готовят все учащиеся с помощью родителей. В конверты вложены круги: целые, разрезанные пополам, на 3 равные части, на 4; 6; 8 частей. Каждые доли одного круга имеют одинаковый цвет. Используя этот материал, учащиеся наглядно видят как получаются дроби.

Например. Выложить фигуру, изображающую дробь 5/6. Зная цвета долей, учитель видит ошибки, допускаемые учащимися, и разбирает задание. При ответе ученик говорит, что круг разделили на 6 равных частей и взяли 5 таких частей.

Наличие подобных конвертов дает возможность наглядного представления о сложении дробей с одинаковыми знаменателями и о вычитании из единицы дроби. Так как к работе привлечены все учащиеся и сложение видно наглядно, после двух примеров учащиеся сами формулируют правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим вычитание. Из 1 вычтем 1/4. Учащиеся кладут на стол круг, но замечают, что из него пока убрать ничего не возможно. Тогда они предлагают круг разрезать на 4 равные части и убрать одну. Делаем вывод, что 1 надо заменить дробью 4/4. После 2-3 примеров учащиеся сами делают вывод.

С использованием этого материала дается понятие об основном свойстве дроби, когда на дробь 1/3 они накладывают 2/6 и т. д. Отработав этот материал, приступаем к решению задач.

Пример №1. В саду 120 деревьев. Березы составляют 2/3 всех деревьев, а остальные сосны. Сколько было сосен?

Вопрос: Что означает дробь 2/3?

Ответ: Все количество деревьев разделили на 3 равные части и березы составляют 2 части.

I способ:

120 : 3 = 40 (дер.) - составляют одну часть.

40*2 = 80 (дер.) - было берез.

120 -- 80 = 40 (дер.) - было сосен.

II способ:

120 : 3 = 40 (дер.) - составляют одну часть.

3 -- 2 = 1 (часть ) - составляют сосны.

40*1 = 40 (дер.) - составляют сосны.

...