Инвариантная часть обеспечивает усвоение предметных умений на уровне требований, обязательных для всех учащихся. В учебниках ориентиром обязательного уровня освоения предметных умений могут служить упражнения в рубрике «Проверочные задания» (1, 2 классы) и «Проверяем, чему мы научились» (3-4 классы).

Вариативная часть содержит материал, направленный на расширение знаний, на дополнительное закрепление обязательного материала; материал, обеспечивающий индивидуальный подход в обучении; материал, направленный на развитие познавательного интереса учащихся.

Наличие комбинаторных задач: Несмотря на большой спектр нестандартных задач, комбинаторных задач в учебниках 1-4 классов не много. Решение комбинаторных задач относится к вариативной части учебника. Изучение этого материала учитель планирует, исходя из уровня подготовленности класса или отдельных учащихся. Комбинаторные задачи, представленные в учебниках этой программы, решаются методом перебора, с помощью схем и таблицы. Задания предлагаются после некоторых тем вместе или по очереди с логическими заданиями.

Примеры комбинаторных задач, которые встречаются в учебниках: 1.Сколько раз среди чисел от 1 до 100 встречается цифра 0? Цифра 1?

Записали подряд все трехзначные числа. Сколько всего цифр записано в этом ряду? 3.Чтобы открыть сейф, нужно отгадать код. Известно, что код - трехзначное число, записанное тремя из цифр 1, 2, 3, 4, и это число больше, чем 400. Сколько чисел нужно проверить, чтобы определить код?

В соревнованиях участвуют 8 футбольных команд. По правилам после каждой игры проигравшая команда выбывает. На который по счету день определиться чемпион?

Саша выше Коли, но ниже Пети, а Петя ниже Толи. Кто выше всех?

«Перспективная начальная школа». Автор учебно-методического комплекта: Чекин А.Л. Особенности программы: отличительной чертой курса является значительное увеличение той роли, которую авторы отводят изучению геометрического материала и изучению величин, что продиктовано той группой поставленных целей, в которых затрагивается связь математики с окружающим миром. Без усиления этих содержательных линий невозможно достичь указанных целей, так как ребенок воспринимает окружающий мир, прежде всего, как совокупность реальных предметов, имеющих форму и величину. Изучение же арифметического материала, оставаясь стержнем всего курса, осуществляется равенством теоретической и прикладной составляющими, в вычислительном плане особое внимание уделяется способам и технике устных вычислений. Курс направлен на формирование навыков самостоятельной познавательной деятельности[55].

Содержание всего курса можно представить как взаимосвязанное развитие пяти основных содержательных линий: арифметической, геометрической, величинной, алгоритмической (обучение решению задач) и информационной (работа с данными).

Наличие комбинаторных задач: комбинаторные задачи присутствуют во всех учебниках с 1-4 класс. В первом классе они не выделены как задачи повышенной трудности и связаны с темами, во втором классе комбинаторные задачи выделяются в учебнике желтым кружочком, что означает «Трудное задание», в третьем и четвертом классе они тоже выделяются как задачи «Повышенной сложности».В четвертом классе комбинаторные задачи выделены отдельно в теме «Разные задачи», присутствуют в изучении материала логического характера, так же в повторении материала.

В 1 класс, тема: «Следующий и предшествующий», задание 3.

Нарисуй два ряда шариков. В верхнем ряду слева - желтый шарик, справа - синий шарик, а между ними красный. В нижнем ряду нарисуй эти же шарики, но в другом порядке. Какого цвета первый справа шарик в нижнем ряду?

В задании ученикам предлагается найти только один новый вариант расположения трех шариков, но если кто-то из них захочет продолжить комбинировать, то такая возможность должна быть предоставлена.

2 класс, тема: «Числовые выражения и их значения», задание 4.

Составь и запиши различные числовые выражения. Вычисли их значения. Данную запись можно дополнить знаками сложения и вычитания.

Ученикам предлагается комбинировать со знаками + и - при составлении числовых выражений. Числа в данной записи подобраны таким образом, чтобы любая возможная комбинация знаков имела смысл. Поэтому в данном задании можно построить четыре различных числовых выражения.

2класс, тема :«Десятки и единицы», задание 6.

Сколько двузначных чисел можно получить, если каждый раз одно разрядное слагаемое выбирать из чисел 20,60,80, а другое из чисел 5,6,8?

Запиши эти числа и назови их.

Из задания понятно, что одно число обязательно является «круглым» двузначным числом, а другое - однозначным числом. Таких комбинаций можно построить всего 9, и при систематическом переборе ученики легко их смогут построить. После того как требуемые комбинации разрядных слагаемых построены, остается только записать и назвать соответствующие числа.

2класс, тема: «Прямоугольник и квадрат», задание 5. Сосчитай число квадратов. Решение этой задачи можно выполнить способом систематического перебора.

3класс, тема : «Куб и его изображение», задание 65.

Какое самое маленькое число разных красок нужно взять, чтобы раскрасить соседние грани куба в разные цвета?

Прежде чем получить нужный вариант раскрашивания, учащиеся должны попробовать рассмотреть (мысленно) различные варианты, начиная, например, с варианта, при котором каждая грань раскрашена своим цветом (для этого нужно 6 цветов).

После этого можно выбрать пару противоположных граней и раскрасить их одним цветом. Такой вариант раскрашивания удовлетворяет условию задания (учащиеся это могут проверить самостоятельно), но для него нужно использовать уже 5 цветов. Если этот прием применить для всех трех пар противоположных граней, то получится способ раскрашивания с использованием всего трех цветов.

3класс, тема «Поупражняемся в построении треугольников», задание 457. Сколько прямоугольных треугольников на данном чертеже?



4класс,тема: «Разные задачи», задание 339.

На почте продается 4 вида поздравительных открыток и 3 вида конвертов к ним. Маше нужно выбрать открытку и конверт и послать поздравление подруге.

