Формирование систем математических понятий у учащихся общеобразовательных школ

Процесс формирования понятий в обучении является также предметом дидактики. Здесь научные понятия рассматриваются как некоторые дидактические единицы содержания, а их формирование - как активная и взаимосвязанная деятельность учителя и учащихся.

Дидактическими основами исследования: а) в области отбора и структурирования учебного содержания служили положения теории общего среднего, в том числе, естественнонаучного и математического образования (М.Н. Скаткин, В.В. Краевский, Л.Я. Зорина, И.Я. Лернер, В.И. Загвязинский, П.И. Пидкасистый, Г.Д. Кириллова, В. Оконь, В.А. Оганесян, А.В. Усова, А.И. Раев, В.С. Леднев, И.К. Журавлев, Н.Х. Розов, Д.Х. Рубинштейн, В.Ф. Паламарчук, А.В. Хуторской, Н.Ф. Талызина); логико-дидактический и структурно-логический анализы учебного материала (А.М. Сохор, Е.И. Лященко, Л.Я. Зорина, Н.Н. Тулькибаева, А.А. Столяр и др.); б) в разработке дидактико-методических основ процесса формирования математических понятий мы опирались на важнейшие принципы дидактики, на закономерности процесса обучения (М.А. Данилов, В.В. Краевский, Т.А. Ильина, А.М. Новиков, Г.А. Китайгородская, Ю.К. Бабанский, Г.И. Щукина, В.И. Загвязинский, Г.М. Кузнецова, А.В. Усова, Г.Д. Кириллова и др.), на психолого-дидактические основы формирования научных понятий и обобщенных учебных умений у школьников (А.В. Усова, Н.Н. Тулькибаева, Т.И. Шамова), на сравнительный анализ обучения и научного познания (Н.К. Вахтомин, В.М. Глушков, Д.П. Горский, Й. Лингарт, Э. Стоунс, С.А. Шапоринский, В. Феллер), на концепции проблемного обучения и активизации познавательной деятельности учащихся (М.И. Махмутов, А.М. Матюшкин, В. Оконь, М. Вертгеймер, Г.И. Щукина), предусматривающие развитие и синхронизацию взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся и их межсубъектные отношения, выход на которые обеспечивался развитием познавательной самостоятельности учащихся и подготовкой их к дальнейшему самообразованию и самоорганизации (П.И. Пидкасистый, Л.Я. Зорина, М.В. Зуева, А.К. Громцева, З.И. Васильева, Г.Д. Кириллова и др.); в) в решении вопросов ускорения процесса формирования математических понятий и их систем применялись принципы развивающего обучения (Л.В. Занков, В.В. Давыдов), а также основные положения концепции оптимизации процесса обучения (Ю.К. Бабанский).

За последние 7-10 лет написано большое количество исследований на уровне кандидатских и докторских диссертаций, пособий, авторских программ в области дидактических исследований, носящих локальный характер. Признавая их актуальность и значимость, следует заметить, что еще недостаточно работ, направленных на раскрытие основ целостного процесса формирования понятий и тем более систем понятий.

Формирование математических понятий - это и кардинальная проблема в области теории и методики обучения математике. Здесь нами выделено три научных направления: методико-математическое, методико-дидактическое и методико-психологическое.

Анализ педагогических работ ученых-математиков: А.И. Берга, В.Г. Болтянского, В.С. Владимирова, Г.В. Дорофеева, Б.В. Гнеденко, А.А. Ляпунова, Л.С. Понтрягина, С.М. Никольского, С.А. Теляковского и др. позволил нам сделать вывод: все они направлены на усиление внимания к развитию математических способностей, творческого мышления обучаемых. Однако все теоретические знания продолжают рассматриваться рядоположенно: каждый изучаемый математический факт вводится как совершенно новый и по форме и по содержанию; не всегда учитывается взаимосвязь содержательно-целевого и процессуально-деятельностного компонентов обучения; не становится вопрос об объединении понятий в системы.

Изучение работ методико-дидактического направления позволило установить, что здесь накоплен определенный опыт по проблеме формирования понятий. Поэтому основной задачей анализа литературы было: установление закономерностей формирования математических понятий и обобщение накопленного опыта по их формированию; выявление достижений по интересующей нас проблеме; определение предпосылок и методических основ данного исследования.

Становление теории формирования математических понятий в отечественной методике связано с именами выдающихся математиков-методистов П.С. Гурьева, В. Мрочека, Дж. Юнга, которые, опираясь на педагогические идеи гениальных математиков М.В. Ломоносова, Н.И. Лобачевского, М.В. Остроградского создали понятийный аппарат систематических курсов арифметики, алгебры и геометрии. П.С. Гурьев был одним из первых методистов, воплотивших деятельностный подход в практику обучения математике (1915 г.). Заслуга дальнейшего развития теории формирования математических понятий принадлежит математику-методологу А.Я. Хинчину, который впервые выделил и представил этапы формирования понятий конкретно-индуктивным методом. Следует отметить, что методика формирования понятий в 50-60-ых годах XX столетия отражала господствовавшие в психологии формально-логический подход и индуктивно-эмпирическую схему образования и развития понятий.

