Решение комбинаторных задач как средство развития математического мышления учащихся 7-8 классов

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Решение комбинаторных задач как средство развития математического мышления учащихся 7-8 классов

Введение

В условиях развития Российского образования педагоги используют результативные методики обучения, которые отвечают запросам современной педагогики. В связи с этим приобретают популярность методики обучения, увеличивающие мотивацию обучения, повышающие познавательный интерес к предмету, помогающие укоренившимися и инновационными действиями научить с наибольшей эффективностью важнейшим приемам и навыкам учащихся. В наше время имеется множество разнообразных педагогических технологий, которые заслуживают внимания педагогов.

Неизбежность применения этих технологий обусловлена принадлежностью к развивающему обучению, актуальным подходом к образованию, возможностью воспитания высоконравственных основ личности учащихся.

Актуальность исследования: изучение научной литературы и преподавательского опыта позволило установить ряд противоречий в совершенствовании математического мышления детей:

между увеличившимися запросами к уровню развития мыслительной деятельности учащихся и неимением в школьной практике отдельной работы, которая способствовала бы ее формированию;

между необходимостью учреждения особой работы, которая направлена на развитие математического мышления обучающихся и нехваткой научно- методического обеспечения таковой работы;

между необходимостью применения в процессе обучения элементов логики, комбинаторики и их фактической нехваткой в профессиональной подготовке преподавателей математики;

между большими возможностями развития комбинаторного мышления учащихся на занятиях математики и скудными разработками учебно- методических комплексов, гарантирующих формирование математического мышления.

Вследствие этого одной из важнейших проблем современного образования является задача развития мыслительной деятельности учащихся, в которой одной из центральной составляющей становится математическое мышление.

Объект исследования: развитие мышления учащихся в процессе обучения математике.

Предмет исследования: развитие математического мышления учащихся 7- 8 классов в процессе решения комбинаторных задач на курсе по выбору.

Комбинаторика - одна из частей дискретной математики, которая имеет огромную значимость в связи с применением в теории вероятностей, теории чисел, математической логике, кибернетике, вычислительной технике [40]. Основы теории вероятностей, и собственно элементов комбинаторики, на своевременном этапе являются частью курса математики, который начинается с начальной школы.

В реальной жизни человеку частенько приходится сталкиваться с задачами, в которых просят подсчитать число всевозможных способов расположения кое-каких предметов или число всевозможных способов осуществления кое-каких действий. Приходится выделять из некоторого конечного множества несколько объектов его подмножества, имеющих то или иное свойство, производить подсчет различных комбинаций из конечного числа элементов, присущих этим объектам, размещать эти элементы в конкретном однозначном порядке. Комбинаторными расчетами приходится пользоваться представителям многих профессий: прорабу при назначении между рабочими различных планов работ, диспетчеру при формировании графика движения. Создавая расписание учебных занятий, завуч в школе использует различные сочетания, шахматист из разных маневров выбирает наиболее предпочтительный и т.д. В подобных задачах речь идет о всякого рода комбинациях. Задачи этого типа именуются комбинаторными, а раздел математики, изучающий комбинаторные задачи, носит название - комбинаторика. Изобретение компьютеров круто умножило возможности комбинаторики и дополнило сферы ее применения. Данные методы применяются в экономике, химии, биологии, физике, лингвистике и других всевозможных науках.

Цель исследования: продемонстрировать методические приемы и условия, благоприятствующие развитию математического мышления у учащихся при обучении комбинаторике, разработать методику преподавания курса по выбору «Решение комбинаторных задач» для учащихся7-8 классов.

Задачи:

При анализе методической, педагогической и психологической литературы определить понятие математического мышления;

Проанализировать учебно-методическую литературу по математике;

Составить программу курса по выбору;

Разработать математическое содержание курса;

Провести опытно-экспериментальную проверку.

Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Первая глава состоит из трех параграфов, в которых описаны основные требования к проведению курса по выбору, проанализирована психолого-педагогическая литература для определения понятия математического мышления, а так же определены возрастные психологические особенности учащихся возраста 13-15 лет. Также первая глава рассказывает о месте комбинаторики в школьном курсе математики.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе проводится анализ основных учебников по математике 7-8 классов. Второй параграф содержит математическое содержание данного курса по выбору. Третий параграф содержит основные методические рекомендации к проведению курса по выбору «Решение комбинаторных задач», а так же подробный конспект одного из уроков и примерное описание одной из контрольных работ. Четвертый параграф содержит описание опытно-

экспериментальной проверки, оформление результатов и выводов, полученных в ходе ее проведения.



Глава I. Психолого-педагогические особенности изучения комбинаторных задач в рамках курса по выбору для учащихся 7- 8 классов

§1. Курсы по выбору в современной школе

Согласно многочисленным социологическим исследованиям большинство учащихся старших классов отдают предпочтение углубленному изучению только тем предметам, которые понадобятся им при изучении будущей профессиональной деятельности. И лишь немногие отдают предпочтение одинаковому уровню освоения всех предметов школьной программы. К 15-16 годам большинство учащихся уже определились в выборе возможной профессии и именно поэтому так важно предоставить учащимся ресурсы для более полного изучения отдельных предметов [1, 20, 24, 33]. Благодаря своевременному предоставлению выбора, учитывающего все интересы, стремления и способности учащихся, дети смогут подобрать верное направление в отношении продолжения образования. Непременное условие формирования образовательного пространства, облегчающего самоопределение учащихся - это организация курсов по выбору.

