Изучение геометрического материала в начальной школе

Размещено на http://www.allbest.ru

ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Согласно государственным стандартам обучения в начальных классах общеобразовательной школы одной из целей начального математического образования является формирование у младших школьников достаточно полной системы пространственных представлений, ознакомление учащихся с различными геометрическими фигурами и некоторыми их свойствами, с простейшими чертежами и измерительными приборами. Эта цель последовательно реализуется путем решения следующих задач:

· формирование геометрических представлений об образах геометрических фигур, их элементов, отношений между фигурами и их элементами;

· выработка практических умений и навыков в измерениях и построении простейших геометрических фигур с помощью чертежных инструментов;

· развитие пространственных представлений, воображения и пространственного мышления учащихся;

· обогащение математического словарного запаса, развитие речи учащихся.

Проанализируем наиболее распространенные в настоящее время программы начального курса математики с целью выявления элементов их общности и различия в содержании и методических подходах ознакомления младших школьников с элементами геометрии.

Согласно традиционной программе обучения математике в начальной школе, разработанной группой методистов под руководством М.И. Моро (модель «Школа России»), в 1 классе уточняются пространственные представления учащихся. С первых дней обучения ребенка в школе на уроках математики рассматриваются понятия «вверху», «внизу», «выше», «ниже», «слева», «справа», «левее», «правее», «перед», «за», «между», «рядом», а также направления движения «слева направо», «справа налево», «сверху вниз», «снизу вверх». Уже в процессе изучения нумерации чисел первого десятка учащиеся знакомятся с точкой, прямой и кривой линиями, отрезком, ломаной, многоугольником, углом, вершиной и сторонами многоугольника. Здесь же школьники изучают геометрическую величину «длина отрезка», единицы измерения длины - сантиметр, дециметр, и соотношения между ними.

Во 2 классе, в процессе изучения нумерации чисел от 1 до 100, младшие школьники продолжают знакомство с единицами длины (сантиметром, дециметром, миллиметром, метром) и соотношениями между ними. Школьники учатся находить длину ломаной и периметр многоугольника. Немного позднее они знакомятся с прямыми и непрямыми углами, прямоугольником, квадратом (как частным видом прямоугольника), свойством противоположных сторон прямоугольника и приемами вычисления периметра прямоугольника и квадрата. В это же время они учатся строить прямые углы, прямоугольники и квадраты на клетчатой бумаге. К концу второго класса обучающиеся должны уметь: чертить отрезок заданной длины и измерять длину данного отрезка; находить длину ломаной, состоящей из 3-4 звеньев, и периметр многоугольника (треугольника, четырехугольника). геометрический начальный школьник методика

В 3 классе продолжается ознакомление учащихся с геометрическими величинами. У школьников формируются представления о площади, единицах измерения площади (квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр) и соотношениями между ними. Рассматриваются формулы для вычисления площади прямоугольника и квадрата. Вводится обозначение геометрических фигур буквами латинского алфавита. Расширяются знания учащихся о круге, формируются представления об окружности, центре окружности, радиусе, диаметре окружности (круга). В конце 3 класса учащиеся рассматривают виды треугольников по сторонам: разносторонние (произвольные), равнобедренные и равносторонние, как частный случай равнобедренных. По окончанию третьего класса обучающиеся обязательно должны уметь находить периметр многоугольника и, в том числе, прямоугольника и квадрата.

В 4 классе уточняются представления учащихся об углах - рассматривают прямой, острый и тупой углы. На основе этих знаний рассматривают виды треугольников: прямоугольный, остроугольный, тупоугольный. Знакомятся с понятием «луч». Обобщая знания о величинах, школьники рассматривают систему единиц измерения длины (миллиметр - сантиметр - дециметр - метр - километр) и соотношения между ними, а так же единицы площади (квадратный миллиметр - квадратный сантиметр - квадратный дециметр - квадратный метр - ар - гектар - квадратный километр) и соотношения между ними. В этот период младшие школьники изучают понятие «диагональ прямоугольника» и свойства диагонали прямоугольника (квадрата). В течение всего года проходит решение задач на распознавание геометрических фигур в составе более сложных; на разбиение фигуры на заданные части; составление заданной фигуры из двух-трех ее частей; изображение изученных фигур на клетчатой и нелинованной бумаге с помощью линейки, чертежного треугольника и циркуля.

Для обеспечения преемственной связи с курсом математики в пятом классе выпускники начальной школы должны иметь представление о названиях геометрических фигур: точка; линия (прямая, кривая); отрезок; ломаная; многоугольник и его элементы (вершины, стороны, углы), в том числе треугольник; прямоугольник (квадрат); угол; круг; окружность; центр окружности; радиус. При этом учащиеся должны знать: виды углов (прямой, острый, тупой); определение прямоугольника (квадрата); свойство противоположных сторон прямоугольника. Кроме того, младшие школьник должны уметь: строить заданный отрезок; строить на клетчатой бумаге прямоугольник (квадрат) по заданным длинам сторон 10, с. 230-247.

В программе Н.Б. Истоминой (модель «Гармония») методика формирования представлений о геометрических фигурах требует при выполнении геометрических заданий активного использования приемов умственной деятельности в процессе установления соответствия между предметной геометрической моделью и ее изображением, что способствует развитию пространственного мышления ребенка и формированию навыков работы с линейкой, циркулем, угольником. Н.Б. Истомина считает, что основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является их способность к восприятию формы. «Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: точку, прямую, кривую, ломаную, отрезок, угол, многоугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином»8, с. 150. По ее мнению, такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ. Это лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка.

