Проведение математических олимпиад

Таким образом, возможность применения этой формы обучения одаренных детей ограничивается готовностью и умением учителя применять в своей практике технологии обучения в малых группах, с одной стороны, и умением дифференцировать учебную программу для разных групп учащихся на основании тех требований, которые обусловлены специфическими потребностями и возможностями той или иной группы учащихся, - с другой. Понятно, что это требует специальной подготовки учителя, особого мастерства, свободного и оперативного доступа учителя к разнообразным источникам информации и техническим средствам.

Важно иметь в виду, что выбор и применение той или иной формы индивидуализации и дифференциации обучения должны быть основаны не только на возможности конкретной школы, но, прежде всего на учете индивидуальных особенностей ребенка, которые и должны определять выбор оптимальной для него стратегии развития. В частности, применение различных форм организации учебного процесса в целях дифференциации обучения для одаренных учащихся, основанных па идее группировки одаренных детей в определенные моменты образовательного процесса, может быть эффективно только при условии изменения содержания и методов обучения. В противном случае обучение одаренных детей будет отличаться от традиционного только темпом прохождения учебной программы, что не является достаточным для действительного развития таких детей, удовлетворения их индивидуальных познавательных запросов, в силу чего выделение одаренных учащихся в отдельную группу может иметь больше отрицательных последствий, чем положительных.



1.7 Новые формы работы с одаренными детьми во Владимирской области

Очно-заочная «Школа олимпийского резерва» организована государственным автономным образовательным учреждением дополнительного профессионального образования Владимирской области «Владимирский институт развития образования имени Л.И. Новиковой» с целью создания условий для развития интеллектуального потенциала учащихся 8-11 классов владимирского региона.

Основными задачами школы являются:

Создание условий одаренным детям для реализации их личных творческих способностей в процессе обучения, воспитания, поисковой деятельности.

Мотивация учащихся к самообразовательной деятельности, к осмысленному проектированию и углубленному освоению содержания образования по выбранному направлению познавательной деятельности.

Предоставление учащимся учреждений общего образования дополнительных возможностей для расширения и углубления знаний по предметно-профильным и профессионально-профильным предметам школьного курса, обеспечивающим их подготовку к предметным олимпиадам школьников и творческим конкурсам различного уровня.

Организация мониторинга образовательного процесса, ориентированного на удовлетворение индивидуальных образовательных потребностей учащихся.

Расширение возможностей неформального общения, проявления и развития лидерских способностей.

Для обеспечения образовательного процесса преподавателями Школы разработаны программы дополнительного образования «Подготовка к всероссийской олимпиаде школьников». Участниками Школы являются учащиеся 8-11 классов образовательных учреждений региона без ограничений по уровню стартовой подготовки или месту проживания.

Зачисление в школу производится на основании личных заявлений учащихся 10-11 классов и заявлений родителей учащихся 8-9 классов. Работа Школы осуществляется в заочной и очной формах обучения.

Очная форма обучения включает в себя одну сессию (5-8 ноября 2014 г.). Очная форма обучения организуется с помощью лекционных, практических занятий, мастер-классов, тренингов, интерактивных игр, веб-квестов и т.п. Программа обучения рассчитана на 28 часов.

Заочная форма обучения организуется с применением дистанционных образовательных технологий. Программа обучения рассчитана на 144 часа. Учебный год начинается в сентябре и заканчивается в мае текущего учебного года. После зачисления, в соответствии с графиком учебного процесса с использованием современных средств телекоммуникаций, учащийся получает доступ к текстам заданий и методическим рекомендациям по их выполнению. Учебно-методические материалы представляют собой пакет разработанных занятий, которые размещаются на сайте http://shor.vladimir.i-edu.ru. Каждое разработанное занятие включает теоретический материал по теме, характерные примеры, инструкции, задания для самостоятельной работы, варианты решений. Учащиеся школы, успешно выполнившие программу, получают свидетельство об окончании «Школы олимпийского резерва», которое может быть включено в портфолио выпускника общеобразовательной школы.

Зачисление на дистанционное обучение по программам дополнительного образования «Подготовка к всероссийской олимпиаде школьников в «Школу олимпийского резерва» по предметам: Биология, Математика, Химия, Литература, История.

За время работы в школе (2014-2015) были проведены следующие мероприятия по математике: региональный этап всероссийской олимпиады школьников, умники и умницы земли Владимирской, сетевой региональный проект по математике.

Участвуя в работе Школы, дети: обогащаются умением решать олимпиадные задачи, развивают свои интеллектуальные способности, расширяют свой кругозор.

Глава 2. Методика проведения математических олимпиад и анализ их результатов

2.1 Структура математической олимпиады

Согласно Положению о Всероссийской олимпиаде школьников, олимпиада по математике проводится в пять этапов.

Первый (школьный) этап проводится в октябре для учащихся 5--11 классов.

Второй (районный, городской) этап проводится в ноябре -- декабре для учащихся 6--11 классов.

Третий (региональный) этап проводится в январе - феврале для учащихся 8--11 классов.

Четвертый (заключительный) этап проводится в апреле для учащихся 9--11 классов.

На каждом этапе участниками олимпиады могут быть и учащиеся младших классов, успешно прошедшие отбор на предыдущих этапах.

Школьные олимпиады

Первый (школьный) этап олимпиады проводится общеобразовательными учреждениями. Его участником может быть каждый школьник.

Вся организационная и методическая работа по его проведению обеспечивается педагогическими коллективами школ. Курируется первый этап городскими (муниципальными) органами управления образованием.

Сроки и условия проведения олимпиады определяет образовательное учреждение самостоятельно.

Районные (городские) олимпиады

Второй (муниципальный) этап олимпиады проводится городскими (районными) органами управления образованием по заданиям, разработанным муниципальными предметными комиссиями. В ряде областей второй этап олимпиады проводится по единым заданиям, подготовленным методической комиссией субъекта Российской Федерации.