Большой вклад в разработку новых подходов к формированию отдельных понятий в 70-80-ые годы внесли исследования Ю.М. Колягина, А.А. Столяра, В.Н. Осинской и др. Был научно обоснован эмпирический подход к образованию и развитию понятий (Ю.М. Колягин, А.А. Столяр, Р.С. Черкасов).

В последнее десятилетие усилилось внимание к методологии процесса обучения математике и формирования в этом процессе теоретических знаний. Работы на уровне диссертационных исследований существенно обогатили теорию и практику обучения математике в средней школе. Однако теоретические аспекты проблемы формирования систем понятий остаются не исследованными.

В методико-психологическом направлении (Н.А. Менчинская, Д.Н. Богоявленский, В.А. Крутецкий, Л.М. Фридман, А. Крыговская, Г.Д. Глейзер, З.И. Слепкань, В.Н. Осинская и др.) математические понятия не являются предметом специального исследования, а рассматриваются в связи с изучением мышления, памяти, внимания.

Анализ всех имеющихся научных направлений позволил установить, что до настоящего периода времени остаются мало исследованными вопросы организации понятийного содержания и процесса формирования теоретических систем понятий; также не вскрывается характер деятельности учащихся по формированию понятий; не устанавливаются дидактические функции понятий в современном обучении математике. Мы попытались направить свои усилия на решение этих вопросов.

Третья глава «Теоретические основы формирования математических понятий и их систем в обучении математике» посвящена: анализу результатов констатирующего эксперимента; выявлению способов и механизмов образования, развития и интеграции фундаментальных математических понятий и их систем в обучении; разработке теоретической концепции продуктивного формирования и функционирования математических понятий и их систем в процессе обучения; построению структурно-содержательных моделей систем фундаментальных понятий; раскрытию теоретических основ формирования математического языка - как одного из средств познания в процессе обучения.

Анализ действующих программ, учебников, методик обучения показал, что к настоящему периоду времени сложились относительно стабильная логика предмета и инвариант понятийного содержания. Вместе с тем в существующих подходах формирования математических понятий обнаружены противоречия между: конструктивно-деятельностной природой понятий и преимущественно репродуктивно-воспроизводящим уровнем их усвоения; формированием понятий и соответствующими видами учебно-познавательной деятельности; полифункциональной, многоуровневой, многоаспектной природой фундаментальных понятий и недостаточной мотивацией их введения, дальнейшего формирования и последующей интеграции.

Результаты констатирующего эксперимента (1985-1997 гг.и повторный 2003-2007 гг.), в котором участвовало 38 школ, 780 классов, 4642 ученика и 1976 абитуриентов различных городов и регионов, подтвержденные литературными данными показали, что к концу обучения в средней школе 76,7 % учащихся находятся на уровне применения готовых алгоритмов в аналогичных учебных ситуациях, 24,2 % могут устанавливать связи между понятиями внутри тем (разделов), 11,1 % учащихся могут применять знания в различных учебных ситуациях. Установлено, что 70-72,3% выпускников школ: 1) не умеют выделить структуру математического понятия; 2) не умеют выделить и применить соответствующую подсистему понятий в измененных и новых учебных ситуациях; 3) испытывают серьезные затруднения при переходе от одной научной теории к другой.

Таким образом, экспериментально было подтверждено, что к моменту окончания средней школы у значительного большинства учащихся не формируются целостные системы теоретических знаний.

Необходимым условием разработки теоретических основ и целостной методики формирования фундаментальных понятий и их систем было - выявление способов и механизмов процесса их образования и развития. Установлено, что теоретические системы понятий образуются с помощью содержательного обобщения в логическом единстве с операциями теоретического анализа, синтеза, моделирования (В.В. Давыдов, А.У. Варданян, Д.Х. Рубинштейн, Н.Г. Салмина, Н.Ф. Талызина). Основная идея заключается в сведении понятий к единой основе - гносеологической, генетической или функциональной, позволяющей раскрыть сущность понятия, представив его как единство всеобщего, особенного и единичного (А.Н. Шимина, В.В. Давыдов, Н..Ф. Талызина, А.В. Усова, Л.Я. Зорина, М.П. Барболин, Г.Д. Кириллова и др.). В диссертации подробно раскрыты теоретические обобщения, выполняемые на каждой из этих основ; раскрыты механизмы интеграции понятий, которая строится на глубоком теоретическом обобщении ведущих идей и научных теорий и широком использовании внутрисистемных и межсистемных связей; представлены способы образования теоретических систем понятий; выявлены принципы, которые используются при формировании систем понятий; выявлены и раскрыты линии развития систем понятий (генетическая, интенсивная, экстенсивная); определены цель и механизмы внутрисистемной и межсистемной интеграции понятий.

Исходя из положения о деятельностной, многоуровневой и полифункциональной природе фундаментальных математических понятий, о том, что невозможно сформировать их как теоретические системы вне активной познавательной деятельности, ведущим видом ее была выделена, обоснована и определена понятийно-теоретическая деятельность.

