Методика организации курса по выбору "Магические геометрические фигуры" для обучающихся основной ступени общего образования

В XI в. магические квадраты появились в Индии, а затем в Японии, где в XVI в. им была посвящена обширная литература. По-видимому, первое сочинение о магических квадратах, дошедшее до наших дней, было написано византийским грамматистом и лексикографом Мануэлем Мосхопулосом (примерно 1300 г). Он опубликовал многие построенные им Магические квадраты с разным числом клеток в основании. Там были и нечетные квадраты и кратные четырем. Данная работа была первым специальным сочинением о магических квадратах.

В Европе магический квадрат впервые был опубликован во II веке н.э. греческим математиком Теоном Смирнским в его книге: «Что нужно знать из математики, чтоб понимать Платона», это был квадрат девятого порядка. Так как данный труд является комментарием к математическим рассуждениям Платона, то можно сделать вывод, что магический квадрат был известен грекам еще во времена Платона, то есть в IV веке до н.э.[47]

Первым сочинением о магических квадратах, написанным в Западной Европе, был германский манускрипт XV в. В нем описан квадрат с пятью клетками в основании.

За работой Мосхопулоса последовали труды сотен математиков, в том числе крупнейших ученых, основоположников современной науки (Гаусс, Эйлер, Ферма).

С XIV века появились обобщения магических квадратов. В это время ученые начинают создавать магические многоугольники, окружности, кресты, звезды, кубы, параллелепипеды, пучки и т.д.

В начале XVI в. магический квадрат был увековечен в искусстве. Знаменитый немецкий художник и гравёр Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 г. гравюру, названную им «Меланхолия» (рис. 2). На заднем плане гравюры, над фигурой крылатой женщины в одежде горожанки, помещен магический квадрат 4Ч4 клетки, а два средних числа его нижней строки (15 и 14) изображают год - 1514, в котором была создана эта гравюра. Возможно, что Дюрер, положив в основу именно эти числа, нашел остальные методом проб и ошибок.[42]



Рис. 2

Позже немецкий математик Штифель в своем сочинении «Полная арифметика» открыл факт, что в некоторых магических квадратах может быть выделена средняя часть, которая также является магическим квадратом. Данная работа стала первым случаем анализа математической формы магических квадратов.

Стоит отметить, что о магических квадратах писали такие великие математики, как Френикль, Паскаль, Ферма, Арно. Появились сочинения с примерами анализа математической формы квадратов, способы их составления, расчеты количества магических квадратов. Их работы положили начало новой жизни магических квадратов. С этого времени сочинения о магических квадратах теряют характер математических развлечений. Теория магических квадратов начинает развиваться одновременно с развитием общей теорией чисел и становится ее ответвлением.

В 1624 г. в Лионе была напечатана книга Баше - «Задачи забавные и сладостные, кои совершаются в числах». Именно в этот момент появились способы составления магических квадратов, имеющих 10, 11, и 12 клеток в основании.[12]

В это же время французским академиком Бернаром Френиклем де Бесси было написано сочинение «Общая таблица магических квадратов в четыре»(клетки в основании.), где автор привёл все 880 магических квадратов четвёртого порядка. Таблица занимает 43 страницы книги. Трудно представить себе, сколько времени заняла у Френикля эта работа.

В 1705 г. в Париже было издано сочинение Филиппа де Лягира «Новые начертания и соображения о магических квадратах с их демонстрацией. Начертания магических квадратов при четном числе клеток в основании». Эта работа особенно интересна тем, что в ней Лягир впервые рассмотрел и описал особый тип магического квадрата, который он назвал «панмагическим». В нем содержится наибольшее число равных сумм чисел. Это магический квадрат, в котором с константой совпадают также суммы чисел по ломаным диагоналям (см. опр. 9) в обоих направлениях.[12]

Существует всего три таких квадрата 4Ч4 (рис. 3).

Рис. 3

В дальнейшем квадраты этого типа называли, также, «дьявольскими», «сатанинскими», «чертовскими». Современные авторы называют такие квадраты «совершенными».

Есть еще один магический квадрат - Квадрат Франклина, не менее интересный, чем дьявольский. Выдающийся американский масон, ученый, общественный деятель и дипломат Бенджамин Франклин составил квадрат 16Ч16 (рис. 4),который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4Ч4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же - 2056.[42]



Рис. 4

В конце девятнадцатого века появляются работы отечественных ученых. В 1884 г. в Петербурге вышла книга инженера М. Фролова «Задачи Эйлера и магические квадраты». Также о магических квадратах писали такие русские ученые, как И. Износков, В.П. Ермаков, Я.В. Успенский, Б.А. Кордемский.

Начало двадцатого века особенно богато работами о магических квадратах. Для их анализа используется глубоко разработанная к этому времени теория чисел. В частности теория сравнения. Применяются десятки хитроумных способов составления магических квадратов. Анализ квадратов расширяется и углубляется: рассчитываются магические кубы, анализируются численные линии, плоскости, пространства трех и более измерений. Рассматриваются магические квадраты не с суммами, а с произведениями чисел, квадраты у которых суммы степеней чисел оказываются равными.

Интересным фактом истории является следующее событие. В 1917 г. на франко-германском фронте, унтер-офицер Франц Буль, занимаясь мародерством на поле боя, нашел в кармане убитого солдата-индуса длинную полоску плотной бумаги, которая была исписана квадратами, разделенными на клетки, заполненными арабской вязью (рис. 5). Он передал эту полоску немецкому профессору, который занимался магическими квадратами. Скорее всего, полоска содержала талисман, не спасший, однако, его обладателя от смерти.

