Комбинаторные задачи на уроках математики в начальной школе

Оборудование: набор карточек ,на которых написаны слова с пропущенными буквами; секундомер.

Порядок исследования.

В приведенных словах пропущены буквы. Каждая черточка соответствует одной букве. За три минуты необходимо образовать как можно больше существительных единственного числа.

Слова:

Уровень мышления определялся по количеству найденных за три минуты слов. 25-30 слов - высокая скорость мышления; 20-24 слова - хорошая скорость мышления; 15-19 слов - средняя скорость мышления; 10-14 слов - ниже средней; до 10 слов - инертное мышление.

Этими критериями следует пользоваться при оценке учащихся 2-4-х классов. Результат диагностики представлен в виде диаграммы (рис.2)

Рис.2

Из диаграммы видно, что 15человек-имеют высокие показатели, 9 человек - хорошие показатели, 4человека - средние.

3.Проведение урока с использованием комбинаторных задач. Для того, чтобы проанализировать способность учеников 4 «Б» класса решать комбинаторные задачи, определить эффективность решения комбинаторных задач, связанных с программным содержанием курса математики, мной был проведен урок, на котором решались комбинаторные задачи, связанные с темой урока.

Задача1.

Сегодня уличный термометр показывает 20 градусов тепла. Таня сказала, что по прогнозу погоды температура воздуха будет дважды повышаться по 3 градуса в день, а в один день понизится на 3 градуса.

1.Какая температура воздуха будет через три дня? 2.Какая температура воздуха будет через два дня?

Условие задачи было показано на экране. По желанию ученики записывали условие и решение задачи у себя в тетради. Ученикам давалось время на размышление.

Один желающий показывал изменение температуры через три дня, на увеличенном изображении термометра, другой желающий показал изменение температуры через два дня. После этого мы обсудили решение задачи, сравнили результаты.

После решения задачи был задан вопрос:

- каким способом мы сейчас решали с вами эту задачу?

-ученики ответили, что данная задача решается методом перебора.

С решением данной задачи справились все ученики, но когда я предложила придумать аналогичную задачу и представить способ ее решения у себя в тетради, некоторые ученики испытали трудность при выполнении этого задания (рис.3).

Рис.3

Задача 2.

На столе лежат три одинаковых по виду кубика. Один из них легче других. Как найти этот кубик за одно взвешивание?

Ученики осуществляют перебор вариантов. Решение этой задачи заключается в том, что нужно сначала взвесить два одинаковых кубика, таким образом, мы найдем тот, которые легче.

Решение данной задачи мы проверили на заготовленных ранее чашечных весах.

С этой задачей не все ученики справились с первого раза, не справились с заданием 6 учеников.

Хочется отметить, что урок прошел активно, ученики с удовольствием решали такие задачи и проверяли их решение с помощью наглядных средств, самостоятельно с решением комбинаторных задач справились все ученики.

Формирующий этап.

На данном этапе мной был проведен урок, полностью посвященный решению комбинаторных задач, помимо этого, для развития комбинаторного мышления, комбинаторные задачи решались и на уроках математики в начале урока, в качестве интеллектуальной разминки. Задачи решались учениками такими методами, с помощью которых им удобно выполнять решение задач. Решение задач записывалось учениками на отдельных листочках. В ходе проверки, желающие записывали свое решение на доске. После того как всеми было выполнено предложенное задание, те, кто писал на доске решение задачи, объясняли его выполнение, при этом остальные ученики сверялись со своими записями и выражали свое согласие или не согласие.

Диагностика решения задач учениками, которое выполнялось на уроке

«Решение комбинаторных задач»

Задача1.Жители планеты Кин-дза-дза обходились для всех случаев одним словом «КУ».А если бы их алфавит состоял из двух букв У и К, то сколько слов было бы в их обиходе, при условии, что буквы в слове могут повторяться, и слова состоят только из двух букв?

Задача была проведена в самом начале урока, решалась устно.

Так как ученики уже были знакомы с методом перебора, при решении этой задачи трудностей не возникло. Они быстро проанализировали условие задачи, составили нужные комбинации. С заданием справились все учащиеся.

Задача 2. Работа в парах.

составьте двузначные числа из цифр 2; 3; 5, так чтобы числа не повторялись.

Эта задача аналогична первой, отличие состоит в том, что задачи не должны повторяться. Некоторые ученики не внимательно прочитали условие задачи, поэтому они написали такие числа, как 222, 333, 555,232 и т.д.