С этих позиций процесс формирования теоретических систем понятий представлен как единство организационно-формирующей деятельности учителя и учебно-познавательной деятельности учащихся, обеспечивающих содержательное обобщение исходных математических абстракций, усвоение сущности изучаемого предмета, развитие творческого мышления. Такое понимание процесса формирования систем понятий и деятельности обучаемых предполагает изменение существующих подходов в направлении установления оптимальных структур фундаментальных понятий и их единства с функциями, повышения роли и действенности математического языка, который выражает эти знания и позволяет удобно оперировать ими; создание условий для научной организации труда учителя и учащихся.

В соответствии с намеченными направлениями нами была разработана научная концепция продуктивного формирования понятий и их систем в современном обучении математике. Ее идейно-содержательная часть соответствует основным положениям Закона РФ «Об образовании» и «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года». В ее основу были положены принципы:

- повышения системности, обобщенности и функциональности фундаментальных понятий в обучении математике;

- интенсификации процесса формирования теоретических систем понятий;

- активизации и самоорганизации понятийно-теоретической деятельности учащихся в процессе решения учебных задач, формирования приемов учебной деятельности, действий контроля и оценки.

Представленные в виде целостной, открытой и гибкой системы, обогащенные принципами диалектики, в частности, принципами диалектического метода познания, системно-деятельностного подхода и творческого развития, эти принципы составили базис для разработки общей модели целостного процесса формирования математических понятий и их систем (рис. 1). Модель полностью отражает взаимосвязь компонентов: содержательно-целевого, процессуально-деятельностного, контрольно-оценочного и оценочно-результативного. Представленная модель является прогностической, так как на ее основе можно осуществлять целостный процесс формирования понятий; проектировать промежуточные состояния этого процесса и условия функционирования систем понятий в этом динамическом процессе; определять оценочные параметры; осуществлять научную организацию деятельности учителя и учащихся.

Содержательно-целевой аспект выполняет регулятивно-направляющую роль; процессуально-деятельностный непосредственно связан с процессом формирования понятий и их систем в ситуациях постановки и решения учебных задач и формирования учебных действий. Завершающими аспектами модели являются контрольно-оценочный и оценочно-результативный, где ведущая роль отводится: формированию действий контроля, оценки, корректировки; выделению показателей решения учебных задач, а, следовательно, сформированности систем понятий.

Особенность взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся заключалась в том, что она осуществлялась на уроках современных типов, основанных на использовании системно-деятельностного подхода и диалектического метода обучения и учебного познания. К таким урокам относятся: уроки постановки и решения учебных задач, формирования общих способов действий, уроки теоретического проектирования, выравнивания знаний, уроки творческого развития и др.

Важнейшими направлениями совершенствования школьного математического образования, предмета математики являются: 1) структурирование учебного материала; 2) конструирование моделей содержания систем математических понятий.

Под структурированием учебного материала предмета математики мы понимаем процесс выявления понятийного содержания (понятий, систем понятий, их структуры, математических утверждений и методов их доказательства), функций, которыми обладают теоретические знания, содержательные и процессуальные связи, существующие между теоретическими знаниями.

Основным источником отбора понятий в школьном курсе математики служит базовая наука. В теории и практике сложился определенный понятийный аппарат курса, включающий большое количество понятий. В целях их упорядочения нами была разработана классификация систем понятий по их содержанию, области познания и области применения. Учебный предмет и концептуальные схемы учений А.А. Столяра, А.М. Сохора, Л.М. Фридмана, а также выдающихся математиков Н.Х. Розова, Л.Д. Кудрявцева служили основой отбора понятий в состав выбранных систем: «Уравнения и неравенства», «Функции, уравнения, неравенства», «Функции и их исследование с помощью различных научных теорий», «Функции, производная, интеграл». Выделенные принципы отбора и оценочные параметры позволяли осуществить многосторонний анализ понятий. Повышение роли и функциональности фундаментальных математических понятий обусловило определение структур их систем. Анализ литературы (А.М. Сохор, Е.И. Лященко, Л.Я. Зорина, П.И. Пидкасистый, Н.Ф. Талызина, Г.А. Китайгородская, Г.Д. Кириллова, Н.Н. Тулькибаева) позволил установить, что существуют разные способы структурирования учебных дисциплин, учебных текстов.

Не менее важным, чем глобальное структурирование учебного предмета «Математика», является структурирование систем фундаментальных понятий. Для этого нами была разработана методология локального структурирования. Ее цель - установление оптимальных структур систем понятий, и последующего моделирования: выделение их инвариантов, несущих наибольшую информативную, познавательную и функциональную нагрузку в обучении. Построенные модели раскрывают структуру систем понятий, служат ориентировочной основой системно-деятельностного усвоения, эталоном итоговых сущностных знаний.

В исследовании мы исходили из того, что система математических понятий - это иерархическая и функциональная целостность гносеологически и генетически связанных понятий, относящихся к определенной области научных знаний, выраженных в определенной знаковой модели, адекватной их содержанию. Такое внутреннее единство содержания и способа его постижения - особенность диалектического познания.