Рис. 5

Магический квадрат можно встретить и в архитектуре, так на стенах собора Святого семейства в Испании помещен квадрат размера 4Ч4(рис. 6), магическая константа которого равна 33, то есть возрасту Иисуса Христа на момент смерти. Однако данный магический квадрат не является нормальным (см. опр. 8), так как в нем повторяются некоторые числа.[22]

Рис. 6

В современном мире к магическим квадратам также существует большой интерес. И в данном случае мы не можем не согласиться с А. Обри, который говорил о том, что «…Ценность теории определяется не только возможностью ее практического использования, для какого она разработана, но также ее способностью воспитывать наш ум, доставлять ему питание, поддерживающее его жизнь, везде отыскивать новые истины и выяснять их значение без помощи извне. С этой точки зрения изучение магических квадратов, не требуя глубоких знаний, представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания, симметрии, классификации, обобщения и т. д. Можно сказать, что эта умственная гимнастика включает тонкие теоретические построения, занимаясь которыми упражняется ум».

Магические квадраты известны человечеству уже на протяжении нескольких тысячелетий, они оказывали существенное влияние на культуру, науку и верования многих народов мира. История магических квадратов тесно связана с развитием науки. Но если в давние века интерес к ним был связан с тайной и мистикой, то в современном мире квадраты интересны больше с практической точки зрения. Магические квадраты обладают естественной красотой, они наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн.

Изучение темы начнем с рассмотрения видов магических квадратов и их элементов.

Определение 1. Числовым квадратом порядка n, где n-- некоторое положительное целое число, мы будем называть квадрат, разбитый на 2 клеток, в которых размещены (в некотором порядке) натуральные числа от 1 до 2.

Определение 2. Числовой квадрат мы будем называть магическим, если суммы, получаемые от сложения чисел в каждой строке, в каждом столбце и в обеих диагоналях, одинаковы. [43]

Определение 3. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка.

В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел.

Определение 4. Сумма S чисел в магическом квадрате, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется константой квадрата или магической постоянной квадрата.

Определение 5. Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями (такие диагонали образуют заштрихованные клетки).

Рис. 7

Определение 6. Ломанная диагональ - это два диагональных ряда такой длины, что в квадрате сумма клеток в них равна n. Оба ряда находятся по разные стороны от параллельной им главной диагонали квадрата (например, рассмотрим квадрат 4 Ч 4(3 Ч 3), такую диагональ образуют 4(3) помеченные клетки).[12]

Рис. 8

Определение 7. Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b.

Нечетный порядок: Четный порядок:

Рис. 9

На сегодняшний день известны следующие магические квадраты:[12] Определение 8. Нормальный - магический квадрат, заполненный последовательными натуральными числами от 1 до 2.

Рис. 10

Существенные признаки для квадрата 3 Ч 3:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрат вписаны последовательно числа от 1 до 32

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна: 3 (9+ 1) = 15.

Существенные признаки для квадрата 4 Ч 4:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрат вписаны последовательно числа от 1 до 42.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна: 4 (16 +1 ) = 34.

Примечание. Второй существенный признак будем писать без пояснений, если выполняется для всех строк, диагоналей, столбцов.

Определение 9. Нетрадиционный - это магический квадрат, заполненный любыми натуральными числами, то есть не обязательно последовательными.

Рис. 11

Существенные признаки:

1. Натуральные не последовательные числа.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна 102: 6 + 19 + 32 + 45 = 9 + 20 + 31 + 42 = 6 + 33 + 21 + 42 = 44 + 19 + 31 + 8 = 43 + 20 + 32 + 7 = 9 + 30 + 18 +45 = 6 + 44 + 43 + 9 = 33 + 19 + 20 + 30 = 21 + 31 + 32 + 18 = 42 + 8 +7 + 45 = 102. (Так как числа не последовательные, то по формуле вычислить константу нельзя)

Например, квадрат, заполненный простыми числами:

Рис. 12

Существенные признаки:

1. Натуральные не последовательные числа.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна 111.

Или магический квадрат, заполненный нечетными числами:

Рис. 13

Существенные признаки:

1. Натуральные не последовательные числа.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна 125.

Определение 10. Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до 2, называется полумагическим, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна константе, а по диагоналям это условие не выполняется.



Рис. 14

Существенные признаки квадрата:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрат вписаны последовательно числа от 1 до 82.

2. Константа только по столбцам и строкам равняется одному и тому же числу. Константа равна: 8( 64+ 1) = 260.

Определение 11. Aссоциативный, или симметричный магический квадрат - это нормальный магический квадрат, с дополнительным признаком: сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу.

Рис. 15

Существенные признаки квадрата:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрате вписаны последовательно числа от 1 до 52.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу.

3. Сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна 26.

Определение 12. Пандиагональный (дьявольский) магический квадрат - такой, в котором с константой (см. опр. 3) совпадают также суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направления.[53]

Рис. 16

Существенные признаки:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрате вписаны последовательно числа от 1 до 42.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу.

3. Суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направления равны

Определение 13. Идеальный - магический квадрат, который одновремен пандиагональный (см. опр. 10)

1) ассоциативный (см. опр. 9).



Рис. 17

Существенные признаки квадрата:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрате вписаны последовательно числа от 1 до 52.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу.

3. Сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна 26.

4. Суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направления равны 65.

Определение 14. Совершенный - магический пандиагональный квадрат порядка 4k, обладающий дополнительными свойствами.

Рассмотрим, например, свойства совершенных квадратов четвёртого порядка:

Свойство 1. Сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри совершенного квадрата четвёртого порядка, равна магической постоянной квадрата.

Например:

Рис. 18

Существенные признаки:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрате вписаны последовательно числа от 1 до 42.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна: 4( 16+ 1) = 34.

3. Сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри квадрата, равна 34.

Таких квадратов 2х2 в квадрате четвёртого порядка 9 штук. Посчитайте сумму чисел в любом таком квадрате, она равна магической константе квадрата - 34.

Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках совершенного квадрата четвёртого порядка равна магической константе квадрата.

Например:

Рис. 19

Свойство 3. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках любого квадрата 3х3, находящегося внутри совершенного квадрата четвёртого порядка, равна магической константе квадрата.

Например:



Рис. 20

Замечание: в квадрате четвёртого порядка находятся 4 квадрата 3х3. Вот, например, сумма чисел в угловых ячейках одного из таких квадратов:

4 + 11+ 13 + 6 = 34

Свойство 4. Если в совершенный квадрат четвёртого порядка вписать квадрат 2х2 с вершинами в серединах сторон совершенного квадрата, то сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата.