Задача 3. «Для начинки пирогов бабушка решила смешать два продукта. Сколько различных пирогов может испечь бабушка, если для начинки у нее есть картофель, грибы, яблоки, мясо».

Задача решалась с помощью таблицы, так как некоторым ученикам было сложно справиться с этим заданием, решение задачи сопровождалось объяснением, задавались наводящие вопросы.

Задача 4. Решение задачи с помощью дерева возможных вариантов. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд (одного первого, одного второго, одного третьего). В меню имеется два первых блюда : щи, борщ, три вторых : рыба, гуляш, плов два третьих: компот, чай.»

Один ученик решает задачу на доске, после этого, остальные учащиеся слушают объяснение задачи и сверяются с решением.

При построении дерева возможных вариантов у себя в тетради, у некоторых учеников возникли трудности (Рис.4).

Рис.4 4 Решение задачи с помощью граф - схемы.

В парке 4 фонтана. Дворник решил засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход. Задание: покажи, какие дорожки надо сделать.

Один желающий решает задачу у доски. Решение задачи сопровождается объяснениями ученика. Правильность решения задачи сверялось с правильным решением, которое было представлено на экране (рис.5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.5

Проанализировав решения всех учеников, было установлено, что с заданием справились все учащиеся.

Пример задачи, которая решалась учениками на одном из уроков математики в качестве

«Интеллектуальной разминки», ученики решали следующую задачу:

В магазине «Все для чая» в продаже имеется 6 видов чашек, 5 видов блюдец и 3 вида ложек. Сколько можно составить разных комплектов из трех предметов: чашки, блюдца и ложки?

-Как вы думаете, каким способом можно решить эту задачу?

Кто-то попытался решать задачу методом перебора, кто-то пытался представить решение задачи в виде таблицы и схем, в итоге ученики пришли к выводу: получится слишком большое число, решать задачу такими способами неудобно.

Несколько учеников решили задачу умножением, то есть число способов выбора одного объекта умножили на число способов выбора другого.

Таким образом, ученики самостоятельно осуществили поиск удобного способа решения этой задачи.

Контролирующий этап.

На последнем этапе проведения эксперимента, на уроках математики решались комбинаторные задачи, способы решения которых, дети выбирали самостоятельно; была проведена методика на быстроту мышления с целью сравнить результаты, полученные на констатирующем и контролирующем этапе, а также тест Липпмана : «Логические закономерности», с целью диагностики развития логического мышления.

Сравнение результатов проведенной методики на скорость мышления представлена в виде диаграммы (рис. 6).

Рис.6

Из диаграммы мы можем увидеть, что показатель высоких результатов на контролирующем этапе стал выше.

2. Тест Липпмана «Логические закономерности».

Учащимся предъявлялись ряды чисел, представленные на карточках, необходимо было проанализировать каждый ряд и установить закономерность его построения. Надо определить два числа, которые бы продолжили ряд. Время решения заданий фиксируется. Средний результат данного теста: 3 балла за время 4мин 35 с -9 мин 50 с - это хорошая норма большинства людей (у 22 человек класса), у 6 человек- средняя норма развития логического мышления.

3.Комбинаторные задачи на самостоятельное выполнение. Ученики решают задачу удобным им способом.

«Российский флаг состоит из трех цветов: белый, синий, красный. Нарисуйте флаги с различным расположением цветов (цвета не повторяются). Сколько флагов получится?» Ученики решают задачу удобным им способом.

Рис.7

Все ученики справились с решением этой задачи. На диаграмме (рис.7)

Видно, что с помощью таблицы решили 10 человек, перебором- 9, с помощью дерева возможных вариантов- 5человек, умножением- 4 человека.

На основе проведенного эксперимента можно сказать, находить самостоятельно новые пути решения задач и проблем.

Подводя итоги проведенного эксперимента, хочется отметить изначальную подготовку учеников 4 «Б» класса к решению комбинаторных задач. В ходе беседы с учителем математики данного класса, было выяснено, что комбинаторные задачи неоднократно решались как во внеурочной деятельности, так и на уроках математики. Кроме решения комбинаторных задач, учащиеся подготовлены к решению и других нестандартных задач, подразумевающих элементы стохастики.

При проведении методик диагностики мышления учащихся, можно сказать, что, как и в любом другом классе, присутствуют отстающие по развитию от других сверстников ученики. Пронаблюдав за отстающими учениками, можно сказать, что решение комбинаторных задач под силу каждому ученику начальных классах, но при подборе задач должны учитываться возрастные и индивидуальные особенности младших школьников. При обучении комбинаторных задач должна соблюдаться этапность, для осуществления пропедевтики между начальной и средней школы. Комбинаторные задачи, связанные с жизненными ситуациями, смогут повысить показатель логической памяти и гибкости мышления.