Важнейшими элементами содержания систем понятий выступают не простые, логически завершенные, линейно связанные части учебных текстов, а концептуальные блоки обобщенных знаний, их содержательно-процессуальные связи, в том числе, математические закономерности. Структуры выделенных систем понятий сложно отнести к линейным или концентрическим в их дидактическом понимании (А.М. Сохор, Л.Я. Зорина, А.В. Усова, Л.Д. Арестова, Г.Д. Кириллова, А.К. Громцева, Г.А. Китайгородская, В. Оконь и др.). Их структуры блочно-иерархические, так как локальный характер обусловлен рамками определенных научных теорий. В качестве средств структурирования и построения моделей инвариантов рассматриваемых систем понятий использовались логико-математический, системно-структурный анализы, принципы дидактики и педагогической психологии (Э.Г. Гельфман, Т.А. Ильина, И.П. Калошина, Г. Клаус, Л.М. Фридман, Г.А. Китайгородская, Н.Ф. Талызина, М.Б. Волович). Построение дидактических моделей осуществлялось в соответствии с критериями - научности, изоморфизма, системности, наглядности.

В составе каждой из систем понятий выделялись объяснительная и прагматическая части: инвариантное ядро, сфера и периферия, отражающие взаимосвязь всеобщего, особенного и единичного. Теоретическое ядро системы понятий отражает всеобщие признаки и отношения обобщаемых объектов, которые являются генетически исходными для развертывания и конкретизации всей совокупности знаний, составляющих систему; сфера отражает специфические свойства и отношения объектов; периферия - индивидуальные признаки понятий, обеспечивает конкретное проявление всеобщих и особенных свойств и отношений в их единстве. В каждой из систем понятий выделены основные блоки (подсистемы), связи системообразования и функционирования; определены теоретические основы и ведущие идеи, на основе которых раскрыто их содержание и структура; раскрыты генетически исходные отношения, лежащие в основе построения каждой конкретной системы; определены средства, способы и методы их функционирования. С этих позиций были рассмотрены инварианты представленных систем понятий и сконструированы модели их содержания (рис. 2, 3).

Операторами понятий и орудиями умственного труда в условиях понятийной деятельности учащихся выступают знаки, слова, символы. Активное применение в обучении знаковых моделей и символико-графических форм выражения теоретических знаний способствует сжатию содержания, выделению внутренней структуры понятий, повышению действенности теоретических знаний и развитию символического стиля мышления. В «готовом виде» эти знания не даются. Они усваиваются в сложной конструктивно-творческой деятельности, при активном оперировании математической терминологией и символикой.

Четвертая глава «Формирование фундаментальных понятий и их систем в современном обучении математике» посвящена разработке и проведению формирующего эксперимента, качественной и статистической обработке полученных результатов.

Экспериментальное исследование осуществлялось в соответствии с требованиями современной методологии педагогического исследования (В.П. Беспалько, В.И. Загвязинский, И.Н. Кузнецов, Л.Б. Ительсон, А.З. Зак, А.А. Кыверялг, Г.П. Щедровицкий, А.Н. Пискунов, Г.В. Воробьев, К.А. Краснянская, М.И. Грабарь и др.). Оно направлено на подтверждение достоверности выдвинутого исследовательского аппарата: проблемы, объекта, предмета, гипотезы исследования. Педагогический эксперимент проходил с 1985 по 2009 гг. в средних общеобразовательных учебных заведениях Саратова и области, Магнитогорска, Великого Новгорода и области, Уфы и ряда районов Башкортостана, С.-Петербурга, Нальчика, Рязани, Алматы и других регионов. Он охватил около 5000 учащихся (не считая контрольных классов). Этапы эксперимента: констатирующий, поисковый, формирующий, внедрение результатов исследования в практику обучения. Полученные в ходе экспериментального исследования данные, подвергались качественному и количественному анализу.

В процессе количественной обработки результатов исследования применялись компонентный анализ, вычисление средних оценок по каждому компоненту и их статистическая обработка (К.А. Краснянская, М.И. Грабарь, Дж. Гласс, Дж. Стенли, А.В. Усова). Для определения сформированности систем фундаментальных математических понятий применялась уровневая методика оценки; были разработаны и использованы коэффициенты обобщенности, системности, функциональности.

Коэффициенты обобщенности использовались для характеристики усвоения учащимися сущностных признаков понятий, сводимых к генетически исходному всеобщему отношению. В тех случаях, когда учитывались взаимосвязи между понятиями, этот коэффициент служил и коэффициентом системности. Они определялись как частное от деления общей суммы признаков или связей (l), характеризующих понятие (по всей выборке работ), на произведение максимального числа признаков (m) и общего количества проанализированных ответов (n):

Коэффициенты функциональности применялись как показатели полноты реализации функций теоретических знаний учащихся и определялись по формуле

,

где h - общая сумма функций, использованных во всех проанализированных ответах учащихся, f - максимальное число функций знаний, которые могли найти применение для решения определенных типов конкретно-практических задач, а впоследствии и решения учебной задачи.

Формирующий эксперимент имел целью - преобразование педагогического процесса в соотнесении с концепцией исследования; определение эффективности предлагаемой методики, которая заключалась в следующем:

1. Введение учащихся в ситуацию учебной задачи, где формирование понятий и их систем (подсистем) осуществляется по типу теоретического обобщения.

2. Выделение в формировании понятий и соответствующих им приемов учебно-познавательной деятельности двух уровней: гносеологического и генетического, а на каждом из уровней определенных этапов.

3. Формирование контрольно-оценочной деятельности.