Например:

Рис. 21

Свойство 5. В каждой строке совершенного квадрата четвёртого порядка есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S1, и другая пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S2, так что S1 + S2 =S (магическая постоянная квадрата).

Например:



Рис. 22

В квадрате, в каждой строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и другая пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 19. При этом пара чисел с суммой 15 в первой строке находится в начале строки, во второй строке - в конце строки, в третьей строке снова в начале строки и в четвёртой строке - в конце строки. Аналогично чередуется и расположение пары чисел с суммой 19.

Свойство 6. В каждом столбце совершенного квадрата четвёртого порядка есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S3, и другая пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S4, так что S3 + S4 = S.

Например:

Рис. 23

Пары чисел с суммами S3 и S4 точно так же расположены попеременно то в начале, то в конце столбца.

Свойство 7. В совершенном квадрате четвёртого порядка суммы квадратов чисел в первой и третьей (а также во второй и четвёртой) строках равны.

Например:

Рис. 24

Свойство 8. В совершенном квадрате четвёртого порядка суммы квадратов чисел в первом и третьем (а также во втором и четвёртом) столбцах равны.

Например:

Рис. 25

Свойство 9. В совершенном квадрате четвёртого порядка на диагоналях как самого квадрата, так и любого квадрата 3х3, находящегося внутри него, сумма двух чисел, разделённых третьим числом, равна 2 + 1 = 16 + 1 = 17.

Например:



Рис. 26

Определение 15. Латинский квадрат порядка n состоит из n различных элементов, каждый из которых встречается n раз, а все вместе они образуют квадратную таблицу, при этом каждая строка и каждый столбец таблицы - это перестановка из данных n элементов. Если в качестве элементов взяты последовательные числа от 1 до n, то будет получен частный вид латинского квадрата.[6]

Рис. 27

Латинским этот квадрат называется из-за обозначения элементов латинскими буквами, хотя удобнее обозначать эти элементы натуральными числами от 1 до n.

Существенные признаки квадрата:

1. Натуральные последовательные числа, количество которых зависит от порядка квадрата.

2. Константа по столбцам, строкам равняется одному и тому же числу. Например:



Рис. 28

1. Порядок n=4.

2. Количество чисел 4. 3. S=1+2+3+4=10.

Разновидностью латинских квадратов является судоку. Классическая судоку - это квадрат 9x9 клеток, разделённый на меньшие квадраты со стороной в 3 клетки. Изначально в некоторых клетках уже установлены цифры (от 1 до 9). Цель игры в том чтобы заполнить пустые клетки цифрами от 1 до 9. При этом в каждой строке, в каждом столбце и в каждом малом квадрате 3x3 цифры не должны повторяться. Правильно составленная головоломка имеет только одно единственное решение.[23]

Рис. 29

В связи с тем, что правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата, уточним виды квадратов с учетом их порядка.

Определение 16. Нечётный магический квадрат - это квадрат состоящий из нечетного числа клеток.

Определение 17. Четно-четный квадрат - это квадрат порядка, кратного четырем: n=4k, (k=1,2,3…).

Определение 18. Четно-нечетный магический квадрат - это квадрат, четного порядка, не кратного четырем: n=4k+2, (k=1,2,3…).[27]

Самый маленький квадрат - это квадрат второго порядка, однако магических квадратов данного порядка не существует. Квадрат размером 2Ч2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная была бы равна 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать не возможно! Так как таких комбинаций всего две: 1+4 и 2+3. Поэтому расставляя числа всеми возможными способами в клетках таблицы, мы побудем получать сумму равную пяти лишь в двух строках или столбцах или диагоналях, но никак не одновременно.

Следующий квадрат порядка 3. Существует единственный такой магический квадрат, потому что остальные магические квадраты 3Ч3 получаются из него перестановкой строк или столбцов, либо путем поворота исходного квадрата на 90 или на 180.

2.2 Применение магических геометрических фигур

Применение магических геометрических фигур в настоящее время не ограничивается головоломками и уроками математики.

Наиболее широкое применение из всех магических фигур получили магические квадраты, именно поэтому в курсе по выбору наибольшее внимание уделяется их построению.

Современное общество живет в информационном веке, и вопрос о защите информации является сегодня одним из самых обсуждаемых и актуальных. Именно поэтому стоит отметить, что магические квадраты широко используются при кодировании информации. Для использования магических квадратов в криптографии, необходимо сначала создать алгоритм их заполнения. Применение алгоритмов заполнения магических квадратов помогает решать некоторые проблемы криптографии, однако, существуют лишь некоторые частные алгоритмы заполнения магических квадратов, а общего алгоритма заполнения для любых типов магических квадратов не существует. Сегодня используются специальные компьютерные программы для шифрования и дешифрования текста с помощью магических квадратов. Существуют программные коды для генерации магических квадратов. К тому же магические квадраты применимы и в программировании, чаще всего это задачи на создание алгоритмов заполнения магических квадратов. Именно поэтому умение строить магические квадраты будет весьма актуально и интересно учащимся.

Если рассмотреть применение магических квадратов со стороны развлекательной индустрии, то тут стоит отметить магический квадрат третьего порядка, который можно встретить на палубах больших пассажирских судов. Это площадка для игры в палубный шаффлборд, также известный как палубный бильярд (рис. 1). Это игра на размеченном корте с использованием киев и шайб. На игровой площадке, на расстоянии девяти метров друг от друга расположены две зачетные зоны эллипсоидной формы. Центральная часть представляет собой магический квадрат третьего порядка. В зависимости от того куда попадет шайба, каждая клетка приносит от одного до девяти очков. Если шайба, остановится в дальнем от игрока полукруге, то он получит десять очков, а попадание в ближний полукруг будет стоить ему десяти штрафных очков.