В дальнейшем необходимо сосредоточить его внимание на выделении тех элементов, из которых состоят геометрические фигуры, и на их существенных признаках. Для этой цели автор рекомендует геометрические фигуры изучать в определенной последовательности, выполняя с моделями различные практические действия. Полезно, чтобы в процессе выполнения специальных упражнений дети научились различать такие понятия, как: «точка пересечения двух линий», «линия проходит через точку», «линия соединяет две точки», «точка принадлежит линии». Учащиеся могут находить (узнавать) прямые и кривые линии, отрезки, углы разных видов на плоских (круг, квадрат, многоугольник и т.п.) и объемных (куб, конус, цилиндр, шар и т.п.) геометрических фигурах. В процессе такой деятельности у школьников формируются обобщенные образы геометрических понятий.

По мнению автора программы, младшие школьники проявляют большой интерес к изучению геометрического материала, достаточно легко запоминают названия геометрических фигур и выделяют их свойства в процессе практических действий с ними. Поэтому перечень геометрических понятий, с которыми они знакомятся, можно значительно расширить, включив в программу такие понятия, как окружность, круг, симметрия. Н.Б. Истомина полагает, что с понятием «симметричные фигуры» можно познакомить учащихся уже в первом классе, используя для этой цели практический (предметный) способ действий, который доступен младшему школьнику. Например, школьникам предлагается сложить пополам вырезанные из бумаги прямоугольник, круг, ромб, при этом линию перегиба называют ось симметрии. Во 2 классе продолжается работа с этим понятием, но учащиеся уже учатся строить фигуры симметричные данным относительно некоторой прямой, используя линейку, циркуль, угольник. В 3 классе у обучающихся формируется умение строить фигуры, симметричные относительно данной прямой, используя линейку, циркуль, угольник.

Уже в 1 и затем во 2 классах учащимся предлагают выполнить различные задания с моделью куба и его изображением. Это положительно скажется как на развитии пространственного мышления ребенка, так и на формировании навыков работы младшего школьника с такими инструментами как линейка, угольник, циркуль. Для развития пространственного мышления в 3 классе обучающиеся выполняют задания на установление соответствия между моделью куба, его изображением и разверткой. Для продолжения этой линии в 4 классе используются различные геометрические тела 10, с. 267.

Программа, предлагаемая Л.Г. Петерсон (модель «Школа-2100»), ставит своей целью создание интересной, содержательной и значимой с позиций общих представлений об окружающем мире системы математических понятий. Поэтому одна из основных задач курса - обучение школьников построению, исследованию и применению математических моделей окружающего их мира. При этом внимание уделяется всем трем этапам формирования и изучения таких моделей:

– этапу математизации действительности, т.е. построению математической модели некоторого фрагмента действительности;

– этапу изучения математической модели, т.е. построению математической теории, описывающей свойства построенной модели;

– этапу приложения полученных результатов к реальному миру.

Таким образом, принцип моделирования является базисным принципом построения программы Л.Г. Петерсон, которая считает, что содержание программы должно отражать основные идеи математического моделирования. Вторым основополагающим принципом этой программы является принцип непрерывности образования или принцип преемственности между начальной и средней школой, а именно: преподавание математики в начальной школе должно основываться на фундаментальных математических понятиях, а не сводиться к изучению арифметических операций над натуральными числами и решению простейших текстовых задач.

Особенностью изучения геометрических понятий в программе Л.Г. Петерсон является их раннее введение на основе построенной многоуровневой системы начальных математических понятий. При этом на первых порах основное внимание уделяется формированию пространственных представлений, развитию речи и практических навыков черчения. В 1 классе, с самых первых уроков, обучающиеся знакомятся с такими геометрическими фигурами как: квадрат, прямоугольник, треугольник, круг. Разрезание этих фигур на части и составление новых фигур из полученных частей помогает им уяснить инвариантность площади, способствует развитию комбинаторных способностей.

Наряду с этими конкретными вопросами рассматриваются более абстрактные понятия: точка, отрезок, ломаная линия, многоугольник. Кроме того, в 1 классе учащиеся знакомятся с такими понятиями как: область, граница, сеть линий и др. Эти понятия имеют топологический характер, поэтому область их применения весьма обширная. Вместе с тем дети без труда их усваивают, т.к. топологические представления у них развиваются раньше, чем аффинные и метрические. Сравнительно рано, в 1классе, появляются простейшие пространственные образы: куб, параллелепипед, цилиндр, пирамида, шар, конус.

Во 2 классе дети знакомятся с плоскостью, лучом, углом, прямым углом, прямоугольником, квадратом, площадью фигуры и способами ее измерения, площадью прямоугольника, ребрами и гранями куба, кругом и окружностью, циркулем. Уже во 2 классе учащиеся решают задачи на вычисление площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда, которое сопровождается черчением разверток, склеиванием фигур по их разверткам и т.д. Подобные задачи не только развивают пространственные представления и формируют практические навыки, но и служат также средством наглядной интерпретации арифметических фактов. Например, вычисление площади прямоугольника является наглядной моделью действия умножения, а вычисление объема параллелепипеда обосновывает сочетательное свойство этого арифметического действия.