Для организации и проведения второго этапа олимпиады муниципальный орган управления образованием создает оргкомитет, предметные комиссии и жюри, в состав которых наряду с представителями образовательных и научных учреждений, органов управления образованием, могут входить члены Оргкомитета и Жюри третьего этапа.

Место, сроки и условия проведения олимпиады определяются муниципальным органом управления образованием.

Участниками второго этапа олимпиады являются победители и призеры первого этапа, а также победители и призеры второго этапа олимпиады предыдущего года. По решению муниципальных органов управления образованием второй этап олимпиады может носить открытый характер.

Региональные (областные, республиканские) олимпиады

Третий (региональный) этап олимпиады проводится государственными органами управления образованием субъектов Российской Федерации одновременно во всех субъектах Российской Федерации, в сроки, определенные Министерством образования и науки Российской Федерации.

Третий этап олимпиады проходит, как правило, в два тура. Третий этап олимпиады проводится по методическим рекомендациям, разработанным Центральной предметной Методической комиссией по математике.

Для организации и проведения третьего этапа олимпиады государственный орган управления образованием субъекта Российской Федерации создает Оргкомитет и Жюри. Жюри формируются из математиков -- ведущих педагогов Региона, а также преподавателей, аспирантов и студентов вузов.

Место и условия проведения третьего этапа oпpeделяются государственным органом управления образованием субъекта Российской Федерации самостоятельно.

Для обучающихся закрытых административно-территориальных образований, отдаленных военных городков и гарнизонов, расположенных за пределами Российской Федерации, третий этап олимпиады проводится также по заданиям, разработанным Центральной предметной комиссией олимпиады. Место, сроки и условия проведения олимпиады определяются Федеральным агентством по образованию.

Участниками третьего этапа олимпиады являются победители и призеры второго этапа, а также победители и призеры третьего этапа олимпиады предыдущего года. По решению органов управления образованием субъектов Российской Федерации третий этап олимпиады может нocить открытый характер.

Заключительный этап олимпиады

Четвертый (заключительный) этап олимпиады проводится государственными органами управления образованием субъектов Российской Федерации в апреле, в сроки, определенные Министерством образования и науки Российской федерации (Федеральным агентством по образованию) по предложению Методической комиссии по математике.

Четвертый этап олимпиады проводится по заданиям, разработанным Центральной предметной комиссией олимпиады.

Для организации и проведения четвертого этапа олимпиады государственный орган управления образованием субъекта Российской Федерации, на территории которого проводится олимпиада по отдельному предмету, создает Оргкомитет и Жюри по согласованию с Министерством образования и науки России. В состав Оргкомитета и Жюри наряду с представителями образовательных и научных учреждений, общественных организаций, органов управления образованием входят представители Центрального оргкомитета, Центральной предметной Методической комиссии и Центрального жюри.

Состав участников четвертого этапа олимпиады определяется из числа победителей и призеров предыдущего этапа в соответствии с квотами, установленными Министерством образования и науки Российской Федерации. Участниками Данного этапа также являются победители и призеры четвертого этапа олимпиады предыдущего года.

2.2 Методическая комиссия и жюри олимпиады

Остановимся на принципах формирования и работы Методической комиссии Всероссийской математической олимпиады школьников, на основе которой затем формируется Жюри заключительных этапов олимпиады.

В методическую комиссию входят преподаватели вузов и специализированных школ, сотрудники научных учреждений Москвы, Санкт-Петербурга, Ярославля, Кирова, Калуги, Новосибирска, Иваново, а также члены редколлегии журнала «Квант». Также в работе Методической кoмиссии активно участвуют недавние «олимпийцы» -- пoбeдитeли Всероссийских и Международных олимпиад последних лет -- студенты и аспиранты ведущих вузов России (МГУ, МФТИ(ГУ), СПбГУ). Для проведения федерального окружного и заключительного этапов Всероссийской олимпиады по математике формируется Жюри, состоящее из членов Методической комиссии, а также математиков -- ведущих специалистов по работе со школьниками региона, в котором проводится олимпиада.

Составы Методической комиссии и Жюри ежегодно утверждаются приказами Министерства образования и науки РФ по представлению Центрального оргкомитета.

Методическая комиссия ведет свою работу в течение всего года. При этом в широком составе она собирается на заседания для подготовки заданий III и IV этапов Всероссийской олимпиады школьников по математике.

В конце октября начинается подготовка III (регионального) этапа олимпиады. На заседаниях комиссии собирается 20--25 человек. Они составляют банк заданий, в который, как правило, включается около 150 авторских задач, подготовленных членами Методической комиссии. К сожалению, как и в музыке, где далеко не все замечательные исполнители могут стать композиторами, в математических олимпиадах достаточно узок круг хороших заданных композиторов. Наиболее сильные традиции задачного творчества сохраняются на протяжении многих лет в Санкт-Петербурге.

Вернемся к работе Методической комиссии. В первый день заседаний проходит обсуждение задач, поиск различных путей их решения, а также обобщение доказываемых утверждений. Во второй день Методическая комиссия разбивается на секции: геометрии, комбинаторики, алгебры и теории чисел, в которых происходит более детальное обсуждение задач и вырабатываются рекомендации по включению тех или иных задач на различные позиции в варианте. Например: «Задача № 63 геометрической секцией рекомендуется на позиции 10.3 или 10.7» (т. е. в качестве третьей по сложности в один из дней олимпиады 10 класса). Огромную роль в работе комиссии на этом этапе, когда нужно за короткое время просмотреть и оценить большое число задач, играют студенты -- бывшие «олимпийцы».

Вечером второго дня комиссия вновь собирается на общем заседании. Проходит черновое составление вариантов на основе рекомендаций секций. Нередко несколько задач претендуют на одну позицию. А некоторые позиции могут остаться незаполненными. Как правило, это первые (самые легкие) задачи. Очень сложно придумать нетрудную, но в то же время новую и эстетически привлекательную задачу.