Из скольких вариантов ей придется делать выбор? Запиши каждый вариант с помощью шифра, состоящего из цифры и буквы. Цифрами 1,2,3,4 обозначь номер открытки, а буквами А, Б, В - каждый вид конверта.

Данная задача идет на «правило произведения», так как ученики такой способ решения не знают, но они могут перечислить все возможные пары и назвать их число. Для перечисления пар удобно пользоваться их шифрованием, о чем мы сообщаем учащимся. После введения соответствующего буквенно-цифрового шифра все возможные пары могут быть перечислены следующим образом: 1А, 2А, 3А, 4А, 1Б, 2Б, 3Б, 4Б, 1В, 2В, 3В, 4В. Всего получается 12 пар.

«Учусь учиться».Автор учебно-методического комплекта: Л.Г. Петерсон.

Особенности программы: Вся система обучения по Петерсон строится по принципу наслоения - постоянного развития сложности материала и периодического повторения основных методических и содержательных основ курса. По сути, ребенок от трех до десяти лет получает одни и те же знания, но с разным уровнем сложности, соответствующим по возрасту.

Обучение математике по методике Петерсон предполагает использование специальных учебников-тетрадей, в которых дети могут рисовать, писать решения задач и т.п. При этом сам процесс изучения материала должен быть построен особым образом: учитель не объясняет ребенку новую тему, а только указывает на проблему и подталкивает к правильным решениям и выводам при необходимости. При этом основной целью является формирование логического мышления, тренировка творческих и коммуникативных способностей детей. Поскольку, по мнению автора данного курса, те или иные знания могут стереться из памяти, но базовые навыки, общее представление о мире, умение логически мыслить и любовь к творчеству и общению должны остаться.

Программа Л. Г. Петерсон ставит своей целью создание интересной, содержательной и значимой с позиции общих представлений об окружающем мире системы математических понятий. Поэтому одна из основных задач курса - обучение школьников построению, исследованию и применению математических моделей окружающего их мира.

Наличие комбинаторных задач: По программе Петерсон Л.Г. учащиеся начинают встречаться с такими задачами уже в 1 классе. Например: «Раскрась разными способами»,

«Расположи цифры 4,6,8 разными способами», «В класс пришли Катя, Лена и Маша. В каком порядке они могли прийти в класс?». Во 2 классе «Расположи предметы на полках разными способами», «Сережа с Таней отправляются в математическое путешествие. Помоги им сложить в чемоданы красный круг, зеленый квадрат и желтый треугольник так, чтобы по строкам и столбцам фигуры не повторялись», в 3 классе «В одной вазе лежат апельсин, мандарин и банан, в другой - яблоко и груша, а в третьей - персик и слива. Найди все способы, которыми можно взять по одному фрукту из каждой вазы. Сколько всего различных способов?», в 4 классе «Пользуясь деревом возможностей, определи, сколько можно составить четырехзначных чисел с цифрой тысяч 1 или 2, цифрой сотен 0, 4 или 7, цифрой десятков 5 или 3 и цифрой единиц 8 или 9. Найди произведение наибольшего или наименьшего из этих чисел». Всего в учебниках с 1 по 4 классы встречаются 58 задач на комбинаторику.

Рассмотрим решение одной из этих задач:

Пользуясь деревом возможностей, определи, сколько можно составить четырехзначных чисел с цифрой тысяч 1 или 2, цифрой сотен 0, 4 или 7, цифрой десятков 5 или 3 и цифрой единиц 8 или 9. Найди произведение наибольшего и наименьшего из этих чисел. (Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 3. № 19. С. 87.)

Рассуждение ученика. Составим дерево возможностей.

Наибольшее число - 2759, наименьшее число -1038, их произведение - 2863842.

В учебнике В.Н. Рудницкой и Т.В. Юдачевой ("Начальная школа 21 века") дано большое количество заданий алгоритмического характера, заданий на переводы, а также много прикладных задач. Комбинаторный стиль представлен заданиями на рациональный перебор вариантов, классификацию и сортировку объектов, а также требованиями авторов найти несколько решений задачи. В учебнике есть задания, включающие элементы исследования по отдельным разделам, например по разделу «Величины». Это задачи с лишними или, наоборот, недостающими данными, а также упражнения с требованием авторов придумать задачу, составить все возможные обратные задачи. Игровой стиль представлен широко известной игрой "Танграм" и различными фокусами. Задания на логику и доказательства включают в себя упражнения на сравнение (анализ) задач, чертежей, таблиц мер, где требуется найти сходства и отличия. Они также представлены вопросами типа: "Верно ли утверждение?", требованием доказать надежность способа и объяснить свой выбор. Для развития интуиции применяются задания на смекалку.

Также мной были проанализированы учебники математики программы «Планета знаний» Башмаков М.И., Нефедова М.Г. и программы «Перспектива» Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.

Наличие комбинаторных задач в программе в учебниках Башмакова: задачи, приведенные в учебниках 1-4 классов, решаются всеми возможными для учащихся начальных классов методами, они вводятся на закрепление после некоторых тем под рубрикой

«Комбинаторные задачи». Во 2-ом классе есть отдельный урок под названием «Варианты», на этом уроке дети знакомятся с самыми разными методами решения комбинаторных задач (решение комбинаторных задач с помощью таблицы и схем).

Наличие комбинаторных задач в учебниках Дорофеева: комбинаторные задачи в этой программе представлены линии анализа данных, например, среди задач на смекалку, которые выделены специальным значком и помещены в конце каждого урока, во 2 классе есть комбинаторные задачи (ч. 1, с. 51, № 8; ч. 2, с. 55, № 9 и др.).

Анализ программы по математике Н.Б.Истоминой, представлена в главе «Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач».