В 3 классе школьники занимаются преобразованием фигур на плоскости, знакомятся с симметрией фигур, с объединением и пересечением фигур. Запас геометрических представлений и навыков, который накоплен у детей к 3 классу, позволяет поставить перед ними новую, значительно более глубокую и увлекательную цель: исследование и открытие свойств геометрических фигур. Эту цель они продолжают реализовывать и в 4 классе, исследуя и измеряя различные углы с помощью транспортира, знакомясь с понятиями центрального и вписанного угла, дуги окружности и их взаимосвязи, смежных и вертикальных углов. С помощью построений и их измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предположение, гипотезу. Задача учителя состоит в том, чтобы раскрыть перед детьми красоту и гармонию этих удивительных закономерностей с одной стороны, а с другой - показать необходимость их логического обоснования, доказательства. Все это не только формирует необходимые практические навыки для полноценного изучения систематического курса геометрии, но и мотивирует аксиоматическое построение этого курса, помогает обучающимся осознать смысл их деятельности на уроках геометрии в старших классах 10, с. 283-288.

Программа В.Н. Рудницкой (модель «Начальная школа XXI века») предназначена для обучения математике учащихся массовой четырехлетней начальной школы с началом обучения с 6 лет. Важнейшими целями обучения на этом этапе является создание благоприятных условий для полноценного интеллектуального развития каждого ребенка на уровне, соответствующем его возрастным особенностям и возможностям, и обеспечение необходимой и достаточной математической подготовки ученика для дальнейшего обучения. Реализация в процессе обучения целей программы связана, прежде всего, с организацией работы по развитию мышления ребенка, формированием элементов учебной деятельности, а на ее основе теоретического сознания и творческой деятельности, становление потребностей и мотивов учения.

В программе четко просматривается линия развития геометрических представлений учащихся. Дети знакомятся не только с плоскими, но и с пространственными фигурами, учатся их различать. При этом рассматривается взаимное расположение фигур на плоскости (например, пересечение, параллельность и перпендикулярность прямых). Немалую роль в развитии пространственных представлений играет включение в программу 1 класса понятия об осевой симметрии. Дети учатся находить на картинках и показывать пары симметричных точек, строить симметричные фигуры. В следующих классах с применением чертежных инструментов построение пар симметричных точек будет выполняться учащимися более точно. Большое внимание уделяется формированию графических умений - построению отрезков, ломаных, окружностей, углов, многоугольников и решению практических задач (деление отрезка пополам, окружности на 6 равных частей и пр.). При выборе методов изложения программного материала приоритет отдается дедуктивным методам. Овладев общими способами действия, ученик применяет при этом полученные знания и умения для решения новых конкретных учебных задач 11, с. 60-67.

Программа И.И. Аргинской обеспечивает математическую подготовку младших школьников, обучающихся по системе Л.В. Занкова. Исходя из общей цели, которую поставил Л.В. Занков, разрабатывая свою систему обучения, начальный курс математики должен решать следующие задачи:

– способствовать продвижению ученика в общем развитии, становлению нравственной позиции личности ребенка, не вредить его здоровью;

– дать представление о математике как науке, обобщающей существующие и происходящие в реальной жизни явления и способствующей тем самым познанию окружающего мира, созданию его широкой картины;

– сформировать знания, умения и навыки, необходимые ученикам в жизни и для успешного продолжения обучения в основном звене школы.

Формирование у школьника широкой картины миры - основной принцип отбора содержания обучения в системе Л.В. Занкова. Этому принципу подчинена вся дидактическая системы, что определило и подход к построению программы по математике, которая значительно отличается от традиционной:

– за счет расширения и углубления материала, традиционно входящего в начальное образование;

– за счет включения в программу вопросов, обычно затрагивающихся на более поздних этапах обучения;

– за счет вопросов и проблем, возникающих в процессе обучения по инициативе самых учеников или учителя (такие вопросы и проблемы, естественно, не могут быть отражены в программе и для каждого класса индивидуально).

При знакомстве с программой необходимо иметь в виду, что ее содержание неоднородно и относится к трем разным уровням, каждый из которых имеет свою специфику и требует различного подхода. К первому уровню относится материал, подлежащий прочному освоению в пределах сроков, отведенных в начальном обучении. Его содержание и объем отражены в основных требованиях к математической подготовке учащихся в конце каждого года обучения в разделах «знать» и «уметь». Ко второму уровню относится материал, по содержанию близко примыкающий к материалу основного уровня, расширяющий и углубляющий его понимание и одновременно закладывающий основу для овладения знаниями на более поздних этапах обучения. К третьему уровню относится материал, направленный в первую очередь на расширение общего и математического кругозора учеников. Вместе с тем он выполняет и те функции, о которых было сказано в характеристике второго уровня. К этому уровню относятся, прежде всего, элементы истории возникновения и развития математики, знакомство с геометрической интерпретацией изученных арифметических действий, а также многие другие вопросы геометрического характера. Глубина и объем знакомства с материалом второго и третьего уровней сугубо индивидуальны для каждого класса и каждого ученика. Ориентировочный уровень овладения им отражен в требованиях к математической подготовке учащихся в разделе «иметь представление». При этом необходимо учесть, что слабое владение материалом этих двух уровней при удовлетворительном знании материала первого уровня не может являться причиной неудовлетворительной оценки успехов ученика, но может повышать эту оценку при его успешном освоении.

Геометрический материал занимает в программе по математике для четырехлетней школы, разработанной И.И. Аргинской, значительное место. Его сравнительно большой объем объясняется двумя основными причинами:

1. Работа с геометрическими объектами позволяет активно использовать наглядно-действенный, наглядно-образный и наглядно-логический уровни мышления, которые наиболее близки младшим школьникам и, опираясь на которые, дети выходят на высшую ступень - словесно-логический уровень;

2. Увеличение объема геометрического материала в начальных классах, особенно связанного с объемными фигурами, позволяет более объективно подготовить учеников, к изучению систематического курса геометрии, который вызывает у школьников основного и старшего звена школы существенные трудности.