После чернового составления вариантов часть членов Методической комиссии занимается обсуждением и отработкой формулировок и решений задач, включенных в вариант, а другая часть -- составлением новых задач на вакантные позиции. Кроме того, Методическая комиссия готовит список критериев оценки решений по каждой задаче. Это необходимо для унификации оценки работ участников II этапа, поскольку в отличие от заключительного этапа олимпиады (III и IV) в состав Жюри не входят представители Методической комиссии. (На II этапе, где основную роль играет привлечение большого числа школьников к занятиям математикой, задания являются достаточно простыми и Жюри самостоятельно легко устанавливает критерии оценивания). Эта работа продолжается более узким кругом Методической комиссии (в том числе кураторами классов) на протяжении двух-трех недель. Параллельно проходит компьютерный набор заданий и решений, подготовка и вычитка оригинал-макета. Окончательная версия заданий III этапа передается в Министерство образования и науки РФ. Отметим, что к каждому предлагаемому заданию дается подробное решение. Если задача имеет два принципиально различающихся метода решения, то приводятся оба, хотя нередко участникам олимпиады удается найти и неизвестный ранее, до олимпиады, способ решения. Иногда в случаях, когда решение школьника проще и элегантнее решения, придуманного Жюри, на олимпиаде он получает специальный приз «За оригинальное решение задачи». На Международной олимпиаде также вручается подобная награда.

По такой же схеме в конце января или в феврале проходят заседания Методической комиссии при подготовке IV (заключительного) этапа Всероссийской олимпиады. Учитывая возрастающую трудность этапов олимпиады, члены Методической комиссии предлагают наиболее сложные задачи на заседаниях по заключительному этапу. Кроме того, третий этап олимпиады носит достаточно массовый характер, многие его участники не обучаются в специализированных физико-математических школах. Поэтому нежелательным является включение в II этап задач, требующих от участников достаточно хорошо развитой математической техники или знания некоторых разделов математики, изучаемых только в специализированных школах. В то же время на заключительном этапе, являющемся одновременно и отборочным при формировании сборной команды России на Международную математическую олимпиаду, допустимо включение задач, в решениях которых используются некоторые классические теоремы математики, не входящие в стандартную школьную программу, но изучаемые на факультативных занятиях и в летних математических школах. К таким относятся, например, малая теорема Ферма, китайская теорема об остатках, неравенство Йенсена, теорема Эйлера об окружности девяти точек, теорема Холла о паросочетаниях и т. п.

2.3 Подготовка и проведение математических олимпиад

Тематика математических олимпиад

Вопреки традиционному мнению в заданиях математических олимпиад очень мало задач на вычисления. В отличие от задач школьной математики, в которых проверяются вычислительные навыки учащихся, задачи олимпиад основаны на логике, на способности построения логической конструкции. Поэтому в основном в олимпиадных задачах требуется обоснование какого-либо математического утверждения. Часть условий задач так и начинаются со слов: «Докажите, что...» В некоторых задачах вначале требуется отыскать числовой ответ, а затем обосновать его, К такому классу относятся, например, задачи типа «оценка + пример», начинающиеся со слов: «Найдите наименьшее (наибольшее) число N, удовлетворяющее условию...» Первый этап решения -- интуитивное получение ответа, второй -- построение примера, реализующего ответ, третий -- доказательство невозможности построения примера для меньшего (большего) значения п. Классическим примером такого класса является задача о наибольшем количестве ладей, которые можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга. Правильный ответ 8 легко угадать, и существует множество вариантов расстановки ладей требуемым способом. Но почему нельзя расставить большее число ладей? Очень просто: в каждую строку можно поставить с соблюдением условия задачи не более чем одну ладью. Значит, на всей доске их не может оказаться больше 8. Другим примером задач, в которых вначале требуется угадать ответ, являются задачи, вопрос в которых начинается со слов: «Существует ли...», «Верно ли...», «Можно ли...», «Кто выигрывает...».

Составители олимпиадных заданий стремятся к тематическому разнообразию задач, учитывая при этом не только программу по математике соответствующего класса школы, но и возрастные особенности школьников. Учащиеся, перешедшие из младшего в среднее звено школы, имеют слабые навыки в построении четких логических конструкций (не умеют «строго доказывать»), поэтому большинство заданий для учащихся 5--7 классов -- это задачи на интуицию, «на догадку», либо задачи, в которых обоснование является достаточно простым. Вот пример за задачи, предлагавшейся на II туре для учащихся 6 класса: «В 10 мешках находятся золотые монеты, при этом в одном мешке все монеты фальшивые, в остальных мешках все монеты настоящие. Все настоящие монеты весят по 10 граммов, а все фальшивые монеты -- по 9 граммов. Как с помощью ровно одного взвешивания на чашечных весах со стрелкой определить, в каком мешке находятся фальшивые монеты?»

Решение. Нужно из первого мешка взять одну монету, из второго -- две, из третьего -- три и т. д. Тогда величина 550 - S, где S -- суммарный вес взвешиваемых монет, и укажет номер мешка с фальшивыми монетами. * Фактически школьник, предложивший такую запись, уже решил задачу. Каждому после недолгих размышлений становится ясно, что предложенный метод является правильным.

Строгим можно считать, например, такое обоснование предложенного метода. Если бы каждая монета была настоящей, то взвешиваемые монеты весили бы 10 + 20 + + 30 + ... + 100 = 550 грамм. Но каждая фальшивая монета ровно на 1 грамм легче, поэтому число 550 - S показывает, сколько фальшивых монет мы взвешиваем, а это и есть номeр мешка.