На основе проведенного анализа представленных выше учебников, можно сказать, что комбинаторные задачи в той или иной степени включены в программу начального образования, в основном, они представлены как задачи повышенной трудности, таки задачи решаются на уроках математики по усмотрению учителя. Определенной системы расположения комбинаторных задач в учебниках не наблюдается, количество задач комбинаторного характера варьируется, задачи представлены в учебниках всех классов начальной школы, то есть с 1-4 классы.

Глава 3. Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач. Дидактические принципы в содержании и построении процесса обучения основам комбинаторики в начальной школе.

Дидактика (от греч. поучающий) - раздел педагогики; теория образования обучения. К дидактическим принципам относятся основные положения, определяющие содержание, организационные формы и методы учебного процесса в соответствии с его общими целями и закономерностями.

Современность научно-идейного содержания в начальных классах предполагает:

формирование у учащихся первоначальных представлений о методах научного познания (сравнение, анализ и синтез, обобщение, абстрагирование и др.);

формирование первоначальных навыков логического мышления;

корректная формулировка определений математических понятий, математических рассуждений и их доказательность;

"подтягивание" ученика к уровню изложенного в учебнике изучаемого материала, а не наоборот, т.е. не приспосабливать учебник к уровню развития ученика (в противном случае развития не будет).

Дидактические принципы -- это основные положения, которые определяют содержание, методы и организацию учебного процесса в соответствии с его общими целями и закономерностями.

Дидактические принципы постоянно видоизменяются, в зависимости от требований к образовательной программе. Они являются главным ориентиром в работе учителя.

Современные принципы предъявляют требования ко всем компонентам учебного процесса- целям, задачам, формированию содержания, выбору форм и методов, планированию.

С точки зрения развивающего обучения в начальной школе важны следующие принципы обучения:

1.принцип научности; 2.интересное преподавание; 3.активизация учения; 4.сознательность обучения;

5.интеллектуально-развивающее обучение;

обучение на оптимально высокой степени трудности;

прочность усвоения знаний, умений и навыков;

индивидуализация обучения;

интенсивное развитие математических способностей;

Известные из курса педагогики другие, но не указанные выше дидактические принципы в той или иной форме отражаются в содержании перечисленных принципов.

Принцип научности. Если в процессе обучения учащиеся получают знание понятий, законов, доказательств, они получают научные знания. В задачах необходимо обращать внимание школьников на взаимосвязь научных и практических компонентов, выявление закономерностей, которые позволят построить математическую модель, найти алгоритм решения.

Интересное преподавание в начальном обучении математике может быть достигнуто: 1) использованием занимательного материала; 2) решением на уроках комбинаторных задач в игровой форме; 3) использованием различных сведений из истории комбинаторики (можно рассказать про магический квадрат, кубик Рубика и т.д.) 4) усилением внеклассной работы, что несомненно отразится и на уроках; 5) рациональной организацией умственной работы; 6) формированием рациональных приемов учебной работы; 7) целенаправленной и систематической работой по развитию математических способностей…

Активизация учения и сознательность обучения. Активизация учения - это принцип, требующий не сообщать готовых знаний там, где учащиеся в состоянии добыть их самостоятельно под руководством учителя. Сознательность обучения, в свою очередь, требует понимания изучаемого материала всеми учащимися, осмысленного выполнения ими математических операций, понимания логико-теоретических основ математических умений и навыков, способности самостоятельно применять изученное.

Интеллектуально-развивающее обучение. "Интеллект" (от лат. intellektus - понимание, познание), который означает совокупность всех познавательных способностей человека: от ощущений и восприятия до логического мышления.

Интеллектуально-развивающее обучение требует специальной и систематической работы по формированию навыков логического и рационального мышления, интенсивного развития творческого мышления в процессе изучения теоретического материала и решения разнообразных задач. При этом у учащихся в достаточной степени должны развиваться навыки рационального учебного труда.

Обучение на оптимально высокой степени трудности. Является одним из основных принципов развивающей системы обучения Л.В. Занкова. Л.В. Занков пишет: "принцип обучения на высоком уровне трудности характеризуется не тем, что повышает некую "среднюю норму трудности", но, прежде всего, тем, что раскрывает духовные силы ребенка, дает им простор и направление. Если учебный материал и методы его изучения таковы, что перед школьниками не возникает препятствий, которые должны быть преодолены, то развитие детей идет вяло и слабо".

Данный принцип предполагает, прежде всего, развитие познавательных способностей учащегося, на основе которых осуществляется осмысление знаний и их переосмысление в дальнейшем обучении. Степень трудности регулируется соблюдением меры трудности, которая конкретизируется в программах, учебниках и методических приемах обучения.

Прочность усвоения знаний, умений и навыков. Прочность знаний достигается только в том случае, если работа по развитию мышления главенствует над работой по развитию памяти.

Индивидуализация обучения. Означает учет индивидуальных особенностей каждого учащегося. Этот принцип зависит от многих факторов, особенно от уровня оснащенности учебного процесса всеми необходимыми средствами обучения, уровня диагностики интеллектуальных качеств ученика.

Интенсивное развитие математических способностей. Большинство педагогов и психологов под развивающим обучением понимают обучение, развивающее, прежде всего, познавательные свойства учащихся: внимание, воображение, память и т.д. Но эти свойства являются фактически компонентами математических способностей. Следовательно, без систематического развития математических способностей, математической культуры, без раннего выявления математических талантов и развития их природных задатков, добиться развивающего обучения в полном смысле слова будет трудно. Правильное и целостное применение данных дидактических принципов способствует повышению эффективности подготовки школьников. Виды комбинаторных задач на уроках математики в начальной школе и способы их решения. Учитывая возрастные особенности младших школьников, в начальной школе комбинаторные задачи решаются без использования специальных формул, на основе рассуждений учащихся. В начальной школе комбинаторные задачи решаются следующими методами:

метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления);

табличный метод (все условия задачи вносятся в таблицу, в ней же выполняется решение);

построение дерева возможных вариантов решений;

построение граф - схемы.