Рис. 30. Поле для игры в шаффлборд

Наиболее популярное применение магических квадратов в сфере развлечений - это известная всем головоломка, занимающая одно из первых мест среди математических кроссвордов - судоку. Еще известнейший швейцарский математик Леонард Эйлер выявил тот факт, что в квадрате размером 9 Ч 9 каждый столбец и каждую строку можно заполнить цифрами от 1 до 9 в определенном порядке и при этом без повторений. Позже Гарвард Гарис добавил одно дополнительное ограничение такое, что в каждом внутреннем квадрате размера 3 Ч 3, цифры также не должны повторяться. Головоломка была опубликована в журнале в Японии в 1984 году и позже получила распространение по всему миру.

Рис. 31. Судоку

Магические квадраты широко применяются и в нумерологии. Так, например, великий философ и ученый Пифагор считал, что всем на свете управляют числа. Он говорил о том, что сущность человека заключается так же в числе, а точнее в его дате рождения. Им был создан способ построения квадрата, по которому можно узнать характер человека, особенности его здоровья, его сильные стороны, распознать достоинства и недостатки, и благодаря этому выяснить, что необходимо человеку изменить в себе, чтобы приблизиться к идеалу. Однако стоит отметить, что магический квадрат Пифагора - это не есть магический квадрат в традиционном его понятии, в нем не выполняются существенные признаки, а назван он так скорее из-за своих магических свойств в области психологии, и благодаря тому, что идет работа лишь с цифрами даты рождения человека, а в итоге с его помощью можно узнать многое о его характере. Раньше магический квадрат Пифагора люди создавали сами для себя, вручную осуществляя нужные подсчеты. Сегодня существуют специальные программы, где вводится дата рождения и вам сразу выдается готовый магический квадрат. Однако интереснее самим составлять себе магический квадрат Пифагора и посмотреть насколько точно совпадут его значения с чертами характера человека. Так же магические квадраты часто использовали как талисманы и носили их с собой как обереги, которые никому нельзя было показывать.

Весьма интересен тот факт, что ходы шахматных фигур и их расстановка находятся в явном соответствии с математическими свойствами магического квадрата. Магический квадрат родил шахматные фигуры и их ходы, он установил количество фигур и расстановку, т.е. создал материал шахматного искусства, однако общие правила игры никакого отношения к квадрату не имеют.

При изучении истории создания шахмат, было обнаружено, что в ходе создания данной игры были рассмотрены магические квадраты 8-го порядка, имеющие константу не только по вертикальным, горизонтальным и диагональным рядам, но и по дополнительным скрытым рядам (ломаным). Именно по этим скрытым рядам и ходят шахматные фигуры.

Почему же был взят квадрат с 64 клетками? Это объясняется тем, что в Индии число 4 было в почете и имело особое значение, а возведенное в куб, т.е. 64 считалось мистическим.

Принцип хода каждой фигуры заключен в многочисленных скрытых магических ломанных. Приведем пример движения самого необъяснимого хода, хода коня, причем не с первоначального места, а с любой точки поля.



Рис. 34

Рассмотрим один из вариантов для хода коня. Фигура последовательно двигается по следующим ячейкам: a1-b3,b3-c1,c1-d3,d3-e1,e1-f3,f3-g1,g1-h3. Таким образом, можно заметить, что по данному ходу образовалась ломаная и, если мы сложим числа по этой линии, то получим константу данного квадрата: 29+51+31+49+40+10+38+12=260. Существую и другие примеры хода коня, которые образуют подобные ряды:

Если начертить некоторые ломаные с этими ходами, то они могут напоминать стихийные явления - молнии, волны и др.[47]



Рис. 35

Рис. 36. Ломаные, образованные ходом коня

Латинские квадраты - это частный случай магических квадратов (см. опр. 15), они получили широкое распространение и применение во многих областях жизни. Например, в комбинаторике полные системы ортогональных латинских квадратов соответствуют конечным аффинным и проективным плоскостям. Латинские квадраты используются при построении сеточных методов интегрирования в вычислительной математике, и при построение кодов, исправляющих ошибки, в кодировании информации. К тому же таблица умножения элементов конечной группы есть латинский квадрат. Так же как и магические квадраты, латинские квадраты используются в сфере развлечений, так на турнирах игры в бридж их применяют при построении квадратов Рума.[20] Стоит отметить, что латинские квадраты нашли свое применение в сельском хозяйстве. Известный статистик Роналд Э. Фишер с помощью квадратов совершил переворот в сельском хозяйстве, применив их при планировании сельскохозяйственных экспериментов. [29]

Магические фигуры можно встретить в разных областях жизни человека, они послужили причиной появления многих интересных изобретений и не перестают быть полезными и по сегодняшний день.

К сожалению, до сих пор еще не был придуман, общий способ построения всех магических квадратов, хотя сегодня, в связи с техническим прогрессом, существует много компьютерных программ по созданию магических квадратов, но все же универсальной программы пока не изобрели, поэтому широко применяются различные способы построения квадратов, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

Изучая магические квадраты необходимо различать квадраты с четным и нечетным числом клеток, так как способы построения тех и других различны. Для нечетных квадратов способы построения считаются проще и изящнее. Именно поэтому сначала речь пойдет о способах построения квадратов нечетного порядка.

Индийский способ построения.

Один из самых известных способов построения квадратов нечетного порядка- это Индийский способ, так же он является самым древним.

Построим магический квадрат данным способом и опишем основные

правила:

1. Числа от 1 до 2 поочередно вписываются в клетки основного квадрата. Построим, например, квадрат третьего порядка, то есть при n=3.

Замечание: Клетки магического квадрата порядка п мы будем обозначать парами целых чисел (х, у)-- их координатами, где х -- номер вертикального ряда, а у -- номер горизонтального ряда, на пересечении которых находится данная клетка . При этом вертикальные ряды мы нумеруем слева направо, а горизонтальные--снизу вверх. В качестве номеров мы будем использовать числа: 0, 1, . . . , n-1 [43].



Рис. 37

2. Число 1 вписывается в среднюю клетку верхнего ряда, т.е. в клетку с координатами (1;2).