Основными задачами изучения элементов геометрии являются:

– развитие плоскостного и пространственного воображения школьников;

– уточнение и обобщение геометрических представлений полученных в дошкольном детстве, а также вне стен школы;

– обогащение геометрических представлений школьников, формирование некоторых основных геометрических понятий (фигура, плоскостные и пространственные фигуры, основные виды плоскостных и пространственных фигур, их иерархическая связь между собой и т.д.);

– подготовка к изучению систематического курса геометрии в основном звене школы.

В течение 1 класса учащиеся уточняют представления об ориентации в пространстве и на плоскости, рассматривая понятия «слева», «справа», «вверху», «внизу», «над», «под», «перед», «за», «посередине», «между», а также их сочетания (например, «вверху слева» и т.д.), осознают относительность этих положений в зависимости от положения наблюдателя.

Дети знакомятся с линиями (прямой, кривой, ломаной), получают первые представления о бесконечности прямой, изучают взаимное расположение линий и точек. В это же время школьники знакомятся с лучом и отрезком, обозначением прямых, лучей и отрезков при помощи букв латинского алфавита. Исследуют сходство и различие между прямой, лучом и отрезком. Учатся строить прямые, лучи и отрезки при помощи чертежной линейки (без делений), а также строить отрезок, равный данному, выполнять сложение и вычитание отрезков при помощи циркуля и чертежной линейки. Младшие школьники рассматривают взаимное расположение на плоскости прямых, лучей и отрезков, знакомятся с понятиями «пересекающиеся» и «непересекающиеся» прямые, лучи и отрезки. Дети получают представление о незамкнутых и замкнутых ломаных и кривых линиях, рассматривают взаимное расположение кривых и ломаных линий с точками, прямыми, лучами и отрезками.

В первом классе учащиеся получают первое представление об угле, рассматривая различные интерпретации понятия «угол»: как фигуры, образованной двумя лучами, выходящими из одной точки, и как части плоскости, ограниченной такими лучами. Рассматриваются прямой, острый и тупой углы, соотношения между видами углов. Школьники устанавливают вид угла при помощи угольника, тренируются в построении углов, их обозначении при помощи специального знака () и букв латинского алфавита. Здесь же дается первое представление о многоугольнике, классификация многоугольников по числу углов и простейшем многоугольнике - треугольнике.

Уже в первом классе школьники сравнивают реально встречающиеся объемные предметы, выделяют группы предметов, сходных по форме и соотносят выделенные группы с геометрическими моделями призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. Школьники знакомятся с названиями перечисленных объемных тел и выделяют на поверхности объемных тел знакомые плоскостные геометрические фигуры.

Во 2 классе младшие школьники уточняют представления о треугольнике, изучая два вида классификаций треугольников: по углам (остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники) и по сторонам (разносторонние, равнобедренные, равносторонние). При этом дети знакомятся с соотношением между равнобедренным и равносторонним треугольниками (равносторонний треугольник - частный случай равнобедренного).

Учащиеся тренируются в определении длины незамкнутой ломаной линии и знакомятся с понятием «периметр». Сначала дети упражняются в определении периметра произвольного многоугольника, а затем, после знакомства с равносторонними многоугольниками и многоугольниками, имеющими равные и неравные стороны, определяют периметры таких многоугольников разными способами.

Во втором классе продолжается знакомство с объемными телами. Учащиеся устанавливают сходство и различия между телами разных наименований и одного наименования. Знакомятся с терминами: «грань», «основание» (как частный случай грани), «ребро», «вершина объемного тела».

В течение 3 года обучения школьники уточняют свои представления о периметре, рассматривая многоугольники с равными периметрами и анализируя многозначность решения задачи по их нахождению.

Достаточно большая часть времени отводится на знакомство учащихся с окружностью, ее центром, радиусом. Учащиеся изучают свойство точек и свойство радиусов окружности. Здесь же они получают первое представление о центральном угле. С помощью циркуля школьники учатся строить окружности, а также точку, удаленную на данное расстояние от концов данного отрезка. Учащиеся исследуют взаимное расположение точек плоскости и окружности (на окружности, вне окружности), а также связь между окружностью и кругом, взаимное расположение круга и точек плоскости (внутри круга, на его границе, вне круга).

Впервые в третьем классе дети встречаются с понятием «масштаб» и различными вариантами его обозначения, тренируются в выборе масштаба для изображения данного объекта, определении масштаба в котором изображен объект, определении истинных размеров объекта по его изображению и данному масштабу.

В третьем классе продолжается знакомство с объемными телами: шаром, цилиндром, конусом, призмой и пирамидой. Дети продолжают устанавливать сходство и различие между ними, как внутри каждого вида, так и между видами этих тел. Знакомятся с различными способами изображения объемных тел на плоскости. Уже в 3 классе дети получают первые представления о поверхности объемных тел - полной и боковой. Для закрепления этих представлений рассматривают и строят развертки призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, а по разверткам изготавливают их модели. Школьники учатся определять боковую поверхность произвольной прямой призмы и полную поверхность прямоугольного параллелепипеда.