Курсом по выбору называется обязательный курс по выбору учащегося, а основной функцией является профориентация. Именно поэтому необходимо значительное количество таких курсов. Да, сейчас существует много разнообразных лицеев и гимназий с углубленным изучением некоторых предметов, где один-два предмета проходят по углубленным программам, а другие - на базовом уровне, но образец общеобразовательного учреждения с профильным обучением предусматривает возможность многочисленных комбинаций учебных предметов, что обеспечит гибкую конструкцию профильного обучения. Так как одновременное введение многообразных курсов может поставить учащегося перед нелегкой задачей, то курсы по выбору надлежит вводить постепенно.

При формировании профильного обучения следует учитывать две вещи:

Стремление наиболее полно учитывать индивидуальные интересы и склонности учащихся. Для этих целей требуется увеличить время вариативного компонента Базисного учебного плана. При подготовке обязательных занятий ввести деление класса на группы. А так же сократить учебный материал непрофильных дисциплин, которые изучаются с целью окончания базовой общеобразовательной подготовки.

Ряд факторов, ограничивающих процессы дифференциации образования: единый государственный экзамен, необходимость регулирования федерального перечня учебников, гарантированное снабжение профильного обучения достойными педагогическими кадрами.

Данные факторы в условиях формирования профильного обучения требуют дальнейшего усовершенствования педагогического образования и поднятия квалификации уже работающих педагогических кадров [20]. В связи с этим всем учителям, изъявляющим желание работать в школе, в которой реализуется данный вид обучения, нужно пройти обязательную переподготовку или же повысить свою квалификацию до должного уровня. Исходя из данных требований, возникают вопросы о финансировании при переходе на профильную школу.

При поддержке региональных и муниципальных органов управления образованием следует обеспечить повышением квалификации педагогов и администрации общеобразовательных учреждений, а так же обеспечить школы учебниками и учебными пособиями, необходимыми для успешного внедрения курсов по выбору сначала в старших классах, а затем и для учащихся средних классов. Помимо этого школы должны совершить огромную работу по обеспечению предстоящего выбора профилей учащимся, то есть провести анкетирования, беседы с родителями, чтобы узнать какие курсы из тех, что может предложить школа могут быть интересны учащимся.

На следующем этапе должна быть проделана работа по созданию и разработке предположительных учебных планов курсов. В содержании должны быть указаны основные темы для изучения в данном курсе, а в «примерном плане» должны указываться часы, которые следует отвести на каждую из них. Методические рекомендации следует давать как можно более полно к каждой теме, а так же они должны учитывать возраст учащихся, для которых разработан данный курс по выбору. Список литературы должен вмещать учебные пособия, на которые опирается данный курс, а так же назвать учебники, которые можно использовать учащимся для изучения данного предмета.

Таким образом, курсы по выбору в современной школе должны быть строго регламентированы в качестве профильной или предпрофильной подготовки, в ходе которой учащимся, ориентированным на какую-то конкретную профессию или же, наоборот, сомневающимся в своем выборе, необходимо попробовать свои знания, умения и навыки в освоении различных курсов по выбору.

§2. Психологические особенности математического мышления учащихся 7-8 классов

Одной из важнейших целей образования в сегодняшнем современном обществе есть развитие и формирование математического мышления.

Под математическим мышлением предполагается, в первую очередь, форма, в которой предстает мышление в процессе изучения определенной науки - математики [7]. К сожалению, единодушного мнения по вопросу формулировки понятия математического мышления в методической или психолого-педагогической литературе нет. Некоторые исследователи полагают, что математического мышления, как такового, и не существует, то есть характерность такого мышления связана, по их предположению, лишь с математической направленностью изучаемого материала. Иначе, представители первого подхода не признают своеобразие математического мышления. Г. Фрейденталь пишет, что пока невозможно убедительно раскрыть суть математического мышления [39].

Другой подход предложен исследованиями Ж. Пиаже и его последователями. Согласно этим психологам, под математическим мышлением имеется ввиду логико-математическое мышление, которое имеет так называемые "абстракции действия". Концепция Пиаже включает две основные составляющие: учение о функциях интеллекта и учение о стадиях его развития. Развитие детского мышления понимается как смена соответствующих стадий и описывается с помощью понятий логики и математики. Математические структуры, по мнению Ж. Пиаже, являются формальным продолжением умственных структур [26]. В итоге, теорию Ж. Пиаже, вероятно, можно сформулировать таким образом: только на основе сложившихся мыслительных структур возможно развитие математического мышления учащихся.

В методико-математических работах, где речь идет о формировании математического мышления, значатся термины, указывающие на те или иные разновидности математического мышления. Так, зачастую, говорят о потребности развития у школьников функционального мышления, логического мышления, пространственного воображения, комбинаторного мышления и т. д. [11].

Процесс формирования логического мышления учащихся в течение обучения математике является объектом внимания учителей и методистов. Логическое мышление выражается и формируется у школьников, прежде всего, в процессе формулировки разнообразных математических выводов: дедуктивных и индуктивных, при последовательном доказательстве теорем, и при решении любой задачи. [26].

Логическое мышление отличается умением строить умозаключения из данных предпосылок, умением выделять частные случаи из некого общего положения, умением предсказывать определенные результаты. Развитию логического мышления помогает решение логических нестандартных задач.