Рис. 38

3. Если число z (т.е. 1) вписано в клетку с координатами (x; y), где координаты клеток в квадрате (т. е. (1; 2)), то следующее число z + 1( т. е. 2) вписывается в клетку с координатами (x + 1; y + 1), (сдвигаем вправо на клетку и вверх на клетку) т.е. в клетку, смежную с клеткой (x; y), в направлении восходящей диагонали(т.е. диагонали из левого нижнего угла в верхний правый), при условии, что эта последняя клетка еще свободна от числа.



Рис. 39

4. Если число вписывается в клетку, выходящую за пределы основного квадрата, то вместо этого рассматриваемое число переносится в эквивалентную клетку основного квадрата (то есть клетку, которая будет совпадать с заполненной нами клеткой, если мы разместим такой же квадрат по одну из сторон или на углу исходного квадрата(такие клетки заштрихованы на рисунке). Эквивалентные квадраты при наложении совпадают.

Рис. 40

Далее действуем аналогично пунктам 3,4:

Число 3 выписываем на одну клетку вправо и на одну вверх от числа 2 в исходном квадрате, однако число выходит за пределы квадрата, поэтому переносим его в эквивалентную ячейку внутри квадрата.

Рис. 41

5. Далее вписываем число 4,по правилу пункта 3, однако оно попадает в занятую ячейку цифрой 1, в таком случае мы вписываем число под цифрой 3, то есть в этом же ряду и на одну ячейку ниже. То есть если клетка (x + 1; y + (т.е. (1;2))уже занята некоторым числом (числом 2), то число z + 1 ( т. е. 4) вписывается в клетку с координатами(x; y ? 1)(т. е. (0; 0)), т.е. в клетку, непосредственно примыкающую снизу к клетке (x; y).[43]

Рис. 42

Затем по правилу пунктов 3,4,5 достраиваем квадрат.

Обратим внимание на число 7. По правилу 3 помещаем его на одну клетку вверх и вправо. Далее переносим в эквивалентную клетку основного квадрата, так как число вышло за его пределы. Однако, эквивалентная клетка занята, поэтому мы выписываем число 7 по правилу 5 , то есть в клетку, находящуюся под числом 6.

Числа 8 и 9 записываются по правилам 3 и 4.

Рис. 43

В получившемся квадрате выполняются существенные признаки:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрате вписаны последовательно числа от 1 до 32.

2. Константа по столбцам, строкам равняется одному и тому же числу.

Константа равна: 3(9 +1 ) = 15.

Таким образом, мы построили магический квадрат третьего порядка.

Способ Москопула.

Следующий способ - это способ византийского ученого Москопула, который подобно индийскому способу, представляет собой механический прием заполнения клеток магического квадрата. Порядок заполнения клеток по этому способу следующий:

1. Числа от 1 до ?2 поочередно вписываются в клетки основного квадрата. Если порядок квадрата n не кратен 3, то число 1 вписывается в любую ячейку квадрата; если порядок квадрата n кратен 3, то число 1 вписывается в среднюю клетку горизонтального ряда, т.е. клетка с координатами (m, 0). Рассмотрим сначала квадрат порядка не кратного 3, например порядка 5. Поэтому мы выписываем число 1 в любую клетку.

Рис. 44

2. Число 1 вписано в клетку с координатами (1;1), далее число 2 вписывается в ячейку на две строки выше и на один столбец правее. То есть, если некоторое число z (т.е. 1) вписано в клетку с координатами (x;y) (т.е. (1;1)), то число z+1 (т.е. 2) вписывается в клетку с координатами (x+1;y+2) (т.е. (2;3)), то есть вписываем числа в естественном порядке, двигаясь ходом шахматного коня вверх и направо, при условии, что эта клетка еще свободна от чисел.

По данному правилу вписываем число 2.

Рис. 45

3. Если мы вписываем данное число по правилу 2 в клетку, лежащую вне основного квадрата (т.е. число 3), то вместо этого рассматриваемое число вписывается в эквивалентную клетку основного квадрата, то есть клетку, которая будет совпадать с заполненной нами клеткой, если мы разместим такой же квадрат по одну из сторон или на углу исходного квадрата(такие клетки заштрихованы на рисунке (эквивалентные квадраты при наложении совпадают).

Рис. 46

Число 4 выписываем по правилу пункта 3.

Рис. 47

Число 5 вписываем по правилу пункта 2 .



Рис. 48

4. Далее вписываем по правилу пункта 2 число 6 в ячейку, выходящую за пределы квадрата, поэтому переносим его в эквивалентную клетку квадрата. Однако данная ячейка уже занята числом 1, тогда мы вписываем 6 в ячейку этого же ряда, но на 4 строки выше. А за тем переносим его в эквивалентную клетку. То есть если клетка с координатами (x+1;y+2) (т.е. (2;3)) уже занята некоторым числом (т.е. 1), то число z+1 (т.е. 6) вписывается в клетку с координатами (x;y+4), т.е. в клетку, расположенную в том же вертикальном ряду, что и клетка с числом z ( т.е. 5), но находящуюся на четыре клетки выше. Далее по правилу 3 переносим наше число в эквивалентную клетку. [43]

Рис. 49

5. Число 7 выписываем согласно пункту 2, однако число выходит за пределы квадрата, поэтому переносим его в эквивалентную ячейку внутри квадрата. Числа 8, 9 выписываем согласно пункту 2.

Рис. 50

Число 10 выписываем согласно пункту 2, однако число выходит за пределы квадрата, поэтому переносим его в эквивалентную ячейку внутри квадрата. Число 11 выписываем согласно пункту 2, однако число выходит за пределы квадрата, поэтому переносим его также в эквивалентную ячейку внутри квадрата, но данная ячейка занята 6. Далее, действуя по правилам, мы возвращаемся к ячейке с цифрой 10 и записываем число 11в клетку, расположенную в том же вертикальном ряду, что и клетка с числом 10, но находящуюся на четыре клетки выше. Она выходит за пределы квадрата, поэтому переносим число 11 в эквивалентную клетку квадрата.



