Решение комбинаторных задач как средство развития математического мышления учащихся 7-8 классов

На данное занятие отводится один час, в течение которого приводится пример решения задачи с помощью правила суммы, после чего сами учащиеся формулируют правило. Точно таким же образом выводится правило произведения. В дальнейшем учащиеся приступают к решению задач с помощью данных правил самостоятельно.

Занятие 9. Факториал.

Способствует развитию мыслительных операций анализа и синтеза.

Данное занятие рассмотрим полностью, для этого приводится подробный конспект урока для учащихся 7 классов.

Факториал.

Тип урока: изучение нового материала с элементами закрепления.

Цели урока:

Образовательные: ввести понятие факториала, отработать умения вычисления, упрощения, решения уравнений, содержащих факториалы;

Воспитательные: формирование логического мышления, создание положительной мотивации обучения; повышение общей культуры учащихся;

Развивающие: развитие у учащихся познавательного интереса, развитие математического мышления, а так же развитие внимания и памяти.

План урока:

Организационный момент ? 5-10 минут;

Объяснение нового материала ? 10-15 минут;

Формирование умений и навыков ? 15-25 минут;

Итоги урока ? 3 минуты;

Домашнее задание ? 1 минута.

Ход урока.

Организационный момент: проверка готовности учащихся к уроку, проверка домашнего задания. Требуется узнать у учащихся, какие трудности возникли при выполнении домашнего задания и если они имеются, то разобрать интересующую задачу.

Объяснение нового материала.

Вступительное слово учителя. Сегодня мы с вами познакомимся с таким понятием как факториал, а так же научимся производить элементарные вычисления с его помощью. Рассмотрим следующий пример:

Знаете ли вы что обозначает символ, стоящий в знаменателях данных

дробей? (Всевозможные ответы учащихся) Данный символ называется факториал и обозначает он следующее: произведение всех натуральных чисел от до включительно называют n-факториалом и пишут:

- . Следует обратить внимание что и . И сформулировать свойство, которое доказывает данные утверждения. Теперь попробуем решить

данный пример и разобрать еще несколько примеров.

Пример 1.

Формирование умений и навыков: решение задач. Учитель с учащимися разбирает задания, которые предварительно будут написаны на доске. При этом один из учеников будет вызываться к доске, в то время как остальные будут идти на опережение, что обеспечит самостоятельный разбор упражнений. Если же по какой-то причине нескольким учащимся не удастся разобраться в задании самостоятельно, то они смогут сориентироваться в решении при подробном обсуждении разобранной задачи у доски. На данном этапе предлагается решить задания, представленные в пункте 2.1 этой главы. Давайте рассмотрим подробнее некоторые из них.

№1. Вычислить:

Комментарий к решению заданий. Прежде чем решать данный пример нужно ввести понятие двойного факториала, как произведение всех натуральных чисел в отрезке имеющих ту же чётность, что и . А так же привести пример с четным и нечетным числом.

§4. Опытно-экспериментальная проверка

Экспериментальная проверка целесообразности, доступности и эффективности разработанных учебных материалов названного курса по выбору проводилась в ГБОУ школа №1384 имени А.А. Леманского СЗАО города Москвы в рамках внеклассного мероприятия по математике в период 09.02.2017 - 28.02.2017. В экспериментальной проверке участвовали ученики 8 класса. Также её целями было развитие математического мышления учащихся.

Эксперимент был построен в три этапа:

.Предварительный этап. На данном этапе были проведены и обработаны тесты на психодиагностику познавательных процессов и оценку мышления у школьников. А также даны задания на выборочное решение задач (обычные, комбинаторные, на теорию вероятностей).

Проведение психодиагностического теста на исследование гибкости мышления. Методика позволяет определить вариативность подходов, гипотез, исходных данных, точек зрения, операций, вовлекаемых в процесс мыслительной деятельности [31, 36]. Итак, учащимся было предложен следующий тест, который обязательно нужно было проделать индивидуально.

Тест

Вычислить

a) 720; б) 36; в) 60; г) 66.

Вычислить

а) 24; б) 20; в) 4920; г) 22.

Сколькими способами можно составить расписание учебного дня из 5 различных уроков.

а) 30; б) 100; в) 120; г) 5.