В когнитивной психологии является доказанным, что информация содержится в памяти большей частью не в виде непосредственных копий того, что запомнили, а в виде обобщенного результата умственной переработки воспринятого материала - репрезентативных когнитивных структур или когнитивных схем. Репрезентативные когнитивные стуктуры - это внутренние психологические структуры, которые складываются в процессе жизни и обучения в голове человека, это способ описания и хранения знаний в долговременной памяти. В этих структурах представлена сложившаяся у человека картина мира, общества и самого себя [33].

В ходе обучения математике у человека формируются характерные когнитивные структуры, которые являются отражением существующих математических структур. Распознают две модели когнитивных структур, которые формируются по "вертикальному" и "горизонтальному" принципу. К первому относят логические, комбинаторные, образно-геометрические, алгоритмические когнитивные схемы, при этом они выступают, как средства, способы математического познания. Ко второму - порядковые, алгебраические и топологические когнитивные структуры, играющие роль прототипов, элементарных моделей математических объектов, поначалу как средства сохранности математических знаний. В свою очередь следует отметить нижеуказанные своеобразные черты математического мышления, формирующиеся у большинства учащихся при изучении математики [10]:

четкость формирования проблемы, задачи, задания;

понимание предлагаемого математического материала;

строгость изложения материала;

память.

При изучении математического мышления В.А. Крутецкий обратил внимание на основную способность в составе математической одаренности -

«способность к обобщению математических объектов, отношений и действий» [17].

Так, при изучении комбинаторных задач, в которых применяется дерево возможных вариантов, учащимся обычно необходимо овладеть этим способом на примере решения 4-5 задач. Но существуют ученики, которые спустя решение 1-2 задач, находят ответы дальнейших задач самостоятельно. К сожалению, данных учеников очень немного, потому что к окончанию 5-го класса умение обобщения «с места» почти не сформировано.

13-15 лет для подростков - это время эмоциональной неуравновешенности, в связи с этим, подростки легко возбуждаются и не справляются с собой, со своими чувствами. Это приводит к ухудшению дисциплины, особенно после первой половины дня. Приступая к проведению занятий, следует помнить об этом, и учитывать при составлении программы курса по выбору. Темп занятия должен быть скорым: подростки мыслят быстрее. В противном случае любая «задержка» может привести к нежелательному шуму.

В 7-8 классах дети крайне уважают эрудицию учителя, непринужденное владение предметом, желание передать дополнительные знания, ценят педагогов, у которых время на занятиях не тратиться зря, и не любят, когда негативно относятся к самостоятельным суждениям учащихся. Учащиеся с радостью решают задания, в которых требуется поспорить, подумать, представить разные варианты решения. В целом наиболее эффективным является взаимодействие с подростками, которое основано на признании их чувства взрослости и самостоятельности [1, 24].

Л.К. Максимовым были созданы методики, позволяющие раскрыть особенности выражения на математическом материале мыслительных действий: рефлексия, планирование, анализ. С его точки зрения, "показателем развития математического мышления школьников служит наличие у них возможности ориентироваться на рефлексию и внутренний план действия". Другими словами, "математическое мышление предполагает такой тип ориентации, который характерен для теоретического мышления" [23]. Становление теоретического рефлексивного мышления, характерного

высокому уровню развития интеллекта, происходит на основе развития формально-логических операций. Подросток, абстрагируясь от однозначного, наглядного материала, размышляет в чисто словесном плане.

Постижению содержания, сути и способов математического мышления способствуют выделенные экспертами личностные и мыслительные качества, определяющие деятельность математиков при разрешении математических проблем. А.Н. Колмогоров такими качествами считал нахождение удачных путей для решения уравнений, не подходящих под стандартные правила, геометрическое воображение или "геометрическую интуицию", искусство последовательного, правильного расчлененного логического рассуждения, в частности, понимание и умение правильно применять принцип индукции [15]. У восьмиклассника становление мышления тесно связано с развитием воображения, что дает импульс к творчеству.

Психофизиологические черты возраста таковы, что формируются умения строить умозаключения, выдвигать гипотезы, формулировать на их основе выводы. Вырабатывается умение ставить перед собой задачи [11, 12]. В.А. Крутецкий замечает, что мышление талантливых в математике учеников имеет следующие характеристики: быстрое и широкое обобщение; стремление мыслить свернутыми умозаключениями; большую подвижность мыслительных процессов; свободное переключение от одной умственной операции к другой; тенденцию к ясности, простоте, рациональности, экономичности, изяществу решения. Как указывает этот автор, самое главное при обучении математике - формировать у учащихся обобщенные математические отношения, развивать способности к обобщению [17]. Бывают различные пути достижения этой цели в зависимости от индивидуально-типологических отличительных черт школьников. Учителю надлежит руководствоваться такими особенностями, которые особенно сильно выражены, и, основываясь на них, постепенно перебарывать специфические несильные черты математического мышления.

При изучении психолого-педагогической литературы определенной трактовки термина математическое мышление найти не удалось. Поэтому

договоримся под математическим мышлением понимать умение человека рассуждать и мыслить на математическом языке с использованием основных понятий логики, а так же применять такие мыслительных операции, как синтез, анализ, классификация и др., обеспечивающих освоение основных методов решения задач.