Связь комбинаторных задач с программным содержанием может повысить эффективность проведения уроков по математики, если их включать систематически, но при этом урок не должен быть перегружен дополнительной информацией.

Заключение дипломной работы

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные задачи, составленные на жизненном материале, помогают младшим школьникам лучше ориентироваться в окружающем мире, учат рассматривать все имеющиеся возможности и делать оптимальный выбор. В тоже время применение изучаемых знаний и умений при решении комбинаторных задач позволяет совершенствовать программный материал в процессе его использования в новых условиях.

Задача учителя - научить решать комбинаторные задачи, для развития логических способностей, умения анализировать.

На основе проведенного мной эксперимента можно сказать, что комбинаторные задачи органично вписываются в программное содержание курса математики, их можно решать на уроках математики и связывать с темой урока, не перегружая дополнительной информацией. Также комбинаторные задачи можно использовать во внеурочной деятельности.

Анализ учебников математики показал, что комбинаторные задачи встречаются во всех просмотренных мной учебниках, как правило, в учебниках они встречаются в хаотичном порядке и отмечены как задачи «повышенной трудности».

Систематичное и регулярное использование комбинаторных задач на уроках математики повысит эффективность учебного процесса. С помощью комбинаторных задач, ученики научатся самостоятельно находить пути решения различных проблем, научатся рассуждать четко, логично и последовательно. При решении комбинаторных задач формируются такие мыслительные процессы, как анализ, синтез, сравнение, классификация, абстрагирование. Решение комбинаторных задач способствуют развитию логического и критического мышления.

Решение комбинаторных задач способствует развитию индивидуальных качеств мышления, в том числе такого качества гибкость, вариативность, изобретательность.

Комбинаторные задачи должны подбираться с учетом возрастных особенностей учащихся, методы решения комбинаторных задач вводятся по нарастающей траектории от простого к сложному.

Мы можем это видеть на примере методической разработки комбинаторных задач в начальной школе Истоминой Н.Б, Виноградовой Е.П., Редько З.П.

Данная методическая программа разработана с учетом возрастных особенностей учащихся, присутствует реализация преемственности между различными ступенями обучения.

В начальной школе комбинаторные задачи решаются без использования специальных формул, то есть неформальными методами и рассматриваются 3 вида комбинаций: размещение, сочетания и перестановки.

Методы решения комбинаторных задач в начальной школе: 1.метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления);

2.табличный метод (все условия вносятся в таблицу, в ней же выполняется решение); 3.построение дерева возможных вариантов решений;

4.построение граф - схемы.

В первом и во втором классе комбинаторные задачи решаются методом перебора и при помощи таблиц, в третьем классе ученики строят дерево возможных вариантов и граф - схемы, что дает возможность использовать знакомые способы решения и понятия при изучении некоторых элементов теории вероятности в средней и основной школе.

Таким образом, решение комбинаторных задач позволяет расширить знания младших школьниках о видах задач и способах их решений на основе использования различных моделей: таблицы, граф - схемы, дерева возможных вариантов.

Включение таких задач в учебный процесс необходимо для лучшего усвоения программных знаний и умений, которые применяются в новых условиях при решении комбинаторных задач, а также помогут ученикам в решении жизненных ситуаций, при построении моделей для поиска вариантов их решения.

Способ перебора (хаотичного и системного) позволяет детям решать комбинаторные задачи, опираясь на имеющийся у них опыт, на предметно-действенное и наглядно- образное мышление.

Список литературы

1. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. 1 класс: учебник в 2ч. - М.: Издательство «Астрель»2011г.

2. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. 2 класс: учебник в 2ч. - М.: Издательство «Астрель»2012г.

3. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. 3 класс: учебник в 2ч. - М.: Издательство «Астрель»2009г.

4. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. 4 класс: учебник в 2ч. - М.: Издательство «Астрель»2009г.

5. Блонский П.П. Избранные педагогические и психологические сочинения. Т.2. - М., 1979

6. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика.- М.: Наука, 1975.:6-18с.

7. Виноградова Е.П. Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы, дис. 2003 год-30 с.

8. Выготский Л.С. Педагогическая психология. - М., 1991 10.Выготский, Л. С. Мышление и речь / Л.С. Выготский - М: АСТ, 2005.