Задачи должны подбираться с учетом возрастных особенностей младших школьников, методы решения комбинаторных задач вводятся по принципу от простого к сложному. В первом и во втором классах такие задачи решаются методом перебора и с помощью таблиц, в третьем и четвертом классах с помощью построения дерева возможных вариантов и граф-схем, тем самым осуществляется пропедевтическая работа, что предусматривает подготовку младших школьников к решению комбинаторных задач.

Метод перебора.

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.

Примеры задач:

Задача 1.Для своих двух книг Катя купила три разные обложки.

Сколькими различными способами она может обернуть книги купленными обложками? Ответ: Для решения обозначим обложки буквами а, б, в. Составим из букв всевозможные пары: аб, ав, бв, ба, ва, вб. Всего получилось 6 способов.

Задача 2. Четыре яхты готовились к соревнованиям. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает. Покажите, как по-разному раскрасили паруса, если было всего две краски: синяя и красная.

Трудность, которая может возникнуть у школьников при раскрашивании, - это догадаться, что весь парус можно закрасить одним цветом. Поэтому, после того как дети раскрасят 2 паруса двумя цветами:

целесообразно задать наводящий вопрос: «В этой ситуации сказано, что обязательно каждый парус надо закрасить двумя красками? Тогда как еще по-другому можно закрасить оставшиеся?»

Задача3. Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Ответ: 11, 12, 13,

14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Задачи на метод перебора можно решим с помощью правила суммы и правила произведения.

Правило суммы применяется, когда нужно выбрать один предмет из нескольких различных множеств.

Пример задачи на правило суммы:

На полке стоят десять томов Пушкина, четыре тома Лермонтова и шесть томов Гоголя. Сколькими способами можно выбрать с полки одну книгу?

Решение. Понятно, что 10 + 4 + 6 = 20 способами.

Для того, чтобы найти число комбинаций, достаточно перемножить число предметов одного вида на количество предметов другого вида. Это правило называется правилом произведения, оно используется в основном при перестановках.

Использовать правило произведения - это значит умножить число одних элементов на количество комбинаций с ними.

Пример задачи на правило произведения:

В магазине есть 3 вида пиджаков, 2 видов брюк и 4 вида галстуков. Сколькими способами можно купить комплект из пиджака, брюк и галстука?

Решение: из условия задачи мы видим, что для того, чтобы выбрать пиджак есть три способа, брюки - два, галстук - четыре способа.

Пару (пиджак, брюки) можно выбрать 3 · 2 способами. К этой паре можно купить галстук 4 способами. Следовательно, для покупки пиджака, брюк и галстука имеется 3 · 2 · 4 = 24 способа.

Правила суммы и произведения (формулировка и название его) не дается в начальной школе. Весь процесс применения правила строится с опорой на рассуждения ученика, ученик проговаривает свои действия, что позволяет решать комбинаторные задачи там, где применить таблицу невозможно.

Табличный метод.

Когда необходимо составить комбинацию, в которой более двух элементов, чтобы не запутаться, при решении задач используются таблицы и дерево возможных вариантов. Данные способы решения комбинаторных задач дает возможность наглядно представить решение.

Примеры комбинаторных задач, которые решаются с помощью таблицы:

Задача 1. Для начинки пирогов бабушка решила смешать два продукта. Сколько различных пирогов может испечь бабушка, если для начинки у нее есть картофель, грибы, яблоки, мясо.

Составим таблицу по строкам и столбцам распределим наши продукты.

	Картофель(к)	Грибы(г)	Яблоки(я)	Мясо(м)
Картофель	КК	КГ	КЯ	КМ
Грибы	ГК	ГГ	ГЯ	ГМ
Яблоки	ЯК	ЯГ	ЯЯ	ЯМ
Мясо	МК	МГ	МЯ	ММ

В таблице представлено 16 вариантов начинок для пирогов, если исключить повторяющиеся варианты, то получится 6 смешанных начинок:

	Картофель(к)	Грибы(г)	Яблоки(я)	Мясо(м)
Картофель
Грибы	ГК
Яблоки	ЯК	ЯГ
Мясо	МК	МГ	МЯ

С математической точки зрения, 6 смешанных начинок - правильное решение данной задачи, но если опираться на жизненный опыт, то таких начинок будет 3.

Задача 2. Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3 4, 6, 7, 8, 9? Составим таблицу, в горизонтальных верхних столбцах напишем нечетные цифры, в вертикальных первых столбцах - все цифры, представленные в условии данной задачи:

	1	3	7	9
1	11	13	17	19
3	31	33	37	39
4	41	43	47	49
6	61	63	67	69
7	71	73	77	79
8	81	83	87	89
9	91	93	97	99

Подсчитав результаты, представленные в таблице, можно сказать, что двузначных нечетных чисел всего 28.

Задача 3. Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

Составим таблицу: слева первый столбец - имена девочек, вверху первая строка - имена мальчиков.

	Андрей	Миша	Игорь
Маша	Маша - Андрей	Маша - Миша	Маша - Игорь
Оля	Оля - Андрей	Оля - Миша	Оля - Игорь
Вера	Вера - Андрей	Вера - Миша	Вера Игорь
Ира	Ира - Андрей	Ира - Миша	Ира - Игорь

Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы. Всего 12 вариантов.

Построение дерева возможных вариантов решений.

Этот метод подразумевает схематичное представление задачи, которое внешне напоминает дерево, отсюда и происходить название данного метода.

Примеры задач:

Задача 1. Катя собирается на каникулы. Она может поехать с бабушкой или с родителями. Если Катя поедет с бабушкой, то она сможет провести каникулы или на даче, или в городе, или в деревне. Если она поедет с родителями, то она сможет провести каникулы или отдыхая в санатории, или путешествия по горам, или путешествуя на теплоходе. Сколько разных вариантов есть у Кати, чтобы провести свои каникулы?



Размещено на http://www.allbest.ru/

У Кати есть всего 6 разных вариантов, чтобы провести каникулы.