Таким образом, мы проанализировали основные подходы к толкованию феномена математическое мышление в психолого-педагогической литературе. Мышление как процесс, который характеризует активность личности, обретает свой наибольший рост в деятельности. При обучении математики такой деятельностью может быть процесс разбора задач, а именно процесс постоянного взаимодействия познающего субъекта с познаваемым объектом.

§3. Место курса по выбору «Решение комбинаторных задач» в школьном курсе математики

Современные представления школьного математического образования направлены, первым делом, на учет индивидуальных предпочтений учащихся, их склонностей и интересов. Это формирует критерии подбора содержания, подготовку и внедрение новейших, интерактивных методик обучения, усовершенствование требований к математической подготовке школьников. Когда говорят не только о преподавании математики, но и становлении личности благодаря математике, требуется развитие вероятностной интуиции у всех до единого учащихся, а также статистического мышления, что является необходимой задачей обучения.

До того, как любая область знания образует особую науку, она предварительно проходит продолжительный период сбора эмпирического материала, а затем развивается в глубине другой, обобщенной науки и только затем формирует собственный раздел. Задачи, в которых необходимо выбирать различные предметы и располагать их в некотором конкретном порядке, находить среди разнообразных расположений предпочтительное, встречались людям в доисторическую эпоху, при расположении воинов во время битвы, охотников во время охоты, делая выбор инструментов для работы. Конкретным образом располагались узоры на керамике, украшения на одежде, перья в оперении стрелы [9].

В пирамиде, где был похоронен египетский фараон Тутанхамон, нашли разграфленную доску с тремя горизонталями и 10 вертикалями и фигурки для древней игры ''сенет'', правило которой мы, вероятно, никогда не узнаем. Позже появились нарды, шашки и шахматы, а также их различные варианты (китайские и японские шахматы, японские облавные шашки ''го'' и т. д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания передвигаемых фигур, и выигрывал тот, кто их лучше заучил [9].

В китайских рукописях, датируемых XII-XIII вв. до н.э. упоминаются вопросы, схожие с комбинаторными. В этих рукописях говорится, что абсолютно все в мире есть сочетание двух начал - женского и мужского, обозначаемые символами. В ''Же Ким'' (''Книга перестановок'') представлены различные сочетания этих знаков как по два, так и по три.

Восемь рисунков из трех рядов символов изображали воду, горы, землю, ветер, огонь, грозу, небо и облака (есть рисунки, которые имеют и другие значения). Поэтому нет ничего удивительно в том, что сумма первых 8 натуральных чисел (число 36) олицетворяет в предположениях древних китайцев целый мир [9].

Оказалось нужным выразить в процессе углубления знаний и остальные элементы мироздания при помощи таких же знаков. Были созданы 64 фигуры, которые содержали пять рядов черточек. Полагают, что автор книги ''Же Ким'' обратил внимание на удвоенные числа рисунков при присоединении еще ряда символов [9]. Можно рассматривать это как первое общее достижение в комбинаторике.

Конкретные комбинаторные задачи, которые касаются перечисления малых групп предметов, греки легко решали без ошибок. Аристотель описал без пропусков все виды правильных трехчленных силлогизмов, а его ученик Арисксен из Тарента перечислил различные комбинации длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. Живший в IV в. н.э. математик Папп рассматривал число пар и троек, которые можно получить из трех элементов, допуская их повторения [9].

Комбинаторика зародилась в XVI веке. В жизни тогдашнего общества немалое место занимали азартные игры. В карты или кости выигрывались, проигрывались золото, бриллианты, дворцы, имения, породистые кони и дорогие украшения. Повсюду были распространены различные лотереи. Изначально комбинаторные задачи касались, главным образом, азартных игр -- вопросов, насколько часто можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр были движущей силой в формировании комбинаторики и теории вероятностей [27, 30].

Комбинаторные проблемы обсуждались лишь в различных трудах по астрологии, математике и логике, но большей частью касались области математических развлечений и игр.

В 1666 г. Г. В. Лейбниц публикует ''Диссертацию о комбинаторном искусстве'', где термин ''комбинаторный'' появляется впервые. Диссертация стала началом большой работы, часто упоминаемой в его печатных трудах и письмах, и для которой он делал многочисленные заметки в своих записных книжках. Из этих записей видно, что Лейбниц намечал для комбинаторики

разнообразные новые приложения: к играм, кодированию и декодированию и теории наблюдений, статистике. Он полагал, что комбинаторике необходимо заниматься похожим и непохожим, различным и одинаковым, абсолютным и относительным расположением, когда как традиционная математика занимается малым и большим, единицей и многим, частью и целым. Другими словами, Лейбниц под комбинаторикой понимал то, что мы сейчас называем дискретной математикой. К части комбинаторики Г.В.Лейбниц приписывал и ''универсальную характеристику'' - математику суждений, то есть модель современной математической логики.

Запланированные проекты Г.В.Лейбница представлялись несбыточными здравомыслящим математикам той эпохи. Положение дел быстро изменилось при появлении во второй половине XX века ЭВМ и расцвета дискретной математики [27, 30]. После этих событий комбинаторика переживает период стремительного развития. Комбинаторные методы сыскали множество применений. Они используются для урегулирования транспортных задач (особенно задач по формированию расписаний), для реализации продукции и регулировки планов производства, в статистике, в теории случайных процессов, в планировании экспериментов, в вычислительной математике, в шахматных программах для ЭВМ и т. д. Комбинаторика используется для создания и декодирования шифров и для решения других проблем теории кодирования и теории информации. Комбинаторные методы имеют огромное значение и в чисто математических вопросах -- при изучении теории групп и их представлений, неассоциативных алгебр, конечных геометрий и т. д.