Учителя, принимавшие участие в эксперименте были подробно ознакомлены с его идеями, целями, задачами и снабжены всеми необходимыми учебными материалами.

В диссертации подробно раскрыты выделенные нами системы фундаментальных понятий.

При формировании каждой из систем понятий прослеживалась общая теоретическая основа, позволяющая учащимся видеть, выделять и устанавливать содержательные и процессуальные связи между понятиями не только одной системы, но и других систем. Адекватными формами выражения теоретических знаний служили: знаковые модели (обобщающие таблицы, учебные карты, логические модели, опорные конспекты, тетради с печатной основой и др.); математический язык (терминология, символика, выполняемые функции), что в конечном итоге способствовало воссозданию в сознании учащихся абстрактно-общих инвариантов систем фундаментальных понятий.

При формировании систем понятий большое внимание уделялось: 1) раскрытию механизмов процесса решения, доказательства, исследования различных видов уравнений и неравенств, исследования свойств функций с помощью различных научных теорий; 2) исследованию процессов действительности и современного производства с помощью различных научных теорий; 3) конструированию различных математических понятий; 4) конструированию различных математических моделей и их исследованию.

Уже на начальном этапе формирования фундаментальных математических понятий «уравнение», «тождество», «линейное уравнение», «функция», «линейная функция» (7 кл.) были получены высокие результаты . Важным показателем системности является усвоение взаимосвязи понятий и математических закономерностей. Выделить существенные признаки понятий и установить связь между ними смогли 90% учащихся экспериментальных классов и 14-15% учащихся контрольных классов; исследовать процессы действительности и современного производства с помощью линейных уравнений и линейной функции соответственно смогли 77 % и 18% этих групп. Для значительного большинства учащихся контрольных классов (70-75%) оказалось сложным установление связей между признаками понятий; связей между понятиями; моделирование процессов действительности. Мы считаем, что здесь проявилось влияние сложившегося традиционного подхода к одностороннему, линейному восприятию учебного материала, что затрудняло деятельность учащихся по осуществлению разностороннего подхода к изучаемым математическим понятиям.

При изучении курса алгебры в 7-8-ых классах главное внимание уделялось усвоению инвариантов систем понятий «Уравнения и неравенства» и «Функции, уравнения, неравенства». Учащиеся экспериментальных классов постоянно осуществляли содержательное сравнение, моделирование, прогнозирование, что в свою очередь обеспечивало условия для установления содержательных и процессуальных связей между понятиями. Наряду с компонентным анализом определялись коэффициенты обобщенности, системности, функциональности формируемых знаний (таблица 1).

Таблица 1 Определение коэффициентов обобщенности знаний (8 кл.)

Образованные системы понятий продолжают свое дальнейшее развитие, совершенствование, углубление в курсе математики 9-10-ых классов. Направления, по которым идет развитие систем: расширение объема данных систем: включение математических фактов (новых видов уравнений, неравенств, функций, методов их решения, доказательства, исследования); установление новых связей, зависимостей, закономерностей между математическими объектами.

В целях проверки результативности формируемых систем понятий в конце курса алгебры 9-го класса были проведены контрольные работы. Представим одну из выборок (таблица 2).

Таблица 2 Результаты количественного анализа ответов учащихся9-10-ых классов

Из представленных в таблице 2 результатов видно, что преимущество имеют учащиеся, обучавшиеся по экспериментальной методике. Учащиеся контрольных классов испытывали серьезные затруднения по: 1) доказательству неравенств; 2) аналитическому исследованию свойств функций; 3) конструированию математических объектов; 4) моделированию процессов действительности.

Коэффициенты обобщенности и функциональности в экспериментальных и контрольных классах в разные периоды времени были следующими:

В курсе алгебры и начал анализа 10-11-ых классов рассматриваемые системы понятий получают возможность дальнейшего формирования и интеграции по следующим направлениям: углубление содержания; расширение объема; выявление новых зависимостей и закономерностей.

Учащиеся экспериментальных классов в разные периоды обучения проявляли сформированность таких качеств знаний, как прочность, гибкость, осознанность, так как могли при полной самостоятельности: а) выделять существенные признаки понятий и устанавливать связи между ними; б) раскрывать процессы решения и конструирования различных видов уравнений, неравенств и их систем; в) раскрывать процессы доказательства тождеств, неравенств, исследования свойств функций с помощью различных научных теорий; г) выполнять решение и конструирование классов прикладных задач с помощью различных научных теорий. Подтверждением этому являются результаты:

На завершающих этапах обучения (11 кл.) нами проводились уроки обобщения и систематизации, на которых осуществлялось установление содержательных и процессуальных связей между фундаментальными понятиями и их системами. Отдельные из полученных результатов представлены в таблице 3.

Таблица 3 Установление содержательных и процессуальных связей между фундаментальными понятиями школьного курса математики и их системами

Статистические данные, представленные в таблице 3 свидетельствуют, что все средние оценки учащихся, обучавшихся по экспериментальной методике, выше оценок контрольной группы. Значения рассматриваемых параметров свидетельствуют, что выборки можно сравнивать между собой и делать соответствующие выводы.

Для заключительного обобщения были характерны особенности: сведение сформированных знаний к единым теоретическим основаниям. С этой целью проверялась сформированность у обучаемых следующих учебных умений: 1) установление содержательных и процессуальных связей между понятиями систем; 2) установление границ применимости имеющихся в распоряжении теоретических знаний и способов действий; 3) осуществление научно-мировоззренческого и методологического осмысления теоретических знаний.

Результаты статистической обработки ответов учащихся экспериментальных и контрольных классов в разные периоды времени были следующими:

В целом учащиеся экспериментальных классов показали высокий уровень сформированности теоретических знаний. 91,1-94,4% учащихся могли применять знания в различных учебных ситуациях, что свидетельствует, во-первых, об успешном решении учебных задач и сформированности в их ситуациях систем фундаментальных математических понятий; во-вторых, об эффективности разработанной нами концепции, которая сочетает в себе системный и деятельностный подходы.

Таким образом, в ходе исследования были решены его основные задачи, получены теоретические и экспериментальные данные, подтверждающие выдвинутую гипотезу, что позволило сделать обобщающие выводы:

1. Выполненное педагогическое исследование имеет теоретико-экспериментальный характер. На основе глубокого и всестороннего анализа было установлено несоответствие между требованиями общества к развитию личности и уровнем образования в современной школе. По-прежнему все теоретические знания изучаются рядоположенно. Такой подход дает положительный эффект лишь в усвоении многих частных понятий и не способствует формированию целостных систем понятий. Низкий уровень системности, обобщенности и функциональности фундаментальных математических понятий обусловил постановку вопроса о повышении качества их изучения, о необходимости интеграции в теоретические системы понятий.

2. Многоаспектная, полифункциональная и деятельностная природа фундаментальных математических понятий потребовала пересмотра механизмов их образования, дальнейшего развития и интеграции в процессе обучения. В этой связи представлена логико-гносеологическая характеристика фундаментальных математических понятий, определена их природа, выделены функции, механизмы образования, развития и интеграции систем фундаментальных понятий.

3. В диссертации разработаны теоретические основы формирования систем понятий, отражающие метод восхождения от абстрактного к конкретному, направленные на развитие творческого мышления и усиления содержательного обобщения, активности понятийно-теоретической деятельности учащихся, повышение функциональности теоретических знаний в процессе обучения математике.

4. Разработана методология локального структурирования систем фундаментальных понятий школьного курса математики. На основе предложенной классификации понятий, принципов их отбора, теоретико-методологического и системно-структурного анализов, определены сущность и задачи локального структурирования. Результатом локального структурирования было четкое определение состава, структуры и содержания теоретических систем понятий: «Уравнения и неравенства», «Функции, уравнения, неравенства», «Функции и их исследование с помощью различных научных теорий», «Функции, производная, интеграл». Сконструированы содержательно-логические модели, являющиеся ориентирами для организации изучения этих знаний, управления познавательной деятельностью учащихся и отвечающие критериям: научности, изоморфизма, системности, проблемности, наглядности.

5. На основе целостного понимания процесса обучения и выявленных путей совершенствования процесса формирования систем понятий (структурирование понятийного содержания; повышения роли и эвристичности знаков языка науки; формирование понятий с целью использования интегративных и эвристических функций; развития и активизации понятийно-теоретической деятельности), нами была разработана принципиально новая концепция продуктивного формирования систем фундаментальных математических понятий, реализующая в единстве системный и деятельностный подходы. На основе данной концепции были реализованы ведущие функции фундаментальных понятий: объяснительная, систематизирующая, обобщающая, развивающая, эвристическая, прогностическая, а также сформированы системы фундаментальных математических понятий, которые впоследствии на основе теоретического анализа, синтеза, сравнения, обобщения и моделирования были сведены в единую теоретическую систему знаний.

6. В диссертации определены и раскрыты принципы отбора математических задач (алгоритмические, полуалгоритмические, полуэвристические, эвристические), предназначенные для включения учащихся в активную понятийно-теоретическую деятельность по формированию фундаментальных понятий и их систем.

7. Выполненное теоретико-экспериментальное исследование показало эффективность разработанной концепции по формированию теоретических систем понятий. Внедрение результатов исследования в практику работы общеобразовательных школ открывает новые направления и перспективы в плане образования, воспитания и развития личности обучаемых.

8. Подтверждена гипотеза исследования относительно того, что целенаправленное формирование фундаментальных математических понятий и их систем в рамках системного и деятельностного подходов, служащих альтернативой индуктивно-эмпирическому подходу и оптимизирующим фактором в плане формирования личности новой формации, способной к активному и творческому овладению знаниями через специально организованный педагогический процесс, определяемый совокупностью педагогических условий: разработка концепции продуктивного формирования теоретических систем понятий; создание прогностической модели целостного процесса формирования понятий и их систем, учитывающей их логико-познавательную природу, закономерности возникновения, развития, интеграции; реализация психолого-дидактических принципов развивающего обучения в образовательном процессе; получение высоких результатов, так как 91,1-94,4% учащихся могли применять полученные знания в различных учебных ситуациях через длительный период времени.