Рис. 51

Далее мы заполняем квадрат аналогично, тому как выписали первые 11 чисел.

Рис. 52

В получившемся квадрате выполняются существенные признаки:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрате вписаны последовательно числа от 1 до 52

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна: 5 (25 +1 ) = 65.

Заполнение клеток магического квадрата по данному алгоритму схож с порядком обегания клеток шахматной доски конем, в предположении, что конь постоянно восходит к верху и заворачивает свой путь направо. Именно поэтому данный способ также называют способом коня.[55]

Теперь рассмотрим квадрат прядка кратного 3. Например, квадрат порядка 3.

1. Числа от 1 до 2 поочередно вписываются в клетки основного квадрата. Так как порядок квадрата n кратен 3, то число 1 вписывается в середину нижней строки.

Рис. 53

2. Число 1 вписано в клетку с координатами (1;0). Далее число 2 вписывается в ячейку на две строки выше и на один столбец правее по правилу 2, в клетку с координатами (x + 1; y + 2) т. е. (2; 2).

3. Число 3 вписываем аналогично числу 2, однако оно выходит за пределы нашего квадрата, поэтому переносим его в эквивалентную клетку: то есть клетку, которая будет совпадать с заполненной нами клеткой, если мы разместим такой же квадрат по одну из сторон или на углу исходного квадрата(такие клетки заштрихованы на рисунке (эквивалентные квадраты при наложении совпадают).



Рис. 54

4. Переходим к числу 4, его вписываем по правилу номер 2 в ячейку, выходящую за пределы квадрата, поэтому переносим его в эквивалентную клетку квадрата. Однако данная ячейка уже занята числом 1, тогда мы вписываем 4 в ячейку того же ряда, где и 3, но на 4 строки выше. Она выходит за пределы квадрата, поэтому переносим число 4 в эквивалентную клетку квадрата.

Рис. 55

Далее мы заполняем квадрат аналогично, тому как выписали первые 4.

В получившемся квадрате выполняются существенные признаки:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрате вписаны последовательно числа от 1 до 32.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна: 3 (9+ 1) = 15.

На сегодняшний день способы построения магических квадратов четного порядка изучены намного меньше, чем способы построения магических квадратов с нечетным числом клеток. Все они требуют большего времени, кропотливой работы и внимательности. Основная идея построения таких квадратов, заключается в построение некого вспомогательного квадрата, состоящего из чисел 1,2,...n2, клетки которого в дальнейшем переставляются таким образом, чтобы в итоге получился магический квадрат. Все основные черты подобных способов мы можем рассмотреть в одном из основных способов построения магического квадрата четно-четного порядка (см. опр. 17), открытого английским математиком Уолтером Уильямом Раус-Боллом. В связи с этим мы рассмотрим только этот способ.

Способ Раус-Болла построения магического квадрата четно-четного порядка.

Для изучения способа Раус-Болла построим магический квадрат данным способом и опишем основные правила:

1. Числа от 1 до 2 поочередно вписываются в клетки основного квадрата, в порядке возрастания, начиная с левой верхней ячейки с координатами (1;0). Построим, например, квадрат четвертого порядка, то есть при n=4.

Рис. 56

2. Рассмотрим числа, находящиеся на главных диагоналях (см. опр. 5) квадрата и поменяем местами ячейки на этих диагоналях, расположенные взаимно симметрично относительно центра квадрата. Ячейки, через которые диагонали не прошли, оставляем без изменений. На главных диагоналях находятся восемь чисел, необходимо поменять местами взаимно симметричные : 1 и 16, 6 и 11, 7 и 10, 4 и 13. [27]

Рис. 57

3. Таким образом, получили новый магический квадрат:

Рис. 58

В получившемся квадрате выполняются существенные признаки:

1. Натуральные последовательные числа, в квадрате вписаны последовательно числа от 1 до 42.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна: 4 (16 +1 ) = 34.

Замечание: магический квадрат, также можно получить, поступив наоборот, то есть оставить на месте числа, через которые прошли главные диагонали, при этом поменять местами ячейки, не попавшие на главные диагонали и симметрично расположенные относительно центра квадрата: 2 и 15, 3 и 14, 5 и 12, 8 и 9.

Рис. 59

Однако если сравнить два полученных квадрата, мы увидим, что второй магический квадрат можно получить из первого поворотом на 180 градусов вокруг центра квадрата. Таким образом, строя магический квадрат способом РаусБолла, на втором этапе мы можем действовать любым из двух вариантов, так как в итоге получим один и тот же квадрат.

Если строить магический квадрат восьмого порядка с помощью способа Раус-Болла, то необходимо разделить квадрат на четыре равных квадрата 4 порядка и в них провести главные диагонали.

Рис. 60

А дальше действовать по правилам данного способа. Сначала меняем местами ячейки, находящиеся на главных диагоналях (см. опр. 5) квадрата, расположенные взаимно симметрично относительно центра квадрата, т.е. пары чисел: 1 и 64, 10 и 55, 19 и 46, 28 и 37, 8 и 57, 15 и 50, 22 и 43, 29 и 36. Следующим шагом необходимо поменять местами оставшиеся выделенные числа, образующие ромб и расположенные симметрично относительно центра заданного квадрата. Это значит, что в натуральном расположении чисел квадрата меняем местами остальные числа: 4 и 61, 5 и 60, 11 и 54, 14 и 51, 18 и 47, 23 и 42, 25 и 40, 32 и 33.

В итоге будет создан магический квадрат восьмого порядка:

Рис. 61

В созданном квадрате также выполняются существенные признаки:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрате вписаны последовательно числа от 1 до 82.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна: 8 (64 +1 ) = 260.

Способ «рамок» построения магических квадратов четно-нечетного порядка.

Рассмотрим теперь способ построения магических квадратов четнонечетного порядка n=4k+2 (см. опр. 18), их порядок четный, но не делится на 4. Это самые трудные для построения квадраты. Они изучены менее всего и для них не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных квадратов. Известны несколько способов построения магических квадратов четно-нечетного порядка, мы разберем один из них - способ «рамок», разработанный в 1544 году известным немецким математиком Михаилом Штифелем (1487 1567). Данным способом можно также строить и магические квадраты нечетного порядка.