Комбинаторика -- важный раздел математики, знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по кодам, инженерам и многим другим научно-техническим работникам [40]. Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории вероятностей и ее приложений [4, 5, 6].Один из главных аспектов совершенствования содержания математического образования заключается во включении в образовательные программы элементов теории вероятности и статистики [3]. Это обусловлено функцией, которую выполняют вероятностно-статистические знания. Без элементарной вероятностно-статистической грамотности нелегко адекватно воспринимать политическую, социальную, экономическую информацию и делать на ее основе обдуманные поступки.

Приступая к преподаванию школьникам стохастики, учитель должен себе ясно представлять, чем обусловлена необходимость введения в школу новой содержательно-методической линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе, видение их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастики в ряду других тем, знание итоговых требований к стохастической подготовке учащихся составляют важнейший общезначимый компонент методической подготовки учителя математики к реализации новой линии [34, 35, 37].



Глава II. Методическое обеспечение курса по выбору «Решение комбинаторных задач»

§1. Анализ учебной литературы

В учебниках Дорофеева Г.В., Суворовой С.Б., Бунимовича Е.А. есть сведения о данном вопросе, как и в 7 классе, так и в 8. В 7 классе впервые дети встречаются с понятием «комбинаторика» в 6 главе под названием: свойства степени с натуральным показателем. Учащиеся приступают к изучению этого раздела, преодолев уже более половины учебного материала. В третьем пункте главы мы встречаем тему под названием: решение комбинаторных задач. В этой теме дается интуитивное определение таких задач, а также говориться, что комбинаторные задачи они уже встречали раньше. Вводится правило умножения. Помимо этих новых понятий, мы встречаем подраздел под названием: перестановки. В нем речь пойдет о наиболее простых задачах на перестановки, вводится определение факториала, дается формула для подсчета количества перестановок. В дополнение к этим подразделам существует рубрика «для тех, кому интересно» в которой речь идет о круговых перестановках, а точнее о задачах с перестановкой предметов по кругу. На этом речь о комбинаторных задачах в курсе математики 7 класса заканчивается.

В учебниках следующих авторов 8 класса также встречается упоминание о комбинаторике, а точнее о размещениях и сочетаниях. Делается это снова в рубрике «для тех, кому интересно» в самой последней главе данной книги, под названием «Размещения и сочетания». Здесь рассматриваются определения размещений и сочетаний, вводятся так же формулы для нахождения их количества, предлагаются несколько задач на данную тему [13, 14].

В комплекте для школ 7-8 класса Никольского С.М., Потапова М.К. также имеются упоминания о комбинаторике. При этом в учебнике 7 класса никаких сведений нет, а вот в 8 - есть небольшие упоминания о размещениях, сочетаниях и перестановках, в качестве дополнений к последней главе учебника. В этих подглавах есть как определения, так и формулы, и еще представлены различные задачи на применение оных [25].

Среди рассмотренных комплектов, осталось упомянуть об учебниках 7-8 Колягина Ю.М., Ткачева М.В. Если в книге «Алгебра 8» данного авторского коллектива нет упоминаний о комбинаторике, то в учебнике для седьмого класса есть целая глава, посвященная данной теме, она так и называется: элементы комбинаторики. В ее составе три параграфа: различные комбинации из трёх элементов, таблица вариантов и правило произведения, подсчёт вариантов с помощью графов. Точно так же как и в учебниках других авторских коллективов, даны здесь определения перестановкам, сочетаниям и размещениям, вводятся основные правила - сложения и умножения, а так же упоминаются графы [16].

Но помимо основных учебников школьного курса алгебры, существуют специальные книги, для углубленного курса изучения. Поговорим об одном учебном пособии для учащихся 7-9 классов, которое станет очень хорошим учебников для учащихся в математическом кружке. Это пособие Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г «Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Комбинаторике здесь посвящена целая глава [21]. Но следует отметить, что входит она в курс алгебры 9 класса, что, конечно, не мешает использовать ее в качестве базового учебника в дополнительных занятиях как восьмого, так и седьмого класса.



§2. Математическое содержание курса

Комбинаторные задачи существуют самых различных видов. При этом большое количество задач решается с использованием правил суммы и произведения.

Правило суммы. Предположим, что на блюде лежит 5 апельсинов, тогда выбрать один можно пятью различными способами (взять один из пяти апельсинов). А на втором блюде лежит 4 груши, из которых выбрать одну грушу можно четырьмя способами (взять одну из четырех груш). Тогда выбрать один фрукт возможно девятью способами (делая выбор из девяти фруктов -- пяти апельсинов и четырех груш). Это и есть правило суммы, формулировка которого выглядит следующим образом:

Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами (не такими, как A), то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m + n способами [8].

Правило суммы используют, если возможно разбить рассматриваемые

комбинации на классы, причем любую из комбинаций можно отнести лишь в один из полученных классов. Ясно, что в таком случае целое число комбинаций равно сумме комбинаций в каждых классах. При применении правила суммы важно следить за тем, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким бы то ни было способом выбора объекта В (ни одна комбинация не должна попадать сразу в оба класса). В случае, если подобные совпадения есть, правило суммы теряет свою силу, и мы получаем, лишь m + n - k способов выбора, где -- число совпадений.