В 8А классе 29 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 7 человек для участия в математической олимпиаде?

а) 1560780; б) 46788; в) 906598; г) 35960.

Бросают три монеты. Какова вероятность, что выпадут три орла?

[38].

а) 0,2; б) 0,5; в) 0,125; г) 0,75

Сколько существует различных двузначных чисел, в записи

которых можно использовать все нечетные цифры, если цифры в числе должны быть различны.

а) 60; б) 30; в) 10; г) 20;

Для обеспечения самостоятельного решения тестовых заданий, было обговорено условие, что данный тест проводится не на отметку, а так же не обязательно (по желанию) указание фамилии и имени при заполнении бланка ответов.

На данном этапе был проверен уровень знаний учащихся в области комбинаторики и составлена следующая таблица.

Таблица 1.1

Вывод: учащиеся совсем не знают формулы для нахождения числа сочетаний, размещений, а многие не знакомы с факториалом. Основной способ решения задач - длительный перебор всевозможных вариантов, но если это не представляется возможным, то учащиеся выбирали ответ наугад.

Так же учащимся давались на выбор три задачи. При этом основным условием было решение хотя бы двух задач из представленных на выбор.

Задача 1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг? [38].

Задача 2. В ящике имеется 10 белых и 15 черных шаров. Из ящика вынимаются 4 шара. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут белыми? [38].

Задача 3. Сколькими способами можно разбить 16 задач на 4 варианта?

На данном этапе были проверены способности учащихся в решении задач и составлена следующая таблица.

Таблица 2.1

Вывод: из полученных данных мы можем сказать, что все учащиеся выбрали из трех задач первую, большая часть решила решить задачу на вероятность под номером 2, и не решив ее, почти половина детей приступили к решению третьей задачи. Таким образом, школьники 8 класса почти не умеют решать задачи как на вероятность, так и на число сочетаний.

.Обучающий этап. На уроках математики даются комбинаторные задачи. Проведено два внеклассных мероприятия на тему: «Решение комбинаторных задач», на которых давался теоретический и практический

материал на тему факториал и число сочетаний.

Контролирующий этап. Повторное проведение и обработка тестов на психодиагностику познавательных процессов, оценку мышления у школьников. Повторное задание на выборочное решение задач. Обработка результатов и сравнение с результатами предварительного этапа.

В результате повторного проведения теста были получены следующие результаты:

Таблица 1.2

Вывод: количество верно решающих детей возросло почти вдвое.

Таблица 2.2

Вывод: все дети по-прежнему выбирают для решения первую задачу, но точно так же все дети решили попробовать решить третью задачу и большая часть успешно справляется с ней. А так же хочется отметить что нашлись такие учащиеся, которые попробовали решить все три задачи и некоторые учащиеся справились с решением всех трех заданий.

Результаты экспериментальной проверки. После сравнения результатов этапов, мы можем сделать вывод об эффективности разработанного курса, а именно о развитии математического мышления, повышения интереса к математике, и стремлении учащихся в развитии навыка решения комбинаторных задач.

Заключение

Данная работа затрагивает одну из актуальных проблем современной школы - развитие математического мышления учащихся с помощью решения задач. В результате проведенного теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целями и задачами получены следующие основные результаты и выводы.

Определены педагогические требования к поиску формы и методов проведения занятий курса по выбору, способствующих реализации комплексного подхода к решению образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения.

Выделены возрастные психологические особенности учащихся 13- 15 лет, способствующие успешному усвоению ими материала курса по выбору, разитию их математического мышления, воспитанию целеустремленности, настойчивости.

Уточнено понятие математического мышления, проанализированы его основные характеристики.

Разработано методическое обеспечение курса по выбору «Решение комбинаторных задач» для учащихся 7-8 классов, направленного на развитие математического мышления школьников на основе изучения простейших задач по комбинаторике. Произведен отбор теоретического материала, упражнений и задач, обеспечивающих изучение курса, разработаны методические материалы для учителя.

Проведена опытно-экспериментальная проверка эффективности изучения курса по выбору «Решение комбинаторных задач», в ходе которой была доказана доступность предложенного материала для учащихся 8 классов и хороший уровень качества его усвоения.

Эксперимент подтвердил гипотезу исследования, позволив утверждать, что разработанный курс по выбору способствует развитию математического мышления учащихся 7-8 классов, позволяет углубить их базовую

математическую подготовку, формирует интерес к изучению профессий, связанных с математикой.

Среди направлений дальнейшей работы можно указать разработку курса по выбору, посвященного комбинаторной тематике и способствующего развитию математического мышления, для учащихся старших классов.

Список литературы

Абрамова Г.С. Возрастная психология: Учеб. пособие для вузов - [6. изд.]. - Москва: Академический Проект: Альма Матер, 2006. - 698, 3с.: ил., табл., схемы. - (Gaudeamus) (Учебное пособие для вузов). - На рус. яз.

Беляева И.С. Комбинаторика: (Фак. курс): Метод. пособие; М-во просвещения РСФСР, КГПИ . - Орел, 1970 . - 110 с. - На рус. яз.

Бродский Я.С. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе. - Математика. - 2004. - №31.

Булычев В.А., Бунимович Е.А. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей и статистики [Электронный ресурс] // Математика в школе.- 2011.

№5. - с.8-16: рис. - Режим доступа: http://elib.mpgu.info/view.php?fDocumentId=3475. - доступ для авторизованных пользователей МПГУ. - На рус. яз.

Булычев В.А., Бунимович Е.А. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей и статистики [Электронный ресурс] // Математика в школе.- 2011.

- № 6. - С. 9-25 . - На рус. яз.

Булычев В.А., Бунимович Е.А. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей и статистики. [Электронный ресурс] // Математика в школе.- 2011. - № 7. - С. 9-20: рис., табл. - На рус. яз.

Вейль Г. Математическое мышление: Сб.: Пер. с англ. и нем.; Сост. Ю. А. Данилов; Под ред. [и со ст.] Б. В. Бирюкова, А. Н. Паршина. - Москва: Наука, 1989. - 400с.

Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. - 400с.

Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. - М.: Наука, 1975. --

208с.

Голиков А.И. Теоретические подходы к феномену "математическое

мышление" [Электронный ресурс] // Научная цифровая библиотека PORTALUS.RU - Москва, 2007. - В свободном доступе:

http://portalus.ru/modules/shkola/rus_readme.php?subaction=showfull&id=11950489 65&archive=1195938639&start_from=&ucat=&

11. Давыдов В.В. Основные проблемы развития мышления в процессе обучения //Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии. В 2ч. - М., 1970.

Джон Д. Психология и педагогика мышления; Пер. с англ. Н. М. Никольской; Под ред. Н. Д. Виноградова. - Москва: Совершенство, 1997. - 203, 1 с. - (Классики психологии). - На рус. яз.

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 256 с.

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 288 с.

Колмогоров А.Н. О профессии математика. - 3. изд., доп. - Москва: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1959 . - 29с.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2012. - 319 с.

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников; Под ред. Н. И. Чуприковой; Акад. пед. и соц. наук, Моск. психол.- соц. ин-т. - Москва: Ин-т практ. психологии , 1998. - 411с.

Кузьмин О.В. Комбинаторные методы решения логических задач: Учеб. пособие для вузов по направлениям и специальностям в обл. математики.

Москва: Дрофа, 2006. - 187, 2с.: ил. - (Высшее педагогическое образование). - Библиогр. в конце кн. - На рус. яз.

Российское математическое образование. / Сост. и ред.: А. Карп, Б. Вогели. - Москва: МПГУ, 2017 . - 576 с. - На рус. яз.

Скобелев Г.Н.. Проверка знаний учащихся на уроках математики в средней школе - Москва: Учпедгиз, 1962. - 96 с.: черт. - На рус. яз.

Смирнова И.М., Смирнов В.А. Методика обучения математике: вчера, сегодня, завтра [Электронный ресурс] // Педагогическое образование и наука. - 2015. - №1. - с.76-79. - Режим доступа: http://elibrary.ru/item.asp?id=24036741. - Библиогр.: с. 79. - На рус. яз.

Солсо Р. Когнитивная психология: [Пер. с англ.]. - 6. изд. - Санкт- Петербург и др.: Питер, 2012. - 588 с.

Размещено на Allbest.ru