Методика проведения курса по выбору "паркеты" с учащимися старших классов

Размещено на http://www.allbest.ru/

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ПАРКЕТЫ» С УЧАЩИМИСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ



Оглавление

Введение

Глава 1. Психолого-педагогические основы постановки математических курсов по выбору

1.1 Исторические аспекты факультативной формы обучения

1.2 Комплексный подход к постановке курсов по выбору в условиях профильного обучения

1.3 Виды курсов по выбору в общеобразовательной школе

1.4 Отбор содержания и методов проведения курсов по выбору со старшеклассниками

Глава 2. Методическое обеспечение курса по выбору «Паркеты» для учащихся 10-11 классов

2.1 Особенности проведения математических курсов по выбору с учащимися различных профилей обучения

2.2 Разработка курса по выбору «Паркеты» для старшеклассников

2.3 Результаты экспериментальной проверки

Заключение

Литература

Приложения

факультативный обучение математический старшеклассник



Введение

Курсы по выбору на старшей ступени общего образования, в прошлом они назывались факультативными курсами, потом элективными курсами являются одной из форм дифференциации обучения.

Вопросами дифференциации обучения математике посвящены работы М. И. Башмакова, Г. Д. Глейзера, В. А. Гусева, Г. В. Дорофеева, Ю. М. Колягина, И. М. Смирновой, Н. Е. Федоровой и мн. др.

В Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования (2002), говорится о том, что профильное обучение направлено, прежде всего, на реализацию личных запросов, склонностей, интересов учащихся старших классов. В соответствии с этим необходимо организовать личностно-ориентированный учебный процесс и создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения для школьников индивидуальных образовательных программ (траекторий).

Психологический аспект дифференциации обучения связан с исследованиями в области дифференциальной психологии, с работами А. Ф. Лазурского, Б. М. Теплова и его учеников. Исследованию проблемы индивидуализации и дифференциации обучения с педагогических позиций посвящены работы Ю. К. Бабанского, И. Я. Лернера, И. Э. Унт и других. В них представляются системы обучения, отвечающие склонностям обучающихся и направленные на развитие и формирование различных сторон их личности.

Сказанное определило актуальность нашего исследования.

Объектом исследования является процесс обучения математике в старших классах общеобразовательной школы.

Предметом исследования является процесс обучения математике на курсах по выбору.

Цель исследования состоит в разработке методики проведения курса по выбору «Паркеты» для учащихся старших классов.

Гипотеза исследования: представленный математический курс по выбору «Паркеты» будет способствовать расширению представлений учащихся о геометрии, о ее разнообразных разделах, практических приложениях.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач.

Определить психолого-педагогические основы постановки предметных, в частности математических, курсов по выбору на старшей ступени общего образования.

Разработать методику преподавания темы «Паркеты» на курсе по выбору.

Провести экспериментальную проверку разработанных учебных материалов.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования.

Анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы, работ по истории математики и математического образования, школьных программ, учебников.

Интервьюирование, анкетирование обучающихся.

Проведение опытной проверки разработанных учебных материалов.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Во введении обоснована актуальность исследования, даны его основные характеристики.

Глава 1 посвящена общим вопросам постановки курсов по выбору по математике со старшеклассниками. Рассматриваются исторические аспекты и психолого-педагогические основы постановки курсов по выбору со старшеклассниками. Определяются содержание, формы, методы, средства обучения математике на таких курсах.

В главе 2 представлена разработка курса по выбору «Паркеты» для учащихся старших классов, приводятся результаты экспериментальной проверки.

В заключении работы приведены основные выводы и результаты проведенного исследования.

Список литературы содержит 48 наименований.

В приложения помещены учебные материалы для самостоятельной работы учащихся, выполненные работы обучающихся 10-го класса, презентация к уроку.



Глава 1. Психолого-педагогические основы постановки математических курсов по выбору

1.1 Исторические аспекты факультативной формы обучения

Курсы по выбору берут свое начало от факультативных курсов. Их история начинается с 1966 года, когда было опубликовано постановление «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы». В нем отмечалось отставание уровня учебно-воспитательной работы школы от потребностей общества и была намечена система мер по ликвидации этого отставания, среди которых нашли отражение новые, важные для школы формы обучения. Одной из них были факультативы. Они были созданы для углубления знаний учащихся по школьным предметам, а также для развития разносторонних интересов и способностей школьников [41, с. 4]. Таким образом, факультативные занятия стали формой дифференциации обучения, учитывающей индивидуальные способности и склонности и учащихся.

В практику работы школы факультативные занятия вошли, начиная с 1967/1968 учебного года.

Первые факультативные курсы назывались так: 1) «Дополнительные главы и вопросы математики»; 2) «Специальные курсы».

Заметим, что в этот период факультативные курсы были ориентированы на новую программу. С конца 60-х годов прошлого века в нашей стране началась реформа математического образования, реформа, которая теперь носит имя своего вдохновителя и организатора, выдающегося ученого А. Н. Колмогорова. Факультативы по математике и явились хорошим местом апробации новых тем. После экспериментальной проверки на факультативных занятиях некоторые темы были включены в основной курс математики. Например, «Метод координат» (7 класс), «Множества и операции с ними», «Бесконечные множества», «Геометрические преобразования» (8 класс), «Производная» (9 класс). Нумерация классов приведена на тот исторический период.

К 1980 году был завершен переход школы на новую программу по математике. Факультатив «Дополнительные главы и вопросы математики» с выполнил свою задачу и был преобразован в новый факультативный курс. Новый факультативный курс включил в себя три следующие раздела.

Избранные вопросы математики. 7-10 (современная нумерация: 8-11) классы.

Математика в приложениях 9, 10 (10-11) классы.

Алгоритмы и программирование. 8-10 (9-11) классы.

В 1990 году была опубликована новая программа факультативных курсов [27]. В ней сказано, что на факультативных занятиях учащиеся углубляют знания по основному курсу, получаемые на уроках, приобретают умения решать более трудные и разнообразные задачи. Факультативные занятия предусматривались с 7 класса. В старших (10-11) классах углубление основного курса носило систематический характер и выполняло функции подготовки к продолжению образования и к сдаче вступительных экзаменов в вузы.

Наряду с углублением основного курса математики, на факультативе предполагалось и расширение содержание учебного материала, за счет современных приложений математики. Характер прикладных факультативов на разных ступенях обучения также предполагался различным. Если в 7-9 классах это носило характер преимущественно «чистого» практикума, то в старших классах учащиеся должны были познакомиться и с теоретическими основами приложений. В выпускных старших классах предполагались также факультативные курсы обзорного характера, освещающие роль и место математики в современном мире.

В предложенном факультативе даются следующие курсы.

За страницами учебников математики (не следует путать с известной серией книг по математике с одноименным названием).

Математическая мозаика.

Подготовительный факультатив.

Новый этап введения факультативных занятий в школу начался в 2002 году, когда была принята Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования. В ней, наряду с базовыми и профильными курсами, были выделены специальные элективные курсы - курсы по выбору. Они считаются преемником факультативных курсов, так, как и те, и другие направлены на удовлетворение индивидуальных склонностей, потребностей обучающихся, развитие их способностей. Однако между факультативами и элективными курсами есть большая разница. К примеру, факультативные курсы не были обязательными для всех учащихся. Существовала специальная программа факультативов по математике, которой должен был руководствоваться каждый учитель, ведущий факультативные занятия, были изданы учебные пособия. Элективные же курсы стали обязательными для всех учащихся.

В 2012 году был принят Федеральный государственный образовательного стандарта среднего (полного) общего образования [40]. В нем элективные курсы получили новое название, а именно, курсы по выбору (такое же название, как и в предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Заметим, что профильный курс, в частности математики, тоже получил новое название - углубленный курс математики. В свою очередь Курсы по выбору делятся на предметные (расширение знаний по основным предметам), ориентационные, информационные в 9 классе и предметные, межпредметные, подготовительные к ЕГЭ, ориентационные, внепредметные в 10-11 классах (см. пункт 1.3).

1.2 Комплексный подход к постановке курсов по выбору в условиях профильного обучения

Современный период развития школьного образования характеризуется тем, что цели обучения не ограничиваются только усвоением готовой системы знаний и овладения соответствующими умениями и навыками. Сейчас эти цели расширились до формирования целостной личности обучающихся.

Недооценка в прошлом воспитательных аспектов обучения существенным образом сказывалось не только на воспитании и развитии подрастающего поколения, но и на самом образовании. Исходя из выше сказанного, делаем вывод о том, что целью обучения должно быть формирование личности учащихся, а усвоение знаний, умений и навыков - средством воспитания.

Важнейшим фактором в решении задачи формирования всесторонне развитой личности является единство обучения, воспитания и развития. Это единство составляет суть комплексного подхода к обучению. Главным в нем является единство цели, задач, содержания, форм и методов, результатов деятельности учащихся.

О большом воспитательном значении математики говорят многие известные ученые - математики. Приведем один пример. Еще А. Д. Александров, говоря о главных задачах преподавания геометрии, выделил в ее содержании три части. Это логика, наглядное представление и практические приложения. Таким образом, цель школьной геометрии - развить у учащихся соответствующие качества: логическое мышление; пространственные представления; практическое понимание [1, с. 57].

Математика, и геометрия в частности, обладает большими потенциальными возможностями для решения воспитательных и развивающих задач обучения. Среди них выделим такие:

формирование научного мировоззрения;

эстетическое воспитание;

развитие пространственных представлений;

развитие логического мышления;

развитие познавательного интереса к математике;

развитие творческих математических способностей учащихся.

Для успешного решения этих задач при обучении геометрии необходимо, чтобы они соответствовали возрастным и индивидуальным особенностям развития школьников. Только в случае, когда ученик является активным участником процесса обучения, можно добиться успеха в достижении целей обучения.

В отечественно психолого-педагогической науке [9, 19, 38] каждый возрастной период характеризуется двумя компонентами, а именно:

социальная ситуация развития;

ведущая деятельность.

Охарактеризуем старший школьный возраст учащихся, с этой точки зрения.

Социальная ситуация

Старшеклассники стоит на пороге вступления в самостоятельную жизнь. Перед ними возникает необходимость самоопределения, главное, это выбор дальнейшего жизненного пути. Они выбирают будущую профессию, они обращены в это будущее, и все настоящее выступает для них с позиции этой новой направленности.

Учебная деятельность

Характерной особенностью учебной деятельности старшеклассника является ее активизация и даже в какой-то степени самостоятельность. Мышление старшего школьника приобретает черты творческого характера, большое значение имеют аргументации, доказательств, рассуждения, обоснования и т. п. В этом возрасте школьники любят исследовать и экспериментировать, творить и создавать новое.

Подводя итог сказанному, приходим к выводу, что математика обладает большими возможностями для решения следующих воспитательных и развивающих задач обучения:

развитие пространственного воображения;

развитие логического мышления;

развитие познавательного интереса к геометрии;

развитие творческих математических способностей учащихся;

формирование научного мировоззрения;

эстетическое воспитание.

Для успешного решения этих задач при обучении геометрии необходимо, чтобы они соответствовали возрастным и индивидуальным особенностям развития учащихся. Только в случае, когда учащиеся являются активными участниками процесса обучения, можно добиться успеха в достижении целей обучения.

Еще одной характерной особенностью учебной деятельности старшеклассника является ее активизация и до известной степени самостоятельность. Мышление старшего школьника носит самостоятельный, активный, творческий характер, большое значение приобретает аргументация и доказательство. В этом возрасте школьники любят экспериментировать и исследовать, творить и создавать новое.

В исследовании [31, с. 149] выделены следующие особенности развития старшеклассников.

В старшем школьном возрасте формируются необходимые предпосылки для успешного решения образовательных, воспитательных, развивающих задач обучения.

Эти предпосылки не только подкрепляют цели и задачи обучения по формированию всесторонне развитой личности, но и создают условия, при которых успешное решение образовательных задач обучения невозможно в отрыве от решения задач воспитания и развития.

Для решения этих задач необходим комплексный подход к обучению, основанный на единстве образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения.

Необходимо совершенствовать методы и формы обучения, направленные на комплексное решение образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения, в частности, применять такой подход при проведении математических курсов по выбору.

1.3 Виды курсов по выбору в общеобразовательной школе

Как было отмечено в предыдущих пунктах, можно считать, что в отечественной школе первые попытки внедрения дифференциации обучения были начаты в 60-х годах прошлого века. Теперь охарактеризуем современный этап этой формы дифференциации обучения.

Во-первых, согласно ФГОС среднего (полного) общего образования (2012), курсы по выбору должны отвечать следующим требованиям:

у школьника должен быть выбор из нескольких курсов;

наполнение курсов по выбору должно меняться, как минимум, два раза в год, а лучше четыре.

Содержание курсов по выбору, по возможности, должно:

знакомить учащихся со способами деятельности, необходимыми для успешного освоения программы того или иного

профиля и профессии (например, работа с текстами, анализ источников, проведение эксперимента);

включать учебный материал, выходящий за рамки обязательной школьной программы.

Курсы по выбору начинаются в 9 классе в условиях предпрофильной подготовки обучающихся. В этот период, по существу, школьникам предлагается три вида курсов по выбору: предметные; ориентационные; информационные (информационная работа).

Предметно-ориентированные курсы.

Среди задач курсов по выбору данного вида выделим следующие:

обеспечить школьнику необходимые условия для реализации его личных познавательных интересов в выбранной им образовательной области;

уточнить готовность и способности изучать выбранный предмет на углубленном уровне;

создать условия для сдачи экзаменов по выбору, т. е. к наиболее вероятным предметам будущего профилирования.

Основное содержание - обобщение, систематизация и углубление знаний по предмету. Курсы по выбору этого типа, как правило, являются долгосрочными (24-36 часов).

Межпредметные (ориентационные) курсы. Основные задачи курсов по выбору этого вида:

формировать у школьников способности и умения ориентации в мире современных профессий;

знакомить на практике со спецификой различных востребованных в современном мире видов деятельности, соответствующих наиболее распространенным профессиям;

поддерживать мотивацию к изучению того или иного предмета.

Курсы такого вида краткосрочны (приблизительно 12 часов). Содержание такого курса должно выходить за рамки одного предмета и решать проблемы, требующие синтеза знаний по ряду предметов. Курсы по выбору призваны обеспечить вариативность внутри школы, то есть индивидуализацию и актуализацию учения. Механизмом реализации этой идеи могут и должны стать данные курсы.

Информационные курсы (информационная работа). В рамках таких курсов учащихся необходимо ознакомить с образовательными учреждениями района, области и т. д., с организацией их учебного процесса, с условиями приема в эти учреждения.

В старших классах уже предусмотрено пять видов курсов по выбору:

предметные; 2) межпредметные; 3) подготовка к сдаче ЕГЭ; 4) ориентационные; 5) внепредметные, или надпредметные.

Первые названные курсы являются "надстройкой" углубленных курсов и должны обеспечить для наиболее способных школьников повышенный уровень изучения того или иного учебного предмета. В этом случае такой дополненный углубленный курс превращается в традиционную спецшколу с углубленным изучением отдельных учебных предметов.

Курсы по выбору второго названного типа должны обеспечить межпредметные связи и дать возможность школьникам изучать смежные учебные предметы на углубленном уровне, даже развивать содержание одного из предметных курсов, изучение которого в данной школе (классе) осуществляется на базовом уровне. Это позволяет интересующимся школьникам удовлетворить свои познавательные потребности и получить дополнительную подготовку, например, для сдачи ЕГЭ по этому предмету на углубленном уровне. Примером таких курсов по выбору могут служить такие.

«Математическая статистика» для школьников, выбравших экономический профиль.

«Компьютерная графика» для индустриально- технологического профиля.

«Технология создания сайтов» - универсальный.

Ориентационные курсы по выбору направлены на удовлетворение познавательных интересов отдельных школьников в областях деятельности человека выходящих за рамки выбранного ими профиля. Например, для информационно-технологического профиля предлагается курс по выбору «Зарубежная литература XX века» или для учащихся гуманитарного профиля обучения предлагается курс по выбору «Математика и искусство».

Внепредметные, или надпредметные, курсы по выбору могут быть направлены на приобретение школьниками образовательных результатов для успешного продвижения на рынке труда. Примером подобных курсов могут служить курсы «Компьютерная графика», «Делопроизводство» или «Деловой английский язык», курсы по подготовке к работе в сфере обслуживания «Основы рационального питания» или «Подготовка автолюбителя» и т. п.

Предлагаемый в данной работе курс по выбору «Паркеты» относится к предметным курсам по выбору на старшей ступени общего образования.



1.4 Отбор содержания и методов проведения курсов по выбору со старшеклассниками

В отечественной педагогике разработаны общие критерии отбора содержания учебного материала, удовлетворяющие требованиям комплексного подхода к обучению, воспитанию и развитию обучающихся.

Исходя из них, в исследовании [30] выделены критерии отбора содержания математических курсов по выбору. Назовем их. Это критерий:

целостности содержания;

преемственности содержания основного курса математики и содержания курса по выбору;

научной и практической значимости;

соответствия содержания воспитательным и развивающим целям обучения;

соответствия содержания возрастным особенностям учащихся;

соответствия содержания индивидуальным особенностям обучающихся;

соответствия содержания учебно-методическому обеспечению;

соответствия содержания имеющемуся времени.

Очевидно, что вовсе не любое содержание учебного материала способствует достижению целей воспитания и развития обучающихся. Необходимо специально конструировать содержание курса, включая в него элементы истории, современности, занимательности, красоты математики.

Давно и хорошо известно, что использование исторических сведений является одним из критериев интересности содержания учебного материала, служит для развития познавательного интереса учащихся к математике. Исторические сведения включаются в учебные курсы, в частности, для развития творческих способностей обучающихся. Они позволяют понять, что в процессе творчества нет ничего необычного, что цели достигаются только в результате упорного труда.

Вместе с интересом к вопросам истории математики, обучающиеся в старших классах начинают интересоваться современными проблемами в различных областях знаний. Знакомство с основными направлениями современной науки необходимо теперь каждому выпускнику школы для ориентации в современном мире, правильному представлению о процессах, происходящих в природе и обществе.

Следующим важным шагом, после отбора содержания курса по выбору, направленного на комплексное решение образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения, является выбор методов обучения, соответствующих этому подходу к постановке курсов по выбору со старшеклассниками.

В специальных исследованиях, посвященных общим проблемам постановки и организации курсов по выбору, указывается, что наличие у них специальных целей и задач должно отражаться и на выборе соответствующих методов обучения. Специфика занятий курсов по выбору проявляется в нетрадиционном сочетании методов обучения по сравнению с обычными уроками. Выделим такие:

усиление роли самостоятельной работы учащихся на всех этапах организации и проведения курса по выбору;

построение процесса обучения математике как совместной исследовательской деятельности обучающихся;

индивидуализация обучения каждого учащегося.

В предлагаемой работе будем опираться на следующие критерии отбора методов проведения курсов по выбору со старшеклассниками.

Преемственность методов, применяемых на основных и занятиях курсов по выбору по математике означает, что методы, используемые на курсах по выбору, находятся не в отрыве, а являются естественным продолжением методов, используемых на основных уроках. Этот критерий предполагает, что на основных уроках заложена некоторая база и созданы условия расширения применяемых методов в сторону постепенного приближения к методам обучения, носящим самостоятельный, творческий характер.

Соответствие целям и задачам обучения предполагает, что при выборе методов обучения необходимо учесть цели обучения, задачи образования, воспитания и развития. Методы обучения играют первостепенную роль в выработке не только знаний, но и умений, навыков обучающихся. Среди таких умений и навыков выделяют:

Умение решать задачи, доказывать теоремы и другое.

Умение слушать объяснение нового материала, выделять главное, вести конспект занятий.

Умение работать с книгой.

Умение подготовить и сделать доклад по материалу.

Умение написать статью, реферат и другое с самостоятельным изучением и подбором литературы.

Умение проводить самостоятельное исследование поставленной проблемы.

Соответствие содержанию курса по выбору. Различное содержание требует применения различных методов обучения.

Соответствие возрастным и индивидуальным особенностям развития старшеклассников. Анализ возрастных и индивидуальных особенностей развития старшеклассников показывает, что для этого возраста наиболее эффективными являются методы обучения, ориентированные на самостоятельную, творческую и исследовательскую работу. Большинство старшеклассников предпочитают такие формы деятельности, как дискуссия, лабораторные и практические работы, выступление с докладом и другое.

Подводя итог всему вышесказанному об отборе содержания и методов проведения курса по выбору, выделим следующие вопросы его методического обеспечения.

Отбор содержания курса по выбору, отвечающего поставленным целям обучения.

Разработка программы курса по выбору, в которой предусматривается распределение содержания по занятиям, указание вопросов для самостоятельного изучения, литература, в которую входят учебно-методические пособия, книги по математике.

Разработка программы каждого занятия с указанием содержания материала, домашнего задания, индивидуальных заданий, литературы.

Составление индивидуальных планов работы школьников.



Глава 2. Методическое обеспечение курса по выбору «паркеты» для учащихся 10-11 классов

2.1 Особенности проведения математических курсов по выбору с учащимися различных профилей обучения

Проведение курса по выбору требует высокого уровня профессиональной подготовки учителя. В ряде случаев для проведения таких курсов приглашают преподавателей высших или средних специальных учебных заведений.

Выбор и посещение курса по выбору по математике в 10-11 классах обязательно. Организационные требования к ученику такие же, как и в отношении уроков: обязательное посещение занятий, выполнение домашних заданий, собранность, дисциплинированность в учебе и др.

Обучение ведется по утвержденным программам. Учитель, ведущий предметный курс по выбору, должен уже на первом занятии увлечь своих учеников. В данном случае важна не только тема курса по выбору, но и время его проведения. Для успешного проведения курса по выбору он вносится в сетку школьного расписания.

Учитель должен придерживаться ряда правил по организации курса по выбору. Перечислим их.

Избыточность (должно быть много курсов по выбору на различные темы, чтобы ученик мог выбрать курс по собственному вкусу).

Кратковременность (6-16 часов).

Привлекательность названия.

Оригинальность содержания.

Нестандартность (курсы по выбору, как правило, носят авторский характер).

Курс должен заканчиваться определенным результатом (творческое сочинение, проект, портфолио и др.).

Учебная программа - нормативный документ, в котором отражены цели, содержание, методы, средства обучения, особенности оценивания результатов обучения на данном курсе по выбору.

Теперь назовем основные структурные элементы программы курса по выбору.

Титульный лист.

Пояснительная записка.

Актуальность программы, обоснование необходимости программы (доводы о важности изучаемого компонента, недостаточность изучения в базовом курсе, соответствие возрасту, связь с наукой и др.).

Цели и задачи программы (формирование познавательного интереса учащихся, оказание помощи в выборе профессии и др.), цель должна отражать результат (например, разработать проект по заданной теме).

Обоснование отбора содержания (элементы программы должны быть взаимосвязаны, должно быть выделено содержание).

Указание внутрипредметных и межпредметных связей предлагаемого учебного материала.

Сведения об учащихся, на которых рассчитана программа.

Характеристика временных и материальных ресурсов (указываются необходимые средства обучения).

Технические указания к тексту программы (для всех один текст, повышенного уровня - другой).

Содержательная часть

Последовательный перечень тем с их кратким содержанием, указанием времени, необходимого на их изучение.

Список демонстраций, практических и лабораторных работ, экскурсий.

Методическая часть

Методические рекомендации.

Требования к уровню знаний, умений и навыков, полученных в результате обучения.

Перечень компетенций, которые предполагается развить у учащихся, посещающих курс по выбору.

Критерии эффективности реализации программы.

Формы и методы контроля.

Список рекомендуемой литературы.

Приложение

Тематическое планирование.

Дидактический материал.

Электронные презентации.

Экспертиза программы. (Экспертиза программы может проводиться на методическом совете школьного муниципального уровня.)

2.2 Разработка курса по выбору «Паркеты» для старшеклассников

Пояснительная записка курса по выбору

Актуальность программы обоснована необходимостью расширения знаний обучающихся по предмету «Математика», развитием общего кругозора школьников, так как в курс входят занятия по истории математики. Данный курс по выбору, представленный в предлагаемой работе, рассчитан на старших школьников. Вместе с тем, часть собранного учебного материала с успехом можно предложить и учащимся 9 класса на курсе по выбору в условиях предпрофильной подготовки. Задача курса по выбору - развитие интереса к математике и ее истории, развитие навыков творческой и исследовательской работы. Отбор содержания курса проводился с учетом возрастных особенностей обучающихся и с учетом разнообразия форм деятельности школьников.

Занятие 1. История возникновения и развития темы «Паркеты»

С древних времен паркеты были незаменимой частью жизни человека. Так паркет встречался в архитектуре (например, примитивное замощение пола деревянными дощечками), живописи. Примером последнего может служить картина «Рыбы и лягушки» Мариуса Эшера (рис. 1)

Рис. 1

Само слово «паркет» пришло к нам из Франции. В средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, а название закрепилось за настилами из деревянных планок и распространилось за пределами Франции.

В России выкладывать паркет впервые начали в начале XVIII века. Это было нововведением Петра I, который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Он делался из дубовых клепок и ложился в рисунок, который в народе прозвали «елочка», а сам он носил называние "косящатый" (рис. 2).

Рис. 2



Примеры наиболее распространенных современных паркетов представлены на рисунке 3: а) двойная плетенка; б) шереметьевка;

в) наборный.

а)

б)

в)

Рис. 3

Занятие 2. Паркеты: основные понятия

Что такое паркет?

В различных источниках встречаются немного отличающиеся друг от друга определения, однако чаще всего дается следующее:

Паркетом из многоугольников будем называть замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими, и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо вообще не имеют общих точек.

Разновидности.

Правильным называют паркет, если он составлен из равных правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом. На рисунке 4 представлены правильные паркеты из:

а) квадрата; б) правильного треугольника; в) правильного шестиугольника.

а)

б)

в)

Рис. 4

Полуправильным называют паркет, если он состоит из правильных многоугольников (возможно с разным числом сторон), одинаково расположенных вокруг каждой вершины (рис. 5).



Рис. 5

Теперь представим названные паркеты подробнее. Начнем с правильных паркетов. Почему только эти три фигуры могут составлять правильный паркет? Докажем, что другими равными правильными многоугольниками заполнить плоскость нельзя. Известно, что углы правильного n-угольника равны 180о(n-2)/n. Если в одной вершине паркета сходится m правильных n-угольников, то должно выполняться равенство m*180o(n-2)/n=360o, откуда с помощью преобразований получаем m=2n/(n-2). Давайте попробуем решить полученное уравнение для n=2, n=3, n=4, n=5, n=6. Получим, что возможными допустимыми значениями для n при решении данного уравнения в целых числах являются 3, 4, 6.

Упражнения

Можно ли составить паркет из правильных пятиугольников, семиугольников?

Решение. Нельзя, так как при решении уравнения m=2n/(n-2) для n=5 и для n=7 получаем дробные значения m, что противоречит условию о целых значениях переменной.

Существует ли такой пятиугольник, из которого можно составить паркет, заполняющий плоскость?

Решение. Несколько примеров решения приведены на рисунке 6.

Рис. 6

Придумайте паркет, составленный из равных фигур.

Решение. Решением этой задачи может служить большое число различных паркетов. В качестве примера решения можно взять паркеты, изображенные на рисунке 7.

Рис. 7

Домашнее задание

Творческая задача. Придумайте паркет, составленный из равных фигур, ограниченных кривыми линиями.

Решение. Пример решения задачи на рисунке 8.

Рис. 8

Занятие 3. Полуправильные паркеты

Полуправильным называют паркет, если он состоит из правильных многоугольников (возможно, с разным числом сторон), одинаково расположенных вокруг каждой вершины.

Рассмотрим, какие можно составить паркеты, удовлетворяющие этому условию. Для этого рассмотрим суммы углов различных правильных многоугольников, расположенных вокруг одной точки. Например, мы можем расположить вокруг одной точки 2 квадрата и 3 правильных треугольника, как показано на рисунке 9, так как сумма углов будет равняться 360о (90о+90о+60о+60о+60о=360о).



Рис. 9

Продолжая рассматривать различные суммы углов, получим, что еще в одной вершине могут сходиться 4 правильных треугольника и правильный шестиугольник, как на рисунке 10.

Рис. 10

На рисунке 11 представлен паркет, в котором вокруг одной точки расположены 2 правильных шестиугольников и 2 правильных треугольников.

Рис. 11

Так же можно построить паркет, состоящий из квадратов и правильных восьмиугольников (рис. 12)



Рис. 12

На рисунке 13 показан паркет из правильных треугольников и двенадцатиугольников (рис. 13).

Рис. 13

Если рассмотреть составление паркета из трех различных видов фигур, то получим, что можно составить паркет из правильного треугольника, двух квадратов и правильного шестиугольника (рис. 14)

Рис. 14

На рисунке 15 представлен паркет, составленный из правильных шестиугольника и двенадцатиугольника и квадрата.



Рис. 15

Итак. Получили, что полуправильных паркетов всего восемь. Докажем это. Обозначим через б1, б 2, … углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания б 1 ? б 2 ? … . Составим таблицу, содержащую возможные наборы углов, и укажем соответствующие паркеты.

Рассмотрим таблицу 1, содержащую все возможные наборы углов.

Таблица 1

б 1	б 2	б 3	б 4	б 5	б 6	б 1+ б 2+…=360о
60о	60о	60о	60о	60о	60о	Правильный паркет из 3-ов (рис. 4, б)
60о	60о	60о	60о	120о		Паркет из 3-ов и 6-ов (рис. 10)
60о	60о	60о	900	900		Два паркета из 3-ов и 4-ов (рис. 9)
60о	60о	900	150о			Нет паркета
60о	60о	120о	120о			Паркет из 3-ов и 6-ов (рис. 11)
60о	900	900	120о			Паркет из 3-ов, 4-ов, 6-ов (рис. 14)
60о	150о	150о				Паркет из 3-ов и 12-ов (рис. 13)
900	900	900	900			Правильный паркет из квадратов (рис. 4, а)
900	120о	150о				Паркет из 4-ов, 6-ов, 12-ов (рис. 15)
900	135о	135о				Паркет из 4-ов и 8-ов (рис. 12)
120о	120о	120о				Правильный паркет из 6-ов (рис. 4, в)

Таким образом, мы получили 11 паркетов, из которых три правильных и 8 полуправильных.

Упражнения

Задача. Докажите, что для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырёхугольников, равных данному.

Решение. Пусть дан четырёхугольник АВСD (рис. 16). Рассмотрим центрально-симметричный ему четырёхугольник относительно середины стороны АВ. Исходный четырёхугольник АВСD обозначим цифрой 1, а симметричный - цифрой 2. Теперь четырёхугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырёхугольник обозначим цифрой 3 и отразим его симметрично относительно середины его стороны CD. Полученный четырёхугольник обозначим цифрой 4. Четырёхугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают к общей вершине А углами А, В, С и D. Поскольку сумма углов четырехугольника равна 360 ??, то эти четырёхугольники заполнят часть плоскости вокруг общей вершины. Такое же построение можно провести вокруг каждой новой вершины, что и даст искомое заполнение плоскости.

Рис. 16

Самостоятельная работа. Постройте паркет из невыпуклого четырехугольника.

Домашнее задание

Задача 1. Можно ли составить паркет из равных треугольников произвольной формы?

Решение. Да (рис. 17).



Рис. 17

Занятие 4. Задачи на разрезание

Тема «Паркеты» тесно связана с задачами на разрезания. Часто приемы построения паркета помогают в решении таких задач, и наоборот. На этом уроке мы рассмотрим некоторые задачи на разрезание.

Задача 1. Разрежьте параллелограмм на две части, из которых можно сложить прямоугольник (рис. 18).

Рис. 18

Решение показано на рисунке 19.

Рис. 19

Задача 2. Разрежьте треугольник (рис. 20) на три части, из которых можно сложить прямоугольник.



Рис. 20

Решение представлено на рисунке 21 (для решения проводим среднюю линию треугольника).

Рис. 21

Задача 3. Разрежьте трапецию (рис. 22) на две части, из которых можно сложить треугольник.

Рис. 22 Решение показано на рисунке 23.

Рис. 23

Задача 4. Разрежьте фигуру (рис. 24), составленную из трех равных квадратов, на четыре равные части.



Рис. 24

Решение представлено на рисунке 25.

Рис. 25

Задача 5. Прямоугольник со сторонами 4 и 9 (рис. 26) разрежьте на две равные части, из которых можно сложить квадрат.

Рис 26

Рис. 27

Занятие 5. Задачи на краски

Задача 1. Какое наименьшее число красок потребуется для раскраски паркетов на рисунке 28 так, чтобы соседние многоугольники были окрашены в разные цвета (такая раскраска называется правильной)?

Рис. 28

Решение. а) 2; б) 3; в) 3; г) 2 (рис. 29).

Рис. 29

Задача 2. Составьте паркет из греческих крестов (рис. 30).

Раскрасьте получившийся паркет двумя красками.

Рис. 30 Решение указано на рисунке 31.



Рис. 31

Занятие 6. Многогранники

Многогранники - один из немногих видов геометрических фигур, которые окружают нас. В разные времена в разных странах многогранники привлекали внимание не только математиков, но и архитекторов, биологов, скульпторов. Эти фигуры завораживают по сей день своей красотой своих форм и порой их сложностью. История многогранников начинается в далекие времена. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые (рис. 32).

Рис. 32

Выпуклым называется многогранник, который является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит соединяющий их отрезок.

Среди многогранников особенно выделяются правильные многогранники. Правильный многогранник - это выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками, и в каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

Существует только 5 типов правильных многогранников (рис. 33).



Рис. 33

Существует еще один привлекательный и содержательный тип многогранников, это дельтоэдры. Дельтоэдр - это выпуклый многогранник, гранями которого являются равные между собой равносторонние треугольники (рис. 34).

Рис. 34

Среди них есть правильные многогранники, такие, как тетраэдр, октаэдр, икосаэдр (рис. 34).

Остановимся еще на звездчатых многогранниках. Звездчатыми многогранниками занимались многие ученые математики. Первым их изучил Томас Брадвардин (1290-1349). Чуть позже ими занимался Иоганн Кеплер (1571-1630), который попытался описать эти многогранники. Он использовал два способа построения правильных звездчатых многогранников: путем продолжения ребер и граней правильных исходных многогранников. Так им была получена первая пара звездчатых многогранников: малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр. Еще через несколько лет была открыта вторая пара таких многогранников французским математиком и физиком Луи Пуансо (1777-1859): большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр. Постепенно открытие различных форм звездчатых многогранников привело к тому, что на данный момент насчитывают 59 звездчатых форм икосаэдра. Некоторые из них показаны на рисунке 35.

Рис.35

Домашнее задание

Изготовьте модель многогранника (по усмотрению учителя).

Найдите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Ответ. Примером такого многогранника может служить пространственный крест (рис. 36)



Рис. 36

Существуют ли отличные от куба многогранники, все грани которых являются равными между собой квадратами?

Ответ. Да, существуют. Например, многогранник, изображенный на рисунке 36.

Занятие 7. История многогранников (к данному уроку была представлена презентация, данная в приложениях)

Доисторический период

Благодаря археологическим раскопкам, мы можем судить о том, насколько велика история многогранников. Возраст находок (множество сфер, высеченных из камня), сделанных учеными в Шотландии оцениваются в 4 тысячи лет. Ювелирные украшения в форме многогранников, возраст которых насчитывает несколько тысяч лет, были найдены в Африке, Египте. Некоторые источники утверждают, что тетраэдр, октаэдр и куб были известны еще в Древнем Вавилоне (3000 лет до н. э.). Издавна многогранники использовались при изготовлении игральных костей. Самой старинной игральной костью считается кость в форме додекаэдра, датируемая 1000 годом до н. э.



Рис. 37

Многогранники в Древней Греции и Древнем Риме

Пифагор Самосский (582-507 гг. до н. э.) создал космологическое учение, связавшие правильные многогранники с устройством Вселенной. По его философии родился мистицизм, связанный с соотнесением многогранников с четырьмя основными элементами природы: тетраэдр - огонь, куб - земля, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, а додекаэдр отождествляли с небесной сферой.

Первая теория о пяти правильных телах принадлежит великому греческому математику Теэтету Афинскому (415-369 гг. до н. э.). Однако правильные многогранники обрели популярность благодаря Платону. Именно поэтому правильные многогранники в науке часто называют

«Платоновы тела».

Следующим важным событием в истории многогранников было появление Великого труда Евклида.

Его «Начала» представляют собой собрание из тринадцати книг, в котором представлены все существующие на тот момент знания о геометрии. Каждая из книг начинается с общих утверждений, или аксиом. Затем следуют 15 постулатов геометрии, задающих правила игры, и на их основе последовательно доказываются в общей сложности 465 предложений или теорем. Так в книге XI описаны факты, касающиеся размеров многогранников, книга XII посвящена объемам призм и пирамид, книга XIII - правильным многогранникам. Благодаря Евклиду интерес греческих математиков к правильным многогранникам заметно возрос.

Эпоха Возрождения

В это время изучением многогранников так или иначе занимались живописцы и архитекторы. Перед ними стоял вопрос: «Как изобразить трехмерное пространство?» Создателем новой теории перспективы считается архитектор и художник Филиппо Брунеллески (1377-1446), однако картины с перспективой можно увидеть и у других мастеров, живших раннее.

Способы изображения многогранников, кубооктаэдров и звездчатых многогранников изучал Лука Пачоли (1445-1517). Свои рассуждения и результаты он описал в книге «О божественной пропорции», иллюстрации к которой выполнил его друг - Великий Леонардо да Винчи (1452-1519). Одна из иллюстраций представлена на рисунке 38.

В 1567 году была опубликована книга Лоренца Стоера Geometria et Perspectiva, в которой он применил методы перспективы при изображении многогранников.



Рис. 38

Многогранники в 1700-2000 годах

В данный период главным стимулом интереса к многогранникам стало не искусство, а математика. Так Леонардом Эйлером (1707-1783) была открыта его знаменитая формула Г +В = Р + 2 (сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2), Шарль Каталан исследовал многогранники, двойственные архимедовым телам. В 1812 году Ронделе опубликовал развертки правильных многогранников на плоскости. Чуть позднее Макс Брюкнер создал коллекцию из 146 бумажных многогранников. В 1900 году Давид Гильберт в своем знаменитом выступлении в Париже в числе 23 математических проблем упомянул задачи о многогранниках. Он поставил такую задачу: можно ли разрезать многогранники равного объема на конечное число равных частей- многогранников? Несколькими годами после Макс Ден доказал, что нельзя. Полный и окончательный список 92 неоднородных многогранников с правильными гранями составил в 1966 году Норман Джонсон. Благодаря этим и многим другим открытиям, связанным с многогранниками, интерес к ним сохранялся на протяжении всего столетия.

Многогранники в наши дни

На протяжении многих лет и по сей день многогранники включены в школьный курс геометрии и изобразительного искусства. Так же по сей день не прекращается изучение многогранников. В этом значительно помогают компьютерные технологии, в частности, компьютерная графика. Существует много различных программ, позволяющих не только изобретать многогранники (Рис. 39), но и перемещать, крутить и проводить много других манипуляций с ними, что сильно облегчает процесс обучения геометрии.

Рис. 39

Домашнее задание

Индивидуальные задания. Сообщение на следующие темы.

Пифагор Самосский. Биография и главные открытия.

Иоганн Кеплер. Биография и главные открытия.

Леонард Эйлер. Биография и главные открытия.

Давид Гильберт. Биография. Проблемы Гильберта.

Леонардо да Винчи. Биография и работы.

Великий труд Евклида.

Платоновы тела.

Занятие 8. Задачи с многогранниками

Аналогично тому, как плоскость можно покрыть многоугольниками, так и пространство можно заполнить некоторыми многогранниками. Чтобы узнать, какими именно, рассмотрим следующую задачу.

Задача. Какими равными одноименными правильными многогранниками можно заполнить пространство?

Мы ответим на этот вопрос с помощью эксперимента. Возьмем набор моделей одинакового размера правильных многогранников и, прикладывая их одну к другой, увидим, какие их них вплотную прилегают друг к другу, а какие нет.

Если решать задачу теоретически, получим такое решение. Пусть б - внутренний угол правильного многоугольника (грани правильного многогранника), число правильных многоугольников, сходящихся в одной вершине, n. Ясно, что равенство n*б=360o может выполняться только для одного правильного многогранника - куба, у которого б=90о.

Вывод. Из правильных многогранников только кубами можно заполнить все пространство.

Рассмотрим теперь неправильные многогранники. Из представленного заполнения кубами можно получить новое заполнение пространства равными двенадцатигранниками, у которых все грани - равные ромбы. Такой двенадцатигранник называется ромбододекаэдром.

Для построения ромбододекаэдра берут кубы двух цветов и располагают их в пространстве в шахматном порядке (пространственный аналог плоской бесконечной шахматной доски). Затем кубы одного цвета убирают. Образовавшуюся пустоту заполняют шестью равными пирамидами с общей вершиной в центре выброшенного куба. После присоединения к оставшемуся кубу другого цвета всех прилегающих пирамид, у которых основаниями являются грани выброшенного куба, получим ромбододекаэдр. Полученное заполнение представлено на рисунке 40.

Рис. 40

Также пространство можно заполнить и равными полуправильными многогранниками - усеченными октаэдрами (ис. 41).

Рис. 41

Упражнение

Найдите самый короткий путь по поверхности куба A…D1 из вершины A в вершину C1.

Ответ. Путь, состоящий из двух отрезков, соединяющих данные точки с серединой ребра BB1.

Может ли в пирамиде быть 21 ребро?

Ответ. Нет. В пирамиде четное число ребер.

Докажите, что у любого многогранника число граней с нечетным числом ребер четно.

Решение. Предположим, что число граней с нечетным числом сторон нечетно. Тогда общее число сторон в этих гранях будет нечетным. Общее число сторон в гранях с четным числом сторон четно. Поэтому общее число сторон всех граней будет нечетно. Однако каждая сторона граней входит ровно в две грани, и при подсчете общего числа сторон, входящих в грани, мы считаем каждую сторону дважды. Таким образом, число сторон в гранях многогранника равно удвоенному числу его ребер, т. е является четным числом. Получили противоречие. Значит, число граней с нечетным числом сторон должно быть четным.

2.3 Результаты экспериментальной проверки

Экспериментальная проверка разработанного курса по выбору проводилась в ГБОУ СОШ № 2123 им. Мигеля Эрнандеса г. Москвы в 2015/2016 учебном году.

Вся экспериментальная проверка была разбита на три этапа: 1) констатирующий; 2) поисковый; 3) обучающий и контролирующий.

На первом этапе применялись следующие методы исследования: наблюдение, беседы с учителями и учащимися, анкетирование. Так в 10 классе был проведен первый пробный урок с элементами теории паркетов. После чего учащиеся получили анкету с вопросами о проведенном уроке и отношении обучающихся к предмету «Математика».

Анкета № 1

Как Вы относитесь к предмету «Математика»?

Любимый предмет.

Такой же, как и все остальные предметы.

Одинаково люблю наравне с другими предметами естественного цикла.

Нелюбимый предмет.

Какой раздел математики Вам больше интересен?

Алгебра.

Геометрия.

Теория вероятностей.

Статистика.

Другое.

Что Вам интереснее всего при изучении математики?

История математики.

Теория.

Решение задач.

Применение задач на практике.

Хотели ли бы Вы посещать факультатив по математике?

Да.

Скорее да, чем нет.

Скорее нет, чем да.

Нет.

Заинтересовали ли Вас задачи с паркетами и разрезанием фигур, предложенные на уроке?

Да.

Скорее да, чем нет.

Скорее нет, чем да.

Нет.

Анкеты получили 26 обучающихся. Анализ результатов проведенного анкетирования показал, что учащиеся десятого класса положительно относятся к школьному курсу - математика. В классе нет определенных предпочтений в каком-либо разделе математики. Больше обучающихся интересуются решением задач и применением их на практике. Большинство высказалось в пользу проведения курса по выбору, так как их заинтересовала тема «Паркет» и задачи, связанные с ней.

После подведенных итогов анкетирования, был проведен еще один урок. Занятие по истории возникновения направления, рассматриваемого в данном курсе. Этот урок посетили 21 человек, которым по окончании урока была дана вторая анкета.

Анкета № 2

Зачем Вы пришли на данный урок?

Расширение знаний по математике.

Большая заинтересованность в данной теме.

Другая причина.

Что вас больше заинтересовало в данном курсе?

История паркетов.

Задачи.

Практическое применение.

Тема в целом (укажите причину).

Какими источниками Вы пользуетесь при изучении математики?

Учебник.

Энциклопедии.

Интернет.

Другое.

Хотели бы Вы продолжать посещать данный курс по выбору?

Да.

Скорее да, чем нет.

Скорее нет, чем да.

Нет.

Второе анкетирование показало, что:

на урок пришли те обучающиеся, которые любят математику и хотят повысить уровень своих знаний в этой области;

большинство обучающихся заинтересовала тема в целом, так как «это не похоже на обычные уроки математики, а вносят что-то интересное»;

в ответах на вопрос об источниках прослеживается очень маленьких процент использования энциклопедий и даже интернета. Больший процент не выходит в изучении математики за рамки учебника, поэтому курс по выбору в школе приходит на помощь;

почти все опрошенные сказали, что хотят продолжить посещать данный курс и изучать тему, представленную в нем.

После получения результатов двух анкетирований, были сделаны следующие выводы.

В связи с желанием и заинтересованностью обучающихся следует продолжать разрабатывать и расширять данный курс.

...