Правило произведения. Это правило немного труднее. Предположим, что нам нужно узнать количество двузначных чисел, которые можно составить из цифр 3, 9. Так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то каждую цифру из разряда десятков и единиц можно выбрать двумя способами. Поскольку двузначное число - упорядоченный набор из двух элементов, то его выбор можно осуществить разными способами. Правило произведения формулируется так:

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то выбор пары (А; В) в указанном порядке можно осуществить способами [8].

Правила суммы и произведения, которые сформулированы для двух объектов, можно обобщить и на случай t объектов. К примеру если нужно найти количество t-значных чисел или при делении комбинаций на t классов. Правила суммы и произведения - это наиважнейшие правила решения комбинаторных задач. Помимо данных правил в комбинаторике используют формулы для подсчета числа особенных видов комбинаций, встречающихся чаще всего. Разберем некоторые из них, особенно те, которые знать необходимо.

Факториал.

Изучение данной темы развивает внимание и память учащихся, а также способствует формированию логического мышления, которое является частью математического мышления.

Произведение всех натуральных чисел от до включительно называют

n-факториалом и пишут: - .

Примеры:

1.

2.

3.

Полагают . Это понятно. Но нам далее встретится еще одно обозначение . Кажется, что обязан равняться нулю. Однако принято считать, что . Дело в том, что факториал обладает следующим свойством: . Это равенство верно при . Конечно, нужно определить так, чтобы это свойство было верным и при , т. е. так, чтобы . Но тогда приходится положить 0! = 1.

В основы изучения комбинаторики входит теория множеств. Множество

- главное понятие теории множеств, при этом оно никак не определяется, только лишь поясняется на примерах (натуральные числа, множество треугольников, четырехугольников и т.д.). В математике знакомятся не только с термином «множества», но и с отношениями, взаимосвязями, которые возникают между ними. Таким образом, известно, что натуральные числа есть часть множества целых чисел, т. е. множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Изучение данной темы помогает развитию познавательных процессов и формированию мыслительных операций учащихся, таких как сравнение, анализ и синтез. Так при изучении объединений множеств мы применяем такую операцию как синтез, а при изучении пересечений - анализ.

Множество B называют подмножеством множества А, если каждый элемент множества B является также элементом множества А[8]. Например,

Если важен порядок следования элементов, то речь идет об упорядоченных наборах элементов. Данные наборы называют кортежами и отличают друг от друга по длине. Длина кортежа - это количество элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) - это кортеж длины 3.

Наиболее важные для изучения операции над множествами -- пересечение, объединение и разность множеств.

Объединение множеств A и B есть множество , которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B [8]. Например, для множества букв слова «математика» и множества букв слова «физика» F имеем: . Аналогично определяется объединение трёх и большего числа множеств.

Пересечение множеств A и B есть множество , которое состоит из всех элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B [8]. Например, для тех же множеств M и F имеем: . Множества, у которых нет общих элементов (то есть пересечение которых пусто), называются непересекающимися.

Разность множеств A и B есть множество , которое состоит из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B [8]. Например,

Таким образом, на основе нескольких определений из теории множеств формируются основные понятия комбинаторики.

Задачи [41]:

Докажите, что для любых трёх множеств A, B и C выполнены равенства:

а б в

г

Среди математиков каждый седьмой -- философ, а среди философов каждый девятый -- математик. Кого больше -- философов или математиков?

На маленьком острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Сколько жителей острова состоят в браке, если всего там проживает 1900 человек?

На данный момент в классе 20 учеников, получивших с начала учебного года хотя бы одну двойку, 17 учеников, получивших не менее двух двоек, 8 учеников, получивших не менее трёх двоек, три ученика, получивших не менее четырёх двоек, один ученик, получивший пять двоек. Больше пяти двоек нет ни у кого. Сколько всего двоек в журнале?

В детский сад завезли карточки трёх видов для обучения чтению: на некоторых написано «па», на некоторых «сть», и на некоторых «ко». Каждый из 40 детей взял три карточки (не обязательно разные) и стал составлять из них слова. Оказалось, что слово «папа» могут сложить из своих карточек 23 ребёнка, слово «пасть» -- 19 детей, слово «кость» -- 11 детей, слово «пакость»

-- 4 ребёнка. При этом каждый ребёнок может сложить хотя бы одно слово из перечисленных. Сколько детей взяли себе три карточки со слогами «па», «па»,

«сть»?

Дерево возможных вариантов, графы, таблицы.

Комбинаторные задачи в школьном курсе математики наиболее часто решаются методом перебора. Для упрощения данного процесса частенько используются графы, «деревья» и таблицы. Для этого требуются определенные навыки и умения решения комбинаторных задач. Решая несложные комбинаторные задачи, первым делом, нужно как следует выполнять перебор возможных вариантов [18, 19]. При изучении данной темы происходит развитие наглядно-образного мышления при изображении и использовании различных методов перебора, а распределение элементов по группам и подгруппам формирует у учащихся такую мыслительную операцию как классификация.

Пример: сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 2, 6 и 8?

Чтобы не пропускать и не повторять числа, запишем их в порядке возрастания. То есть, в первую очередь запишем числа, которые начинаются с цифры , затем с цифры и, наконец, с цифры :

. В итоге, из трех определенных цифр получилось составить 9 различных вариантов двузначных чисел.