В 4 классе учащиеся знакомятся с понятием «диагональ многоугольника» и учатся разбивать произвольный многоугольник на треугольники. Дети изучают свойство диагоналей прямоугольника (разбиение прямоугольника диагональю на 2 равных треугольника). В этот период много времени уделяется для ознакомления учащихся с площадью прямоугольника, площадью произвольного треугольника (способом разбиения на прямоугольные треугольники и по формуле S = a* h/2), площадью произвольного многоугольника (разбиением его на прямоугольники и треугольники), площадью полной поверхности призмы и пирамиды, площадью боковой поверхности цилиндра. Одновременно дети продолжают строить развертки призм, пирамид, цилиндров и конусов 14, с. 121-129.

Программа по математике Э.И. Александровой разработана в рамках системы начального обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова, ориентированной не на усвоение ребенком определенной суммы, знаний, умений и навыков, а на становлении его субъектом разнообразных видов и форм человеческой деятельности, в процессе которой ребенок накопит определенную сумму знаний, умений и навыков. На основе содержательного обобщения учебного материала решается основная задача развивающего образования - обеспечение условий для становления ребенка как субъекта учебной деятельности, заинтересованного в самоизменении и способного к нему.

В данной программе содержание обучения направлено на преобразование наглядно-образного мышления, характерного для младшего школьного возраста, в теоретический тип мышления. Методы обучения опираются на исследование самим ребенком в сотрудничестве с другими детьми оснований собственных действий. Такое исследование оказывается возможным при наличии высокой познавательной активности ребенка, хорошей непроизвольной памяти, его стремления к лидерству и потребности в положительных эмоциях. Формы организации детей (от групповой, парной до индивидуальной) позволяют осуществить не только смену, но и обмен деятельностями.

Другими словами, курс математики в этой системе развивающего образования построен на принципиально иных, чем традиционные подходах. Отличие которых состоит, прежде всего, в том, что условием формирования математических понятий становится овладение детьми в дочисловом периоде понятием величины, опирающееся на некоторые обобщенные умения, которые и позволяют двигаться от знания к незнанию, задумываться над основанием собственных действия (умений), определяющих это или другое понятие.

В программе Э.И. Александровой элементы геометрического материала рассматриваются уже в 1 классе. Однако здесь геометрические фигуры, их части, расположение на плоскости и в пространстве являются объектами, которые сравнивают дети и в которых они выделяют определенные свойства (признаки). Действуя с реальными предметами, их признаками (свойствами) и результатами сравнения по заданному признаку, дети выделяют существенные связи и отношения между компонентами действия, выполняя три основные типа заданий:

– есть предметы, известен признак, и необходимо установить результат сравнения;

– есть предмет, известен результат сравнения, нужно установить какой признак был выбран;

– известны признак и результат сравнения, необходимо подобрать соответствующие предметы.

Задача измерения-отмеривания ставит перед детьми новые вопросы: какие предметы можно использовать в качестве той или иной мерки, а какие нельзя или неудобно, какое из свойств предмета может участвовать при использовании его для измерения. Так, например, ребро кубика можно использовать как мерку длины, а грань как мерку площади. Учащиеся подбирают подходящие инструменты, которые можно применять для измерения: циркуль, линейка, угольник. Знакомятся со стандартными мерами длины, площади, объема, углов.

В это же время учащиеся знакомятся с периметром как длиной «границы» любой плоской геометрической фигуры, понятиями равновеликости и равносоставленности фигур, с существенными различиями между лучом, прямой и отрезком, рассматривают ломаную линию, угол, сравнивают углы, проводят подбор предметов или геометрических фигур по заданному признаку.

Во 2 классе учащиеся знакомятся с измерительными приборами, имеющими шкалы, а, следовательно, с измерительной линейкой и транспортиром.

В 3 классе геометрический материал практически не представлен.

В 4 классе дети возвращаются к уже известным с первого класса понятиям периметра, площади, объема и изучают способы их нахождения не в результате непосредственного измерения величин с помощью заданных мерок, а используя геометрические способы. Дети сравнивают периметры различных фигур с помощью посредника (например, проволоки и т.п.). Знакомятся с формулами периметра прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции и других геометрических фигур, включая правильные многоугольники. Учатся вычислять периметры геометрических фигур и фигур произвольной формы (границами которых являются кривые линии), используя гибкие мерки.

В этот же период младшие школьники проводят непосредственное и опосредованное сравнение площадей геометрических фигур. В частности, они измеряют площадь прямоугольника путем непосредственного наложения мерки, в том числе квадратного сантиметра, а затем заменяют этот способ измерением длин сторон и вычислением площади по формуле: S = a * b. Площадь прямоугольного треугольника находят как половину площади соответствующего прямоугольника. Задача нахождения площадей непрямоугольных треугольников решается путем разбиения их на прямоугольные. На основе этого способа учащиеся приходят к формуле вычисления площади произвольного треугольника: S = (a * h): 2. Затем учащиеся учатся находить площади геометрических фигур путем разбиения или перекраивания их различными способами на треугольники или прямоугольники, ищут рациональные способы разбиения фигуры для вычисления ее площади. Следующим этапом учащиеся рассматривают площадь правильного n-угольника. Младшие школьники знакомятся с палеткой как прибором для измерения площадей фигур произвольной формы. В это же время решаются текстовые задачи, включающие понятия площади и периметра.

В дальнейшем дети рассматривают измерение объема прямоугольного параллелепипеда путем заполнения его кубическими мерками, а затем заменяют этот способ непосредственного вложения и пересчета мерок вычислением произведения трех измерений (длины, ширины, высоты):

V = a * b * c

или произведением площади основания на высоту:

V = S_осн * H.