Нередко в задания включаются числовые ребусы, задачи на разрезание, построение конструкций, простые логические задачи либо задачи на игры, в которых требуется угадать выигрышную стратегию одного из игроков. С психологической точки зрения желательным является включение в задания для учащихся 5--7 классов задач, формулировка которых носит повествовательный, игровой характер. Поэтому нередко в тексте присутствуют знакомые школьникам литературные или мультипликационные герои («Малыш и Карлсон по очереди съедают конфеты...»).

Наиболее схожими по формулировке с задачами школьной математики являются задачи математических олимпиад для старшеклассников. Ведь решения задач, предлагаемых для старшеклассников, требуют владения всем курсом школьной математики, наиболее сложные разделы которой как раз и изучаются в выпускных классах.

Здесь хочется отметить заметное отличие тематики математических олимпиад для школьников в России и в странах, входивших в состав СССР, от тематики олимпиад в целом ряде других стран. В Советском Союзе в cилу огромной протяженности страны олимпиады выступали основным инструментом поиска одаренных школьников, а также поддержки системы дополнительного (факультативного) математического образования. Поэтому олимпиады проводились для учащихся не только старшего, но и среднего звена и обязательно включали в себя задания, выявляющие в первую очередь творческие способности школьников, а не степень и качество их математической подготовки. В то же время во многих странах Европы, Америки и Азии продолжительность обучения в школе составляет 11--13 лет, и олимпиадные задачи построены на хорошем владении математической техникой. В таких задачах от школьника требуется не создание маленького «открытия» (нахождения новой -- по крайней мере, для него -- идеи), а реализация своих знаний и навыков в относительно простой с творческой точки зрения ситуации.

Как следствие, в России (Советском Союзе) сложилась и обрела богатые традиции «композиторская» математическая школа. Во всем мире огромной популярностью пользуются сборники олимпиадных задач Всероссийских, а также городских Санкт-Петербургской и Московской олимпиад, ежегодно пополняющих копилку олимпиадных задач новыми, авторскими идеями. При этом особенно выделяются задачи по геометрии и комбинаторике.

Это отличие наиболее заметно проявляется на Международных математических олимпиадах, где российские участники нередко превосходят соперников в решении комбинаторных задач, в которых основу составляет нахождение новой идеи, но заметно уступают своим основным соперникам -- китайским школьникам в решении сложных технических задач. В Китае, например, как и в ряде других стран, олимпиадные задания едины для всех участников независимо от класса, в котором они обучаются, и тем самым основаны на владении всем изучаемым в школе материалом.

Структура варианта

Вернемся к тематическим и структурным особенностям наших олимпиад. Методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по математике формирует задания, исходя из следующих принципов:

1) Нарастание сложности задании от первого к последнему. При этом их трудность должна быть такой, чтобы в каждый из двух дней олимпиады с первым заданием успешно справились примерно 70% участников, со вторым - около 50%, с третьим -- около 20%, а с четвертым -- лишь несколько участников. (Конечно, не всегда удается выдержать такие установки по трудности заданий, так как новые, авторские задачи не всегда точно соответствуют заданной сложности).

Тематическое разнообразие заданий. Каждый день в комплект должны входить задачи по геометрии, алгебре, комбинаторике, в старших классах желательно включение задач по теории чисел, тригонометрии, стереометрии, математическому анализу. (При этом допустимо и даже поощряется включение задач, объединяющее различные разделы школьной математики).

Обязательная новизна задач. Недопустимой является ситуация, когда участник математической олимпиады заранее знаком с идеей решения задачи. (В этом заключается коренное отличие математических олимпиад от олимпиад по тем дисциплинам, в которых предлагаются тестовые задания, проверяющие как раз знание участником олимпиады тех или иных фактов, его начитанность, «энциклопедичность»). Олимпиады по математике в первую очередь проверяют способность ученика к творчеству, умение логически мыслить, а не объем его знаний.

Эстетическая красота заданий. В математике существует понятие «красивая задача». К таковым относят задачи, в которых сочетаются интересный с научной точки зрения факт, простота формулировки и элегантность решения. К ним относится, например, задача, получившая название «Полоски Климова» (автор задачи -- победитель Международной математической олимпиады в составе команды СССР Аркадий Климов): «Прямоугольник разрезан на прямоугольники, у каждого из которых длина одной из сторон -- целое число. Докажите, что и у исходного прямоугольника длина одной из сторон -- целое число». Интересно, что у этой комбинаторной задачи, помимо «симпатичного» комбинаторного решения, имеется и короткое неэлементарное решение, основанное на свойствах двойных интегралов.

Организация проведения туров олимпиады

Важной составляющей проведения олимпиады является организация условий для выполнения работ участниками. Помимо основных требований, предъявляемых к учебным аудиториям (освещение, проветривание и т. п. необходимо учесть специфику проведения математических олимпиад. В кабинетах должны находиться чертежные принадлежности (карандаши, циркули, линейки). Участники должны быть обеспечены одинаковыми тетрадями в клеточку. На математических олимпиадах часто предлагаются задачи, в которых участвуют клетчатые фигуры, Также достаточно распространены задачи на раскраски и заполнение таблиц. Наличие тетради в клеточку избавляет участника от необходимости проведения дополнительной работы по разлиновыванию листов, на что требуется время. Однотипность тетрадей является необходимым требованием для шифровки работ.

При проведении второго этапа дежурный по аудитории составляет список присутствующих. Начиная с третьего этапа олимпиады, все участники заполняют анкеты.

Рекомендуется подготовить инструкцию для дежурных по аудиториям (кабинетам). В эти инструкции, помимо прочих, традиционно включают следующие четыре основных пункта:

Обратите внимание на рассадку участников. Рассадимте школьников так, чтобы учащиеся из одной школы (начиная с третьего этапа - из одного региона, города) не сидели рядом.