Существует грамотный подход к решению разнообразных комбинаторных задач - составление специальных схем. Эти схемы внешне напоминают дерево, отсюда и название - дерево возможных вариантов. При верном построении дерева никакой из вариантов решения не будет упущен.

Также решить комбинаторную задачу можно при составлении специальной таблицы. Она, как и дерево возможных вариантов, наглядно продемонстрирует решение подобной задачи.

Пример: в школьной столовой приготовили на завтрак плов (П), кашу (К), блины (Б), а из напитков - сок (С), чай (Ч) и молоко (М). Сколько различных вариантов завтрака можно составить?

	П	К	Б
С	СП	СК	СБ
Ч	ЧП	ЧК	ЧБ

М	МП	МК	МБ

Ответ: 9 вариантов.

Решать комбинаторные задачи можно еще и с помощью графов. Граф - это геометрическая фигура, состоящая из точек (вершины графа) и линий, их соединяющих (ребра графа). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей и т.д.), а с помощью ребер

- определенные связи между элементами.

Пример: на рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

А Ж

Каждой вершине, начиная с начальной (A), поставим в соответствие индекс, равный количеству путей, которыми можно попасть в эту вершину. Для вершины A (начало пути) индекс всегда равен 1 (в начало пути можно попасть единственным образом - никуда не двигаясь). Теперь сформулируем правило: индекс вершины равен сумме индексов его предков. Исходя из этого индекс Б равен 1 (предок у Б один - вершина A). Очевидно, что мы можем посчитать индекс только тех вершин, индексы предков которых уже посчитаны. Например, мы не можем посчитать индекс Г, пока не посчитан индекс В. Двигаясь последовательно, мы рассчитаем индексы всех вершин. Таким образом, индекс вершины Ж и будет ответом задачи.

Ответ: 9

Задачи [41]:

Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?

Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?

Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком.

Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним надевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.

а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?

б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?

в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?

Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий и зеленый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовало в турнире?

6 учеников сдают зачет по математике. Сколькими способами их можно расположить в списке?

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7?

В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим

путем, т.е. не нужно было идти в обход. Задание: показать, какие дорожки надо сделать.

Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Вася, Коля, Петя, Аня и Наташа - лучшие лыжники в группе. Для участия в соревнованиях нужно выбрать из них одного мальчика и одну девочку. Сколькими способами это можно сделать?

На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

Сколькими разными способами можно заказать напиток в кафе, где есть 8 видов сока и 5 видов минеральной воды?

Пусть есть колода карт (36 листов). Карта червовой масти - может быть выбрана 9-ю разными способами. Туз - может быть выбран 4-мя разными способами. Сколькими способами может быть выбрана червовая карта или туз?

Сколько существует различных четырёхзначных чисел, составленных из чётных цифр так, что все цифры в числе различны?

Размещения.

Изучение данной темы помогает развитию таких мыслительных операций как классификация, анализ, синтез и обобщение. Например, при рассмотрении частых примеров по составлению размещений мы можем вывести общую формулу для нахождения числа размещений, что обеспечивает формирование функции обобщения, а согласно определению, приведенному ранее, это одна из частей математического мышления.

Размещение с повторениями из элементов по элементов - это кортеж длины , составленный из элементов - элементного множества. Число всех

таких размещений обозначают [8].

Давайте рассмотрим уже решенный пример про составление двузначных чисел. Перечисляя различные двузначные числа из трех данных цифр (2, 6, 8), мы создаем из кортежа длины трех несколько новых кортежей длины двух с повторяющимися элементами. Эти новые кортежи отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения. К примеру, числа и различаются своим составом, а числа и порядком расположения. Количество кортежей можно посчитать по формуле:

Здесь - количество изначальных цифр, а - длина новых кортежей [8].

В нашей задаче

. Cреди возможных вариантов расположений, есть такие кортежи, в которых числа будут повторяться, это числа . Распространены задачи, в которых требуется подсчитать число кортежей длины , образованных из элементов некоторого множества, но при условии, что элементы в кортеже не будут повторяться. Такие кортежи называются размещениями без повторений из элементов по элементов.

Снова разберем предыдущую задачу, при этом обговорив одно условие: цифры новых числах не должны повторяться. Значит, из количества кортежей вычтем такие варианты размещений как , в этом заключается основное отличие от размещений с повторениями.

Сочетания.

Изучение данной темы помогает развитию таких мыслительных операций как классификация, анализ, синтез и обобщение. Например, при решении основных комбинаторных задач первым делом требуется определиться с тем, какую формулу необходимо использовать. Это формирует мыслительное действие классификации, а согласно определению, приведенному ранее, это часть математического мышления.

В случаях, когда нам не важен порядок элементов в комбинации, а интересует только ее состав, говорят о сочетаниях. Так из четырёх различных букв можно составить следующие комбинации, отличающиеся друг от друга, хотя бы одним элементом: . Сочетаниями без повторений из элементов по называют любой выбор элементов из имеющихся различных элементов [8]. Разные сочетания отличаются друг от друга не порядком элементов, а только его составом -- порядок их перечисления нас не интересует вовсе. Число сочетаний, которые можно составить из элементов по , обозначают через

четырех различных букв мы составляем 6 различных сочетаний по две буквы.

Формулу для числа сочетаний можно получить из выведенной до этого формулы для числа размещений. Для этого составим сначала все сочетания из элементов по , сделав запись каждого в виде некоторого размещения (т. е. упорядочив элементы каждого сочетания), а затем будем перемещать входящие в каждое сочетание элементы всевозможными способами. При этом получатся все размещения из элементов по , причем каждое, только по одному разу.

Главными комбинаторными понятиями считаются сочетания, перестановки и размещения [28, 29]. Но на первом этапе сами термины можно не вводить, главное, чтоб учащийся понимал, наборы какого типа необходимо составить в решаемой задаче (нужно ли учитывать порядок и состав, и возможны ли повторения) [2].

Как только учащиеся научаться составлять наборы из элементов предложенного множества по заданному свойству, требуется рассмотреть задачу по подсчету количества возможных наборов [28, 29]. Данные комбинаторные задачи находят решение при обсуждении принципов умножения. Прекрасной наглядной иллюстрацией с применением правила умножения является дерево возможных вариантов. Крайне важно продемонстрировать решение при помощи дерева. Помимо этого способа, хорошими и грамотными методами решения являются таблицы и графы.

Рассмотрим более подробно содержание программы.

Занятие 1. Введение. Организационные моменты, несколько слов о самом понятии комбинаторика.

Способствует развитию мыслительной операции обобщения.

Основная цель: сформировать представления учащихся о комбинаторике, познакомить с основными этапами курса: центральными темами, которые будут изучаться, задачами, количеством самостоятельных и контрольных работ.

На данное занятие отводится один урок, а то и меньше. Организационные моменты заключаются в решении учащихся о том, какой курс из представленных выбрать. Для этого преподаватель обязан рассказать о том, что представляет собой его предмет. А так же выдать творческое задание тем детям, которые уже определились со своим курсом по выбору.

В качестве творческого задания учащимся предлагается подготовить реферат, доклад, презентацию или рассказ на одну из представленных тем:

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Элиаким Гастингс Мур

Джеймс Джозеф Сильвестр

Комбинаторика в Древнем периоде

Комбинаторика в Средневековье

Комбинаторика Нового времени

Современная комбинаторика

Якоб Бернулли

Блез Паскаль

Леонард Эйлер

Популярные исторические комбинаторные задачи

Занятие 2. История комбинаторики.

На данное занятие так же отводится один час. Выступление учащихся, подготовивших творческое задание.

Занятие 3. Дерево вариантов.

Основная цель: рассмотреть задачи на метод перебора и формирование умений и навыков решать их с помощью дерева вариантов.

На данную тему следует отвести одно занятие. Преподаватель рассказывает о задачах решаемых методом перебора, а так же сообщает об одном из способов грамотного наглядного перебора всех возможных вариантов дереве вариантов. На примере решения пары таких задач педагог демонстрирует основные принципы иллюстрации «деревьев». После чего учащиеся должны начать решать схожие задачи как в своих тетрадях, так и на доске.

Занятие 4. Понятие графа.

Способствует развитию мыслительных операций классификации и конкретизации.

Основная цель: рассмотреть задачи на метод перебора и формирование умений и навыков решать их с помощью графа.

На данную тему следует отвести одно занятие. Преподаватель продолжает рассказывать о задачах на метод перебора, но демонстрирует новые типы заданий на графы. На примере решения некоторого количества задач учитель показывает способы решения таких заданий. После чего учащиеся должны начать решать схожие задачи.

Занятие 5. Табличный метод решения задач.

Способствует развитию мыслительных операций классификации и конкретизации.

Основная цель: рассмотреть задачи на метод перебора и формирование умений и навыков решать их с помощью таблиц.

На данную тему следует отвести одно занятие. Преподаватель продолжает рассказывать о методе перебора вариантов, при этом представляет другой наглядный метод грамотного перебора - с помощью таблиц. На примере решения нескольких задач учитель объясняет, каким образом таблицы позволяют учитывать всевозможные варианты. После данных пояснений учащимся предлагается самим решить несколько заданий с подробным пояснением у доски, как та или иная задача решалась.

Занятие 6. Подготовка к контрольной работе №1 на тему «Метод перебора».

Способствует развитию мыслительных операций анализа, синтеза, обобщения и сравнения.

Основная цель: подготовить учащихся к написанию контрольной работы №1. мышление математический комбинаторный учащийся

На подготовку следует отвести одно занятие. Учитель с учащимися

разбирает задачи, аналогичные которым будут встречаться в контрольной работе.

Занятие 7. Контрольная работа №1. Метод перебора.

Способствует развитию мыслительных операций анализа, синтеза, обобщения и сравнения.

Основная цель: контроль знаний учащихся.

На контрольную работу отводится один час. Всего в контрольной работе будет представлено 5 заданий. Первое задание должно решаться методом перебора, при этом каким образом требуется решить данную задачу в условии не указывать. Учащиеся должны выбрать наиболее удобный способ для себя сами. Второе задание решается деревом вариантов. Третье задание - с помощью таблицы. Четвертое задание на граф. А вот пятое задание усложненное. В нем следует представить граф, в котором требуется перебрать не все возможные варианты, а указать один вариант - подходящий к условию задачи. Примерное количество вариантов заданий - два.

Занятие 8. Основные правила комбинаторики.

Способствует развитию мыслительных операций обобщения и абстракции.

Основная цель: знакомства с правилами суммы и произведения, формирование и развитие умений и навыков решения простейших комбинаторных задач с помощью данных правил.

...