Здесь же они изучают стандартные системы мер длины, площади, массы, объема и учатся переводить значения величин из одних мер в другие. В отличие от традиционной программы в содержание включены стандартные меры измерения углов: градус, минута, секунда, радиан.

В целом можно отметить, что геометрический материал в рассматриваемой программе не является инородным, он органически включен в общую логику построения курса, что делает его более осмысленным и содержательным. Здесь создаются предпосылки для систематического изучения элементарной геометрии в средних классах на основе конкретизации тех основных понятий и принципов, с которыми дети уже работали, изучая свойства объектов трехмерного пространства 13, с. 184-220.

Таким образом, краткий анализ содержания различных программ обучения начальному курсу математики по вопросу изучения геометрического материала позволяет сделать следующие выводы:

1. Геометрический материал изучается на протяжении всего периода обучения математике в начальной школе.

2. Содержание геометрического материала для каждого класса предусмотрено с учетом возрастных особенностей и уровня развития мышления учащихся, круг формируемых у детей представлений о различных геометрических фигурах и некоторых их свойствах расширяется постепенно.

3. Различными программами предлагается разная степень наполнения уроков математики геометрическим материалом.

4. Во всех программах начального курса математики рассматривают точки, прямые и кривые линии (в том числе ломаную), прямой угол, многоугольники различных видов (треугольники, квадраты, прямоугольники, и др.) и их элементы (углы, вершины, стороны), круг, окружность, свойства геометрических фигур (равенство противоположных сторон прямоугольника, равенство диагоналей прямоугольника), понятия «периметр» и «площадь», а также приемы их вычисления.

5. В отдельных программах обучения математике в начальной школе предусматривается ознакомление младших школьников с классификацией углов (острый, прямой, тупой), двумя видами классификаций треугольников (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный; произвольный, равнобедренный, равносторонний), понятием «биссектриса угла», стереометрическими телами (куб, прямоугольный параллелепипед, пирамида, шар, конус) и их изображением на плоскости, элементарными задачами на построение при помощи циркуля и линейки (деление отрезка пополам, построение биссектрисы угла и др.), симметрией, вписанными и описанными углами.

6. Система упражнений, представленных в учебно-методических пособиях, направлена на формирование практических умений (построение, вычерчивание, измерение, вычисления с использованием некоторых изучаемых свойств) и на развитие геометрической зоркости (умение распознавать элементарные геометрические фигуры на сложном чертеже, составлять заданные геометрические фигуры из частей, достраивать или видоизменять геометрические фигуры до заданного вида и др.).

7. Работа над геометрическим материалом по возможности увязывается с изучением арифметических вопросов, различные геометрические фигуры используются в качестве наглядной основы (модели) при формировании представлений о долях величины и при решении текстовых задач.

2. Методические особенности формирования элементарных геометрических представлений у младших школьников

Первое представление о форме, размерах и взаимном расположении предметов в пространстве дети накапливают еще в дошкольный период. В процессе игр и практической деятельности они манипулируют предметами, рассматривают, ощупывают их, рисуют, лепят, конструируют и постепенно вычленяют среди других свойств их форму. К 6-7 годам многие дошкольники правильно показывают предметы, имеющие форму шара, куба, круга, квадрата, треугольника, прямоугольника. Однако, уровень обобщения этих понятий еще не высок: дети противопоставляют квадрат прямоугольнику, не узнают знакомую форму предмета, если сам предмет им не знаком. Ребенка приводят в замешательство непривычные соотношения сторон и углов фигур, иное, чем всегда, расположение на плоскости и даже очень большие или очень маленькие размеры фигур. Названия фигур дети часто смешивают или заменяют названиями предметов (так, треугольник дети часто называют «уголком» или «крышей»). Характеризуя положение предметов в пространстве, дошкольники более свободно устанавливают пространственные отношения, если «началом отсчета» является сам ребенок (слева-справа, впереди-позади, вверху-внизу, ближе-дальше и т.д. по отношению к нему). Гораздо труднее ребенок устанавливает положение на плоскости и в пространстве по отношению к другому предмету или человеку. Поэтому при обучении геометрии учитель должен опираться на имеющийся опыт детей, уточнять и обогащать их представления. Остановимся подробнее на методических особенностях ознакомления младших школьников с началами геометрии.

Основными методическими подходами в ознакомлении младших школьников с элементами геометрии являются - наглядный и практический. Недооценивание учителем этих подходов к изучению геометрического материала, ознакомление с определением геометрической фигуры со слов учителя, а не на основе собственных наблюдений и умозаключений школьника; выполнение минимума упражнений помещенных в учебнике; невнимательное отношение к формированию практических навыков школьников - вот типичные педагогические ошибки, которые приводят к формальному ознакомлению учащихся с геометрическими фигурами.

В методике формирования геометрических представлений важно идти от «вещи к фигуре» (к ее образу), а также наоборот - от образа фигуры к реальной вещи. Это достигается систематическим использованием приема материализации геометрических образов. Например:

– прямая линия не только вычерчивается с помощью линейки, представления о ней дают и ребро линейки, натянутая нить, линия сгиба листа бумаги и др.;

– процесс видоизменения многоугольника способом деления на части может быть осуществлен не только на чертеже, но и при перегибании бумажного многоугольника, перекладывании палочек (из которых смоделирован данный многоугольник), разрезании бумажного многоугольника ножницами или др.

Оперируя разнообразными предметами, моделями геометрических фигур, выполняя над ними большое число наблюдений и опытов, учащиеся подмечают наиболее общие их признаки (независящие от материала, цвета, положения, веса, размера и т.п.), на основе которых формируются геометрические представления и образы геометрических фигур.