Задача 2. Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.

а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?

б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?

в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?

Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б - брюки, Д - джинсы, С - серая рубашка, Г - голубая рубашка, З - зеленая рубашка, Р - рубашка в клетку, Т - туфли, К - кроссовки.

4) Построение граф - схемы.

Если произвольные точки пространства соединены между собой отрезками или дугами (не обязательно все), то такое соединение (схема) называется графом. Примером этому может служить схема станций метрополитена, трамвайных путей или карта железнодорожных сообщений. Точки -- города, отрезки или дуги, которые их соединяют -- железнодорожные пути.

Граф - это геометрическая фигура, состоящая из точек (вершины графа) и линий, их соединяющих (ребра графа). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей и т.д.), а с помощью ребер - определенные связи между элементами. Для удобства иллюстрации условия задачи, вершины графа могут быть заменены кругами или прямоугольниками.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Ответ: всего сыграно 6 партий.

Задача 2. 5 финалистов конкурса «Учитель года- 2016», решили обменяться впечатлениями о конкурсе и позвонить друг другу. Сколько звонков будет сделано?»

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если подсчитать все ребра графа, то получится 10. Ответ:10 звонков.

В начальном курсе математики рассматриваются 3 вида комбинаций: размещение, сочетания и перестановки.

1.Размещение.

Размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. В размещении учитывается порядок следования предметов. Так, например, наборы (2,1,3) и (3,2,1) являются различными.

В этом типе задач комбинации составляют не из всех элементов, а только из некоторых. Но обязательно важен их порядок.

Задача 1. На полке стоят три чашки: желтая, красная и синяя. Мама попросила Машу одну чашку отнести Юле, а другую - Кате. Сколькими способами Маша может это сделать?

Юля Катя

Размещение

Размещение с повторением Размещение без повторения

Задача 2.Из цифр 1,2,3,4,5,6 составьте все возможные трехзначные числа, при этом цифры повторяются.

6 х 6 х 6 =216

Рассмотрим второй случай, когда цифры не повторяются (размещение без повторения): Рассмотрим второй случай, когда цифры не повторяются (размещение без повторения). Сколько цифр претендует на первое место? На второе место? На третье?

Отметим место каждой цифры звездочкой:

* * *

6 х 5 х 4 =120

2.Сочетания.

При сочетании порядок элементов не важен, и в комбинациях участвуют не все элементы. Пример задачи: в магазине продаются три мячика: желтый, красный и зеленый, Мише надо купить два шарика. Какие шарики может купить Миша?

Миша может взять желтый и красный шарик, желтый и зеленый, красный и зеленый, то есть существует только три комбинации, причем порядок элементов здесь не важен.

3.Перестановки. Рассмотрим решение задач.

Задача 1. На столе лежат три предмета: ручка, линейка и ластик в следующем порядке: ручка/ линейка/ ластик

Сколькими способами их можно переложить?

Решение: так как одна комбинация уже записана в условии задачи, находим остальные: ручка/ ластик/ линейка

ластик/ручка/линейка ластик/линейка/ручка линейка/ручка/ластик линейка/ластик/ручка Ответ: всего 6 способов.

На основе приведенных примеров комбинаций, мы можем сказать:

1 .Если соединения отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов - это перестановки.

2 .Если соединения отличаются я друг от друга хотя бы одним элементом либо состоят из одних и тех же, но расположенных в разном порядке элементов, то это размещения.

3. Если соединения отличаются составом, но не порядком элементов, то это сочетания. Комбинаторные задачи можно решать различными способами, учащиеся могут решать такие задачи тем способом, который им удобен, а также наглядно представлять информацию в виде таблиц, с помощью дерева возможных вариантов решения и с помощью графов.

Систематический подход к формированию у младших школьников математических понятий, тесно связан с установлением соответствия между различными наглядными моделями, данное соответствие определяется способами решения комбинаторных задач. Способ перебора (хаотичного и системного) позволяет детям решать комбинаторные задачи, опираясь на имеющийся у них опыт, на предметно-действенное и наглядно- образное мышление. Используя для решения комбинаторных задач таблицы и графы, учащиеся фактически переводят вербальные модели в схематические. Тем самым у них формируются представления о моделировании как способа решения задач.

В настоящий момент, когда компьютерные технологии стали неотъемлемой частью нашей жизни, пользование компьютером является повседневной практикой для современных детей. Организация представления информации на компьютере требует от пользователя умения работать с таблицами и всевозможными схемами, решая комбинаторные задачи, ученики практикуются в представлении информации такими способами.

Последовательное обучение учеников решению задач графическим способом, оказывает помощь в дальнейшем построении схематического рисунка, а также эти знания пригодятся при работе в текстовых редакторах.

При решении задач способом перебора дети осваивают основы математического моделирования. Таким образом, при детьми встает проблема изображения при составлении различных комбинаций. Сначала это предметные рисунки, затем условно- символические обозначения. В дальнейшем ученики будут пользоваться схематическими моделями: таблицами, граф-схемами и с помощью деревом возможностей.

Обучение решению комбинаторных задач способом перебора позволяет также расширить представление младших школьников о процессе нахождения результата в задачах. Учащиеся убеждаются в том, что, для того, чтобы решить задачу, не обязательно всегда нужно выполнять какие-либо арифметические действия, а можно решить другими наглядными способами.

Овладев способом перебора, ученики начальной школы могут использовать его и при решении некомбинаторных задач, которые раньше им были просто недоступны.

Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

Методика обучения любому комбинаторному содержанию должна базироваться на определенных исходных положениях, в которых находит определение взаимосвязь основных компонентов процесса обучения: целей, содержания, деятельности учителя и деятельности учащихся.

Важно отметить, что при обучении младших школьников решению комбинаторных задач, от учителя требуется определенный уровень математической подготовки, владение только одним методом решения комбинаторных задач, для учителя недостаточно.

Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач строится с учетом психологических особенностей детей данного возраста и направлена на развитие их мышления. Способы действия не даются учащимся в готовом виде, а дети сами приходят к их «открытию», накапливая собственный опыт решения конкретных задач. Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач и различных возможностей осуществления их решения (разный ход рассуждений, способы обозначения объектов) не формирует у учащихся ненужных стереотипов, а обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соответствии со своими индивидуальными особенностями[39].

Единая система комбинаторных задач пока не разработана, поэтому при рассмотрении данного вопроса я руководствовалась методикой обучения решению комбинаторных задач Истоминой Н.Б, Виноградовой Е.П., Редько З.П.

Рабочая программа представлена в учебниках математики, а так же в рабочих тетрадях

«Учимся решать комбинаторные задачи» : 1-2 классы, 3класс, 4 класс (Истомина Н.Б, Виноградова Е.П., Редько З.П.). Тетрадь можно использовать, работая с детьми и по другим учебникам математики для начальных классов.

При отборе задач учитываются возрастные особенности младших школьников. Задачи даются по принципу «от простого к сложному».

Тематическое строение развивающего курса математики создает условия для включения комбинаторных задач в процесс усвоения содержания основных вопросов программы. Тем самым обеспечивается вариативность учебных заданий, нацеленных на усвоение знаний, умений, навыков и на формирование приемов умственной деятельности.

При этом курс не перегружается информацией, так как для решения комбинаторных задач не требуется введение новых понятий и терминов.

Обучение младших школьников комбинаторным задачам подразумевает три этапа:

Подготовительный этап, цель которого формирование мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, абстрагирование) для развития произвольного внимания, образного мышления и для лучшего понимания содержания школьной программы.

Целью основного этапа обучения младших школьников решению комбинаторных задач является ознакомление учащихся с методом организованного перебора, с помощью графа, таблицы и дерева возможных вариантов. При знакомстве школьников с ходом решения задач методом организационного перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решений.

Отработка умения решать комбинаторные задачи логически завершает процесс формирования навыка решения этих задач в начальном курсе математики. На этапе отработки умений школьникам предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов деятельности, с другой - осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.

Основные вопросы для каждого класса:

1класс: Признаки предметов; сложение. Состав числа; двухзначные числа.

Данный курс начинается с уточнения представлений детей о признаках (свойствах) предметов. Это позволяет использовать опыт младших школьников и имеющиеся у них математические представления для организации целенаправленного наблюдения, которое включает в себя такие мыслительные операции, как анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение.

Целенапсавленная сабота по фосмисованию псиемов умственных действий на песвых усоках учитывает как сазличный опыт себенка, так и сазличный усовень его математической подготовки. В результате этой работы у первоклассников формируются представления о признаках предметов, об их изменении, о расположении в пространстве, об их количестве, которые тесно связаны с операцией счета. На этих же уроках ребенок адаптируется к школьной обстановке, овладевает общеучебными умениями: работать с учебником, слушать учителя и других учеников, принимать участие в обсуждении, работать в тетради и т.д.

Комбинаторные задания органически включаются в общую систему заданий, предлагаемых в учебнике по теме « Признаки предметов» и в то же время имеют свою специфику. Она заключается в том, что, выполняя задания учебника, учащиеся анализисуют и сравнивают уже данные совокупности, а при выполнении комбинаторных заданий они сами образуют различные совокупности предметов, отличающиеся друг от друга теми или иными признаками. Причем другие совокупности получаются в результате преобразования данной.

Так же важно учитывать то, что задачи построены в игровой форме, с помощью разноцветных карандашей, раскрашивая рисунки, ученик выполняет то или иное упражнение.

Например:

А) Представь, что у тебя четыре кружки разного цвета, раскрась эти кружки.

Б) Ты решил подарить другу две кружки. Покажи на рисунке, какие кружки ты можешь выбрать. Сколько вариантов у тебя получилось?

В)А если ты захочешь подарить другу три кружки? Сколько вариантов выбора у тебя будет?

Эти задания можно выполнять практически. Можно поставить на стол четыре кружки разного цвета и вызвать четырех учеников. Все остальные внимательно следят, не допустят ли дети ошибок при выборе кружек.

Это задание можно предложить при изучении темы «Признаки предметов», «Число и цифра».

«Сложение».Основная цель этой темы - разъяснить смысл действия сложения и познакомить младших школьников с той терминологией, которая употребляется в математике при сложении (выражение, сумма, слагаемые, значение суммы, равенство). Основа этого разъяснения - взаимосвязь сложения натуральных чисел с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств, которая легко интерпретируется на действиях с предметами.

Пример: в вазе лежат 6 яблок и 3 груши. Сколько возможные вариантов выбора взять: а)одну грушу? 3 варианта

б)одно яблоко? 6 вариантов

в) либо грушу, либо яблоко? 6+3= 9

Пси изучении нумесации двухзначных чисел деятельность учащихся напсавляется на осознание позиционного псинципа десятичной системы счисления и на соотношение сазсядных единиц. Следует отметить, что комбинатосные задания, связанные с изучением этой темы, включены в сазличные учебники для начальных классов, однако у многих детей они вызывают затсуднения и поэтому чаще всего классифицисуются как задания повышенной тсудности. Сечь идет о заданиях типа: «Из цифс 5, 3, 7, 9 составь все возможные двузначные числа».

«Из цифр 2, 3, 4, 5 составь двузначные числа, чтобы число десятков было больше числа единиц».

Исходя из условия задачи, понятно, что не нужно записывать все двузначные числа. Варианты чисел должны быть такими, чтобы первая цифра в их записи была «старшей».

«Сколько существует двузначных чисел, сумма числа десятков и единиц которых равна 16?»

В задании нужно провести неполный перебор возможных вариантов. Достаточно только выбрать цифры для записи этих чисел (сумма которых дает число 16), а их всего три: 7, 8, 9

Так же могут использоваться такого рода задания:

Составь все возможные выражения, расставляя знаки ''+'' и ''-'' между числами 3…5…7. Проводится полный перебор вариантов.

К концу обучения в 1 классе учащиеся справляются с решением простых комбинаторных задач способом перебора. Эти задачи развивают наблюдательность, внимание и логическую речь учеников.

2 класс: понятие текстовой задачи. Структура задачи; умножение; трехзначные числа. Понятие текстовой задачи. Задачи. Структура задачи.

Формируется: навыки чтения, представления о смысле арифметических действий сложения и вычитания, основные мыслительные операции - анализ и синтез, сравнение, умение описывать предметные ситуации и переводить их на язык схем и математических символов, умение чертить, складывать и вычитать отрезки, умение переводить текстовые ситуации в предметные и схематические модели.

Новая форма записи: таблица. Использование таблиц в процессе решения комбинаторных задач помогает младшим школьникам в последовательном поиске всех возможных вариантов. Число объектов, из которых составляются комбинации, остается небольшим, а количество комбинаций - все возможные. Так же составление таблицы служит для удобства, помогает избежать повторения одной и той же комбинации; составить все возможные комбинации и исключить не удовлетворяющие условию.

Пример: у тебя 3 шапочки разного цвета: красная, синяя и желтая - и три шарфа такой же расцветки.

А)сколько комплектов из шапочки и шарфа разного цвета можно составить? (Шапочки и шарф, входящие в комплект должны быть разного цвета.)

Б) заполни таблицу. (Дети самостоятельно указывают в таблице цвет и расположение шапочек и шарфов, например: к/ж)

Умение составлять таблицы в процессе решения задач и находить возможные варианты с учетом условия задачи помогает ученикам в решении задач с большим числом объектов. Например: 2) «В танцевальном кружке занимаются пять мальчиков: Олег, Вова, Стае, Андрей и Иван и пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша. Сколько различных танцевальных пар можно составить?»

«Для начинки пирогов бабушка приготовила капусту, рыбу, мясо, щавель и землянику. Чтобы пироги были вкусными, она решила смешивать по две начинки. Какие пироги испекла бабушка?»

Решение этой задачи предлагается второклассникам для самостоятельной работы, так как ситуация, описанная в ней, встречается в жизни каждого ребенка и, решая ее, он опирается на свой жизненный опыт.

В результате анализа выполнения работы выясняется, что сложных начинок для пирогов у бабушки получилось совсем немного: капуста с рыбой, капуста с мясом и земляника со щавелем. Аргументы такого выбора вариантов следующие: а) нельзя смешивать одинаковые начинки; б) нужно убрать (вычеркнуть) повторяющиеся; в) пироги должны быть вкусными.

В процессе знакомства с текстовыми задачами второклассники решают комбинаторные задачи, связанные с сочетаниями и размещениями. Поэтому необходимо обратить внимание детей на задачи, в которых важен порядок записи элементов в комбинации (чаще это связано с задачами на составление двузначных, а далее и трехзначных чисел), а в каких нет.

Трехзначные числа.

При изучении нумерации трехзначных чисел деятельность учащихся направлена на осознание позиционного принципа десятичной системы счисления. Комбинаторные задачи на размещения органически включаются в данный раздел развивающего курса математики начальной школы, так как при составлении таких комбинаций учитывается порядок в записи ее элементов.

Умножение.

В теме «Умножение» большое внимание уделяется разъяснению предметного смысла действия умножения, усвоению детьми его определения как сложения одинаковых слагаемых и осознанию ими новой математической записи. Для этой цели в учебнике предложены различные виды упражнений:

на выделение признаков сходства и различия данных выражений; 2.на соотнесение рисунка и числового выражения;

на запись числового выражения по данному рисунку;

на выбор числового выражения, соответствующего рисунку; 5.на замену произведения суммой;

на сравнение числовых выражений и т.д.

Таким образом, в программное содержание второго года обучения математике в систему развивающего обучения четырехлетней начальной школы были включены комбинаторные задачи на перестановки, размещения и сочетания с небольшим числом элементов.

3 класс: текстовые задачи на четыре арифметических действия; порядок выполнения действий; действия с четырехзначными, пятизначными и шестизначными числами.

В третьем классе учащиеся знакомятся с новым методом решения комбинаторных задач - дерево возможных вариантов.

На примере решения комбинаторных задач младшие школьники знакомятся с графами как способом их решения.

Пример задачи с четырехзначными числами:

1.Сколько различных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 6, 5, 2?

2. Для ответа на вопрос задачи заполни часть схемы дерева возможных вариантов.

Так как в условии задачи предложены три цифры, то при записи четрехзначных числе цифры будут повторяться. Чисел, в которых 6 тысяч- 27, 5- тысяч- 27, 2 тысячи-27. В итоге мы получаем -81четырехзначное число.

4 класс: текстовые задачи; многозначные числа.

Основные вопросы третьего и четвертого года обучения математике в начальных классах: нумерация многозначных чисел и текстовые задачи на четыре арифметических действия. Нумерация многозначных чисел в курсе третьего класса представлена темами: «Четырехзначные числа» и «Пятизначные числа».

Основными способами усвоения десятичной позиционной системы счисления являются: анализ многозначных чисел с точки зрения их разрядного состава, выявление признаков сходства и различия в конкретных числах, построение рядов чисел в соответствии с определенными правилами.

Способы решения комбинаторных задач в 3-4 классах: системный перебор с помощью таблиц и правила произведения. Новые способы проведения системного перебора: «граф- дерево» («деревом решений», «деревом возможных вариантов») и линейными графом.

Пример: «Сколько различных комплектов обедов из трех блюд можно составить, если в меню есть на первое - борщ и суп, на второе - пельмени, манты, чебуреки, на третье - компот, чай, молоко, сок?»

На примере данной задачи целесообразно рассмотреть два способа ее решения: с помощью «графа-дерева» и правила произведения. Эта работа проводится самостоятельно с проговариванием каждого шага действия. Ученикам заготовлены индивидуальные карточки для построения «графа-дерева» и проведения системного перебора с использованием правила произведения.

Карточка 1. Первое блюдо. Второе блюдо. Третье блюдо.

Расставляя точки по количеству блюд каждого вида, и соединяя их отрезками, дети самостоятельно строят «граф-дерево», а затем подсчитывают число возможных комплектов обеда.

Карточка 2.

Первое блюдо можно выбрать - …способ. Второе блюдо можно выбрать - …способ. Третье блюдо можно выбрать - …способ.

Комплект из трех блюд можно выбрать - …способ.

Использование этих способов решения комбинаторных задач целесообразно, когда приходится составлять наборы более чем из 2 элементов. Овладение ими дает возможность решения комбинаторной задачи, т.е. он овладевает навыками самопроверки. Таким образом, в программное содержание третьего и четвертого года обучения математике в системе развивающего включены комбинаторные задачи, связанные с перестановками, размещениями и сочетаниями элементов с большим числом элементов, чем во втором классе. Выбор возможных вариантов осуществляется методом системного перебора с помощью таблиц, графов, «дерева» возможностей и с использованием правила суммы и правила произведения. Органическое включение комбинаторных задач в программное содержание позволяло избежать перегрузки учащихся дополнительной научной информацией.

В результате изучения курса «Учимся решать комбинаторные задачи» ученик должен знать и понимать:

- что такое комбинаторная задача и уметь вычленить ее из множества текстовых (арифметических) задач;

- способы решения комбинаторных задач. Уметь:

- решать комбинаторные задачи различными способами (перебором, таблицами, дерево возможных вариантов, графами);

- использовать полученные знания при решении различных задач, если это возможно.

Глава 4.Экспериментальная часть. Проведение эксперимента

Эксперимент проводился в ходе педагогической практики с 09.02.17- 22.02.17.

Место проведения: государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы "Образовательный центр на проспекте Вернадского".

Класс: 4 «Б», количество учащихся: 28 человек. Ученики обучаются по учебникам математики Л.Г. Петерсон.

Эксперимент проводился в три этапа: констатирующий, формирующий, контролирующий.

Констатирующий этап.

1.Для диагностики развития мышления учеников, выявления способности к обобщению, анализу, сравнению и классификации мной была проведена методика «Выявление общих понятий». По характеру выделяемых признаков можно судить о преобладании того или иного стиля мышления: конкретного или абстрактного. Ее смысл заключается в подборе слов, имеющих общие родовые признаки, логические связи с определенным обобщающим словом.

Обследуемым предлагается бланк с 20 рядами слов. В каждом из них набор из 5 слов, 2 из которых более всего с ним связаны. Задача обследуемого - найти в каждом ряду по 2 слова, наиболее соответствующих обобщающему понятию, и подчеркнуть их. Время на выполнение работы 3 минуты.

За каждый правильный ответ (указаны два слова верно) испытуемому присваивается 1 балл. 0,5 балла соответствует одному правильно выбранному слову и 0 баллов, когда испытуемый не смог выбрать ни одного правильно слова.

Максимальное количество баллов равно 20. Результаты менее 10 баллов оцениваются как неудовлетворительные, свидетельствующие о неумении испытуемого сравнивать, анализировать и обобщать выделенные признаки.

Оценка выставляется по 9-бальной шкале, с помощью таблицы.

Оценка в баллах	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Кол-во Правильных ответов	18-20	17	16	14-15	12-13	10-11	8-9	6-7	5

Текстовое задание (правильные ответы подчеркнуты):

1. Сад (састения, садовник, собака, забос, земля).

2. Сека (бесег, сыба, сыболов, тина, вода).

3. Госод (автомобиль, здания, толпа, улица, велосипед).

4. Сасай (сеновал, лошадь, ксыша, скот, стены).

5. Куб (углы, честеж, стосона, камень, десево).

6. Деление (класс, делимое, касандаш, делитель, бумага).

7. Кольцо (диаметс, алмаз, псоба, оксужность, золото).

8. Чтение (глаза, книга, очки, текст, слово).

9. Газета (псавда, псоисшествие, ксоссвосд, бумага, седактос).

10. Игса (касты, игсоки, фишки, наказания, псавила).

11. Война (самолет, пушки, ссажения, сужья, солдаты).

12. Книга (сисунки, сассказ, бумага, оглавление, текст).

13. Пение (звон, искусство, голос, аплодисменты, мелодия).

14. Землетсясение (пожас, сместь, колебания почвы, шум, наводнение).

15. Библиотека (столы, книги, читальный зал, гасдесоб, читатели).

16. Лес (почва, гсибы, охотник, десево, волк).

17. Спост (медаль, оскестс, состязания, победа, стадион).

18. Больница (помещение, уколы, всач, гсадусник, больные).

19. Любовь (созы, чувства, человек, свидание, свадьба).

20. Патсиотизм (госод, содина, дсузья, семья, человек). Обработка результатов:

1. Подсчитала количество правильных ответов каждого ученика; 2.Подсчитала количество выделенных родовых признаков в каждом ряду (один, два, ни одного);

3 .Определила допущенные ошибки;

4 .Общие результаты представила в виде диаграммы (рис.1).

Рис.1



Данную методику проходили 28 человек, то есть весь класс. Из диаграммы видно, что у большинства учащихся 4 «Б» класса средний уровень развития мышления-13 человек, высокий уровень развития у 11человек, низкий уровень развития мышления у 4 человек. Это свидетельствует о том, что у учеников преобладает абстрактно-логический стиль мышления, у 4 человек, которые набрали низкие баллы, конкретно- ситуационное мышление.

2. С целью определения скорости мышления была проведена «Методика изучения быстроты мышления».

...