Обратите внимание на организацию заполнения титульных листов и оформление работ. Напомните участникам, что фамилию, имя и отчество надо вписывать в титульный лист разборчиво, печатными буквами; в тексте работы не должно быть никаких указаний на ее авторство; в работе следует указывать, какая часть является чистовиком, а какая -- черновиком.

Обратите внимание участников на то, что мобильными средствами связи, а также калькуляторами на олимпиаде пользоваться нельзя.

Дежурный по аудитории отвечает только на организационные вопросы (оформление работ, выход из аудитории, время и т. п.). Ответы на вопросы по условиям осуществляет только дежурный член жюри.

По окончании олимпиады представители Оргкомитета осуществляют шифровку работ. Обложки и протоколы шифровки хранятся в Оргкомитете до окончания проверки и определения победителей и призеров. Определение призеров и победителей олимпиады должно проводиться Жюри и Оргкомитетом до расшифровки работ.

Организация проверки работ

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство леммы, нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать все вышеперечисленное.

Поэтому проверка работ на математических олимпиадах проводится в два этапа. На первом этапе Жюри производит проверку работ без выставления баллов по так называемой системе «плюс -- минус». Знак выставляется в соответствии с приведенной таблицей. При этом предварительная оценка по системе «плюс -- минус» может быть незначительно изменена после обсуждения критериев и классификации случаев.

Знак	Правильность (ошибочность) решения
+	Полное верное решение.
+.	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, не влияющие на решение в целом.
±	Решение в целом верное. Однако решение содержит существенные ошибки либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений. 1
+/2	Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.
+	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. .
-.	Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения.
-	Решение неверное, продвижение отсутствует.
0	Решение отсутствует.

Иногда выставляется оценка «+!», чтобы отметить правильное красивое решение. Как правило, подобные решения отмечаются спецпризами.

По окончании первого этапа группа проверяющих по каждой задаче, анализируя и обобщая приведенные решения, выделяет различные способы решения, типичные частичные продвижения, основные ошибки. В соответствии со сравнительным анализом различных продвижений вырабатывается шкала критериев оценивания.

На втором этапе выставляются окончательные баллы по каждой задаче. В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается по 7 баллов. В таблице приведена шкала перевода знаков в баллы.



Знак	Балл
+	7
+.	6-7
	5-6
+/2	4
- +	2-3
-.	0-1
-	0
0	0

Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных Жюри.

В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.

Традиционной ошибкой школьников при решении задач на доказательство является использование доказываемого утверждения в качестве начального условия. Например, в задаче требуется доказать, что треугольник является равносторонним, а доказательство начинается со слов: «Пусть треугольник ABC -- равносторонний». Подобные «решения» оцениваются в 0 баллов в силу грубой логической ошибки.

Еще раз остановимся на задачах на нахождение наибольшего (наименьшего) значения некоторой величины (задачи типа «оценка + пример»). Решение таких задач включает в себя два шага.

Обычно более сложный шаг (оценка) -- доказательство того, что некоторая величина не больше (не меньше) некоторого значения.

Построение примера, показывающего достижимость указанного значения.

Как правило, только первый шаг оценивается в 4 балла, второй шаг - в 1--2 балла.

Решения школьников, особенно на последних этапах олимпиады, часто бывают очень длинными и запутанными; никакой, даже сколь угодно квалифицированный член Жюри, не может гарантировать, что он поймет все логические шаги, содержащиеся в работе. Поэтому, начиная с третьего этапа, каждая работа оценивается и проверяется (перепроверяется) не менее чем двумя членами Жюри.

На втором этапе рекомендуется повторная проверка работ победителей и призеров до расшифровки работ.

Определение победителей и призеров

Победителями олимпиады соответствующего этапа считаются участники, награжденные дипломами первой степени. Призерами олимпиады соответствующего этапа считаются участники, награжденные дипломами второй и третьей степени. Другие участники могут награждаться дипломами участника, грамотами, специальными призами. Важно отметить, что победителем (призером) олимпиады в параллели не обязательно должен быть ровно один ученик. На математических олимпиадах, как на Международных, так и на Всероссийских (в обязательном порядке--на 4 и 5 этапах), принята практика награждения дипломами до 45% всех участников олимпиады. Кроме того, расхождение результатов двух школьников в 1--2 балла может отражать только умение одного из них более четко записывать решения. Поэтому рекомендуемая схема распределения дипломов такова. Школьник, набравший наибольшее количество баллов, а также все школьники, решившие одинаковое с ним число задач (засчитываются задачи, по которым поставлено не менее 5 баллов), награждаются дипломами первой степени. Школьники, решившие на 1--2 задачи меньше (набравшие на 5--15 баллов меньше), награждаются дипломами второй степени. Следующая группа школьников (решивших еще на 1--2 задачи меньше) награждается дипломами третьей степени. Отметим, что в ряде случаев в варианте оказывается слишком много сложных задач. Поэтому отсутствие в параллели ученика, решившего все задачи, не должно означать отказ от присуждения диплома первой степени лучшему из участников. Аналогичные замечания касаются второго и третьего дипломов.

На олимпиадах начальных (первого, второго) этапов с учетом возрастных особенностей рекомендуется награждение дипломами и грамотами значительного (до 60%) числа учащихся младших классов (5--б класс) в целях развития у них интереса к дополнительным занятиям математикой.

Особенности подготовки и проведения математических олимпиад разных этапов

Особенности подготовки и проведения школьных олимпиад

Школьная олимпиада проводится в один день для учащихся 5--11 классов.

Рекомендуемое время проведения: для 5--6 классов -- 2 урока, для 7--8 классов -- 3 урока, для 9--11 классов - 4 урока.

Вариант должен содержать 4--6 задач разной сложности. Желательно, чтобы задания охватывали все разделы школьной математики, изученные к моменту проведения олимпиады. Первые две (самые легкие) задачи варианта должны быть доступны подавляющему большинству участников. В качестве сложных задач рекомендуется включать в вариант задачи, для решения которых используются материалы, изучаемые на факультативных занятиях. Например, по темам: «Четность», «Делимость», «Принцип Дирихле», «Логика», «Игры», «Комбинаторика».

Подготовка заданий и их проверка осуществляются учителями математики, руководителями кружков и факультативов (школьными методическими объединениями учителей математики).

Особенности подготовки и проведения районных олимпиад

Районная олимпиада проводится в один день для учащихся 6--11 классов. Следует допускать для участия и олимпиаде за 6 класс учащихся 4--5 классов по рекомендации ведущих учителей.

Во многих регионах России в олимпиаде могут принять участие все желающие. В некоторых регионах в число участников дополнительно включаются школьники, рекомендованные руководителями школьных и городских математических кружков и факультативов.

Рекомендуемое время проведения: для 6--7 классов - 3 часа, для 8--11 классов -- 4 часа.

Вариант должен содержать 5--6 задач разной сложности. Обязательным является требование включения в вариант заданий по темам, изученным к моменту проведения олимпиады в соответствии с программами всех базовых учебников по математике. Первые две (самые легкие) задачи варианта должны быть доступны подавляющему большинству участников. Рекомендуется включать в вариант задачи, использующие материалы, изучаемые на факультативных занятиях.

Для проверки заданий формируется Жюри, в состав которого включаются учителя математики из разных школ, руководители кружков и факультативов. Рекомендуется включение в состав Жюри студентов, аспирантов и преподавателей математических факультетов университетов, технических и педагогических вузов.

Особенности подготовки и проведения региональных олимпиад

Региональная олимпиада проводится, как правило, в два тура. Олимпиада проводится для учащихся 8--11 классов. По согласованию с Оргкомитетом и по рекомендации Жюри второго этапа, допускается участие в олимпиаде учащихся 6--7 классов.

Время проведения каждого тура -- 4 часа.

При проведении олимпиады в два дня -- каждый день школьникам предлагается решить 4 задачи. При проведении олимпиады в один день -- задание включает 5 задач.

В некоторых случаях в силу больших размеров территории региона допускается проведение третьего тура Всероссийской олимпиады одновременно в нескольких городах региона. В этом случае работы доставляются в единый центр для последующей шифровки и проверки работ.

Особенности подготовки и проведения IV этапа олимпиады

Четвертый (заключительный) этап олимпиады проводится для учащихся 9--11 классов (разумеется, в олимпиаде также принимают участие учащиеся и более младших классов, ставшие победителями и призерами федеральной окружной олимпиады по указанным классам). В заключительном этапе принимают участие около 60 человек в каждой параллели. Время проведения каждого тура -- 5 часов.

В связи со сложностью предлагаемых заданий и трудностью изложения участниками четкого решения за ограниченное время олимпиады, у Жюри олимпиады при проверке возникают сложности по однозначности трактовке записанного решения. Поэтому по окончании проверки работ до окончательного определения победителей и призеров на третьем, четвертом и пятом этапах олимпиады Жюри проводит разбор задач и показ работ участникам олимпиады. На разборе Жюри рассказывает типичные ошибки и критерии оценивания работ, выработанные в процессе проверки в соответствии с рекомендациями Методической комиссии. На показе работ Жюри разбирается вместе с участниками во всех спорных ситуациях. На показе работ после обсуждения по конкретной задаче оценка может быть исправлена (только по согласованию с председателем Жюри или его заместителем). Важно отметить, что если на показе работ участник приводит правильное решение, основанное на своих записях, но предложенное решение не содержится в полном виде в работе, то оценивается доля решения, присутствующая в работе. В исключительных случаях, если проверяющий и участник не могут прийти к единому мнению по оценке работы, участник имеет право подать в течение двух часов с момента окончания показа работ письменную апелляцию. Апелляция рассматривается комиссией, возглавляемой председателем Жюри, в течение одного дня с момента ее подачи.

В силу того что победители заключительных этапом имеют законодательно утвержденные льготы при поступлении в учебные учреждения высшего профессионального образования, дипломы победителей четвертого и пятого этапов олимпиады являются документами строгой отчетности. Ежегодно по итогам пятого этапа олимпиады Министерство образования и науки РФ издает приказ, утверждающий список победителей.

Таким образом, для успешного проведения олимпиад необходимо выполнение в первую очередь следующих условий:

1. систематическое проведение всей внеклассной работы по математике;

2. обеспечение регулярности проведения олимпиад;

3. серьезная, содержательная и интересная подготовительная работа перед проведением каждой олимпиады;

4. хорошая организация проведения олимпиад;

5. интересное математическое содержание соревнований.

Математическая олимпиада является одной из самых популярных форм внеклассной работы с одаренными детьми, а детская одаренность является основой успешного участия в олимпиадах. Поэтому далее будет рассмотрена проблема детской одаренности.

2.4 Примеры задач разных этапов математической олимпиады

В данной работе подробно рассмотрена методика организации и проведения математических олимпиад на разных этапах, а также рассмотрены основные особенности олимпиад. Обязательным требованием, предъявляемым к заданиям этих олимпиад, является нестандартность и их новизна для участников. При переходе к каждому последующему этапу олимпиады увеличивается сложность заданий. Чтобы в этом убедится, рассмотрим примерные задачи 3 этапов олимпиады для учащихся 10 классов (задания для школьного этапа олимпиады составляют школьные учителя).

II этап (муниципальный)

1. Вася, Петя и Миша стартовали одновременно в забеге на 1 км. Когда Вася финишировал, Петя отставал от него на 100 м, а Миша отставал от Пети на 90 м. Петя закончил бег на 18 секунд позже Васи. На сколько секунд позже Пети прибежал Миша? (Известно, что скорость каждого была постоянной на протяжении всей дистанции).