Учитель должен систематически проводить работу по формированию умений и навыков применения чертежных и измерительных инструментов, построения изображений геометрических фигур, умений описывать словесно процессы и результаты работы выполненной учеником, умений применять усвоенную символику и терминологию. Важным методическим условием реализации этой системы является - сначала осознанное выполнение действий и лишь затем автоматизация этих действий. Результатом обучения в начальных классах должно быть формирование первоначальных представлений о точности построений и измерений и формирование навыка применения основных чертежных инструментов (линейки, циркуля, циркуля-измерителя, чертежного треугольника, рулетки и др.).

Первоначальное ознакомление школьников с фигурами и их названиями проводится на основе рассмотрения окружающих вещей, готовых моделей и изображений фигур. Поэтому в методике изучения элементов геометрии следует значительное место отвести применению приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур, особенно плоских фигур (круг - многоугольник, круг - окружность т.д.); плоских и пространственных фигур (квадрат - куб, круг - шар и пр.). При сравнении геометрических фигур дети анализируют геометрические фигуры и на основе этого анализа выделяют их существенные свойства (признаки) и несущественные. Так, например:

– существенным для треугольника будет не его положение на плоскости (листе бумаги), не относительные размеры сторон, а наличие трех сторон (углов, вершин);

– существенным для прямоугольника является то, что он четырехугольник (четыре угла) и все его углы прямые. Все остальное не существенно.

Этот прием позволяет первоклассникам из множества фигур наглядно (без определений) выделить множество кругов, множество многоугольников, множество линий и т.д. В дальнейшем, во 2 - 4 классах, этот прием поможет младшим школьникам уточнять свойства фигур, классифицировать их. У детей постепенно вырабатывается схема изучения фигур, схема их анализа и синтеза, облегчающая усвоение свойств каждой фигуры.

В процессе анализа и синтеза возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, чертежей. Для предупреждения ошибок при использовании геометрической символики необходима систематическая неформальная работа с применяемыми символами и чертежами. Учитель должен не забывать о том, что введение букв латинского алфавита и буквенной символики помогает не только различать фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений. Например, запись

AB < 3 см говорит учащимся о том, что отрезок АВ - любой отрезок, имеющий длину меньшую, чем 3 сантиметра.

В начальном курсе геометрии содержится достаточно большое число основных (неопределяемых) понятий, система которых меняется по мере овладения учащимися геометрическими представлениями от класса к классу. Например, в традиционной программе начального обучения математике такие понятия как «окружность», «угол» и др. являются неопределяемыми, но уже в пятом классе они определяются. Поэтому учителю начальных классов не имеет смысла ставить вопросы: «Что называется углом?» или «Что называется окружностью?». Следует помнить, что попытки ранней формализации при ознакомлении младших школьников с геометрическими фигурами приводят к завышению программных требований, к недостаточному, а иногда и неверному усвоению материала.

Как правило, более высокого уровня усвоения достигают те учителя, которые, понимая самостоятельную значимость геометрических знаний, стремятся осуществить связь изучения геометрического материала с другим материалом начального курса математики. В основе этой связи лежит возможность установления отношений между числом и фигурой, свойствами чисел и свойствами фигур. Это позволяет использовать фигуры при формировании понятия числа, свойств чисел, операций над ними и наоборот - использовать числа для изучения свойств геометрических образов и их отношений. В 1 классе фигуры следует применять наряду с другими материальными вещами как объекты для пересчитывания. Несколько позже такими объектами должны стать элементы фигур, например, вершины, стороны, углы многоугольников. Учащиеся постепенно знакомятся с измерением отрезков, что позволяет устанавливать связь между отрезками и числами. В дальнейшем геометрические фигуры используются при ознакомлении учащихся с долями. В указанных выше случаях открывается больше возможностей органически связать изучение геометрических объектов с арифметическим материалом начального курса математики. Формирование пространственных представлений через непосредственное восприятие учащимися конкретных реальных вещей, материальных моделей геометрических образов обеспечивает у младших школьников прочные геометрические знания.

Для правильного отбора методики обучения учитель должен иметь общее представление о системе задач, представленных в учебниках. Система, обеспечивающая формирование у младших школьников элементарных геометрических представлений включает в каждом классе задачи:

– в которых геометрические фигуры используются как объекты для пересчитывания (круги, многоугольники, элементы многоугольников). При решении таких задач в основном усваивается необходимая терминология, и образуются умения распознавать и различать фигуры;

– связанные с формированием представлений о геометрических величинах (длине, площади) и навыков измерения отрезков, площадей фигур;

– вычислительные, связанные с нахождением периметра многоугольника, площади прямоугольника;

– на элементарные построения геометрических фигур на клетчатой бумаге, на гладкой нелинованной бумаге с помощи линейки, угольника, циркуля (без учета размеров);

– на элементарные построения фигур с заданными параметрами (треугольник с прямым углом, прямоугольник с заданными сторонами и т.д.);

– на классификацию фигур;

– на деление фигур на части (в том числе на равные части) и на составление фигур из других;

– связанные с формированием основных навыков чтения геометрических чертежей, использования буквенных обозначений (формированием «геометрической зоркости»);

– на выяснение геометрической формы предметов или их частей.