10. Гнеденко Б. В. Математика в современном мире и математическое образование // Математика в школе.- 1991.- № 1 .-С. 2-4.

11 .Гоноболин Ф.Н. "Психология". Издательство "Просвещение", М., 1973г. Стойлова Л.П Способы решения комбинаторных задач // Нач. шк. 1994г.

12 .Дограшвили А. Я. Формирование у учащихся умений и навыков решения комбинаторных и вероятностных задач при обучении математике в восьмилетней школе.- Тбилиси, 1976.- 30 с

13 .Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. 1990г.

14 .Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н.,Бука Т.Б./ Математика 1-4 классы в двух частях. Издательство «Просвещение» 2015г.

15 .Дубровина И.В., Андреева А.Д., Данилова Е.Е. и др. Младший школьник: развитие познавательных способностей/ Пособие для учителя. -- М.: Просвещение, 2003

16 .Зак А.З. Занимательные задачи для развития мышления// Начальная школа. - 1985.

17 .Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. - М.: Просвещение, 1994. - 320с.

18 .Звонкин А.К. Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников / Рис. М. Ю. Панова. -- М.: МЦНМО, МИОО, 2006.

19 .Истомина Н.Б, Виноградова Е.П., Редько З.П. "Математика и информатика. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для 1-2 классов.

20 .Истомина Н.Б, Виноградова Е.П., Редько З.П. "Математика и информатика. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для 3 класса.

21 .Истомина Н.Б, Виноградова Е.П., Редько З.П. "Математика и информатика. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для 4 класса.

22 .Истомина Н.Б. Учебник для 1 класса общеобразовательных учреждений. В двух частях:112с.

23 .Колмогоров А.Н. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику Математика в школе. 1968г.

24. Колмогоров А.Н. К новым программам по математике Математика в школе 1968г.

25. Левитас Г.Г. Нестандартные задачи на уроках математики в 1 (2, 3, 4) классе. - М.: Илекса, 2003.

26. Люблинская А.А. Учителю о психологии младшего школьника. - М.: Просвещение, 1977. - 224с.

27. Останина Е. Е. Секреты великого комбинатора (Комбинаторика для детей): Пособие для уч. нач. школы. - М.: Просвещение, 2004.

28. Останина, Е.Е. Обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач // Обучение младших школьников решению текстовых

задач: Сборник статей / Сост. Н.Б. Истомина, Г.Г. Шмырева. - Смоленск: Изд-во «Ассоциация 21 век», 2005. -272 с.

29. Павленко Г.В. Сборник научных статей. - Владивосток: Дальневосточный федеральный университет, 2015 г.

30. Петерсон Л.Г. Математика "Учусь учиться". 1 класс. В 3 частях. М.: Издательство «Ювента», 2012г.

31. Петерсон Л.Г. Математика "Учусь учиться". 2 класс. В 3 частях. М.: Издательство «Ювента», 2012г.

32. Петерсон Л.Г. Математика "Учусь учиться". 3 класс. В 3 частях. М.: Издательство «Ювента», 2013г.

33. Петерсон Л.Г. Математика "Учусь учиться". 4 класс. В 3 частях. М.: Издательство «Ювента», 2013г.

34. Петерсон Л.Г. Математика. 1класс. - М.: Издательство «Ювента», 2005.. - (программа: «Школа 2000»).

35. Пиаже Ж. Речь и мышление ребенка / Сост., новая ред. пер. с фр., коммент. Вал. А. Лукова, Вл. А. Лукова. - М. : Педагогика-Пресс, 1994.

36. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. - М., 1958 37. Рудницкая Н.В.,Юдачева Т.В./ Математика: 4 класс в 2ч. .- М.: Вентана - Граф, 2010г.

38. Смирнов А.А. Избранные психологические труды: В 2 т. - Т.1: Психология ребенка и подростка. - М., 1987

39. Теплов Б.М. Практическое мышление// Хрестоматия по общей психологии: Психология мышления. - М.: МГУ, 1981

40. Ушинский К. Д. Первые уроки логики, // Собр. соч. М.-Л, 1948 41.Чекин А.Л. Математика. 1-4 класс: Методическое пособие для учителя.-- М.: Академкнига/Учебник, 2010г.

41. Чекин А.Л. Математика.2 класс: учебник в 2ч. - М.: "Академкнига/Учебник", 2011г.

42. Эльконин Д.Б. Психология обучения младшего школьника - М.: Просвещение, 1974. - 198с.

Размещено на Allbest.ur