9. Проведенное нами теоретико-экспериментальное исследование вносит определенный вклад в теорию и практику обучения, открывает широкие возможности для модернизации математического образования в образовательном пространстве. Выполненное исследование не исчерпывает всего круга проблем, связанных с реализацией процесса формирования математических понятий и их систем. Исследование в большей мере предполагает теоретико-методологические ориентиры для дальнейших исследований в области дидактики, теории и методики обучения математике и других частных методик. В этой связи актуальной представляется следующая проблематика: реализация концепции продуктивного формирования систем понятий на материале других предметов, создание на основе разработанной концепции механизма его развития и внедрения в учебный процесс средних специальных и высших учебных заведений.

Материалы диссертационного исследования изложены в 147 публикациях, в т.ч., монография, 24 (учебно-методические пособия, учебные программы, методические рекомендации), 84 статьи, 38 тезисов, общим объемом свыше 150 печатных листов.

Основное содержание и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях автора.

1. Токарева, Л. И. Формирование систем понятий при обучении математике [Текст] : монография / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ун-т им. М. Акмуллы. - Уфа, 2008. - 392 с. (24 п. л.).

2. Токарева, Л.И. К вопросу о выполнении методического анализа школьных математических задач [Текст] / Л. И. Токарева // Математика в школе. - 1991. - № 3. - С. 39-42. (0,6 п. л.).

3. Токарева, Л. И. Формирование систем математических понятий в концепции системно-деятельностного подхода [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Челяб. гос. пед. ун-та. Серия 2, Педагогика. Психология. Методика преподавания. - 2005. - № 9. - С. 185-192. (1 п. л.).

4. Токарева, Л. И. Этапы в деятельности учителя математики по формированию теоретических систем знаний школьников [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Поморского ун-та. Серия : Физиологические и психолого-педагогические науки. - 2004. - № 2(6). - С. 63-71. (0,9 п. л.).

5. Токарева, Л. И. Концепция продуктивного функционирования математических понятий и их систем в современном обучении [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Челябинского гос. пед. ун-та. Серия 2, Педагогика. Психология. Методика преподавания. - 2005. - № 10. - С. 287-299. (1,3 п. л.).

6. Токарева, Л. И. Формирование теоретических систем понятий в условиях развивающего обучения (на материале математики) [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Костромского гос. ун-та им. Н. А. Некрасова. Серия : Психологические науки. Акмеология образования. - 2005. - Т. 11, № 4. - С. 23-28. (0,9 п. л.).

7. Токарева, Л. И. Методология формирования фундаментальных понятий и их систем в обучении математике [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Поморского университета. Серия : Физиологические и психолого-педагогические науки. - 2006. - № 1(9). - С. 132-137. (0,85 п. л.).

8. Токарева, Л. И. Модели содержания систем понятий - как ориентиры организации процесса обучения математике [Текст] / Л. И. Токарева // Наука и школа. - 2008. - № 3. - С. 33-36. (0,5 п. л.).

9. Токарева, Л. И. Формирование теоретических систем понятий у учащихся общеобразовательных школ [Текст] / Л. И. Токарева // Наука и школа. - 2008. - № 4. - С. 21-23. (0,5 п. л.).

10. Токарева, Л. И. Содержание современного школьного математического образования [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник МГУ им. М. В. Ломоносова. Серия 20, Педагогическое образование. - 2008. - № 3. - С. 45-54. (1 п. л.).

11. Токарева, Л. И. Моделирование понятий и их систем в школьном курсе [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Московского государственного областного университета. Сер. Педагогика. - 2008. - № 3. - С. 185-190. (0,7 п. л.).

12. Токарева, Л. И. Модели целостного процесса формирования понятий и их систем в современном обучении [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Тамбовского университета. Серия : Гуманитарные науки. - Тамбов, 2008. - Вып. 12 (68). - С. 113-122. (1,3 п. л.).

13. Токарева, Л. И. Теоретические основы формирования фундаментальных понятий и их систем в современном обучении [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник МГУ им. М. В. Ломоносова. Серия 20, Педагогическое образование. - 2009. - № 4. - С. 25-34. (1 п. л.).

14. Токарева, Л. И. Методика формирования учебных действий в ситуациях решения учебных задач при изучении темы «Неравенства» в 7 классе [Текст] : (метод. рек. для учителей мат. сред. шк.) / авт.-сост. Л. И. Токарева ; Магнитогор. гос. пед. ин-т. - Магнитогорск, 1988. - 48 с. : ил. (3 п. л.).

15. Токарева, Л. И. Формирование приемов учебно-познавательной деятельности студентов в их научно-методической подготовке [Текст] : учебная программа и метод. реком. для студентов 4-5 курсов педвузов. Ч. 1 / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ин-т. - Уфа, 1990. - 54 с. (3,4 п. л.).

16. Токарева, Л. И. Формирование приемов учебно-познавательной деятельности студентов в их научно-методической подготовке [Текст] : учебная программа и метод. реком. для студентов 4-5 курсов педвузов. Ч. 2 / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ин-т. - Уфа, 1990. - 48 с. (3 п. л.).

17. Токарева, Л. И. Формирование общелогических и специфических и контрольно-оценочных действий при изучении математики [Текст] : учебная программа и методические разработки по изучению отдельных разделов школьного курса математики для студентов 4-5 курсов педвузов. Ч. 1 / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ин-т. - Уфа, 1990. - 50 с. (3,1 п. л.).

18. Токарева, Л. И. Формирование общелогических и специфических и контрольно-оценочных действий при изучении математики [Текст] : учебная программа и методические разработки по изучению отдельных разделов школьного курса математики для студентов 4-5 курсов педвузов. Ч. 2 / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ин-т. - Уфа, 1990. - 51 с. (3,2 п. л.).

19. Токарева, Л. И. Оптимизация обучения математике в школах с малой наполняемостью классов [Текст] / Л. И. Токарева // Пути интенсификации процесса обучения в школах с малой наполняемостью классов: метод. реком. - Новгород : Изд-во НОИУУ, 1990. - С. 74-86. (0,81 п. л.).

20. Токарева, Л. И. Формирование у учащихся исследовательских умений при изучении математики в средней школе. [Текст] / Л. И. Токарева // Пути совершенствования управления познавательной деятельностью и обучением учащихся : метод. рек. - Новгород : Изд-во НОИУУ, 1991. - С. 21-28. (0,5 п. л.).

21. Токарева, Л. И. Формирование системы математических понятий при изучении темы «Первообразная и интеграл» в 11 классе на основе решения учебных задач [Текст] : метод. пособие для учителей математики ср. школ и студ. педвузов и ун-тов / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ин-т. - Уфа, 1991. - 124 с. (7,8 п. л.).

22. Токарева, Л. И. Современные формы организации учебно-познавательной деятельности учащихся при изучении темы «Производная и ее применение» в 10 классе [Текст] : метод. пособие для учителей математики средних шк. и студ. педвузов и ун-тов. Ч. 1 / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ин-т. - Уфа, 1992. - 104 с. (6,5 п. л.).

23. Токарева, Л. И. Современные формы организации учебно-познавательной деятельности учащихся при изучении темы «Производная и ее применение» в 10 классе [Текст] : метод. пособие для учителей математики средних шк. и студ. педвузов и ун-тов. Ч. 2 / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ин-т. - Уфа, 1992. - 91 с. (5,7 п. л.).

24. Токарева, Л. И. Формирование учебно-познавательной деятельности у учащихся при изучении темы «Тригонометрические функции, уравнения и неравенства» в 10 классе [Текст] : метод. пособие для учителей математики средних шк. и студ. педвузов и ун-тов. Ч. 1 / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ин-т. - Уфа, 1993. - 100 с. (6,3 п. л.).

25. Токарева, Л. И. Формирование учебно-познавательной деятельности у учащихся при изучении темы «Тригонометрические функции, уравнения и неравенства» в 10 классе [Текст] : метод. пособие для учителей математики средних шк. и студ. педвузов и ун-тов. Ч. 2 / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ин-т. - Уфа, 1993. - 86 с. (5,4 п. л.).

26. Токарева, Л.И. Изучение неравенств в средней школе [Текст] : метод. рек. для учителей математики средних шк. / Л. И. Токарева // Математика. - 1998. - № 18. - С. 2-5. (1 п. л.).

27. Токарева, Л. И. Формирование системы понятий «Функции, производная, интеграл» [Текст] : метод. рек. для учителей математики средних шк. / Л. И. Токарева // Математика. - 2000. - № 1. - С. 19-25. (1,7 п. л.).

28. Токарева, Л. И. Формирование системы понятий «Функции, производная, интеграл» [Текст] : метод. рек. для учителей математики средних шк. / Л. И. Токарева // Математика. - 2000. - № 2. - С. 19-23. (1,5 п. л.).

29. Токарева, Л. И. Формирование системы понятий «Функции, производная, интеграл» [Текст] : метод. рек. для учителей математики средних шк. / Л. И. Токарева // Математика. - 2001. - № 47. - С. 19-25. (1,7 п. л.).

30. Токарева, Л. И. Тригонометрические неравенства в средней школе: роль, значение, применение [Текст] : метод. рек. для учителей математики средних шк. / Л. И. Токарева // Математика. - 2002. - № 44. - С. 22-32. (2 п. л.).

31. Токарева, Л. И. Тригонометрические неравенства в средней школе: роль, значение, применение [Текст] : метод. рек. для учителей математики средних шк. / Л. И. Токарева // Математика. - 2002. - № 47. - С. 31-38. (1,8 п. л.).

32. Токарева, Л. И. Обобщение и систематизация знаний учащихся по изучению уравнений, неравенств, функций в 10-11 классах [Текст] : метод. рек. для учителей математики средних шк. / Л. И. Токарева // Математика. - 2003. - № 29. - С. 24-29. (1,5 п. л.).

33. Токарева, Л. И. Обобщение и систематизация знаний учащихся по изучению уравнений, неравенств, функций в 10-11 классах [Текст] : метод. рек. для учителей математики средних шк. / Л. И. Токарева // Математика. - 2003. - № 31. - С. 15-21. (1,8 п. л.).

34. Токарева, Л. И. Обобщение и систематизация знаний учащихся по изучению уравнений, неравенств, функций в 10-11 классах [Текст] : метод. рек. для учителей математики средних шк. / Л. И. Токарева // Математика. - 2003. - № 32. - С. 20-25. (1,5 п. л.).

Размещено на Allbest.ru