Как отмечалось ранее, в начальной школе происходит ознакомление младших школьников с основными геометрическими фигурами (точкой, прямой, треугольником, прямоугольником), свойствами, отношениями этих фигур и ознакомление с геометрической формой предметов реального мира. Остановимся подробнее на рекомендациях М.А. Бантовой, М.И. Моро и Н.Б. Истоминой по формированию представлений учащихся об отдельных геометрических понятиях 1-5, 7, 9.

С точкой учащиеся знакомятся с первых шагов обучения в 1 классе. Готовясь к письму цифр, дети выполняют такие задания: поставьте точку в середине клеточки (в левом нижнем углу клетки, в середине левой стороны клетки и т.п.); соедините поставленные точки отрезком по образцу - воспроизводят бордюрные рисунки по заданным точкам. После знакомства с прямой линией, дети учатся ставить точки на прямой, проводить прямые линии через одну и две заданные точки, устанавливать положение точки относительно прямой линии (лежит на прямой, не лежит на прямой). После знакомства с отрезком, аналогичные задания выполняются с точкой и отрезком. При этом дети убеждаются, что точка, лежащая между концами отрезка, делит его на два отрезка. Когда происходит знакомство с элементами многоугольника, учащиеся узнают о том, что вершины многоугольника - это точки. Например, учитель предлагает детям поставить три точки, которые не лежат на одной прямой, соединить их отрезками и сказать, какая фигура получилась; затем сосчитать, сколько у нее вершин. Позднее учащиеся знакомятся с обозначением точек заглавными латинскими буквами. Они упражняются в обозначении точек буквами и чтении обозначенных буквами точек. С этого времени наряду с устными упражнениями можно включать и письменные, что гораздо эффективнее, т.к. заставляет работать каждого ребенка. Например, по чертежу, данному на доске, предлагают выписать в первую строчку те точки, которые лежат внутри круга или четырехугольника, во вторую строчку - точки, которые лежат вне круга (четырехугольника), а в третью строчку - точки, которые лежат на границе круга (четырехугольника).

Формирование у первоклассников представления о прямой линии происходит в процессе выполнения ими разнообразных практических упражнений. При этом прямую линию сопоставляют с кривой. Например, натягивают нить (ленту), затем ослабляют ее так, так чтобы она провисала или свободно располагалась; рассматривают рисунки с прямыми дорогами и извилистыми тропинками; разрезают лист бумаги по линии, полученной перегибанием листа, и т.п. каждый раз выясняют, какая получилась линия - прямая или кривая. Дети должны научиться узнавать прямую линию, начерченную в любом положении на плоскости, отличать ее от кривой, уметь проводить прямые линии, используя линейку. С целью выработки этих умений учащиеся чертят в тетрадях прямые и кривые линии, находят и показывают их на окружающих предметах, а также среди линий, начерченных на доске. В процессе выполнения разнообразных упражнений дети обобщают свои наблюдения: через одну точку можно провести сколько угодно прямых или кривых линий; через две точки можно провести сколько угодно кривых линий и только одну прямую.

С отрезком прямой учащиеся также знакомятся практически: от туго натянутого шнура (аналога прямой) отрезают некоторую часть. Учитель уточняет у детей: «Что получили?» (часть прямой). Затем, начертив прямую, дети отмечают на ней две точки и выделяют цветом часть прямой, заключенную между поставленными точками. Учитель вновь уточняет: «Что выделено на чертеже цветом и точками?» (часть прямой) и поясняет, что эту часть прямой от одной точки до другой называют отрезком прямой, или кратко - отрезком, а точки - концами отрезка. Дети ставят точки на других прямых, начерченных на доске, и показывают полученные отрезки и концы отрезков. После этого учитель показывает, как изображается на чертеже отрезок (концы отрезка отмечает точками или штрихами), сравнивает с изображением прямой. Учащиеся показывают на готовых чертежах отрезки и прямые, а затем и сами чертят прямые и отрезки прямых и постепенно осознают, что отрезок ограничен, а прямая не ограничена (мы изображаем на бумаге только часть прямой). До измерения отрезков дети учатся сравнивать их «на глаз», приложением и наложением, чтобы установить какой из них короче (длиннее) или отрезки одинаковой длины. Закреплению понятия об отрезке способствуют такие упражнения:

– показать отрезки прямой на окружающих предметах;

– соединить отрезком две точки;

– провести отрезок через три точки, лежащие на одной прямой, показать все получившиеся при этом отрезки.

В дальнейшем, после знакомства с сантиметром, дециметром, метром и т.д. учащиеся выполняют большое количество упражнений в измерении и черчении отрезка. В этот период важно при работе с масштабной линейкой обращать внимание школьников на правильность положения линейки при измерении - один конец отрезка должен совпадать с нулевым делением на шкале линейки. Затем учащиеся решают задачи с отрезками (на увеличение и уменьшение на несколько единиц или в несколько раз, на разностное и кратное сравнение). Постепенно школьники убеждаются, что равные отрезки содержат одинаковое число выбранных единиц длины, а неравные - неодинаковое число: в том отрезке содержится больше единиц, который длиннее. Таким образом, становится возможным судить о равенстве или неравенстве отрезков на основе сравнения их длин. Выделяя элементы многоугольников, учащиеся устанавливают, что стороны многоугольников - отрезки. Упражнения на выделение отрезков необходимо усложнять постепенно, чтобы они были посильны учащимся. Когда учащиеся ознакомятся с обозначением отрезка заглавными буквами латинского алфавита, даются письменные упражнения, которые закрепляют умения выделять отрезки, являющиеся частями других отрезков, а также отрезки, составленные из других отрезков. Например, школьникам предлагают упражнения: