Формирование систем математических понятий у учащихся общеобразовательных школ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Формирование систем математических понятий у учащихся общеобразовательных школ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

математика школьный мыслительный

Актуальность исследования. В современных условиях углубляется перестройка школы, призванная обеспечить высокое качество образования и развития учащихся. Решение этой задачи во многом зависит от организации учебного процесса в средней школе.

В последние годы ученых-математиков, дидактов, психологов особенно волнует проблема поиска эффективных средств изучения предмета математики.

Специфика предмета математики состоит в том, что: 1) понятия этого предмета представляют собой сложную логико-гносеологическую категорию высокого уровня абстракции по сравнению с предметами естественнонаучного цикла; 2) процесс образования, развития и применения математических понятий - сложный, длительный, многоуровневый и многоэтапный процесс.

В целях повышения теоретического уровня, мировоззренческой и практической направленности предметного обучения неоднократно совершенствовались программы и учебники по математике. Произошли позитивные изменения в понятийном аппарате школьного курса математики: уточнены и усилены многие теоретические знания, модельные представления. Вместе с тем до настоящего периода времени не преодолены многие недочеты и противоречия в содержании предмета (в основном это касается курсов алгебры и алгебры и начал анализа), в существующих подходах формирования математических понятий. По-прежнему все теоретические знания изучаются рядоположенно и при этом в основном применяется индуктивно-эмпирическая схема обобщения.

Такой подход дает положительный эффект лишь в усвоении отдельных частных понятий и не способствует формированию теоретических систем знаний обучаемых. Обращает на себя внимание низкое качество усвоения фундаментальных математических понятий: «уравнение», «неравенство», «функция», «тождество», «производная», «первообразная», «интеграл», а также учебных умений оперировать этими понятиями в различных учебных ситуациях. Низки системность, обобщенность и функциональность теоретических знаний.

Требуется перестройка процесса обучения математике, с целью формирования у учащихся целостных систем понятий. Важнейшими ее стимулами становятся: перспективные социально-педагогические требования, успехи и тенденции развития методологии математической науки, достижения педагогической теории и практики обучения, их противоречия.

Проблеме формирования понятий посвящены многочисленные исследования философов, логиков, математиков, педагогов, психологов, методистов М.Н. Алексеева, Ф. Кумпф, В.Ф. Асмуса, В.Г. Афанасьева, А.С. Арсеньева, Е.К. Войшвилло, Н.К. Вахтомина, Д.П. Горского, Б.М. Кедрова, Г.А. Курсанова, Ю.А. Петрова, Н.И. Кондакова, А.Д. Александрова, В.Ф. Бутузова, Н.Х. Розова, А.Я. Хинчина, Г.В. Дорофеева, А.И. Маркушевича, Ю.К. Бабанского, В.П. Беспалько, А.В. Брушлинского, А.М. Матюшкина, В. Оконя, А. Крыговской, М. Вертгеймера, Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова, Л.С. Выготского, П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной, М.Б. Воловича, Ю.М. Колягина, А.А. Столяра, Г.И. Саранцева и других.

Анализ имеющихся исследований показал, что в них недостаточно исследован вопрос о поиске путей возникновения, дальнейшего развития и применения понятий в условиях развивающего обучения. Современные дидактические и психолого-педагогические концепции еще медленно внедряются в теорию и практику обучения.

Актуальность постановки проблемы математического образования в средней школе и ее решение конкретизируется в четырех взаимосвязанных аспектах, образующих проблемное поле данного диссертационного исследования.

Первый аспект обусловлен социально-педагогической значимостью идеи формирования систем понятий у учащихся общеобразовательных школ. Данный аспект испытывает потребность в педагогическом профессионализме и способности проектирования ситуаций математического развития. Исследованиями многих ученых установлено, что в системе математического образования приоритет отдается умениям решать математические задачи. Становление учителя математики как субъекта деятельности требует категориального и практического разрешения ряда нерешенных проблем по формированию математических понятий (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, B.C. Владимиров, Л.С. Понтрягин, А.Н. Тихонов, А.И. Маркушевич, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Г.В. Дорофеев, Л.В. Канторович, Ю.М. Колягин, В.Н. Осинская, З.И. Слепкань, Е.И. Лященко, В.А. Тестов и др.)

Второй аспект обусловлен социально-педагогической значимостью идеи формирования систем математических понятий у учащихся общеобразовательных школ. Поэтому важно проделать серьезную работу по структурированию и группировке понятий вокруг ведущих идей и научных теорий, по активному использованию функций понятий (систематизирующей, прогностической, эвристической и др.) в учебно-познавательной деятельности учащихся. Следует коренным образом перестроить процесс формирования фундаментальных математических понятий, раскрывая их как теоретические системы знаний, отразив передовой опыт школ, а также современные достижения математической науки и наук психолого-педагогического цикла (А.Д. Александров, А.И. Берг, В.Г. Болтянский, А.А. Ляпунов, Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров, Г.П. Матвиевская, Г.Ю. Ризниченко, Л.Д. Кудрявцев, В.Ф. Бутузов, В.А. Садовничий, Н.Х. Розов, Е.М. Вечтомов, Н.Ф. Талызина, М.Б. Волович, Г.А. Китайгородская, Л.Я. Зорина, З.И. Калмыкова, А.В. Усова, Г. Клаус, И.Я. Лернер, М.И. Махмутов и др).

Третий аспект актуальности проблемы настоящего исследования обусловлен необходимостью конкретизации значения понятий: «учебный материал», «содержание школьного учебного материала», «математические понятия», «система понятий», «формирование системы понятий», «технология обучения» и др. Основанием для их различения выступают ключевые позиции современного школьного математического образования, которое включается в деятельность формирования (Л.Д. Арестова, В.П. Беспалько, Л.Я. Зорина, Г.Д. Кириллова, В. Оконь, Г.И. Щукина, А. Крыговская, К. Коффка, В.В. Краевский, Н.Ф. Талызина, А.М. Сохор, М.Б. Волович, П.И. Пидкасистый, А.К. Сухотин, Э.Стоунс, А.И. Раев, Ю.Е. Калугин, И. Шуман, В. Феллер и др.).

Анализ образовательных программ в системе обучения школьников показал, что их разработчики по-прежнему ориентируются на предметно-знаниевый подход, где формированию приемов учебно-познавательной деятельности, обобщенных способов действий почти не уделяется внимания.

Четвертый аспект актуальности проблемы представленного исследования определяется, во-первых, необходимостью рассмотрения механизмов возникновения, формирования и интеграции математических понятий (В.В. Давыдов, А.К. Маркова, Н.Ф. Талызина, Л.В. Берцфаи, Д.Х. Рубинштейн, А.В. Усова и др.), во-вторых, необходимостью формирования систем математических понятий на основе инновационных технологий обучения, которые непосредственно направлены на формирование творческого мышления обучаемых.

Состояние изученности проблемы. Базовыми для построения теоретических основ формирования систем математических понятий у учащихся являются:

- учения о диалектике понятий, диалектическая концепция развивающегося понятия (Л.Д. Арестова, А.С. Арсеньев, В.С. Библер, Б.М. Кедров, Н.К. Вахтомин, Е.К. Войшвилло, Д.П. Горский, В.В. Мадер, Ю.А. Петров, Г. Пиппиг, Г.И. Рузавин, А.К. Сухотин, С.А. Шапоринский, А.Н. Шимина и др.);

- концептуальные положения по теории познания (Л.С. Выготский, П.П. Блонский, С.Л. Рубинштейн, А.Н. Леонтьев, Ю.А. Самарин, А.Ф. Эсаулов и др.);

- исследования выдающихся математиков, математиков-методологов, математиков-психологов (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, В.С. Владимиров, Л.С. Понтрягин, А.И. Маркушевич, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Г.П. Матвиевская, В.А. Садовничий, Н.Х. Розов, Н.Ф. Талызина, А.Я. Хинчин, А.А. Столяр, Ю.М. Колягин, А. Крыговская, А.М. Сохор, М.Б. Волович, Г.А. Буткин и др.);

- исследования по теории системного подхода (А.И. Уемов, Э.Г. Юдин, В.А. Штофф, Л.Я. Зорина, Г.Д. Кириллова, В.П. Беспалько, А.М. Сохор, Н.Ф. Талызина, И.П. Калошина, Г.А. Китайгородская, А.В. Усова, А.Н. Шимина и др.);

- исследования по теории деятельностного подхода (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, А.Н. Леонтьев, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, В.В. Давыдов, Л.В. Берцфаи, Д.Б. Эльконин, Н.Г. Салмина, А.З. Рахимов, А.К. Маркова, И. Ломпшер, В. Оконь, Т.И. Шамова и др.).

На содержание школьного математического образования большое влияние оказывает математическая наука, которая оперирует определенными «идеальными» объектами и представляет собой сложное, многогранное и многоаспектное явление: это и изучение реального мира с количественной стороны, и язык описания науки, и абстрактная модель мира, и логически выстроенная структура научно-теоретических фактов. Все теоретические знания: математические понятия, системы понятий, математические утверждения, методы их доказательства и научные теории, представляют собой знания наиболее глубоких и общих свойств реальной действительности.

При изучении предмета математики учащимся приходится выполнять одновременно несколько видов деятельностей по: 1) обнаружению, постановке учебных проблем и целенаправленному поиску выхода из создавшихся проблемных ситуаций; 2) выделению данного понятия из ряда других понятий по наличию существенных признаков; 3) конструированию математических объектов с заданными свойствами; 4) осуществлению поиска решения математических задач и выделению блока необходимых теоретических знаний для выполнения самого процесса решения; 5) применению имеющихся знаний в различных учебных ситуациях: аналогичных, измененных, новых. Ведь в современных условиях необходим человек новой формации, способный к активному творческому овладению знаниями, умеющий анализировать, обобщать, моделировать и прогнозировать результаты своей деятельности и делать аргументированные выводы.

Самостоятельное применение знаний учащимися в измененных и нестандартных учебных ситуациях станет возможным в том случае, если они овладеют теоретически обобщенными структурами понятий, систем понятий, различными видами математических утверждений и методами их доказательства, методами решения различных типов математических задач.

Все это вместе взятое и определило выбор темы данного диссертационного исследования: «Формирование систем математических понятий у учащихся общеобразовательных школ», проблема которого заключается в осуществлении структурирования содержания школьного курса математики с целью выделения, формирования и интеграции систем фундаментальных математических понятий, которые соответствуют современным требованиям, предъявляемым к математическому образованию. Решение данной проблемы и составляет цель исследования.

Объектом исследования выступает математическое образование в средней общеобразовательной школе.

Предмет исследования составляют теоретические основы и методы формирования фундаментальных математических понятий и их систем в школьном курсе математики.

Концепция исследования:

Структурирование содержания школьного курса математики: представление его в виде взаимосвязанных, взаимообусловленных блоков: содержательного (понятийного), логико-формирующего, блока средств (дидактических и методических).

Необходимость выделения, формирования и интеграции фундаментальных математических понятий и их систем обусловлена современными требованиями к образованию, воспитанию и развитию учащихся.

В современных условиях, когда происходит частая смена учебных программ и учебников, существенное значение приобретает качественное усвоение инвариантов теоретических систем понятий, которые при соответствующей подготовленности учащихся, можно легко конкретизировать и творчески применять в различных учебных ситуациях.

Формирование фундаментальных математических понятий и их систем должно строиться с учетом их логико-гносеологической природы с позиций системного и деятельностного подходов, диалектического метода, содержательного обобщения и включать в себя продуктивную понятийно-теоретическую деятельность учащихся.

Моделирование процесса формирования математических понятий и их систем должно осуществляться с целью проявления в обучении двуединой сущности: способности концептуально отражать математическую природу и быть одновременно мыслительной деятельностью.

Деятельностная природа систем фундаментальных понятий школьного курса математики предполагает отражение в их содержании и структуре адекватной им деятельности обучающего и обучаемых. Это позволяет использовать структурно-логические модели инвариантов систем понятий в качестве прогностических основ деятельности учителя по формированию структурно-организованных и действенных знаний учащихся, по самостоятельному построению ими и усвоению этих теоретических конструктов, по реализации их разнообразных функций в процессе активного учения.

В соответствии с объектом, предметом и концепцией исследования была сформулирована гипотеза, направляющая весь ход данного исследования:

процессы обучения математике, развития учащихся, будут эффективными и результативными, если они будут опираться на модель целостного процесса формирования математических понятий и их систем, включающую компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный и оценочно-результативный;

если в обучении полноценно реализовать принципы развивающего обучения, алгоритмическую деятельность учащихся сочетать с эвристической;

если формирование фундаментальных математических понятий и их систем строить с учетом их логико-гносеологической природы с позиций системного и деятельностного подходов;

если развивать способности концептуально отражать математическую природу и одновременно формировать мыслительную деятельность учащихся, то это даст ожидаемые результаты;

если формирование систем математических понятий осуществлять с помощью диалектического метода, содержательного обобщения и включать их в продуктивную понятийно-теоретическую деятельность учащихся, то это позволит сформировать такие качества знаний, как гибкость, осознанность, глубина, критичность мышления.

Задачи исследования были поставлены в соответствии с проблемой, концепцией и гипотезой:

Проанализировать состояние теории и практики формирования фундаментальных математических понятий и их систем у учащихся средних общеобразовательных школ в свете новых требований, которые предъявляет общество к образованию, воспитанию и развитию личности обучаемых.

Выполнить логико-гносеологический анализ процесса возникновения, развития и применения фундаментальных математических понятий и их систем в современном обучении математике.

Представить общую методологию формирования фундаментальных математических понятий и их систем на основе использования системного и деятельностного подходов.

На основе выполненного анализа современного состояния теории и практики школьного математического образования выявить и сформулировать теоретические и методические основания концепции продуктивного формирования математических понятий и их систем.

Спроектировать на основе разработанной концепции прогностическую модель целостного процесса формирования понятий и их систем, содержащую компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный и оценочно-результативный.

Осуществить экспериментальную проверку выдвинутой гипотезы и эффективности теоретически обоснованной методики формирования фундаментальных математических понятий и их систем, выявить ее влияние на развитие творческого мышления учащихся, на сформированность учебных умений устанавливать содержательные и процессуальные связи между понятиями, системами понятий.

Выполнить статистическую и качественную обработку полученных результатов и сделать обоснованные выводы с целью окончательного подтверждения гипотезы исследования.

Методологическую основу исследования составляют научные положения диалектики о социально-деятельностной сущности человека, о единстве эмпирического и теоретического, о развитии личности школьника в процессе учебной деятельности.

Высший философский уровень методологии исследования основан на диалектическом методе познания; отражение философских категорий всеобщего, особенного, единичного как в самом математическом образовании, так и в формировании систем математических понятий.

Общенаучный уровень методологии опирается на общенаучные принципы и формы исследования и включает следующие теории и научные концепции: теорию познания; диалектическую концепцию развивающегося понятия (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн. А.Н. Леонтьев, B.C. Библер, И.В. Блауберг, Б.М. Кедров).

Конкретно-научный уровень методологии исследования представляют системный и деятельностный подходы, а также современные психолого-педагогические, дидактические концепции обучения (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, П.П. Блонский, Е.Н. Кабанова-Меллер, А.А. Люблинская, Л.В. Занков, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, Л.В. Берцфаи, В.В. Давыдов, А.З. Рахимов и др.)

Ведущая идея теоретической концепции исследования заключается в следующем: качественное усвоение систем фундаментальных математических понятий и развитие творческого мышления учащихся достигается через отражение в содержании и структуре теоретических знаний и целостной модели их формирования характера и структуры соответствующей познавательной деятельности обучаемых, активизируемой и развиваемой целенаправленным руководством обучающего.

Для решения поставленных в исследовании задач, а также подтверждения исходных положений и проверки гипотезы исследования использовалась совокупность взаимодополняющих методов исследования:

- теоретических: изучение и теоретический анализ литературы в области математики и истории математики, философии и логики, дидактики и теории и методики обучения математике (и других частных методик); нормативных документов, монографий, диссертаций, материалов международных, всероссийских и республиканских научно-практических конференций, связанных с проблемой исследования, школьных программ, учебников, учебных пособий по математике для учащихся средней школы; теоретико-методологический анализ содержания современного школьного математического образования; логико-дидактический и системно-структурный анализы учебного материала; научное моделирование систем фундаментальных математических понятий;

- эмпирических: изучение и обобщение массового и передового педагогического опыта учителей математики; сравнение, обобщение, классификация, синтез психолого-педагогических концепций обучения; анализ многолетней педагогической деятельности автора исследования; анкетирование, тестирование, интервьюирование (учащихся и учителей); педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанной методики формирования теоретических систем понятий; статистическая и качественная обработка полученных результатов.

На основе анализа научно-методической литературы, собственного опыта педагогической деятельности была построена логика исследования, состоящая из четырех этапов, на каждом их которых рассматривалась одна из частных проблем в тесной связи с другими.

Первый этап (организационно-подготовительный) - (1985-1993 гг.). Изучение философской, психолого-педагогической, научно-методической литературы, нормативно-программной и учебно-методической документации. Изучалось состояние проблемы в теории и практике обучения математике, осуществлялся ее разносторонний анализ, разрабатывались и проверялись методики изучения ведущих тем и разделов школьного курса математики: «Линейная функция», «Квадратные уравнения», «Неравенства», «Тождественные преобразования выражений», «Тригонометрические функции, уравнения и неравенства», «Производная и ее применение», «Показательная и логарифмическая функции» и другие. Осуществлялось локальное структурирование и моделирование систем математических понятий. Это позволило выделить и сформулировать проблему, определить объект и предмет исследования.

Второй этап (поисково-теоретический) - (1994-1999 гг.). Уточнение гипотезы исследования, изучение многих аспектов проблемы; определение теоретических основ и направлений совершенствования процесса формирования фундаментальных математических понятий и их систем; проведение констатирующего эксперимента и обработка его результатов; экспериментальная проверка результативности разработанной методики в общеобразовательных учреждениях различных городов и регионов.

Третий этап (содержательно-процессуальный) - (1999-2003 гг.). Разработана концепция продуктивного формирования систем фундаментальных математических понятий и создана прогностическая модель целостного процесса формирования понятий и их систем; полностью выполнен констатирующий эксперимент и обобщены его результаты. Проведен формирующий эксперимент, в котором приняло участие свыше 4000 учащихся различных регионов; осуществлена экспериментальная проверка целостной методики формирования теоретических систем понятий: «Уравнения и неравенства», «Функции, уравнения, неравенства», «Функции и их исследование с помощью различных научных теорий» «Функции, производная, интеграл»; осуществлена оценка эффективности разработанной методики.

Четвертый этап (аналитический, завершающий) - (2003-2009 гг.). Завершен формирующий эксперимент, произведены систематизация и обобщение научных результатов, их качественно-статистический анализ; сформулированы выводы; осуществлена публикация основных результатов исследования в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ; осуществлено внедрение в учебный процесс теоретических основ и целостной методики формирования теоретических систем понятий.

Опытно-экспериментальной базой исследования были общеобразовательные учреждения гг. Великого Новгорода, Новгородской области, Саратова, Саратовской области (гг. Петровск, Аткарск), Магнитогорска, Уфы, ряда регионов Башкортостана (Мелеузовский, Аургазинский, Абзелиловский и др.), Алматы, Рязани, Нальчика и др.

Личный вклад диссертанта состоит в теоретической разработке концептуальных идей и положений исследования, непосредственном руководстве и осуществлении длительной опытно-экспериментальной работы в качестве преподавателя педвуза и университета, учителя математики, педагога Областного автономного образовательного учреждения дополнительного профессионального образования (повышение квалификации специалистов) «Новгородского института развития образования».

Научная новизна исследования:

- выполнены логико-гносеологический и методологический анализы содержания общего математического образования;

- разработана и реализована концепция продуктивного формирования фундаментальных математических понятий и их систем в современном обучении, основу которой составляют системный и деятельностный подходы, а также диалектический метод обучения и учебного познания - восхождения от абстрактного к конкретному;

- в рамках разработанной концепции создана прогностическая модель целостного процесса формирования систем фундаментальных математических понятий; модель воедино связывает содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный и оценочно-результативный компоненты процесса формирования систем понятий;

- разработанная нами концепция и созданная на ее основе прогностическая модель ориентированы на образование, дальнейшее развитие и интеграцию теоретических систем математических понятий;

- разработаны и обоснованы новые методические подходы к изучению и применению математического языка в процессе обучения математике.

Теоретическая значимость настоящего исследования заключается в решении актуальной и крупной научной проблемы создания теоретических основ и технологии формирования систем понятий в обучении математике, соответствующей современным социальным требованиям. На основе разностороннего и многоуровневого анализа данной проблемы:

- даны логико-гносеологическая и методологическая характеристика фундаментальных математических понятий, определена их природа, выделены функции и связи понятий, механизмы образования и развития;

- определены принципы отбора понятий и оценочные параметры для их логико-дидактического анализа, разработана классификация систем понятий;

- разработана модель целостного процесса формирования фундаментальных математических понятий и их систем в современном обучении математике;

- разработана целостная методика формирования теоретических систем понятий, реализующая принципы: системности, обобщенности, функциональности понятий, интенсификации процесса формирования теоретических систем понятий, активизации понятийно-теоретической деятельности учащихся в обучении математике;

- выделены уровни и этапы формирования фундаментальных понятий и их систем, что позволило реализовать основные функции понятий: обобщающую, систематизирующую, объяснительную, эвристическую, развивающую, прогностическую;

- разработана типология учебных задач и учебных действий, на основе и с помощью которых осуществляется целостный процесс формирования теоретических систем понятий;

- определены принципы отбора математических задач (алгоритмических, полуалгоритмических, полуэвристических, эвристических), включающих учащихся в активную познавательную деятельность по усвоению и применению фундаментальных математических понятий.

Практическая значимость исследования:

- разработанная автором теоретическая концепция формирования математических понятий и их систем может широко применяться и в других школьных предметах, а также и в вузовских курсах;

- универсальный характер результатов и материалов исследования позволяет использовать их при разработке новых учебных программ и совершенствовании действующих по различным предметам, альтернативных авторских программ, учебных пособий по многоуровневому математическому образованию; образовательных стандартов школьного и вузовского образования;

- представлены научно обоснованные материалы, которые могут использоваться преподавателями высших учебных заведений, институтов повышения квалификации кадров при разработке лекций по методологическим проблемам совершенствования образования, обновлении содержания лекционных курсов психолого-педагогических и специальных дисциплин, в научно-исследовательской работе студентов, магистрантов, аспирантов и педагогов-практиков;

- основные идеи и положения исследования получили положительную оценку учителей-практиков различных регионов (Великий Новгород, Саратов, Рязань, Уфа, Нальчик, Алматы и др.). Материалы исследования отражены в выпускных квалификационных (27) и курсовых работах (106) студентов выполненных под руководством автора исследования, в монографии, учебно-методических пособиях, рекомендациях, научных статьях, изданных по результатам исследования, которые нашли применение в математическом образовании школьников, студентов и в системе подготовки и повышения квалификации педагогических кадров.

Достоверность и обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивались согласованностью их с фундаментальными положениями теории познания, методологии математики, дидактики, психологии, педагогической акмеологии; многосторонним и многоуровневым качественным и количественным анализом большого фактологического материала, полученного в процессе исследования; применением совокупности взаимосвязанных и взаимозависимых теоретических и эмпирических методов исследования, адекватных целям и задачам; массовым характером констатирующего и формирующего педагогического эксперимента и его позитивными результатами, их глубоким анализом и обобщением, статистическими методами обработки, широкой апробацией результатов исследования.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты исследования внедрены в практику работы школ через монографию, учебно-методические пособия, методические рекомендации, научные статьи, доклады и тезисы, предназначенные научным сотрудникам, преподавателям, аспирантам и студентам педвузов и университетов, а также учителям математики. Работы опубликованы в Москве, С.-Петербурге, Великом Новгороде, Варшаве, Чебоксарах, Челябинске, Перми, Екатеринбурге, Уфе, Кирове, Архангельске, Казани, Самаре, Ростове-на-Дону, Твери, Тольятти, Костроме, Воронеже, Красноярске, Калуге, Тамбове и др.

На основе разработанных теоретических положений, конкретной методики и результатов выполненного исследования разработаны отдельные лекции по курсу теории и методики обучения математике, которые многие годы читаются студентам - будущим учителям математики и физики Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого. Также разработан и читается студентам спецкурс «Современные педагогические технологии». Многие теоретические положения исследования и конкретная методика составили основу лекций для учителей различных предметов, директоров школ по формированию теоретических систем понятий, по их дальнейшему обобщению и систематизации, читаемых в многоэтапном цикле лекций в ОАОУ профессионального образования (повышения квалификации специалистов) в «Новгородском институте развития образования»; на курсах повышения квалификации учителей математики (гг. Великий Новгород, Старая Русса, Боровичи, Валдай, Пестово, Малая Вишера, Окуловка, Магнитогорск, Саратов, Уфа, Алматы, Элиста, Кокчетав).

Материалы диссертации обсуждались с ведущими специалистами страны в области дидактики, психологии, частных методик и многократно докладывались на научных и научно-практических конференциях международного, российского и регионального уровня: Москва (1990, 1994, 2000, 2001), Челябинск (1988-2009), Алматы (1990, 1992), Казань (1992), Воронеж (2003), Киров (1994, 2004, 2006, 2009), Вологда (2001, 2006), Тюмень (1991), Уфа (1989, 1990, 2000, 2005, 2007, 2008), Красноярск (1993), Саранск (1995, 1998), Тверь (1995, 2003, 2006), Архангельск (1985, 1987, 1999), Сыктывкар (1988), С.-Петербург (1984-1991, 1993, 1996-1998, 2004), Великий Новгород (1988, 1989, 1997, 2000), Брянск (1999), Тольятти (2003, 2005, 2007, 2009), Минск (1985-1988, 1992), Ульяновск (1991), Липецк (1993), Самара (2007), Пермь (2008), Чебоксары (2007-2009).

Результаты исследования также докладывались на научных семинарах Института математики и информатики Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого, Башкирского государственного педагогического университета имени М. Акмуллы, факультета математики и информатики Вятского государственного гуманитарного университета, факультета педагогического образования Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Исходная идея и принципы разработки теоретических основ и методики формирования систем фундаментальных математических понятий. Идея заключается в том, что системно-структурная организация содержания систем фундаментальных понятий, отражающая адекватную структуру деятельности учителя и учащихся, повысит обобщенность и функциональность понятий в обучении, и продуктивность познавательной деятельности учащихся.

2. Концепция продуктивного формирования математических понятий и их систем в современном обучении (обоснованный отбор и структурирование понятийного содержания, повышение роли и значимости математического языка, функций понятий; выделение учебных задач, в ситуациях которых происходит овладение теоретически обобщенными структурами понятий, систем понятий).

3. Прогностическая модель целостного процесса формирования систем понятий в обучении математике, содержащая компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный, оценочно-результативный и их взаимосвязи.

4. Структурно-содержательные модели систем понятий - как ориентиры организации учебно-познавательной деятельности учащихся.

5. Целостная методика формирования систем фундаментальных математических понятий и управление учебно-познавательной деятельностью учащихся по их овладению.

Структура и основное содержание работы: диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка из 346 наименований, приложения. Объем диссертации составляет 339 страниц машинописного текста. В диссертации 18 приложений общим объемом 65 страниц.

Во введении обоснована актуальность темы исследования; определены объект, предмет, цель, гипотеза и задачи исследования; изложены методологические основы исследования и описаны этапы его осуществления; констатирована достоверность полученных результатов; раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимости исследования; сформулированы положения, выносимые на защиту, показаны направления апробации и внедрение полученных результатов.

В первой главе «Методология формирования понятий и их систем в школьном курсе математики» представлен разноаспектный анализ объекта и предмета исследования: социально-педагогический и логико-гносеологический, что объясняется, прежде всего, сложной природой математических понятий, научным характером их изучения, потребностью представить методологию исследования.

Формирование понятий любого предмета - важнейшая задача современного школьного образования. Перед учеными различных научных направлений встают проблемы творческого развития учащихся, раскрытия механизмов сознания и использования этих механизмов как опорных средств, по которым развивающийся интеллект ученика достигнет вершин познания.

Специфические черты математики как науки и как учебного предмета определяют ее особое положение в ряду базисных направлений развития личности, ибо, образовательный, воспитательный и развивающий потенциалы математики безграничны.

Методологические, психолого-педагогические, дидактические исследования последних десятилетий показали, что любое образование, и, прежде всего математическое, не может быть сведено к передаче обучаемым базы готовых знаний. В век быстрого нарастания научной информации наука и обучение делают ставку на общие теоретические системы понятий, формирование которых должно происходить в процессах активной и напряженной деятельности учащихся (Б.В. Гнеденко, Н.Х. Розов, Е.М. Вечтомов, В.С. Библер, Е.К. Войшвилло, Б.М. Кедров, А.И. Уемов, В.В. Давыдов, Н.Ф. Талызина, В. Оконь, А.З. Зак, А.К. Маркова, Н.И. Кондаков, А.В. Усова, Н.Н. Тулькибаева, В.П. Беспалько, М.Б. Волович, В.А. Извозчиков, Г.Д. Кириллова и др.).

Анализ программ по математике, учебников (действующих и экспериментальных) показал, что до настоящего времени не создано оптимальных условий для качественного формирования и функционирования теоретических систем понятий. Отсюда вытекают проблемы, связанные с построением содержания школьного математического образования: не расширяя объема учебного материала дать учащимся необходимый запас теоретических знаний; раскрыть логико-гносеологическую природу формируемых понятий; способствовать объединению понятий в системы, осуществлять дальнейшее развитие и совершенствование систем, объединяя их в более общие теоретические системы сущностных знаний. При таком подходе на первый план должны выдвигаться взаимосвязанные компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный и оценочно-результативный.

Теоретико-экспериментальное изучение процесса обучения с позиций системного и деятельностного подходов (А.С. Арсеньев, В.С. Библер, Б.М. Кедров, Н.К. Вахтомин, А.И. Уемов, А.Н. Шимина, В.А. Штофф, Э.Г. Юдин, В.В. Давыдов, Л.В. Берцфаи, Н.Ф. Талызина, Н.Г. Салмина, А.З. Рахимов и др.) потребовало новой постановки вопроса о структуре содержания школьного математического образования, а, следовательно, и предмета математики. Нами обоснованно выделено и представлено три взаимосвязанных и взаимозависимых блока: содержательный, логико-формирующий, дидактико-методических средств. Проанализированы точки зрения ученых-математиков (А.Д. Александров, Л.С. Понтрягин, А.И. Маркушевич, Н.Х. Розов, Л.Д. Кудрявцев и др.), известных методологов науки, дидактов (А.Я. Хинчин, А.А. Столяр, А.В. Усова, Л.Я. Зорина, В.А. Извозчиков, З.И. Калмыкова, Г.А. Китайгородская, Г.Д. Кириллова, В.П. Беспалько, П.И. Пидкасистый, А. Крыговская, В. Оконь и др.), психологов (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, Э. Стоунс, В.В. Давыдов и др.) на понятие «содержание учебного материала». Анализ различных точек зрения позволил представить наше видение данного понятия: 1) это теоретические знания (понятия, системы понятий, математические утверждения) и методы их получения и дальнейшего развития; 2) различные типы математических задач и методы их решения; 3) взаимосвязи, существующие между теоретическими знаниями и математическими задачами. Представленные компоненты и определяют структуру содержательного блока. Приоритет в данном блоке отдается понятиям - как важнейшей форме математического мышления. Они различны по содержанию, объему, структуре, выполняемым функциям, способам образования, развития и интеграции. Все понятия подразделяются на неопределяемые, общие, фундаментальные. Выделены критерии, согласно которым понятия могут быть отнесены к тем или другим. В исследовании мы рассматриваем фундаментальные математические понятия (уравнение, неравенство, тождество, функция, производная, интеграл) и системы этих понятий. Обладая высоким информативным и функциональным потенциалом, фундаментальные понятия способны проецировать максимум новых знаний минимальными средствами, ибо, изучаются на протяжении длительного периода времени (5-7 лет); способствуют наиболее полной реализации внутрипредметных, внутрисистемных и межсистемных связей; имеют широкую прикладную направленность; способствуют формированию диалектического мышления и научного мировоззрения обучаемых. Важную роль в содержательном блоке должны выполнять математические задачи, играющие огромную роль именно в становлении, дальнейшем формировании и применении теоретических систем понятий. На основе имеющихся классификаций математических задач (К.И. Нешков, А.Д. Семушин, Ю.М. Колягин, А.А. Столяр) нами выделена классификация: алгоритмические задачи, полуалгоритмические, полуэвристические, эвристические. Задачи последних двух видов практически отсутствуют в учебниках алгебры и алгебры и начал анализа (как действующих, так и экспериментальных), что, несомненно, затрудняет установление содержательных и процессуальных связей между понятиями, что значительно снижает эффективность обучения, воспитания и развития обучаемых. С данным теоретическим блоком тесно связаны два других: логико-формирующий и дидактико-методических средств. В логико-формирующий блок входят следующие виды знаний: логические, методологические, историко-научные, философские, межпредметные, оценочные, а также методы математики: метод математического моделирования, аксиоматический, координатный, векторный, метод уравнений и неравенств. Блок дидактико-методических средств должен содержать общелогические и специфические приемы учебно-познавательной деятельности, а также различные знаковые модели: учебные карты, логико-структурные схемы, обобщающие таблицы, тетради с печатной основой и др. В диссертации каждый из этих блоков подробно представлен. Отсутствие их в содержании школьного математического образования негативно сказывается на: а) овладении учащимися способами рассуждений; б) овладении умственными операциями; в) осознании структуры собственной деятельности при формировании теоретических знаний.

За последние два с небольшим десятилетия выполнен ряд исследований на уровне кандидатских и докторских диссертаций (В.А. Герлингер, М.Г. Гохидзе, И.М. Степуро, Р.А. Рыбакова, В.Л. Пестерева, О.И. Плакатина, А.Г. Мордкович, С.Г. Манвелов, В.А. Далингер, Д.Х. Рубинштейн, Н.С. Подходова, Н.И. Мерлина, Х.Ж. Ганеев и др.) в которых прослеживается общая тенденция: объединить школьный курс математики (или отдельные его части) на какой-то одной математической основе: теоретико-множественной, логической, функциональной или какой-то другой. Как показывает практика обучения, такие подходы оказывались малоэффективными в плане образовательно-развивающем, так как они практически не учитывали логико-гносеологическую природу формируемых понятий, закономерности их возникновения, развития и применения. Ни в одном из имеющихся до настоящего времени исследований не ставился вопрос о формировании целостных систем понятий. Позитивно решить эту проблему возможно в том случае, если опираться на методологию и современную теорию познания.

Обращение к исследованиям по философии, логике, методологии математики (А.С. Арсеньев, В.С. Библер, М.Н. Алексеев, Н.К. Вахтомин, Е.К. Войшвилло, Д.П. Горский, Н.И. Кондаков, Б.М. Кедров, В.В. Мадер, В.Н. Молодший, Ю.А. Петров, Г.И. Рузавин, К.А. Рыбников, Е.М. Вечтомов, В.М. Глушков, А.К. Сухотин, Г.И. Саранцев и др.), позволило нам подробно исследовать процесс математического познания, в котором в диалектическом единстве выступают эмпирические и теоретические уровни познания, а соответственно, эмпирические и теоретические понятия. Эмпирические понятия образуются индуктивно (при переходе от частного к общему), теоретические - дедуктивно (при переходе от общего к частному). Поскольку для понятий математики характерен высокий уровень абстракции и обобщения, то значительное большинство изучаемых здесь понятий по своей природе являются теоретическими. Теоретические понятия трактуются как развивающиеся системы знаний, как концептуальные формы отражения реальной действительности, имеющие структурно-уровневую организацию, знаковую форму существования. Математические понятия как сложные образования синтезируют в себе суждения и умозаключения и обладают многоуровневой, многоэтапной, полисемантической, полифункциональной и социально-деятельностной природой. Они диалектичны по своей сущности. Адекватным их природе является диалектический метод, в центре которого восхождение от абстрактного к конкретному, а в составе его познавательных средств - принципы диалектики. Применение принципов диалектики в единстве с формально-логическими правилами и операциями - важное методологическое требование к процессу формирования понятий, дающее возможность рассматривать их на всем протяжении обучения в динамике (А.С. Арсеньев, В.С. Библер, М.Н. Алексеев, Е.К. Войшвилло, Д.П. Горский, В.С. Готт, Г.И. Рузавин, К.А. Рыбников, Н.И. Кондаков, А.К. Сухотин, А.В. Усова, А.Н. Шимина, Э.Г. Юдин и др.).

В ходе исследования нами было выделено и представлено два уровня в формировании теоретических (фундаментальных) понятий и их систем: гносеологический (логический) и генетический (содержательный). Теоретическое обобщение, выполняемое на гносеологическом уровне сводится к установлению общности в тех формах мышления, в которых зафиксировано знание в данном предмете (понятиях, математических утверждениях, алгоритмах, математических методах). Именно через этот уровень обобщения мы выходим на необходимые и достаточные условия существования объектов, а, следовательно, на генетический уровень. При обобщении на генетическом уровне, во-первых, раскрывается природа (происхождение) того или иного понятия, во-вторых, устанавливается общее в различных проявлениях понятия, в-третьих, происходит установление связей с другими понятиями. На каждом из уровней были выделены определенные этапы, что обеспечивало прочное, осознанное, глубокое усвоение понятий и их систем учащимися и создавало определенные условия для дальнейшего развития, применения, последующей интеграции и реализации их основных функций: обобщающей, систематизирующей, объяснительной, эвристической, развивающей, прогностической. Выделены качественные критерии, согласно которым соответствующий уровень (или этап) можно считать завершенным.

Общенаучный уровень методологии исследования составили системный и деятельностный подходы, а также диалектический метод учебного познания - восхождение от абстрактного к конкретному. Исходя из сущности системного подхода, который проявляется в системно-структурном и структурно-функциональном анализе сложных объектов как целостных формирований (В.Г. Афанасьев, И.В. Блауберг, Т.И. Ильина, Н.И. Кондаков, Г.А. Курсанов, А.И. Уемов, А.Н. Шимина, Э.Г. Юдин, Е.И. Лященко, В. Оконь, А.М. Сохор, Г.А. Китайгородская и др.), осуществлен системный анализ и дана характеристика фундаментальных понятий школьного курса математики («уравнение», «неравенство», «тождество», «функция», «производная», «интеграл»). Сделаны обоснованные выводы относительно системной организации их содержания, процесса формирования и применения в различных учебных ситуациях: аналогичных, измененных, новых. Эффективность системного подхода усиливалась включением метода моделирования (Н.М. Амосов, А.У. Варданян, В.В. Давыдов, Г. Пиппиг, А.З. Рахимов, В.А. Штофф и др.). С помощью этого метода фиксировалась целостность исследуемых объектов, и в условно-абстрактном виде отражались их статическое и функциональное состояния, конструировались прогностические модели обучения. В работе особо выделен метод математического моделирования - как один из ведущих методов математики (В.Г. Болтянский, Г. Вейль, Е.М. Вечтомов, Л.М. Фридман, Г.В. Токмазов).

Предметно-деятельностные истоки понятий и их систем позволяют рассматривать их не только как формы мышления, отражающие сущностные признаки, отношения и связи предметов и явлений, но и как идеальную форму существования социального опыта познания, способа деятельности. В диссертации обосновано, что эта деятельность предметна и концептуальна; управление деятельностью опирается на ее структуру (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, В.В. Давыдов, Л.В. Берцфаи, В.С. Швырев, В.В. Репкин и др.).

Анализ философских, философско-математических исследований приводит к важному выводу: истинное овладение фундаментальными математическими понятиями возможно лишь в активной познавательной деятельности, которая направлена на: 1) выявление и осознание всеобщих признаков и отношений объектов определенных классов; 2) объединение понятий в системы и реализации их функций (обобщающей, развивающей, эвристической, прогностической и др.); 3) применение сформированных понятий и их систем в различных учебных ситуациях.

Анализ существующих подходов показал, что соединение системного и деятельностного подходов в обучении позволит учитывать логико-познавательную природу не только математических понятий, но и их систем: закономерности их возникновения, дальнейшего формирования и интеграции.

Вторая глава «Психолого-педагогические и дидактические основы формирования понятий и их систем в обучении математике» посвящена анализу наиболее значимых психолого-педагогических и дидактических концепций обучения; выполняется сравнительный анализ каждой из них с целью выбора необходимых концепций для построения модели целостного процесса формирования теоретических систем понятий в обучении математике.

Отбор и изучение понятий школьного предмета математики строится прежде всего с опорой на математическую науку, психологию, дидактику, теорию и методику обучения математике. Развивающее обучение и развивающий характер научных понятий как дидактических единиц усвоения стали общепризнанными. Это потребовало усиления межсубъектных отношений между учителем и учащимися в процессе формирования научных понятий и их систем: понимание структуры выполняемой деятельности, способов и механизмов формирования теоретических систем понятий, что предполагает обязательную опору на педагогическую психологию, на ее учение о мышлении в понятиях, основы которых были заложены П.П. Блонским, Л.С. Выготским, С.Л. Рубинштейном, а затем легли в основу создания современных концепций обучения и усвоения понятий, управления учебной деятельностью.

Анализ психолого-педагогической литературы позволил нам выделить и детально рассмотреть четыре психологических концепции обучения и формирования научных понятий: ассоциативно-рефлекторную (Ю. А. Самарин, А. Ф. Эсаулов, Д.Н. Богоявленский, Н.А. Менчинская, С.А. Шапоринский и др.), формирование приемов учебной и умственной деятельности (Н.А. Менчинская, А.А. Люблинская, Е.Н. Кабанова - Меллер, Л.Б. Ительсон и др.), поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, М.Б. Волович, Г.А. Буткин, В.В. Рубцов, И.П. Калошина и др.), содержательно-генетическую (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, Н.Ф. Талызина, А.К. Маркова, Л.В. Берцфаи, А.З. Рахимов, И. Ломпшер, Г. Пиппиг, И.И. Ильясов и др.). В диссертации представлен подробный анализ каждого из этих научных направлений и дана критическая оценка с позиции возможности применения к решению задач данного исследования. По своим теоретическим положениям более близкими к реализации замыслов нашего исследования оказались концепции: поэтапного формирования умственных действий и содержательно-генетическая. Так как в этих научных направлениях на теоретико-методологическом и научно-практическом уровнях определены подходы к интенсификации процесса обучения, формированию таких видов учебно-познавательной деятельности, которые с самого начала включают в себя заданную систему теоретических знаний и обеспечивают их применение в заранее установленных областях (Н.Ф. Талызина, В.В. Давыдов, И.И. Ильясов, А.В. Захарова). Для этого осуществляется: а) введение учащихся в ситуацию учебной задачи, которая выводит на содержательно общий способ решения классов конкретно-практических задач, объединенных общностью предметного содержания и методов решения, что в конечном итоге направлено на изменение личности обучаемого; б) формирование в ситуации учебной задачи общелогических и специфических учебных действий, а также действий контроля (самоконтроля) и оценки (самооценки). Также нами широко использовались (при проведении формирующего эксперимента) принципы обучения, выдвинутые В.В. Давыдовым, Н.Ф. Талызиной, Л.В. Берцфаи, А.З. Рахимовым: диалектический метод познания, деятельностный подход в обучении, единство индивидуальных и групповых форм учебной деятельности, творческое развитие всех учащихся.

Через все диссертационное исследование красной нитью прошли научные идеи Л.С. Выготского об орудийной функции знака и слова - как важнейших инструментах мыслительной деятельности и формирования понятий, и С.Л. Рубинштейна о том, что объект в процессе мышления включается в новые виды связей и зависимостей, в силу чего выступает в новых качествах, что дает возможность рассматривать объект изучения в новых контекстах и связях и тем самым «вычерпать» его многообразное и многоаспектное содержание. Также мы широко опирались на последние достижения психологии, педагогической акмеологии в области внимания, памяти, теоретического рефлексирующего мышления, минимизации знаний, оптимизации и интенсификации процесса обучения, укрупнения дидактических единиц (П.П. Блонский, А.Р. Лурия, А.А. Люблинская, А.В. Брушлинский, Р. Клацки, В.Я. Ляудис, А.М. Матюшкин, М.И. Махмутов, В.В. Давыдов, Г. Вейль, Й. Лингарт, А.З. Зак, Ю.Е. Калугин, М.А. Холодная, И.С. Якиманская, М. Вертгеймер, П.М. Эрдниев, В.П. Беспалько, Ю.К. Бабанский).