Решение: Когда Вася финишировал, Петя пробежал 900 м, а Миша 810 м, то есть скорость Пети в раз больше скорости Миши. Это означает, что когда Петя закончит бег (то есть пробежит 1000 м), Миша пробежит 900 м. То есть за 18 секунд Миша пробежит 900810 = 90 м. Значит, его скорость равна 5 м/с, и оставшиеся 100 м он пробежит за 20 секунд.

Ответ: На 20 секунд.

2. Приведённый квадратный трёхчлен имеет два корня. Докажите, что если вычесть из коэффициента любой из этих корней, а коэффициент удвоить, то полученное уравнение также будет иметь корень.

Решение: Согласно теореме Виета, если и - корни данного уравнения, то , . Поэтому новое уравнение имеет вид . Дискриминант этого уравнения равен . Значит, у этого уравнения есть корень.

10.3. . Имеется таблица 1111. Двое играют в следующую игру. Они по очереди ставят в пустые клетки этой таблицы крестики и нолики: первый за ход ставит один крестик, а второй - один нолик. Игра заканчивается, когда все клетки таблицы заполнены. После этого вычисляются два числа: A - количество строк, в которых больше крестиков, чем ноликов, и B - количество столбцов, в которых больше ноликов, чем крестиков. Первый выигрывает, если A > B, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение: Заметим сначала, что в каждой строке и каждом столбце по 11 клеток; поскольку число 11 нечётно, в каждом из этих рядов крестиков и ноликов не может быть поровну. Приведем выигрышную стратегию для первого игрока. Сначала ему нужно поставить крестик в центральную клетку таблицы. Каждым следующим ходом ему следует ставить крестик в клетку, симметричную относительно центра таблицы клетке, в которую только что поставил нолик второй игрок (понятно, что он всегда сможет так сделать). Покажем, что при такой стратегии количество строк, в которых больше крестиков, будет больше количества столбцов, в которых больше ноликов. Заметим, что все клетки таблицы (кроме центральной) разобьются на пары симметричных относительно центра, причём в каждой такой паре клеток будут стоять ровно один нолик и один крестик. Рассмотрим сначала среднюю строку таблицы. В центральной клетке (центре таблицы) стоит крестик. Остальные 10 клеток разбиваются на 5 пар симметричных. Это означает, что в них стоят 5 крестиков и 5 ноликов. Значит, всего в этой строке стоят 6 крестиков и 5 ноликов, поэтому в центральной строке крестиков больше, чем ноликов. Аналогично, в центральном столбце крестиков больше, чем ноликов. Рассмотрим теперь первую и последнюю строки таблицы. Их клетки образуют 11 пар симметричных клеток. Это означает, что в них суммарно стоит 11 крестиков и 11 ноликов. Значит, если в одной из этих строк больше крестиков, то в другой больше ноликов. Аналогичное утверждение можно доказать про остальные пары симметричных строк 51 таблицы, а также про все пары симметричных столбцов. Итак, в этих парах количество строк, в которых больше крестиков, будет равно 5, и количество столбцов, в которых больше ноликов, будет также равно 5. Поэтому A= 6 , B = 5 , и первый выиграет.

Ответ: Выигрывает первый.

III этап (региональный)

1. Натуральное число n умножили на сумму его цифр и получили 1000. Найдите все такие числа n.

Решение: Раскладывая 1000 в произведение двух множителей: 1000х1, 500х2, 250х4, 200х5, 125х8, 100х10, 50х20, 40х25 мы получаем два варианта ответа.

Ответ: 125 и 1000.

2. При каких значениях параметра уравнения и будут иметь общий корень? Найдите корень.

Решение: Если - корень уравнения , то он также и корень уравнения , то есть . Кроме того, по условию, - корень уравнения . Значит - корень уравнения , то есть . Осталось проверить, что при таких оба уравнения имеют общий корень.

Ответ: , .

3. Коэффициенты квадратного трёхчлена -натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.

Решение: Покажем, что можно из исходного трёхчлена получить новый, имеющий хотя бы один целый корень, изменив коэффициенты суммарно даже не более, чем на 1022. Если коэффициент не больше 1022, то, сделав его равным нулю, мы получим искомый трёхчлен ,имеющий целый корень . Пусть теперь ; тогда из условия . Рассмотрим два последовательных квадрата, между которыми находится : . Поскольку , имеем . Тогда одна из разностей и не превосходит, то есть она не больше . Итак, найдется натуральное число , для которого . Заменив теперь на -1, на 0, а на , мы изменим коэффициенты суммарно не более, чем на , и получим трехчлен , имеющий целый корень .

IV этап (заключительный).

1. Назовём натуральное число хорошим, если среди его делителей есть ровно два простых числа. Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?

Решение: Предположим, что нашлись 18 хороших чисел подряд. Среди них найдутся три числа, делящихся на 6. Пусть это числа , и . Поскольку эти числа -- хорошие, и в разложение каждого из них на простые множители входят двойка и тройка, других простых делителей у них быть не может. Далее, лишь одно из трёх подряд идущих натуральных чисел , , может делиться на 3. Значит, остальные два являются степенями двойки. Но пары степеней двойки, отличающихся не более чем на два -- это только (1, 2) и (2, 4); поэтому . Однако тогда среди наших 18 чисел есть простое число 13 (так как)), не являющееся хорошим. Противоречие.

Ответ: Не могут.

2. В республике математиков выбрали число и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в рублей при каждом натуральном . При этом б было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Решение: Покажем, что математики могли выбрать число ; это число является корнем уравнения . Ясно, что . Нетрудно видеть, что при натуральных мы имеем , где и - целые числа, причем при нечетных и при четных . Значит, число иррационально. Осталось показать, что для любого натурального числа сумму в рублей можно набрать требуемым способом. Рассмотрим все способы набрать n рублей выпущенными монетами (хотя бы один такой способ существует: можно взять рублёвых монет). Выберем из них способ, в котором наименьшее число монет. Предположим, что какая-то монета достоинства встречается в этом способе хотя бы 7 раз. Тогда можно заменить 7 монет по монетами достоинств и . При этом суммарное достоинство монет не изменится (поскольку ), а их количество уменьшится. Это невозможно по выбору нашего способа. Итак, этот способ удовлетворяет условию.

Ответ: Могло.

5. Анализ результатов 57 областной олимпиады школьников по математике (2-3 февраля 2015 года) (III этап Всероссийской математической олимпиады школьников)

В нашей области ежегодно проводятся три тура олимпиад: школьный, районный (городской), областной, что способствует выявлению одаренных и талантливых учащихся, имеющих интерес и склонности к занятию математикой. На первом этапе участвуют все желающие учащиеся 5-11 классов, на втором - учащиеся 6-11 классов (победители первого тура), на третьем учащиеся 9-11 классов (победители второго тура, набравшие не менее половины необходимых баллов).

Тексты заданий для проведения второго и третьего тура олимпиады разрабатываются и утверждаются областным оргкомитетом. При подготовке заданий третьего тура учитываются рекомендации центральных предметных комиссий.

2-3 февраля 2015 года проведена 57 областная олимпиада школьников по математике (региональный этап Всероссийской олимпиады школьников) на базе ГАОУ ДПО ВО «Владимирский институт развития образования имени Л.И. Новиковой».

Общие справочные данные

В олимпиаде приняли участие 15 команд. Число участников составило 50 обучающихся 9-11 классов: 9 класс - 10 чел., 10 класс - 17 чел., 11 класс - 23 чел. В таблице № 1 приведен сравнительный анализ числа участников за пять лет.



Таблица 1. Сравнительный анализ участников олимпиады

Год	Общее число участников	% учащихся городских школ	Количество команд
2010	73	82%	18
2011	60	87%	17
2012	57	81%	20
2013	54	94%	16
2014	57	91%	16
2015	50	94%	15

Из таблицы № 1 видно, что количество участников (9 - 11 классы) в этом году незначительно уменьшилось. Это можно объяснить тем, победители и призеры (муниципального этапа) олимпиады определялись жюри в соответствии с итоговой таблицей, рекомендованной Центральной предметно-методической комиссией по математике. Больший процент участников областной олимпиады - это ученики городских школ, что составляет 94% от общего числа участников.

Таблица 2. Победители и призеры олимпиады 2015 года

Статус участника	Класс	Ф.И. участника	Кол-во баллов	Территория (школа)	Учитель
Победитель	11	-	-	-	-
Призеры	11	Цыбаева Александра Соснина Екатерина Аникеич Елизавета Рыбка Татьяна Ледащев Григорий	17 16 15 15 14	МБОУ Гимназия №1 г. Коврова МБОУ СОШ №21г. Коврова МБОУ СОШ № 15 г. Владимира МАОУ Гимназия № 3 г. Владимира МАОУ Гимназия № 3 г. Владимира	Пронина Е.Б. Баранова И.А. Шавлинская Т.Ю. Большакова Г.В. Большакова Г.В.
Победитель	10	-	-	-	-
Призеры	10	Пугачева Ирина Лисенков Глеб Суслов Кирил Исмаилов Рашад	22 21 18 14	МБОУ СОШ № 2 г. Гусь-Хрустальный МБОУ СОШ № 2 г. Гусь-Хрустальный МБОУ СОШ № 6 г. Вязники МБОУ СОШ № 2 г. Гусь-Хрустальный	Баженова Н.В. Баженова Н.В. Вожжаниковова М.А. Баженова Н.В.
Победитель	9	-	-	-	-
Призеры	9	Ященко Тимур Юлегин Павел	18 14	МБОУ СОШ № 7 г. Кольчугино МБОУ СОШ № 13 г. Александров	Волокитина Ю.С. Милькевич Н.В.

В таблице 2 указаны призеры регионального этапа олимпиады по математике и учителя, подготовившие данных учеников (по итогам олимпиады в 2015 г. победителей нет). Призеры 11 класса Татьяна Рыбка и Григорий Ледащев являлись призерами олимпиады и по результатам олимпиады 2014года в 10 классе. Призеры 10 класса Ирина Пугачева и Рашад Исмаилов являлись призерами олимпиады и в прошлом году в 9 классе. Следует отметить, что 55% от числа призеров 9-11 классов проходили обучение в интеллектуальной школе олимпийского резерва (ИШОР) на базе ГАОУ ДПО ВИРО на очной сессии (осень 2014 г.).

В этом году результаты олимпиады в 11 классе оказались ниже в сравнении с прошлыми годами. Победитель не определен (набрано менее 50% баллов). Наивысший результат призера 17 баллов из 56 возможных (победитель в 2014 году - 29 баллов, в 2013 году - 35 баллов).

Еще ниже результаты показали и учащиеся 9 классов. Призер Ященко Тимур набирает всего 18 баллов из 56 возможных баллов. Отмечаем, что в 2014г. и 2013 г. был аналогичный показатель (победитель не определился, а призер получил соответственно 20 и 23 балла).

Следует заметить, что победителями и призерами регионального этапа олимпиады (анализ анкет участников олимпиады) становятся учащиеся из профильных классов и школ, где математика изучается в большем объеме, а также школьники, посещающие факультативные или индивидуальные занятия под руководством учителя, при этом, акцент в организации учебных занятий переносится на освоение способов учебной деятельности, умение осуществить поиск способа решения задачи, формирования умения оперировать усвоенными знаниями и умениями в новой ситуации.

Отмечаем, что 22% участников (11 человек из 50 участников регионального этапа олимпиады) - это участники ИШОР и из них 45% стали призерами. Остальные ребята, обучающиеся школы олимпийского резерва набрали количество баллов близкое к баллам призеров, что говорит о качественной подготовке и об эффективной работе данной школы.

...