Данный способ состоит в том, что сначала строится квадрат порядка n-2, где n -- некоторое положительное целое число, любым известным способом.

Далее полученный квадрат мы вставляем в рамку размера ? Ч ? так, чтобы с каждой стороны квадрата был один свободный столбец и свободная строка. Заполнив рамку подходящими числами, получаем магический квадрат порядка n. Таким образом можно получить из квадратов 4-го и 8-го порядков соответственно квадраты 6-го и 10-го порядков и т.д. Самое сложное в данном способе - это заполнить числами внешнюю рамку. Это можно сделать либо подбором чисел, либо средствами математики найти необходимое распределение чисел по клеткам рамки, но так чтобы выполнялись существенные признаки магического квадрата.

Перед тем как приступить к описанию алгоритма построения магического квадрата, необходимо уточнить следующее: иногда в математике для разных целей используется черта над числом, например, в алгебре логики она обозначает логическое отрицание, в геометрии так может обозначаться вектор, а в теории множеств - множество значений от a до b (1??,?5? - это будет множество чисел 1, 2, 3, 4, 5) и т.п. В описанном ниже предписании, данный знак будет применяться для того, чтобы отличать запись количества чисел от самих чисел.

То есть число с чертой полученное при расчете, например, 5? - будет обозначать количество чисел, которое необходимо подобрать, для заполнения квадрата, а не само число 5.

Рассмотрим основные правила построения магического квадрата по данному способу и составим квадрат 6-го порядка:

1. Необходимо построить магический квадрат порядка n-2, из чисел 1,2,…,(n-2)2, где n -- некоторое положительное целое число, любым известным способом. Возьмем готовый квадрат 4-го порядка, построенный нами способом Раус-Болла выше:

Рис. 62

2. Каждое число, построенного квадрата, нужно увеличить на величину h=2n-2. Прибавим к каждому числу квадрата h=2•6-2=10.[66]

Рис. 63

3. Получившийся квадрат порядка n-2 перенести в рамку, так чтобы с каждой стороны была одна свободная строка и один свободный столбец.



Рис. 64

4. Распределить числа 1, 2,…, 2n-2 и их дополнения до n2+1, так чтобы квадрат был магическим. Так как n=6, то 2n-2=10, тогда в рамку будем вносить числа: 1,2,3,…,10 и их дополнения до n2+1=37, то есть числа: 36, 35, 34, …, 27, так как мы составляем квадрат 6-го порядка из чисел: 1, 2, 3,…, 62.

Уточнение: расставляя числа, необходимо оставить свободными ячейки на противоположной стороне и в противоположном углу по диагонали.

Разместим найденные числа, сначала поставим 1 и 2 в левой и правой угловых ячейках вверху рамки:

Рис. 65

Теперь расставим оставшиеся числа: число 9 в соответствие с индексом должно располагаться в верхнем ряду, а числа 3, 4, 5 - в нижнем, слева должны стоять 6 и 10, справа 7 и 8,располагаем их произвольным образом в указанных рядах. Оставляя при этом свободными ячейки на противоположной стороне и в противоположном углу по диагонали.



Рис. 66

5. Расположив числа 1,2,…,2n-2, расставить их дополнения до n2+1 следующим образом: если число находится в угловой ячейке, то его дополнение до n2+1 помещаем в противоположный угол по диагонали, чтобы получить константу в главных диагоналях. По этой же причине, дополнения до n2+1 для чисел занимающих любую иную клетку рамки, ставим в том же столбце (в той же строке) на противоположной стороне рамки.[27]

Остальные ячейки рамки заполняем дополнениями до 37. Числа 1 и 2 находятся в угловых ячейках, поэтому их дополнения до 37, то есть числа 36 35 помещаем в противоположные углы по диагонали. Число 34 - это дополнение до 37 для числа 3, помещаем его в том же столбце на противоположной стороне рамки. Аналогично для чисел 33 и 32. Число 31 - это дополнение до 37 для 6, поэтому ставим его в той же строке на противоположной стороне рамки. Дополняем клетки рамки оставшимися числами: 30, 29,28.

В итоге будет создан магический квадрат шестого порядка:



Рис. 67

В созданном квадрате также выполняются существенные признаки:

1. Натуральные последовательные числа. В квадрате вписаны последовательно числа от 1 до 62.

2. Константа по столбцам, строкам и диагоналям равняется одному и тому же числу. Константа равна: 6 (36 +1 ) = 111.

Магические геометрические фигуры весьма разнообразны, ранее мы рассмотрели самые распространённые и наиболее известные из них - это магические квадраты. Ниже будут рассмотрены оставшиеся магические геометрические фигуры и остановимся подробнее на каждой из них.

Определение 1. Цифровая фигура называется магической, если числа, заполняющие ее, размещены так, что в каждом горизонтальном, вертикальном и диагональном ряду получается одна и та же сумма.

Существуют магические треугольники, квадраты, прямоугольники, шестиугольники, звезды и кольца. Треугольники можно рассматривать как учебное пособие для детей младших классов. Квадраты же находят свое применение в криптографии и отлично подходят для развития навыков программирования.

Магический треугольник.

Простейший многоугольник - это треугольник. Поэтому мы начнем рассматривать магические фигуры именно с него. К магическим треугольникам относятся треугольники двух видов: пустые и «уплотненные».

Рис. 68

Определение 2. Магическим треугольником - называется такой числовой правильный треугольник, в котором первые n натуральных чисел расположены в форме треугольника так, что образуется одна и та же сумма (магическая константа треугольника) вдоль каждой из его сторон.

Треугольник, сторона которого состоит из n чисел, называется магическим треугольником n-го порядка.

Главный минус пустого магического треугольника - числа стоят только по сторонам, в отличие от полностью заполненного квадрата. Поэтому появляется желание его "уплотнить", то есть заполнить пустоту внутри него числами, что приводит к различным вариантам так называемых «уплотненных» магических треугольников.

Треугольники такого вида имеют разные константы. Найдем основную из них, посчитав числа, расположенные по сторонам треугольника: S = 3 + 13 + 6 + 1 = 1 + 15 + 5 + 2 = 2 + 14 + 4 + 3 = 23. Теперь можно найти константу для числового треугольника находящегося во внутренней части исходного треугольника:



Рис. 69

S = 7 + 11 + 9 = 9 + 10 + 8 = 8 + 12 + 7 = 17.

«Уплотненный» треугольник имеет также и другие дополнительные константы.

1. По треугольникам, расположенным по углам исходного треугольника:

Рис. 70

S = 3 + 13 + 9 + 4 = 6 + 1 + 7 + 15 = 14 + 5 + 8 + 2 = 29,

2. По числам, находящимся в вершинах исходного треугольника и в его центре.

Рис. 71

S = 3 + 11 + 10 = 2 + 10 + 12 = 1 + 11 + 12 = 24,

3. По трем числам, находящимся во внутренней части исходного треугольника:

Рис. 72

S = 9 + 10 + 11 = 8 + 10 + 12 = 7 + 11 + 12 = 30.

Пока приемов построения магических треугольников не разработано, в

основу их построения положен подбор чисел, так чтобы выполнялись существенные признаки:

1. В треугольник помещены натуральные последовательные числа от1 до 15.

2. Константа вдоль каждой из сторон треугольника равна 23.

Магическая звезда.

Магическая звезда - одна из магических геометрических фигур, которая поражает своей красотой и необычностью.

Определение 3. Звезда с n углами называется магической традиционной, если натуральные числа от 1 до 2n размещены в ней так, что сумма четырех чисел на каждой линии одинакова.

Рис. 73

Пример шестиконечной магической звезды, где выполняются существенные признаки:

1. В магическую звезду вписаны натуральные последовательные числа от 1 до 12.

2. Сумма чисел, лежащих на каждой из шести прямых должна равняться константе, в данном случае 26.

В некоторых магических звездах можно выделить следующую особенность - числа, расположенные на вершинах звезды, в сумме образуют константу.

Каждое из 2n чисел (n - количество углов звезды) чисел находится одновременно на двух линиях, то есть все числа встречаются по 2 раза. Поэтому магическая константа равна удвоенной сумме всех чисел 2У2.

Было доказано [71], что 5-угольная звезда не может быть магической. То есть из первых 10 чисел нельзя выстроить 5 линий по 4 числа, сумма которых равна 22. При n> 5 формирование магических звезд уже возможно.[2]

Пока приемов построения магических звезд не разработано, в основу их построения положен подбор чисел, так чтобы выполнялись существенные признаки:

1. В звезду помещены натуральные последовательные числа.

2. Сумма чисел, лежащих на каждой из шести прямых должна равняться константе.

Магический прямоугольник.

Определение 4. Магическим прямоугольником называется такой числовой прямоугольник, в котором первые n натуральных чисел расположены так, что суммы чисел по всем строкам равны между собой и отдельно равны между собой суммы чисел по всем столбцам, т.е. у прямоугольника будет две магические константы, одна для строк, другая для столбцов.



Рис. 74

Магический прямоугольник разбит на квадратные клетки, причем количество таких клеток в строках и столбцах разное, поэтому мы не можем составить магический прямоугольник, в котором суммы по строкам и столбцам будут одинаковы. Таким образом, у магического прямоугольника существует две магические константы: одна по строкам, вторая по столбцам.

Теперь необходимо выяснить, как построить магический прямоугольник. Построим прямоугольник 2x3 (2 строки, 3 столбца). Сумма чисел S=1+2+3+4+5+6=21, делится на 3, то есть данные числа можно расположить по трем столбцам, однако 21 не делится на 2, а значит, эти числа нельзя распределить по двум строчкам так, чтобы сумма чисел была одинаковой.

Рис. 75

Построим прямоугольник 2x4 (2 строки, 4 столбца), он должен содержать числа от 1 до 8. Сумма 1+2+...+8=36, делится и на количество строчек, и на количество столбиков. Разбив числа на пары с одинаковой суммой: 1+8,4+5,7+2,6+3 и распределив их по строкам - получаем магический прямоугольник 2x4.



Рис. 76

Таким образом, чтобы существовал магический прямоугольник необходимо, чтобы сумма расставляемых чисел делилась на количество строк, и на количество столбцов.

Итак, для построения магического прямоугольника надо:

1. Проверить может ли существовать прямоугольник необходимой размерности (сложив числа, посмотреть, делится ли сумма на количество строк и столбцов).

2. Подобрать числа по количеству строк, так чтобы в сумме они давали одно и тоже число, то есть необходимо уравновесить столбцы.

3. Проверить будет ли в строках сумма чисел одинаковая, если нет то смещать числа, так чтобы в строках получилась константа.

Теперь рассмотрим прямоугольник 3x4 (3 строки, 4 столбца). Сумма чисел 1+2+...+12=78 не делится на 4, поэтому сразу перейдем к прямоугольнику 3x5. Сумма будет равна 1+2+...+15=120, она делится и на 3, и на 5,таким образом, прямоугольник возможен. Соответственно 120:3 = 40 - сумма в трех строках, 120:5 = 24 - сумма по пяти столбцам.

Теперь уравновесим столбцы, так чтобы в каждом из них сумма равнялась 24:

Рис. 77

Подобрав числа, так чтобы сумма столбцов в прямоугольнике была равна 24, посмотрим, что получится в строках. В строчках образовались следующие суммы: в первой строке 15, во второй 40 , в третьей строке 65. Разница между суммами равна 25. Теперь способом "сдвига" уравновешиваем строки прямоугольника. И получаем магический прямоугольник 3 на 5:

Рис. 78

Все строки имеют константу равную 40, все столбцы имеют константу равную 24. Итого вся сумма строк равна 120 и вся сумма столбцов равна 120.

...